2020届广州二模文科数学试卷
广东省广州市2020届高三二模文科数学试题(原卷版)
2020年广州市高考二模试卷数学（文科）一、选择题（共12小题）．1.若集合A ＝{x |2﹣x ≥0}，B ＝{x |0≤x ≤1}，则A ∩B ＝（ ）A. [0，2]B. [0，1]C. [1，2]D. [﹣1，2]2.已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则z =（）A. 2B. 2C. 1D. 2 3.已知角α的项点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点()2,1P -在角α的终边上，则tan α=（ ）A. 2B. 12C. 1 2-D. 2-4.若实数x ，y 满足23300x y x y y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A. 2B. 52C. 4D. 65.已知函数f （x ）＝1+x 3，若a ∈R ，则f （a ）+f （﹣a ）＝（ ）A. 0B. 2+2a 3C. 2D. 2﹣2a 36.若函数()()sin 20,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A. ,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心B. 函数()f x 的图象关于直线3x π=对称 C. 函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. 函数()f x 的图象可由sin 2y A x =的图象向左平移6π个单位得到 7.《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a （0＜a ＜r ），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为（ ）A. ()221a p r - B. ()22 1a p r + C. () 1a p r - D. () 1a p r+ 8.在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面ACC 1A 1（包括边界）上一点，若EF //平面BCC 1B 1，则动点F 的轨迹是（ ）A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分 9.已知函数22log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则()(1)f x f x <+的解集为( ) A. (1,)-+∞ B. (1,1)- C. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D. 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b cos C +c cos B ＝6,c ＝3,B ＝2C ,则cos C 的值为（ ）A. 3B. 3C. 3D. 311.若关于x 的不等式2ln x ≤ax 2+（2a ﹣2）x +1恒成立，则a 的最小整数值是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 312.过双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）右焦点F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P ，与双曲线交于点A ，若223F P F A →→= ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. y ＝±12x B. y ＝±x C. y ＝±2x D. y ＝±25x 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(),1a k =-r ，()4,2b =-r ，若a r 与b r 共线，则实数k 的值为_____．14.已知等比数列{a n }是单调递增数列，S n 为{a n }的前n 项和，若a 2＝4，a 1+a 3＝10，则S 4＝_____． 15.斜率为3的直线l 过抛物线()220y px p =>的焦点，若直线l 与圆()2224x y -+=相切，则p =_____．16.正四棱锥P ﹣ABCD 的底面边长为2,侧棱长为22,过点A 作一个与侧棱PC 垂直的平面α,则平面α被此正四棱锥所截的截面面积为_____,平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为_____.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝n （n +2）（n ∈N *）.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 4n na =,求数列{b n }的前n 项和T n . 18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AC AB ＝，11B C BC O ⋂＝．（1）求证：1B C AB ⊥； （2）若160CBB ∠︒＝，AC BC =，三棱锥1A BB C-体积为1，且点A 在侧面11BB C C 上的投影为点O ，求三棱锥1A BB C -的表面积．19.全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数（百分制）随机抽取了30名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1名女职工的健。
2020年广东高三二模数学试卷(文科)
故选 ．
12. B 解析:
若 若 ∴
，则 ，则
， ．
，
，由
得
，
，与函数 有唯一零点矛盾；
，
，当且仅当
时，两式同时取等，
，当且仅当
时取等，
10
∴函数 有唯一零点；
若
，则
，令
，
，
①当
时，
，∴ 在 上单调递增，
即
在 上单调递增，又
，
∴
时，
， 单调递减；
时，
， 单调递增，
又
，∴函数 有唯一零点；
②当
，则
存在解，设其在
图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有 的把握认为“产品质量高与新设备有关”．
非优质品
优质品
合计
新设备产品
旧设备产品
合计
附：
，其中
．
（ 3 ） 已知每件产品的纯利润 （单位：元）与产品质量指标值 的关系式为
，若
每台新设备每天可以生产 收回设备成本．
件产品，买一台新设备需要 万元，请估计至少需要生产多少天方可以
∴ 在 上单调递增．
又∵
，
∴
．
22.（ 1 ）
．
（2） ．
解析:
（ 1 ）由
，
得
，
∴
，
∵
，
．
∴直线 的直角坐标方程为
，
即
．
（ 2 ）依题意可知曲线 的参数方程为：
设
，
则点 到直线 的距离为：
，
（ 为参数），
17
，
∵
，
∴当
时，
，
依题意得
2020年广东省广州市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合，，则A. B. C. D.2.已知i为虚数单位，若，则A. 2B.C. 1D.3.已知角的项点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则A. 2B.C.D.4.若实数x，y满足，则的最小值是A. 2B.C. 4D. 65.已知函数，若，则A. 0B.C. 2D.6.若函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是A. 是函数图象的一个对称中心B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在区间上单调递增D. 函数的图象可由 2x的图象向左平移个单位得到7.周髀算经中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p，则圆周率的值为A. B. C. D.8.在三棱柱中，E是棱AB的中点，动点F是侧面包括边界上一点，若平面，则动点F的轨迹是A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分9.已知函数，则的解集为A. B. C. D.10.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则cos C的值为A. B. C. D.11.若关于x的不等式恒成立，则a的最小整数值是A. 0B. 1C. 2D. 312.过双曲线C：右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，与双曲线交于点A，若，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若与共线，则实数k的值为______．14.已知等比数列是单调递增数列，为的前n项和，若，，则______．15.斜率为的直线l过抛物线C：的焦点F，若l与圆M：相切，则______．16.正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，过点A作一个与侧棱PC垂直的平面，则平面被此正四棱锥所截的截面面积为______，平面将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列的前n项和为，且．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．18.如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，．求证：；若，，三棱锥的体积为1，且点A在侧面上的投影为点O，求三棱锥的表面积．19.全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数百分制随机抽取了30名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1名女职工的健康指数的数据模糊不清用x表示，已知这30名职工的健康指数的平均数为．根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求抽取的2人都是男职工的概率；经计算，样本中男职工健康指数的平均数为81，女职工现有数据即剔除健康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差结果精确到．20.已知椭圆C：过点，且离心率为．求椭圆C的方程；若斜率为的直线1与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点，求k的取值范围．21.已知函数，记的导函数为．若是上的单调递增函数，求实数a的取值范围；若，试判断函数的极值点个数，并说明理由．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．写出曲线和的直角坐标方程；已知P为曲线上的动点，过点P作曲线的切线，切点为A，求的最大值．23.已知函数的最大值为M，正实数a，b满足．求的最小值；求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合，，．故选：B．求出集合A，利用交集定义能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：，，故故选：B．由已知条件，结合复数的运算可得，由模长公式可得答案．本题考查复数的模的求解，涉及复数的代数形式的乘除运算，属基础题．3.答案：C解析：解：点在角的终边上，，故选：C．直接利用任意角的三角函数，求解即可．本题考查任意角的三角函数的定义，基本知识的考查．4.答案：B解析：解：实数x，y满足，边表示的可行域如图：化简为，是直线的截距，故当过点A时，截距取得最大值，此时z有最小值，由解得故目标函数的最小值为；故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5.答案：C解析：解：根据题意，函数，则，，则有；故选：C．根据题意，由函数的解析式求出与的表达式，进而计算可得答案．本题考查函数值的计算，涉及函数奇偶性的性质，属于基础题．6.答案：A解析：解：由图可知，，函数经过点，，，即，，，．函数．令，则，当时，对称中心为，即A正确；令，则，不存在k使其对称轴为，即B错误；令，则，当时，单调递增区间为，即C错误；的图象向左平移个单位得到，即D错误．故选：A．先由图象可知，再把点代入函数解析式，结合，可求得，从而确定函数的解析式为然后根据正弦函数的中心对称、轴对称和单调性以及平移变换法则逐一判断每个选项即可．本题考查利用图象求三角函数的解析式、正弦函数的图象与性质，考查学生的数形结合能力、推理论证能力和运算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：圆形钱币的半径为rcm，面积为；正方形边长为acm，面积为．在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是，则．故选：A．计算圆形钱币的面积和正方形的面积，求出对应面积比得p，则可求．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．8.答案：A解析：解：分别取AC，，的中点N，F，M，连接ME，MF，NE，EF，因为E为AB的中点，可得且，，，所以N，E，M，F共面，所以可得，，而，，所以面面，而面MN ，所以面，所以要使平面，则动点F的轨迹为线段FN．故选：A．分别取AC，，的中点N，F，M，连接ME，MF，NE，EF，可得N，E，M，F共面，且可得使平面，所以F在线段FN上．本题考查线面平行的证法及求点的轨迹的方法，属于中档题．9.答案：C解析：解：函数，则，当时，不等式，即，求得．当时，不等式，即，求得．综上可得，不等式的解集为，故选：C．由题意利用函数的单调性，分类讨论求得x的范围．本题主要考查二次函数、对数函数的单调性应用，指数、对数不等式的解法，属于中档题．10.答案：D解析：解：，，，由正弦定理，可得，可得，，由正弦定理可得，可得，可得，，可得，，C为锐角，解得．故选：D．由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可得，利用两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得，进而根据余弦定理即可求解cos C的值．本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11.答案：B解析：解：若关于x的不等式恒成立，问题等价于在恒成立，令，则，令，，则，故在递减，不妨设的根是，则，则时，，递增，时，，递减，，，，，，，a的最小整数值是1，故选：B．问题等价于在恒成立，令，求出的最大值，求出a的范围即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于常规题．12.答案：C解析：解：如图，不妨设一条渐近线方程为，则所在直线的斜率为，直线：．联立，解得设，由，得，解得代入，得，整理得：．双曲线C的渐近线方程为．故选：C．由题意画出图形，不妨设一条渐近线方程为，求得直线：与已知渐近线方程联立求得P的坐标，再由向量等式求得A的坐标，代入双曲线方程整理即可求得双曲线C的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质，考查向量在解决圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，是中档题．13.答案：2解析：解：根据题意，向量，，若与共线，则有，解可得；故答案为：2．根据题意，由向量共线的坐标表示公式可得，解可得k的值，即可得答案．本题考查向量共线的坐标表示，注意向量共线的坐标表示公式，属于基础题．14.答案：30解析：解：设等比数列的公比为q，，，，化为：，解得或．等比数列是单调递增数列，．．则．故答案为：30．设等比数列的公比为q，由，，可得：，及其等比数列是单调递增数列，解得再利用求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：12解析：解：斜率为的直线l过抛物线C：的焦点，直线l的方程：，若l与圆M：相切，可得：，解得，故答案为：12．求出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求解即可．本题考查抛物线的简单性质以及直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，是中档题．16.答案：或解析：解：如图，在正四棱锥中，由底面边长为2，侧棱长为，可得为正三角形，取PC的中点G，得，且．设过AG与PC垂直的平面交PB于E，交PD于F，连接EF，则，，可得≌，得，，在与中，由，，，得．．在等腰三角形PBC中，由，，得，则在中，得．同理，则，得到．；则．又，平面将此正四棱锥分成的上下两部分体积的比为．故答案为：；或．由已知得为正三角形，取PC的中点G，得，且然后证明，且求得AG与EF的长度，可得截面四边形的面积；再求出四棱锥的体积与原正四棱锥的体积，则平面将此正四棱锥分成的两部分体积的比值可求．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，考查计算能力，是中档题．17.答案：解：由题知：当时，有；当时，由，可得，由得，又时也适合，故；由知，，，由可得：，所以．解析：由时求得，当时，由，可得，由得，再检验当时是否适合，求得；由求得，再利用错位相减法求其前n项和即可．本题主要考查数列通项公式的求法及错位相减法求数列的和，属于基础题．18.答案：证明：侧面为菱形，，又，O为的中点，，而，平面ABO，得；解：点A在侧面上的投影为点O，即平面，在菱形中，，为等边三角形，又，设，则，，则，即．在平面中，过O作，连接AE，可得，则．，同理可得．则三棱锥的表面积为．解析：由侧面为菱形，得，再由，O为的中点，得，利用直线与平面垂直的判定可得平面ABO，从而得到；点A在侧面上的投影为点O，即平面，设，由三棱锥的体积为1求解a，再求解三角形可得三棱锥的表面积．本题考查多面体体积及表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．19.答案：解：根据茎叶图，计算样本中男职工健康指数的众数是76，中位数是；根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，男职工抽人，记为a、b、c，女职工2人，记为D、E，从这5人中随机抽取2人，所有的基本事件是ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE共10种，抽取的2人都是男职工的事件为ab、ac、bc，故所求的概率为；由题意知，，解得；所以样本中所有女职工的健康指数平均数为，方差为．解析：根据茎叶图中数据，计算样本中男职工健康指数的众数和中位数；根据分层抽样原理求出抽取的男、女职工人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；根据题意求出x的值，再计算健康指数的平均数和方差．本题利用茎叶图考查了统计与概率的计算问题，是中档题．20.答案：解：因为椭圆C过点，且离心率为．所以解得，，，所以椭圆C的方程为：．设直线l的方程：，，联立直线l与椭圆C的方程得，，，，，即，所以线段MN中点，所以线段MN的垂直平分线的方程为，又因为线段MN的垂直平分线过点，所以，即，所以，代入式得，，解得或，所以k的取值范围为．解析：根据题意得解得a，b，c，进而写出椭圆的方程．设直线l的方程：，，联立直线l与椭圆C的方程得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得，，，，即，得到线段MN中点，写出线段MN的垂直平分线的方程为，将点代入，得，代入式得k的取值范围为．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，属于中档题．21.答案：解：，，因为是上的单调递增函数，恒成立，因为，故时，恒成立，且导数为0时不连续．故即为所求．由知，，当时，，此时函数单调递增，无极值点；当时，则，，而由三角函数的性质可知，，，此时函数单调递增，无极值点；当时，，则，此时函数单调递增，无极值点；当时，令，则，函数单调递减，又，存在唯一的，使得，且当时，，单调递增，当时，，单调递减，故是函数的极大值点，综上所述，函数在上有且仅有唯一的极大值点，无极小值点．解析：只需在恒成立，借助于三角函数的有界性，问题可解决．分，四种情形分别研究的单调性，进而得出结论．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值点，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于难题．22.答案：解：由为参数，消去参数，可得．曲线的直角坐标方程为；由，得，即，即．曲线的直角坐标方程为；为曲线上的动点，设，则P与圆的圆心的距离．要使的最大值，则d最大，当时，d有最大值为．的最大值为．解析：由为参数，消去参数，可得曲线的直角坐标方程．由，得，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程；由P为曲线上的动点，设，则P与圆的圆心的距离利用二次函数求最值，再由勾股定理求的最大值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．23.答案：解：函数，当时，取得最大值2，即，正实数a，b满足，由柯西不等式可得，化为，当时，取得最小值；证明：因为，a，，要证，即证，即证，即证，当时，，所以，由，可得；当时，；当时，，所以，因为，所以，综上所述，成立，即．解析：由绝对值的性质和绝对值的几何意义，可得的最大值，即有M的值，再由柯西不等式，即可得到所求最小值；应用分析法证明，考虑两边取自然对数，结合因式分解和不等式的性质、对数的性质，即可得证．本题考查绝对值不等式的性质和应用，考查不等式的证明，注意应用柯西不等式和分析法证明，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
2020广州市高三数学二模考文
数学（文科）试题A 第 1 页 共 13 页试卷类型：A2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1铅笔将试23451．sin A2⎝⎭A ．3log 2-B ．3log 2C ．2log 3-D ．2log 33．已知双曲线C ：22214x y b-=经过点()4,3，则双曲线C 的离心率为 A ．12B ．2C ．2D ．2数学（文科）试题A 第 2 页 共 13 页4．执行如图1所示的程序框图，则输出的z 的值是 A ．21 B ．32 C ．34D ．645A6A7A8A9A C 10．设函数()3233f x x ax bx =++有两个极值点12x x 、，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，则点(),a b 在aOb平面上所构成区域的面积为 A ．14 B ．12 C ．34D ．1图2数学（文科）试题A 第 3 页 共 13 页二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z = ． 12．已知向量(),1x =a ，()2,y =b ，若()1,1=-a +b ，则x y += ．13．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y ()km 与刹车时的速度x ()km/h 的关系可以用2y ax =来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为b ()km ．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b ()km ，则这辆车的行驶速度为 km/h ． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ．15．（坐标系与参数方程选做题）在在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示．年龄 分组 抽取份数 答对全卷 的人数 答对全卷的人数 占本组的概率[20,30) 4028 0.7 [30,40) n 27 0.9[40,50) 10 4 b[50,60]20a0.1（1）分别求出n ，a ，b ，c 的值；（2）从年龄在[]40,60答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率．BA CD E FG图3年龄频率/组距 20 30 40 50 600.01c 0.04 0.03 0数学（文科）试题A 第 4 页 共 13 页18．（本小题满分14分）如图棱（1（2 19．1（1（220．（1（2 21．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．12015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得3414~1516．解：（1）2分cos3分4分（2）由（1）知，1cos2A=-，因为A是△ABC的内角，所以sin2A==．…………………………………………6分由正弦定理2sinaRA=，…………………………………………………………………………………7分数学（文科）试题A 第 5 页共 13 页数学（文科）试题A 第 6 页 共 13 页得2sin 2142a R A ==⨯⨯=…………………………………………………………………8分 由（1）设7a k =，即k =所以5b k ==3c k ==．………………………………………………………………10分所以1sinABC S bc A ∆=1=⨯……………………………………………………11分 12分17．解：（1）1分2分 所以3分 解得4分 （2）人记为1b ，2b ()14,a a ，()11,a b ，()41,a b ，()42,a b ， ()12,b b 共15种．…………………………………………………………………………………8分其中所抽取年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共9种.……………………………………11分故所求的概率为53159=. ………………………………………………………………………………12分数学（文科）试题A 第 7 页 共 13 页18．（本小题满分14分） （1）证明：连接1A B ，4分 所以6分 （2 分从而1111122722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分 所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分1 1数学（文科）试题A 第 8 页 共 13 页解法二：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ， 因为平面11ABB A P 平面11DCC D ，所以平面AMN P 平面1DD C ． 延长CN 与DA 相交于点P ， 因为AN DC P ，所以AN PA DC PD =，即133PA PA =+，解得32PA =．9分 所以11分 13分 14分 19．解：（12分 所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分 因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上， 所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分数学（文科）试题A 第 9 页 共 13 页（2）因为()1,32,n n f n n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，，假设存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立．………………………………………………………7分 ①当k 为奇数时，3k +为偶数， 则有()()33241k k +-=-，解得11k =，符合题意．………………………………………………………………………………10分 ②当则有解得13分 14分20．解：（1）1分因为所以2分 3分此时5分 6分（2）因为()121f x ax x'=++221ax x x ++=，（ⅰ）当0a ≥时，………………………………………………………………………………………7分因为()0,x ∈+∞，所以()f x '2210ax x x++=>， 此时函数()f x 在()0,+∞是增函数．……………………………………………………………………9分数学（文科）试题A 第 10 页 共 13 页（ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，则2210ax x ++=． 因为180a ∆=->，此时()f x '()()212221a x x x x ax x x x--++==，其中114x a -=-，214x a+=-．因为11分 13分 区间是⎛ ⎝14分21．解：（11分所以3分 解得4分依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分 因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分 所以圆心C 的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分 所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分数学（文科）试题A 第 11 页 共 13 页（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥， 解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分 由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设则点所以因为即1k 7分 即k k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以9分 因为所以10分 设02f x +则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分 由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分数学（文科）试题A 第 12 页 共 13 页所以()0max 2225564f x f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min 0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分则(x 即0y解得5分 设点7分 即002x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪+⎩所以AB a b =-= = =．……………………………………………………………………9分数学（文科）试题A 第 13 页 共 13 页 因为()220044y x =--， 所以AB =10分=．………………………………………………………………11分 令1t 11所以12分 当t 当t 所以14分。
2020年广东省广州市天河区高考数学二模试卷(文科)(有解析)
2020年广东省广州市天河区高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2<1}，B={x|x2+3x<0}，则A∪B=()A. (−1,0)B. (0,1)C. (−3,1)D. (−∞,1)2.设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则x，y满足的关系是()A. (x+1)2+y2=1B. (x−1)2+y2=1C. x2+(y−1)2=1D. x2+(y+1)2=13.若sin(π+α)=23，则cos2α的值为()A. 19B. 29C. 13D. −134.若等比数列{a n}满足2a4=a6−a5，则公比为()A. 1B. 1或−2C. −1或2D. −1或−25.某学校随机抽取100名学生，调查其平均一周使用互联网的时间(单位：小时)，根据调查结果制成了如图所示的频率分布直方图，其中使用时间的范围是[0,16]，样本数据分组区间为[0,4)，[4,8)，[8,12)，[12,16].根据直方图，这100名学生中平均一周使用互联网的时间不少于12小时的人数为()A. 5B. 10C. 20D. 806.设a=log123.b=ln4，c=(13)0.2，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a7.在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要8. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 满足BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF 与AC 交于点G ，设AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λGC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( )A. 97B. 74C. 72D. 929. 已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长和侧棱长相等，D 为A 1A 的中点，则直线BD 与B 1C 所成的角为( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘10. 已知函数f (x )=2sin x2(cos x2−√3sin x2)+√3，先将y =f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再沿x 轴向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到函数y =g(x)，若g(x)的图象关于直线x =3π4对称，则θ的最小值为( )A. π6B. π4C. π3D. 2π311. 已知以双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F 为圆心，以a 为半径的圆与直线y =ba x 交于A,B 两点，若|AB |=√2a ，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. √6212. 已知点A(a,b)在y =−x 2+3lnx 的图象上，点B(m,n)在y =x +2的图象上，则(a −m)2+(b −n)2的最小值为( )A. √2B. 2C. 2√2D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)={2x −5(x ⩾2)f(x +2)(x <2)，则f(−2)=_________________．14. 抛物线y 2=4x 上横坐标为3的点P 到焦点F 的距离为___________．15. △ABC 中，A =120°，AB =4，点M 是边BC 上一点，且CM =4MB ，AM =8√35，则BC 的长为______．16.四棱锥P−ABCD的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥ABCD，PA=√2，则该球的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的各项都是正数，前n项和为S n，且a3=4，S4=S2+12，求：(1)首项a1及公比q的值；(2)若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．18.在如图所示的多面体ABCDE中，AB//DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，BC=√5，F是CD的中点．(Ⅰ)求证AF//平面BCE；(Ⅱ)求多面体ABCDE的体积．19.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y =bx +a ；(附：b ̂=ni=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i2n i=1−nx2)20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√22，P 是C 上的一个动点．当P 是C 的上顶点时，△F 1PF 2的面积为1． (1)求C 的方程；(2)设斜率存在的直线PF 2与C 的另一个交点为Q.若存在点T(t,0)，使得|TP|=|TQ|，求t 的取值范围．21.已知函数f(x)=xe x−ae x−1，且f′(1)=e．(1)求a的值及f(x)的单调区间；(2)若关于x的方程f(x)=kx2−2(k>2)存在两个不相等的正实数根x1，x2，证明：|x1−x2|>ln4．e22.选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，)，将直线l1绕极点O x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为θ=α(0<α<π2个单位得到直线l2．逆时针旋转π3(1)求C和l2的极坐标方程；(2)设直线l1和曲线C交于O,A两点，直线l2和曲线C交于O,B两点，求|OA|+|OB|的最大值．23.已知函数f(x)=|x+1|，(1)解不等式f(x)≥2x+1；(2)∃x∈R，使不等式f(x−2)−f(x+6)<m成立，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查并集及其运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．化简集合A，B，进而利用并集的定义即可求得结果．解：因为A={x|−1<x<1},B={x|−3<x<0},所以A∪B={x|−3<x<1}，故选C．2.答案：C解析：本题主要考查复数的模与四则运算，属于一般题．解析：解：设z=a+bi则|a+(b−1)i|=1，则√a2+(b−1)2=1则x，y满足的关系是.x2+(y−1)2=1故选C．3.答案：A解析：本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．利用诱导公式求得sinα，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．解：若sin(π+α)=23=−sinα，∴sinα=−23，则cos2α=1−2sin2α=1−2×49=19，故选：A．4.答案：C解析：本题考查等比数列的公比的求法，由已知条件利用等比数列的通项公式推导出q2−q−2=0，由此能求出q=−1或q=2.是基础题．解：∵等比数列{a n}满足2a4=a6−a5，∴2a1q3=a1q5−a1q4，整理，得：q2−q−2=0，解得q=−1或q=2．故选C．5.答案：C解析：本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．根据已知中的频率分布直方图，先计算出平均一周使用互联网的时间不少于12小时的频率，进而可得使用互联网的时间不少于12小时的频数．解：一周使用互联网的时间不少于12小时的频率为：0.05×4=0.2，故一周使用互联网的时间不少于12小时的频数为：0.2×100=20．故选C．6.答案：B解析：解：∵a=log123<0，b=ln4>1，c=(13)0.2∈(0,1)．∴a<c<b．故选：B．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：A解析：本题考查了阅读能力、原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件，属中档题．先阅读题意，再由原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件可得解．解：由已知有”在任意等高处的截面面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然相等“的充分不必要条件，结合原命题与其逆否命题的真假可得：“两几何体A 、B 的体积不相等”是“A 、B 在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必要条件， 故选：A ．8.答案：C解析：本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题． 根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案．解：∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD⃗⃗⃗⃗⃗ =32CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由向量加法的平行四边形法则可知，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =32CF ⃗⃗⃗⃗⃗ −32BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λGC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得， GC⃗⃗⃗⃗⃗ =11+λAC⃗⃗⃗⃗⃗ =32(1+λ)(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −CF⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =GC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =32(1+λ)(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CF⃗⃗⃗⃗⃗ =32(1+λ)BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2λ−12(1+λ)CF⃗⃗⃗⃗⃗ ， GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =GC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE⃗⃗⃗⃗⃗ =11+λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =32(1+λ)(BE⃗⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λ−22(1+λ)BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −32(1+λ)CF⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由E ，F ，G 三点共线， 可得−λ−22(1+λ)32(1+λ)=−32(1+λ)2λ−12(1+λ)，解得λ=7或−1(舍去)．2故选C．9.答案：D解析：本题主要考查了异面直线所成的角，属于基础题.设各棱长为2，取BB1的中点E，BC的中点F，连结EF，A1E，A1F，则EF//B1C，A1E//DB，则∠A1EF(或其补角)即为异面直线BD与B1C所成的角，计算出对应线段的长，可得结论；解：设各棱长为2，取BB1的中点E，BC的中点F，如图所示：，连结EF，A1E，A1F，则EF//B1C，A1E//DB，则∠A1EF(或其补角)即为异面直线BD与B1C所成的角，B1C=2√2，EF=√2，A1E=√5，AF=√22+(√3)2=√7，1故A1E2+EF2=A1F2，故A1E⊥EF，故异面直线BD与B1C所成的角为90∘．故选D．10.答案：A解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及函数图象变换，同时考查辅助角公式，属于一般题．将f(x)化简，利用平移法则求出变换以后的函数解析式，然后由正弦函数的性质求解即可．解：因为，所以将y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得到函数的图象，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ个单位长度，得到函数的图象，又得到的图象关于直线x=3π4对称，所以，即，又θ>0，所以当k=1时，θ的最小值为π6．故选A．11.答案：D解析：本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决本题的关键．根据直线和圆相交时的弦长公式结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可．解：∵双曲线的一个焦点为F(c,0)，双曲线的一条渐近线为y=bax，即bx−ay=0，∴焦点到渐近线的距离d=√a2+b2=bcc=b，∵|AF|=|BF|=a，∴|AD|=√AF2−DF2=√a2−b2，则|AB|=2|AD|=2√a2−b2=√2a，平方得2(a2−b2)=a2，a2=2b2，即a2=2(c2−a2)则2c2=3a2，所以e2=c2a2=32，所以e=√62．故选D．12.答案：D解析：解：∵点A(a,b)在y=−x2+3lnx 的图象上，点B(m,n)在y=x+2的图象上，又∵(a−m)2+(b−n)2的几何意义是点A(a,b)与点B(m,n)两点间距离的平方；∴(a−m)2+(b−n)2的几何意义是y=−x2+3lnx的图象上的点与y=x+2的图象上的点的距离的平方；∵y=−x2+3lnx，∴y′=−2x+31x =3−2x2x，(x>0)故y max=−32+32ln32<0，故y=−x2+3lnx的图象始终在y=x+2的图象的下方，令y′=−2x+31x=1得，x=1；此时y=−1+0=−1，故切线方程为y=x−2；y=x−2与y=x+2的距离为4√2=2√2；故(a−m)2+(b−n)2的最小值为(2√2)2=8，故选D．(a−m)2+(b−n)2的几何意义是y=−x2+3lnx的图象上的点与y=x+2的图象上的点的距离的平方；从而求导，求出切线，求平行线间的距离即可．本题考查了导数的综合应用及转化的思想应用，属于中档题．13.答案：−1解析：本题主要考查分段函数求值，属于基础题．解：f(−2)=f(0)=f(2)=2×2−5=−1，故答案为−1．14.答案：4解析：本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．先求出焦点坐标和对应点的坐标，再求出两点间的距离即可．解：抛物线的焦点坐标为(1,0)，横坐标为3的对应点坐标为(3,±√12)，∴PF=√(3−1)2+(±√12)2=4，故答案为4．15.答案：4√7解析：解：过点B作BD//AC，交AM的延长线于点D，如图所示：则△BDM∽△CAM，可得AM=4MD=8√35，即有AD=2√35+8√35=2√3，由∠ABD=180°−120°=60°，可得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cos∠ABD=16+BD2−2×4BD×12=12，解得BD=2，由AB2=AD2+BD2，可得∠ADB=90°，∠BAD=30°，在三角形MAB中，可得MB2=AM2+AB2−2AB⋅AM⋅cos∠BAM=19225+16−2×4×8√35×√32=4√75，则BC=5BM=4√7．故答案为：4√7．过点B作BD//AC，交AM的延长线于点D，可得△BDM∽△CAM，求得AD，分别在三角形ABD和三角形ABM中，运用余弦定理可得BM，BC．本题考查三角形的余弦定理的运用，运用三角形的相似和性质是解题的关键，属于中档题．16.答案：4π3解析：本题考查棱锥的外接球，几何体的扩展，确定四棱锥与扩展的长方体的外接球是同一个，以及正方体的体对角线就是球的直径是解好本题的前提．由题意四棱锥P−ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，求出对角线长，则球的体积可得．解：四棱锥P−ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以R=12√12+12+(√2)2=1，所以球的体积为：4π3×13=4π3．故答案为4π3．17.答案：解：(1)∵a3=4，S4=S2+12，∴a1q2=4，a1q2(q+1)=12，解得a1=1，q=2．(2)由(1)可得：a n=2n−1．∴b n=na n=n⋅2n−1．∴数列{b n}的前n项和T n=1+2×2+3×22+⋯+n⋅2n−1，2T n=2+22+⋯+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，∴−T n=1+2+22+⋯+2n−1−n⋅2n=2n−12−1−n⋅2n，化为：T n=(n−1)⋅2n+1．解析：(1)a3=4，S4=S2+12，可得a1q2=4，a1q2(q+1)=12，解出即可得出．(2)由(1)可得：a n=2n−1.b n=na n=n⋅2n−1.利用错位相减法即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：(Ⅰ)证明：取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=12DE．又AB//DE，且AB=12DE．∴AB//FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP．又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF//平面BCE；(II)解：∵直角梯形ABED的面积为1+22×2=3，C到平面ABED的距离为√32×2=√3，∴四棱锥C−ABED的体积为V=13×3×√3=√3．即多面体ABCDE的体积为√3．解析：(Ⅰ)取CE中点P，连接FP、BP，证明ABPF为平行四边形，可得AF//BP，利用线面平行的判定，可以证明AF//平面BCE；(Ⅱ)求出直角梯形ABED的面积和C到平面ABED的距离，则多面体ABCDE的体积可求．本题考查线面平行，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：解：(1)由题意知本题是一个古典概型，设抽到相邻两个月的数据为事件A试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62=15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种∴P(A)=P(A)=515=13(2)由数据求得x=11,y=24，由公式求得b=187，再由a=y−b x求得a=−307∴y关于x的线性回归方程为y^=187x−307解析：(1)本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．(2)根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．本题考查线性回归方程的求法，考查等可能事件的概率，考查线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，这种题目可以作为解答题出现在高考卷中20.答案：解：(1)∵椭圆的离心率为√22，当P为C的上顶点时，△F1PF2的面积为1．由题意得{ca=√22,12×b×2c=1, b2+c2=a2,∴{a=√2 b=1 c=1,故椭圆C的方程为x22+y2=1．(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，线段PQ的中点为N(x0,y0)，设直线PQ的方程为y=k(x−1)，当k=0时，t=0符合题意，当k≠0时，y=k(x−1)代入x22+y2=1，得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0．则x1+x2=4k21+2k2，∴x0=x1+x22=2k21+2k2，y0=k(x0−1)=−k1+2k2．即N(2k21+2k2,−k1+2k2).∵|TP|=|TQ|，∴直线TN为线段PQ的垂直平分线，∴TN⊥PQ，则k TN·k PQ=−1．所以−k1+2k22k21+2k2−t×k=−1,t=k21+2k2=12+1k2∈(0,12).综上，t的取值范围为[0,12).解析：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．(1)利用椭圆的离心率，三角形的面积的值列出方程，解方程即可求出椭圆方程．(2)设直线PQ的方程为y=k(x−1).联立{x22+y2=1 y=kx−k,得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0.设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，利用韦达定理求出PQ的中点N(x0,y0)，由|TP|=|TQ|，可得直线TN是线段PQ的垂直平分线，由k TN·k QP=−1，建立关于t的函数即可．21.答案：解：(1)解：f′(x)=(1+x)e x−ae x−1，∴f′(1)=2e−a=e，解得：a=e，故f(x)=xe x−e x，f′(x)=xe x，令f′(x)>0，解得：x>0，令f′(x)<0，解得：x<0，∴f(x)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增；(2)证明：方程f(x)=kx2−2，即为(x−1)e x−kx2+2=0，设g(x)=(x−1)e x−kx2+2，g′(x)=x(e x−2k)，令g′(x)>0，解得：x>ln(2k)，令g′(x)<0，解得：0<x<ln(2k)，∴g(x)在(0,ln(2k))递减，在(ln(2k),+∞)递增，由k>2，得ln(2k)>ln4>1，∵g(1)=−k+2<0，∴g(ln(2k))<0，不妨设x1<x2，(其中x1，x2为f(x)的两个不相等的正实数根)，∵g(x)在(0,ln(2k))递减，且g(0)=1>0，g(1)=−k+2<0∴0<x1<1，同理根据函数g(x)在(ln(2k),+∞)上递增，且g(ln(2k))<0，得：x2>ln(2k)>ln4，∴|x1−x2|=x2−x1>ln4−1=ln4e，即：|x1−x2|>ln4e．解析：(1)求出函数的导数，根据f′(1)=e，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为求函数g(x)=(x−1)e x−kx2+2的单调性，得到x1，x2的范围，从而证出结论．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．22.答案：解：(1)将C的参数方程化为普通方程得(x−1)2+(y−√3)2=4，将代入，并化简得C的极坐标方程为．l2的极坐标方程为θ=α+π3(ρ∈R)．(2)依题意可得，即，，即，，因为0<α<π2，所以π3<α+π3<5π6，当α+π3=π2，即时，|OA|+|OB|取得最大值4√3.解析：本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)先将参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程可得C的极坐标方程，由旋转的性质可得l2的极坐标方程；(2)利用极坐标的几何意义，得出A，B坐标，利用三角函数求出最值．23.答案：解：(1)当x+1≥0即x≥−1时，x+1≥2x+1，∴−1≤x≤0；当x+1<0即x<−1时，−x−1≥2x+1，∴x<−1，∴不等式的解集为{x|x≤0}；(2)∵f(x−2)=|x−1|，f(x+6)=|x+7|，∴|x−1|−|x+7|<m，∵∃x∈R，使不等式|x−1|−|x+7|<m成立，∴m>(|x−1|−|x+7|)min，∵|x−1|−|x+7|≥|x−1−x−7|=−8，∴m>−8．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道基础题．(1)通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集即可；(2)得到|x−1|−|x+7|<m，问题转化为求m>(|x−1|−|x+7|)min，求出m的范围即可．。
2020年广东省广州市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年广东省广州市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =( )A. [0,1]B. [−1,2]C. [−1,0]D. (−∞,1]∪[2,+∞)2. 已知i 为虚数单位，若z ·(1+i)=2i ，则|z|=( )A. 2B. √2C. 1D. √223. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sinα,3)，则cosα=( )A. 12B. −12C. √32 D. −√324. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( )A. 1B. −3C. −5D. −65. 已知函数f(x)=x 3+x +1(x ∈R)，若f(a)=2，则f(−a)的值为( )A. 3B. 0C. −1D. −26. 设函数f(x)=sin(2x −π4)，则下列结论正确的是( )A. 函数y =f(x)的递减区间为[−π8,3π8]B. 函数y =f(x)的图象可由y =sin2x 的图象向左平移π8得到 C. 函数y =f(x)的图象的一条对称轴方程为x =π8D. 若x ∈[7π24,π2]，则y =f(x)的取值范围是[√22,1]． 7. 《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”.我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a(0<a <r)，若在圆内随机取点，得到点自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为( )A. a 2(1−p)r 2B. a 2(1+p)r 2C. a(1−p)rD. a(1+p)r8. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面ACC 1A 1(包括边界)上一点，若EF//平面BCC 1B 1，则动点F 的轨迹是( )A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分9. 不等式log 2(x −1)<−1的解集是( )A. {x|x >1}B. {x|x <32}C. {x|1<x <32}D. {x|0<x <32}10. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =√3+1,b =2,A =π3，则B =( )A. 3π4B. π6C. π4D. π4或3π411. 函数f(x)=x 2−7x −4lnx 的最小值为( )A. 3ln3−12B. −4ln2−10C. −8ln2−12D. −8ln2−1612. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 渐近线的垂线，垂足为A ，且交y 轴于B ，若BA⃗⃗⃗⃗⃗ =3AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( ) A. √63B. √32C. 2√33D. √62二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(−1,0)，若向量k a ⃗ +b 与向量c ⃗ =(2,1)共线，则实数k 等于________． 14. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1=1，S 3=3，则S n =______；15. 斜率为√33的直线l 过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，若直线l 与圆(x −2)2+y 2=4相切，则p =________．16. 正四棱锥P −ABCD 的底面边长为2，侧棱长为2√2，过点A 作一个与侧棱PC 垂直的平面α，则平面α被此正四棱锥所截的截面面积为________，平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，a n+1=2+S n (n ∈N ∗).(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AC=AB1，B1C∩BC1=O．(1)求证：B1C⊥AB；(2)若∠CBB1=60°，AC=BC，三棱锥A−BB1C的体积为1，且点A在侧面BB1C1C上的投影为点O，求三棱锥A−BB1C的表面积．19.全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数(百分制)随机抽取了30名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1名女职工的健康指数的数据模糊不清(用x表示)，已知这30名职工的健康指数的平均数为76.2．(1)根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；(2)根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求抽取的2人都是男职工的概率；(3)经计算，样本中男职工健康指数的平均数为81，女职工现有数据(即剔除x)健康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差(结果精确到0.1)．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点(18,0)，求k的取值范围．21.已知函数f(x)=lnx−sinx，记f(x)的导函数为fˈ(x)．−f′(x)是(0,+∞)上的单调递增函数，求实数a的取值范围；(1)若ℎ(x)=ax+1x(2)若x∈(0,2π)，试判断函数f(x)的极值点个数，并说明理由．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cosα,(α为参数).以坐标原点O为极点，y=2+sinαx轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=4．1+3sin2θ(1)写出曲线C1和C2的直角坐标方程；(2)已知P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，切点为A，求|PA|的最大值．23.已知函数f(x)=x2−x+1，且a，b，c∈R．(Ⅰ)若a+b+c=1，求f(a)+f(b)+f(c)的最小值；(Ⅱ)若|x−a|<1，求证：|f(x)−f(a)|<2(|a|+1)．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}=[0,1]，故选：A求出集合B，根据交集定义进行求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：B解析：本题考查复数的模的求法，考查计算能力，是基础题．直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．解：i为虚数单位，复数z满足z·(1+i)=2i，∴|z|=|2i||i+1|=√2=√2，故选B．3.答案：A解析：本题考查任意角的三角函数的定义，利用任意角的定义是解题的关键，属于基础题．根据题意任意角三角函数的定义即可求出．解：由三角函数定义得tanα=32sinα，即sinαcosα=32sinα，得3cosα=2sin2α=2(1−cos2α)，解得cosα=12或cosα=−2(舍去)．4.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3，表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y−9=3x +y ，解得A(−2,−3)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，结合图象可求z 的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z 的几何意义．5.答案：B解析：解：∵f(a)=2∴f(a)=a 3+a +1=2，a 3+a =1，则f(−a)=(−a)3+(−a)+1=−(a 3+a)+1=−1+1=0． 故选：B ．把α和−α分别代入函数式，可得出答案． 本题主要考查函数奇偶性的运用．属基础题．6.答案：D解析：解：对于函数f(x)=sin(2x −π4)， 令2kπ+π2≤2x −π4≤2kπ+3π2(k ∈Z)，解得kπ+3π8≤x ≤kπ+7π8(k ∈Z)，所以函数y =f(x)的递减区间为[kπ+3π8,kπ+7π8](k ∈Z)，故选项A 错误；由于sin(2x −π4)=sin[2(x −π8)]，所以函数y =f(x)的图象是由y =sin2x 的图象向右平移π8得到的，故选项B 错误；。
2020年广东广州高三二模数学试卷(文科)
4. 若实数 ， 满足
A. B. C. D.
，则
的最小值是（ ）．
5. 已知函数 A. B. C. D.
，若
，则
（ ）．
6. 若函数 ）．
的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（
1
y
x
O
A. B. 函数 C. 函数 D. 函数
是函数 图象的一个对称中心
的图象关于直线
对称
在区间
上单调递增
的图象可由
的图像向左平移 个单位得到
，∴
，∵
，
∴
，
∵点 在双曲线上，
∴
即
∵
，
∴
∴
即
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴渐近线方程为
故选 ．
， ，
， ，
，
．
13.
解析:
，
，
11
∵ 与 共线，
∴
，
解得
．
14.
解析:
由题知 是单调递增的等比数列，
，
，
∴
，解得
或
∵ 是单调递增的等比数列，
∴
，，
∴
．
15. 解析: 由题知抛物线 ∴直线 ∵直线 与圆
的焦点为 ，即
20. 已知椭圆
过点
，且离心率为 ．
（ 1 ） 求椭圆 的方程．
（ 2 ） 若斜率为
的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，且线段
，求 的取值范围．
的垂直平分线过点
21. 已知函数 （1） 若 （2） 若
，记 的导函数为 ．
是
2020年广东省高考数学二模试卷(文科)
2020年广东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合{|5217}A x x =-<+<，{|24}B x x =-<<，则(A B =I ) A ．{|34}x x -<<B ．{|24}x x -<<C ．{|33}x x -<<D ．{|23}x x -<<2．（5分）已知复数()(z i a i i =-为虚数单位，)a R ∈，若||z =(a = ) A ．4B ．2C ．2±D ．2-3．（5分）小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为( )A ．13B ．23C ．16D ．124．（5分）若x ，y 满足约束条件303010x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪+⎩„„…，则2z y x =-的最大值是( )A ．9B ．7C ．3D ．65．（5分）《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为( ) A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺6．（5分）一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆，则该圆锥的体积为( ) A．BCD7．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上单调递减，(3)0f -=，则不等式(1)0f x ->的解集为( ) A ．(3,3)-B ．(2,4)-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(4,2)-8．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ．若0FA FB =u u u r u u u rg ，则该双曲线的离心率为( )AB ．2 CD9．（5分）已知数列{}n a 满足1(*)1nn na a n N a +=∈+，且11a =，设1n n nb a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2019(S = ) A ．20182019B ．20192020C ．2019D ．1201910．（5分）把函数()2sin f x x =的图象向右平移3π个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，关于()g t 的说法有：①函数()g x 的图象关于点(,0)3π对称；②函数()g x 的图象的一条对称轴是12x π=-；③函数()g x 在[3π，]2π④函数()[0g x ∈，]π上单调递增，则以上说法正确的个数是( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．（5分）已知椭圆C 的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C 的离心，且112PF F F ⊥，△12PF F，则椭圆C 的方程为( ) A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22142x y +=D ．2214x y += 12．（5分）已知函数21()cos 1()2f x ax x a R =+-∈，若函数()f x 有唯一零点，则a 的取值范围为( ) A ．(,0)-∞ B ．(,0)[1-∞U ，)+∞ C ．(-∞，0][1U ，)+∞ D ．(-∞，1][1-U ，)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。