2017广州二模理科数学试题
2017年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科试题及参考答案
2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}11A x x =-<，110B x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭，则A B =∩（ ） A ．{}12x x ≤< B ．{}02x x << C ．{}01x x <≤ D ．{}01x x <<2．若复数z 满足()34i i 2i z -+=+，则复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2- D ．3-4．从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ ） A ．15 B ．25 C ．12 D ．355．函数()()ln 1f x x x =-+的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知2cos 423πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin θ=（ ） A ．79 B ．19 C ．19- D ．79- 7．已知点()4,4A 在抛物线22y px =（()0p >）上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作该抛物线准线的垂线，垂足为E ，则EAF ∠的平分线所在的直线方程为（ ） A ．2120x y +-= B ．2120x y +-= C ．240x y --= D ．240x y -+=8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ） A ．352 B ．358 C ．92 D ．989．已知R k ∈，点(),P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（ ） A ．15 B ．9 C ．1 D ．53- 10．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（ ） A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)4,6ππ 11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．83 B ．163 C ．323D ．16 12．定义在R 上的奇函数()y f x =为减函数，若m ，n 满足()22f m m -+()220f n n -≥，则当1n ≤32≤时，mn的取值范围为（ ） A ．2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知点()00O ，，()1,3A -，()24B -，，2OP OA mAB =+，若点P 在y 轴上，则实数m = ． 14．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有 个． 15．设()()5423x y x y -+9872987a x a x y a x y =+++8910a xy a y ++，则08a a += ．16．在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，已知1238a a a =，(2133n S a a =++)521n a a -+（*N n ∈）.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n b nS =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，ABCD 是边长为a 的菱形，60BAD ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，23EB FD a ==.（Ⅰ）求证：EF AC ⊥；（Ⅱ）求直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值.19．某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据，若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4，第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2，预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令()1,2i i ξ=表示实施方案i 的第二个月的销量是促销前销量的倍数. （Ⅰ）求1ξ，2ξ的分布列；（Ⅱ）不管实施哪种方案，i ξ与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更大.20．已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动点M ，N 在椭圆C 上，且433MN =，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值. 21．已知函数()ln xf x ax b x=-+在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+. （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）若存在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，满足()1e 4f x ≤+，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为23cos ,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （Ⅰ）求线段AB 的长；（Ⅱ）已知点P 在曲线C 上运动，当PAB 的面积最大时，求点P 的坐标及PAB 的最大面积. 23．选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知1a b c ++=，证明：()()2211a b ++++()21613c +≥； （Ⅱ）若对任意实数x ，不等式x a -+212x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试题答案及评分参考一、选择题1-5:ABABA 6-10:CDCBC 11、12：BD二、填空题13．2314．23 15．2590- 16．27 三、解答题17．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是等比数列，所以2132a a a =. 因为1238a a a =，所以328a =，解得22a =.因为()2135213n n S a a a a -=++++，所以213S a =，即1213a a a +=. 因为22a =，所以11a =. 因为等比数列{}n a 的公比为212a q a ==， 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.（Ⅱ）因为等比数列{}n a 的首项为11a =，公比2q =， 所以()111n n a q S q-==-122112nn -=--. 因为n n b nS =，所以()21n n b n =-=2nn n ⋅-.所以123n T b b b =+++1n n b b -++(23122232=⨯+⨯+⨯)2n n ++⨯-()123n ++++.设23122232n P =⨯+⨯+⨯2n n ++⨯. 则2321222n P =⨯+⨯+41322n n +⨯++⨯.所以(1232222n n P n +=⨯-++)422n +++=()1122n n +-+.因为123+++()12n n n ++=，所以()112n n T n +=-()122n n ++-.所以数列{}n b 的前n 项和()112n n T n +=-()122n n ++-. 18．解：（Ⅰ）证明：连接BD ， 因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.因为FD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC FD ⊥.因为BD FD D =∩，所以AC ⊥平面BDF .因为EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，所以EB FD ∥. 所以B ，D ，F ，E 四点共面.因为EF ⊂平面BDFE ，所以EF AC ⊥.（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，分别以DC ，DF 的方向为y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -.可以求得31,,022A a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，31,,022B a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,0,2F a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,,0C a ，31,,322E a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.所以()0,,0AB a =，313,,222AF a a a ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,3130222ay ax ay az =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 不妨取1x =，则平面ABF 的一个法向量为()1,0,1n =.因为31,,322CE a a a⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，所以cos,n CEn CEn CE⋅==368.所以直线CE与平面ABF所成角的正弦值为368.19．解：（Ⅰ）依题意，1ξ的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4，因为()11.68Pξ==0.60.50.30⨯=，()11.92Pξ==0.60.50.30⨯=，()12.1Pξ==0.40.50.20⨯=，()12.4Pξ==0.40.50.20⨯=.所以1ξ的分布列为依题意，2ξ的所有取值为1.68，1.8，2.24，2.4，因为()21.68Pξ==0.70.60.42⨯=，()21.8Pξ==0.30.60.18⨯=，()22.24Pξ==0.70.40.28⨯=，()22.4Pξ==0.30.40.12⨯=.所以2ξ的分布列为（Ⅱ）令iQ表示方案i所带来的利润，则所以1150.30EQ =⨯200.50250.20+⨯+⨯=19.5，2150.42EQ =⨯+200.46250.12⨯+⨯=18.5.因为12EQ EQ >，所以实施方案1，第二个月的利润更大.20．解：（Ⅰ）双曲线2215x y -=的焦点坐标为()6,0±，离心率为305.因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以6a =，且22306a b a -=，解得1b =. 故椭圆C 的方程为2216x y +=. （Ⅱ）因为4323MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+.代入椭圆方程2216x y +=得()221612k x kmx +++()2610m -=. 因为()()22122416km k ∆=-+()2124m-=()22160k m +->，所以221+6m k <.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216kmx x k -+=+，()21226116m x x k -=+.则2121MN kx x =+-()22121214k x x x x =++-()222222411211616m km k k k -⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭. 因为433MN =，即()222222411211616m km k k k -⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭433=. 整理得()42221839791k k m k -++=+.令211k t +=≥，则21k t =-.所以221875509t t m t -+-==15075189t t ⎡⎤⎛⎫-+≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯=.等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k <+，符合题意. 故m 的最大值为153. 21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞∪. 因为()ln x f x ax b x =-+，所以()2ln 1ln x f x a x-'=-. 所以函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为e e y a b --+e ax =--，即e y ax b =-++. 已知函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+，比较求得e b =. 所以实数b 的值为e .（Ⅱ）由()1e 4f x ≤+，即e ln x ax x -+1e 4≤+. 所以问题转化为11ln 4a x x ≥-在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦， 则()22114ln h x x x x '=-=222ln 44ln x x x x-=()()22ln 2ln 24ln x x x x x x +-.令()ln 2p x x x =-，所以当2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，有()11p x x x'=-10x x -=<. 所以函数()p x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()e p x p <ln e 2e 0=-<.所以()0h x '<，即()h x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()2e =h x h ≥2211ln e 4e -21124e =-.所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.22．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为221124x y +=.将直线20x y --=代入221124x y +=中消去y 得，230x x -=.解得0x =或3x =.所以点()0,2A -，()3,1B ， 所以()()223012AB =-++=32.（Ⅱ）在曲线C 上求一点P ，使PAB 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大. 设过点P 且与直线l 平行的直线方程y x b =+. 将y x b =+代入221124x y +=整理得，()2246340x bx b ++-=.令()()2264434b b ∆=-⨯⨯-0=，解得4b =±.将4b =±代入方程()2246340x bx b ++-=，解得3x =±.易知当点P 的坐标为()3,1-时，PAB 的面积最大.且点()3,1P -到直线l 的距离为2231211d ---=+32=.PAB 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=.23．解：（Ⅰ）证明：因为1a b c ++=，所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++. 所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥，即证明22213a b c ++≥.因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++()2a b c ≥++-()2222a b c ++，所以()2223a b c ++()2a b c ≥++.因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥.所以()()2211a b ++++()21613c +≥.（Ⅱ）设()f x =21x a x -+-，则“对任意实数x ，不等式212x a x -+-≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”. 当12a <时，()f x =31,,11,,2131,.2x a x a x a a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-， 要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得32a ≤-. 当12a =时，1223x -≥不可能恒成立. 当12a >时，()f x =131,,211,,231,.x a x x a x a x a x a ⎧-++<⎪⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-， 要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得52a ≥.综上可知，实数a 的取范为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭∪.。
2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试卷及答案
试卷类型：A 2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos 2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16B ．13C ．12D ．38图1俯视图侧视图正视图6．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C A ．16 B ．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体 的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8, 按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257 B ．256C ．254D ．253表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB == ，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与 圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .DCBA15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；CBa 图3重量/克0.0320.02452515O （注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n = ，则样本数据的平均值为112233X x p x p x p =+++ （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在的小球个数为ξ，求ξ18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图419．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=.（1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+ .2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD+-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A ==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==. 在△ABC中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得BC =……………10分 由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分∴1sin sin AB AC BC⋅===. ……………12分17．（本小题满分12分） (1)解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分解得0.03x =. ……………2分（2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.……………5分 ξ的取值为0,1,2,3，……………6分 ()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫===⎪⎝⎭. ……………10分 为：∴ξ的分布列……………11分 ∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分（或者13355E ξ=⨯=） 18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则1==，AM MB∵EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABFE，平面ABCD 平面=，ABFE AB∴EF∥AB，即EF∥MB. ……………1分∵EF=MB1=∴四边形EMBF是平行四边形. ……………2分∴EM∥FB，EM FB=.在Rt△BFC中，2224=，得FB=+==，又FB FCFB FC BC∴EM=……………3分在△AME中，AE=1AM=，EM=∴222+==，3AM EM AE∴⊥. AM EM……………4分∴AM FB⊥.⊥，即AB FB∵四边形ABCD是正方形，∴⊥. AB BCMO HFEDCB……………5分∵FB BC B = ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴AB ⊥平面BCF . ……………6分（2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO∥FH，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD . (9)分∴EO ⊥平面ABCD .∵AO⊂平面ABCD，∴EO⊥AO. ……………10分∵AO BD⊥，,EO BD O EO=⊂平面EBD，BD⊂平面EBD，∴AO⊥平面EBD. (11)分∴AEO∠是直线AE与平面BDE所成的角. ……………12分在Rt△AOE中，tanAOAEOEO∠==……………13分∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为……………14分证法2：连接AC，AC与BD相交于点O取BC的中点H，连接,OH EO，则OH∥AB，112OH AB==.由（1）知EF∥AB，且12EF AB=∴EF∥OH，且EF OH=.∴四边形EOHF是平行四边形.∴EO∥FH，且1EO FH==. ……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD . ∴EO ⊥平面ABCD . (8)分以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅= ，n 0BE ⋅=，得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-. 令1x =，则平面BDE的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos , n AE ⋅=n AE n AE3=. ……………11分∴cos 3θ==，sintan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE 所成角的正切值为……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n+--=+，得12n n a a +-=. ……………5分当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列. ∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分 当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分（2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，①()1231442434144n nn T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅ 14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分 ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：∵22log log n n a n b +=， ∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ . 由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠- ， ……………11分 两边对x取导数得，12123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦ .……………13分 ∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+, 即1y =+, ……………1分化简得24x y =. ∴曲线E的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分 令1y =-，得1822x x =-+， ∴点S的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭()()()121212121288248x x x x x x x x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST =()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B的坐标为()211142,441kk k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441kk k --+. …………6分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ……………8分设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分 令x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()a f x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分 ∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-.……………4分令()2ln 2x g x x x=-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， 故()()112g x g >=. ……………7分因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分 解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x k g x x x =-+，则()222112222k x x kg x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022k g k g =-+>=-+>，则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x k x x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=>，则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<. 故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022xx x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x -+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >， 从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n = 分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n--=+. ……………14分。
【广东省广州市】2017届高三12月模拟考试理科数学试卷
广东省广州市2017届高三12月模拟考试理科数学试卷本试卷共4页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{|||2}A x x =≤，2{|230}B x x x =--≤，则A B =I （ ） A ．[2,3]-B ．[1,2]-C ．[2,1]-D ．[1,2]（2）设(1i)(i)2x y ++=，其中,x y 是实数，则|2i|x y +=（ ） A ．1BCD（3）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q =（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．2（4）已知双曲线C ：22221y x a b -=（0a ＞，0b ＞）的渐近线方程为12y x =±，则双曲线C 的离心率为（ ）ABCD（5）若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图像向左平移ϕ个单位，所得图像关于轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）A ．π8 B ．π4 C ．3π8 D ．3π4（6）GZ 新闻台做“一校一特色”访谈节目，分A ，B ，C 三期播出，A 期播出两间学校，B 期，C 期各播出1间学校，现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务，不同的选法共有（ ） A ．140种B ．420种C ．840种D ．1 680种（7）已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧⎪=⎨⎪⎩≥＜()()g x f x =--，则函数()g x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ． （8）设0.40.7a =，0.70.4b =，0.40.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c ＜＜B ．a c b ＜＜C ．b c a ＜＜D ．c b a ＜＜（9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）yA ．7B ．9C （10）已知抛物线:C 28y x =的焦点为点，若3PF MF =uu u r uuu r，则||MN =（ ）A ．212 B ．323C （11A ．25πB ．254C ．29π D ．294（12）若函数()e (sin cos )x f x x a x =+在A ．(,1]-∞ B ．(,1)-∞ C本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本小题共4题，每小题5分．（13）已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD =u u u r u u u rg ________．（14）按照国家规定，某种大米质量(单位：kg )必须服从正态分布2(10,)N ξσ:，根据检测结果可知(9.910.1)0.96P ξ=≤≤，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有2000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg 以下的职工数大约为________．（15）已知x ，y 满足约束条件22022020x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+-⎩≥≤≤，若z x ay =-（0a ＞）的最大值为4，则a =________．（16）在数列{}n a 中，12a =，28a =，对所有正整数n 均有21n n n a a a +++=，则20171n n a ==∑________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，2cos 2C c b +=．M DE BA（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若12b =，求sin C ． （18）（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，…，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ．已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲，乙两厂的产品都符合相应的执行标准． （Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数学期望16EX =，求a ，b 的值；（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望；（Ⅲ）在（Ⅰ）,（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望产品的零售价；②“性价比”大的产品更具可购买性．（19）（本小题满分12分）如图，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，ABC △是等边三角形，2AC AE =，M 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：CM EM ⊥，（Ⅱ）若直线DM 与平面ABC 所成角的正切值为2，求二面角B CD E --的余弦值． （20）（本小题满分12分） 已知动圆P 与圆221:(2)49F x y ++=相切，且与圆222:(2)1F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于M ，N 两个不同的点，求QMN △面积的最大值． （21）（本小题满分12分）设函数()()ln f x mx n x =+，若曲线()y f x =在点(e,(e))P f 处的切线方程为2e y x =-（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若a ，b +∈R ，试比较()()2f a f b +与()2a bf +的大小，并予以证明．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为sin 1cos x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πϕ＜＜），曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当ϕ变化时，求||AB 的最小值． （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|1|f x ax=-，不等式()3f x ≤的解集是{|12}x x -≤≤． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若()()||3f x f x k +-＜存在实数解，求实数k 的取值范围．。
【广东省广州市】2017届高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷-答案
广东省广州市2017届高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷答 案一、选择题 1~5．ABABA 6~10．CDCBC11~12．BD二、填空题 13．2314．23 15．2590- 16．27 三、解答题17．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是等比数列，所以2132a a a =． 因为1238a a a =，所以328a =，解得22a =．因为2135213()n n S a a a a -=++++，所以213S a =，即1213a a a +=． 因为22a =，所以11a =．因为等比数列{}n a 的公比为212a q a ==，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（Ⅱ）因为等比数列{}n a 的首项为11a =，公比2q =，所以1(1)1n n a q S q -==-122112nn -=--．因为n n b nS =，所以(21)n n b n =-=2n n n -． 所以123n T b b b =+++1n n b b -++23(1222322)(123)n n n =⨯+⨯+⨯++⨯-++++．设23122232n P =⨯+⨯+⨯2n n ++⨯． 则2321222n P =⨯+⨯+41322n n +⨯++⨯．所以12342(22222)n n n P n +=⨯-+++++=1(1)22n n +-+．因为123+++(1)2n n n ++=， 所以1(1)2n n T n +=-(1)22n n ++-． 所以数列{b }n 的前n 项和1(1)2n n T n +=-(1)22n n ++-． 18．解：（Ⅰ）证明：连接BD ，因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥． 因为FD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC FD ⊥． 因为BDFD D =，所以AC ⊥平面BDF ．因为EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，所以EB FD ∥． 所以B ，D ，F ，E 四点共面． 因为EF ⊂平面BDFE ，所以EF AC ⊥．（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，分别以DC ，DF 的方向为y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -．可以求得1,,0)2A a -，1,,0)2B a，)F ，(0,,0)C a，1,)2E a ． 所以(0,,0)AB a =，1(,)2AF a =-． 设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n AB n AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,102ay ay =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 不妨取1x =，则平面ABF 的一个法向量为(1,0,1)n=． 因为31(,)2CE a =-， 所以|||cos ,|||||n CE n CE n CE <>==所以直线CE 与平面ABF19．解：（Ⅰ）依题意，1ξ的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4， 因为1( 1.68)0.60.50.30P ξ==⨯=，1( 1.92)0.60.50.30P ξ==⨯=，1( 2.1)0.40.50.20P ξ==⨯=，1( 2.4)0.40.50.20P ξ==⨯=．所以1ξ的分布列为依题意，2ξ的所有取值为1.68，1.8，2.24，2.4，因为2( 1.68)0.70.60.42P ξ==⨯=，2( 1.8)0.30.60.18P ξ==⨯=，2( 2.24)0.70.40.28P ξ==⨯=，2( 2.4)0.30.40.12P ξ==⨯=．所以2ξ的分布列为（Ⅱ）令i Q 表示方案i 所带来的利润，则所以1150.30200.50250.2019.5EQ =⨯+⨯+⨯=，2150.42200.46250.1218.5EQ =⨯+⨯+⨯=．因为12EQ EQ ＞，所以实施方案1，第二个月的利润更大．20．解：（Ⅰ）双曲线2215x y -=的焦点坐标为( 因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=＞＞的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a ==1b =．故椭圆C 的方程为2216x y +=．（Ⅱ）因为||2MN ，所以直线MN 的斜率存在． 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+．代入椭圆方程2216x y +=得222(16)126(1)0k x kmx m +++-=．因为22(12)24(16)km k ∆=-+2(1)24m -=22(16)0k m +-＞， 所以221+6m k ＜． 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，根据根与系数的关系得1221216km x x k -+=+，21226(1)16m x x k-=+．则12|||MN x x -==．因为||MN =3=． 整理得4222183979(1)k k m k -++=+． 令211k t +=≥，则21k t =-．所以22187550150752305[75(18)]9993t t m t t t -+--⨯==-+=≤．等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k +＜，符合题意．故m 21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞．因为()ln xf x ax b x =-+，所以2ln 1()ln x f x a x-'=-． 所以函数()f x 在点(e,(e))f 处的切线方程为e e e y a b ax --+=--，即e y ax b =-++．已知函数()f x 在点(e,(e))f 处的切线方程为2e y ax =-+，比较求得e b =． 所以实数b 的值为e ．（Ⅱ）由1()e 4f x +≤，即1e e ln 4x ax x -++≤．所以问题转化为11ln 4a x x-≥在2[e,e ]上有解．令11()ln 4h x x x=-2[e,e ]x ∈，则2222211ln 4()4ln 4ln x x h x x x x x x -'=-==．令()ln p x x =-所以当2[e,e ]x ∈时，有1()0p xx '=． 所以函数()p x 在区间2[e,e ]上单调递减．所以()(e)lne 0p x p <=-．所以()0h x '＜，即()h x 在区间2[e,e ]上单调递减．所以22221111()(e )=lne 4e 24e h x h -=-≥． 所以实数a 的取值范围为211[,)24e-+∞．22．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为221124x y +=．将直线20x y --=代入221124x y +=中消去y 得，230x x -=．解得0x =或3x =． 所以点(0,2)A -，(3,1)B ，所以||AB =（Ⅱ）在曲线C 上求一点P ，使PAB △的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大． 设过点P 且与直线l 平行的直线方程y x b =+．将y x b =+代入221124x y +=整理得，22463(4)0x bx b ++-=．令22(6)443(4)0b b ∆=-⨯⨯-=，解得4b =±． 将4b =±代入方程22463(4)0x bx b ++-=，解得3x =±． 易知当点P 的坐标为(3,1)-时，PAB △的面积最大．且点(3,1)P -到直线l 的距离为d ==PAB △的最大面积为1||92S AB d =⨯⨯=．23．解：（Ⅰ）证明：因为1a b c ++=，所以222(1)(1)(1)a b c +++++222a b c =++2()3a b c ++++2225a b c =+++．所以要证明22216(1)(1)(1)3a b c +++++≥，即证明22213a b c ++≥．因为222a b c ++=2()a b c ++22222()()2()ab bc ca a b c a b c -++++-++≥ 所以22223()()a b c a b c ++++≥．因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥．所以22216(1)(1)(1)3a b c +++++≥．（Ⅱ）设()f x =|||21|x a x -+-，则“对任意实数x ，不等式|||21|2x a x -+-≥ 恒成立”等价于“min [()]2f x ≥”．当12a ＜时，()f x =31,,11,,2131,.2x a x a x a a x x a x ⎧⎪-++⎪⎪-+-⎨⎪⎪--⎪⎩＜≤≤＞此时min 1[()]()2f x f =12a =-，要使|||21|2x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得32a -≤．当12a =时，12||23x -≥不可能恒成立．当12a ＞时，()f x =131,,211,,231,.x a x x a x a x a x a ⎧-++⎪⎪⎪+-⎨⎪--⎪⎪⎩＜≤≤＞此时()min 1[]()2f x f =12a =-，要使|||21|2x a x -+-≥ 恒成立，必须122a -≥，解得52a ≥．综上可知，实数a 的取范为35(,][,)22-∞-+∞．。
广东省广州市2017届高三12月模拟考试数学(理)试题 含答案
2017届广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学 2016。
12本试卷共4页，23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题,每小题5分， 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1）已知集合{}2A x x =≤,{}2230B x xx =--≤，则AB =（Ａ) []2,3- （Ｂ) []1,2- （Ｃ） []2,1-(Ｄ） []1,2（2）设(1i)(i)x y ++2=,其中,x y 是实数，则2i x y += （A ）1 （B ）2 （3 （D ）5（3）等比数列{}na 的前n 项和为nS ，若230aS +=，则公比q =(A) 1- （B) 1 （C ） 2-（D) 2（4）已知双曲线：C 12222=-bx a y （0,0>>b a ）的渐近线方程为x y 21±=，则双曲线C 的离心率为 （A ） 25(B)5(C)26(D ）6（5）若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（A ）8π （B ）4π (C ）38πyxO （D)34π（6）GZ 新闻台做“一校一特色"访谈节目, 分A, B, C 三期播出， A 期播出两间学校, B 期,C 期各播出1间学校, 现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务， 不同的选法共有（A ）140种 (B ）420种 （C)840种 (D ）1680种 (7)已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--，则函数()g x 的图象是(8）设0.40.7a =，0.70.4b =，0.40.4c = ,则,,a b c 的大小关系为 （A) b a c <<（B ） a c b << (C) b c a <<（D)c b a <<（9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为(A) 7 (B ） 9 （C) 10 （D) 11(10)已知抛物线:C xy82=的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与曲线C21(Ａ）2（11）如图，锥（A）π25(C) π29(12)范围是(A）(],1-∞(C) [)1,+∞-∞(B）(),1（D) ()1,+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2017届广东省高三上学期第二次统测数学(理)试题
高三第二次统测理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设A 、B 是非空集合，定义A ×B ={x x A B ∈ 且x A B ∉ }，己知 A ={22x x y x -=}，B ={22x y y =}，则A ×B 等于 （ ）A .(2，+∞)B .[0，1]∪[2，+∞) C.[0，1)∪(2，+∞) D.[0．1]∪(2，+∞) 2、在ABC ∆中，“()sin()cos cos sin 1A B B A B B -+-≥”是“ABC ∆是直角三角形”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3、已知命题 p ：对任意x ∈R ，总有20x ≥；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是 ( ) A ．q p ∧ B ．q p ⌝⌝∧ C ． q p ∧⌝ D ．q p ⌝∧4、已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f(x)的图象是 ( )5、已知复数a ＋3i1－2i为纯虚数，则实数a ＝( )A ．－2B ．4C ．－6D ．66、已知a ＝5log 2 3.4，b ＝5log 4 3.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 3 0.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b7、在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③8、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） A ．2,3π- B ．2,6π-C ．4,6π- D ．4,3π9、已知函数)()1(x f x y '-=的图象如图所示，其中)(x f '为函数)(x f 的导函数，则)(x f y =的大致图象是（ ）10、已知函数22(1)()714(1)x axx f x a x a x ⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若12,x x ∃∈R ，且12x x ≠，使得12()()f x f x =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,3](,5]-∞-B ．(,2)(3,5)-∞C ．[2,3]D ．[5,)+∞11、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()(1)5,()g x f x g x '=++为()g x 的导函数，对x R ∀∈，总有()2g x x '>，则()24g x x <+的解集为（ ） A ．(),1-∞- B ．(),1-∞ C ．R D ．()1,-+∞12.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m1-1 O yx 11π125π122-2O第Ⅱ卷 （非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
2017年广州二模理科数学选择填空题详解
2017届广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）选择填空题详解编辑：李志刚 微信&QQ ：46890730 微信公众号：华海数学 1．{}{}{}1111102,A x x x x x x =-<=-<-<=<<{}{}11100(1)0001,x B x x x x x x x x x x x ⎧⎫⎧⎫-=-≥=≥=-≥≠=<≥⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭且或所以{|12}A B x x =≤<2． 22i (2i)i 2i 134i 12i,12i 34i 22i i i 1z z ++⋅--+====-∴=--+=-+-，所以复数z 所对应的点位于第二象限．3．第一次循环：否，否，2,3;S i == 第二次循环：否，是，1,4;S i =-= 第三次循环：否，否，3,5;S i == 第四次循环：否，是，2,6;S i =-= 第五次循环：否，否，4,7;S i ==输出 4.S =4．在个位数上，1，2，3，4，5这5个数字出现的机会是均等的，所以这个恶三位数是偶数的概率是255．当1x >时，()ln(1)f x x x =-+是一个单调递增函数，只有选项A 符合． 6． 241sin cos 2cos 12124299ππθθ⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭θ7．如图，(1,0),(4,4),(1,4)F A E -，因为AE AF =，所以EAF ∠的平分线l EF ⊥，而4012,112EF l k k -==-∴=--，所以直线l 的方程为14(4)2y x -=-，即240x y -+==19．因为直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+有公共点，所以圆心(0,0)到直线20x y k +-=的距离d 2230k k +-≤，即(3)(1)0k k +-≤，解得31k -≤≤，222()()2a b a b ab +-+=224(23)2k k k --+=2233315()22233k k k =+-=+-，二次函数，开口向上，离对称轴13k =-越远，函数值越大，所以当3k =-时，ab 取得最大值9． 10．()y f x =的最小正周期2T πω=，在y 轴右侧第一个最高点的横坐标为4πω，第三个最高点的横坐标为17244T ππωω+=，第四个最高点的横坐标为25344T ππωω+=，根据题意，1725144ππωω≤<，解得：172544ππω≤<，即ω的取值范围是1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．该三棱锥的直观图如图所示，其体积1116244323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭12．由22(2)(2)0f m m f n n -+-≥，得22(2)(2)f m m f n n -≥--，又∵()f x 为奇函数，所以22(2)(2)f m m f n n -≥-+，又()f x 为减函数，所以2222m m n n -≤-，所以()(2)0m n m n -+-≤，所以020m n m n -≥⎧⎨+-≤⎩或020m n m n -≤⎧⎨+-≥⎩，考虑到312n ≤≤以n 为横坐标，m 为纵坐标，作可行域如图所示，mn表示动点(,)n m 与原点连线的斜率，当过点31,22⎛⎫⎪⎝⎭时，m n 取得最小值13，当过点(1,1)时，m n 取得最大值113．因为点P 在y 轴上，所以可设(0,)P y ，由2,OP OA m AB =+得 (0,)2(1,3)(3,7)(32,67)y m m m =-+-=--，所以2320,3m m -==14．该数除以3和除以7的余数都是2，可以初步估计这个数为37223⨯+=，经检验，23除以5的余数是3，满足题意，故这堆物品至少有23个．15． 954900(2)(3)2592,2592a y y y y a =-=-∴=-；853344488458(3)(2)2,2a x y x C x y C x y x x y a ⎡⎤=⋅⋅⋅+⋅-⋅=∴=⎣⎦，∴08a a +=2590- 16．解析：如图，因为416,sin 5BD A ==，所以点A 在以BD 为弦的圆弧上，设圆弧半径为R ，则有16220,104sin 5BD R R A ===∴=，设圆心为E ，取BD 中点F ，连接,DE DF ，则8,10,6DF DE EF ===，34sin ,cos 55EDF EDF ∠=∠=，所以 3cos cos(90)sin 5EDC EDF EDF ∠=︒+∠=-∠=-，在ECD △中，由余弦定理得： 22232cos 100812109289,175EC DE CD DE CD EDC EC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=∴=所以AC 的最大值为101727AE EC +=+=。
广州市2017届高三12月模拟考试数学(理)试题及答案
2017届广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学本试卷共4页，23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}2A x x =≤，{}2230B x x x =--≤，则AB =（ ）(Ａ) []2,3- (Ｂ) []1,2- (Ｃ) []2,1- (Ｄ) []1,2 2．设(1i)(i)x y ++2=，其中,x y 是实数，则2i x y +=（ ）（A ）1 （B（C（D3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q = （ ） (A) 1- (B) 1 (C) 2- (D) 24．已知双曲线：C 12222=-b x a y （0,0>>b a ）的渐近线方程为x y 21±=, 则双曲线C 的离心率为（ ）(A)25(B) 5 (C)26(D) 65．若将()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） （A ）8π （B ）4π（C ）38π （D ）34π6．GZ 新闻台做“一校一特色”访谈节目, 分A, B, C 三期播出, A 期播出两间学校, B 期，C 期各播出1间学校，现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务，不同的选法共有（ ） （A ）140种 （B ）420种 （C ）840种 （D ）1680种7．已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--，则函数()g x 的图象是（ ）8．设0.40.7a =，0.70.4b =，0.40.4c = ，则,,a b c 的大小关系为（ ）(A) b a c << (B) a c b << (C) b c a << (D) c b a << 9．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 1110．已知抛物线:C x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若MF PF 3=，则=MN （ ） (Ａ)221 (Ｂ)332 (Ｃ) 10 (Ｄ) 1111．如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ） (A) π25 (B)π425 (C) π29 (D) π429 12．若函数()()x a x e x f xcos sin +=在⎪⎭⎫⎝⎛ 2,4ππ上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） (A) (],1-∞ (B) (),1-∞ (C) [)1,+∞ (D) ()1,+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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|1专
A∩ B= 刂 贝
(A){艿 |1≤ 艿<2} (B){凭 |0(多 <2} (C){∝ 丨 0(“ <1} 0(多 ≤ 1} (D){笳 丨 (2)若 复数 z满 足 (3-4i+z)i=2+i,则 复数 z
所对应的点位于 (A)第 一象限 (C)第 三象限
(B)第 二象限
(D)第 四象限 s=s+'
;
+C2汛 ~1)
(18)(本 小题满分 12分 )
如图,⒕ BCD是 边长为 @的 菱形 ,∠ 助V=ω °
,
EB⊥ 平 面 ⒕BCD,FD⊥ 平 面 ABCD, EB=2FD=JG. (I) 求证 :EF⊥ ⒕ C; (Ⅱ )求 直线 CE与 平面 ⒕ BF所 成角的正弦值
.
理科数学试题 B 第 3页 (共 4页 )
(B)争
1)+笳
C
D
5
2
是 的 大 致图 像
(A)
2一
ε_2
工4
~ 洲
知 已
已 ω
(4,4)在 抛物线 尸 =勿 多(p)0)上 ,该 抛物线的焦点为 F, 过点 ⒕作该抛物 (7)已 知点 ⒕ 线准线的垂线 ,垂 足为 E,则 ∠EAF的 平分线所在的直线方程为 (B)多 +2yˉ 12=0 (A)2艿 +yˉ 12:〓0 (D)多 -2y+4=0 (C)‰ -yˉ 4= 0 (8)在 棱长为 2的 正方体 ⒕ BCD-A1B1C1D1中 ,胚 是棱 姓 1D1的 中点 过 C1,B,〃 作 正方体 的截面 ,则 这个截面的面积为
(C)1
9
⑼÷
='-‰ +3的 公共
⑼÷
⑼ -手
J点
,则 仂
+毋 )(ω >0)的 图像在区间 [0,1]上 恰有 3个 最高点 ,则
艹勖 鄹黼 舳鲰
(:)l瞥 ,誓
(B)等
(D)16
)
⑼ [絮 ,暂
)
(D)[4π ,6π )
理科数学试题 B 第 2页 (共 4页 )
(12) 定义在 则当
R上 的奇函数 y=灭 钐 )为 减函数 ,若 m,乃 满足只 m2
试卷类型 :B
⒛ 17年 广州市普 通 高 中毕业班综合 测试 (二 )
理科数 学
2017.4 本试卷 4页 ,⒛ 小题 ,满 分 150分 。考试用 时 120分 钟 。 注意事项
:
己的姓名 、考 生号、考 场 号和座 位 号填 写在 答题 卡 上 。用 2B铅 笔将 试卷 类型 (B)填 涂在 ” “ 息`点 ,修 改 时须用橡皮擦干净。 答题卡相应位置上。用 2B铅 笔在 考 生号 处填涂考 生号信 刂
≤ 汜≤ ÷ 时 ,号 的取值范围为
3~2
l一
2掘 )+灭 2屁 ∵
-「 99)≥
0,
(A)
-:← ,11
(:)I1,÷
l
(D)[÷ ,11
第 Ⅱ卷
本卷包括必考题和选 考题 两 部分 。第
13~21题 为必考题 ,每 个试 题 考 生都 必须作答 。
C
3
第22~⒛ 题为选考题 ,考 生根据要求作答。 二 、填空题 :本 题共 4小 题 ,每 小题 5分 。
'=j+1
(3)执 行如图所示的程序框图 ,则 输出的 s值 为 (B)3 (A)4
(C)-2
(D)-3
理科数学试题 B
第 l页 (共 4页 )
(4)从 1,2,3,4,5这 5个 数字中任取 3个 数字组成没有重复数字的三位数 ,则 这个三位
数是偶数的概率为
3一
1一
(A)昔
(5)函 数 冗 )=1n(|州 ※
(19)(本 小题满分 12分 )
某商场拟对某商 品进行促销 ,现 有两种方案供选择 ,每 种促销方案都需分两个月实 施 ,且 每种方案中第一个月与第 二个月的销售相互独立 .根 据以往促销的统计数据 若实施方案 1,预 计第一个月的销量是促销前 的 1.2倍 和 1.5倍 的概率分别是 0.6和 0.4,第 二个月的销量是第一个月的 1.4倍 和 1.6倍 的概率都是 0.5;若 实施方案 2, 预计第一个月的销量是促销前的 1.4倍 和 1.5倍 的概率分别是 0.7和 0.3,第 二个月 (j〓 1,2)表 示实 氵 的销量是第一个月的 1.2倍 和 1.6倍 的概率分别是 0.6和 0.4 令 纟 施方案 j的 第二个月的销量是促销前销量 的倍数 (I)求 苫 l,占 2的 分布列 (Ⅱ )不 管实施哪种方案 ,f氵 与第二个月的利润之间的关系如下表 ,试 比较哪种方案第 二个月的利润更大 7(占 j<2・ 3 7 刍 ≥ 2・ 3 销量 倍 数 f氵 ≤ 20 25 15 利润 (万 元 )
淝
,
(21)(本 小题满分 12分 )
已知函数只 笳 )=彘 -够
+6在 `点 (e,/le))处 的切线方程为 y=-J/z+2e.
(I)求 实数 b的 值
(Ⅱ
;
)≤ ÷ +e,求 实数 o的 取值范围。 )若 存在 凭∈ [e,e2],满 足灭 艿
请考生在第 ” ~z3题 中任选 -题 做答 ,如 果多做 ,则 按所做的第一题计分。 (22)(本 小题满分 10分 )选 修 4-4:坐 标系与参数方程 o9・ 中,已 知直线 J的 普通方程为 跖一 在平面直角坐标系 艿 /ˉ 2=0,曲 线 C的 参数方程为 ⒄
三、解答题 :解 答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17)(本 小题满分 12分 ) 设等比 项和为 sn,已 知 oI@2c3=8,s2n=3(@1+@3+Gs+… 数列 {G乃 }的 前 尼 (瓦 ∈N扌 ). (I)求 数列 {@″ }的 通项公式 (Ⅱ )设 b尼 〓尼 sn’ 求数列 {乙 n}的 前 乃 项和 飞 . ￡
,
(9)已 知 拓∈R,点
的最大值为
(10)
(11)如 图,网 格纸上小正方形的边长为 1,粗 线画出的是某三 棱锥的三视图 ,则 该三棱锥的体积为
6
ε
n
〓
〓
(A)手
⑷箩
(A)15
⑷ I暂 ,竿 )
(A)÷
(C)瞥
ο
一
P(c,犭
3
1一
(B)
(c)-钅
广
(D)
7 9
⑴喾
(B)9
2 n
ω
艿
+y=‰ 与圆′ +尸 )不 等式 艿
誓
;
2凭
-1|≥ 2恒 成立,求 实数 G的 取值范围。
理科数学试题 B 第 4页 (共 4页 )
1.本 试卷分 第 I卷 (选 择 题 )和 第 Ⅱ卷
(非 选择 题 )两 部分 。答卷前 ,考 生务 必将 自
2.作 答选择题 时 ,选 出每 小题 答 案后 ,用 2B铅 笔 在 答题 卡 上 对应题 目选项 的答 案信 点涂 黑 ;如 需要 改动 ,用 橡皮擦 干净后 ,再 选涂其他答案。答案不能答在 试卷 上 。 息‘ 3.非 选择题 必须 用黑 色字迹 的钢笔或签 字笔作 答 ,答 案 必 须 写在 答题 卡各题 目指 定 区 域 内相应 位置上 ;如 需 改动 ,先 划掉原 来 的答案 ,然 后 再写上 新答案 ;不 准使 用铅笔和涂 改
,
这堆物品共有多少个 ?” 试计算这堆物品至少有____个
(跖
,
(15)设
-钞 )5(艿
十
3y)4〓
o9笫
9+@:“ :y+c7艿 7尸
+¨
十
a1跖 y:+@0`,则
%+吼
=
(16)在 平面 四边形 火 BCD中 ,连 接对角线 BD,已 知 CD=9,BD=16,∠
rlA〓 茁
BDε
=∞ °
,
C的 最大值为____. 对角线 ⒕ 舍 ,则
(13)已 知点 C,(0,0),A(-1,3),B(2,-4)
数掘=
B,若 点 P在 y轴 上,则 实 ,oP=25'+汛 ⒕
(14)《 孙子算经》是我国古代重要的数学著作 ,约 成书于四 ,五 世纪 ,传 本的 《 孙子算经》
” “ 共三卷 ,其 中下卷 物不知数 中有如下问题 :“ 今有物 ,不 知其数 .三 三数之 ,剩 “ 二 ;五 五数之 ,剩 三 ;七 七数之 ,剩 二 .问 :物 几何 ?” 其意思为 : 现有一堆物品 不知它的数 目。3个 3个 数 ,剩 2个 ;5个 5个 数 ,剩 3个 ;7个 7个 数 ,剩 2个 。 问
,
.
;
.
1・
1・
(20)(本 小题满分 12分 )
已知双曲线
-/=1的 肾
.
2
焦J点 是椭圆 C:扫 +扣
2
2
=1(o>6>0)的 顶点 ,且 椭圆与
双曲线的离心率互为倒数 (I)求 椭圆 C的 方程
;
(Ⅱ
)设 动J点 〃,Ⅳ 在椭圆 CL且
求 仍 的最大值
.
|跖 叫 ≡
馘 竽 ,记
删 在 y舭 蹴 呦
11⒊ f扌 (I)求 线段 ⒕ B的 长
(Ⅱ
“ e为 参勤 ,设 直线 J与 嘏
;
C交 于 A,召 两点
.
)已 知点 P在 曲线 C上 运动 ,当 △ 乃B的 面积最大时 ,求 点 P的 坐标及 △Ω4B的
最大面积
.
(23)(本 小题满分 10分 )选 修 4-5:不 等式选讲
2+(♂ +1)2+(c+1)2≥ (I)已 知 +3+c=1,证 明 Ω :(@+1’