归纳二重积分的计算方法
二重积分的计算法[精编文档]
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一、利用直角坐标计算二重积分
X-型积分区域 Y-型积分区域
二、利用极坐标计算二重积分
将二重积分化为二次积分 与直系下二次积分互化
一、利用直角坐标计算二重积分
直角坐标系下化二重积分为二次积分
由曲顶柱体体积的计算可知,
当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
f x, y 关于x奇，D关于y轴对称
0,
f
x, y
关于y奇，D关于x轴对称
D
f
x,
y
dxdy
2
f
x,
y
dxdy
f x, y 关于x偶，
D关于y轴对称
D`1
f x, y 关于y偶，
D关于x轴对称
f x, y f (x, y), 称f(x,y)关于x为奇， f x, y f (x, y), 称f(x,y)关于x为偶，
例1. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
r d r d
2
d
0
a rer2 d r
0
(1 ea 2 )
由于 ex2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
例2：求I= y2 3x 6 y 9 dxdy,其中: x2 y2 a2.
例5. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
及直线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
则
D
:
y
1
2
y x
2 y
2
归纳二重积分的计算方法
归纳二重积分的计算方法摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算前言二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.1. 预备知识1.1二重积分的定义]1[设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有()1,niii i f J ξησε=∆-<∑,则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作(),DJ f x y d σ=⎰⎰,其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域.1.2二重积分的若干性质1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),Dkf x y d σ⎰⎰(),Dk f x y d σ=⎰⎰.1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且()()[,,]Df x yg x y d σ±⎰⎰()(),,DDf x y dg x y d σσ=±⎰⎰⎰⎰.1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也可积,且1.3在矩形区域上二重积分的计算定理设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =⨯上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),dcf x y dy ⎰存在,则累次积分(),b dacdx f x y dy ⎰⎰也存在,且(),Df x y d σ⎰⎰(),bdacdx f x y dy =⎰⎰.同理若对每个[],y c d ∈,积分(),baf x y dx ⎰存在,在上述条件上可得2.求的二重积分的几类理论依据二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算X -型区域: ()()(){}12,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤Y -型区域: ()()(){}12,,D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有例1求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V . 解：设圆柱底面半径为a ,两个圆柱方程为 222x y a +=与222x z a +=.只要求出第一卦限部分的体积,然后再乘以8即得所求的体积. 第一卦限部分的立体式以z =,以四分之一圆域D : 为底的曲顶柱体,所以于是3163V a =. 另外,一般常见的区域可分解为有限个X -型或Y -型区域,用上述方法求得各个小区域上的二重积分,再根据性质1.23求得即可.2.2 二重积分的变量变换公式定理: 设(),f x y 在有界闭域D 上可积,变换T : (),x x u v =, (,)y y u v =将平面uv 由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆一对一地映成xy 平面上的闭区域D ,函数(),x x u v =,(,)y y u v =在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 ()()(),,0,x y J u v u v ∂=≠∂, (),u v ∈∆,则()()()()(),,,,,Df x y dxdy f x u v y u v J u v dudv ∆=⎰⎰⎰⎰.用这个定理一般有两个目的,即被积函数化简单和积分区域简单化. 例1 求x y x yDedxdy -+⎰⎰,其中D 是由0x =,0y =,1x y +=所围区域.解 为了简化被积函数,令u x y =-,v x y =+.为此作变换T :1()2x u v =+,1()2y u v =-,则()11122,011222J u v ==>-. 即111100111()2224x y u u v x yvv v De e edxdy e dudv dv e du v e e dv ---+-∆-==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例2 求抛物线2y mx =，2y nx =和直线y x β=，y x α=所围区域D 的面积()D μ(0,0)m n αβ<<<<．解D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰．为了简化积分区域，作变换T ： 2u x v =，uy v=．它把xy 平面上的区域D 对应到uv 平面上的矩形区域[][],,m n αβ∆=⨯．由于()234212,01uu v v J u v u v vv-==>-，(),u v ∈∆， 所以2.3 用极坐标计算二重积分定理: 设(),f x y 在有界闭域D 上可积,且在极坐标变换T ：cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩0r ≤<+∞，02θπ≤≤下，xy 平面上有界闭区域D 与r θ平面上区域∆对应，则成立()(),cos ,sin (,)Df x y dxdy f r r J r drd θθθθ∆=⎰⎰⎰⎰．其中cos sin (,)sin cos r J r r r θθθθθ-==．当积分区域是源于或圆域的一部分，或者被积函数的形式为()22,f x y 时，采用该极坐标变换．二重积分在极坐标下化累次积分的计算方法：（i ）若原点O D ∉，且xy 平面上射线θ=常数与D 边界至多交与两点，则∆必可表示成12()()r r r θθ≤≤，αθβ≤≤，于是有类似地，若xy 平面上的圆r =常数与D 的边界多交于两点，则∆必可表示成12()()r r θθθ≤≤，12r r r ≤≤，所以2211()()(,)(cos ,sin )r r r r Df x y dxdy rdr f r r d θθθθθ=⎰⎰⎰⎰.（ii ）若原点为D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则∆可表示成0()r r θ≤≤，02θπ≤≤.所以2()(,)(cos ,sin )r Df x y dxdy d f r r rdrπθθθθ=⎰⎰⎰⎰.(iii)若原点O 在D 的边界上,则∆为0()r r θ≤≤,αθβ≤≤, 于是例1 计算22()xy DI e d σ-+=⎰⎰,其中D 为圆域: 222x y R +≤.解 利用极坐标变换,由公式得2220(1)Rr R I re dr e ππ--==-⎰⎰.与极坐标类似，在某些时候我们可以作广义极坐标变换：T ：cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩ 0r ≤<+∞，02θπ≤≤， cos sin (,)sin cos a ar J r abr b br θθθθθ-==．如求椭球体2222221x y z a b c++≤的体积时，就需此种变换．2.4利用二重积分的几何意义求其积分当(,)0f x y ≥时，二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰在几何上就表示以(,)z f x y =为曲顶，D 为底的曲顶体积．当(,)1f x y =时，二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰的值就等于积分区域的面积．例6计算：DI σ=，其中D ：22221x y a b +≤．解因为被积函数z =0≥，所以I 表示D为底的z =由平行xoy 面的截面面积为()(1)A x ab z π=-，(01)z ≤≤，根据平行截面面积为已知的立体体积公式有2.5 积分区域的边界曲线是由参数方程表示的二重积分有关计算 ２.５１利用变量代换计算设D 为有界闭域，它的边界曲线，()t αβ≤≤且{}(,),()D x y a x b c y y x =≤≤≤≤，当x a =时，t α=；当x b =时，t β=。
二重积分的计算法
二重积分的计算法二重积分（Double integral）是微积分中的一种重要计算方法，用于计算平面区域上一些函数在该区域上的积分值。
在二维平面上，我们可以将区域划分为无数个小矩形，然后计算每个小矩形内函数的函数值乘以其面积，再将所有小矩形的积分值求和，即可得到二重积分的近似值。
为了更好地理解和计算二重积分，我们将其分为三个部分进行讨论：积分区域的确定、积分函数的选择和积分计算方法。
一、积分区域的确定：确定二重积分的积分区域是计算的第一步。
在平面上，积分区域可以是一个有界闭区域、一个有界开区域或者无穷区域。
积分区域的确定需要根据具体问题进行分析、绘图和建立坐标系。
对于有界闭区域，通常可以直接利用给定的区域边界方程建立坐标系，进而确定积分区域。
对于有界开区域，可以通过给定的边界方程建立坐标系，然后再引入限制条件来确定积分区域。
例如，给定条件是$x>0$，$y>0$，则可以建立第一象限坐标系，并按照给定的边界方程绘制积分区域。
对于无穷区域，可以通过适当的变量替换将其转化为有界区域，然后再进行积分计算。
例如，将积分区域$x>0$，$y>0$转换为极坐标系下的∞半径的极坐标区域。
二、积分函数的选择：选择正确的积分函数是二重积分计算的关键。
积分函数的选择需要根据具体问题中函数的性质和所要计算的目的进行合理选择。
常见的积分函数包括多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数等。
对于具体问题，可以根据函数的性质选择合适的积分函数。
在选择积分函数时，还需要考虑积分区域的特点。
如果积分区域对称，可以考虑选择合适的奇偶函数进行积分计算，减少计算量。
三、积分计算方法：根据实际情况，二重积分可以采用不同的计算方法。
1.直角坐标系下的二重积分：在直角坐标系下，可以通过定积分的计算方法进行二重积分的计算。
其中，积分区域可以用水平边界和垂直边界的方程表示，从而确定积分的上下限。
如果积分区域为有界区域，可以采用上下限函数的自变量依次固定的方法进行计算。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要内容，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要对二元函数在某个区域上的积分进行计算，而二重积分就是用来描述这样的问题的数学工具。
本文将介绍二重积分的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来了解一下二重积分的定义。
对于平面上的有界闭区域D和在D 上有定义的连续函数f(x, y)，我们可以将D分成许多小的面积ΔS，然后在每个小面积ΔS上取点(xi, yi)，计算函数值f(xi, yi)与ΔS的乘积，然后将所有这些乘积相加，得到的极限值就是二重积分的值，即：∬D f(x, y) dxdy = lim Σ f(xi, yi)ΔS。
其中，ΔS是小面积ΔS的面积，Σ表示对所有小面积求和，极限值即为二重积分的值。
接下来，我们将介绍二重积分的计算方法。
在实际应用中，我们通常会遇到以下几种情况：1. 矩形区域上的二重积分计算。
当积分区域为矩形区域时，我们可以利用定积分的性质，将二重积分转化为两次定积分的形式进行计算。
具体而言，对于矩形区域D=[a, b]×[c, d]上的函数f(x, y)，其二重积分可以表示为：∬D f(x, y) dxdy = ∫c^d ∫a^b f(x, y) dxdy。
这样，我们就可以将二重积分的计算转化为两次定积分的计算，从而简化了计算的过程。
2. 极坐标系下的二重积分计算。
在极坐标系下，二重积分的计算通常更加简便。
对于极坐标系下的二元函数f(r, θ)，其二重积分可以表示为：∬D f(r, θ) drdθ。
在极坐标系下，积分区域D的描述通常更加简单，而且在计算过程中也更加方便，因此在一些问题中，我们可以通过将坐标系转化为极坐标系来简化计算过程。
3. 用换元法进行二重积分计算。
在一些复杂的情况下，我们可以利用换元法来简化二重积分的计算。
通过适当的变量替换，我们可以将原来的积分区域转化为一个更加简单的积分区域，从而简化计算过程。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨二重积分的计算方法，包括定积分、极限方法和变换法。
首先，我们来回顾一下定积分的概念。
定积分是在一个区间上对函数进行积分的方法，可以看作是对函数在该区间上面积的测量。
对于一维的函数，如f(x)，定积分的计算方法可以通过求解反导函数F(x)的值来实现。
具体而言，定积分是将函数f(x)在区间[a,b]上的每个小矩形的面积累加起来，得到的结果就是函数在该区间上的定积分。
对于二重积分，它的计算稍微复杂一些。
二重积分可以看作是在一个二维的区域上对函数进行积分的方法。
通常情况下，二重积分的计算可以分为两个步骤：首先，将二重积分转化为定积分的形式；然后，利用定积分的计算方法进行求解。
对于二重积分的转化，常用的方法有直角坐标转换和极坐标转换。
直角坐标转换适用于矩形区域，它将二重积分转化为两个一维的定积分。
具体而言，设二重积分的变量为x和y，区域为D，函数为f(x,y)，则二重积分的计算可以表示为：∬f(x,y)dA = ∫(∫f(x,y)dy)dx其中，第一个定积分在区域D上对y进行积分，第二个定积分在整个区域D上对x进行积分。
极坐标转换适用于圆形或者具有旋转对称性的区域，它将二重积分转化为极坐标系下的定积分。
具体而言，设二重积分的变量为r和θ，区域为D，函数为g(r,θ)，则二重积分的计算可以表示为：∬g(r,θ)rdrdθ其中，第一个定积分在区域D上对r进行积分，第二个定积分在整个区域D上对θ进行积分。
除了定积分的方法，还可以使用极限方法来计算二重积分。
极限方法是通过将计算区域划分成无穷多个小矩形或者小三角形，然后将其面积累加起来得到积分的值。
具体而言，对于二重积分的计算，可以将区域D划分成很多个小矩形或者小三角形，然后根据这些小区域的面积和函数值进行累加，最后取极限即可得到二重积分的值。
最后，我们来介绍一种常用的变换法，即换元法。
二重积分的算法
二重积分的算法1. 引言在微积分中，二重积分是一种对平面上的函数进行求和的方法。
它可以用来计算平面上某个区域内函数值的总和。
在本文中，我们将介绍二重积分的算法，并详细说明如何进行计算。
2. 二重积分的定义设函数f(x,y)在闭区域D上有界，将闭区域D分成许多小区域ΔA i，其中i=1,2,…,n。
选择一个点(x i∗,y i∗)属于第i个小区域ΔA i，则二重积分可以定义为：∬f D (x,y)dA=limmaxi∥ΔA i∥→0∑fni=1(x i∗,y i∗)ΔA i其中∥ΔA i∥表示小区域ΔA i的面积。
3. 计算二重积分的基本步骤计算二重积分的基本步骤如下：步骤1：确定积分区域首先需要确定要进行积分的区域D。
这个区域可以是矩形、三角形、圆形等等。
根据实际情况选择适当的坐标系，并确定区域的边界方程或者坐标范围。
步骤2：确定积分顺序根据实际情况，选择适当的积分顺序。
二重积分可以按照x先积分再积分y，也可以按照y先积分再积分x。
选择合适的积分顺序可以简化计算过程。
步骤3：确定积分限根据积分区域和所选的积分顺序，确定每个变量的取值范围。
这些取值范围将成为二重积分的限制条件。
步骤4：进行二重积分计算根据所选的积分顺序和限制条件，将二重积分转换为一重积分或多个一重积分的组合。
使用数值方法或解析方法进行计算，得出最终结果。
4. 二重积分的常用算法在实际计算中，有几种常用的算法可用于求解二重积分。
矩形法矩形法是最简单直观的方法之一。
它将区域D划为若干个小矩形，并在每个小矩形的中心点处取样。
然后将每个样本值乘以对应小矩形的面积，再求和得到最终结果。
梯形法梯形法是一种改进的方法，它将区域D划分为若干个梯形，并在每个梯形的两个底边中点处取样。
然后将每个样本值乘以对应梯形的面积，再求和得到最终结果。
辛普森法则辛普森法则是一种更高级的方法，它利用了二次多项式的性质。
它将区域D划分为若干个小矩形，并在每个小矩形的四个顶点处取样。
二重积分计算方式
二重积分计算方式二重积分是微积分中的重要概念之一，用来求解平面上某个区域上的某个量的总和。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方式和应用。
一、二重积分的定义及性质二重积分是通过将一个二元函数在一个区域上进行积分来求解该区域上的某个量的总和。
在二重积分中，被积函数的两个自变量分别为x和y，积分区域为D。
1. 定义：设函数f(x,y)在区域D上有定义，D是xy平面上的一个有界闭区域，将D分成许多小区域，记作ΔD。
选取ΔD中任意一点(xi,yi)，作函数值f(xi,yi)与ΔDi的乘积f(xi,yi)ΔAi，其中ΔAi为ΔDi的面积。
如果极限$$\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(xi,yi) \Delta Ai$$存在且与D和ΔD的选取无关，那么称此极限为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作$$\iint_D f(x,y) dxdy$$2. 性质：二重积分具有线性性质和可加性质，即对于任意常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，以及区域D和E，有以下性质：- 线性性质：$$\iint_D (af(x,y) + bg(x,y)) dxdy = a\iint_D f(x,y) dxdy + b\iint_D g(x,y) dxdy$$- 可加性质：$$\iint_{D \cup E} f(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dxdy + \iint_E f(x,y) dxdy$$二、二重积分的计算方式在实际计算二重积分时，常常使用直角坐标系和极坐标系来简化计算。
1. 直角坐标系下的计算方式在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过迭代积分来进行。
假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，可以将二重积分表示为以下形式：$$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) dy dx$$其中a和b为x的范围，c(x)和d(x)为y的范围。
计算二重积分的几种方法
计算二重积分的几种方法摘要 二重积分的计算是数学分析中一个重要的内容，其计算方法多样、灵活，本文总结了二重积分的一般计算方法和特殊计算方法.其中，一般计算方法包括化二重积分为累次积分和换元法，特殊计算方法包括应用函数的对称性、奇偶性求二重积分以及分部积分法.关键词 二重积分 累次积分法 对称性 分部积分法1 引言本人在家里的职业教育高中实习，发现这里有些专业的的学生要计算很多面积或者体积问题，已经略微涉及到大学的积分问题，如曲顶柱体的体积，他们用最普遍的求面积/体积的方法求解，而用二重积分进行计算求解就会更容易理解，方法和步骤也带给学生一个新的认知领域。
职业教育的学生在大学知识中解决实际问题应用积分的方法更频繁。
在解决一些几何、物理等的实际问题时，我们常常需要各种不同的多元实值函数的积分，而二重积分又是基本的、常见的多元函数积分，我针对自己在《数学分析》这门课程中的学习，总结了累次积分、根据函数对称性积分、元素法、分部积分法、极坐标下的积分等内容，以下是我对二重积分方法的总结。
2 积分的计算方法2.1化二重积分为两次定积分或累次积分法定理 1 若函数(),f x y 在闭矩形域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],x a b ∀∈，定积分()(),dcI x f x y dy =⎰存在，则累次积分(),bd a c f x y dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰也存在，且(,)(,)b da c Rf x y dxdy f x y dy dx⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰证明 设区间[],a b 与[],c d 的分点分别是011011i i n k k m a x x x x x bc y y y y yd --=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<==<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=这个分法记为T .于是，分法将T 闭矩形域R 分成m n ⨯个小闭矩形，小闭矩形记为11(,),1,2,,;1,2,,.ik i i k k R x x x y y y i n k m --≤≤≤≤=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅设(){}(){}[]1sup ,,inf ,.,ik ik i i i M f x y m f x y x x ξ-==∀∈，有()1,,ik i ik k k m f y M y y y ξ-≤≤≤<.已知一元函数(),i fy ξ在[]1,k k y y -可积，有()11,,kik k i ik k k k k k m y f y dy M y y y y ξ--∆≤≤∆∆=-⎰.将此不等式对1,2,k m =…相加，有()1111,k k mmmy ikk i ik k y k k k my f y dy M y ξ-===∆≤≤∆∑∑∑⎰，其中()()()11,,k k my di i i y ck f y dy f y dy I ξξξ-===∑⎰⎰，即()11mmik k i ik k k k m y I M y ξ==∆≤≤∆∑∑.再将此不等式乘以i x ∆，然后对1,2,i n =…相加，有()11111nmnnmik i k i i ik i k i k i i k m x y I x M x y ξ=====∆∆≤∆≤∆∆∑∑∑∑∑.此不等式的左右两端分别是分法T 的小和()s T 与大和()S T ，即 ()()()1niii s T I xS T ξ=≤∆≤∑. (1)已知函数(),f x y 在R 可积，根据定理有 ()()0lim lim (,),T T RS T s T f x y dxdy →→==⎰⎰又不等式（1），有()()01lim,niiT i RI x f x y dxdy ξ→=∆=∑⎰⎰，即()()(),,.b b da a c Rf x y dxdy I x dx f x y dy dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰类似地，若(),f x y 在闭矩形域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],,y c d ∀∈定积分存在，则累次积分(),db ca f x y dx dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，也存在，且()(),,db ca Rf x y dxdy f x y dx dy ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.也可将累次积分(),bda c f x y dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰与(),db ca f x y dx dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰分别记为(),bdacdx f x y dy ⎰⎰和(),dbcadx f x y dy ⎰⎰.定义 1 设函数()()12,x x ϕϕ在闭区间[],a b 连续；函数()()12,y y ψψ在闭区间[],c d 连续，则区域()()()[]{}12,,,x y x y x x a b ϕϕ≤≤∈和()()()[]{}12,,,x y y x y y c d ψψ≤≤∈分别称为x型区域和y 型区域.如下图（1）和（2）所示 .定理2 设有界闭区域R 是x 型区域，若函数(),f x y 在R 可积，且[],x a b ∀∈，定积分()()()21,x xf x y dy ϕϕ⎰存在，则累次积分()()()21,bx a xdx f x y dy ϕϕ⎰⎰也存在，且()()()()21,,bx ax Rf x y dxdy dx f x y dy ϕϕ=⎰⎰⎰⎰.利用极坐标计算二重积分公式：()(),cos ,sin RRf x y dxdy f r r rdrd ϕϕϕ=⎰⎰⎰⎰例1 计算二重积分()sin Rx y dxdy +⎰⎰，其中0,0.22R x y ππ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭ 解 被积函数()cos x y +在R 连续，则有()cos Rx y dxdy +⎰⎰=()220cos dy x y dx ππ+⎰⎰=220(cos cos sin sin )dy x y x y dx ππ-⎰⎰=()20cos sin y y dy π+⎰= 1+01-例2 计算二重积分22Dx dxdy y⎰⎰，其中D 是由直线2,x y x ==和双曲线1xy =所围成，D 既是x 型区域又是y 型区域，如图（3）所示.解 先对y 积分，后对x 积分.将D 投影在x 轴上，得闭区间[]1,2.[]1,2x ∀∈,关于y 积分，在D 内y 的积分限是1y x=到y x =，然后在投影区间[]1,2上关于x 积分，即 ()222231221194x x Dx x dxdy dx dy x x dx y y ==-=⎰⎰⎰⎰⎰. 先对x 积分，后对y 积分.因为D 的左侧边界不是由一个解析式给出，而是由两个解析式1xy =和y x =给出的，所以必须将图（3）所示的区域D 分成两个区域()1D PRS 与()2D PRQ ，分别在其上求二重积分，然后再相加，即2122222122211222221294y y DD D x x x x x dxdy dxdy dxdy dy dx dy dx y y y y y =+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.例3 设函数()f x 在[]0,1上连续，并设()2,f x dx B =⎰求()()22.xI dx f x f y dy =⎰⎰解 因为()()()()2220yxI dx f x f y dy dy f x f y dx==⎰⎰⎰⎰()()()()22yxf y dy f x dx f x dx f y dy==⎰⎰⎰⎰所以()()()()()()2222222xxI f x dx f y dy f x dx f y dy f x dx f y dy B =+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以22B I =.2.2 换元法求二重积分，由于某些积分区域的边界曲线比较复杂，仅仅将二重积分化为累次积分并不能得到计算结果.如果经过适当的换元或变换可将给定的积分区域变为简单的区域，从而简化了重积分的计算.定理3若函数(),f x y 在有界闭区域R 连续，函数组 ()(),,,x x u v y y u v == （2） 将uv 平面上区域'R 变换为xy 平面上区域R .且函数组(2)在'R 上对u 与对v 存在连续偏导数，(),'u v R ∀∈,有()(),0,,x y J u v ∂=≠∂则()()()()',,,,,R R f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰ （3） 证明 用任意分法T 将区域R 分成n 个小区域：12,,,n R R R ⋅⋅⋅.设其面积分别是12,,,n σσσ∆∆⋅⋅⋅∆.于是，在'R 上有对应的分法'T ,它将'R 对应地分成n 个小区域12',',,'n R R R ⋅⋅⋅.设其面积分别是12',',,'n σσσ∆∆⋅⋅⋅∆.根据定理可得(),'k u v R ∀∈，有 ()()(),','.,k k k x y J u v u v σσσ∂∆≈∆=∆∂(),k k k R ξη∀∈，在'k R 对应唯一一点(),k k αβ，而()(),,,k k k k k k x y ξαβηαβ==.于是，()()()()11,,,,,'.n nkkkkk k k k k k k k f f x y J ξησαβαβαβσ==∆≈∆⎡⎤⎣⎦∑∑ (4)因为函数组（2）在有界闭区域R 上存在反函数组()(),,,u u x y v v x y ==，并且此函数组在R 一致连续，所以当0T →时，也有'0T →.对（4）取极限()0T →，有()()()()',,,,,RR f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰.例 4 计算两条抛物线2y mx =与2y nx =和两条直线y x α=与y x β=所围成R 区域的面积()0,0R m n αβ<<<<，如图（4）所示.解 已知区域R 的面积RR dxdy =⎰⎰.设2,.y yu vx x==这个函数将xy平面上的区域R变换为uv平面上的区域'R，'R是由直线,u m u n==和,v vαβ==所围成的矩形域.()()()()43224222,11.,,2,1x y x y x uu vu v y x y vy yx y x xyx x∂⎛⎫=====⎪∂∂⎝⎭-∂-由定理3可知,()()4',,nmR Rx y uR dxdy dudv dv duu v vβα∂===∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()223322433.26n mn m dvvβαβααβ---==⎰本题是典型的运用换元法解决二重积分求面积的问题。
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归纳二重积分的计算方法摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算前言二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.1. 预备知识1.1二重积分的定义]1[设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有()1,niiii f J ξησε=∆-<∑,则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作(),DJ f x y d σ=⎰⎰,其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域.1.2二重积分的若干性质1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),Dkf x y d σ⎰⎰(),Dk f x y d σ=⎰⎰.1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且()()[,,]Df x yg x y d σ±⎰⎰()(),,DDf x y dg x y d σσ=±⎰⎰⎰⎰.1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也可积,且()12,D D f x y d σ⎰⎰()()12,,D D f x y d f x y d σσ=±⎰⎰⎰⎰1.3在矩形区域上二重积分的计算定理设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =⨯上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),dcf x y dy ⎰存在,则累次积分(),bdacdx f x y dy ⎰⎰也存在,且(),Df x y d σ⎰⎰(),bdacdx f x y dy =⎰⎰.同理若对每个[],y c d ∈,积分(),baf x y dx ⎰存在,在上述条件上可得(),Df x y d σ⎰⎰(),d bcady f x y dx =⎰⎰2.求的二重积分的几类理论依据二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算X -型区域: ()()(){}12,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤Y -型区域: ()()(){}12,,D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则(),Df x y d σ⎰⎰()()()21,by x ay x dx f x y dy =⎰⎰即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有(),Df x y d σ⎰⎰()()()21,dx y cx y dx f x y dy =⎰⎰例1求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V . 解：设圆柱底面半径为a ,两个圆柱方程为 222x y a +=与222x z a +=.只要求出第一卦限部分的体积,然后再乘以8即得所求的体积.第一卦限部分的立体式以z =,以四分之一圆域D:00,y x a ⎧⎪≤≤⎨≤≤⎪⎩为底的曲顶柱体,所以2230012()83a a DV dx a x dx a σ===-=⎰⎰于是3163V a =. 另外,一般常见的区域可分解为有限个X -型或Y -型区域,用上述方法求得各个小区域上的二重积分,再根据性质1.23求得即可.2.2 二重积分的变量变换公式定理: 设(),f x y 在有界闭域D 上可积,变换T : (),x x u v =, (,)y y u v =将平面uv 由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆一对一地映成xy 平面上的闭区域D,函数(),x x u v =,(,)y y u v =在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 ()()(),,0,x y J u v u v ∂=≠∂, (),u v ∈∆,则()()()()(),,,,,Df x y dxdy f x u v y u v J u v dudv ∆=⎰⎰⎰⎰.用这个定理一般有两个目的,即被积函数化简单和积分区域简单化. 例1 求x y x yDedxdy -+⎰⎰,其中D 是由0x =,0y =,1x y +=所围区域.解 为了简化被积函数,令u x y =-,v x y =+.为此作变换T :1()2x u v =+,1()2y u v =-,则()11122,011222J u v ==>-. 即111100111()2224x y u u v x yvvv De e edxdy e dudv dv e du v e e dv ---+-∆-==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例2 求抛物线2y mx =，2y nx =和直线y x β=，y x α=所围区域D 的面积()D μ(0,0)m n αβ<<<<．解D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰．为了简化积分区域，作变换T ： 2u x v =，uy v=．它把xy 平面上的区域D 对应到uv 平面上的矩形区域[][],,m n αβ∆=⨯．由于()234212,01uu v v J u v u v vv-==>-，(),u v ∈∆， 所以()()22334433()6n m D n m udv D dxdy dudv udu v v βαβαμαβ∆--====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2.3 用极坐标计算二重积分定理: 设(),f x y 在有界闭域D 上可积,且在极坐标变换T ：cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ 0r ≤<+∞，02θπ≤≤下，xy 平面上有界闭区域D 与r θ平面上区域∆对应，则成立()(),cos ,sin (,)Df x y dxdy f r r J r drd θθθθ∆=⎰⎰⎰⎰．其中cos sin (,)sin cos r J r r r θθθθθ-==．当积分区域是源于或圆域的一部分，或者被积函数的形式为()22,f x y 时，采用该极坐标变换．二重积分在极坐标下化累次积分的计算方法：（i ）若原点O D ∉，且xy 平面上射线θ=常数与D 边界至多交与两点，则∆必可表示成12()()r r r θθ≤≤，αθβ≤≤，于是有21()()(,)(cos ,sin )r r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰⎰⎰类似地，若xy 平面上的圆r =常数与D 的边界多交于两点，则∆必可表示成12()()r r θθθ≤≤，12r r r ≤≤，所以2211()()(,)(cos ,sin )r r r r Df x y dxdy rdr f r r d θθθθθ=⎰⎰⎰⎰.（ii ）若原点为D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则∆可表示成0()r r θ≤≤，02θπ≤≤.所以2()(,)(cos ,sin )r Df x y dxdy d f r r rdrπθθθθ=⎰⎰⎰⎰.(iii)若原点O 在D 的边界上,则∆为0()r r θ≤≤,αθβ≤≤, 于是()(,)(cos ,sin )r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθ=⎰⎰⎰⎰例1 计算22()xy DI e d σ-+=⎰⎰,其中D 为圆域: 222x y R +≤.解 利用极坐标变换,由公式得2220(1)Rr R I re dr e ππ--==-⎰⎰.与极坐标类似，在某些时候我们可以作广义极坐标变换：T ：cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩ 0r ≤<+∞，02θπ≤≤，cos sin (,)sin cos a ar J r abr b br θθθθθ-==．如求椭球体2222221x y z a b c++≤的体积时，就需此种变换．2.4利用二重积分的几何意义求其积分当(,)0f x y ≥时，二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰在几何上就表示以(,)z f x y =为曲顶，D 为底的曲顶体积．当(,)1f x y =时，二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰的值就等于积分区域的面积．例6计算：DI σ=，其中D ：22221x y a b +≤．解因为被积函数z =0≥，所以I 表示D为底的z =由平行xoy 面的截面面积为()(1)A x ab z π=-，(01)z ≤≤，根据平行截面面积为已知的立体体积公式有101(1)3I ab z dz ab ππ=-=⎰2.5 积分区域的边界曲线是由参数方程表示的二重积分有关计算 ２.５１利用变量代换计算设D 为有界闭域，它的边界曲线，()t αβ≤≤且{}(,),()D x y a x b c y y x =≤≤≤≤，当x a=时，t α=；当x b =时，t β=。
设(,)f x y 在D 上连续，且存在(,)P x y ，(,)x y D ∈使得(,)Pf x y y∂=∂，则 '(,){[(),()][(),]}()Df x y dxdy P t t P t c t dt βα=Φψ-ΦΦ⎰⎰⎰２.５２利用格林公式计算定理 若函数(,)P x y ，(,)Q x y 在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有()LDQ Pd Pdx Qdy x yσ∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰这里L 为区域D 的边界线，并取正方向． 计算步骤： （１）构造函数(,)P x y ，(,)Q x y 使Q x ∂∂(,)Pf x y y∂-=∂，但(,)P x y ，(,)Q x y 在D 上应具有一阶连续偏导数；（２）利用格林公式化曲线积分求之．例7计算34Dx y dxdy ⎰⎰，D 是由椭圆cos x a θ=，sin y b θ=所围成．解法一（利用变量代换）设1D 为D 在第一象限，则135242425353520444cos ,sin cos sin (sin )5564D D a b x y dxdy x y dxdy x y dx x a y b a b d ππθθθθθθ====-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰作变换 解法二（利用格林公式）令2515P x y =-，0Q =，则24P x y y ∂=-∂，0Qx ∂=∂． 352242525011(cos )(sin )(sin )5564L Da b x y dxdy x y dx a b a d ππθθθθ=-=--=⎰⎰⎰⎰ 2.7 积分区域具有对称性的二重积分的简便算法 ２.７１积分区域关于坐标轴对称性质１ 若(,)f x y 在区域D 内可积，且区域D 关于y 轴（或x 轴）对称，则二重积分满足下列性质：10,(,)(,)2(,),(,)DD f x y x y f x y dxdy f x y dxdy f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为关于（或）的奇函数为关于（或）的偶函数其中1D 为区域D 被y 轴（或x 轴）所分割的两个对称子域之一． 例 计算(23)Dh x y dxdy --⎰⎰，其中D 是由222x y R +=所围成的闭区域． 解析 由于积分区域D 关于x 轴＼y 轴均对称性，只需考虑被积函数(,)23f x y h x y =--关于x 或y 的奇偶性．易见，(,)f x y 关于x 或y 既非奇函数，也非偶函数．若记()2f x x =-，()3f y y =-，则(,)()()f x y h f x f y =++且()f x 为x 的奇函数，()f y 为y 的奇函数．由此由性质１，有41122000cos()cos()0222cos()2cos()12yy D dxdy LDy y xx x y x y x y D D x y dxdy dy x y dx ππππππ-=====≤+=≤++≤=+=+=-⎰⎰⎰⎰，20Dhdxdy hR π=⎰⎰故有(,)Df x y dxdy =⎰⎰()Df x dxdy ⎰⎰+()Df y dxdy ⎰⎰+Dhdxdy ⎰⎰=Dhdxdy ⎰⎰=2hR π ２.７２积分区域关于某直线L 对称性质２ 若(,)f x y 在区域D 内可积，且区域D 关于L 对称，则二重积分满足下列性质：10,(,)(,)2(,),(,)DD f x y L f x y dxdy f x y dxdy f x y L ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为关于直线的奇函数为关于直线的偶函数其中1D 为区域D 被L 所分割的两个对称子域之一． 例 求，其中D 由直线0y =，y x =，2x π=围成．解析 对任意(,)x y D ∈，有0x y π≤+≤．而当02x y π≤+≤时，cos()0x y +≥．当2x y ππ≤+≤时，cos()0x y +≤．故作直线L ：2x y π+=，把D 分成1D 和2D 两部分，而1D 和2D 关于直线L 对称．又cos()x y +关于直线L 偶对称．故}cos()Dx y dxdy +⎰⎰41202cos()2cos()12yyD x y dxdy dy x y dx πππ-=+=+=-⎰⎰⎰⎰2.8 运用导数的定义求极限例10 计算)0(ln )ln(lim0>-+→h xhx h x思路：对具有000)()(limx x x f x f x --→或hx f h x f h )()(lim 000-+→形式的极限，可由导数的定义来进行计算. 解：原式=hx h x 1|)'(ln == 2.9运用定积分的定义求极限]3[例11计算01lim 1cosn n →++ 思路：和式极限，利用定积分定义10011lim ()()n n i if fx n n →==∑⎰dx 求得极限.解：原式01001lim 2n n i n xdx ππ→=====⎰⎰2.10 运用微分中值定理求极限例12：计算sin 0lim sin x x x e e x x→--思路：对函数()f x 在区间[sin ,]x x 上运用拉格朗日中值定理，即可求得. 解：原式0lim 1e αα→== （其中α在[sin ,]x x 区间内）总上所述，在不同的类型下，所采用的技巧是各不相同的，求极限时，可能有多种求法，有难有易，也可能在求题的过程中，需要结合上述各种方法，才能简单有效的求出，因此学会判断极限的类型，另外对以上的解法能活学活用，是必要的.参考文献:[1]华东师范大学数学系. 数学分析（第五版）[M]. 高等教育出版社，2001. [2]钱志良. 谈极限的求法[J]. 常州信息职业技术学院学报，2003. [3] 李占光. 函数极限的计算方法[J]. 长沙民政职业技术学院学报，2004.。