2013年广州二模数学文科答案详解

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2013广东高考文科数学试题及答案(完美版)

2013广东高考文科数学试卷及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合{}{}22|20,,|20,S x x x x R T x x x x R =+=∈=-=∈，则ST =（）A. {}0B. {}0,2C. {}2,0-D. {}2,0,2-【答案】A ；【解析】由题意知{}0,2S =-，{}0,2T =，故{}0ST =；2. 函数()lg 11x y x +=-的定义域是（）A. ()1,-+∞B. [)1,-+∞C. ()()1,11,-+∞D. [)()1,11,-+∞【答案】C ；【解析】由题意知1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得1x >-且1x ≠，所以定义域为()()1,11,-+∞；3. 若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是（）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】D ；【解析】因为()34i x yi i +=+，所以34xi y i -=+，根据两个复数相等的条件得：3y -=即3y =-，4x =，所以x yi +43i =-，x yi +的模5==；4. 已知51sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos α=（） A. 25-B. 15-C. 15D. 25【答案】C ；【解析】51sin sin()cos ()cos()cos 22225ππππααααα⎛⎫⎡⎤+=+=-+=-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；5. 执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是（）A. 1B. 2C. 4D. 7 【答案】D ；【解析】1i =时，1(11)1s =+-=；2i =时，1(21)2s =+-=；3i =时，2(31)4s =+-=；4i =时，4(41)7s =+-=；图1 图26. 某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是（）A.16 B. 13 C. 23D. 1 【答案】B ；【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2，所以该三棱锥的体积111112323V =⋅⋅⋅⋅=； 7. 垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第Ⅰ象限的直线方程是（）A. 20x y +-=B. 10x y ++=C. 10x y +-=D. 20x y ++= 【答案】A ；【解析】设所求直线为l ，因为l 垂直直线1y x =+，故l 的斜率为1-，设直线l 的方程为y x b =-+，化为一般式为0x y b +-=；因为l 与圆相切221x y +=相切，所以圆心(0,0)到直线l 的距离12b -==，所以2b =±，又因为相切与第一象限，所以0b >，故2b =，所以l 的方程为20x y +-=；8. 设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若//,//l l αβ，则//αβB. 若,l l αβ⊥⊥，则//αβC. 若,//l l αβ⊥，则αβ//D. 若,l αβα⊥//，则l β⊥ 【答案】B ；【解析】若α与β相交，且l 平行于交线，则也符合A ，显然A 错；若,//l l αβ⊥，则αβ⊥，故C 错；,l αβα⊥//，若l 平行交线，则//l β，故D 错； 9. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，离心率等于12，则C 的方程是（） A. 22134x y += B. 2214x = C. 22142x y += D. 22143x y +=【答案】D ；【解析】由焦点可知()1,0F 可知椭圆焦点在x 轴上，由题意知11,2c c a ==，所以2,a b ===，故椭圆标准方程为22143x y +=； 10. 设a 是已知的平面向量且0a ≠，关于向量a 的分解，有如下四个命题：① 给定向量b ，总存在向量c ，使a b c =+；② 给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+；③ 给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+； ④ 给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a b c λμ=+.上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D ；【解析】因为单位向量（模为1的向量，方向不确定）和一个不为零的实数可以表示任何一个向量，由题意可知A,B,C,D 均正确；二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11~13题）11. 设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234a a a a +++=____________；【答案】15；【解析】由题意知11a =，22a =-，34a =，48a =-，所以；1234a a a a +++124815=+++=；12. 若曲线2ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴，则a =_____________；【答案】12；【解析】因为2ln y ax x =-，所以12y ax x'=-，因为曲线2ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴，所以1210x y a ='=-=，所以12a =；13. 已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值是_____________；【答案】5；【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为(1,1),(1,2),(1,1),(1,4)--，代入可知z 的最大值为145z =+=；（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为___________________；【答案】22(1)1x y -+=；【解析】因为曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=；所以2cos 2cos1cos2x ρθθθ===+① ，sin 2sin cos sin 2y ρθθθθ===②；①可变形得：cos 21x θ=-③，②可变形得：sin 2y θ=；由22sin 2cos 21θθ+=得：22(1)1x y -+=；15. （几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD 中，3AB =，3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED =___________；【答案】212；【解析】因为在矩形ABCD 中，3AB =，3BC =，BE AC ⊥，所以030BCA ∠=，所以03cos3032CE CB =⋅=；在CDE 中，因为060ECD ∠=，由余弦定理得： ()22222033331212cos603232224DE CE CD CE CD ⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭，所以212CD =；三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明和演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.（1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若3cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【答案与解析】（1）133124f ππππ⎛⎫⎛⎫=-===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）因为3cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5θ==-；cos cos sin sin 6612333f ππππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭314525210=⨯-⨯=⎭；17. （本小题满分12分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[)90,95的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个，其中重量在[)80,85的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[)80,85和[)95,100中各有一个的概率；【答案与解析】（1）重量在[)90,95的频率200.450==；（2）若采用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个，则重量在[)80,85的个数541515=⨯=+；（3）设在[)80,85中抽取的一个苹果为x ，在[)95,100中抽取的三个苹果分别为,,a b c ，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(,),(,),(,),(,),(,),(,)x a x b x c a b a c b c 6种情况，其中符合“重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”的情况共有(,),(,),(,)x a x b x c 种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”为事件A ，则事件A 的概率31()62P A ==； 18. （本小题满分14分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G . 将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中22BC =. （1）证明：DE BCF //平面；（2）证明：CF ABF ⊥平面；（3）当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.图4 图5（1）证明：在图4中，因为ABC 是等边三角形，且AD AE =，所以AD AEAB AC=，//DE BC ；在图5中，因为//DG BF ，//GE FC ，所以平面DGE //平面BCF ，所以DE BCF //平面；（2）证明：在图4中，因为因为ABC 是等边三角形，且F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥；在图5中，因为在BFC 中，1,22BF FC BC ===，所以222BF FC BC +=，BF CF ⊥，又因为AF CF ⊥，所以CF ABF ⊥平面；（3）因为,AF CF AF BF ⊥⊥，所以AF ⊥平面BCF ，又因为平面DGE //平面BCF ，所以AF ⊥平面DGE；所以11111113323233F DEG DGEV SFG DG GE FG -=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=； 19. （本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2*1441,n n S a n n N +=--∈，且2514,,a a a 构成等比数列；（1）证明：2a =（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<. （1）证明：因为2*1441,n n S a n n N +=--∈，令1n =，则212441S a =--，即22145a a =+，所以2a =（2）当2n ≥时，()()221144441411n n n n n a S S a n a n -+⎡⎤=-=------⎣⎦2214n n a a +=--，所以221(2)n n a a +=+，因为{}n a 各项均为正数，所以12n n a a +=+；因为2514,,a a a 构成等比数列，所以22145a a a ⋅=，即2222(24)(6)aa a +=+，解得23a =，因为2a =11a =， 212a a =+ ，符合12n n a a +=+，所以12n n a a +=+对1n =也符合，所以数列{}n a 是一个以11a =为首项，2d =为公差的等差数列，1(1)221n a n n =+-⋅=-；（3）因为111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==-+--+，所以12231111111111111()()()21323522121n n a a a a a a n n ++++=-+-+⋅⋅⋅+--+ 111111111112133521212121212n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅-=-=< ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭；所以对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<. 20. （本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2. 设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点.（1）求抛物线C 的方程；（2）当点()00,P x y 为直线l上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l上移动时，求AF BF ⋅的最小值. 【答案与解析】（1）因为抛物线焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2所以d ==，又因为0c >，所以解得1c =，抛物线的焦点坐标为(0,1)，所以抛物线C 的方程为24x y =；（2）因为抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '=，设过()00,P x y 点的切线l '与抛物线的切点坐标为21(,)4m m ，所以直线l '的斜率2001142y m k m x m-==-，解得10m x =20m x=-A 点坐标为2111(,)4m m ，B 点坐标为2221(,)4m m ==0=>，所以12m m ≠；221212012111144()42AB m m k m m x m m -==+=-；所以直线AB 的方程为210111()42y m x x m -=-，代入整理得：012y x =；（3）A 点坐标为2111(,)4m m ，B 点坐标为2221(,)4m m ，F 点坐标为()0,1，因为0020x y --=；所以100m x x ==，200m x x ==，1202m m x +=，12048m m x =-；因此AF BF ⋅=()2222222212121212121211111111()1()2144164164m m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++=+++=++-+ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭()22220000001139(48)22(48)12692()16422x x x x x x ⎡⎤=-+--+=-+=-+⎣⎦，所以当032x =时，AF BF ⋅取最小值92；21. 设函数()()32f x x kx x k R =-+∈.（1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0k <时，求函数在[,]k k -上的最小值m 和最大值M . 【答案与解析】（1）因为()32f x x kx x =-+，所以2()321f x x kx '=-+；当1k =时，2212()3213()033f x x x x =-+=-+>，所以()f x 在R 上单调递增；（2）因为2()321f x x kx '=-+，22(2)4314(3)k k ∆=--⨯⨯=-；① 当0∆≤时，即0k ≤<时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增，此时无最小值和最大值；② 当0∆>时，即k <令()0f x '=，解得x ==或x ==；令()0f x '>，解得x <或3k x >；令()0f x '<，解得33k k x +<<；因为0k <=<-23kk >=>作()f x的最值表如下：。

2013年广东文科数学高考模拟试题10份(含详细答案)1

俯视图侧视图正视图2013届广东高考数学（文科）模拟试题（一）满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，则=z （）A 、2i -B 、12i +C 、12i -+D 、12i --2、集合2{|20}A x x x =-≤，{|lg(1)}B x y x ==-，则A B 等于（）A 、{|01}x x <≤B 、{|12}x x ≤<C 、{|12}x x <≤D 、{|01}x x ≤<3、已知向量,a b 满足||1,||2,1a b a b ==⋅=,则a 与b 的夹角为 ( ) A 、3π B 、34π C 、4π D 、6π 4、函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（）5、已知x ，y 满足不等式组22y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值与最小值的比值为（）A 、12 B 、2 6 A 、1275 B 、C 、1225 D 、1326 7、已知x 、y ） A 、1.30 B 、1.45 C 、1.65 D 、1.808、已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（）A 、1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、(1,)+∞C 、(1,2)D 、1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭9、若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A 、B 、10(1,)n n n N *>∈个点，相应的图案中总的点数记为n a ，则23344520122013a a a a ++=（） A 、20102011 B 、20112012 C 、20122013 D 、20132012二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

2013年高考文科数学广东卷word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类(广东卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013广东，文1)设集合S ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，T ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则S ∩T ＝( )．A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2} 答案：A解析：∵S ＝{－2,0}，T ＝{0,2}，∴S ∩T ＝{0}． 2．(2013广东，文2)函数lg 11x y x (+)=-的定义域是( )． A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞) 答案：C解析：要使函数有意义，则10,10,x x +>⎧⎨-≠⎩解得x ＞－1且x ≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．3．(2013广东，文3)若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：D解析：∵i(x ＋y i)＝－y ＋x i ＝3＋4i ， ∴4,3.x y =⎧⎨=-⎩∴x ＋y i ＝4－3i.∴|x ＋y i| 5. 4．(2013广东，文4)已知5π1sin 25α⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos α＝( )． A ．25- B ．15- C ．15 D ．25答案：C解析：∵5ππsin sin 2π22αα⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos α＝15，∴cos α＝15.5．(2013广东，文5)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是( )．A ．1B ．2C ．4D ．7 答案：C解析：i ＝1，s ＝1，i ≤3，s ＝1＋0＝1，i ＝2； i ≤3，s ＝1＋1＝2，i ＝3； i ≤3，s ＝2＋2＝4，i ＝4；i ＞3，s ＝4.6．(2013广东，文6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )．A ．16 B ．13 C ．23D ．1 答案：B解析：由俯视图知底面为直角三角形，又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是1，且三棱锥的高为2，故V 三棱锥＝13×12×1×1×2＝13.7．(2013广东，文7)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )．A ．x ＋y ＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＝0 答案：A解析：由于所求切线垂直于直线y ＝x ＋1，可设所求切线方程为x ＋y ＋m＝0.1=，解得m =.又由于与圆相切于第Ⅰ象限，则m =.8．(2013广东，文8)设l 为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )．A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β 答案：B解析：如图，在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，对于A ，设l 为AA 1，平面B 1BCC 1，平面DCC 1D 1为α，β. A 1A ∥平面B 1BCC 1，A 1A ∥平面DCC 1D 1，而平面B 1BCC 1∩平面DCC 1D 1＝C 1C ；对于C ，设l 为A 1A ，平面ABCD 为α，平面DCC 1D 1为β.A 1A ⊥平面ABCD ， A 1A ∥平面DCC 1D 1，而平面ABCD ∩平面DCC 1D 1＝DC ；对于D ，设平面A 1ABB 1为α，平面ABCD 为β，直线D 1C 1为l ，平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ，D 1C 1∥平面A 1ABB 1，而D 1C 1∥平面ABCD ．故A ，C ，D 都是错误的．而对于B ，根据垂直于同一直线的两平面平行，知B 正确．9．(2013广东，文9)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )． A ．22134x y += B ．2214x += C ．22142x y += D ．22143x y += 答案：D解析：由中心在原点的椭圆C 的右焦点F (1,0)知，c ＝1.又离心率等于12，则12ca=，得a＝2.由b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的方程为221 43x y+=.10．(2013广东，文10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4答案：B解析：对于①，由向量加法的三角形法则知正确；对于②，由平面向量基本定理知正确；对于③，以a的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb有交点，这个不一定能满足，故③不正确；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必须|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|，故④不正确．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．(一)必做题(11～13题)11．(2013广东，文11)设数列{a n}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝__________.答案：15解析：由数列{a n}首项为1，公比q＝－2，则a n＝(－2)n－1，a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15.12．(2013广东，文12)若曲线y＝ax2－ln x在(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝__________.答案：1 2解析：由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y′＝2ax－1x及导数的几何意义得y′|x＝1＝2a－1＝0，解得a＝1 2.13．(2013广东，文13)已知变量x，y满足约束条件30,11,1,x yxy-+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩则z＝x＋y的最大值是__________．答案：5解析：由线性约束条件画出可行域如下图，平移直线l0，当l过点A(1,4)，即当x＝1，y＝4时，z max＝5.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(2013广东，文14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为__________．答案：1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)解析：由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θ知以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系知曲线C 是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，其方程为(x －1)2＋y 2＝1，故参数方程为1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)．15．(2013广东，文15)(几何证明选讲选做题)如图，在矩形ABCD 中，AB ，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝__________.答案：2解析：在Rt △ABC 中，AB ，BC ＝3，tan ∠BAC ＝BCAB=则∠BAC ＝60°，AE ＝12AB 在△AED 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3， ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD cos ∠EAD＝22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＋32－2×2×3×cos 30°＝34＋9－23＝214.∴ED.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(2013广东，文16)(本小题满分12分)已知函数π()12f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，x∈R.(1)求π3f⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，求π6fθ⎛⎫-⎪⎝⎭.解：(1)ππππ1 33124f⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)∵cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，sin θ＝45 =-，∴ππ64fθθ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1 cos cos sin sin445θθ⎫+=-⎪⎭.17．(2013广东，文17)(本小题满分12分)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：(1)(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．解：(1)苹果的重量在[90,95)的频率为2050＝0.4；(2)重量在[80,85)的有4×5515+＝1个；(3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[95,100)分段的为2,3,4，从中任取两个，可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．任取2个，重量在[80,85)和[95,100)中各有1个记为事件A，则事件A包含有(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3种，所以P(A)＝3162=.18．(2013广东，文18)(本小题满分14分)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC.图(1)图(2)(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ； (3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG . (1)证明：在等边三角形ABC 中， ∵AD ＝AE ，∴AD AEDB EC=. 又AD AEDB EC=，在折叠后的三棱锥A －BCF 中也成立， ∴DE ∥BC ．∵DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴DE ∥平面BCF .(2)证明：在等边三角形ABC 中，∵F 是BC 的中点，BC ＝1，∴AF ⊥CF ，BF ＝CF ＝12. ∵在三棱锥A －BCF 中，BC＝2， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2.∴CF ⊥BF . ∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .(3)解：由(1)可知GE ∥CF ，结合(2)可得GE ⊥平面DFG . ∴V F －DEG ＝V E －DFG ＝13×12·DG ·FG ·GE＝11111323323324⎛⨯⨯⨯⨯⨯= ⎝⎭. 19．(2013广东，文19)(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a n ＋12－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：2a =(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<.(1)证明：当n ＝1时，4a 1＝a 22－5，∴a 22＝4a 1＋5. ∵a n ＞0，∴2a =(2)解：当n ≥2时，4S n －1＝a n 2－4(n －1)－1，① 4S n ＝a n ＋12－4n －1，②由②－①，得4a n ＝4S n －4S n －1＝a n ＋12－a n 2－4， ∴a n ＋12＝a n 2＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴当n ≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 52＝a 2·a 14，(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3. 由(1)可知，4a 1＝a 22－5＝4，∴a 1＝1. ∵a 2－a 1＝3－1＝2，∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(3)证明：12231111n n a a a a a a ++++＝11111335572121n n ++++⨯⨯⨯(-)⋅(+) ＝1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝11112212n ⎛⎫⨯-< ⎪+⎝⎭. 20．(2013广东，文20)(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为2.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解：(1)依题意d ==c ＝1(负根舍去)． ∴抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由x 2＝4y ，即y ＝14x 2，得y ′＝12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线P A 的方程为y －y 1＝12x (x －x 1)，即y ＝12x x ＋y 1－12x 12. ∵y 1＝14x 12，∴y ＝12x x －y 1.∵点P (x 0，y 0)在切线P A 上，∴y 0＝12x x 0－y 1.① 同理，y 0＝22xx 0－y 2.②综合①，②得，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标都满足方程y 0＝2xx 0－y . ∵经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y 0＝2xx 0－y ，即x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， ∴|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1) ＝y 1＋y 2＋y 1y 2＋1.联立2004,220,x y x x y y ⎧=⎨--=⎩消去x 得y 2＋(2y 0－x 02)y ＋y 02＝0， ∴y 1＋y 2＝x 02－2y 0，y 1y 2＝y 02.∵点P (x 0，y 0)在直线l 上，∴x 0－y 0－2＝0. ∴|AF |·|BF |＝x 02－2y 0＋y 02＋1 ＝y 02－2y 0＋(y 0＋2)2＋1＝2y 02＋2y 0＋5＝2019222y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.∴当y 0＝12-时，|AF |·|BF |取得最小值为92.21．(2013广东，文21)(本小题满分14分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ＜0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M .解：f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1， (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，Δ＝4－12＝－8＜0， ∴f ′(x )＞0，即f (x )的单调递增区间为R .(2)(方法一)当k ＜0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴3kx =，且过(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k k -≤0，即k ＜0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．从而当x ＝k 时，f (x )取得最小值m ＝f (k )＝k ；当x ＝－k 时，f (x )取得最大值M ＝f (－k )＝－k 3－k 3－k ＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12＝4(k k -＞0，即k ＜令f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1＝0，解得：13k x =，23k x =，注意到k ＜x 2＜x 1＜0.(注：可用韦达定理判断x 1·x 2＝13，x 1＋x 2＝23k＞k ，从而k ＜x 2＜x 1＜0；或者由对称结合图象判断)∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}． ∵f (x 1)－f (k )＝x 13－kx 12＋x 1－k＝(x 1－k )(x 12＋1)＞0， ∴f (x )的最小值m ＝f (k )＝k .∵f (x 2)－f (－k )＝x 23－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]＜0，∴f (x )的最大值M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上所述，当k ＜0时，f (x )的最小值m ＝f (k )＝k ，最大值M ＝f (－k )＝－2k 3－k . (方法2)当k ＜0时，对∀x ∈[k ，－k ]，都有f (x )－f (k )＝x 3－kx 2＋x －k 3＋k 3－k ＝(x 2＋1)(x －k )≥0，故f (x )≥f (k )．f (x )－f (－k )＝x 3－kx 2＋x ＋k 3＋k 3＋k ＝(x ＋k )(x 2－2kx ＋2k 2＋1)＝(x ＋k )[(x －k )2＋k 2＋1]≤0. 故f (x )≤f (－k )．∵f (k )＝k ＜0，f (－k )＝－2k 3－k ＞0， ∴f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k ，f (x )min ＝f (k )＝k .。

2013年高考文科数学广东卷-答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(文科)答案解析一、选择题 1.【答案】A【解析】由题意知{0,2}S =-，{0,2}T =，故{0}S T =I ，故选A ．【提示】先求一元二次方程的根，再用列举法求交集元素．【考点】集合的交集运算． 2.【答案】C【解析】由题意知1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得1x >-且1x ≠，所以定义域为(1,1)(1,)-+∞U 【提示】从函数有意义的角度分析求解定义域，再由各个集合的交集得出定义域．【考点】函数的定义域和集合的交集运算． 3.【答案】D【解析】因为i(i)34i x y +=+，所以i 34i x y -=+，根据两个复数相等的条件得：3y -=即3y =-，4x =，所以x yi +43i =-，i x y +的模5=；【提示】通过等式两边增添、通分等手段化简求出复数的代数形式，进而求出复数的模．【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2，所以该三棱锥的体积111112323V ==g ggg；【提示】由三视图还原出直观图，根据“长对正、高对齐、宽相等”寻找出三棱锥的相关数据，代入棱锥的体积公式进行计算．【考点】平面图形的三视图的和棱锥的体积． 7.【答案】A【解析】设所求直线为l ，因为l 垂直直线1y x =+，故l 的斜率为1-，设直线l 的方程为y x b =-+，化为一般式为0x y b +-=；因为l 与圆相切221x y +=相切，所以圆心(0,0)到直线l 的距离1==，所以b =0b >，故b ，所以l 的方程为0x y +=；【提示】给定所求直线与已知直线垂直和已知圆相切的位置关系，利用待定系数法求出直线方程，再利用数形结合法对所求参数值进行取舍．【考点】直线与圆的位置关系，直线的方程． 8.【答案】B【解析】若α与β相交，且l 平行于交线，则也符合A ，显然A 错；若l l αβ⊥，∥，则αβ⊥，故C 错；l αβα⊥，∥，若l 平行交线，则l β∥，故D 错；【提示】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系．【考点】空间中直线、平面之间的位置关系．9.【答案】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系．【解析】由焦点可知(1,0F ）可知椭圆焦点在x 轴上，由题意知1c =，12ca =，所以2a b ===，故椭圆标准方程为22143x y +=；【提示】给定椭圆的离心率和焦点，求出各参数从而确定其标准方程．【考点】椭圆的标准方程和椭圆的几何性质． 10.【答案】C【解析】对于①，若向量a ，b 确定，因为a b -是确定的，故总存在向量c ，满足c a b =-，即a b c =+，故正确．对于②，因为c 和b 不共线，由平面向量基本定理可知，总存在唯一的一对实数λ，μ，满足a b c λμ=+，故正确；对于③，如果a b c λμ=+，则以||a ，||b λ，||c μ为三边长可以构成一个三角形，如果单位向量b 和正数μ确定，则一定存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+，故正确；对于④，如果给定的正数λ和μ不能满足“以||a ，||b λ，||c μ为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b 和c 就不存在，故错误．因此选C【提示】给定某些向量，利用平行四边形或三角形法则及平面向量基本定理来进行判断．【考点】平面向量基本定理．二、填空题 11.【答案】15【解析】由题意知11a =，22a =-，34a =，48a =-，所以；1234a a a a +++124815=+++=；【解析】因为2ln y ax x =-，所以12y ax x'=-，因为曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，所以1210x y a ='=-=，所以12a =；【提示】给定曲线上某点切线在坐标轴上的位置关系，利用该点导数的几何意义求解原方程，从而求出待定系数．【考点】曲线的切线与导数的联系，导数的几何意义． 13.【答案】5【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为(1,1)-，(1,2)-，(1,1)，(1,4)代入可知z 的最大值为145z =+=；【提示】画出线性约束条件表示的平面区域，用图解法求最值．【考点】线性规划问题的最值求解． 14.【答案】cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数）【解析】因为曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=；所以2cos 2cos 1cos2x ρθθθ===+①，sin 2sin cos sin 2y ρθθθθ===②；①可变形得：cos21x θ=-③，②可变形得：sin 2y θ=；由22sin 2cos 21θθ+=得：22(1)1x y -+=；【解析】因为在矩形ABCD 中，AB =，3BC =，BE AC ⊥，所以30BCA ∠=︒，所以cos30CE CB =︒=g CDE △中，因为60ECD ∠=︒，由余弦定理得： 2222021212cos60224DE CE CD CE CD =+-=+-=⎝⎭g g g ，所以CD ；（2）因为3cos 5θ=，3π,2π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5θ=-； ππππππcos cos sin sin 6612333f θθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭314525⨯-=⎭；（2）若采用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，则重量在[80,85)的个数541515=⨯=+；（3）设在[80,85)中抽取的一个苹果为x ，在[95,100)中抽取的三个苹果分别为a b c ，，，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(,)x a ，(,)x b ，(,)x c ，(,)a b ，(,)a c ，(,)b c 66种情况，其中符合“重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”的情况共有(,)x a ，(,)x b ，(,)x c 种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”为事件A ，则事件A 的概率31()62P A ==；【提示】由频数分布表找出相应范围内的频数，由分层抽样确定在某范围内的个体数目，用列举法求解古典图5中，因为DG BF ∥，//GE FC ，所以平面DGE ∥平面BCF ，所以DE BCF ∥平面；（2）证明：在图4中，因为因为ABC 是等边三角形，且F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥；在图5中，因为在BFC △中，12BF FC BC ===，，所以222BF FC BC +=，BF CF ⊥，又因为AF CF ⊥，所以CF ABF ⊥平面（3）因为AF CF AF BF ⊥⊥，，所以AF ⊥平面BCF ，又因为平面DGE ∥平面BCF ，所以AF ⊥平面DGE ；所以11111113323233F DEG DGE V S FG DG GE FG -====g g g g g g g g g △；【提示】通过折叠问题来分析折叠前后变化的元素和不变化的元素，从而得出线面平行或垂直关系以及三（2）当2n ≥时，2211444(41)4(1)1n n n n n a S S a n a n -+⎡⎤=-=------⎣⎦2214n n a a +=--，所以221(2)n n a a +=+，因为{}n a 各项均为正数，所以12n n a a +=+；因为2a ，5a ，14a 构成等比数列，所以22145a a a =g ，即2222(24)(6)a a a +=+，解得23a =，因为2a =，所以11a =，212a a =+，符合12n n a a +=+，所以12n n a a +=+对1n =也符合，所以数列{}n a 是一个以11a =为首项，2d =为公差的等差数列，1(1)221n a n n =+-=-g；（3）因为111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪+--+⎝⎭，所以1223111111111111121323522121n n a a a a a a n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 111111111112133521212121212n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅-=-=< ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭；所以对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<L ．【提示】把等式、不等式、等差数列和等比数列等知识结合在一起来考查，考查了递推公式、等比中项、等差数列的概念和通项公式，会用列项相消法求数列的前n 项和，放缩法证明不等式的知识．【考点】等差数列、等比数列的定义及应用，函数与方程的思想以及不等式的证明．所以2d=，又因为0c>，所以解得1c=，抛物线的焦点坐标为(0,1)，所以抛物线C的方程为24x y=；（2）因为抛物线的方程为24x y=，即214y x=，所以12y x'=，设过00(,)P x y点的切线l'与抛物线的切点坐标为21,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线l'的斜率210412y mk mx m-==-，解得10m x=+或20m x=；不妨设A点坐标为2111,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，B点坐标为2221,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，==>，所以12m m≠；221112441201211()42ABm mk m m xm m-==+=-；所以直线AB的方程为210111()42y m x x m-=-，代入整理得：12y x=；（3）A点坐标为2111,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，B点坐标为2221,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，F点坐标为(0,1)，因为0020x y--=；所以10m x x=+=+200m x x==，1202m mx+=，12048m mx=-；因此=||AF BFg22222222121212121212 11111111()1()[()2]1 44164164m m m m m m m m m m m m⎛⎫⎛⎫=++=+++=++-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭22220000001139(48)[(2)2(48)]1269216422x x x x x x⎛⎫=-+--+=-+=-+⎪⎝⎭，所以当32x=时，||||AF BFg取最小值92；【提示】由点到直线的距离公式建立关于c的方程，从而确定c并写出抛物线的标准方程；设出点坐标并求出切线方程从而得到所求直线方程；利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，建立关于y的目标函数，从而确定函数的最小值．【考点】点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，抛物线的定义和标准方程，导数的几何意义，直线与抛物线的交点，二次函数的最值以及待定系数法的应用．①当0∆≤时，即0k <时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增，此时无最小值和最大值；②当0∆>时，即k <时，令()0f x '=，解得x =或x =()0f x '>，解得x <或x ；令()0f x '<，解得x <0k <=<-23kk >=>作()f x 的最值表如下：【提示】由抛物线与直线方程的位置关系来求解方程，通过导数来求函数及函数的单调区间；对于导数中含有未知数，需要讨论判别式∆的符号，然后比较区间端点的函数值与极值的大小从而确定最值．【考点】导数的计算和导数在研究函数中的应用，利用导数来求函数的单调区间和最值．。

2013年高考文科数学广东卷-答案

11 2 3

1 5

1 2
1 2n 1

1 2n 1

1 2

1/7
所以该三棱锥的体积V 1 1 1 1 2 1 ；
32
3
【提示】由三视图还原出直观图，根据“长对正、高对齐、宽相等”寻找出三棱锥的相关数据，代入棱锥的
体积公式进行计算．
【考点】平面图形的三视图的和棱锥的体积．
7.【答案】A
【解析】设所求直线为 l ，因为 l 垂直直线 y x 1，故 l 的斜率为 1，设直线 l 的方程为 y x b ，化为一般式为 x y b 0 ；因为 l 与圆相切 x2 y2 1 相切，所以圆心 (0,0) 到直线 l 的距离 | b | 1 ，所以
【考点】椭圆的标准方程和椭圆的几何性质．
10.【答案】C
【解析】对于①，若向量 a ， b 确定，因为 a b 是确定的，故总存在向量 c ，满足 c a b ，即 a b c ，
故正确．
对于②，因为 c 和 b 不共线，由平面向量基本定理可知，总存在唯一的一对实数，，满足 a b c ，
2
b 2 ，又因为相切与第一象限，所以 b 0 ，故 b 2 ，所以 l 的方程为 x y 2 0 ；
【提示】给定所求直线与已知直线垂直和已知圆相切的位置关系，利用待定系数法求出直线方程，再利用数
形结合法对所求参数值进行取舍．
【考点】直线与圆的位置关系，直线的方程．
8.【答案】B
9.【答案】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系．
【解析】由焦点可知
F
(1,

2013广东高考数学文科试题及解析

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费玲珑3D 画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T = A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}- 2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．255．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是图 1A ．1B ．2C ．4D ．7 6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是图 2俯视图侧视图正视图A ．16 B ．13 C ．23D ．1 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是 A ．0x y += B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=8．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 10．设 a 是已知的平面向量且≠0 a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量 b ，总存在向量 c ，使=+a b c ；②给定向量 b 和 c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量 b 和正数μ，总存在单位向量 c 和实数λ，使λμ=+a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量 b ， c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= 12．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ．13．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z x y =+的最大值是．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．图 3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？ (3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中2BC =． (1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ； (3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．图 419．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列． (1) 证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< ．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．21．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ,()'2321f x x kx =-+参考答案一、选择题 1．A 由题意知{}0,2S=-，{}0,2T =，故{}0S T = ；2．C 由题意知1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得1x >-且1x ≠，所以定义域为()()1,11,-+∞ ；3．D 因为()34ix yi i +=+，所以34xi y i -=+，根据两个复数相等的条件得：3y -=即3y =-，4x =，所以x yi +43i =-，x yi +的模5==；4．C 51sin sin()cos ()cos()cos 22225ππππααααα⎛⎫⎡⎤+=+=-+=-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；5．C ；1i =时，1(11)1s =+-=；2i =时，1(21)2s =+-=；3i =时，2(31)4s =+-=； 6．B 由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2，所以该三棱锥的体积111112323V =⋅⋅⋅⋅=； 7．A 设所求直线为l ，因为l 垂直直线1y x =+，故l 的斜率为1-，设直线l 的方程为y x b =-+，化为一般式为0x y b +-=；因为l 与圆相切221x y +=相切，所以圆心(0,0)到直线l 的距离1==，所以b =为相切与第一象限，所以0b >，故b =l 的方程为0x y +=；8．B 若α与β相交，且l 平行于交线，则也符合A ，显然A 错；若,//l l αβ⊥，则αβ⊥，故C 错；,l αβα⊥//，若l 平行交线，则//l β，故D 错；9．D 由焦点可知()1,0F可知椭圆焦点在x 轴上，由题意知11,2c c a ==，所以2,a b ===准方程为22143x y += 10．B ①②容易判断是对的，③给定单位向量b 和正数μ，可知b λ 的方向确定，c μ的模确定，如图，若c AB μ< ，则等式不能成立；④给定正数λ和μ，则b λ 和c μ的模确定，若b c a λμ+< ，则等式不成立。

2013年高考文科数学广东卷-答案

2013届广州市高三年级调研测试数学(文科)试题及参考答案详解

广州市2013届高三年级调研测试数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数1+i （i 为虚数单位）的模等于AB ．1 CD ．122．已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B AA ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{ 3．已知函数()2030x x x fx x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．9B ．19 C ．9- D ．19- 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为A ．56B ．42C ．28D ．145．已知e 为自然对数的底数，函数y x =e x的单调递增区间是A . )1,⎡-+∞⎣B ．(1,⎤-∞-⎦C ．)1,⎡+∞⎣D ．(1,⎤-∞⎦ 6．设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．n m n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα 7．如图1，程序结束输出s 的值是A ．30B ．55C ．91D ．140 8．已知函数()()212fx x x cos cos =-⋅，x ∈R ，则()f x 是A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数图29．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b +=表示焦点在x轴上且离心率小于2的椭圆的概率为 A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 10．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+都成立，则实数a 的取值范围是A. 17,⎡⎤-⎣⎦B. (3,⎤-∞⎦C. (7,⎤-∞⎦D. ()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二．填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题） 11．已知()fx 是奇函数, ()()4g x f x =+, ()12g =, 则()1f -的值是 .12．已知向量a ，b 都是单位向量，且 a b 12=，则2-a b 的值为 . 13．设x x f cos )(1=，定义)(1x f n +为)(x f n 的导数，即)(' )(1x f x f n n =+，n ∈N *，若ABC ∆的内角A 满足1220130f A f A f A ()()()+++= ，则sin A 的值是 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图2，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是 . 15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 .侧视D CBAP 图5图4图3625x 0611y 11988967乙甲三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数2f x x x ()sin sin π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （1）求函数)(x f y =的单调递增区间；（2）若43f ()πα-=，求)42(πα+f 的值. 17．（本小题满分12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. （1）求x 和y 的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差2s ；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.参考公式：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12nx x x x n+++= .18．(本小题满分14分)已知四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图4、图5 分别是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图. （1）求证：AD PC ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积.19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T .20.（本小题满分14分）已知()fx 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，且()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行. （1）求()fx 的解析式；（2）是否存在t ∈N *，使得方程()370fx x+=在区间()1t t ,+内有两个不等的实数根？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合,椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ,53PF =. (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 若过点()1,0A -的直线与椭圆1C 相交于M 、N 两点，求使FM FN FR +=成立的动点R 的轨迹方程；(2) 若点R 满足条件（2），点T 是圆()2211x y -+=上的动点，求RT 的最大值.2013届广州市高三年级调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．2 12.13. 1 14. 15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质、同角三角函数的基本关系、二倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) （1）解：2f x x x ()sin sin π⎛⎫=-+⎪⎝⎭x x cos sin =+ …………… 1分22x x sin cos ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭4x sin π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …………… 3分由22242k x k ,πππππ-+≤+≤+ …………… 4分解得32244k x k k ,ππππ-+≤≤+∈Z . …………… 5分∴)(x f y =的单调递增区间是32244k k k [,],ππππ-++∈Z . ………… 6分（2）解：由（1）可知)4sin(2 )(π+=x x f ，∴43f ()sin παα-==，得13sin α=. …………… 8分∴)42(πα+f =22sin πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ …………… 9分2cos α= …………… 10分()212sin α=- …………… 11分9=…………… 12分 17．（本小题满分12分）(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：∵甲班学生的平均分是85，∴92968080857978857x +++++++=. …………… 1分∴5x =. …………… 2分∵乙班学生成绩的中位数是83，∴3y =. …………… 3分（2）解：甲班7位学生成绩的方差为2s ()()()22222221675007117⎡⎤=-+-+-++++⎢⎥⎣⎦40=. …… 5分（3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ， …………… 6分乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E . …………… 7分从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A D ()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E . …………… 9分其中甲班至少有一名学生共有7种情况：()()(),,,,,,A B A C A D()()()(),,,,,,,A E B C B D B E . ……………11分FE D CBAP记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M ，则()710P M =. 答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为710. ……………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：依题意，可知点P 在平面ABCD 上的正射影是线段CD 的中点E ，连接PE ，则PE ⊥平面ABCD . …………… 2分 ∵AD ⊂平面ABCD ，∴AD PE ⊥. …………… 3分 ∵AD CD ⊥，CD PE E CD ,=⊂ 平面PCD ，PE ⊂平面PCD ， ∴AD ⊥平面PCD . …………… 5分 ∵PC ⊂平面PCD ，∴AD PC ⊥. …………… 6分（2）解：依题意，在等腰三角形PCD 中，3PC PD ==，2DE EC ==，在R t △PED中，PE ==，…………… 7分过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接PF ，∵PE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB PE ⊥. …………… 8分∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EF PE E = ，∴AB ⊥平面PEF . …………… 9分 ∵PF ⊂平面PEF ，∴AB PF ⊥. …………… 10分依题意得2EF AD ==. …………… 11分在R t △PEF 中，3PF ==， …………… 12分∴△PAB 的面积为162S AB PF == . ∴四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积为6. …………… 14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、数列求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：∵}1{+n S 是公比为2的等比数列，∴11112)1(2)1(1--⋅+=⋅+=+n n n a S S . …………… 1分 ∴12)1(11-⋅+=-n n a S .从而11122+=-=a S S a ，221233+=-=a S S a . …………… 3分 ∵2a 是1a 和3a 的等比中项∴)22()1(1121+⋅=+a a a ，解得=1a 1或11-=a . …………… 4分当11-=a 时，11+S 0=，}1{+n S 不是等比数列， …………… 5分 ∴=1a 1.∴12-=n n S . …………… 6分当2n ≥时，112--=-=n n n n S S a . …………… 7分 ∵11=a 符合12-=n n a ，∴12-=n n a . …………… 8分（2）解：∵12n n na n -=，∴1211122322n n T n -=⨯+⨯+⨯++. ① …………… 9分21231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++.② …………… 10分 ①-②得2112222n n n T n --=++++- …………… 11分12212nn n -=-- …………… 12分 =()121nn -- . …………… 13分∴()121nn T n =-+ . …………… 14分20.（本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) （1）解法1：∵()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，∴可设()()5fx ax x =-，0a >. …………… 1分∴25f x ax a /()=-. …………… 2分∵函数()fx 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，∴()16f /=-. …………… 3分 ∴256a a -=-，解得2a =. …………… 4分 ∴()()225210fx x x x x =-=-. …………… 5分解法2：设()2fx ax bx c =++， ∵不等式()0fx <的解集是()05,，∴方程20ax bx c ++=的两根为05,.∴02550c a b ,=+=. ① …………… 2分 ∵2f x ax b /()=+. 又函数()fx 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，∴()16f /=-.∴26a b +=-. ② …………… 3分由①②,解得2a =,10b =-. …………… 4分 ∴()2210fx x x =-. …………… 5分（2）解：由（1）知，方程()370fx x+=等价于方程32210370x x -+=.…………… 6分设()h x=3221037x x -+，则()()26202310hx x x x x /=-=-. …………… 7分当1003x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x /<，函数()h x 在1003,⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； ……… 8分当103x ,⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x />，函数()h x 在103,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. … 9分 ∵()()1013100450327h h h ,,⎛⎫=>=-<=>⎪⎝⎭， …………… 12分∴方程()0h x=在区间1033,⎛⎫ ⎪⎝⎭，1043,⎛⎫⎪⎝⎭内分别有唯一实数根，在区间()03,,()4,+∞内没有实数根. …………… 13分∴存在唯一的自然数3t =，使得方程()370fx x+=在区间()1t t ,+内有且只有两个不等的实数根. …………… 14分21.（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解法1：抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，准线为1x =-，设点P 的坐标为()00,x y ，依据抛物线的定义，由53PF =，得01x +53=，解得023x =. …………… 1分∵ 点P 在抛物线2C 上，且在第一象限，∴ 2002443y x ==⨯，解得03y =.∴点P 的坐标为2,33⎛ ⎝⎭. …………… 2分∵点P 在椭圆22122:1x y C a b+=上， ∴2248193a b +=. …………… 3分又1c =，且22221a b c b =+=+， …………… 4分解得224,3a b ==.∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. …………… 5分解法2: 抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，设点P 的坐标为()00x y ,,0000x y ,>>. ∵53PF =,∴()22002519x y -+=. ① …………… 1分 ∵点P 在抛物线22:4C y x =上,∴2004y x =. ②解①②得023x =,03y =.∴点P 的坐标为2,33⎛ ⎝⎭. …………… 2分∵点P 在椭圆22122:1x y C a b+=上， ∴2248193a b +=. …………… 3分又1c =，且22221a b c b =+=+， …………… 4分解得224,3a b ==. ∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. …………… 5分 (2)解法1：设点M ()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，则()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=- .∴()12122,FM FN x x y y +=+-+ .∵ FM FN FR += ,∴121221,x x x y y y +-=-+=. ① …………… 6分∵M 、N 在椭圆1C 上， ∴222211221, 1.4343x y x y +=+= 上面两式相减得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=.②把①式代入②式得()()()12121043x x x y y y +--+=.当12x x ≠时，得()1212314x y y x x y+-=--. ③ …………… 7分设FR 的中点为Q ，则Q 的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭. ∵M 、N 、Q 、A 四点共线， ∴MN AQ k k =, 即121221312y y y y x x x x -==+-++. ④ …………… 8分把④式代入③式，得()3134x y x y+=-+，化简得()2243430y x x +++=. …………… 9分当12x x =时，可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上.∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=. …………… 10分解法2：当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y k x =+，由()221143y k x x y ,,⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()22223484120k x k x k +++-=. 设点M ()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，则2122834k x x k+=-+, ()()()1212122611234k y y k x k x k x x k +=+++=++=+.…6分 ∵()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=- .∴()12122,FM FN x x y y +=+-+ .∵ FM FN FR += ,∴121221,x x x y y y +-=-+=. ∴21228134k x x x k+=+=-+, ① 2634k y k=+. ② …………… 7分 ①÷②得()314x k y +=-， ③ …………… 8分把③代入②化简得()2243430y x x +++=. (*) …………… 9分当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为1x =-,依题意, 可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上.∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=. …………… 10分(3)解: 由(2)知点R ()x y ,的坐标满足()2243430y x x +++=, 即()224343y x x =-++, 由20y ≥,得()23430x x -++≥,解得31x -≤≤-. …………… 11分 ∵圆()2211x y -+=的圆心为()10F ,,半径1r =,∴RF ==12=…………… 12分 ∴当3x =-时,4RFmax =, …………… 13分此时,415RTmax =+=. …………… 14分。

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2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（文科）
2013.4 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟
注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或
签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 3
1
=
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“054,2≤++∈∃x x R x ”的否定是
A 054,2>++∈∃x x R x
B 054,2≤++∈∃x x R x
C 054,2>++∈∀x x R x
D 054,2≤++∈∀x x R x
2. 如果函数f(x)=ln(-2x+ a)的定义域为（-∞，1)，则实数a 的值为 A. -2 B. -1
C. 1
D. 2
3. 对于任意向量a 、B 、C ,下列命题中正确的是 A. |a.b| = |a| |b| B. |a+b|=|a|+丨b 丨 C. (a.b)c =a (b-c)
D. a.a =|a|2
4. 直线y=kx +1与圆(x+1)2+y 2=0相交于A ，B 两点，则|AB|的值为
5. 若1-i(i 是虚数单位）是关于x 的方程x 2+2px +q=0(p 、q ∈R)的一个解，则p+q= A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
6. 执行如图l 所示的程序框图，输出的S 值为 A. 225
B. 196
C. 169
D. 144
(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）
7. 若函数*)(cos N x y ∈=ωω，0),则ω的最小值为 A. 2
B. 3
C. 6
D. 9
8. 一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示.若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l:7的上、下两部分，则截面的面积为
9. 已知0<a<1，0<x ≤y < 1,且log a x.log a y=1，那么xy 的取值范围为
A. (0，a 2
] B. (0，a] C. ]1
,0(a
D. ]1,
0(2a
10.某校高三（1)班50个学生选择选修模块课程，他们在A 、B 、C 三个模块中进行选择，R 至少需要选择个模块，具体模块选择的情况如下表:
则三个模块都选择的学生人数是 A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. (—)必做题（11~13题）
11.如图3，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，l 为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M (图中白色部分).若在此三角形内随机取一点P,则点P 落在区域M 内的概率为
12.已知a 为锐角，且5
3
)4
cos(=
+
π
a ，则sina= . 13. 数列{a n }的项是由l 或2构成，且首项为1，在第k 个l 和第k+ 1个l 之间有2k-1 个2，即数列{a n } 为：1, 2，1, 2，2，2，1，2，2，2，2，2, 1, …，记数列 {a n }的前n 项和为S n ，则S 20=________; S 2013 =_____
(二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题） 14.(几何证明选讲选做题）
15.(坐标系与参数方程选做题）
ρcos θ + 1 = 0的距离为d ，则丨PA 丨+ d 的最小值为_______.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分）
某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据.其中高三
(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：
(1) 用上述样本数据估计高三（1)班学生视力的平均值；
(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4, 4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率.
17. (本小题满分12分）
某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0,使得发射点到三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为AB=80m, BC=10M , CA=50m.假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面上.
(1) 求BAC ∠的大小；
（2
18(本小题满分14分）
如图4，在三棱锥P-ABC 中，PAB ∠=PAC ∠=ACB ∠=900
.
(1) 求证：平面PBC 丄平面PAC
(2)已知PA=1,AB=2,当三棱锥P-ABC 的体积最大时，求BC 的长.
19. (本小题满分14分）
在等差数列{a n }中，a 1 +a 2 =5, a 3 =7,记数列}1
{1
+n n a a 的前n 项和为S n . (1) 求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在正整数m 、n,且1<m<n ，使得S 1、S nt S n 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m,n 值；若不存在，请说明理由
20.(本小题满分14分）
已知函数f(x)=x 2
-2alnx ()0≠∈a R a 且).
(1) 若f(x)在定义域上为增函数，求实数a 的取值范围； (2) 求函数f(x)在区间[1，2]上的最小值.
21. (本小题满分14分）
经过点F (0，1)且与直线y= -1相切的动圆的圆心轨迹为M 点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD (两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、 C.
(1) 求轨迹M 的方程； (2) 证明：CAD BAD ∠=∠； (3) 若点D 到直线AB 的距离等于
||2
2
AD ，且ΔABC 的面积为20，求直线BC 的方程.
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