第二节 二重积分的计算法
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第十章第二节_二重积分的计算法
(3) 改写D为: 0 y 1, 0 x y o
(1,1)
y x
x
y
0
1
dx sin y 2dy
x
1
(1,1)
0 dy 0 sin y dx
2
1
y
y x
(sin y ) x dy
2
1
y
x D : 0 y 1, 0 x y
o
y sin y 2dy
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、极坐标系下二重积分的计算 三、小结 思考题
【复习与回顾】
回顾一元函数定积分的应用
平行截面面积为已知的立体的体积的求法
在点x处的平行截面的面积为 A( x ) 体积元素 dV A( x )dx 体积为
V A( x )dx
a b
一、利用直角坐标系计算二重积分
(( xx )0 ) 11
ff (x (x ,0 y,)dy y )dy
b
V A( x )dx
a
2 ( x )
1( x)
f ( x, y )d [
D a
f ( x , y )dy]dx.
公式1
上式称为先对 y后对x的二次积分
注意:
1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算; 2）积分次序: X-型域 先Y后X; 3）积分限确定法: 后积先定限，域中做穿线； 先过为下限，后过未上线。
f ( x, y )d 的值等于以D 为底，以曲面z
D
f ( x , y ) 为顶的曲顶柱体的体积 ．
【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平 行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.
(1,1)
y x
x
y
0
1
dx sin y 2dy
x
1
(1,1)
0 dy 0 sin y dx
2
1
y
y x
(sin y ) x dy
2
1
y
x D : 0 y 1, 0 x y
o
y sin y 2dy
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、极坐标系下二重积分的计算 三、小结 思考题
【复习与回顾】
回顾一元函数定积分的应用
平行截面面积为已知的立体的体积的求法
在点x处的平行截面的面积为 A( x ) 体积元素 dV A( x )dx 体积为
V A( x )dx
a b
一、利用直角坐标系计算二重积分
(( xx )0 ) 11
ff (x (x ,0 y,)dy y )dy
b
V A( x )dx
a
2 ( x )
1( x)
f ( x, y )d [
D a
f ( x , y )dy]dx.
公式1
上式称为先对 y后对x的二次积分
注意:
1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算; 2）积分次序: X-型域 先Y后X; 3）积分限确定法: 后积先定限，域中做穿线； 先过为下限，后过未上线。
f ( x, y )d 的值等于以D 为底，以曲面z
D
f ( x , y ) 为顶的曲顶柱体的体积 ．
【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平 行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.
二重积分计算法
11
2
12
22
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也
可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视
积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体 的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
x2 y2 R2, x2 z2 R2 它们在第一象限的图形如下
二、利用极坐标系计算二重积分
由二重积分的定义知
n
D
f
(x,
y)d
lim
0 i 1
f
(i ,i ) i
极坐标与直角坐标之间的关系
__
__
i ri cos i , i ri sin i
n
lim
0
i1
f
(i
,i
)
i
n_
__ _ _
D
c 1(y)
上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这
个积分也常记作
d 2 (y)
f (x,y)d dy f (x, y)dx 2'
Dc 1(y)来自二重积分化为二次积分时,确定积分限是解题关键.
若将其交换积分次序,先对x积分后对y积分,则其积分 区域如下图
交换积分次序为
2x
dx f (x, y)dy
lim
0
i1
f
(ri
cosi
,
ri
sin
i
)
ri
ri
i
即： f (x, y)d f (r cos ,r sin )rdrd
2
12
22
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也
可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视
积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体 的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
x2 y2 R2, x2 z2 R2 它们在第一象限的图形如下
二、利用极坐标系计算二重积分
由二重积分的定义知
n
D
f
(x,
y)d
lim
0 i 1
f
(i ,i ) i
极坐标与直角坐标之间的关系
__
__
i ri cos i , i ri sin i
n
lim
0
i1
f
(i
,i
)
i
n_
__ _ _
D
c 1(y)
上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这
个积分也常记作
d 2 (y)
f (x,y)d dy f (x, y)dx 2'
Dc 1(y)来自二重积分化为二次积分时,确定积分限是解题关键.
若将其交换积分次序,先对x积分后对y积分,则其积分 区域如下图
交换积分次序为
2x
dx f (x, y)dy
lim
0
i1
f
(ri
cosi
,
ri
sin
i
)
ri
ri
i
即： f (x, y)d f (r cos ,r sin )rdrd
二重积分的计算法
b
( x)
( x)
( x)
f ( x, y ) d y 2
( x)
0
f ( x, y ) d y
( x)
f ( x, y ) d y
y
f ( x, y) d y
2
[2
a
b
( x)
0
f ( x, y ) d y ]d x 2
若 f ( x , y) f ( x, y), 则 ( x ) f ( x, y ) d y 0 ( x) b 则 D f ( x, y) d a 0 d x 0 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 在第一象限部分, 则有 2 2 ( x y ) d x d y D ( x y ) d x d y 0
1
(2) f ( x , y) f ( x, y), 则 f ( x, y ) d 0
D
( x)
证明域D 关于x 轴对称,故不妨记为 则
0 y ( x ) D1 : a xb
( x) y ( x) a xb
故
D1
f ( x, y ) d
b
a
d x
( x)
0
f ( x, y) d y
D f ( x, y) d a d x ( x ) f ( x, y ) d y
b
( x)
若 f ( x , y) f ( x, y), 则
则 D f ( x, y ) d d x a
x
结束
(3)对称性 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 设函数 y D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上 ( x) (1) f ( x , y) f ( x, y), 则 D1 b D f ( x, y) d 2D f ( x, y) d a o D x
( x)
( x)
( x)
f ( x, y ) d y 2
( x)
0
f ( x, y ) d y
( x)
f ( x, y ) d y
y
f ( x, y) d y
2
[2
a
b
( x)
0
f ( x, y ) d y ]d x 2
若 f ( x , y) f ( x, y), 则 ( x ) f ( x, y ) d y 0 ( x) b 则 D f ( x, y) d a 0 d x 0 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 在第一象限部分, 则有 2 2 ( x y ) d x d y D ( x y ) d x d y 0
1
(2) f ( x , y) f ( x, y), 则 f ( x, y ) d 0
D
( x)
证明域D 关于x 轴对称,故不妨记为 则
0 y ( x ) D1 : a xb
( x) y ( x) a xb
故
D1
f ( x, y ) d
b
a
d x
( x)
0
f ( x, y) d y
D f ( x, y) d a d x ( x ) f ( x, y ) d y
b
( x)
若 f ( x , y) f ( x, y), 则
则 D f ( x, y ) d d x a
x
结束
(3)对称性 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 设函数 y D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上 ( x) (1) f ( x , y) f ( x, y), 则 D1 b D f ( x, y) d 2D f ( x, y) d a o D x
高等数学第十章第二节二重积分的计算法课件.ppt
• 若积分区域为
y y y2(x)
D
y y1(x)
a
bx
则
f (x, y) d
b
dx
y2 (x) f (x, y) d y
D
a
y1( x)
• 若积分区域为
则
f (x, y) d
d
dy
x2 ( y) f (x, y) d x
D
c
x1( y)
y x x2 ( y) d
D
c
x x1( y) x
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
y y 2(x)
则
D
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
f (x, y) dx dy
b
2 (x)
a d x 1(x)
f
(x,
D
x o a y 1(x)b y) d y
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
y
c
1(
y) y
x
D
1(x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
例1. 计算 I D x2 yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y y y2(x)
D
y y1(x)
a
bx
则
f (x, y) d
b
dx
y2 (x) f (x, y) d y
D
a
y1( x)
• 若积分区域为
则
f (x, y) d
d
dy
x2 ( y) f (x, y) d x
D
c
x1( y)
y x x2 ( y) d
D
c
x x1( y) x
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
y y 2(x)
则
D
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
f (x, y) dx dy
b
2 (x)
a d x 1(x)
f
(x,
D
x o a y 1(x)b y) d y
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
y
c
1(
y) y
x
D
1(x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
例1. 计算 I D x2 yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
最新-第二节二重积分的计算方法-PPT文档资料
D
曲面 zf( x ,y ) 为曲顶柱体的体积．
用平面x=x0截立体， z 截得A(x0). 应用计算 “平行截面面积为 已知的立体求体积” y 的方法, y ( x ) 2
bx0 )
a
x
y ( x ) 1 得 f ( x , y ) dxdy dx ( x , y ) dy . f
1 2 2
x e dxdy ( 0 , 0 ), ( 1 , 1 ), 例 5 求 ， 其 中 D 是 以
D
2 2 y
( 0 , 1 ) 为 顶 点 的 三 角 形 .
e dy 解 无 法 用 初 等 函 数 表 示
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
2 y
x e
D
1 0
第二节
二重积分的计算方法
二重积分的计算可以按照定义来进行， 同定积分按照定义进行计算一样，能够按照 定义进行计算的二重积分很少，对少数特别 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 本节介绍一种计算二重积分的方法—— 把 二重积分化为二次单积分（定积分）来 计算。
2 a 2 a
2
dy x ,y ) dx . dy ( x , y ) dx y f( 2 2f a 0 a a y
2 a
2a
D ( x y ) dxdy 例 4 求 ， 其 中 是 由 抛 物 线
2
y x x y 和 所 围 平 面 闭 区 域 .
根据二重积分的几何意义：二重积分是以 为顶的曲顶柱体的体积。故可以考虑用定积分应用中求 平行截面面积为已知的立体的体积的方法。
zf (x ,y )
o
a
dx x x
曲面 zf( x ,y ) 为曲顶柱体的体积．
用平面x=x0截立体， z 截得A(x0). 应用计算 “平行截面面积为 已知的立体求体积” y 的方法, y ( x ) 2
bx0 )
a
x
y ( x ) 1 得 f ( x , y ) dxdy dx ( x , y ) dy . f
1 2 2
x e dxdy ( 0 , 0 ), ( 1 , 1 ), 例 5 求 ， 其 中 D 是 以
D
2 2 y
( 0 , 1 ) 为 顶 点 的 三 角 形 .
e dy 解 无 法 用 初 等 函 数 表 示
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
2 y
x e
D
1 0
第二节
二重积分的计算方法
二重积分的计算可以按照定义来进行， 同定积分按照定义进行计算一样，能够按照 定义进行计算的二重积分很少，对少数特别 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 本节介绍一种计算二重积分的方法—— 把 二重积分化为二次单积分（定积分）来 计算。
2 a 2 a
2
dy x ,y ) dx . dy ( x , y ) dx y f( 2 2f a 0 a a y
2 a
2a
D ( x y ) dxdy 例 4 求 ， 其 中 是 由 抛 物 线
2
y x x y 和 所 围 平 面 闭 区 域 .
根据二重积分的几何意义：二重积分是以 为顶的曲顶柱体的体积。故可以考虑用定积分应用中求 平行截面面积为已知的立体的体积的方法。
zf (x ,y )
o
a
dx x x
第二节 二重积分的计算
D
α ≤ϕ ≤ β,
ρ = ρ2 (θ )
ρ 1 (ϕ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (ϕ ).
β
o
α
A
∫∫ f ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) ρdρdϕ
D
= ∫α dθ ∫ρ12(ϕ ) f ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) ρdρ .
β
ρ (ϕ )
二重积分化为二次积分的公式（ 二重积分化为二次积分的公式（２）
π
a cos ϕ
I = ∫ dϕ ∫0
2 π − 2
f ( ρ ,ϕ )dρ
(a ≥ 0).
思考题解答
π π − ≤ϕ ≤ D: 2 2 , 0 ≤ ρ ≤ a cos ϕ
I = ∫0 dρ ∫
a a ρ − arccos a arccos
y
ϕ = arccos
D
ρ
a ρ = a cosϕ
D
例 1 写出积分∫∫ f ( x , y )dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D = {( x, y ) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
x = ρ cos ϕ 解 在极坐标系下 y = ρ sin ϕ 所以圆方程为 ρ = 1, 1 直线方程为 ρ = , sin ϕ + cosϕ
所求面积σ =
∫∫ dxdy = 4∫∫ dxdy
D
D1
= 4 ∫0 dϕ ∫a
6
π
a 2 cos 2ϕ
ρ dρ
π = a ( 3 − ). 3
2
三、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
∫∫ f ( ρ cosϕ , ρ sin ϕ ) ρdρdϕ D β ρ (ϕ ) = ∫α dϕ ∫ρ (ϕ ) f ( ρ cosϕ , ρ sinϕ ) ρ dρ .
第二节_二重积分的计算法
作业 P153 1 (4); 2 (3); 4; 6 (2), (3); 11; 12 (1), (3); 13 (4); 18
x 2 + y 2 = 4 y 及直线 x − 3 y = 0, y − 3x = 0 所围成的 平面闭区域. y 4
∫∫ (x
D
2
+ y ) d x d y = ∫π dθ
2
3 6
π
∫
4 sinθ 2 r ⋅rdr 2 sinθ
2
= 15( − 3) 2
π
o
x
内容小结
二重积分化为累次积分的方法 X – 型区域 直角坐标系情形 Y – 型区域 极坐标系情形: 积分区域 极坐标系情形
例7. 计算
其中D : x 2 + y 2 ≤ a 2 .
−a 2
= π (1 − e
)
∫
+∞ − x 2 e 0
dx =
π
2
例8. 求球体
x2 + y 2 = 2 ax 被圆柱面
z
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
o
2a
y
x
( x 2 + y 2 ) d x d y, 其中D 为由圆 x 2 + y 2 = 2 y, 例9. 计算∫∫ D
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
三、利用极坐标计算二重积分
一、曲顶柱体体积的计算
y = ϕ2 ( x)
设曲顶柱的底为
z
y
ϕ1 ( x) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x) D = ( x, y) a≤ x≤b
曲顶柱体体积为
D
o
a x0 b x y = ϕ1 (x) (x
第二节_二重积分的计算法
第二节_二重积分的计算法二重积分：在平面上规定一个有界闭合区域D，对于D上的每一点P(x,y)，都有一个标量函数f(x,y)与之对应。
则二重积分的数值就是由函数f(x,y)在区域D上所有点处的函数值决定的。
二重积分一般可以表示为∬Df(x,y)dA。
计算二重积分的方法主要有以下几种：直角坐标法、极坐标法、换元积分法和累次积分法。
1.直角坐标法：针对矩形、直角三角形、抛物线和折线边界的区域，可以直接使用直角坐标法来计算二重积分。
具体步骤如下：(1)写出二重积分的累加和形式：I=ΣΣf(x,y)ΔA。
(2)将区域D分成若干小矩形，计算每个小矩形的面积ΔA。
(3)在每个小矩形上选择代表点(x,y)，计算f(x,y)的函数值。
(4)将函数值与相应小矩形的面积相乘，加和求和即可得到二重积分的数值。
2.极坐标法：当具有极坐标对称性的区域时，采用极坐标法可以简化计算。
具体步骤如下：(1) 确定极坐标变换：x=r*cosθ，y=r*sinθ。
(2) 根据变换的雅可比矩阵计算面积元素dA的极坐标形式：dA=rdrdθ。
(3) 将二重积分转化为极坐标下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ。
(4)将极坐标下的积分区域和积分限进行变换，然后按照累次积分进行计算。
3.换元积分法：当二重积分区域D的边界方程比较复杂时，可以使用换元积分法来简化计算。
具体步骤如下：(1)根据边界方程对二重积分区域D进行变换，将原来的二重积分区域映射到一个新的坐标系中的区域G。
(2)根据变换的雅可比矩阵，计算新坐标系下的面积元素dA'。
(3) 将二重积分转化为新坐标系下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Gf(x(u,v),y(u,v))，J(u,v)，dudv，其中J(u,v)为雅可比行列式。
(4)对新坐标系下的累次积分按照直角坐标法或极坐标法进行计算。
4.累次积分法：当二重积分区域D可以通过垂直于坐标轴的直线进行划分时，可以使用累次积分法进行计算。
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∀x 0 ∈ [ a , b ]
作平面 x = x0
6
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= ϕ (x) yy= ϕ22(x)
y y
ϕ2( x0 )
z
z
zz= ff((x, y) = x, y)
A((x) ) Ax0 0
o o
a a
ϕ1( x0 )
x00 x
xx = ϕ1( (x b b yy = ϕ1x) )
分析］ ［分析］ 当被积函数中有绝对值时， 当被积函数中有绝对值时，要考虑 积分域中不同范围脱去绝对值符号。 积分域中不同范围脱去绝对值符号。
2
∫∫ xydσ = ∫−1 dy ∫y D
2
y+2
∫∫ xydσ = ∫∫ D D
+ ∫∫ = ∫ dx ∫
D2
0
1
x
− x
xydy + ∫ dx ∫
1
4
x
x−2
xydy
=L
1
计算较繁
15
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本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！ 本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！
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− 1 ≤ y ≤ 1 ［法2］ DY : ］ − 1 ≤ x ≤ y
－1 D
y
1 y y=x o －1 1
x
原式 = ∫ ydy ∫
−1
1
y
−1
1 + x 2 − y 2 dx
的积分较繁，故应用法1 注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便
注意两种积分次序的计算效果！ 注意两种积分次序的计算效果！
x=2
1
o
2 2 2
1
2
x
x2 2 ∫∫ xydσ = ∫1 dy ∫y xydx = ∫1 [ y ⋅ 2 ] y dy D
1 y3 = ∫ ( 2 y − )dy = 1 1 2 8
2
11
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【例2】 计算 ∫∫ y 1 + x 2 − y 2 dσ , D : 由y = x , x = −1, 】
为底， ∫∫ f ( x , y )dσ 的值等于以 D 为底，以曲面 z = D
则
f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积． 为曲顶柱体的体积．
方法】根据二重积分的几何意义以及计算 以及计算“ 【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平 行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求. 行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.
D 1 D2 D3
D3
o
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x
9
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4. 【例题部分】
【例1】 计算 ∫∫ xydσ , 其中D：由y = 1, x = 2及 】
D
y = x所围闭区域 .
看作X－ 【解Ⅰ】 看作 －型域
y
y=x
D
1 ≤ x ≤ 2 DX : 1 ≤ y ≤ x
2 x
y=1
o
2
1 x
2
x
(1)［X－型域］ a ≤ x ≤ b, ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ). ［ －型域］
y = ϕ2 ( x )
y = ϕ2 ( x )
D
y = ϕ1 ( x)
a
b
D
y = ϕ1 ( x )
a
b
ϕ 上连续. 其中函数 ϕ1 ( x ) 、 2 ( x )在区间 [a , b] 上连续.
小结】 【小结】
以上三例说明， 以上三例说明，在化二重积分为二次 积分时， 积分时，为简便见需恰当选择积分次 既要考虑积分区域D的形状 的形状， 序；既要考虑积分区域 的形状，又要 考虑被积函数的特性(易积) 考虑被积函数的特性(易积)
16
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5.【简单应用】 【简单应用】
ϕ1( x0 )
b
ϕ2( x0 )
A( x0))= ∫∫ A( x =
即得
ϕ 2 2 ( x0 ) ϕ ( x)
ϕ 1 1 ( x0 ) ϕ( x)
f f xx0 ,)dydy ( ( , y y)
b
∴ V = ∫ A( x )dx
a
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫ dx ∫
a D
ϕ2 ( x)
(2)回顾一元函数定积分的应用 回顾一元函数定积分的应用 平行截面面积为已知的立体的体积的求法 在点x处的平行截面的面积为 A( x ) 体积元素 dV = A( x )dx 体积为
n
V = ∫ A( x )dx
a
2
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b
一、利用直角坐标系计算二重积分
1. 【预备知识】 预备知识】
D 1
D3
D2
在分割后的三个区域上分别都 型域) 是X－型域(或Y—型域) －型域( 型域
由二重积分积分区域的可加性得
∫∫ D
= ∫∫ + ∫∫ + ∫∫ .
D1 D2 D3
5
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2.【二重积分公式推导】 . 二重积分公式推导】
且设f ( x , y ) ≥ 0
a (1).若积分区域为 －型域： ≤ x ≤ b, ϕ1( x) ≤ y ≤ ϕ2( x). 若积分区域为X－型域： 若积分区域为
0 0
2
1
y
2 − y2
dx
=∫ e
0
1
−y
2
1 2 y3 y2 2 1 −y ⋅ dy = ∫ e ⋅ dy = (1 − ). 0 6 e 3 6
20
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2 【补例3 】计算积分 I = ∫∫ | y − x | dσ , 其中D为 : D
0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1.
1
d
ψ2( y)
f ( x , y )dx
公式2 公式
即化二重积分为先对 x后对 y的二次积分 .
3.【二重积分的计算步骤可归结为】 画出积分域的图形，标出边界线方程； ①画出积分域的图形，标出边界线方程； ②根据积分域特征，确定积分次序； 根据积分域特征，确定积分次序； 根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。 ③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。
13
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【例3】 计算 ∫∫ xydσ , 其中D：由y = x及 】
2 D
y = x − 2所围闭区域
既是X—型域 既是 型域 【解】 D既是 又是Y—型域 型域 又是 先求交点
y2 = x 由 ⇒ (1,-1) 或 (4,2) y = x − 2
14
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D
和y = 1所围闭区域 .
既是X—型域又是 型域又是—Y型域 既是 型域又是 型域 【解】 D既是
1
y
D y=x
− 1 ≤ x ≤ 1 ［法1］ DX : ］ x ≤ y ≤ 1
1 1 2 2
－1
x
o
1
x
1 上式 = ∫ dx ∫ y 1 + x − y dy = L = −1 x 2
12
c
ψ1
o a
x
bx
为计算方便, 选择积分次序, 必要时还可交换积分次序 交换积分次序. 为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可交换积分次序.
(3) 若积分域较复杂 可将它分成若干 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域. -型域或 -型域.
y
D 1
D2
∫∫ D
= ∫∫ + ∫∫ + ∫∫
d
d
x = ψ 1( y)
D
x = ψ 2 ( y)
x = ψ 1( y)
D
c
c
x = ψ 2 ( y)
型区域的特点】 【Y—型区域的特点】穿过区域且平行于 轴的 型区域的特点 穿过区域且平行于x 直线与区域边界相交不多于两个交点. 直线与区域边界相交不多于两个交点.
4
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(3)［既非 －型域也非 －型域］如图 ［既非X－型域也非Y－型域］ 则必须分割. 则必须分割.
0≤ x ≤ 2 2≤ x ≤ 2 2 DX1 : , DX 2 : 2 2 1 2 0 ≤ y ≤ 2 x 0 ≤ y ≤ 8 − x y = 1 x2 2 D D2 1 将D = D1 + D2 视为 型区域 , 则 视为Y–型区域 o 22 0≤ y ≤ 2 D: 2 y ≤ x ≤ 8 − y2 8− y2 2 f ( x, y)dx I = ∫∫ f ( x, y)d xd y = ∫ dy∫
求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体 【例4】 】 求两个底圆半径都等于 的直交圆柱面所围成的立体 的体积V. z 的体积 【解】 设两个直圆柱方程为
x2 + y2 = R2 , x2 + z2 = R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分, 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 z = R − x
据二重积分的性质4（几何意义） 据二重积分的性质Байду номын сангаас（几何意义） σ = ∫∫ dxdy 【解】
y = x 交点 y = x + 2
2
D
( ⇒ ( −1,1) ，2,4)
− 1 ≤ x ≤ 2 DX : 2 x ≤ y ≤ x + 2
∴ σ = ∫ dx ∫
−1 2 x+2 x2
dy = ∫ ( x + 2 − x 2 )dx
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