二重积分的计算方法

第二节 二重积分的计算法教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容：利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题.讨论中,我们假定；假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续.据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.f x y d D(,)σ⎰⎰f x y (,)≥0D a x b x y x ≤≤≤≤ϕϕ12()()ϕ1()x ϕ2()x [,]a b f x y d D(,)σ⎰⎰D z f x y =(,)在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为从而有(1) 上述积分叫做先对Y,后对X 的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分.这个先对, 后对的二次积分也常记作[,]a b x 0yoz x x =0[(),()]ϕϕ1020x x z f x y =(,)0A x f x y dy x x ()(,)()()001020=⎰ϕϕ[,]a b x yoz A x f x y dy x x ()(,)()()=⎰ϕϕ12V A x a dx f x y dy dx bx x a b ==⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎰⎰⎰()(,)()()ϕϕ12dx dy y x f d y x f ba x x D⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)(2)(1),(),(ϕϕσx ),(y x f y ),(y x f )(1x ϕ)(2x ϕx x a b y x在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的.例如:计算解:类似地,如果积分区域可以用下述不等式表示,且函数,在上连续,在上连续,则(2)显然,(2)式是先对,后对的二次积分.二重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I 型(或II 型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I 型(或II 型)区域的并集.f x y d dx f x y dy Dabx x (,)(,)()()σϕϕ⎰⎰⎰⎰=120),(≥y x f ),(y x f D I x d D x y x y D=-=-≤≤≤≤⎰⎰(){(,)|,}111022σ[]dx y x dy x dx I 211220211)1()1(⎰⎰⎰---=-=38322)1(2113112=-=-=--⎰x x dx x D c y d y x y ≤≤≤≤,()()φφ12φ1()y φ2()y [,]c d f x y (,)D f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c dc d y y (,)(,)(,)()()()()σφφφφ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=1212x y y x2、积分限的确定二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二次积分限的方法-- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 )在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为.例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.类似地,D ],[b a x x y D D ))(,(1x x ϕ))(,(2x x ϕ)(1x ϕ)(2x ϕx y x [,]a b x x a b 322x y d D⎰⎰σD x y y x =-12D y x y :,0101≤≤≤≤-[]==-⎰⎰-x y dy y y dy y3211322011()3322012201x y d dy x y dx Dy ⎰⎰⎰⎰=-σ例2计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域.例3求由曲面及所围成的立体的体积.解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在面上的投影区域消去变量得一垂直于面的柱面 ,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域令y t t t dt =⋅=⋅--=⎰sin cos sin ()!!()!!!!24502224151916315πxyd D⎰⎰σD y x 2=y x =-2D y y x y :,-≤≤≤≤+1222xyd dy xydx x y dy D y y y y σ⎰⎰⎰⎰⎰==⎡⎣⎢⎤⎦⎥-+-+12221222212[]=+-=-⎰1224582512y y y dy ()zx y =+222z x y =--6222xoy z xoy x y 222+=xoy xoy2、列出体积计算的表达式3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算而由,的对称性有所求立体的体积为二、利用极坐标计算二重积分1、变换公式按照二重积分的定义有D x y :222+≤V x y x y d D=---+⎰⎰[()()]6222222σ=--⎰⎰()63323x y d DσV d x d y d DDD=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰63322σσσd Dσπ⎰⎰=2x y x d y d DD22σσ⎰⎰⎰⎰=x d x dxdy x x dx Dx x 22222222222222σ⎰⎰⎰⎰⎰==------=-=⎰⎰42442222202xx dx sin cos θθπ=⋅--+⋅162121222()!!()!!()!!π=⋅⋅⋅⋅1611422π=πV =-=1266πππ现研究这一和式极限在极坐标中的形式.用以极点为中心的一族同心圆 以及从极点出发的一族射线,将剖分成个小闭区域.除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算其中,表示相邻两圆弧半径的平均值.(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)在小区域上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有于是即由于也常记作, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式(1)f x y d f Di i i i n(,)lim (,)σξησλ⎰⎰∑=→=01∆0r =常数θ=常数D ∆σi i i i i i i i i i i r r r r r r θθθσ∆∆∆+=∆-∆∆+=∆)2(2121)(2122i i i i i i i i r r r r r r θθ∆∆=∆∆∆++=2)(r i ∆σi (,)r i i θ(,)ξηi i ξθηθi i i i i i r r ==cos ,sin lim (,)lim (cos ,sin )λλξησθθθ→=→=∑∑=⋅0101f f r r r r i i i i n i ni i i i i i i ∆∆∆f x y d f r r rdrd DD(,)(cos ,sin )σθθθ⎰⎰⎰⎰=f x y d D (,)σ⎰⎰f x y dxdy D (,)⎰⎰f x y dxdy f r r rdrd DD(,)(cos ,sin )⎰⎰⎰⎰=θθθ(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素. (1)式的记忆方法:2、极坐标下的二重积分计算法极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算.【情形一】积分区域可表示成下述形式其中函数, 在上连续.则【情形二】积分区域为下述形式显然,这只是情形一的特殊形式( 即极点在积分区域的边界上 ). 故【情形三】积分区域为下述形式显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域的内部),rdrd θr →cos θr →sin θrdrd →θf x y dxdyD(,)⎰⎰D αθβϕθϕθ≤≤≤≤12()()r ϕθ1()ϕθ2()[,]αβf r rrdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()()θθθθθθαβϕθϕθ⎰⎰⎰⎰=12D ϕθ10()≡f r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()θθθθθθαβϕθ⎰⎰⎰⎰=D D D可剖分成与,而故则由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域用极坐标变量表示成如下形式下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示. 例4将下列区域用极坐标变量表示 1、 2、先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围；再过内任一点作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围.D 1D 2D r D r 120020:,():,()≤≤≤≤≤≤≤≤θπϕθπθπϕθD r :,()020≤≤≤≤θπϕθf r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()θθθθθθπϕθ⎰⎰⎰⎰=020D r ,θαθβϕθϕθ≤≤≤≤,()()12r D x y y 1222:+≤D R x R R y R R x 222:,-≤≤≤≤+-D x y 31:+≤[,]αβ[,]αβθ[(),()]ϕθϕθ12注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.利用此题结果可求出著名概率积分 .而被积函数满足 ,从而以下不等式成立，再利用例二的结果有,,于是不等式可改写成下述形式I e dx x =-+∞⎰2022>--y xe ⎰⎰⎰⎰⎰⎰------<<22222122D y x Sy x D y x dxdy e dxdy e dxdy e )1(42122R D y x e dxdy e----=⎰⎰π)1(422222R D y x e dxdy e----=⎰⎰π⎰⎰⎰⎰⎰⎰------==Ry Rx Ry x R S y x dy e dx e dy edx dxdy e22222220000022222⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰-----Rx R x R x Ry Rx dx e dx e dx e dy e dx e故当时有 , 即 .3、使用极坐标变换计算二重积分的原则(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 ).例6计算解此积分区域为区域的简图为该区域在极坐标下的表示形式为小结 二重积分计算公式ππππ441414222022R R x RR R e e dx e →+∞---→+∞←−−−−-<⎛⎝ ⎫⎭⎪<-−→−−−⎰()()R →+∞e dx x -+∞⎰⎛⎝ ⎫⎭⎪=2024πIedx x ==-+∞⎰22π()x y 22+ααI dxdyx y a x y a axa a x =+⋅-+>⎰⎰--+-0222224022()()D x a x y a a x :,022≤≤-≤≤-+-D r a :,sin -≤≤≤≤-πθθ4002I rdrd r a rd dra r r a d Da a =-=-=⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰⎰⎰⎰⎰----θθθπθθπ44222402202024sin sin arcsin =-=-=--⎰()θθθπππd 42421232直角坐标系下 X —型Y —型极坐标系下作业 教材161 习题2（I ）（2）（3）3（1）（3）4（2）（4）⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφ⎰⎰⎰⎰=dc y y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕ⎰⎰⎰⎰=Ddr r r f d rdrd r r f βαϑφϑφϑϑϑϑϑϑ)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (P。