归纳二重积分的计算方法

归纳二重积分的计算方法

摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.

关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算

前言

二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.

1. 预备知识

1.1二重积分的定义]1[

设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正

数ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有

()1

,n

i

i

i

i f J ξησ

ε=?-<∑,

则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作

(),D

J f x y d σ=??,

其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域.

1.2二重积分的若干性质

1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D

kf x y d σ??(),D

k f x y d σ=??.

1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且

()()[,,]D

f x y

g x y d σ±??()(),,D

D

f x y d

g x y d σσ=±????.

1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在1

2

D D 上也可积,且

()12

,D D f x y d σ??()()1

2

,,D D f x y d f x y d σσ=±????

1.3在矩形区域上二重积分的计算定理

设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分

(),d

c

f x y dy ?

存在,则累次积分(),b d

a

c

dx f x y dy ??也存在,且

(),D

f x y d σ??

(),b d

a

c

dx f x y dy =??.

同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b

a

f x y dx ?存在,在上述条件上可得

(),D

f x y d σ??

(),d b

c

a

dy f x y dx =??

2.求的二重积分的几类理论依据

二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法.

2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算

X -型区域: ()()(){}1

2

,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤

Y -型区域: ()()(){}1

2

,,D x y x y x x y c y d =

≤≤≤≤

定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则

(),D

f x y d σ??

()()

()

21,b

y x a

y x dx f x y dy =??

即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分.

同理在上述条件下,若区域为Y -型,有

(),D

f x y d σ??

()()

()

21,d

x y c

x y dx f x y dy =??

例1求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V . 解：设圆柱底面半径为a ,两个圆柱方程为 222x y a +=与222x z a +=.

只要求出第一卦限部分的体积,然后再乘以8即得所求的体积.

第一卦限部分的立体式以

z =,以四分之一圆域D :

00,y x a ??≤≤?

≤≤??

为底的曲顶柱体,所以

2230012()83a a D

V dx a x dx a σ===-=??

于是3

163

V a =

. 另外,一般常见的区域可分解为有限个X -型或Y -型区域,用上述方法求得各个小区域上的二重积分,再根据性质1.23求得即可.

2.2 二重积分的变量变换公式

定理: 设(),f x y 在有界闭域D 上可积,变换T : (),x x u v =, (,)y y u v =将平面uv 由

按段光滑封闭曲线所围成的闭区域?一对一地映成xy 平面上的闭区域

D

,函数

(),x x u v =,(,)y y u v =在?内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式

()()

()

,,0,x y J u v u v ?=

≠?, (),u v ∈?,

则

()()()()(),,,,,D

f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv ?

=????.

用这个定理一般有两个目的,即被积函数化简单和积分区域简单化. 例1 求

x y x y

D

e

dxdy -+??,其中D 是由0x =,0y =,1x y +=所围区域.

解 为了简化被积函数,令u x y =-,v x y =+.为此作变换

T :1()2x u v =+,1

()2

y u v =-,则

()11

12

2,01122

2

J u v ==>-. 即

111100111()2224x y u u v x y

v

v

v D

e e e

dxdy e dudv dv e du v e e dv ---+-?

-==-=

??????? 例2 求抛物线2y mx =，2y nx =和直线y x β=，y x α=所围区域D 的面积()D μ

(0,0)m n αβ<<<<．

解D 的面积()D

D dxdy μ=

??．

为了简化积分区域，作变换T ： 2u x v =，u

y v

=．它把xy 平面上的区域D 对应到uv 平面上的矩形区域[][],,m n αβ?=?．由于

()2

3

421

2,01u

u v v J u v u v v

v

-

=

=>-，(),u v ∈?， 所以

()()22334433()6n m D n m u

dv D dxdy dudv udu v v βαβαμαβ?

--====?????? 2.3 用极坐标计算二重积分

定理: 设(),f x y 在有界闭域D 上可积,且在极坐标变换T ：cos sin x r y r θ

θ=??=? 0r ≤<+∞，

02θπ≤≤下，xy 平面上有界闭区域D 与r θ平面上区域?对应，则成立

()(),cos ,sin (,)D

f x y dxdy f r r J r drd θθθθ?

=????．

其中cos sin (,)sin cos r J r r r θθθθ

θ

-=

=．

当积分区域是源于或圆域的一部分，或者被积函数的形式为(

)22

,f x y 时，采用该极坐标变

换．

二重积分在极坐标下化累次积分的计算方法：

（i ）若原点O D ?，且xy 平面上射线θ=常数与D 边界至多交与两点，则?必可表示成

12()()r r r θθ≤≤，αθβ≤≤，

于是有

21()

()

(,)(cos ,sin )r r D

f x y dxdy d f r r rdr β

θα

θθθθ=??

??

类似地，若xy 平面上的圆r =常数与D 的边界多交于两点，则?必可表示成

12()()r r θθθ≤≤，12r r r ≤≤，

所以

221

1()

()

(,)(cos ,sin )r r r r D

f x y dxdy rdr f r r d θθθθθ=??

??

.

（ii ）若原点为D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则?可表示成0()r r θ≤≤，

02θπ≤≤.

所以

2()

(,)(cos ,sin )r D

f x y dxdy d f r r rdr

π

θθθθ=???

?

.

(iii)若原点O 在D 的边界上,则?为0()r r θ≤≤,αθβ≤≤, 于是

()

(,)(cos ,sin )r D

f x y dxdy d f r r rdr βθαθθθ=????

例1 计算2

2()

x

y D

I e d σ-+=??,其中D 为圆域: 222x y R +≤.

解 利用极坐标变换,由公式得

22

20

(1)R

r R I re dr e π

π--==-?

?

.

与极坐标类似，在某些时候我们可以作广义极坐标变换：

T ：cos sin x ar y br θ

θ=??

=?

0r ≤<+∞，02θπ≤≤，

cos sin (,)sin cos a ar J r abr b br θθθθ

θ

-=

=．

如求椭球体222

2221x y z a b c

++≤的体积时，就需此种变换．

2.4利用二重积分的几何意义求其积分

当(,)0f x y ≥时，二重积分(,)D

f x y dxdy ??在几何上就表示以(,)z f x y =为曲顶，D 为底

的曲顶体积．当(,)1f x y =时，二重积分

(,)D

f x y dxdy ??的值就等于积分区域的面积．

例6

计算：D

I σ=，其中D ：22221x y a b +≤．

解

因为被积函数z =0≥，

所以I 表示D

为底的z =为顶的曲顶柱体体积．

由平行xoy 面的截面面积为

()(1)A x ab z π=-，(01)z ≤≤，

根据平行截面面积为已知的立体体积公式有

101

(1)3

I ab z dz ab ππ=-=?

2.5 积分区域的边界曲线是由参数方程表示的二重积分有关计算 ２.５１利用变量代换计算

设D 为有界闭域，它的边界曲线，()t αβ≤≤且{}(,),()D x y a x b c y y x =≤≤≤≤，当

x a =时，t α=；当x b =时，t β=。设(,)f x y 在D 上连续，且存在(,)P x y ，(,)x y D ∈使

得

(,)P

f x y y

?=?，则 '

(,){[(),()][(),]}()D

f x y dxdy P t t P t c t dt β

α=Φψ-ΦΦ???

２.５２利用格林公式计算

定理 若函数(,)P x y ，(,)Q x y 在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有

(

)L

D

Q P

d Pdx Qdy x y

σ??-=+?????

这里L 为区域D 的边界线，并取正方向． 计算步骤：

（１） 构造函数(,)P x y ，(,)Q x y 使

Q x ??(,)P

f x y y

?-=?，但(,)P x y ，(,)Q x y 在D 上应具有一阶连续偏导数；

（２）利用格林公式化曲线积分求之．

例7计算34D

x y dxdy ??，D 是由椭圆cos x a θ=，sin y b θ=所围成．

解法一（利用变量代换）设1D 为D 在第一象限，则

1

352

4

2

4

2535352

0444cos ,sin cos sin (sin )5564D D a b x y dxdy x y dxdy x y dx x a y b a b d ππθθθθθθ====-=??????作变换 解法二（利用格林公式）令2515

P x y =-

，0Q =，则24P x y y ?=-?，0Q

x ?=?． 3522

4

2525

011(cos )(sin )(sin )5564L D

a b x y dxdy x y dx a b a d ππθθθθ=-=--=???? 2.7 积分区域具有对称性的二重积分的简便算法 ２.７１积分区域关于坐标轴对称

性质１ 若(,)f x y 在区域D 内可积，且区域D 关于y 轴（或x 轴）对称，则二重积分

满足下列性质：

1

0,(,)(,)2(,),(,)D

D f x y x y f x y dxdy f x y dxdy f x y x y ?

?

=?????

??为关于（或）的奇函数为关于（或）的偶函数

其中1D 为区域D 被y 轴（或x 轴）所分割的两个对称子域之一． 例 计算

(23)D

h x y dxdy --??

，其中D 是由222

x y R +=所围成的闭区域． 解析 由于积分区域D 关于x 轴＼y 轴均对称性，只需考虑被积函数(,)23f x y h x y =--关于x 或y 的奇偶性．易见，(,)f x y 关于x 或y 既非奇函数，也非偶函数．若记()2f x x =-，