重积分运算的常用解法
三重积分习题课-1
五、三重积分的解题方法
计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标
三种坐标计算。通常要判别被积函数 f ( x, y和, z积) 分区域
所具有的特点。如果被积函数 f ( x, y, z) g( x2 y2 z2 ) 积分区域 的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果
被积函数 f (x, y, z)， 则g(z可) 采用先重后单法计算；如果 被积函数 f (x, y, z) g，(x积2 分y2区) 域 为柱或 的投影 是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备， 则采用直角坐标计算。
4
oy x
故有
zdxdydz
2
d
2R
2 dr
R2 r2
zrdz
0
0
r
2
2 2
R
1
r(R2
2r
2
)dr
1 R4
02
8
解法二:利用球面坐标计算
zdxdydz
2
d
4 sin cosd
R r 3dr 1 R4
0
0
0
8
注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法 来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。
于是，得
R
z
2dxdydz
z
2dxdydz
z
2dxdydz
2 0
zdz
dxdy
R R
zdz
dxdy
1
2
Dz
2
Dz
R
2 z 2 (2Rz z 2 )dz
0
R R
z
2
( R 2
z 2 )dz
2
59 R5 480
二重积分及三重积分的计算
第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限.)0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=⎰∑=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→1011lim aani n x n n i dx =a a x a +=++11111.例2 求极限 ⎰+∞→1021lim xx n n dx . 解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是⎰+≤1210x x n ⎰≤1n x dx dx .而⎰10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得⎰+∞→1021lim xx n n dx =0.解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba⎰()()⎰=bax g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号），().101111212≤≤+=+⎰⎰n n nn dx x dx xx ξξ由于11102≤+≤nξ，即211nξ+有界，()∞→→+=⎰n n dx x n01110，故⎰+∞→1021lim x x nn dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R -型可作相应变换.如对积分()⎰++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>-⎰a dx x ax x a，由于()2222a x a x a x --=-，可设t a a x s i n =-.对积分dx e x ⎰--2ln 021，可设.sin t e x =-（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=⎰d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]'，可求出22d c bdac A ++=，22dc adbc B +-=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+'++=⎰.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ⎰-1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ⎰-1211arcsin 2t x xt ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==-⎰⎰.1632π= 解法2 ()dx x x x⎰-1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=⎰u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）⎰+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx x I ⎰+=2032cos sin cos π； （2）.1cos 226dx e xx ⎰--+ππ解 （1）⎰+=2031cos sin sin πxx xdxI)(sin cos cos 2023du uu uu x -+-=⎰ππ=.sin cos cos 223⎰=+πI dx xx x故dx xx xx I I ⎰++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022-=+-⎰ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e xx ⎰--+ππ()dxe xdu e uu x x u ⎰⎰--+=-+-=2262261cos 1cos ππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎰⎰--2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x xx.3252214365cos cos 21206226πππππ=⨯⨯⨯===⎰⎰-xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n⎰⎰=2020cos sin ππ()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅⨯-⨯--=⨯-⨯--=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。
第三章 重积分及其应用 第二节 二重积分的计算
解
I
0 y 4 x D : 2 x 2
2
2
o
2
x
2
2
dx
0
2
4 x
2
x ln( y
1 y ) dy
2 2
由于
[ 2 , 2 ],
0
4 x
x ln( y
1 y ) dy
为奇函数，积分区间是
所以
I 0
- 13 -
第二节
二重积分的计算法
2
1 2
x x dx
3 1 2
9 8
解法2. 将D看作 y 区域, 则
I d y x yd x
1 2
y x 2o D: 1 y 2
1 x 2x
2
2
y
1
1 2
2 x y dy y
2
1 2 y
2
1 2
y
3
d y
9 8
-6-
第二节
D
y 3x
D2
在 D2上 , f ( x , y ) f ( x , y )
I
x ln( y
D1 D2
1 y )d xd y
2
o
x
x 1
x ln( y
1 y )d xd y
2
(1 , 3 )
0
- 15 -
第二节
二重积分的计算法
例9 求由两直交圆柱面 x 2 y 2 R 2 , x 2 z 2 R 2
y y
d
x ( y)
y ( x)
D
y ( x)
数学分析21.5三重积分(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分5三重积分一、三重积分的概念引例：设一空间立体V 的密度函数为f(x,y,z)，为求V 的质量M ， 将V 分割成n 个小块V 1,V 2,…,V n . 每个小块V i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 则 M=i ni i i i T V f ∆∑=→10),,(lim ζηξ, 其中△V i 是小块V i 的体积, T =}{max 1的直径i ni V ≤≤.概念：设f(x,y,z)是定义在三维空间可求体积有界区域V 上的有界函数. 用若干光滑曲面所组成的曲面网T 来分割V ，把V 分成n 个小区域 V 1,V 2,…,V n .记V i 的体积为△V i (i=1,2,…,n)，T =}{max 1的直径i ni V ≤≤.在每个V i 中任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 作积分和i ni i i i V f ∆∑=1),,(ζηξ.定义1：设f(x,y,z)为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一个确定的数. 若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对于V 的任何分割T ，只要T <δ，属于分割T 的所有积分和都有J V f i ni iii-∆∑=1),,(ζηξ<ε，则称f(x,y,z)在V 上可积，数J 称为函数f(x,y,z)在V 上的三重积分，记作J=⎰⎰⎰VdV z y x f ),,(或J=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(，其中f(x,y,z)称为被积函数，x, y, z 称为积分变量，V 称为积分区域.注：当f(x,y,z)=1时，⎰⎰⎰VdV 在几何上表示V 的体积.三积重分的条件与性质：1、有界闭域V 上的连续函数必可积；2、如界有界闭区域V 上的有界函数f(x,y,z)的间断点集中在有限多个零体积的曲面上，则f(x,y,z)在V 上必可积.二、化三重积分为累次积分定理21.15：若函数f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在，且对任意(x,y)∈D=[a,b]×[c,d], g(x,y)=⎰he dz z y xf ),,(存在，则积分⎰⎰Ddxdy y x g ),(也存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰Dhedz z y x f dxdy ),,(.证：用平行于坐标轴的直线作分割T ，把V 分成有限多个小长方体 V ijk =[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ].设M ijk , m ijk 分别是f(x,y,z)在V ijk 上的上确界和下确界，对任意(ξi ,ηj )∈[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ], 有m ijk △z k ≤⎰-kk z z j i dz z f 1),,(ηξ≤M ijk △z k .现按下标k 相加，有∑⎰-kz z j i kk dz z f 1),,(ηξ=⎰he j i dz zf ),,(ηξ=g(ξi ,ηj )，以及∑∆∆∆kj i k j i ijkz y x m,,≤j i ji j i y x g ∆∆∑,),(ηξ≤∑∆∆∆kj i k j i ijk z y x M ,,.两边是分割T 的下和与上和. 由f(x,y,z)在V 上可积，当T →0时， 下和与上和具有相同的极限，∴g(x,y)在D 上可积，且⎰⎰⎰Dhedz z y x f dxdy ),,(=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(.推论：若V={(x,y,z)|(x,y)∈D, z 1(x,y)≤z ≤z 2(x,y)} ⊂[a,b]×[c,d]×[e,h]时，其中D 为V 在Oxy 平面上的投影，z 1(x,y), z 2(x,y)是D 上的连续函数，函数f(x,y,z)在V 上的三重积分存在，且对任意(x,y)∈D, G(x,y)=⎰),(),(21),,(y x z y x z dz z y x f 亦存在，则积分⎰⎰Ddxdy y x G ),(存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰D dxdy y x G ),(=⎰⎰⎰Dy x z y x z dz z y x f dxdy ),(),(21),,(.证：记F(x,y,z)=⎩⎨⎧∈∈V V z y x ，Vz y x ，z y x f \),,(0),,(),,(0 , 其中V 0=[a,b]×[c,d]×[e,h].对F(x,y,z)应用定理21.15，(如图)则有⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰0),,(V dxdydzz y x F=⎰⎰⎰⨯d][c,b][a,),,(hedz z y x F dxdy =⎰⎰⎰Dy x z y x z dz z y x f dxdy ),(),(21),,(.例1：计算⎰⎰⎰+Vy x dxdydz22，其中V 为由平面x=1, x=2, z=0, y=x 与z=y 所围区域(如图).解：设V 在xy 平面上投影为D ，则 V={(x,y,z)|z 1(x,y)≤z ≤z 2(x,y),(x,y)∈D},其中D={(x,y)|0≤y ≤x,1≤x ≤2}, z 1(x,y)=0, z 2(x,y)=y, 于是⎰⎰⎰+V y x dxdydz 22=⎰⎰⎰+D y y x dz dxdy 022=⎰⎰+D dxdy y x y 22=⎰⎰+21022x dy y x y dx=⎰212ln 21dx =2ln 21.例2：计算⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(22，其中V 是由⎩⎨⎧==0x y z 绕z 轴旋转一周而成的曲面与z=1所围的区域.解：V={(x,y,z)|22y x +≤z ≤1,(x,y)∈D}, 其中D={(x,y)|x 2+y 2≤1},⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(22=⎰⎰⎰+++Dyx dz z y x dxdy 12222)(=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+Ddxdy y x y x 2121)(2222=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθ201022121rdrr r d=⎰πθ20407d =207π.定理21.16：若函数f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在，且对任意x ∈[a,b], 二重积分I(x)=⎰⎰Ddydz z y x f ),,(存在，则积分⎰⎰⎰baDdydz z y x f dx ),,(也存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰baDdydz z y x f dx ),,(.证：用平行于坐标轴的直线作分割T ，把V 分成有限多个小长方体 V ijk =[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ], 记D jk =[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ], 设M ijk , m ijk 分别是f(x,y,z)在V ijk 上的上确界和下确界， 对任意ξi ∈[x i-1,x i ], 有m ijk △D jk ≤⎰⎰jkD i dydz z y f ),,(ξ≤M ijk △D jk .现按下标j,k 相加，有∑⎰⎰k j D i jkdydz z y f ,),,(ξ=⎰⎰Di dydz z y f ),,(ξ=I(ξi )，以及∑∆∆∆kj i k j i ijkz y x m,,≤i ii x I ∆∑)(ξ≤∑∆∆∆kj i k j i ijk z y x M ,,.两边是分割T 的下和与上和. 由f(x,y,z)在V 上可积，当T →0时， 下和与上和具有相同的极限，∴I(x)在D 上可积，且⎰⎰⎰baDdydz z y x f dx ),,(=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(.推论：(如图)若V ⊂[a,b]×[c,d]×[e,h], 函数f(x,y,z)在V 上的三重积分存在，且对任意固定的z ∈[e,h], 积分φ(z)=⎰⎰zD dxdy z y x f ),,(存在，其中D z是截面{(x,y)|(x,y,z)∈V}, 则⎰he dz z )(ϕ存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰h edz z )(ϕ=⎰⎰⎰heD zdxdy z y x f dz ),,(.证：证法与定理21.16证明过程同理.例3：计算I=⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++V dxdydz c z b y a x 222222, 其中V 是椭球体222222c z b y a x ++≤1.解：I=⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++V dxdydz c z b y a x 222222=⎰⎰⎰V dxdydz a x 22+⎰⎰⎰V dxdydz b y 22+⎰⎰⎰Vdxdydz c z 22.其中⎰⎰⎰V dxdydz a x 22=⎰⎰⎰-a a V xdydz dx a x 22,V x 表示椭圆面2222c z b y +≤1-22ax 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2222222211a x c z a xb y ≤1. 它的面积为π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-222211a x c a x b =πbc ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-221a x. ∴⎰⎰⎰V dxdydz a x 22=⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a dx a x a bcx 22221π=154πabc. 同理可得：⎰⎰⎰V dxdydz b y 22=⎰⎰⎰V dxdydz cz 22=154πabc.∴I=3(154πabc)=54πabc.三、三重积分换元法规则：设变换T ：x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)，把uvw 空间中的区域V ’一对一地映成xyz 空间中的区域V ，并设函数x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)及它们的一阶偏导数在V ’内连续且函数行列式J(u,v,w)=wz v z uz w yv y u yw x v x u x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂≠0, (u,v,w)∈V ’. 则当f(x,y,z)在V 上可积时，有 ⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰'V dudvdw w v u J w v u z w v u y w v u x f |),,(|)),,(),,,(),,,((.常用变换公式： 1、柱面坐标变换：T ：⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=≤≤=+∞<≤=z z ，z ，r y r ，r x πθθθ20sin 0cos , J(r,θ,z)=100cos sin 0sin cos θθθθr r -=r, 即有 ⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰'V dz rdrd z r r f θθθ),sin , cos (.V ’为V 在柱面坐标变换下的原象.注：(1)虽然柱面坐标变换并非是一对一的，且当r=0时，J(r,θ,z)=0，但结论仍成立.(2)柱面坐标系中r=常数, θ=常数, z=常数的平面分割V ’变换到xyz 直角坐标系中，r=常数是以z 轴为中心轴的圆柱面，θ=常数是过z 轴的半平面，z 的常数是垂直于z 轴的平面(如图).例4：计算⎰⎰⎰+Vdxdydz y x )(22, 其中V 是曲面2(x 2+y 2)=z 与z=4为界面的区域.解法一：V={(x,y,z)|2(x 2+y 2)≤z ≤4, (x,y)∈D}, D={(x,y)|x 2+y 2≤2}.⎰⎰⎰+Vdxdydz y x )(22=⎰⎰⎰++4)(22222)(y x Ddzy x dxdy=⎰⎰+-+Ddxdy y x y x )](24)[(2222=⎰⎰-202220)24(rdrr r d πθ=⎰-2053)2(4dr r r π=⎰-2053)2(4dr r r π=38π.解法二：V 在xy 平面上的投影区域D=x 2+y 2≤2. 按柱坐标变换得 V ’={(r,θ,z)|2r 2≤z ≤4, 0≤r ≤2, 0≤θ≤2π}.∴⎰⎰⎰+V dxdydz y x )(22=⎰⎰⎰'V dz drd r θ2=⎰⎰⎰42320202r dz r dr d πθ=38π.2、球坐标变换：T ：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤≤=+∞<≤=πθϕπϕθϕθϕ20cos 0sin sin 0cos sin ，r z ，r y r ，r x ,J(r,φ,θ)=0sin cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin ϕϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕr co r r r r --=r 2sin φ≥0, 即有⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰'V d drd rr r r f θϕϕϕθϕθϕsin )cos ,sin sin , cos sin (2,V ’为V 在球坐标变换T 下的原象.注：(1)球坐标变换并不是一对一的，并且当r=0或φ=0或π时，J=0. 但结论仍成立.(2)球坐标系中r=常数, φ=常数, θ=常数的平面分割V ’变换到xyz 直角坐标系中，r=常数是以原点为中心的球面， φ=常数是以原点为顶点, z 轴为中心轴的 圆锥面，θ=常数是过z 轴的半平面(如图).例5：求由圆锥体z ≥22y x +cot β和球体x 2+y 2+(z-a)2≤a 2所确定的立体体积，其中β∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π和a(>0)为常数.解：球面方程x 2+y 2+(z-a)2=a 2可表示为r=2acos φ, 锥面方程z=22y x +cot β可表示为φ=β. ∴V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤2acos φ, 0≤φ≤β, 0≤θ≤2π}. ∴⎰⎰⎰VdV =⎰⎰⎰ϕβπϕϕθcos 202020sin a dr r d d =⎰βϕϕϕπ033sin cos 316d a =343a π(1-cos 4β).例6：求I=⎰⎰⎰Vzdxdydz , 其中V 为由222222c z b y a x ++≤1与z ≥0所围区域.解：作广义球坐标变换：T ：⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin cr z br y ar x , 则J=abcr 2sin φ. V 的原象为V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤1, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π} ∴⎰⎰⎰Vzdxdydz =⎰⎰⎰⋅1022020sin cos dr abcr cr d d ϕϕϕθππ=⎰2022sin 4πϕϕπd abc =42abc π.习题1、计算下列积分：(1)⎰⎰⎰+Vdxdydz z xy )(2, 其中V=[-2,5]×[-3,3]×[0,1]；(2)⎰⎰⎰Vzdxdydz y x cos cos , 其中V=[0,1]×[0,2π]×[0,2π]；(3)⎰⎰⎰+++Vz y x dxdydz3)1(, 其中V 是由x+y+z=1与三个坐标面所围成的区域； (4)⎰⎰⎰+Vdxdydz z x y )cos(, 其中V 由y=x , y=0, z=0及x+z=2π所围成.解：(1)⎰⎰⎰+VdV z xy )(2=⎰⎰⎰+--1023352)(dz z xy dy dx =⎰⎰--⎪⎭⎫⎝⎛+335231dy xy dx =⎰-522dx =14.(2)⎰⎰⎰VzdV y x cos cos =⎰⎰⎰202010cos cos ππzdz ydy xdx =21.(3)⎰⎰⎰+++Vz y x dxdydz 3)1(=⎰⎰⎰---+++y x x z y x dz dy dx 1031010)1(=⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++x dy y x dx 1021041)1(121=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+1041211121dx x x =1652ln 21-. (4)⎰⎰⎰+VdV z x y )cos(=⎰⎰⎰-+xxdz z x y dy dx 20020)cos(ππ=⎰⎰-xydydx x 020)sin 1(π=⎰-20)sin 1(21πdx x x =21162-π.2、试改变下列累次积分的顺序： (1)⎰⎰⎰+-yx xdz z y x f dy dx 01010),,(；(2)⎰⎰⎰+220110),,(y x dz z y x f dy dx .解：(1)积分区域V={(x,y,z)|0≤z ≤x+y, 0≤y ≤1-x, 0≤x ≤1}； ∵V 在xy 平面上的投影区域D xy ={(x,y)|0≤y ≤1-x, 0≤x ≤1} ∴I=⎰⎰⎰+-yx xdz z y x f dy dx 01010),,(=⎰⎰⎰+-yx ydz z y x f dx dy 01010),,(.∵V 在yz 平面上的投影区域D yz ={(y,z)|0≤y ≤1, 0≤z ≤1} ∴I=⎰⎰⎰-yydx z y x f dz dy 10010),,(+⎰⎰⎰--yy z y dx z y x f dz dy 1110),,(=⎰⎰⎰--yy z zdx z y x f dy dz 1010),,(+⎰⎰⎰-yz dx z y x f dy dz 10110),,(.∵V 在xz 平面上的投影区域D yz ={(x,z)|0≤x ≤1, 0≤z ≤1} ∴I=⎰⎰⎰-xxdy z y x f dz dx 10010),,(+⎰⎰⎰--xx z x dy z y x f dz dx 1110),,(=⎰⎰⎰--xx z zdy z y x f dx dz 1010),,(+⎰⎰⎰-xz dy z y x f dx dz 10110),,(.(2)积分区域V={(x,y,z)|0≤z ≤x 2+y 2, 0≤y ≤1, 0≤x ≤1}；∵V 在xy 平面上的投影区域D xy ={(x,y)|0≤y ≤1, 0≤x ≤1}； 在yz 平面上的投影区域D yz ={(x,y)|0≤y ≤1, 0≤z ≤1+y 2}； 在xz 平面上的投影区域D yz ={(x,y)|0≤x ≤1, 0≤z ≤1+x 2}； ∴I=⎰⎰⎰+2201010),,(y x dz z y x f dy dx =⎰⎰⎰+220110),,(y x dz z y x f dx dy=⎰⎰⎰10010),,(2dx z y x f dz dy y +⎰⎰⎰-+1110222),,(y z y ydxz y x f dz dy=⎰⎰⎰10110),,(dx z y x f dy dz z +⎰⎰⎰--111212),,(yz z dx z y x f dy dz .=⎰⎰⎰10010),,(2dy z y x f dz dx x +⎰⎰⎰-+1110222),,(x z x x dyz y x f dz dx=⎰⎰⎰10110),,(dy z y x f dx dz z +⎰⎰⎰--111212),,(x z z dy z y x f dx dz .3、计算下列三重积分与累次积分：(1)⎰⎰⎰Vdxdydz z 2, 其中V 由x 2+y 2+z 2≤r 2和x 2+y 2+z 2≤2rz 所确定；(2)⎰⎰⎰--+-22222221010y x yx x dz z dy dx .解：(1) 由x 2+y 2+z 2≤2rz, 得S: x 2+y 2≤2rz-z 2, 0≤z ≤2r , 又由x 2+y 2+z 2≤r 2, 得Q: x 2+y 2≤r 2-z 2,2r≤z ≤r ∴⎰⎰⎰Vdxdydz z 2=⎰⎰⎰Sr dxdy z dz 220+⎰⎰⎰Qrr dxdyz dz 22=⎰-2022)2(r dz z rz z π+⎰-rr dz z r z 2222)(π=480595r π. (2)应用柱坐标变换：V ’={(r,θ,z)|r ≤z ≤22r -, 0≤r ≤1, 0≤θ≤2π}, ∴⎰⎰⎰--+-22222221010y x yx x dz z dy dx =⎰⎰⎰-2221020r rdz z rdr d πθ=⎰---1322]2)2[(6dr r r r r π.=⎰---10322]2)2[(6dr r r r r π=)122(15-π.4、利用适当的坐标变换，计算下列各曲面所围成的体积. (1)z=x 2+y 2, z=2(x 2+y 2), y=x, y=x 2；(2)2⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y a x +2⎪⎭⎫ ⎝⎛c z =1 (x ≥0, y ≥0, z ≥0, a>0, b>0, c>0). 解：(1)V={(x,y,z)|x 2+y 2≤z ≤2(x 2+y 2), (x,y)∈D}, 其中D={(x,y)|0≤x ≤1, x 2≤y ≤x }. ∴⎰⎰⎰V dxdydz =⎰⎰+Ddxdy y x )(22=⎰⎰+xx dyy x dx 2)(2210=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-1063223)()(dx x x x x x =353. (2)令x=arsin 2φcos θ, y=brcos 2φcos θ, z=crsin θ, 则J=0cos sin cos cos sin 2sin cos cos cos cos cos sin 2sin sin cos sin 2222θθθϕϕθϕθϕθϕϕθϕθϕcr c br br b ar ar a ---=2abcr 2cos φsin φcos θ,又V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤1, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π}. ∴⎰⎰⎰Vdxdydz =⎰⎰⎰1022020sin cos cos 2dr r d d abc ππϕϕϕθθ=3abc.5、设球体x 2+y 2+z 2≤2x 上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球体的质量.解：依题意，球体的质量M=⎰⎰⎰≤++++xz y x dV z y x 2222222,应用球面变换得V ’={(r,θ,φ)|-2π≤θ≤2π, 0≤φ≤π, 0≤r ≤2sin φcos θ}. ∴M=⎰⎰⎰-θϕπππϕϕθcos sin 203022sin dr r d d =⎰⎰-πππϕϕθθ05224sin cos 4d d =58π.6、证明定理21.16及其推论. 证：证明过程见定理21.16及其推论.7、设V=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤++1),,(222222c z b y a x z y x , 计算下列积分：(1)⎰⎰⎰---Vdxdydz c z b y a x 2222221；(2)⎰⎰⎰++Vc z by ax dxdydz e 222222.解：应用球面变换得V ’={(r,θ,φ)| 0≤θ≤2π, 0≤φ≤π, 0≤r ≤1}. (1)⎰⎰⎰---VdV cz b y a x 2222221=⎰⎰⎰-10220201sin dr r abcr d d ϕϕθππ =42πabc . (2)⎰⎰⎰++Vc z b y ax dV e222222=⎰⎰⎰12020sin dr e abcr d d r ϕϕθππ=)2(4-e abc π.。
高数下册之重积分
第九章 重积分以前我们学过一元函数的积分字,若f(x)在(a ，b)上可积，到积分⎰ba dx x f )(其中)(x f 为被积函数，（a ，b ）为积分区间。
我们若把)(x f 推广到多元函数。
(a ，b)推广到区域。
曲线，曲面等危围上去，便得到重积分，曲线积分，曲面积分等，本章只讲二重积分。
〖补充〗：这章的所有图形请老师自己为学生画出，并讲述画图的经过！第一节 二重积分的概念和性质一、二重积分的概念先讲二个具体的问题：（1）、求曲顶柱体体积。
（二）求平方薄片的质量。
（一） 求曲顶柱体体体积：设z=f(x.，y)是定义在有界区域性D 上的非负连续函数。
我们称曲面z=f(x ，y)，xoy 平面上的区域D 和准线为D 的边界，母线平行于z 轴的柱体所围成的立体为曲顶柱体。
现在的问题是求这个曲顶柱体的体积V 。
首先用一组曲线T 把区域D 划分为n 个小区域i σ∆（i=1，2，…,n ）这样就把原柱体分为n 个小曲顶柱体V i 。
又记i σ∆为T i 的面积，λi 为i σ∆的直径，对于i σ∆来说，由于f(x ，y)在i σ∆连续。
故当λi 很小时，f(x ，y)在i σ∆上各点的函数值近似相等，从而可视i σ∆上的曲顶柱体为平顶柱体，为此在i σ∆中任放一点以),(i i f ηξ为高的小平顶柱体的体积为i i i f σηξ∆),(。
并用它来代替这个小曲顶柱体的体积V i 把所有这些小平顶柱体的体积加起来便得曲顶柱体的体积的近似值：∑∑==∆⋅≈∨=N i Ni i i i i f V 11)(σηξ最后，当分割T 的细度O Max T i →=λ时有：∑=→∆⋅Ni iiiV f 1)(σηξ即：i i i T f Vσηξ∆=→),(lim 0（2）、平面薄电的质量设薄电占有xoy 平面上的区域D 且在点（x 、y ）的D 外的面密度为P （x ，y ）>O 求该平面薄纯的质量M 。
重积分运算的常用解法
重积分运算的常⽤解法积分运算的常⽤⽅法Warren K引⾔：本学期课程的⼀⼤重点在于重积分的运算、利⽤重积分解决实际问题的微元法以及线⾯积分及其应⽤。
这⾥根据⾃⼰学习的⼀些⼼得以及课本和参考书籍上的知识，归纳总结⼀些积分运算的常⽤⽅法。
⼀、⼆重积分（1）、化为累次积分公式==bax y x y dcy x y x s dxdy y x f dxdy y x f ds y x f )(2)(1)(2)(1)(),(),(),(例1:计算??)(s xyds ,其中S 为抛物线x y =2与直线2-=x y 所围成的区域.解将S 视为y 型区域，先对x 后对y 积分，得855])2[(5.02142212)(2=-+==--+dy y y y xydx dyxyds y s y 如果⽤直线把此区域（S ）分成两部分，那么（S ）可以看作是两个x 型区域的并。
先对y 后对x 积分得--+=412)(xx x xs xydy dx xydy dx xyds由上式可以得出同样的结果，但这种⽅法显然要⿇烦⼀些。
从这也可以看到，计算⼆重积分时，选取适当的积分顺序是⼀个值得注意的问题。
如果积分顺序选择不当，不仅可能引起计算上的⿇烦，⽽且可能导致积分⽆法算出。
（2）、化为极坐标若积分域（S ）与被积函数f(x,y)⽤极坐标表⽰更为简便，则应考虑将其化为极坐标的⼆重积分来计算。
为此，建⽴极坐标系，令极点与xOy 直⾓坐标系的原点重合，x 轴取为极轴。
利⽤直⾓坐标与极坐标的转换公式),20,0(sin ,cos π?ρ?ρ?ρ≤≤+∞≤≤==y x将（S ）的边界曲线化为极坐标，并把被积函数变换为).sin ,cos (),(?ρ?ρf y x f =接下来就是把⾯积微元由极坐标表⽰出来，.?ρρ??≈?s从⽽==βα?ρ?ρρρ?ρ?ρ??ρρ?ρ?ρ)()(21)sin ,cos (.)sin ,cos (),(d f d d d f ds y x f ss=??ba d f d )()(21)sin ,cos (ρ?ρ??ρ?ρ?ρρ例2：)0()(41022222>+-=??-+--a dy y x a dx I ax a a x解：将原积分化为极坐标下的累次积分计算.a d a d I a 224sin 2022-=-=??--πρρρθπθ（3）、曲线坐标下⼆重积分的计算法 1.正则变换⼆重积分??)(),(s ds y x f作变换.)(),()(),(),,(),,(22R s v u R s y x y x v v y x u u ?'∈?∈==若以下三个条件满⾜,则称上变换为⼀正则变换. a 、函数));((,)1(σC v u ∈b 、Jacobi ⾏列式);(),(,0),(),(σ∈?≠=??y x v u v u y x v u yyx x c 、此变换将域)(σ⼀⼀对应地映射为).(σ'2.x0y 坐标系下的⼆重积分与uOv 坐标系下⼆重积分之间的关系为σσσσ'??='d v u y x v u y v u x f d y x f ),(),()],(),,([),()( 例3：求-=σσd x y I )(，其中)(σ是由直线53,973,3,1+-=+-y x y x y x y 所围成的区域。
三重积分独家解法
§重积分重积分是定积分延伸，定积分是如图（1）所示，由上曲线和下曲线在定义域内所围成面积S ；二重积分的已知条件是一平面区域作为二重积分的“定义域”，被积函数是两个空间曲面函数的差值，如 xydθD,其实，它的二重积分的原始形式为 [f x −g x ]dθD,即f x −g x =xy 。
其中，f （x ）和g （x ）均为空间曲面的函数表达式。
而如果把二重积分以定积分的形式表现则比较牵强： xydθA B，A 与B 的差值就是二重积分的定义区域，但是，A 和B 只是作者假设的虚拟值，实际并不存在，为了简洁地表达二重积分，引入了“ ”符号，这是二重积分的高度抽象化，单从这个符号是看不出二重积分的几何意义的。
§三重积分三重积分是在体积的基础上的四维积分。
定积分的定义域在一维数轴上（X ）反映，积分函数为曲线，对应积分几何意义为面积；二重积分的定义域在二维数轴（X-Y ）上反映，积分函数为曲面，对应几何意义为体积；三重积分的被积函数没有固定的意义，积分也就没有固定的意义，比如， xdxdydz Ω，被积函数为f(x)=x ，当x 表示密度时， xdxdydz Ω表示质量，当x 表示单位粒子能量时， xdxdydz Ω表示内能…即：密度、单位粒子能量都是一种四维变量。
这些变量是关于x 、y 、z 的函数，我们暂设为h(x,y,z)。
即(x ,y,z)dxdydz Ω.以高等数学（第六版 下册 同济大学数学系编）P159页例1（计算三重积分 xdxdydz Ω，其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域）为例，闭区域Ω如图所示，xdxdydz Ω中的h(x,y,z)=x 是x 的一元一次函数，与y,z 无关，我们采用微分思想，把三棱锥C-OAB 分成若干份，则阴影部分的体积为dV=yzdx .阴影部分的三重积分为xyzdz （x 为被积函数h(x,y,z)=x ）.则所求重积分为 xyzdx x 2x 1,但是y,z 必须用x 的函数关系式表示，即z=-x+1，y=1−x 2,三重积分 xyzdx 10= [x ∗ 1−x 2 ∗ −x +1 ]dx 10=14 x −2x 2+x 3 dx 10=148，所以，同样， 只是三重积分的高度抽象化的表达式，反映不出三重积分的几何意义。
重积分课件
详细描述
在计算电场时，我们需要对电荷的分布和位置进行积分 ，以确定电荷对其他电荷的作用力。这个积分过程也是 重积分。通过重积分，我们可以得到电荷之间的电场强 度和电势，进一步得到整个电场的分布情况。
05
重积分的数学性质
重积分的可加性
总结词
重积分具有可加性，即对于可加函数，其在两个不相交区域的积分之和等于其在整个区 域的积分。
微分方程的数值解法
欧拉方法
一种简单而常用的数值解法，通过迭代的方式逐步逼近微分方程的 解。
龙格-库塔方法
一种高精度的数值解法，适用于求解非刚性问题，具有更高的计算 精度和稳定性。
谱方法
利用傅里叶变换或小波变换将微分方程转化为频域或时域中的多项 式方程，通过求解多项式方程得到原微分方程的数值解。
THANKS。
04
重积分的物理应用Biblioteka 质量分布的计算总结词
质量分布是物理学中一个重要的概念，它描 述了物体内部各点的质量分布情况。
详细描述
在计算物体质量时，我们需要对物体的密度 函数进行积分，以确定物体内部所有点的质 量总和。这个积分过程就是重积分。通过重 积分，我们可以得到物体的总质量、质心位
置等重要物理量。
引力场的计算
详细描述
重积分的可乘性是指，如果函数在两个区域上进行积分 ，那么这些积分的结果之积等于函数在它们所围成的区 域上的积分结果。这个性质在处理多变量函数的积分问 题时非常有用，因为它允许我们将问题简化为更简单的 形式，从而更容易计算出积分的结果。同时，这个性质 也为我们提供了一种计算多变量函数积分的有效方法。
体积的计算
总结词
重积分是计算三维空间中物体体积的有 效工具，通过重积分可以计算出各种形 状的物体体积。
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积分运算的常用方法Warren K引言： 本学期课程的一大重点在于重积分的运算、利用重积分解决实际问题的微元法以及线面积分及其应用。
这里根据自己学习的一些心得以及课本和参考书籍上的知识，归纳总结一些积分运算的常用方法。
一、 二重积分 （1）、化为累次积分 公式⎰⎰⎰⎰⎰⎰==bax y x y dcy x y x s dxdy y x f dxdy y x f ds y x f )(2)(1)(2)(1)(),(),(),(例1:计算⎰⎰)(s xyds ,其中S 为抛物线x y =2与直线2-=x y 所围成的区域.解 将S 视为y 型区域，先对x 后对y 积分，得855])2[(5.02142212)(2=-+==⎰⎰⎰⎰⎰--+dy y y y xydx dyxyds y s y 如果用直线 把此区域（S ）分成两部分，那么（S ）可以看作是两个x 型区域的并。
先对y 后对x 积分得⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+=4121)(xx x xs xydy dx xydy dx xyds由上式可以得出同样的结果，但这种方法显然要麻烦一些。
从这也可以看到，计算二重积分时，选取适当的积分顺序是一个值得注意的问题。
如果积分顺序选择不当，不仅可能引起计算上的麻烦，而且可能导致积分无法算出。
（2）、化为极坐标若积分域（S ）与被积函数f(x,y)用极坐标表示更为简便，则应考虑将其化为极坐标的二重积分来计算。
为此，建立极坐标系，令极点与xOy 直角坐标系的原点重合，x 轴取为极轴。
利用直角坐标与极坐标的转换公式),20,0(sin ,cos πϕρϕρϕρ≤≤+∞≤≤==y x将（S ）的边界曲线化为极坐标，并把被积函数变换为).sin ,cos (),(ϕρϕρf y x f =接下来就是把面积微元由极坐标表示出来，.ϕρρ∆∆≈∆s从而⎰⎰⎰⎰⎰⎰==βαϕρϕρρρϕρϕρϕϕρρϕρϕρ)()(21)sin ,cos (.)sin ,cos (),(d f d d d f ds y x f ss=⎰⎰ba d f d )()(21)sin ,cos (ρϕρϕϕρϕρϕρρ例2：)0()(41022222>+-=⎰⎰-+--a dy y x a dx I ax a a x解：将原积分化为极坐标下的累次积分计算.a d a d I a 222404sin 2022-=-=⎰⎰--πρρρθπθ（3）、曲线坐标下二重积分的计算法 1.正则变换 二重积分⎰⎰)(),(s ds y x f作变换.)(),()(),(),,(),,(22R s v u R s y x y x v v y x u u ⊆'∈⊂∈==若以下三个条件满足,则称上变换为一正则变换. a 、函数));((,)1(σC v u ∈b 、Jacobi 行列式);(),(,0),(),(σ∈∀≠=∂∂y x v u v u y x v u yyx x c 、此变换将域)(σ一一对应地映射为).(σ'2.x0y 坐标系下的二重积分与uOv 坐标系下二重积分之间的关系为σσσσ'∂∂=⎰⎰⎰⎰'d v u y x v u y v u x f d y x f ),(),()],(),,([),()( 例3：求⎰⎰-=σσd x y I )(，其中)(σ是由直线53,973,3,1+-=+-=-=+=xy x y x y x y 所围成的区域。
解：作变换;43),(),(1),(),(,31,.-=∂∂=∂∂+=-=y x v u v u y x x y v x y u于是，由变换公式得：3384343),(),()]4343()4341[(59713)(-===∂∂+--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-'udu dv udvdududv v u y x v u v u I σσ二、 三重积分（1）、先单后重或先重后单⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==aby x z y x z Vdz d z y x f d dz z y x f dV z y x f z ]),,([]),,([),,()()(),(),(21σσσσ（2）、曲线坐标下三重积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰'∂∂=)()(|),,(),,(|)],,().,,(),,,([),,(V V dudvdww v u z y x w v u z w v u y w v u x f dV z y x f （3）、柱面坐标下三重积分的计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)()(),sin ,cos (),,(V V dz d d z f dV z y x f ϕρρϕρϕρ（4）、极坐标下三重积分的计算.sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,()(2)(⎰⎰⎰⎰⎰⎰=V V d drd rr r r f dV z y x f ϕθθθϕθϕθ ||例4：计算三重积分};41,|),,{()(,)(22222)(22≤++≤+≥=+⎰⎰⎰z y x y x z z y x V dV y x z V 解：用球坐标，原式=πθθθθϕππ4863sin sin cos 202122240=⋅⋅⎰⎰⎰dr r r r d d 例5：)(,1)(22V yx dV V ⎰⎰⎰++ 由1,222==+z z y x 所围成， 解：利用柱坐标， 原式=).222(ln 1101220ππρρρϕρπ+-=+⎰⎰⎰dz d d 例6：证明：抛物面122++=y x z 上任一点处的切平面与曲面22y x z +=所围立体的体积恒为一常数值。
解：122++=y x z 上过)1)(,,(202000000y x z z y x P ++=处的切平面方程为 .122202000y x y y x x z --++=则切平面与抛物面22y x z +=所围立体体积为πρρρϕσσπ23)1(]1)()[(1)()(2010220201)()(122202020202200022=+=+-+-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤-+-≤-+---+++y y x x y y x x y x y y x x y x d d d y y x x dzd V与0P 无关的常数其中ϕρϕρsin ,cos 00+=+=y y x x ，则ρϕρ=∂∂),(),(y x 三、 含参变量的积分和反常积分（1）、求导与积分可交换顺序。
条件：)(),(D C f D C f y ∈∈ 则⎰=ab dx y x f y F ),()(在[c,d]上有连续的导数，且求导与积分可交换顺序，即⎰⎰∂∂=='b a badx y y x f dx y x f dy d y F .),(),()( （2）、积分顺序交换性 若),(D C f ∈则⎰=ba dx y x f y F ),()(在[c,d]上可积，⎰=dcdy y x f x G ),()(在[a.b]上可积，且⎰⎰⎰⎰=b adcd cbadx dy y x f dy dx y x f )),(()),(( ||例7：计算积分⎰>-1)0,(,ln b a dx xx x ab 解：这个积分难以直接求解，需要利用积分顺序交换性来求，由于.11ln ln ln 101010ab dx x dy dy x dx dx x x x dy x xx x y b a b a y ab b a y ab ++===-⇒=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰四、 第一型线面积分（1）、第一型线积分计算公式设有一简单的光滑空间曲线（C ），其参数方程为)()(),().(βα≤≤===t t z z t y y t x x若函数f(x,y,z)在（C ）上连续，则⎰⎰++=βαdt t z t y t xt z t y t x f ds z y x f C )()()()](),(),([),,()( （2）、第一型面积分计算公式 设有一曲面（S ）3R ∈，其参数方程为2)(),()),,(),,(),,((),(R v u v u z v u y v u x v u r r ⊆∈==σ若函数r(u,v)在)(σ上连续可导，且0≠⨯v u r r 则d u d vr r v u z v u y v u x f dS z y x f v uS⎰⎰⎰⎰⨯=)()],(),,(),,([),,(σ若（S ）方程为)(),(),,(σ∈=y x y x z z ，则也可写成⎰⎰⎰⎰++=)(22)(.1)],(,,[),,(σdxdy z z y x z y x f dS z y x f y x S ||例8：计算⎰⎰++)(2)124(s y x ds,其中是(S)平面在第一卦限的部分. 解:;9);4816,,(),,(=⨯--=y x r r y x y x z y x r原式=19ln 89)124(9240220-=++⎰⎰-xy x dydx例9：设曲面是上半球面4222=++z y x ，其面密度为z ，求曲面的质量。
解：π82422==⎰⎰⎰⎰≤+y x sdxdy zdS五、 第二型线面积分（1）、第二型线积分的计算⎰⎰++=⋅)()(),,(),,(),,()(C C dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ds M A其中⎰⎰⎰⎰⎰⎰===αβαβαβdt t zt z t y t x R dz z y x P dt t y t z t y t x Q dy z y x Q dt t xt z t y t x P dx z y x P C C C )()](),(),([),,()()](),(),([),,(,)()](),(),([),,()()()( （2）、第二型面积分的计算⎰⎰⎰⎰Λ+Λ+Λ=⋅)()(),,(),,(),,()(S S dy dx z y x R dz dz z y x Q dz dy z y x P dS M A（3）、利用Green,Stokes,Gauss 公式。
|| 例10：计算第二型曲面积分⎰⎰∑Λ++-Λ++Λ+=dy dx z y x dx dz z y dz dy z x I )(4)1(sin )1(cos 2222其中∑是下半球面221y x z ---=的上侧解：原式=042)(4)41(132012222=-=+-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ωρρϕππd d dxdyy xdv y x六、 巧妙利用对称性简化积分运算例11：计算⎰⎰∑++ds xz yz xy )(，其中∑为锥面22y x z +=被圆柱面ax y x 222=+所截下的部分。
(a>0)分析 由于曲面∑关于zOx 坐标面对称，而(xy+yz)是y 的奇函数，则0)(=+⎰⎰∑dz yz xy解：由22y x z +=知.21122222222σσσd d yx y y x x d z z ds yx=++++=++= 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+=-∑Da a d d d y x x zxds 422cos 2032221564cos 22ππϕρϕρϕσ 例12：计算二重积分：⎰⎰+D d b y ax σ)(2222其中}|),{(222R y x y x D ≤+=解：利用对称性：若积分域D 关于直线y=x 对称，则⎰⎰⎰⎰=DDd x y f d y x f σσ),(),(，本题中的D 关于y=x 对称，则⎰⎰⎰⎰+=+D D d b x a y d b y a x σσ)()(22222222 从而有⎰⎰+D d b y ax σ)(2222=).11(4)11(21])()([2132420032222222222ba R d db a d b x a y d b y a x R D D +=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰πρρϕσσπ例13：,)]cos(1[44⎰⎰++=Dd y x x y I σ其中D 由直线y=x,y=1,x=-1围成。