二重积分的计算方法

2
x
1 1 dy
2
1 f ( x, y)dx
2
dy
1
2 f ( x, y)dx __1_d_x__1x__f_(_x_,_y_)_d_y .
y
2
y
例 4 求 ( x2 y)dxdy，其中D 是由抛物线
D
y x2和 x y2所围平面闭区域.
x y2
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
D
c
1( y)
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直
计算二重积分 y2 xydxdy,其中D是由直线
D
y x, y 1, x 0所围成的平面区域。
解 原式
1
y
dy
y2 xydx (3分)
0
0
1 2
03
3
y ( y x)2 |0y dy
2 1 y2dy 30
(6分)
=2. 9
若先y后x，积分为
6
1
4
0
2 y1
8
2 y
dy
f ( x, y)dx dy
f ( x, y)dx
___1_____2 _y__1 ___________0_____2__y_1_________ .
一、填空题(本题15分,每小题3分)2006(224)级期末考试
4.交换积分次序：
作分区域函数看待，利用积分的可
yx
加性分区域积分即可。
D
解法1 x 1dxdy
o
x
D
1
x
dx (1 x)dy
2
dx
2
x
2
(
x

1)dy
2 (4分）
0
0
1
0
1
(1 x)xdx
2
( x 1)
2 x2dx
0
1
(6分）

(
x2 2
z x y，z xy， x y 1，x 0 ，y 0 .
解 曲面围成的立体如图.
所围立体在xoy 面上的投影是
0 x y 1, x y xy,
所求体积V ( x y xy)d
D

1dx 1x ( x
0
0

y

xy)dy

x y

b b

1 2

b
dy
a
b f 2 (x) dx
a
b
dx
a
b f 2(y)dy
a

ba 2

b f 2(x)dx
a
b a
f
2
(
y)d
利y 用
(b a) b f 2 (x)dx = 右端 2ab a2 b2 a
例 8 求由下列曲面所围成的立体体积，
D
D
等的被积函数均应当做分区域函数看待，利用积分的
的可加性分区域积分。
(17)(本题满分 11 分)2008 年数学二、三 y
计算 max{xy,1}dxdy,其中
D
D={(x, y) | 0 x 2,0 y 2}.
解 曲线xy 1将区域D分成
2
D2 D1
o
2x
两个区域D1和D2
1
1
dy (1 x)dx dy
2 y2
( x 1)dx
(4分）
0
y
0
1

1
(x
0

x2 2
)
|1y
dy

1
(
0
x2 2

x) |1 2 y2 dy

1
(2 y
2 y2 )dy
0
(2 y
y2 2
)
|10


4 2cos2 tdt
0
(6分）

2

1 2
a
2a
= 原式
a
a a2 y2
dy
0
y2
f ( x, y)dx

2a
a
2a
dy 0
a a2 y2
f ( x, y)dx

2a
dy
a
2a
y2 f ( x, y)dx.
2a
一、填空题（本题15分，每小题3分）2008级期末考试
4.
I
2
dx
2 x x2
f ( x, y)dy，改变积分次序I

x3 3
∣) 10

1 2
2
(2

x2
1
)2
d(2

x2
)

1
2 1
2 x2 dx

1 6

1 3
(2

1
x2)2
|1
2


2
2
cos2
tdtபைடு நூலகம்
4

1 6
+
1 3

(t

1 3
sin
2t )

|2
4
1
4
(9分） (11分）
解法2 x 1dxdy
D
1
（3分)
max{xy,1}dxdy
D
xydxdy dxdy
(5分）
D1
D2
2
= 1 dx
2
2
1 xydy
x
1
2
2 dx dy
0
0
2
1 dx
2
1
x dy(8分）
0
y
= 15 ln 2 1 2ln 2 4
19 ln 2 4
2
（6）若D对称于原点，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 0.
D
（7）若D对称于直线y x,则 f ( x, y)d f ( y, x)d .
D1
D2
(或 f ( x, y)d f ( y, x)d ). 对称于直线y x
D
D
的两部分区域记为D1和D2.
这种情况常称为积分区域D具有关于积分变量的对称性 或称为二重积分的轮换对称性(即若积分区域或被积函 数的表达式中，将其变量x, y互换，其表达式不变）。
(18)(本题满分 11 分)2010 年农学门类
计算二重积分[ x sin( xy)]dxdy,其中区域
00
y 1 x
一、填空题（本题15分，每小题3分）2005级期末考试
4.
交换积分
1
dx
x f ( x, y)dy的积分次序为
0
0
1
1
0 dyy f ( x, y)dx
___________________ .
例 2 改变积分
1
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
（4）若D对称于y轴，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 0.
D
（5）若D对称于原点，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 2 f ( x, y)d .
D
D1
其中D1是D位于y轴右侧(或左侧）的部分。
解 两曲线的交点
y x2
x
(0,0) y2
, (1,1),
y x2
( x 2

y)dxdy

1
dx
0
x
x
2
(
x
2

y)dy
D

1
[
x
2
(
x x2 ) 1 ( x x4 )]dx 33 .
0
2
140
例5 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
2
dx
2x f ( x, y)dy的次序.
0
0
1
0
解 积分区域如图
y2 x y 2x x2
原式
1
2 y
dy
0
1
1 y2
f ( x, y)dx.
例 3
改变积分
2a
dx
0
2ax
2axx2 f ( x, y)dy (a 0)
的次序.
解
2a
y 2ax
a
y 2ax x2 x a a2 y2
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
0
3
0
6
6e
例 6

1
0 [
x(1

x)
1 (1 2
x)3 ]dx

7. 24
(19)(本题满分 11 分)2009 年农学门类
计算二重积分 x 1 dxdy,其中D是第一象限内由
D
直线y 0, y x及圆x2 y2 2所围成的区域.
分析：被积函数含有绝对值，应当
y
x2 y2 2
(11分）
D2
o1
D1
2
x
2
利用对称性简化计算
在利用对称性计算重积分时，不仅积分区域要 对称，而且被积函数也要对称（即对x(或y）是 奇或偶函数），两者缺一都不能使用。
（1）若D对称于x轴，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 2 f ( x, y)d .

(t

1 2
sin
2t
)

|04
1
4 说明：
(11分）
形如积分 f ( x, y) d , max{ f ( x, y), g( x, y)}d ,
D
D
min{ f ( x, y), g( x, y)}d , sgn{ f ( x, y) g( x, y)}d
D
y
D {( x, y) | x 2 y2 2, x 1}.
解 由对称性知 sin( xy)dxdy 0,故
D
I xdxdy
o
D
2
2 x2
21 xdx 0 dy
1
x
(6分）
2
2
x
2 x2dx
1


2 (2 3

3
x2)2
|1 2
2 3
(8分） (11分)
1
计算积分 I 2 dy
yy
1
e xdx dy
yy
e xdx.
1
1
4
2
1 2
y
y
解 e xdx不能用初等函数表示
先改变积分次序.
y x
1
xy
原式 I dx e xdy
1 2
x2
y x2
1 x(e e x )dx 3 e 1 e.
1 2
82
(16)(本题满分 7 分)2006 年数学三、数学四
一、利用直角坐标系计算二重积分
如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z
D
D1
其中D1是D位于x轴上方的部分。
（2）若D对称于x轴，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 0.
D
（3）若D对称于y轴，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 2 f ( x, y)d .
D
D1
其中D1是D位于y轴右侧的部分。
D
(2分） o D
x
1
2 dy
1 y2 ( x3 3 xy2 )dx
（5分）
0
2y
1
（1 1 2 y2 3 y4 )dy 3
1
(
y2

y4 )dy(8分）
20
(16)(本题满分 10 分)2010 年数学三
计算二重积分（x y)3dxdy,其中D由曲线
D
x 1 y2与直线x 2 y 0y
x 2y 0围成。 解 区域D如图所示
oD
x
原式 （x3 3x2 y 3xy2 y3 )dxdy
D
y
( x3 3xy2 )dxdy
二、选择题（每小题3分，共15分）2007级期末考试
5、设D是圆域x2 y2 a2 ,(a 0)D1是D在第一象限
部分区域，则 ( x y 1)d ( C )
D
A. 4 ( x y 1)d
D1
C. a2
B. ( x y 1)d
D1
D. 0
D
f (x, y) 为曲顶柱体的体积．
z
z f (x, y)
应用计算“平行截
面面积为已知的立 体求体积”的方法, y
A(x0 )
y 2(x)
x
b
x0 a
得
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. y 1(x)
D
a
1( x)
如果积分区域为：c y d , 1( y) x 2( y). ［Y－型］
线与区域边界相交不多于两个交点.
若区域如图， 则必须分割.
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
D3 D1
D2
.
D
D1
D2
D3
例 1
改变积分
1
dx
1 x
f ( x, y)dy 的次序.
00
解 积分区域如图
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
（7分）
原式=
1
dx
y
y2 xydy
0
0
计算会复杂些，可能还要用到极坐标计算，
有兴趣的学生以后可以自己完成。
例7.
证明
证:左端

b
a
f
b
( x) dxa
f
( y) dy

D f
(x)
f
( y) dxdy

1 2
[ f 2 (x) f 2 ( y)]dxdy
D
D
:
aa