二重积分的计算法
二重积分的计算法
4
利用公式 (1)，得
z
V1 R2 x2 d
D
R
[
R2 x2
R2 x2 dy]dx
00
R
[
0
R2 x2 y]0 R2 x2 dx
x
R(R2 x2 )dx 2 R3
0
3
o R
y
y
Ry R2 x2
从而所求立体体积为
V
8V1
16 3
R3
0
1 ex2 2
1 0
1 (1 e1 ) 2
评注 本例中两题不能交换积分次序，因为先
积分的原函数不能用初等函数表达出来，从而 二重积分计算不出来.
3
例5 求两个底圆半径都等于R的 z 直交圆柱面所围成的立体体积.
解 设两圆柱面方程分别为
x2+y2=R2 及 x2+z2=R2
利用立体关于坐标面的对称性，
18
0
设 D1 {( x, y) | x2 y2 R2 , x 0, y 0}, y
D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 , x 0, y 0}
S
S {( x, y) | 0 x R,0 y R} 由于e x2 y2 0,从而在这些闭区域上 的二重积分之间有不等式
y
D1 o 2 4x
D2
D1 : 0 2, 0 2 D2 : 2 4, 0 2
4 x2 y2 dxdy 4 x2 y2 dxdy
D
D1 D2
2
d
2(4 2) d
二重积分的计算方法
若区域如图， 则必须分割.
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
D3 D1
D2
.
D
D1
D2
D3
例 1
改变积分
1
dx
1 x
f ( x, y)dy 的次序.
00
解 积分区域如图
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
（6）若D对称于原点，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 0.
D
（7）若D对称于直线y x,则 f ( x, y)d f ( y, x)d .
D1
D2
(或 f ( x, y)d f ( y, x)d ). 对称于直线y x
(t
1 2
sin
2t
)
|04
1
4 说明：
(11分）
形如积分 f ( x, y) d , max{ f ( x, y), g( x, y)}d ,
D
D
min{ f ( x, y), g( x, y)}d , sgn{ f ( x, y) g( x, y)}d
D
D
等的被积函数均应当做分区域函数看待，利用积分的
的可加性分区域积分。
(17)(本题满分 11 分)2008 年数学二、三 y
计算 max{xy,1}dxdy,其中
D
D={(x, y) | 0 x 2,0 y 2}.
解 曲线xy 1将区域D分成
2
D2 D1
o
2x
两个区域D1和D2
D
二重积分计算法
2
12
22
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也
可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视
积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体 的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
x2 y2 R2, x2 z2 R2 它们在第一象限的图形如下
二、利用极坐标系计算二重积分
由二重积分的定义知
n
D
f
(x,
y)d
lim
0 i 1
f
(i ,i ) i
极坐标与直角坐标之间的关系
__
__
i ri cos i , i ri sin i
n
lim
0
i1
f
(i
,i
)
i
n_
__ _ _
D
c 1(y)
上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这
个积分也常记作
d 2 (y)
f (x,y)d dy f (x, y)dx 2'
Dc 1(y)来自二重积分化为二次积分时,确定积分限是解题关键.
若将其交换积分次序,先对x积分后对y积分,则其积分 区域如下图
交换积分次序为
2x
dx f (x, y)dy
lim
0
i1
f
(ri
cosi
,
ri
sin
i
)
ri
ri
i
即： f (x, y)d f (r cos ,r sin )rdrd
二重积分的计算法
二重积分的计算法二重积分（Double integral）是微积分中的一种重要计算方法，用于计算平面区域上一些函数在该区域上的积分值。
在二维平面上，我们可以将区域划分为无数个小矩形，然后计算每个小矩形内函数的函数值乘以其面积，再将所有小矩形的积分值求和，即可得到二重积分的近似值。
为了更好地理解和计算二重积分，我们将其分为三个部分进行讨论：积分区域的确定、积分函数的选择和积分计算方法。
一、积分区域的确定：确定二重积分的积分区域是计算的第一步。
在平面上，积分区域可以是一个有界闭区域、一个有界开区域或者无穷区域。
积分区域的确定需要根据具体问题进行分析、绘图和建立坐标系。
对于有界闭区域，通常可以直接利用给定的区域边界方程建立坐标系，进而确定积分区域。
对于有界开区域，可以通过给定的边界方程建立坐标系，然后再引入限制条件来确定积分区域。
例如，给定条件是$x>0$，$y>0$，则可以建立第一象限坐标系，并按照给定的边界方程绘制积分区域。
对于无穷区域，可以通过适当的变量替换将其转化为有界区域，然后再进行积分计算。
例如，将积分区域$x>0$，$y>0$转换为极坐标系下的∞半径的极坐标区域。
二、积分函数的选择：选择正确的积分函数是二重积分计算的关键。
积分函数的选择需要根据具体问题中函数的性质和所要计算的目的进行合理选择。
常见的积分函数包括多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数等。
对于具体问题，可以根据函数的性质选择合适的积分函数。
在选择积分函数时，还需要考虑积分区域的特点。
如果积分区域对称，可以考虑选择合适的奇偶函数进行积分计算，减少计算量。
三、积分计算方法：根据实际情况，二重积分可以采用不同的计算方法。
1.直角坐标系下的二重积分：在直角坐标系下，可以通过定积分的计算方法进行二重积分的计算。
其中，积分区域可以用水平边界和垂直边界的方程表示，从而确定积分的上下限。
如果积分区域为有界区域，可以采用上下限函数的自变量依次固定的方法进行计算。
二重积分的计算法
24 3
6 1 8
整理ppt
15
例6. 计算 sinxdxdy, 其中D 是直线 yx,y0, Dx
x所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行,
因此取D 为X – 型域 sinxdxdy Dx
:
0
D
:
0
dx
0
x
y x
x sin x 0x
d
y
y yx
D x
o x
0
sinxdx
x
x x yd 1
y 2 1
1 2
x
y
2
x dx
1
2 y
yx
1
2
1
12x312xdx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则D
:
1y2o yx2
1 x2x
2
I d y
1
2yx y d
x
2 1
1 2
x
2
y
2
2
dy
y
1
2y1 2y3
dy
9 8
整理ppt
14
例5. 计算 Dxyd, 其中D 是抛物线
解 y 2ax x y 2
2a
y 2axx2 xaa2y2 2a
Dx:
0x2a 2axx 2axx2
a 2a
整理ppt
12
0 ya
Dy1
: y2 2a
x
a
a2 y2
2a
Dy2:2ax0ayaa2y2
a
a y 2a
Dy3
:
y2 2a
x
2a
a 2a
= 原式
二重积分的计算法
y2 x
y 2x x2
原式
1
2 y
dy
0
1
1 y2
f ( x, y)dx .
例1
计算二重积分
D
1x 4Fra biblioteky 3
dxdy
,其中
D
为矩形：
D : 2 x 2, 1 y 1.
解1 先积 y 再积 x
D
1
x 4
例6. 计算 sin x dxdy, 其中D 是直线 Dx
所围成的闭区域.
y
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, y x
因此取D 为X – 型域 :
D
:
0 0
y x
x
D x o x
D
sin x
x
dxd
y
0
sin x
x
dx
x
0 d
y
0 sin x dx
0
c
Q( y)
.
x=(y)
x
问题：Q( y)是什么图形？
y
x=(y)
d
y
D
也是曲边梯形 !
二重积分的计算（D是曲线梯z 形区域）
I f ( x, y)dxdy
D
D: (y) x (y)
cyd
Q( y ) =
ψ( y)
f ( x, y)dx φ( y)
0
c
z=f (x,y)
D (x, y) 0 y 2,1 x 1.
y
解：先画出区域D的图形，因为 D1
二重积分计算方法
二重积分计算方法
二重积分是指同时计算两个复杂变量，如空间或一维时间尺度上均有复杂变量，即进行双重多元积分运算。
二重积分法是科学研究和工程分析的β解析最常用的
计算方法。
由于经常需要解决复杂的数学问题，因此二重积分的计算在现代科学和工程领域有着广泛的应用。
二重积分计算方法是以一维自变量再组合成双维自变量，它首先将单重积分划
分为两个子题，即沿着一个方向进行单重积分，其次再沿着另一个方向进行单重积分。
例如，有一个变量专为u，如果将u偏导后的复杂函数用二维变量X和y来表示，则：
du=f(x,y)dxdy
二重积分可以通过两个步骤来完成:在第一步中，x先作为自变量，上下限的
特定的h, k ,f (x, y) 求定积分，第二步中，y作为自变量，对每一个固定的x，求解特定h, k 等积分。
二重积分法在微分方程、概率理论、拟静力学，拉格朗日
方法以及费马多元法等领域得到了广泛应用。
此外，二重积分法可以进行在线计算，在互联网领域有着重要应用。
现代技术
在二重积分法方面取得了新的进展，特别是机器学习等技术对二重积分法的计算和应用有着深远的影响。
现有的技术可以更加聪明的理解和处理信息，这也大大提高了利用二重积分法研究互联网数据的效率。
综上所述，二重积分计算方法是一种数学运算的技术，在现代科学和工程领域，它被广泛应用于多种多样的领域，特别是在互联网领域，二重积分法为研究者提供了更大的可能性，研究互联网数据更快更有效地获取信息。
二重积分的计算法
式，其中积分区域
{( x, y ) | 1 x y 1 x 2 , 0 x 1}. D
解
在极坐标系下 x r cos y r sin
x y 1
2 2
所以圆方程为
r 1,
1 直线方程为 r , sin cos
x y 1
d
x 1( y)
D
x 1( y) x 2( y)
D
x 2( y)
c
c
D
f ( x , y )d
d
dy
c
1
2
( y)
f ( x , y ) dx .
( y)
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域 边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边 界相交不多于两个交点.
D
f ( x , y ) dxdy
2
d
0
1 1
f ( r cos , r sin ) rdr .
sin cos
例2
计算
e
D
x2 y2
dxdy ，其中
D 是由中心在
原点，半径为 的圆周所围成的闭区域
解
.
在极坐标系下
D： 0 r a ， 0 2 .
D
f ( x , y ) dxdy
D
f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
y x
例1
计算
e
D
y x
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这是先对 y，后对 的x 两次积分(适合于 型X区域).
如果积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y). ［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
类似地，如果D是Y型区域,可用垂直于 y轴的平面
去截曲顶柱体,此时D为
D : c y d 1( y) x 2 ( y)
f (x, y)dxdy
d
dy
2 ( y) f (x, y)dx
c
1 ( y )
D
这是先对 x，后对 的y 两次积分.
y
x 1( y)
d
y
d
x 1( y)
y
y
c
x 2 ( y)
c
o
x
o
x 2 ( y)
x
如果去掉以上结论中关于 z f (x, y) 0, (x, y) D 的限制，则上述结论仍是成立的.
a x b
D
(
x,
y)
c
y
d
0
c
a
z=f (x,y)
y
d
y
b
D
x
二重积分的计算 (D是矩形区域z )
I f ( x , y)dxdy
D
D是矩形区域
z
f( y
x, y
y
)
z=f (x,y)
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
b
0
c
y
Q( y) f (x, y)dx
a
a
d
y
d
I c Q( y)dy
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
1( x) y 2( x).
y 2(x)
D
y 1x) 在区间 [a,b]上连续.
设函数 z f (在x, y区) 域 上连D续,且当
时(x,，y) D
f (x, y)如果0 区域 是由D直线 ， x 与a曲线x b
D
f (x, y)dxdy
b a
2 (x) 1 ( x)
f
(x,
y)dy
dx
通常写成
f (x, y)dxdy
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
D
a
1 ( x)
z
A( x)
y
y
y 2(x)
oa
y 2 (x)
xb
x
y 1(x)
y 1(x)
oa x
bx
D：a x b, 1( x) y 2( x).
• 这个方法就是把二重积分的计算转化为 接连计算两次定积分，即二次积分.
复习：平行截面面积为已知的立体的体积
已知平行截面面积为 A(x)的立体
b
.
V a A( x)dx
dV=A(x)dx
A(x)
a
xV
b
x
二重积分的计算 (D是矩形区域) z
I f ( x , y)dxdy
D
D是矩形区域 [a,b ; c,d]
b
d
f (x, y)dxdy a f1(x)dx c f2 ( y)dy
D
例如
11
1
xydxdy xdx
1
11 1
ydy
00
0
0
22 4
（ⅲ）上面所讨论的积分区域 D是 X型或Y 型区域。
若不满足这个条件,可将D分块.
y
D3
D2 D1
再应用积分的分域可加性来计算. 0
第二节
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、利用直角坐标计算二重积分
• 二重积分定义为积分和式的极限．如果 直接用二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的，甚至是不可能的.
• 下面我们根据二重积分的几何意义—曲 顶柱体的体积来导出二重积分的计算方 法.
D
D: (y) x (y)
cyd
z f (x, y)
y y
.
z=f (x,y)
Q( y )
ψ( y)
f (x, y)dx φ( y)
0
c
d
I = Q( y)dy
c
.
Q( y)
.
x=(y)
x
问题：Q( y)是什么图形？
y
x=(y)
d
y
D
也是曲边梯形 !
二重积分的计算（D是曲线梯z 形区域）
a
.
b
D
.
x
同理，也可以先对 y 积分
I
b d a c
f (x, y)dydx
d
y
二重积分的计算（D是曲线梯z 形区域）
I f ( x , y)dxdy
D
D: (y) x (y)
cyd
0
c
z=f (x,y)
y
x=(y)
d
y
D
x=(y) x
二重积分的计算（D是曲线梯形区域z ）
I f ( x , y)dxdy
I f ( x , y)dxdy
D
D: (y) x (y)
cyd
Q( y ) =
ψ( y)
f ( x, y)dx φ( y)
0
c
z=f (x,y)
y
x=(y)
d
y
D
.
.
x
x=(y)
I
d
Q( y)dy
c
d c
(y) ( y)
f
(x,
y)dxdy
直角坐标系下计算二重积分
如果积分区域为：a x b,
y 1(x), y 所 围2 (成x)(X 型区域),如下图,即
D : a x b,1(x) y 2 (x)
y
y 2(x)
y
y 2(x)
y
y 2(x)
y 1(x)
y 1(x)
oa x
b x oa x
bx
y 1(x)
oa x
bx
若D是X型区域，则积分 先Y后X。
D
f (x, y)d
.
b
Q( y)
D
x
.
问题：Q( y)是什么图形？ 是曲边梯形。
二重积分的计算 (D是矩形区z域)
I f ( x , y)dxdy
D
D是矩形区域 [a,b ; c,d]
b
Q( y ) = f ( x , y)dx a
z=f (x,y)
d
I c Q( y)dy
0
c
y
d c
b a
f
(x,
y)dxdy
x
由于二重积分归结于计算两个定积分,因此计算重 积分本身没有新困难,对于初学者来说,感到困难的 是如何根据区域D去确定两次积分的上、下限.
建议：先将区域D的图形画出，再写出区域D上的点 的坐标所要满足的不等式以确定积分的上、下限.
几点说明：
（ⅰ）若区域D是一个矩形，D : a x b, c y d 则
b
d
d
b
f (x, y)dxdy a dxc f (x, y)dy c dya f (x, y)dx
D
（ⅱ）若函数可积，且 D : a x b,c y d
且
f (x, y) f1(x) f2 ( y)
则
f (x, y)dxdy
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1 ( x)
D
把计算二重积分的问题化为计算两次定积分的问题。
第一次计算定积分 A(x) 2 (x) f (x, y)dy 1 ( x) x 看作是常量，y 是积分变量；
第二次积分时计算
b
A(x) d x,
x 是积分变量.
a