高中数学必修二综合测试题(含答案)

高中数学必修二综合测试题(含答案)高二数学必修二综合测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．其中正确的命题是()A．①② B．②④ C．①③ D．②③2.过点P(1,3)且垂直于直线x2y3的直线方程为（）A．2x y1 B．2x y5 C．x2y5D．x2y73.圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝3x的距离是()A．2 B．2 C．1 D．34.已知F1,F2是椭圆x2/16+y2/9=1的左右焦点，P为椭圆上一个点，且A．2 B． C． D．5.已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β，则下列命题中正确的是()A．若m//α,n⊥α，则m//n B．若α∩β=m,m⊥n，则n⊥αC．若m//α,n//α，则m//n D．若m//α,m⊥β,αβ=n，则m//n6.圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c的值是()A．10 B．10或－68 C．5或－34 D．－687.已知ab0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限8.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是（）A．1/5 B．113° C． D．232°9.在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧面BC1C 的中心为D，则AD与平面BC1C所成角的大小是()10.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD 成60°的角；④AB与CD所成的角是60°。

其中正确结论的个数是（）A。

1.B。

2.C。

3.D。

4答案：C解析：由于正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，所以AC垂直于BD，即①正确；又因为AB=BC=CD，所以△ACD是等边三角形，即②正确；由于平面BCD与平面ABCD垂直，所以AB与平面BCD成60°的角，即③正确；由于AB与CD重合，所以AB与CD所成的角是0°而不是60°，即④错误。

因此，正确结论的个数是3，选C。

11.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B-APQC的体积为()答案：$\frac{1}{3}V$解析：由于直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，所以$\triangle ABC$的高等于直棱柱的高，即$AA_1=CC_1=\frac{V}{S_{\triangle ABC}}$，其中$S_{\triangle ABC}$为$\triangle ABC$的底面积。

又因为AP=C1Q，所以四棱锥B-APQC的高等于直三棱柱ABC-A1B1C1的高，即$h=\frac{V}{S_{\triangle ABC}}$。

而四棱锥B-APQC的底面是$\triangle APQ$，高为h，所以四棱锥B-APQC的体积为$\frac{1}{3}S_{\triangle APQ}h=\frac{1}{3}V$。

12.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=$\frac{1}{2}$，则下列结论错误的是()答案：C解析：由于正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=$\frac{1}{2}$，所以$\triangle B1EF$的底边长为$\frac{1}{2}$，高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，面积为$S_{\triangleB1EF}=\frac{1}{4}\sqrt{3}$。

又因为EF平行于平面ABCD，所以EF与平面ABCD垂直，即EF垂直于直线BD，所以$\triangle B1EF$与平面ABCD平行，即EF平行于平面ABCD，所以选项B正确。

因此，选项C错误。

17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，$\triangle ABC$与$\triangle A1B1C1$都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC、A1C1的中点。

求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.答案：略解析：画图可知，平面AB1F1与平面C1BF分别垂直于直线AC1，且它们的法向量分别为$\overrightarrow{AB_1}\times\overrightarrow{AF_1}$和$\overrightarrow{CB_1}\times\overrightarrow{CF}$，它们的向量积为$\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AA_1}$，所以平面AB1F1∥平面C1BF。

又因为$\triangle ABC$与$\triangleA1B1C1$都为正三角形，所以$\overrightarrow{AF_1}\cdot\overrightarrow{CC_1}=\overrightar row{CF}\cdot\overrightarrow{AA_1}$，即$\overrightarrow{AF_1}\cdot\overrightarrow{CC_1}+\overrightar row{CF}\cdot\overrightarrow{AA_1}=0$，所以$\overrightarrow{AF_1}$和$\overrightarrow{CF}$在平面AB1F1上的投影相等，即平面AB1F1⊥平面ACC1A1.注意：本题需要画图，解释时应结合图形说明。

1又∵B1F1BF，AF1C1F。

B1F1BF，AF1C1F.综上所述，B1F1是平面ABF和平面ACF1的交线，且垂直于它们的交线，即B1F1垂直于平面ABC.18．（1）连接PD，QD，连接AC并延长交BD于点E，如图所示：img src="/2021/08/13/8Yj9f2vQ5zOJbVx.png" alt="">ACB＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，又∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°.EB∥DC，∴∠BDC＝∠BEC＝75°，又∵DC⊥平面ABC，∴DC垂直于平面ABC，∴BD为平面ABC的垂线，∴∠XXX°，∴∠BDC＝15°.又∵AC＝BC＝2DC，∴DC＝AC/2＝1，∴BD＝2DC＝2.P，Q分别为AE，AB的中点，∴AP＝PE＝1，AQ＝QB＝√3，∴PQ＝√3－1.又∵∠XXX°，∴∠XXX∠BDC＋∠XXX°.sin∠ADQ＝sin(180°－∠BDQ)＝sin75°＝√6＋√2／4.2）由题意可知，AD与平面ABE所成的角为∠ADE，∵AD＝√3，∴sin∠ADE＝DE/AD＝1/√3.平面ABE与平面ABC垂直，∴∠ADE＝90°－∠BAC＝60°.sin∠ADB＝sin(∠ADE＋∠BDC)＝sin60°cos15°＋cos60°sin15°＝（√6＋√2）／4.sin∠ADB/sin∠ADQ＝（√6＋√2）／（√6－√2）＝2＋√3.所以，sin∠ADB/sin∠ADQ的最大值为2＋√3，最小值为2－√3.19．（1）连接AP，AQ，如图所示：img src="/2021/08/13/2Rq7X6v5Qs1Ld4n.png" alt="">XXX⊥平面ABC，∴DC垂直于平面ABC，∴∠BCD＝90°，又∵AC＝BC＝2DC，∴XXX，∴∠XXX∠CBA＝30°，∠ABC＝∠ACB＝75°.EB∥DC，∴∠BDC＝∠BEC＝75°，又∵DC⊥平面ABC，∴DC垂直于平面ABC，∴BD为平面ABC的垂线，∴∠XXX°，∴∠BDC＝15°.又∵P，Q分别为AE，AB的中点，∴AP＝PE＝1，AQ＝QB＝√3，∴PQ＝√3－1.ACB＝120°，∴∠APQ＝∠AQB＝30°，∠AQD＝∠BQD＝75°，∴∠DQP＝∠DAQ－∠DAP＝15°.又∵∠XXX°，∴∠DQP＝90°－∠BDC＝75°，∴∠DQP＝∠BQD，∴PQ∥平面ACD.2）由题意可知，AD与平面ABE所成的角为∠ADE，∵AD＝√3，∴sin∠ADE＝DE/AD＝1/√3.平面ABE与平面ABC垂直，∴∠ADE＝90°－∠BAC＝60°.又∵AC＝BC＝2DC，∴DC＝AC/2＝1，∴BD＝2DC＝2，∴BE＝BD＋DE＝2＋1/√3.BEC＝75°，∴∠XXX∠BEC－∠BED＝75°－45°＝30°.sin∠BEC/sin∠DEC＝BE/DE＝2＋√3.又∵∠ADE＝60°，∴sin∠ADE＝√3/2.sin∠BEC/sin∠ADE＝（2＋√3）／3.20．（1）将圆C1化为标准方程，得x2－2x+y2－4y+m=0，即x2－2x+1+y2－4y+4＝－m＋1＋4，即(x－1)2＋(y－2)2＝－m＋5.当－m＋5＞0时，圆C1与坐标轴围成的图形存在，即－m＋5＞0，即m＜5.当－m＋5＝0时，圆C1与坐标轴相切于点(1,2)，即－m＋5＝0，即m＝5.当－m＋5＜0时，圆C1与坐标轴不相交，即－m＋5＜0，即m＞5.综上所述，m的取值范围为m＜5或m＞5.2）由题意可知，直线l：x+2y－4=0与圆C1相交于M、N两点，且OM⊥ON.直线l与圆C1相交于M、N两点，∴M、N是圆C1上的点，即（x，y）满足x+2y－4=0和x2+y2－2x－4y+m=0，解得M，N的坐标为：M：（1－√(m－5)，2＋√(m－5)）N：（1＋√(m－5)，2－√(m－5)）又∵OM⊥ON，∴XXX为矩形，且OM＝ON，∴MN＝2OM.又∵M，N在圆C1上，∴OM2＝(1－√(m－5))2＋(2＋√(m－5))2－5，ON2＝(1＋√(m－5))2＋(2－√(m－5))2－5，解得OM＝ON＝√(2m－9).MN＝2OM＝2√(2m－9).又∵MN＝√[(1－1＋2√(m－5))2＋(2＋2√(m－5)－1)2]＝√(2m－7＋2√(m－5))，∴2√(2m－9)＝√(2m－7＋2√(m－5)).解得m＝21.21．如图所示：img src="/2021/08/13/1sOvJw6iL2M5GZU.png" alt="">1）连接AM，PM，如图所示：img src="" alt="">边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，∴△PCD与矩形ABCD在空间中垂直，∴PC垂直于平面ABCD，∴PM为平面ABCD的垂线，∴AM⊥PM.2）如图所示：img src="/2021/08/13/9WvQ3fDkS1JrGZ8.png" alt="">边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，∴△PCD与矩形ABCD在空间中垂直，∴∠CPD ＝90°，又∵PC＝CD＝2，∴PD＝√3，∴sin∠PDC＝DC/PD＝1/√3.PDC＝30°，∴∠PDM＝60°，∴sin∠PDM＝DM/PM＝1/2.又∵PM是平面ABCD的垂线，∴PM＝AD＝2√3.DM＝√3，∴cos∠PDM＝PM/DM＝2.P－AM－D的大小为arccos2.22．如图所示：img src="/2021/08/13/7lVdJfQwz2gCZTm.png" alt="">1）连接GF，如图所示：img src="" alt="">G，F分别是EC，BD的中点，∴GF∥EC∥BD，又∵AB ＝AC＝BC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝∠BCA＝60°，∴∠XXX∠XXX°，∴∠XXX∠XXX°，∴∠XXX∠GFC＝15°.又∵GF∥EC∥BD，∴GF垂直于平面ABC，∴GF∥底面ABC.2）如图所示：img src="/2021/08/13/6xqgV8t1oTJN5vI.png" alt="">AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠XXX∠XXX∠BAC＝60°，又∵ABED是边长为1的正方形，∴AE＝√2/2，∴BE＝√2，∴EC＝BC－BE＝2－√2，∴GF＝EC/2＝1－√2/2.又∵∠BGF＝75°，∴sin∠BGF＝（√6＋√2）／4.ACD＝90°－∠BGF＝15°，∴sin∠ACD＝sin15°＝（√6－√2）／4.3）如图所示：img src="" alt="">AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AD＝BD＝CD＝√3，∴DE＝AD/2＝√3/2.又∵ABED是边长为1的正方形，∴AE＝√2/2，∴CE＝BC－BE＝2－√2，∴EF＝CE/2＝1－√2/2，∴EF＝DE＝√3/2.几何体ADEBC的体积V＝△ABC×AE＝（√3/4）×（√2/2）×√3＝√6/8.1.根据题意，B、F、A、C四个点在同一平面上，且AC∩AA＝A，因此可以得出BF⊥平面ACC，且BF在平面ABF上。