极坐标计算二重积分32725
极坐标计算二重积分
k k
k
k
r rk x
于是, 二重积分
f(x ,y )d x d y f(rc o s ,rs in )r d r d .
D
D
二、极坐标系下二重积分化为累次积分的
的三种情形
1、区域特征如图
r1()
D
r2()
D：
,
1 ()r 2 ().
o
A
f(x, y)dxdy
D
r1() DD r2()
f(rco,srsin )rdrd
原式 =
2
d
0
rcosrdr
4
2
4
8a3sin3cosd
3
8 a3 1 sin4 2
34
4
1 a 3. 2
y
D
O
2a x
2
例5 求 e x2 dx 的值. 0
解 考虑区域D: 0 x +, 0 y +, 记
I ex2dx 0
I2ex2dxey2dy
0
0
ex2y2dxdy
M X
如 : (2, )
一一对应
平面上任一点
（r，）
4
一、极坐标与直角坐标系的关系 两坐标系中变量间关系：
x r cos
y
r
sin
x 2 y 2 r 2
tan
y x
二、二重积分的极坐标转化及计算
1、二重积分的极坐标转化
二重积分中被积函数 fx ,y fr c, o r ss i n
D
o
A
f(rco,srsin )rdrd
D
0 2 d0 ( )f(r co ,r s si)r n d .r
利用极坐标系计算二重积分
利用极坐标系计算二重积分二重积分可以用极坐标系来计算。
极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，其中点的位置由距离原点的距离和与正x轴的夹角表示。
极坐标与直角坐标系之间的转换关系如下：x = r * cosθy = r * sinθ其中，x和y是直角坐标系下的坐标，r是点到原点的距离，θ是点与正x轴的夹角。
对于二重积分∬f(x, y)dA，在极坐标下可以表示为∬g(r,θ)rdrdθ，其中，g(r, θ)是将f(x, y)用极坐标来表示。
下面我们将详细介绍如何利用极坐标系计算二重积分。
首先，将被积函数f(x,y)转换为极坐标形式g(r,θ)。
具体来说，我们将x和y替换为r和θ，然后利用极坐标与直角坐标的转换关系，将f(x,y)表示为g(r,θ)。
这个转换过程需要根据具体的被积函数进行分析和计算。
接下来，我们需要确定积分区域。
在极坐标系下，积分区域可以用极坐标表示。
通常情况下，我们将极坐标的范围确定为r的区间[a,b]和θ的区间[α,β]，其中a、b、α和β都是常数。
这样，二重积分就变成了在确定的极坐标区域上的积分。
然后，我们将二重积分∬f(x, y)dA 转换为极坐标下的二重积分∬g(r, θ)rdrdθ。
这个过程需要用到雅可比行列式的公式，即 dA = r dr dθ。
最后，我们按照以下步骤来计算极坐标下的二重积分：1.确定极坐标的范围[a,b]和[α,β]。
2.将被积函数f(x,y)转换为极坐标形式g(r,θ)。
3. 利用雅可比行列式的公式，将二重积分∬f(x, y)dA 转换为∬g(r, θ)rdrdθ。
4.根据极坐标下的积分区域，确定积分范围。
5.将极坐标下的二重积分分解成两个单重积分，先对θ进行积分，再对r进行积分。
6.依次进行积分计算，最后得到结果。
需要注意的是，在进行计算时，要注意被积函数的连续性和积分区域的对称性，以便简化计算。
综上所述，利用极坐标系计算二重积分的步骤包括确定被积函数的极坐标形式、确定积分区域、转换为极坐标下的二重积分、分解为两个单重积分、依次进行积分计算。
经济数学在极坐标系下二重积分的计算
f (r cos ,r sin )rdr ；
0
sec tan
5.
4 d
sin cos2
1
rdr ,
2 1.
0
0r
二、1. (2 ln 2 1)； 4
2. 14a4；
3. R3 ( 4)； 33
4. 5 . 2
三、I
2a
rdr
0
4
f (r cos ,r sin )d
4
2a
rdr
在极系下：
x
D：0 ，0 r 2acos , .
2
从而V 4 4a2 x2 y2 dxdy
D
2a cos
4 2 d
4a2 r 2 rdr
0
0
32 a3
2 (1 sin3 )d
30
32 a3( 2)
o
3 23
注意：被积函数和区域的对称性.
r 2a cos
D
2a
5. 将
1
dx
x
(x2
y
2
)
1 2
dy
化为极坐标形式的二次积
分
0
x2
为_______________,其值为_______________.
二、 计算下列二重积分:
1. ln(1 x2 y2 )d ,其中 D 是由圆周 x 2 y 2 1
D
及坐标轴所围成的在第一象限内的区域.
2. ( x2 y2 )d 其中 D 是由直线
一、直系与极系下的二重积分关系
（1）面积元素变换为极系下：
r ri ri r ri
i i
i
i
1 2 (ri
ri )2 i
极坐标下的二重积分
极坐标下的二重积分极坐标下的二重积分是求解极坐标下的二元函数在某个区域内的面积。
在进行极坐标下的二重积分时，需要考虑到极坐标系的特点，并根据具体情况进行相应的计算和变换。
在进行极坐标下的二重积分时，首先要确定积分区域。
在极坐标下，通常使用极角和极径来确定一个点的位置。
对于极坐标下的二重积分，积分区域可以是一个圆或者是一个扇形。
在求解极坐标下的二重积分时，需要使用极坐标下的面积元素。
在直角坐标系中，面积元素可表示为dA=dxdy，在极坐标系中，面积元素可表示为dA=rdrdθ。
其中，r是极径，θ是极角。
假设要求解的函数为f(r,θ)，则极坐标下的二重积分可以表示为：∬R f(r,θ)dA其中，R表示积分区域。
当积分区域为一个圆时，可以设定极径r的范围和极角θ的范围来确定积分区域。
例如，当极径r的范围为[r1,r2]，极角θ的范围为[θ1,θ2]时，可以将极坐标下的二重积分表示为：∫θ1 to θ2 ∫r1 to r2 f(r,θ)rdrdθ当积分区域为一个扇形时，可以设定极径r的范围和极角θ的范围来确定积分区域。
例如，当极径r的范围为[r1,r2]，极角θ的范围为[θ1,θ2]时，可以将极坐标下的二重积分表示为：∫θ1 to θ2 ∫r1 to r2 f(r,θ)rdrdθ在进行极坐标下的二重积分时，需要注意变量的替换和积分顺序的选择。
根据具体问题的要求，可以采用不同的积分顺序，对应不同的变换和计算。
总之，极坐标下的二重积分是求解极坐标下的二元函数在某个区域内的面积。
在进行极坐标下的二重积分时，需要考虑到极坐标系的特点，并根据具体情况进行相应的计算和变换。
通过合理选择积分顺序和变量替换，可以简化计算过程，得到准确的结果。
极坐标计算二重积分
3、区域特征如图
0 2 , 0 r ( ).
D
f ( x, y)dxdy
D
o
f (r cos , r sin )rdrd
D
2
0
d
0
(
)
f (r cos ,
r sin ) r
dr.
极坐标系下区域的面积 rdrd .
D
r ( ) A
M X
如 : (2, )
一一对应
平面上任一点
（r，）
4
一、极坐标与直角坐标系的关系 两坐标系中变量间关系：
x r cos
y
r
sin
x 2 y 2 r 2
tan
y x
二、二重积分的极坐标转化及计算
1、二重积分的极坐标转化
二重积分中被积函数 f x, y f r cos ,r sin
2
,
0 r 2.
f ( x, y) d
D
f (r cos , r sin ) r drd
D
0
2
d
2
0
f
(r
cos
,
r sin ) r
dr.
y
2
x2 y2 4
D
o 2x
r2
o
2A
2） 在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
0 , 0 r 2.
r sin ) r
dr.
2、区域特征如图
D： ,
0 r ( ).
f ( x, y)dxdy
11.3 极坐标系下二重积分的计算法
在原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域.
解
在极坐标系下
D： 0 r a ， 0 2 .
e
D
x2 y2
dxdy d e
0 0
a2
2
a
r 2
rdr
(1 e
).
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例7 计算I e
D
y x y
dxdy, 其中D是由直线
D1
sin( x 2 y 2 ) sin( x 2 y 2 ) dxdy 2 2 x 2 y 2 dxdy 4 x y D1 D
sin r 4 d rdr 4. 0 1 r
2
2
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返回
D
2 f x , y d , f x , y f x , y ； f ( x , y )d D f x , y f x , y . 0,
x0
（2）设积分区域 D 关于 x 轴对称,则
D
2 f x , y d , f x , y f x , y ； D f ( x , y )d f x , y f x , y . 0,
x2 y2 1
1 直线方程为r , sin cos
所以圆方程为 r 1,
x y 1
f ( x, y )dxdy
D
2
0
d
1
1 sin cos
f ( r cos , r sin )rdr .
上页 下页 返回
练习 计算二重积分 y x 2 y 2 dxdy, 其中D为圆周
1 ( ) r 2 ( ).
二重积分极坐标的计算方法
二重积分极坐标的计算方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊二重积分极坐标的计算方法，这可真是个超有趣的玩意儿！
你看哈，就好比我们要计算一个圆形区域里的某种量。
比如说，咱要算这个圆形区域里糖果的总数（这里就是一个例子啦）。
用直角坐标去算，那可真是麻烦得很！但二重积分极坐标就不一样了，它就像是一把神奇的钥匙，能轻松打开这个难题的大门。
比如说，极坐标里的角度θ，就像是指南针一样，告诉我们在哪个方向上呢。
而那个极径 r 呢，就像是在测量距离，能确定我们在这个方向上走多远。
这不就简单清楚多了嘛！
然后呢，我们把被积函数也用极坐标表示出来，哇塞，一下子就感觉清晰明了。
就好比你知道了每个地方糖果的分布规律一样！
咱再想想，要是没有二重积分极坐标，那得费多大劲呀！它真的是数学世界里的大救星呢！
所以啊，二重积分极坐标的计算方法绝对是个超厉害的东西，大家可一定要好好掌握呀！。
极坐标求二重积分公式
极坐标求二重积分公式
极坐标系是一种曲面积分的特殊形式，也就是在极坐标系中求解二重积分。
极坐标系由一个极轴和一个极角组成，极轴表示离极点距离，极角表示极轴和x轴之间的夹角。
在极坐标系中，求二重积分就是求解沿极角方向极轴上离极点的距离，以及沿极轴方向极角夹角上离极点的距离之间的关系。
二、极坐标求二重积分公式
极坐标求二重积分的公式是：
∫∫f(ρ,θ)dρdθ =f(ρcosθ,sinθ)ρdρdθ
其中，ρ是极轴，θ是极角，f(ρ,θ)表示由极坐标系决定的被积函数，ρdρdθ表示极坐标系下的元素。
三、求二重积分的过程
（1）设定极坐标系中的被积函数f(ρ,θ)：
f(ρ,θ)=ρ^2sin^2θ
（2）根据极坐标求二重积分公式，求解二重积分：
∫∫f(ρ,θ)dρdθ =∫ρ2sin2θρdρdθ
=∫ρ3sin2θdρdθ
（3）确定积分的边界：
ρ的上下限分别为ρ1，ρ2；θ的上下限分别为θ1，θ2。
（4）求解二重积分：
∫∫ρ3sin2θdρdθ=ρ2[-cos2θ]ρ2ρ1dθ= -1/2∫(ρ
2^2-ρ1^2)cos2θdθ
= 1/4(ρ2^2-ρ1^2)[sin2θ2-sin2θ1]
四、总结
极坐标求二重积分公式是一种将曲面积分表示成在极坐标系中求解二重积分的方法。
求解时，首先设定被积函数，然后使用极坐标求二重积分公式，最后确定积分的边界，从而求解出结果。
极坐标求二重积分公式可以求解不同类型的曲面积分，是一项重要的数学解题方法。
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D
f (r cos ,r sin )rdrd
D
o
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
r ( )
A
极点在区域 D 的边界 上
CH21-重积分
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征（三）如图
0 2,
r ( )
D
0 r ( ).
f (r cos ,r sin )rdrd
o
A
D 2
( )
极点在区域D内部
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
CH21-重积分
思考: 下列各图中区域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,
试问 的变化范围是什么?
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
sin( x2 y2 ) dxdy
D
x2 y2
D 4D1
0
2
D1
4 sin( x2 y2 ) dxdy 1 r 2
D1
x2 y2
4
2 d
0
2 sin r 1r
rdr
4.
印象
考研—填空题
2
o
2a
y
D
2a cos
4 2 d
4a2 r 2 rdr
0
0
x
32 a 3
2 (1 sin3 )d
3
0
32 a3(
2 )
3 23
小结
二重积分在极坐标下的计算公式
CH21-重积分
f (r cos ,r sin )rdrd
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
例3
计算
(x2
y2 )dxdy，其
D
CH21-重积分
为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x 0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y
0
1
CH21-重积分
1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下 的二重积分，需依下列步骤进行：
(1) 将 x r cos , y r sin 代入被积函数.
(2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式， 确定相应的积分限-------做题关键
(3) 将面积元dxdy换为rdrdθ.
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的 二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.
1
小结
如果积分区域D为圆、
CH21-重积分
半圆、圆环、扇形域等，或被积函数
f (x2+y2) 形式，利用极坐标常能简化计算.
通常出现下面两类问题：
1.将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分，
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角 坐标系下的二重积分
解题步骤：
CH21-重积分
1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下 的二重积分，需依下列步骤进行：
r 2()
A
极点在积分区域外
o
A
f (r cos ,r sin )rdrd
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
CH21-重积分
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征（二）如图
,
0 r ( ).
直线方程为r
1
,
x y1
sin cos
f ( x, y)dxdy
D
2 d
1
1
f (r cos ,r sin )rdr.
0
sin cos
CH21-重积分
练习 化二重积分 f (x, y)d .为极坐标下的二次积分.
D
(1)D : a2 x2 y2 b2
z y
S
x y
Dxy
x
CH21-重积分
例5 求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱面x2 y2 2ax(a 0)
所截得的（含在圆柱面内的部分）立体z 的体积.
252-4
解 由对称性 体积微元
V 4 4a2 x2 y2 dxdy
y
D
其 中D为 半 圆 周
y 2ax x2 及x轴
(1) y r ( )
D
ox
答: (1) 0 ;
(2) y r ( )
D
o
x
(2)
2
2
CH21-重积分
例 题 分 析
例 1 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
其中积分区域为D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
知识点回顾
CH21-重积分
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D
D
(1)直角坐标下累次积分的计算公式
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. ［X－型］
D
a
1( x)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx. ［Y－型］
6
x2 y2 2 y r 2sinபைடு நூலகம்
( x2 y2 )dxdy
3 d
4sin r 2 rdr 15(
3).
D
6
2sin
2
CH21-重积分
例 4 求曲线 ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) 和 x2 y2 a2所围成的图形的面积.
利用极坐标计算二重积分---249页
主要内容 极坐标系下的面积元素的确定
二重积分转化为极坐标形式表达式
极坐标系下的二重积分化为累次积分
本节重点 极坐标系下二重积分的 ----计算方法
本节关键
如 极
何 坐
将二 标形
重 式
积分 累次
化 积
为
分
确定积分限是关
键
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
函
数
x r cos
y
r
sin
rdrd x2 y2 r 2
f (r cos , r sin )
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积
函数含 ( x2 y2 )的用此简便.
解 根据对称性有 D 4D1
在极坐标系下
D1
x2 y2 a2 r a,
( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) r a 2cos2 ,
伯努利双曲线
CH21-重积分
由r
a r
2cos a
2
,
得交点 A (a, ), 6
所求面积 dxdy
f
(x,
y)dxdy
2
D1
f
( x,
y)dxdy,
f关于D上关于x为偶函数
D
0 f在D上关于x为奇函数
f
( x,
y)dxdy
4
D1
f
( x,
y)dxdy,
f关于 x 且关于 y为偶函数
D
0 f关于 x 且关于 y为奇函数
知识点回顾
CH21-重积分
(4) 应用问题
i
ri ri i ,
r dr d o
面积元素 d rdrd
D
i
利用扇形的 A
面积公式
极坐标系下区域的面积 rdrd . D
2. 二重积分转化为极坐标形式的表达式
CH21-重积分
关键
Dr
f ( x, y)dxdy.
D
化
被
积
CH21-重积分
例 例 2 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
题
D
分 式，其中积分区域
析 D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
x y
r r
cos sin
x2 y2 1
所以圆方程为 r 1,
D
4 dxdy
D1
4
6 d
a
2 cos 2
rdr
0
a
a2 ( 3 ). 3
CH21-重积分
例5求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a>0)内 部的那部分面积.
解：A=4A1
z
S : z a2 x2 y2
Dxy: x2+y2≤ax, y≥0.
CH21-重积分
休息一会儿
CH21-重积分
如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等， 或被积函数 f (x2+y2) 形式， 利用极坐标常能简化计算.
通常出现下面两类问题： 1.将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分，