二重积分的计算方法精讲
第十章第二节_二重积分的计算法剖析讲解
x2 2
]2y
dy
2
(2 y
y3 )dy
11
1
2
8
【例2】 计算 y 1 x2 y2d , D :由y x, x 1,
D
和y 1所围闭区域 .
y
【解】 D既是X—型域又是—Y型域
1
D y=x
［法1］ DX
:
1 x 1
x
y
1
－1 x o
1x
上式
1
1
dx y
1 x2 y2dy 1
1. 【预备知识】
(1)［X－型域］ a x b, 1( x) y 2( x).
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
其中函数1( x、) 在2( x区) 间 上[a连,b续] .
【X—型区域的特点】 穿过区域且平行于y 轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.
先求交点
由
y2
x
(1,-1) 或 (4,2)
y x2
［法1］
DY
:
1
y2
y x
2 y
2
xyd
2
dy
y2 xydx
D
1
y2
55
8
［法2］ 视为X—型域 则必须分割 D D1 D2
0 x 1 D1 : x y
x
D2
:
1
x
x 2
4 y
x
1
x
4
x
xyd
dx xydy dx xydy
0
x
1
x2
二重积分的计算与应用
二重积分的计算与应用在微积分中，二重积分是一种对二维平面上的函数进行求和的数学工具。
它广泛应用于物理、经济学、工程学以及其他领域。
本文将介绍二重积分的计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、二重积分的计算方法二重积分可以通过多种方法进行计算，包括直接计算、极坐标变换和换元积分等方法。
1. 直接计算直接计算是最常用的方法之一，它将二重积分分解为两个一元积分的乘积。
假设要计算的函数为f(x, y)，定义在区域D上，可以将二重积分表示为：∬D f(x, y) dA其中dA表示面积元素。
可以通过将区域D划分为小的面积元素，并在每个面积元素上进行函数值的计算，然后对所有面积元素求和，最终得到二重积分的结果。
2. 极坐标变换极坐标变换是一种常用的简化二重积分计算的方法，特别适用于具有旋转对称性的函数。
通过将直角坐标系下的变量x和y表示为极坐标下的变量r和θ，可以将二重积分转化为极坐标下的形式。
例如，对于函数f(x, y)，可以进行如下的极坐标变换：x = rcosθy = rsinθ同时，面积元素dA可以表示为：dA = rdrdθ将函数f(x, y)和面积元素dA用极坐标形式表示后，就可以将二重积分转化为对r和θ的一元积分进行计算。
3. 换元积分换元积分是一种将二重积分转化为更简单形式的计算方法。
通过选择适当的变量替换，可以减小积分的难度。
例如，当被积函数具有形如f(x, y) = g(x + y)的形式时，可以进行变量替换u = x + y，将二重积分转化为对u的一元积分进行计算。
二、二重积分在实际问题中的应用二重积分在各个领域中都有广泛的应用，下面将介绍二重积分在物理学和经济学中的一些具体应用。
1. 物理学中的应用在物理学中，二重积分可以应用于计算质心、质量、转动惯量等物理量。
例如，计算平面上杂质浓度分布可以利用二重积分来求解。
通过将杂质浓度表示为函数f(x, y)，然后计算其在给定区域上的二重积分，就可以得到平均浓度。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面上某个区域的面积、质量、质心等问题。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方法，包括直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
一、直角坐标系下的二重积分计算方法在直角坐标系下，二重积分的计算通常通过累次积分的方式进行。
设有一个二元函数 f(x, y) 在某一闭区域 D 上连续，则 D 可以表示为水平投影区域 D' 在直角坐标系上的投影区域，并且可以将 D 划分成许多小的面积 dA。
二重积分的计算可以表示为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(x, y)dxdy其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(x, y) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(x, y)dxdy = ∫[a, b]∫[c(x), d(x)]f(x, y)dydx其中，[a, b] 表示 x 的取值范围，c(x) 和 d(x) 分别表示 D' 在 x 轴上的投影区间的下边界和上边界。
根据具体问题，我们可以选择先对 x进行积分，再对y 进行积分，或者先对y 进行积分，再对x 进行积分。
通过这样的累次积分方式，可以计算得到二重积分的结果。
二、极坐标系下的二重积分计算方法在某些问题中，使用极坐标系进行二重积分的计算更加方便。
对于闭区域 D 在极坐标系下的表示，我们可以将二重积分的计算公式改写为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(r, θ)rdrdθ其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(r, θ) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(r, θ)rdrdθ = ∫[α, β]∫[g(θ), h(θ)]f(r, θ)rdrdθ其中，[α, β] 表示θ的取值范围，g(θ) 和h(θ) 分别表示 D 在极坐标系下的投影区间的内半径和外半径。
同样地，通过选择先对θ进行积分，再对r进行积分，或者先对r进行积分，再对θ进行积分的方式，可以计算得到二重积分的结果。
二重积分的算法
二重积分的算法二重积分是微积分中的重要概念之一，它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。
二重积分的算法是求解二重积分的方法和步骤，下面将介绍二重积分的算法。
一、二重积分的定义二重积分是对二元函数在有界闭区域上的积分。
设函数f(x,y)在闭区域D上有定义，其中D是一个有界闭区域，D的边界可以用一组参数方程x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b表示。
则称函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分为：∬D f(x,y) dxdy二、二重积分的计算方法二重积分的计算方法有多种，常见的有直角坐标系下的直接计算法和极坐标系下的极坐标变换法。
1. 直接计算法直角坐标系下的直接计算法是将二重积分转化为两个一重积分的叠加，按照积分的定义逐个计算。
具体步骤如下：（1）确定积分区域D的范围和方向；（2）将二重积分转化为两个一重积分，先对y进行积分，再对x进行积分；（3）根据积分区域D的范围和方向，确定积分的上下限；（4）按照一重积分的定义计算每个一重积分；（5）将两个一重积分的结果相加，得到二重积分的结果。
2. 极坐标变换法极坐标系下的极坐标变换法是通过极坐标系下的变换公式将二重积分转化为极坐标系下的一重积分。
具体步骤如下：（1）确定积分区域D的范围和方向；（2）通过极坐标变换公式将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的一重积分；（3）根据积分区域D的范围和方向，确定极坐标下的积分范围和方向；（4）按照一重积分的定义计算极坐标下的一重积分；（5）得到极坐标下的一重积分后，根据极坐标变换公式将其转化为直角坐标系下的二重积分。
3. 其他计算方法除了直接计算法和极坐标变换法外，还有其他一些特殊情况下的计算方法，如利用对称性、变量替换等方法进行计算。
具体使用哪种方法取决于具体的问题和积分区域的特点。
三、二重积分的性质二重积分具有一些重要的性质，包括线性性、保号性、保序性、可加性等。
这些性质在计算二重积分时起到了重要的作用，可以简化计算过程和提高计算效率。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的一个重要内容，用于计算平面上各种形状的曲线或曲面与坐标平面的“面积”。
在实际应用中，二重积分常常与物理、几何、概率统计等学科密切相关。
本文将详细介绍二重积分的计算方法，包括定积分的计算、计算面积和质量等应用问题，以及换元积分、极坐标系、重积分等高阶积分方法。
一、定积分的计算定积分是二重积分的基础，因此首先需要掌握如何计算定积分。
定积分可以通过定义式或者积分的性质计算。
1.定义式计算定积分的定义式如下：∫a^b f(x) dx = lim(n→∞) ∑(k=1,n) f(xi)Δx其中[a,b]是定积分的区间，f(x)是被积函数，x_i是区间[a,b]上的等间距点，Δx是x_i与x_i+1之间的距离。
当被积函数f(x)是连续函数时，可以通过定义式计算定积分。
具体方法是将区间[a, b]等分成n个小区间，取每个小区间的中点作为x_i，计算f(xi)Δx的和，然后取极限即可。
2.积分的性质计算定积分具有一些特殊的性质，可以利用这些性质计算定积分。
（1）和函数性质：∫a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫a^b f(x) dx + ∫a^b g(x) dx（2）积分常数性质：∫a^b c f(x) dx = c∫a^b f(x) dx（3）分段函数性质：∫a^b ([f(x)]_a^c + [f(x)]_c^b) dx = ∫a^b f(x) dx（4）奇偶函数性质：当f(x)是奇函数时，∫-a^a f(x) dx = 0当f(x)是偶函数时，∫-a^a f(x) dx = 2∫0^a f(x) dx根据这些性质，可以将复杂的定积分化简为简单的定积分来计算。
二、计算面积二重积分还可以用于计算平面上一些特定形状的曲线与坐标平面的“面积”。
具体可以分为以下两种情况。
1.曲线位于坐标平面的上方：设z=f(x,y)是定义在区域D上的连续函数，且在区域D上始终大于等于0，若D的边界由曲线C所围成，则D的面积可以用二重积分来计算：∬D dσ = ∬D dxdy = ∬D dA = ∫∫D dxdy其中，dσ表示微面积元素，dA表示微面积。
求二重积分的方法
求二重积分的方法在数学中，二重积分是一种重要的积分形式，它在物理、工程、经济学等领域都有广泛的应用。
求解二重积分的方法有很多种，本文将介绍几种常见的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握二重积分的计算技巧。
一、直角坐标系下的二重积分。
在直角坐标系下，二重积分的计算通常采用先对x进行积分，再对y进行积分的方法。
对于给定的二元函数f(x,y)，其在有界区域D上的二重积分可以表示为：∬f(x,y)dxdy。
其中积分区域D可以用不等式形式表示为D={(x,y)|a≤x≤b,g1(x)≤y≤g2(x)}，此时二重积分可以表示为：∬f(x,y)dxdy=∫(∫f(x,y)dy)dx。
其中内层积分是对y进行积分，外层积分是对x进行积分。
在实际计算中，可以先对y进行积分，再对x进行积分，也可以反过来进行计算，选择合适的积分顺序可以简化计算过程。
二、极坐标系下的二重积分。
在某些情况下，使用极坐标系进行二重积分的计算会更加方便。
对于给定的二元函数f(x,y)，其在极坐标下的二重积分可以表示为：∬f(x,y)dxdy=∫(∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ。
其中积分区域D可以用极坐标形式表示为D={(r,θ)|α≤θ≤β, h1(θ)≤r≤h2(θ)}。
在极坐标系下，二重积分的计算可以简化为对r和θ的积分，适用于一些具有极向对称性的函数。
三、变量代换法。
对于一些复杂的二重积分，可以通过变量代换的方法来简化计算。
常见的变量代换包括直角坐标系到极坐标系的转换、直角坐标系到柱坐标系的转换、直角坐标系到球坐标系的转换等。
通过适当的变量代换，可以将原积分区域D变换为一个更简单的区域，从而简化积分的计算。
四、二重积分的性质。
在计算二重积分时，还可以利用二重积分的性质来简化计算。
例如，二重积分具有线性性质，可以将一个复杂的二重积分拆分为若干个简单的二重积分相加；二重积分的积分区域可以进行分割，将原积分区域分割为若干个简单的子区域，分别计算再相加等。
二重积分计算方式
二重积分计算方式二重积分是微积分中的重要概念之一，用来求解平面上某个区域上的某个量的总和。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方式和应用。
一、二重积分的定义及性质二重积分是通过将一个二元函数在一个区域上进行积分来求解该区域上的某个量的总和。
在二重积分中，被积函数的两个自变量分别为x和y，积分区域为D。
1. 定义：设函数f(x,y)在区域D上有定义，D是xy平面上的一个有界闭区域，将D分成许多小区域，记作ΔD。
选取ΔD中任意一点(xi,yi)，作函数值f(xi,yi)与ΔDi的乘积f(xi,yi)ΔAi，其中ΔAi为ΔDi的面积。
如果极限$$\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(xi,yi) \Delta Ai$$存在且与D和ΔD的选取无关，那么称此极限为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作$$\iint_D f(x,y) dxdy$$2. 性质：二重积分具有线性性质和可加性质，即对于任意常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，以及区域D和E，有以下性质：- 线性性质：$$\iint_D (af(x,y) + bg(x,y)) dxdy = a\iint_D f(x,y) dxdy + b\iint_D g(x,y) dxdy$$- 可加性质：$$\iint_{D \cup E} f(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dxdy + \iint_E f(x,y) dxdy$$二、二重积分的计算方式在实际计算二重积分时，常常使用直角坐标系和极坐标系来简化计算。
1. 直角坐标系下的计算方式在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过迭代积分来进行。
假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，可以将二重积分表示为以下形式：$$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) dy dx$$其中a和b为x的范围，c(x)和d(x)为y的范围。
高数讲义第二节二重积分的计算(一)
方法一：将 D 看做 Y 型区域
y x2
y x y2
(4 , 2)
2
y
x y2
0 1
x
(1 , 1)
1 y 2 , y2 x y2
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
1 2
x
2
1 0
y
(
d xd
x2
y
x4
)
1 2
dx
1 x2
0
1 2
(1 ( x3
3
x2)dx x5) 1
5
0
1 15
例 2 求 ( x2 y)dxdy，其中D是由抛物线
D
y x2和 x y2所围平面闭区域.
解：画积分区域 两曲线的交点
x y2
y x2
x
(0,0) y2
, (1,1),
· y M 2 y 2( x )
y
· M 2 y 2( x )
D
D
· M 1 y 1( x )
0a x b x
· M 1 y 1( x )
0 a x bx
类型 I （X 型）：D 由直线 x = a , x = b 与曲线
y 1( x ) 和 y 2( x ) 所围成，即
D { ( x, y ) | a x b, 1( x) y 2( x) }
dx
y
A(x)
0
a
z f ( x, y)
y 1( x )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例 交换积分次序：
1
2 x x2
2
2 x
0 dx0
f ( x, y)dy 1 dx0 f ( x, y)dy
y
解 积分区域:
y2 x x 2 y
y 2x x2 x 1 1 y2
O
1
2x
原式=
1
dy
2 y
f ( x, y)dx
0
1 1 y2
17
http://mooker.80.hk
例 求证
f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy.
D
D
23
http://mooker.80.hk
例 设( x)为[0,1]上的正值连续函数,
证明：
D
a
( (
x) x)
b( y)dxdy ( y)
1 2
(a
b)
其中a, b为常数，D ( x, y) 0 x, y 1
y
证
设I
D
a( x) (x)
回忆：平行截面面积为已知的立体的体积
A( x) 表示过点 o a x 且垂直于x 轴
x x dx b
x
的截面面积， A( x)为x 的已知连续函数
b
dV A( x)dx 立体体积 V a A(x)dx
此方法关键是求 A( x)
4
http://mooker.80.hk
用二重积分的几何意义说明其计算法:
2 1
Байду номын сангаас
9 8
1 x2 1 y x
11
http://mooker.80.hk
y
解法2： 先x后y
22
xyd 1 [y xydx]dy
2 y 1
·· y=x x=2
D
2
1
y
x2 2
2 dy y
0
x
1 y2
2
1
2
y
y3 2
dy
y
2
y4 8
2 1
9 8
y x2
12
http://mooker.80.hk
2.当D既是X-型区域也是Y-型区域时,可以 用两个公式进行计算.
y
Ⅱ
y d
Ⅰ
Ⅲ
D
c
0
x
0a
x b
8
http://mooker.80.hk
特殊地 D为矩形域: a≤x≤b,c≤y≤d
则
f ( x, y)d
b
d
a dxc
f ( x, y)dy
D
d
b
c dya f ( x, y)dx
若f ( x, y) f1( x) f2( y)
f ( x, y)d ( f ( x, y) 0)的值等于以D为底,
以D曲面 z f ( x, y)为顶的曲顶柱体的体积.
应用计算“平
z
z f (x, y)
行截面面积为 已知的立体求 体积”的方法.
y
y 2(x)
A( x0 ) D
y 1(x)
＊计算截面面积
(
O
红色部分即A(x0)
a
)
x0 b x
6
http://mooker.80.hk
(2) 积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y)
y
d
D
x 1( y)
c
x 2( y)
y
d x 1( y) D
c
［Y－型］
x 2( y)
O
xO
x
其中函数1( y)、2( y)在区间 [c,d]上连续.
f ( x, y)d
d
例 计算 e x2dxdy, D是第一象限中由直线y x
D
和y x3围成区域.
解 yx
y
x3
(0,0)
, (1,1),
0 x1
DX
:
x
3
y
x
1x
ex2dxdy dx ex2dy
D
0
x3
(1,1) y x
y x3
1 0
ye x2
x x3
dx
1
( xe x2
0
x3e x2 )dx
26
http://mooker.80.hk
计算(学生练习）
1
1
(1) dy
1 x3dx
0
y
(2)
D
sin y
ydxdy,
D由y
答案：
2 (1) .
9
x , y x所围闭区域.
(2)1 sin1.
27
http://mooker.80.hk
练习
交换积分I
1
dx
x
2
1
f ( x, y)dy dx
b( y)dxdy ( y)
y x
1
由区域关于直线y x的对称性得
O
I
D
a ( (
y) y)
b( x)dxdy (x)
1x
所以, 2I
(a
b)dxdy
a
b
I
1 (a 2
b)
D
24
http://mooker.80.hk
小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy［. X－型］
则
bd
f1( x) f2( y)dxdy a ( c f1( x) f2( y)dy )dx
D
b
a f1( x)dx
d
c f2( y)dy
即等于两个定积分的乘积.
9
http://mooker.80.hk
二重积分是化为两次定积分来计算的，关键 是确定积分限. 定限要注意的问题： 1.上限>下限. 2.内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数. 3.外层积分上，下限应为常数(后积先定限). 4.二重积分的结果应为常数.
A( x0 )
2( x0 ) 1( x0 )
f
(
x0 ,
y)dy
A( x) 2( x) f ( x, y)dy 1 ( x)
V
f
( x,
y)d
b
a A( x)dx
D
b
(
2( x)
f ( x, y)dy) dx
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
a 1 ( x)
a
1 ( x)
先对y后对x的二次积分(累次积分)
0
2ax x2
解y
2a
y 2ax x y2
2a
a y 2ax x2 x a a2 y2
O
a 2a x
原式=
a
dy
0
a y2
a2 y2
f ( x, y)dx
2a
a
dy
2a
0 a
f ( x, y)dx 2ady
a2 y2
a
2a
y2 f ( x, y)dx
2a
16
http://mooker.80.hk
0
O
a
0 (a x) f ( x)dx
a
x
0 y a,
y xa
证毕.
18
http://mooker.80.hk
例 求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分
别为 x2 y2 R2及 x2 z2 R2 . 求所围成的
立体的体积.
z
曲顶z R2 x2
解 V1 f ( x, y)d
例 计算积分I | y x2 | d ,
y
其 中( )为 : 0 x 1,0 y 1. 1
( 1 )
y x2
解 I
o
( y x2 )d ( x2 y)d
1
2
( 2 )
1x
41 15 10
11 . 30
22
http://mooker.80.hk
补充轮换对称性结论:
若D关于x,y满足轮换对称性(将D的边界 曲线方程中的x与y交换位置,方程不变), 则
1 e 1. 2
13
http://mooker.80.hk
选取积分次序, 不仅要看区域的特点, 而且要看被积函数的特点.
凡遇如下形式积分:
sin xdx, sinx2dx, cosx2dx, ex2dx, x
y e x2dx, e xdx,
dx , 等等,一定要放在
ln x
后面积分.
D
a
1 ( x )
D
f ( x, y)d
d
dy
c
2 ( y) 1 ( y )
f ( x, y)dx.［Y－型］
（在积分中要正确选择积分次序）
题型（1）化二重积分为二次积分； （2）交换积分次序；
25
http://mooker.80.hk
作业
习题8-2(1) (77页) 3.(1) (3)(4) 4. 5. 6.(1) (2) 7.(2)(3)
D
D
2
http://mooker.80.hk
(2)如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
y y 2(x) D
［X－型］
y
y 2(x)
D
y 1(x)
y 1(x)
Oa
b x Oa
bx
其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
3
http://mooker.80.hk
D
R2 x2d
D