(完整版)概率论第二章答案
概率论第二章练习答案
《概率论》第二章练习答案一、填空题：”2x c S 11.设随机变量X的密度函数为f(x)= 则用丫表示对X的3次独立重复的0 其匕'-观察中事件(X< -)出现的次数，则P (丫= 2)= ___________________ 。
22.设连续型随机变量的概率密度函数为：ax+b 0<x<1f (x)=I 0 其他1且EX=丄，贝U a = -2 , b = 2 。
3 ------------------- ----------------------3. 已知随机变量X在［10 , 22 ］上服从均匀分布，则EX=」6 ________________ , DX= 124. 设为随机变量，E =3, E 2=11,则 E (4 10) = 4E TO =225. 已知X的密度为(x)二ax©"bY010 . x ::11 1(x ) =P(X»),则3 36.7. 1 1(X〈一)= P ( X〉一)一1(ax b)dxjQx b)联立解得:dx若f(x)为连续型随机变量X的分布密度，则J［f(x)dx= ________ 1——'J设连续型随机变量汕分布函数F(x)=x2/：,丨1, x ：： 00 岂x ：：： 1，则P ( E =0.8 ) = _0_; P(0.2 ：：：： 6) = 0.998. 某型号电子管，其寿命(以小时记)为一随机变量，概率密度：(x)二x _100x2，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不0(其他)需要更换的概率为_____厂100 8/27 _________ x> 1009.设随机变量X服从(n, p)分布，已知EX= 1.6 ,DX= 1.28 ,则参数n=P= oEX = np = 1.6DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.210.设随机变量x服从参数为(2, p)的二项分布，丫服从参数为(4, p)的二项分5布，若P (X> 1)=-，贝U P (Y> 1)=—65/81 _____________ o9解:13.已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z= 3X- 2的期望E (Z)= 3EX-2=3x2-2=4 。
概率论第二章习题答案
概率论第二章习题答案习题1：离散型随机变量及其分布律设随机变量X表示掷一枚公正的六面骰子得到的点数。
求X的分布律。
解答：随机变量X的可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6。
由于骰子是公正的，每个面出现的概率都是1/6。
因此，X的分布律为：\[ P(X=k) = \frac{1}{6}, \quad k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 \]习题2：连续型随机变量及其概率密度函数设随机变量Y表示从标准正态分布中抽取的数值。
求Y的概率密度函数。
解答：标准正态分布的概率密度函数为高斯函数，其形式为：\[ f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}, \quad -\infty < y < \infty \]习题3：随机变量的期望值已知随机变量X的分布律为：\[ P(X=k) = p_k, \quad k = 1, 2, ..., n \]求X的期望值E(X)。
解答：随机变量X的期望值定义为：\[ E(X) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot p_k \]习题4：随机变量的方差继续使用习题3中的随机变量X，求X的方差Var(X)。
解答：随机变量X的方差定义为期望值的平方与每个值乘以其概率之和的差：\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]其中，\( E(X^2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot p_k \)习题5：二项分布设随机变量X表示n次独立伯努利试验中成功的次数，每次试验成功的概率为p。
求X的分布律和期望值。
解答：X服从参数为n和p的二项分布。
其分布律为：\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, ..., n \]X的期望值为：\[ E(X) = np \]结束语：以上是概率论第二章的一些典型习题及其解答。
概率论第二章习题解答
a
b X t
ba
0
F
t
t b
a a
1
ta at b bt
2024年8月31日7时2分
P44 2.4.1 X ~ U 0,10,均匀分布 0, x 0
概率密度f
方程x2
x
1
=10
,
0,
Xx 1
0 x 10 分布函数F 其它
0有实根,
x
x 10 1
0 x 10 10 x
=X 2 4 0 X 2
1 P A1 A2 A3 1 P A1 A2 A3 1 P A1A2 A3
1 P A1 P A2 P A3 1 0.9730633 0.078654
设Y “3人维修的90台设备发生故障的台数”
近似
则Y ~ B 90，0.01， 2 =np 90 0.01 0.9,Y ~ 0.9
Probability
2024年8月31日7时2分
第二章 随机变量及其分布 P35练习2.2
1
P
X
k
k
A
k 1
k
1, 2,
,且
k 1
k
A
k 1
1
1
k 1
k
A
k 1
A
k 1
k
1
k 1
A 11
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
A
A1
2024年8月31日7时2分
P35练习2.2
2 解：设X =8次射击击中目标次数，则X ~ N 8,0.3
2024年8月31日7时2分
P49 2.5.1 Y sin X 1,0,1
X
概率论第二章习题及答案
三、一些常用的离散型随机变量
1) Bernoulli分布 如果随机变量 X 的分布律为
PX 0 1 p q ， PX 1 p
或
P{ X k } p q
X P
k 1 k
(k 0 , 1)
1 p
0 1-p
则称随机变量 X 服从参数为 p 的 Bernoulli分布． 记作 X ~ B1 ， p . 其中0 p 1 为参数
第二章 随机变量及其分布
一、 随机变量的定义
设E是一个随机试验，S是其样本空间．若对每一个
S , 都有唯一确定的一个实 数X 与之对应 , 则称
X 为一个随机变量.
S
X
R
第二章 习题课
二、离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 x1 ， x2 ， ， xk ， 并设
如果连续型随机变量X 的密度函数为 （I）
1 2 2 x f x e 2 其中 ， 0 为参数， 则称随机变量X 服从参数为 ， 2 的
正态分布．记作
f (x)
x 2
X ~ N ，
2
0
第二章 随机变量及其分布
4）几 何 分 布
若随机变量 X 的分布律为
PX k q k 1 p
k 1， 2，
其中 p 0，q 0，p q 1
则称随机变量 X 服从参数为 p的几何分布．
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第二章 随机变量及其分布
5）超 几 何 分 布
如果随机变量 X 的分布律为
x
f ( t )dt,
概率论第二章习题解答(全)
概率论第二章习题1考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。
若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。
解设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010；0.9988，于是得分布律为X20（万）5万0xp 0.00020.00100.99882.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。
在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。
解（1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。
每次取3个球，其总取法：35541021C ⋅==⋅，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。
因而其概率为22335511{3}10C P X C C ====若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4；2，3，4共3种取法，其概率为23335533{4}10C P X C C ====若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法其概率为25335566{5}10C P X C C ====一般地3521)(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为X 345xp 101103610（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，则样本点为S ＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件，X 的取值为1,2，3,4，5,6，最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11{1}36P X ==；最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3），9{2}36P X ==；最小点数为3的共有7种，7{3}36P X ==；最小点数为4的共有5种，5{4}36P X ==；最小点数为5的共有3种，3{5}36P X ==；最小点数为6的共有1种，1{6}36P X ==于是其分布律为X 123456kp 11369367365363361363设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品的次数，（1）求X 的分布律；（2）画出分布律的图形。
概率论与数理统计第二章答案
第二章 随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为投保一年内没有死亡：0X0 P2、一袋中有55，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5P ：106,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。
3522)0(315313===C C X P3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2P ： 351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。
（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
） x1 2 O P（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = k － k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
(完整版)概率论与数理统计及其应用课后答案(浙大版)第2章随机变量及其分布
第2章 随机变量及其分布1，解：显然，Y 是一个离散型的随机变量，Y 取k 表明第k 个人是A 型血而前1-k 个人都不是A 型血，因此有116.04.0)4.01(4.0}{--⨯=-⨯==k k k Y P ， （Λ,3,2,1=k ）上式就是随机变量Y 的分布律（这是一个几何分布）。
2，解：X 只能取值0，1，2。
设以)3,2,1(=i A i 记第i 个阀门没有打开这一事件。
则)}(){()}({}0{3121321A A A A P A A A P X P ⋃=⋃==)()()()()()()(}{}{}{32131213213121A P A P A P A P A P A P A P A A A P A A P A A P -+=-+= 072.0)8.01()8.01()8.01(322=---+-=，类似有512.08.0)()}({}2{3321321=====A A A P A A A P X P ，416.0}2{}0{1}1{==-=-==X P X P X P ,综上所述，可得分布律为3,解：根据题意，随机变量X 服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为15,2,1,0,8.02.0)(1515Λ=⨯⨯==-k C k X P k k k 。
（1）,2501.08.02.0)3(123315=⨯⨯==C X P（2）8329.0)0()1(1)2(==-=-=≥X P X P X P ；（3）6129.0)3()2()1()31(==+=+==≤≤X P X P X P X P ；（4）)2()3()4()5(1)5(=-=-=-=-=>X P X P X P X P X P0611.0)0()1(==-=-X P X P4，解：对于][5/3G 系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。
而系统中正常工作的元件个数X 服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为99144.01.09.0)(535553=⨯⨯==∑∑=-=k k k k k Ck X P5，解：根据题意，次品数X 服从二项分布B(8000, 0.001)，所以∑=-⨯=≤=<6080008000999.0001.0)6()7(k k k kC X P X P3134.0!8!)001.08000(6860001.08000==⨯≈∑∑=-=⨯-k k k k k e k e （查表得）。
概率论第二章练习答案解析
《概率论》第二章 练习答案一、填空题：1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=⎩⎨⎧02x 其它1〈⨯〈o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事件(X≤21)出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。
⎰==≤412021)21(xdx X P649)43()41()2(1223===C Y p 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为：ax+b 0<x<1f (x) =0 其他 且EX ＝31，则a = _____-2___________， b = _____2___________。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+→⎰⎰解之31)(011)(01dx b ax x dx b ax 3. 已知随机变量X 在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ， DX= 124. 设=+==）（，则，为随机变量，1041132ξξξξE E E 22104=+ξE =+)104(ξD []32161622=-=）（ξξξE E D 5. 已知X 的密度为=)(x ϕ 0b ax + 且其他,10<<x P （31<x ）=P(X>31) ，则a = , b =⎰⎰⎰+=+⇒==+∞∞-10133131311dx b ax dx b ax x P x P dx x ）（）（）〉（）〈（）（ϕ联立解得：4723=-=b a ，6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则⎰+∞∞-=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。
7. 设连续型随机变量ξ的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,110,4/0,0)(2x x x x x F ，则 P （ξ=0.8）= 0 ；)62.0(<<ξP = 0.99 。
8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ϕ＝()⎪⎩⎪⎨⎧≥)(01001002其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。
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习题2-21. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0<p <1). 定义随机变量1,,0,A X A =⎧⎨⎩发生不发生.写出随机变量X 的分布律.解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p .或者X 0 1 P 1-pp2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值,且取这四个值的相应概率依次为. 试确定常数c , 并计算条件概率.cc c c 167,85,43,21}0|1{≠<X X P 解 由离散型随机变量的分布律的性质知，13571,24816c c c c+++=所以.3716c=所求概率为P {X <1| X }=.0≠258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布, 若≥, 求≥.{P X 51}9={P Y 1}解 注意p{x=k}=,由题设≥kk n k n C p q -5{9P X =21}1{0}1,P X q =-==-故. 从而213qp =-=≥{P Y 32191}1{0}1(.327P Y =-==-=4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为, 求每次试验成功的概率.1927解设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是，那么一次都2719没有成功的概率是. 即, 故 =.278278)1(3=-p p 315. 若X 服从参数为的泊松分布, 且, 求参数.λ{1}{3}P X P X ===λ解 由泊松分布的分布律可知.6=λ6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律.解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表示3个数中的最大值，X 的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有种取法.1035=C {X =3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X =3}==;2235C C 101{X =4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X =4}=;1033523=C C {X =5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X =5}=.533524=C C X 的分布律是X 345P11031035习题2-31. 设X 的分布律为X -11P0.150.200.65求分布函数F (x ), 并计算概率P {X <0}, P {X <2}, P {-2≤X <1}.解 (1)F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.x x x x <-⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪⎩≤≤≥ (2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35.2. 设随机变量X 的分布函数为F (x ) = A +B arctan x -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知(0112,.2()12A B A B A B πππ⎧+-=⎪⎪⇒==⎨⎪+=⎪⎩于是11()arctan ,.2F x x x π=+-∞<<+∞(2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤ 1111(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+- 11111().24242ππππ=+⋅---=3. 设随机变量X 的分布函数为F (x )=0, 0, 01,21,1,,x xx x <<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ≤ ≥求P {X ≤-1}, P {0.3 <X <0.7}, P {0<X ≤2}.解 P {X ,1}(1)0F -=-=≤P {0.3<X <0.7}=F (0.7)-F {0.3}-P {X =0.7}=0.2,P {0<X ≤2}=F (2)-F (0)=1.5. 假设随机变量X 的绝对值不大于1;; 在事件11{1},{1}84P X P X =-===出现的条件下, X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成{11}X -<<正比. (1) 求的分布函数≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .X (){F x P X =解 (1) 由条件可知,当时, ;1x <-()0F x =当时, ;1x=-1(1)8F -=当时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1.1x =所以115{11}(1)(1){1}1.848P X F F P X -<<=---==--=易见, 在X 的值属于的条件下, 事件的条件概率为(1,1)-{1}X x -<<≤,{1P X -<|11}[(1)]x X k x -<<=--取x =1得到 1=k (1+1), 所以k =. 12因此≤.{1P X -<|11}12x X x -<<=+于是, 对于, 有11x -<<≤≤{1P X -<}{1x P X =-<,11}x X -<<{11}{1|11}≤P X P X x X =-<<-<-<< 5155.8216x x ++=⨯=对于≥1, 有 从而x () 1.F x =0,1,57(),11,161,1.x x F x x x <-+=-<<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥(2) X 取负值的概率7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16p P X F P X F F F F =<=-==---=-=习题2-41. 选择题(1) 设 如果c =( ), 则是某一随机变量的概率密2, [0,],()0, [0,].x x c f x x c ∈=∉⎧⎨⎩()f x 度函数.(A). (B). (C) 1.(D).131232解 由概率密度函数的性质可得, 于是, 故本题()d 1f x x +∞-∞=⎰2d 1cx x =⎰1=c 应选(C ).(2) 设又常数c 满足, 则c 等于( ).~(0,1),XN {}{}P X c P X c =<≥(A) 1.(B) 0.(C). (D) -1.12解 因为, 所以,即{}{}P X c P X c =<≥1{}{}P X c P X c -<=<, 从而,即, 得c =0. 因此本题应选(B).2{}1P X c <={}0.5P X c <=()0.5c Φ=(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).(A)(B)cos ,[0,],()0,x x f x π∈=⎧⎨⎩其它.12,()20,x f x <=⎧⎪⎨⎪⎩其它.(C) (D)22()2,0,()0,0.≥x x f x x μσ--=<⎩e ,0,()0,0.≥x x f x x -=<⎧⎨⎩解 由概率密度函数的性质可知本题应选(D).()1f x dx +∞-∞=⎰(4) 设随机变量, , ≤},2~(,4)XN μ2~(,5)Y N μ1{X P P =4μ-≥}, 则( ).{2P P Y =5μ+(A) 对任意的实数. (B) 对任意的实数.12,P P μ=12,P P μ<(C) 只对实数的个别值, 有. (D) 对任意的实数.μ12P P =12,P P μ>解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有μ.12(1)1(1)P P ΦΦ=-=-=因此本题应选(A).(5) 设随机变量X 的概率密度为, 且, 又F (x )为分布函数, 则对()f x ()()f x f x =-任意实数, 有().a (A) . (B) .()1d ()∫aF a x f x -=-1()d 2()∫aF a x f x -=-(C) .(D) .()()F a F a -=()2()1F a F a -=-解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).(6)设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且X211(,)N μσY 222(,)N μσ 则下式中成立的是().12{1}{1},P X P Y μμ-<>-<(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2.(D) μ1 >μ2.解 答案是(A).(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数,数满足)10(<<αααu , 若, 则等于().{}P X u αα>={}P X x α<=x (A) .(B) .(C) .(D) .2u α21α-u 1-2u αα-1u 解 答案是(C).2. 设连续型随机变量X 服从参数为的指数分布, 要使成立, λ1{2}4P kX k <<=应当怎样选择数k ?解 因为随机变量X 服从参数为的指数分布, 其分布函数为λ1e ,0,()0,0.≤x x F x x λ-->=⎧⎨⎩由题意可知.221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-于是.ln 2k λ=3. 设随机变量X 有概率密度34,01,()0,x x f x <<=⎧⎨⎩其它,要使(其中a >0)成立, 应当怎样选择数?{}{}≥P X a P X a =<a 解由条件变形,得到,可知, 于是1{}{}P X a P X a -<=<{}0.5P X a <=, 因此.304d 0.5a x x =⎰a =4. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,()01,1,1,,≤≤x F x x x x <=>⎧⎪⎨⎪⎩求: (1) X 的概率密度; (2).{0.30.7}P X <<解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系,()()F x f x '=可得2,01,()0,其它.x x f x <<⎧=⎨⎩(2).22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=5. 设随机变量X 的概率密度为f (x )＝2,01,0,x x ⎧⎨⎩ ≤≤ 其它,求P {X ≤}与P {≤2}.1214X ＜解≤;{P X 12201112d 224}x x x ===⎰≤.1{4P X <12141152}2d 1164x x x ===⎰6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,x x f x A x x <=-<⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它.求: (1) 常数A ；(2) X 的分布函数F (x ).解 (1) 由概率密度的性质可得,12221121111d ()d []122x x A x x xAx x A =+-=+-=-⎰⎰于是；2A =(2) 由公式可得()()d x F x f x x -∞=⎰当x ≤0时, ;()0F x =当≤1时, ;0x <201()d 2x F x x x x ==⎰当≤2时, ;1x <2101()d (2)d 212xx F x x x x x x =+-=--⎰⎰当x >2时, .()1F x =所以220,0,1()221, 2.1,021,12x F x x x x x x x =->⎧⎪⎪<⎪⎨⎪-<⎪⎪⎩≤≤,≤,7. 设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,x x f x ⎧⎪⎨⎪⎩+<<=其它,对X 独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.解 根据概率密度与分布函数的关系式≤,{P a X <}()()()d bab F b F a f x x =-=⎰可得.2115{1}(1)d48P X x x>=+=⎰所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为.223333535175()()(888256C C+=8. 设, 求关于x的方程有实根的概率.~(0,5)X U24420x Xx++=解随机变量X的概率密度为105,()50,,xf x<=⎧⎪⎨⎪⎩≤其它,若方程有实根, 则≥0, 于是≥2. 故方程有实根的概率为21632X-2XP{≥2}=2X21{2}P X-<1{P X=-<<1x=-.1=9. 设随机变量.)2,3(~2NX(1) 计算, , , ；{25}P X<≤{410}P X-<≤{||2}P X>}3{>XP(2) 确定c使得{}{};P X c P X c>=≤(3) 设d满足, 问d至多为多少？{}0.9P X d>≥解(1) 由P{a<x≤b}=P{公式,33333}()()22222a Xb b aΦΦ-----<=-≤得到P{2<X≤5}=,(1)(0.5)0.5328ΦΦ--=P{-4<X≤10}=,(3.5)( 3.5)0.9996ΦΦ--==+{||2}P X>{2}P X>{2}P X<-=1+=0.6977,23(2Φ--23()2Φ--=1=0.5 .}3{>XP33{3}1()1(0)2P XΦΦ-=-=-≤(2) 若,得1,所以{}{}≤P X c P X c>={}{}P X c P x c-=≤≤{}0.5P X c=≤由=0推得于是c =3.(0)Φ30,2c -=(3) 即1, 也就是{}0.9≥P Xd >3()0.92d Φ--≥,3()0.9(1.282)2d ΦΦ--=≥因分布函数是一个不减函数, 故(3)1.282,2d --≥解得.32( 1.282)0.436d +⨯-=≤10. 设随机变量, 若, 求.2~(2,)XN σ{04}0.3P X <<={0}P X <解 因为所以. 由条件可知()~2,X N σ2,~(0,1)XZ N μσ-={04}0.3P X <<=,02242220.3{04}{}((X P X P ΦΦσσσσσ---=<<=<<=--于是, 从而.22(10.3Φσ-=2(0.65Φσ=所以.{{}2020}P P X X σσ==--<<22()1(0.35ΦΦσσ-=-=习题2-51. 选择题(1) 设X 的分布函数为F (x ), 则的分布函数为( ).31Y X =+()G y (A) . (B) . 11(33F y -(31)F y +(C) .(D).3()1F y +1133()F y -解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A).(2) 设令, 则( ).()~01,XN ,2Y X =--~Y (A). (B). (C). (D).(2,1)N --(0,1)N (2,1)N -(2,1)N 解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C).2. 设, 求Z 所服从的分布及概率密度.~(1,2),23X N Z X =+解 若随机变量, 则X 的线性函数也服从正态分布, 即2~(,)XN μσY aX b =+ 这里所以Z .2~(,()).Y aX b N a b a μσ=++1,μσ==~(5,8)N 概率密度为.()f z =2(5)16,x x ---∞<<+∞3. 已知随机变量X 的分布律为X -10137P0.370.050.20.130.25(1) 求Y ＝2－X 的分布律； (2) 求Y ＝3＋X 2分布律.解 (1)2－X -5-1123P0.250.130.20.050.37(2)3＋X 2341252P0.050.570.130.254. 已知随机变量X 的概率密度为＝()X f x 1142ln 20x x <<⎧⎪⎨⎪⎩ ， 其它，且Y ＝2－X , 试求Y 的概率密度.解 先求Y 的分布函数:)(y F Y =≤≤≥)(y F Y {P Y }{2y P X =-}{y P X=2}y -=1-.1{2}P Xy =-<-2()d yX f x x --∞⎰于是可得Y 的概率密度为=()(2)(2)Y X f y f y y '=---12(2)ln 20,.,124,其它y y -⎧<-<⎪⎨⎪⎩即121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-⎧⎪=⎨⎪⎩5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量的概率密度.2Y X =解 由题意可知随机变量X 的概率密度为()0,.1,22,4其它X f x x =⎧-<<⎪⎨⎪⎩因为对于0<y <4,≤≤≤X .(){Y F y P Y =2}{y PX=}{yP =(X X F F =-于是随机变量的概率密度函数为2YX =()Y fy (X X f f =+0 4.y =<<即()04,0,.其它f y y =<<⎩总习题二1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.解 以X 表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知.~(5,0.2)X B (1) 恰好有3件次品的概率是P {X =3}=.23358.02.0C (2) 至多有3件次品的概率是.k k k kC-=∑5358.02.02. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1. 问在同一时刻(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？(2) 至少有1个设备被使用的概率是多少？(3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？(4) 至少有3个设备被使用的概率是多少？解 以X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则X ~B (5,0.1),P {X =k }=,k =0,1, (5)k kk C -559.01.0(1)所求的概率是P {X =2}=;0729.09.01.03225=C (2)所求的概率是P {X ≥1}=1;40951.0)1.01(5=--(3)所求的概率是 P {X ≤3}=1-P{X =4}-P {X =5}=0.99954;(4)所求的概率是P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=0.00856.3. 设随机变量X 的概率密度为e ,0,()00,≥，x k x f x x θθ-=<⎧⎪⎨⎪⎩且已知, 求常数k , θ.1{1}2P X >=解 由概率密度的性质可知得到k =1.e d 1xkx θθ-+∞=⎰由已知条件, 得.111e d 2xx θθ-+∞=⎰1ln 2θ=4. 某产品的某一质量指标, 若要求≤X ≤≥0.8, 问允2~(160,)X N σ{120P 200}许最大是多少?σ解 由≤X ≤{120P }200120160160200160{}X P σσσ---=≤≤=≥0.8,404040((1(2(1ΦΦΦσσσ--=-得到≥0.9, 查表得≥1.29, 由此可得允许最大值为31.20.40()Φσ40σσ5. 设随机变量X 的概率密度为φ(x ) = A e -|x |, -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A ; (2) P {0<X <1}; (3) X 的分布函数.解 (1) 由于即故2A = 1,得||()d e d 1,x x x A x ϕ+∞+∞--∞-∞==⎰⎰2e d 1x A x +∞-=⎰到A =.12所以φ(x ) =e -|x |.12(2) P {0<X <1} =111111e e d (e )0.316.222xxx ----=-=≈⎰(3) 因为 得到||1()e d ,2xx F x x --∞=⎰当x <0时, 11()e d e ,22x x xF x x -∞==⎰当x ≥0时, 00111()e d e d 1e ,222x x x xF x x x ---∞=+=-⎰⎰所以X 的分布函数为1,0,2()11,0.2xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩e e ≥。