概率论第二章练习答案
概率论第二章习题答案
概率论第二章习题答案习题1：离散型随机变量及其分布律设随机变量X表示掷一枚公正的六面骰子得到的点数。
求X的分布律。
解答：随机变量X的可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6。
由于骰子是公正的，每个面出现的概率都是1/6。
因此，X的分布律为：\[ P(X=k) = \frac{1}{6}, \quad k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 \]习题2：连续型随机变量及其概率密度函数设随机变量Y表示从标准正态分布中抽取的数值。
求Y的概率密度函数。
解答：标准正态分布的概率密度函数为高斯函数，其形式为：\[ f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}, \quad -\infty < y < \infty \]习题3：随机变量的期望值已知随机变量X的分布律为：\[ P(X=k) = p_k, \quad k = 1, 2, ..., n \]求X的期望值E(X)。
解答：随机变量X的期望值定义为：\[ E(X) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot p_k \]习题4：随机变量的方差继续使用习题3中的随机变量X，求X的方差Var(X)。
解答：随机变量X的方差定义为期望值的平方与每个值乘以其概率之和的差：\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]其中，\( E(X^2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot p_k \)习题5：二项分布设随机变量X表示n次独立伯努利试验中成功的次数，每次试验成功的概率为p。
求X的分布律和期望值。
解答：X服从参数为n和p的二项分布。
其分布律为：\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, ..., n \]X的期望值为：\[ E(X) = np \]结束语：以上是概率论第二章的一些典型习题及其解答。
概率论第二章习题解答
a
b X t
ba
0
F
t
t b
a a
1
ta at b bt
2024年8月31日7时2分
P44 2.4.1 X ~ U 0,10,均匀分布 0, x 0
概率密度f
方程x2
x
1
=10
,
0,
Xx 1
0 x 10 分布函数F 其它
0有实根,
x
x 10 1
0 x 10 10 x
=X 2 4 0 X 2
1 P A1 A2 A3 1 P A1 A2 A3 1 P A1A2 A3
1 P A1 P A2 P A3 1 0.9730633 0.078654
设Y “3人维修的90台设备发生故障的台数”
近似
则Y ~ B 90，0.01， 2 =np 90 0.01 0.9,Y ~ 0.9
Probability
2024年8月31日7时2分
第二章 随机变量及其分布 P35练习2.2
1
P
X
k
k
A
k 1
k
1, 2,
,且
k 1
k
A
k 1
1
1
k 1
k
A
k 1
A
k 1
k
1
k 1
A 11
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
A
A1
2024年8月31日7时2分
P35练习2.2
2 解：设X =8次射击击中目标次数，则X ~ N 8,0.3
2024年8月31日7时2分
P49 2.5.1 Y sin X 1,0,1
X
概率论第二章习题及答案
三、一些常用的离散型随机变量
1) Bernoulli分布 如果随机变量 X 的分布律为
PX 0 1 p q ， PX 1 p
或
P{ X k } p q
X P
k 1 k
(k 0 , 1)
1 p
0 1-p
则称随机变量 X 服从参数为 p 的 Bernoulli分布． 记作 X ~ B1 ， p . 其中0 p 1 为参数
第二章 随机变量及其分布
一、 随机变量的定义
设E是一个随机试验，S是其样本空间．若对每一个
S , 都有唯一确定的一个实 数X 与之对应 , 则称
X 为一个随机变量.
S
X
R
第二章 习题课
二、离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 x1 ， x2 ， ， xk ， 并设
如果连续型随机变量X 的密度函数为 （I）
1 2 2 x f x e 2 其中 ， 0 为参数， 则称随机变量X 服从参数为 ， 2 的
正态分布．记作
f (x)
x 2
X ~ N ，
2
0
第二章 随机变量及其分布
4）几 何 分 布
若随机变量 X 的分布律为
PX k q k 1 p
k 1， 2，
其中 p 0，q 0，p q 1
则称随机变量 X 服从参数为 p的几何分布．
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第二章 随机变量及其分布
5）超 几 何 分 布
如果随机变量 X 的分布律为
x
f ( t )dt,
概率论课本答案2(龙版)
第二章 （证明题略）练习2-1练习题1. 2. 3. 见教材P259页解答。
4．解：X: 甲投掷一次后的赌本。
Y ：乙……… 21214020p x 21213010Y p⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=40,14020,2120,0)(F ~x x x x x X ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=30,13010,2110,0)(F ~Y x x x y Y5.解（1）∑∑∑∑=====⇒=⇒=⇒==10011001100110012112121)(i ii i i i ia a a i x p（２）31211112112121)(1111=⇒=--⇒=⇒=⇒=⇒==∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=a a a a ai x p i i i i i i i6.解 21 51 101512 0 25X --p 7．解（１）X:有放回情形下的抽取次数。
P （取到正品）＝107C C 11017=P （取到次品）＝103 107)103( 107)103( 107103,107i 3 2 1X 1-i 2 ⋅p（２）Y:无放回情形下。
778192103 87 92103 97 103 1074 3 2 1 Y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅p8．解54511)5(1)3(1)3P(=-=-=-=-≤-=->X p X p X 542)P(X 0)P(X )2()33()3X P(==+=+-==<<-=<X p X p 107)5()2()3()1()21P(2)1()21X P(=-=+==-<+>=-<++>+=>+X p X p X p X p X X p9．解（１）根据分布函数的性质11)1()(2lim 1lim 1=⇒=⇒=++→→A Ax F x F x x(2))5.0()8.0()8.05.0(F F X P -=≤<225.08.0-=＝0.3910．解：依据分布满足的性质进行判断： （１）+∞<<∞-x单调性：+∞<<<⇒<x x F x F x x 0).()(2121在时不满足。
概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)
第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。
概率论第二章习题解答(全)
概率论第二章习题1考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。
若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。
解设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010；0.9988，于是得分布律为X20（万）5万0xp 0.00020.00100.99882.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。
在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。
解（1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。
每次取3个球，其总取法：35541021C ⋅==⋅，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。
因而其概率为22335511{3}10C P X C C ====若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4；2，3，4共3种取法，其概率为23335533{4}10C P X C C ====若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法其概率为25335566{5}10C P X C C ====一般地3521)(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为X 345xp 101103610（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，则样本点为S ＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件，X 的取值为1,2，3,4，5,6，最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11{1}36P X ==；最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3），9{2}36P X ==；最小点数为3的共有7种，7{3}36P X ==；最小点数为4的共有5种，5{4}36P X ==；最小点数为5的共有3种，3{5}36P X ==；最小点数为6的共有1种，1{6}36P X ==于是其分布律为X 123456kp 11369367365363361363设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品的次数，（1）求X 的分布律；（2）画出分布律的图形。
概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析
第二章习题与答案同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！标红表示正确答案标蓝表示解析1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。
A普查B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】D统计报表2、人口普查规定标准时间是为了（）。
A确定调查对象和调查单位B避免资料的重复和遗漏。
C使不同时间的资料具有可比性D便于登记资料【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。
A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查4、分布数列反映( )。
A总体单位标志值在各组的分布状况B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】C总体单位标志值的差异情况D总体单位的差异情况5、与直方图比较，茎叶图( )。
A没有保留原始数据的信息B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。
为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。
课本P38】C更适合描述分类数据D不能很好反映数据的分布特征6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。
A大于该组上限的次数是多少B大于该组下限的次数是多少C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。
课本P33】D小于该组下限的次数是多少7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。
A. 200B. 250C. 500D. 300【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。
概率论第二章习题参考解答
概率论第二章习题参考解答1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数. 解: 假设ξ=1对应于"正面朝上",ξ=0对应于反面朝上. 则 P (ξ=0)=P (ξ=1)=0.5 . 其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=11105.000)(x x x x F 2. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出ξ的分布律和分布函数.解: 根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=0) (1) 并由概率分布的性质知 P (ξ=0)+P (ξ=1)=1 (2) 将(1)代入(2)得3P (ξ=0)=1, 即P (ξ=0)=1/3 再由(1)式得 P (ξ=1)=2/3因此分布律由下表所示ξ0 1 P 1/32/3而分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=<≤<=11103/100)(x x x x F 3. 如果ξ的概率函数为P {ξ=a }=1, 则称ξ服从退化分布. 写出它的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形. 解: ⎩⎨⎧≥<=ax a x x F 10)(, 它的图形为4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数. 解 设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=2) (1)P (ξ=3)=P (ξ=2)/2 (2) 由概率论性质可知P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)=1 (3)(1),(2)代入(3)得:2P (ξ=2)+P (ξ=2)+P (ξ=2)/2=1解得P (ξ=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得 P (ξ=1)=4/7, P (ξ=3)=1/7 则概率函数为)3,2,1(271)(3=⨯==-i i P i ξ或列表如下:5. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个中的次品数ξ的分布律.解: 基本事件总数为420C n =,有利于事件{ξ=i }(i =0,1,2,3,4)的基本事件数为ii i C C n -=4155, 则001.01731911718192051234)4(031.0171952121545171819201234)3(2167.01718191415231212141545171819201234)2(4696.01718191314151231314155171819201234)1(2817.01719137123412131415171819201234)0(445420115354202152542031515420415=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C P C C C P C C C P C C C P C C P ξξξξξ 6. 一批产品包括10件正品, 3件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数ξ的概率函数.解: 每次抽到正品的概率相同, 均为p =10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率q =1-p =0.2308则ξ服从相应的几何分布, 即有),3,2,1(1331310)(1=⎪⎭⎫⎝⎛⋅===-i pq i P i i ξ7. 上题中如果每次取出一件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数ξ的分布律.解: 这样抽取次数就是有限的, 因为总共只有3件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品已经全部代换为正品, 因此必然抽到正品, 这样ξ的取值为1,2,3,4.不难算出,0027.0131132133)4(0328.01312132133)3(1953.01311133)2(7692.01310)1(=⋅⋅===⋅⋅===⋅=====ξξξξP P P Pξ的分布律如下表所示:8. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p , 当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数.解: 事件ξ=i 说明生产了i 次正品后第i +1次出现废品, 这是i +1个独立事件的交(1次发生i 次不发生, 因此有P (ξ=i )=p (1-p )i , (i =0,1,2,…)9. 已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为cc c c 167,85,43,21, 确定常数c 并计算P {ξ<1|ξ≠0}.解: 根据概率函数的性质有1}2{}1{}0{}1{==+=+=+-=ξξξξP P P P即1167854321=+++cc c c 得2.3125163716710128167854321==+++=+++=c 设事件A 为ξ<1, B 为ξ≠0, (注: 如果熟练也可以不这样设)则32.0258167852121}2{}1{}1{}1{)0{}01{)()(}0|1{==++==+=+-=-==≠≠⋂<==≠<ξξξξξξξξξP P P P P P B P AB P P 10. 写出第4题及第9题中各随机变量的分布函数. 解: 第4题:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=31327/6217/410)(x x x x x F第9题:当x <-1时: F (x )=P (ξ≤x )=0 当-1≤x <0时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)=2162.03125.22121=⨯=c 当0≤x <1时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)+P (ξ=0)=5405.03125.243214321=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+c c 当1≤x <2时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)+P (ξ=0)+P (ξ=1)=8108.03125.2854321854321=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++c c c 当x ≥2时: F (x )=P (ξ≤x )=1 综上所述, 最后得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<=21218108.0105405.0012162.010)(x x x x x x F 11. 已知ξ~⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它1021)(x xx ϕ, 求ξ的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形.解: 当x <0时: F (x )=0;当0≤x <1时:xx xt x t dt t dt t dt dt t x F xxx=-==+-⋅==+==+--∞-∞-⎰⎰⎰⎰00012112121210)()(12102100ϕ 当x ≥1时: F (x )=1 综上所述, 最后得⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(x x xx x F 图形为12. 已知ξ~⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x ϕ, 求P {ξ≤0.5}; P (ξ=0.5);F (x ).解: 25.005.020)(}5.0{225.0025.005,0|=-==+==≤⎰⎰⎰∞-∞-x xdx dx dx x P ϕξ, 因ξ为连续型随机变量, 因此取任何点的概率均为零, 所以P {ξ=0.5}=0,求F (x ): 当x <0时, F (x )=0 当0≤x <1时, 220|20)()(x t tdt dt dt t x F xxx==+==⎰⎰⎰∞-∞-ϕ 当x ≥1时, F (x )=1 综上所述, 最后得:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x x x x F 13. 某型号电子管, 其寿命(以小时计)为一随机变量, 概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≥=其它0100100)(2x x x ϕ, 某一个电子设备内配有3个这样的电子管, 求电子管使用150小时都不需要更换的概率.解: 先求一个电子管使用150小时以上的概率P (ξ≥150)为:3215010012100100)()150(|150121502150==+-===≥∞++-+∞+∞⎰⎰x dx xdx x P ϕξ 则3个这样的电子管构成贝努里独立试验概型, 试验三次发生三次的概率为2963.027832)3(33==⎪⎭⎫⎝⎛=p14. 设连续型随机变量ξ的分布函数为:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x Ax x x F 求系数A ; P (0.3<ξ<0.7); 概率密度φ(x ).解: 因ξ是连续型随机变量, 因此F (x )也必是连续曲线, 则其在第二段(0,1)区间的曲线必能和第三段(1,+∞)的曲线接上, 则必有 A ×12=1, 即A =1. 则分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x x x x F P (0.3<ξ<0.7)=F (0.7)-F (0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4概率密度φ(x )为⎩⎨⎧<≤='=其它0102)()(x x x F x ϕ15. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F (x )=A +B arctg x , 求常数A ,B ;P {|ξ|<1}以及概率密度φ(x ). 解: 由F (-∞)=0, 得A +Barctg (-∞)=02=-πB A(1)再由F (+∞)=1,得12)arctg(=+=+∞+πB A B A(2)综和(1),(2)两式解得π1,21==B A 即x x F arctg 121)(π+=5.0214411111)1()1()11()1|(|==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--==--=--=<<-=<πππππξξarctg arctg F F P P2111)()(x x F x +⋅='=πϕ16. 服从拉普拉斯分布的随机变量ξ的概率密度||)(x Ae x -=ϕ, 求系数A 及分布函数F (x ).解: 这实际上是一个分段函数, φ(x )可重新写为⎩⎨⎧<≥=-0)(x Aex Ae x xxϕ 根据性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ, 又因φ(x )为偶函数, 因此有1222)(|==-==∞+-+∞-+∞∞-⎰⎰A Aedx Aedx x x xϕ, 则有A =1/2因此⎪⎩⎪⎨⎧<≥==--02102121)(||x e x e ex x x x ϕ.求分布函数F (x ). 当x <0时, 有xxtxt x e e dt e dt t x F 212121)()(====∞-∞-∞-⎰⎰ϕ当x ≥0时, 有x x xtxt t x e e e dt e dt e dt t x F ----∞-∞--=+-=-=+==⎰⎰⎰21121212121212121)()(00ϕ 综上所述, 最后得⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-0211021)(x e x ex F x x17. 已知⎩⎨⎧<<+-=其它01031212)(~2x x x x ϕξ, 计算P {ξ≤0.2|0.1<ξ≤0.5}解: 设事件A ={ξ≤0.2}, B ={0.1<ξ≤0.5}, 则要计算的是条件概率P (A |B ), 而)()()|(B P AB P B A P =, 而事件AB ={ξ≤0.2}∩{0.1<ξ≤0.5}={0.1<ξ≤0.2} 因此有148.03.006.0004.06.024.0032.0)1.0301.06001.04()2.0304.06008.04()364(d )31212()(}2.01.0{)(2.01.0232.01.022.01.0=-+-+-=⨯+⨯-⨯-⨯+⨯-⨯==+-=+-==≤<=⎰⎰x x x xx x dx x P AB P ϕξ256.03.006.0004.05.15.15.0)1.0301.06001.04()5.0325.06125.04()364(d )31212()(}5.01.0{)(5.01.0235.01.025.01.0=-+-+-=⨯+⨯-⨯-⨯+⨯-⨯==+-=+-===≤<=⎰⎰x x x xx x dx x P B P ϕξ最后得5781.0256.0148.0)()()|(}5.01.0|2.0{====≤<≤B P AB P B A P P ξξ18. 已知xxce x +-=2)(~ϕξ, 确定常数c .解: 首先证明普阿松广义积分π=⎰+∞∞--x e xd 2, 因为函数2x e -并不存在原函数, 因此需要一技巧. 令⎰+∞∞--=x eI x d 2, 则⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+-+∞∞--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x e x e I y x x d d d )(22222作极坐标代换, 令θθsin ,cos r y r x ==, 则积分区间为全平面, 即θ从0积到2π, r 从0积到+∞, 且θd d d d r r y x =, 因此有πππθπ====∞+-+∞-+∞-⎰⎰⎰020202222)d(212rr r e r e rdr ed I , 所以I =π.现确定常数c , 由性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ,1d d 41)21(414141212222====⎰⎰⎰+∞∞---+∞∞-+-⋅⋅+-+∞∞-+-πcedx ecex cex cex x x xx得421πe c =19. 已知⎩⎨⎧>>=-其它)0()(~λλϕξλa x e c x x, 求常数c 及P {a -1<ξ≤a +1}.解: 由性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ得1d d 0)(|==-=+=-∞+-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰aax ax ace ce x e c x dx x λλλλϕ 解得 aec λ=, 因此有⎩⎨⎧>>=--其它)0()()(λλϕλa x e x a x则λλλλλλϕξ---+---+--=-==+==+≤<-⎰⎰⎰⎰e e due x ex x x a a P u u a aa x a a a a 1d d 0d )()11(|111)(111求边缘概率分布, 与是否独立?解: 按下表计算ξ与η的边缘分布:得的边缘分布如下表所示:当i =1及j =0时,因202.026.0}0{}1{0}0,1{)2(0)1(110⨯====≠====ηξηξP P p p P p因此ξ与η相互间不独立.21. 假设电子显示牌上有3个灯泡在第一排, 5个灯泡在第二排. 令ξ,η分别表示在某一规定时间内第一排和第二排烧坏的灯泡数. 若ξ与η的联合分布如下表所示: 试计算在规定时间内下列事件的概率: (1) 第一排烧坏的灯泡数不超过一个; (2) 第一排与第二排烧坏的灯泡数相等;(3) 第一排烧坏的灯泡数不超过第二排烧坏的灯泡数.解: 假设事件A 为第一排烧坏的灯泡数不超过一个, B 为第一排与第二排烧坏的灯泡数相等, C 为第一排烧坏的灯光数不超过第二排烧坏的灯泡数. 则事件A 发生的概率为上表中头两排概率之和52.008.006.005.004.002.001.009.007.005.003.001.001.0)(104=++++++++++++==∑∑==i j ij p A P事件B 发生的概率为上表中从0行0列开始的斜对角线之和14.006.005.002.001.0)(3=+++==∑=i ii p B P事件C 发生的概率为上表中斜对角线上右的各个数相加(包括斜对角线上的数), 但为减少运算量, 也可以考虑其逆事件C 的概率, 然后用1减去它. 而C 的概率为上表中斜对角线的左下角的所有概率之和(不包括斜对角线):89.011.01)04.001.003.001.001.001.0(1)(1)(=-=+++++-=-=C P C P22. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相同).解: 因为有两个2一个1, 因此第一次取到2号的概率为P (ξ=2)=2/3, 第一次取到1号的概率为P (ξ=1)=1/3. 第一次取到2号后还剩下一个2号一个1号, 则在此条件下第二次取到1号的概率P (η=1|ξ=2)=P (η=2|ξ=2)=1/2. 而第一次取到1号后还剩下两个2号, 因此这时P (η=1|ξ=1)=0, P (η=2|ξ=1)=1. 综上所述并用乘法法则可得312132)2|2()2()2,2(312132)2|1()2()1,2(31131)1|2()1()2,1(0031)1|1()1()1,1(22211211=⨯=========⨯=========⨯=========⨯========ξηξηξξηξηξξηξηξξηξηξP P P p P P P p P P P p P P P p23. (ξ , η)只取下列数组中的值：)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 列出(ξ,η)的概率分布表, 写出关于η的边缘分布. 解: 从上面数组可知ξ只取-1,0,2这三个值, 而η只取0,31,1这三个值, 因此总共可构成九个. 概率分布表及η的边缘分布计算如下即η的边缘分布率如下表所示24. 袋中装有标上号码1,2,2,3的4个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相同).解: 第一次取到号码1,2,3的概率为P{ξ=1}=P(ξ=3)=1/4P{ξ=2}=1/2在第一次取到号码i条件下,第二次取到号码j的概率各为P{η=1|ξ=1}=P{η=3|ξ=3}=0P{η=2|ξ=1}=P{η=2|ξ=3}=2/3P{η=3|ξ=1}=P{η=1|ξ=3}=1/3P{η=1|ξ=2}=P{η=3|ξ=2}=1/3P{η=2|ξ=2}=1/3则p11=P{ξ=1,η=1}=P{ξ=1}P{η=1|ξ=1}=0p12=P{ξ=1,η=2}=P{ξ=1}P{η=2|ξ=1}=1/6p13=P{ξ=1,η=3}=P{ξ=1}P{η=3|ξ=1}=1/12p21=P{ξ=2,η=1}=P{ξ=2}P{η=1|ξ=2}=1/6p22=P{ξ=2,η=2}=P{ξ=2}P{η=2|ξ=2}=1/6p23=P{ξ=2,η=3}=P{ξ=2}P{η=3|ξ=2}=1/6p31=P{ξ=3,η=1}=P{ξ=3}P{η=1|ξ=3}=1/12p32=P{ξ=3,η=2}=P{ξ=3}P{η=2|ξ=3}=1/6p33=P{ξ=3,η=3}=P{ξ=3}P{η=3|ξ=3}=025. 表示随机地在1-4的4个整数中取出的一个整数，η表示在1-ξ中随机地取出的一个整数值，求(ξ,η)的联合概率分布.解: 因ξ取四个数中的任何一个概率相等, 因此有P{ξ=i}=1/4, (i=1,2,3,4)而在ξ=i的条件下, (i=1,2,3,4), η取1到i的概率也相同,为1/i, 即P{η=j|ξ=i}=1/i, (i=1,2,3,4;j=1-i)因此有p ij=P{ξ=i,η=j}=P{ξ=i}P{η=j|ξ=i}=1/(4i), (i=1,2,3,4; j=1-i),联合概率分布如下表所示:26. 已知(ξ,η)~⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它04,0)sin(),(πϕy x y x c y x ,试确定常数c 并求η的边缘概率密度.解: 根据性质1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dydx y x ϕ, 有1)12(]220122[)]4sin([sin )]4cos([cos )]cos([)sin(40440404040=-=+--=+-=+-=+-=+⎰⎰⎰⎰c c x x c x x dx c y x dx c dydx y x c ππππππππ解得12)12)(12(12121+=+-+=-=c ,因此,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++=其它04,0)sin()12(),(πϕy x y x y x求η的边缘概率密度: 当40π≤≤y 时:)8sin(22)12()]4cos()[cos 12()cos()12()sin()12(),()(4042ππϕϕκπ+-+==+-+==++-=++==⎰⎰∞+∞-y y y y x dx y x dx y x y上式后一等式利用了三角函数公式2sin 2sin2cos cos A B A B B A -+=-, 而计算三角函数8sin π的值, 又是在已知224cos=π的前提下,利用半角公式2cos 12sin θθ-=得222222124cos18sin-=-=-=ππ当y 取区间]4,0[π之外的值时, 0)(1=y ϕ.因此最后得:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+=其它040)8sin(22)12()(2ππϕy y y27. 已知ξ服从参数p =0.6的0-1分布, 在ξ=0及ξ=1条件下, 关于η的条件分布分别如下二表所示:求二元随机变量(,)的联合概率分布, 以及在≠1时关于的条件分布. 解: 根据题意已知P {ξ=0}=1-p =1-0.6=0.4, P {ξ=1}=p =0.6 则根据乘法法则有:p 01=P {ξ=0,η=1}=P {ξ=0}P {η=1|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1 p 02=P {ξ=0,η=2}=P {ξ=0}P {η=2|ξ=0}=0.4×(1/2)=0.2 p 03=P {ξ=0,η=3}=P {ξ=0}P {η=3|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1 p 11=P {ξ=1,η=1}=P {ξ=1}P {η=1|ξ=1}=0.6×(1/2)=0.3 p 12=P {ξ=1,η=2}=P {ξ=1}P {η=2|ξ=1}=0.6×(1/6)=0.1 p 13=P {ξ=1,η=3}=P {ξ=1}P {η=3|ξ=1}=0.6×(1/3)=0.2由表中可以算出P {η≠1}=1-P {η=1}=1-(p 01+p 11)=1-0.4=0.6 P {ξ=0,η≠1}=p 02+p 03=0.2+0.1=0.3 P {ξ=1,η≠1}=p 12+p 13=0.1+0.2=0.3 因此有5.06.03.0}1{}1,1{}1|1{5.06.03.0}1{}1,0{}1|0{==≠≠==≠===≠≠==≠=ηηξηξηηξηξP P P P P P则在η≠1时关于ξ的条件分布律如下表所示:28. 第22题中的两个随机变量ξ与η是否独立？当ξ=1时η的条件分布是什么？: , 因为 P {ξ=1}=1/3, P {η=1}=1/3 而P {ξ=1,η=1}=0≠P {ξ=1}P {η=1} 在ξ=1条件下, 因13/13/1}1{}2,1{}1|2{03/10}1{}1,1{}1|1{================ξηξξηξηξξηP P P P P P因此在此条件下η服从单点分布或退化分布, 只取值为2, 取值为2的条件概率为1.=p i (1)p j (2), 算得联合分布律如下表所示 根据此联合分布律可算出43129611211)2/1,2/1()1,1(1)0(1)0(121484481161)1,0()3,2()1(==--==-==-=-=-==+-=≠+==+===+=-===+ηξηξηξηξηξηξηξP P P P P P P30. 测量一矩形土地的长与宽, 测量结果得到如下表所示的分布律(长与宽相互独立), 求周解: 因ζ=2ξ+2η, 可知ζ的取值为96,98,100,102,104, 又因ξ与η独立, 因此有 P {ζ=96}==P {ξ=29}P {η=19}=0.3×0.3=0.09P {ζ=98}=P {ξ=29}P {η=20}+P {ξ=30}P {η=19}=0.3×0.4+0.5×0.3=0.27 P {ζ=100}=P {ξ=29}P {η=21}+P {ξ=30}P {η=20}+P {ξ=31}}P {η=19}==0.3×0.3+0.5×0.4+0.2×0.3=0.35P {ζ=102}=P {ξ=30}P {η=21}+P {ξ=31}P {η=20}=0.3×0.5+0.2×0.4=0.23 P {ζ=104}=P {ξ=31}P {η=21}=0.2×0.3=0.06η的分布.解: 因周长=2πR , 面积=πR , 因此当半径R 取值10,11,12,13时, ξ的取值为62.83, 69.12,32. 一个商店每星期四进货, 以备星期五,六,日3天销售, 根据多周统计, 这3天销售件数 ξ问三天销售总量∑==31i iξη这个随机变量可以取哪些值?如果进货45件, 不够卖的概率是多少? 如果进货40件, 够卖的概率是多少?解: 因η的取值为ξ1,ξ2,ξ3三个随机变量可能取值之和, 因此可能的取值为从10+13+17=40到12+15+19=46之间的每一个整数值, 即40,41,42,43,44,45,46. 因此, 如进货15件, 不够卖的概率在η取值为46时出现, 即 P {η=46}=P {ξ1=12}P {ξ2=15}P {ξ3=19}=0.1×0.1×0.1=0.001 如进货40件, 够卖的概率发生在η取值为40时出现, 即P {η=40}=P {ξ1=10}P {ξ2=13}P {ξ3=17}=0.2×0.3×0.1=0.006 33. 求出第22题中ξ+η的分布律.ξ与η的联合分布律如下表: 则P {+=2}=P {=1,=1}=0P {ξ+η=3}=P {ξ=1,η=2}+P {ξ=2,η=1}=2/3 P {ξ+η=4}=P {ξ=2,η=2}=1/334. 求出第23题中ξ-η的分布律 解: 因(ξ , η)只取下列数组中的值：)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12.因此ξ-η也只取0-0=0, -1-1=-2, -1-1/3=-4/3, 2-0=2这四个值, 相应的概率也还是依次为1/6, 35. 已知P {ξ=k }=a /k , P {η=-k }=b /k (k =1,2,3), ξ与独立, 确定a ,b 的值; 求出(ξ,η)的联合概率分布以及ξ+η的概率分布. 解: 由概率分布的性质有131211}{31=⎪⎭⎫⎝⎛++==∑=a k P k ξ, 解得 5455.0116312111==++=a,191411}{31=⎪⎭⎫⎝⎛++=-=∑=b k P k η 解得 7347.04936914111==++=b 因此有P {ξ=1}=0.5455, P {ξ=2}=0.5455/2=0.2727, P {ξ=3}=0.1818 P {η=-1}=0.7347, P {η=-2}=0.1837, P {η=-3}=0.0816 因ξ与η独立, 则有p 11=P {ξ=1,η=-1}=P {ξ=1}P {η=-1}=0.5455×0.7347=0.4008 p 12=P {ξ=1,η=-2}=P {ξ=1}P {η=-2}=0.5455×0.1837=0.1002 p 13=P {ξ=1,η=-3}=P {ξ=1}P {η=-3}=0.5455×0.0816=0.0445 p 21=P {ξ=2,η=-1}=P {ξ=2}P {η=-1}=0.2727×0.7347=0.2004 p 22=P {ξ=2,η=-2}=P {ξ=2}P {η=-2}=0.2727×0.1837=0.0501 p 23=P {ξ=2,η=-3}=P {ξ=2}P {η=-3}=0.2727×0.0816=0.0223 p 31=P {ξ=3,η=-1}=P {ξ=3}P {η=-1}=0.1818×0.7347=0.1336 p 32=P {ξ=3,η=-2}=P {ξ=3}P {η=-2}=0.1818×0.1837=0.0333 p 33=P {ξ=3,η=-3}=P {ξ=3}P {η=-3}=0.1818×0.0816=0.0148计算+的概率分布: P {ξ+η=-2}=p 13=0.0445P {ξ+η=-1}=p 12+p 23=0.1002+0.0223=0.1225P {ξ+η=0}=p 11+p 22+p 33=0.4008+0.0501+0.0148=0.4657 P {ξ+η=1}=p 21+p 32=0.2004+0.0333=0.2337 P{ξ+η=2}=p 31=0.1336即ξ+η的概率分布率如下表所示36. 已知服从区间[0,1]上的均匀分布, 求的函数=3+1的概率分布. 解: 根据题意知ξ的概率密度φξ(x )为⎩⎨⎧≤≤=其它0101)(x x ξϕ 则η的分布函数为)31(}31{}13{}{)(-=-≤=≤+=≤=x F x P x P x P x F ξηξξη 对其求导得η的概率密度与ξ的概率密度间的关系为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤=-=-'='=其它其它041310131031)31(31)31(31)()(x x x x F x F x ϕϕξηη即η服从在区间[1,4]上的均匀分布.37. 已知ξ～⎪⎩⎪⎨⎧>+=其它0)1(2)(2x x x πϕ, ξηln =, 求η的概率密度.解: 求η的分布函数F η(x )为)(}{}{ln }{)(x x e F e P x P x P x F ξηξξη=≤=≤=≤=因e x 总大于0, 而当x 大于0时F ξ(x )为x t t t dt t x F x xxarctg 2arctg 2d )1(2)()(|002πππϕξ==+==⎰⎰∞- 因此有x x e e F x F arctg 2)()(πξη==则η的概率密度为其分布函数的求导:xx ee x F x 212)()(+⋅='=πϕηη。
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《概率论》第二章练习答案一、填空题：1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=⎩⎨⎧02x其它1〈⨯〈o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事件(X≤21)出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。
2. 设连续型随机变量的概率密度函数为：ax+b 0<x<1f (x) =0 其他且EX ＝31，则a = _____-2___________， b = _____2___________。
3. 已知随机变量X 在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ， DX= 124. 设=+==）（，则，为随机变量，1041132ξξξξE E E 22104=+ξE 5. 已知X 的密度为=)(x ϕ 0b ax + 且其他,10<<x P （31<x ）=P(X>31) ， 则a = ,b =⎰⎰⎰+=+⇒==+∞∞-10133131311dx b ax dx b ax x P x P dx x ）（）（）〉（）〈（）（ϕ联立解得：6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则⎰+∞∞-=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。
7. 设连续型随机变量ξ的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,110,4/0,0)(2x x x x x F ，则P （ξ=）= 0 ；)62.0(<<ξP = 。
8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ϕ＝()⎪⎩⎪⎨⎧≥)(01001002其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。
2100xx≥100 ∴ϕ(x)=0 其它P （ξ≥150）=1－F(150)=1－⎰⎰=-+=+=150100150100232132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=2789. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝，DX ＝，则参数n ＝___________，P ＝_________________。
EX = np =DX = npq = ，解之得：n = 8 ，p =10. 设随机变量x 服从参数为（2，p ）的二项分布，Y 服从参数为（4，p ）的二项分布，若P （X ≥1）＝95，则P （Y ≥1）＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。
解：11.随机变量X ～N （2， σ2），且P （2＜X ＜4）=，则P （X ＜0）=＿＿＿＿＿设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则12. 学期望)(2Xe X E -+= ___4/3________ 数13. 已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z= 3X －2的期望E (Z)＝3EX-2=3x2-2=4 。
14．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P ( X= 1) = P ( X=2 ) 则E (X) = __2_______. D (X) = __2___________.∴)0(2舍==λλ15. 若随机变量ξ服从参数λ=的指数分布，则其概率密度函数为：=)(x φ⎩⎨⎧<≥-,00,005.005.0x x e x；E ξ= 20 ；D ξ= 400 。
16. 设某动物从出生活到10岁以上的概率为，活到15岁以上的概率为，则现龄为10岁的这种动物活到15岁以上的概率为286.0727.02.0)10()15()10/15(===>>=>>ξξξξP P P17. 某一电话站为300个用户服务，在一小时内每一用户使用电话的概率为，则在一小时内有4个用户使用电话的概率为 P 3(4)=解：算：利用泊松定理作近似计,99.0*01.0*4300)4()01.0,300(~2964⎪⎪⎭⎫⎝⎛==X P b X31,3294)0(94)1(95)1(2==⇒=∴===〈⇒=≥p q q X p X p X p一小时内使用电话的用户数服从301.0300=⨯==np λ的泊松分布18 通常在n 比较大，p 很小时，用 泊松分布 近似代替二项分布的公式，其期望为 np =λ ，方差为np =λ19．618.0)3(,045.0)5(),,(~2=≤=-<X P X P N X σμ，则μ＝＿＿＿＿＿，σ＝＿＿4＿＿＿＿。
（将X 标准化后查标准正态分布表）二、单项选择：1．设随机变量X 的密度函数为：3, 0<x<1其他则使P(x>a)=P(x<a)成立的常数a = ( A ) （其中0<a<1） A ．421 B ．42C ．21 D ．1－421 解：根据密度函数的非负可积性得到：2．设F 1（X ）与F 2（X ）分别为随机变量X 1与X 2的分布函数，为使F （X ）＝aF 1(x)－bF 2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给它的各组值中应取（ A ） A ．a=53, b =－52 B ．a=32, b=32C ．a=－21, b=23D ．a=21, b=－23F(+∞)=a F 1 (+∞)-BF 2 (+∞)=11=-⇒b a3. 已知随机变量的分布函数为F （x ）= A + B arctgx ，则：（ B ） A 、A=21 B=π B 、A=21 B=π1 C 、 A=π B=21 D 、A=π1B=21 解：要熟悉arctgx 的图像4. 设离散型随机变量X 仅取两个可能值X 1和X 2，而且X 1< X 2，X 取值X 1的概率为，又已知E （X ）＝，D （X ）＝，则X 的分布律为（ ） A. B.C. D.① =EX=+② DX=EX 2-(EX)2 联系①、②解得X 1=1，X 2=25．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机地无放回取3张，则此人得奖金额的数学期望为（ ）A ．6元B ．12元C ．元D ．9元设ξ表示得奖金额，则其分布律为：ξ 6 （3张2元的） 9 （2张2元，1张5元的） 12（1张2元，2张5元的）P 31038c c 3101228c c c 3102218c c c 故期望值为：6. 随机变量X 的概率分布是：X 1 2 3 4 P61 a 41b 则：（ D ） A 、a=61, b=41 B 、a=121, b=122 C 、a=121, b=125 D 、a=41, b=317. 下列可作为密度函数的是：（ B ）A 、=)(x ϕ 0112x + 0≤>x xB 、=)(x ϕ 0)(a x e -- 其它a x >C 、=)(x ϕ 0sin x其它],0[π∈xD 、=)(x ϕ 03x 其它11<<-x依据密度函数的性质：⎪⎩⎪⎨⎧=≥⎰∞+∞-10dx x x ）（）（ϕϕ进行判断得出：B 为正确答案8. 设X 的概率密度为)(x ϕ，其分布函数F （x ），则（ D ）成立。
A 、)()(x F x P =+∞= B 、1)(0≤≤x ϕ C 、P )()(x x ϕ=+∞= D 、P )()(x F x ≥+∞<9. 如果)(~x x ϕ，而=)(x ϕ 02x x - 其它2110≤<≤≤x x ，则P （x 5.1≤）=（ C ）A 、⎰-5.10)2(dx x B 、⎰-5.10)2(dx x x C 、 D 、⎰∞--5.1)2(dx x10. 若随机变量X 的可能取值充满区间＿＿＿＿＿＿，那么Sinx 可以作为一个随机变量的概率密度函数。
（ B ）A ．[0，π]B ．[π,π] C ．[0, π] D ．[π, π] 依据密度函数的性质：⎪⎩⎪⎨⎧=≥⎰∞+∞-10dx x x ）（）（ϕϕ进行判断得出：B 为正确答案11. 某厂生产的产品次品率为5%，每天从生产的产品中抽5个检验，记X 为出现次品的个数，则E(X)为＿＿＿＿。
（ D ） A ．B ．0.2375C ．D ．此题X 服从二项分布b(5,,EX=np=5*=12. 设X 服从二项分布，若（n ＋1）P 不是整数，则K 取何值时，P （X ＝K ）最大？（ D ）A ．K ＝（n ＋1）PB ．K ＝（n ＋1）P －iC ．K ＝nPD ．K ＝[（n ＋1）P ]解：根据二项分布的正态近似知，当X 接近于EX=np 时取到最大值，由于（n ＋1）P 不是整数，因此需要寻找最接近np 的整数。
13．设X 服从泊松分布，若λ不是整数，则K 取何值时，P （X ＝K ）最大？ （ B ）A ．λB ．[λ]C ．λ－1D ．λ＋1解：根据二项分布的泊松近似，以及泊松分布的正态近似知：当EX=λ时取到最大值，因为λ不是整数，而K 必须为整数，因此需要对λ取整 14. )1,0(~N X ，Y=2X －1，则Y~（ C ）A 、N （0，1）B 、N （1，4）C 、N （-1，4）D 、N （-1，3） 15. 已知随机变量X 服从参数为2的指数分布，则其标准差为： （ C ） A ．2B ．1/4C ．1/2D ．22随机变量的参数为2，即方差为1/4，标准差则为1/216．当满足下列（ ）条件时，二项分布以正态分布为极限分布更准确。
（ D ） A ．n λ→∞→np , （二项分布的泊松近似） B ．0,→∞→p nC ．λ→→np p ,0D ．∞→n17. 设X ～(10,25)N ,已知8413.0)1(0≈Φ，97725.0)2(0≈Φ，则}{5p X <和}{20p X >的概率分别为 [ C ]A. ,B. ,C. ,D. ,三、计算题：1. 设随机变量X 的密度函数是连续型函数，其密度函数为：0＜X ≤1B －X 1＜X ≤2其它试求：（1）常数A 、B 。
（2）分布函数F （x ）（3）P （21＜23≤X ） 解：（1）由X 为连续型随机变量，ΛΛA B =-⇒1①同时：⎰=∞-∞+1)(dx x f ΛΛ52=+⇒B A ②①、②式联系解得：A=1，B=2 （2）⎰∞-=,)()(dt t f xx F 当⎰==≤<2210)(,1x tdt x x F x o ; 当⎰⎰--=-+=-+=≤<12121)212(21)2(101)(,2122x x x t t dt t xxdx x F x ;当x>2时，F(x)=1. （3）43)21(211)23(21232)21()23()2321(22=⨯--⨯-⨯=-=≤<F F X P 2. 设已知X~)(x ϕ= 02x其它10<<x ，求：① P （5.0≤X ）② F （x ） 解：① 41255.00==≤⎰xdx X P ）（ ②③3. 设随机变量X 的密度函数为： ax 0<x <2f(x)= cx + b 2≤x≤4其他已知 EX ＝2， P （1<X<3）＝43，求a 、b 、c 的值 解：（1）①⎰⎰=++=++1262)(2402b c a dx b cx axdx②2635638)(240222=++=++=⎰⎰b c a dx bx cx dx ax EX③⎰⎰=++=++=<<432523)(2312)31(b c a dx b cx axdx X p 4．假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X （单位：t ）,已知X 服从[2000,4000]上的均匀分布，设每出售这种商品1t ，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积于仓库，则每吨需浪费保养费1万元，问应组织多少货源，才能使国家的收益最大？ 解：Y ：每年该商品的出口量 R ：收益X 的密度函数：-⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,040002000,20001)(x x f ，∴y=3500时，利益最大5． 设某种商品每周的需求量X 服从区间 [10，30]上均匀分布，而经销商店进货量为 [10，30] 中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时一单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最小进货量？ 解：设进货量为a, 则利润为：9280≥EMa 若 即：α+350α+5250≥9280解得：2032≤α≤26 ∴取最小α=21上式：其他30100201)(≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=-x x f x6. 某高级镜片制造厂试制成功新镜头，准备出口试销，厂方的检测设备与国外的检测设备仍有一定的差距，为此，厂方面临一个决策问题：① 直接进口，② 租用设备，③ 与外商合资。