第二章1 能带论

2 2 [ V ( r )] ( r ) E ( r ) 2m V ( r R ) V (r ) n
(r ) 为周期场中的电子波函数
三、Bloch定理
周期场中运动的电子波函数必定是被晶格周期函数 调幅的平面波----Bloch波（调幅波）
( r R ) u ( r R )e u ( r )e e ( r )e
E(k ) E(k )
Es (k )
多值性：
带指数s
s ,k ( r )
§2.2 一维周期性势场中电子的能量状 态－Kronig-Penney模型
一、Kronig-Penney模型势
1931年Kronig-Penney提出了一个晶体势场的模型 (1)由方形势阱、势垒周期排列而成; (2)势阱宽度为c，势垒宽度为b，周期为a=b+c； (3)势阱的势能为0，势垒的高度为V0
（2）
方程解的形式
( x) u ( x)eikx u ( x na) u ( x)
(3)
d2 du 2m 2 （4） u ( x ) 2 ik ( E V ( x )) k u ( x ) 0 dx 2 dx2
(2)边界条件 在势能突变点，波函数 ( x) 以及其导数 ( x) 必须连续。
(3) 服从F-D统计。
能解释金属传导电子的热容
C Ce CL T aT 3
问题
不能解释金属、半导体和绝缘体之间的本质区别以及许多 细致的输运过程，特别是磁场中的输运现象：正值Haul系 的出现。
Bloch Brillouin的能带论
1926年奥地利物理学家薛定谔创立了量子波动力学方程， 1927年瑞士物理学家布洛赫对电子在周期性原子排列的势场 中的运动规律进行了计算，导致了能带论的诞生。 （1）晶体中电子是在周期性势场中运动； （2） 服从F-D统计。 考虑到晶格周期场作用而建立起来的能带理论，可以对晶体的 许多现象给出正确的解释，它是目前研究固体电子状态最重要 的理论。
（2）k 的取值（由周期性边界条件定）
周期性边界条件
k (r ) k (r i Ni ai )
e
ik ( i Ni ai )
e
i(
kii Ni ai )
i
i
1
假设基矢正交
ki Ni ai 2 i ,
2 ki i bi , N i ai Ni
i
Z ; i 1,2,3
§2.1 能带论的基本假定与Bloch定理
一、能带论的基本假定---单电子近似
要确定固体中电子的能量状态，出发点是组成固体的 多粒子系统的薛定谔方程：
ˆ T T V V V H e L ee eL LL
能带论: 将多体问题简化为单电子问题---单电子近似
（1）绝热近似（静态近似、波恩－奥本海默近似） 将多体问题变成多电子问题
Sommerfeld 量子自由电子气理论
20世纪初，量子力学在解决有关原子和分子的相关 问题方面，起了很大的推动作用。人们意识到必须用 量子力学的理论来解释金属中电子行为。 1928年，Sommerfeld提出量子自由电子气理论。
(1)用薛定谔方程描述电子的运动; (2) 晶体中电子是自由电子；
b1 b2 b3 r (2 )3 (2 )3 ( ) N1 N 2 N 3 N1N 2 N 3 N d V
状态空间中状态密度或单位体积状态数为： (k )
状态空间 d k 体积中，状态数为：
V (2 ) 3
dZ 2 (k )dk
（4）能量本征值以及Bloch函数的一些性质
布洛赫定理的证明：
（１）引入晶格平移算子 （２）证明对易关系 有共同的本征函数
ˆ ( R ) f ( r ) f (r R ) T n n
ˆ ( R ), H ˆ (r )] T ˆ ( R )H ˆ (r ) H ˆ (r )T ˆ(R ) 0 [T n n n
ˆ (r ) E (r ) H
ik ( r R ) ik r ik R
(r ) u (r )e u (r R ) u (r )
ik . r k k k k
ik R
uk ( r ) k
具有晶格周期性的函数
实矢量，量纲：物理意义，k 是动量本征值。 1 ik r f ,k e V
P i ,
P f ,k ( r ) k f ,k ( r )
Bloch函数不是动量算符的本征函数。因此， k 不是晶格电 子的真实动量，是一个具有动量量纲的量。
(r ) u (r )e u (r R ) u (r )
Z ; i 1,2,3
i
1 2 3 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
限制在第一布里渊区内
b1 b1 k1 2 2
Ni 2
b2 b2 k2 2 2
b3 b3 k3 2 2
i
Ni , i 1, 2,3 2
Bloch函数
k (r ) uk (r )eik .r
平面波因子，描述晶体电子的公有化运动； 反映电子在原胞中的运动，取决于原胞中的势场。
e
ik r
uk ( r )
周期性：
k K (r ) k (r )
h
E(k Kh ) E(k )
对称性：
* k ( r ) k (r )
ˆ T T V V V H e L ee eL LL
M原子实>>m电，认为原子实（离子实）固定在瞬 时的位置上
H e Te Vee VeL

（2）Hartree-Fock平均场近似（单电子近似）
将多电子问题变成单电子问题
H e Te Vee VeL

假定电子之间的相互作用可用某种平均场来代替， 每个电子是在离子势场以及其它电子的平均场中运动。
作用在每个电子上的势只与该电子的位置有关，而 与其它电子的位置和状态无关。
H 1e

T1e Vee ( r ) Ve ( r )
Ve (r ) 为固定离子势场。
V ee ( r )为其他电子

T1e 为单个电子的动能，
的平均场，
（3）周期势场假定：单电子在周期势场中运动。
认为所有离子势场和其它电子的平均场是周期性 势场，具有与晶格相同的周期：
数学表达:
在一个周期-b<x<c区域，粒子的势能：
0 V ( x) V0
(0 x c ) (b x 0)
其它区域
（1）
V ( x na) V ( x)
势能的周期性是晶格周期性的反映
二、方程、边界条件
(1) 运动方程
2 d 2 V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx V ( x) V ( x na)
n
四、讨论
(1)波矢 k 的意义 实矢量 k 起着标志电子状态的量子数的作用，故称为
波矢。
波函数、能量本征值都与波矢有关，不同 k 表示电子的
不同状态。
ˆ ( r ) E ( k ) ( r ) H k k ik r k ( r ) e uk ( r ) u ( r R ) u ( r ) k n k
第二章
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7
能带论（Band Theory）
能带论的基本假定与Bloch定理 Kronig-Penney模型 近自由电子近似 紧束缚近似 晶体中电子的准经典运动 固体导电性能的能带论解释 Si、Ge、GaAs的能带结构
§2.0 引言
固体中电子运动论发展三阶段 : Drude－Lorentz经典自由电子气理论
li 共 Ni个不同的取值
第一布里渊区内，波矢代表点数目为N＝N1N2N3
（3）状态密度
1 2 3 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
波矢在状态空间（倒格子空间）中是均匀分布的，每个点都落在 以 bi N为基矢的格子的格点上。
i
每个状态代表点在状态空间中所占的体积为：
(1) 晶体中电子（价电子）是自由电子 (2) 服从M-B分布
欧姆定律
j E
Wiedemann-Franz Law
热导率与电导率之间的关系： LT
问题：不能解释传导电子的热容
该理论预言：自由电子的热容为3/2NkBＴ，与晶格热容可比拟； 对大多数金属，实验值只有该理论值的1％。 原因：不是所有价电子（N个）参与贡献，只有费米面附近的 电子参与贡献。
Vee (r ) Ve (r ) V (r ) V (r Rn )
绝热近似
将多体问题变成多电子问题
Hartree-Fock 平均场近似
将多电子问题变成单电子问题
周期势场假定
晶体中电子运动问题
周期性势场单电子运动问题
二、晶体中电子的运动方程
在能带论的基本假定下，可以用下面的方程来描述晶体中单电 子的定态运动：
u( x) 和 u( x) 在势能突变点必须连续。
三、通解（分段考虑）
d2 du 2m 2 u ( x ) 2 ik ( E V ( x )) k u ( x) 0 2 2 dx dx
（1）在区域 0 x c中，势能 V ( x) 0
2mE 2 2

d 2u ( x ) du 2 2 2 ik k u ( x) 0 2 dx dx