2017届高三下学期广州二模数理

2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{}

11A x x =-<，110B x x ⎧⎫

=-

≥⎨⎬⎩⎭

，则A B =∩（ ） A ．{}

12x x ≤< B ．{}02x x <

01x x << 2．若复数z 满足()34i i 2i z -+=+，则复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限 3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2- D ．3-

A ．

B ．

C ．

D ． 4．从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ ） A ．

15 B ．25 C ．12 D ．3

5

5．函数()()

ln 1f x x x =-+的大致图象是（ ） 6．已知2

cos 423

πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin θ=（ ） A ．

79 B ．19 C ．19- D ．79

-

7．已知点()4,4A 在抛物线2

2y px =（()0p >）上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作该

抛物线准线的垂线，垂足为E ，则EAF ∠的平分线所在的直线方程为（ ） A ．2120x y +-= B ．2120x y +-=C ．240x y --= D ．240x y -+= 8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ） A ．

35 B ．35 C ．92 D ．9

8

9．已知R k ∈，点(),P a b 是直线2x y k +=与圆2

2

2

23x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（ ）

A ．15

B ．9

C ．1

D ．5

3

- 10．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（ ）

A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢

⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1725,4

4ππ⎡⎫

⎪⎢⎣⎭ D ．[)4,6ππ 11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）

A ．

83 B ．163 C ．323

D ．16 12．定义在R 上的奇函数()y f x =为减函数，若m ，n 满足

()22f m m -+()220f n n -≥，则当1n ≤32≤

时，m

n

的取值范围为（ ） A ．2,13⎡⎤-

⎢⎥⎣⎦ B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知点()00O ，，()1,3A -，()24B -，，2OP OA mAB =+，若点P 在y 轴上， 则实数m = ．

14．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有 个． 15．设()

()

5

4

23x y x y -+9872987a x a x y a x y =+++8910a xy a y ++，

则08a a += ．

16．在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，

4

sin 5

A =

，则对角线AC 的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，已知1238a a a =，(2133n S a a =++)

521n a a -+（*

N n ∈）.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n b nS =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．如图，ABCD 是边长为a 的菱形，60BAD ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面

ABCD ，23EB FD a ==.

（Ⅰ）求证：EF AC ⊥；（Ⅱ）求直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值.

19．某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据，

若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4，第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2， 预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3， 第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4. 令()1,2i i ξ=表示实施方案i 的第二个月的销量是促销前销量的倍数.

（Ⅰ）求1ξ，2ξ的分布列；（Ⅱ）不管实施哪种方案，i ξ与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更大.

20．已知双曲线22

15x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b

+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动点M ，N 在椭圆C 上，且43

MN =MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.

21．已知函数()ln x

f x ax b x

=

-+在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+. （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）若存在2

e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，满足()1e 4

f x ≤+，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程:在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为

20x y --=，曲线C 的参数方程为23,

2sin x y θθ

⎧=⎪⎨

=⎪⎩（θ为参数），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.

（Ⅰ）求线段AB 的长；（Ⅱ）已知点P 在曲线C 上运动，当PAB 的面积最大时，求点P 的坐标及PAB 的最大面积. 23．选修4-5：不等式选讲

（Ⅰ）已知1a b c ++=，证明：()()2

2

11a b ++++()2

16

13

c +≥

； （Ⅱ）若对任意实数x ，不等式x a -+212x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.