二重积分的计算方法
二重积分的几种计算方法
二重积分的几种计算方法二重积分是数学分析的重要组成部分，二重积分是定积分的推广，是二元函数在一个平面的一个区域的积分。
计算二重积分的一般原则是将二重积分化为二次积分（即累次积分）加以计算。
求积的困难主要来自两个方面：一是被积函数的复杂性，二是积分区域的多样寻。
不同顺序二次积分计算的难易程度往往是不同的，又是错选积分顺序导致积分无法计算，有的二重积分必须通过换元才能求出。
计算二重积分的一般步骤如下：1) 画出积分区域D 的草图； 2) 求交点；3) 选择直角坐标系下计算，或极坐标系下计算； 4) 选择积分次序；5) 化二重积分为二次积分； 6) 计算。
一．二重积分的直接计算方法所谓连续函数(,)f x y 展步在有限封闭可求积二位域Ω内的二重积分乃是指数max 0max 0(,)lim(,)iji j x ijy f x y dxdy f x yx y ∆→Ω∆→=∆∆∑∑⎰⎰其中11,i i i j j j x x x y y y --∆=-∆=-，而其和为对所有j i ,，使Ω∈),(j i y x 的那些值来求的。
若域Ω有下面的不等式所给出,b x a ≤≤ )()(21x y y x y ≤≤其中)(1x y 和)(2x y 为闭区间[]b a ,上的连续函数，则对应的二重积分可按下面的公式计算⎰⎰⎰⎰Ω=bax y x y j i dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(例1. 计算⎰⎰Dxydxdy，其中区域D 是由直线x y =与抛物线2x y =所围成的区域。
解: 积分区域D 如图1所示，有定义D 是简单区域，边界x y =与2x y =得交点为)0,0(和)1,1(。
若选择先对y 积分，则过x 轴上)1,0(内的任一点p 作y 轴的平行线，该线的与D 下边界交点在2x y =上，与D 上边界交点在x y =上，所求积分为2211002xxx x Dy xydxdy dx xydy x dx ⎡⎤==⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰241)(211053=-=⎰dx x x 若选择先对x 积分，同理可得⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1021021yyyyDy x xydx dy xydxdy241)(211053=-=⎰dx y y图1若求二重积分时，遇到复杂区域，应将复杂区域化成若干个简单区域，然后根据)(,),(),(),(2121D D D y x f y x f dxdy y x f D D D+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，来计算。
二重积分四则运算公式
二重积分四则运算公式二重积分是微积分中的一个重要概念，也是数学计算中常用的工具之一、它是对二元函数在一些区域上的求和，可以用来计算曲线下面的面积、质心、重心、弯矩等问题。
在进行二重积分的计算时，有四个基本的运算公式，分别是加法公式、乘法公式、换元公式和分部积分公式。
下面将详细介绍这四个公式以及它们的应用。
一、加法公式加法公式是用来计算两个区域上的二重积分的和的公式，具体形式如下：∬(R1∪R2)f(x,y)dA=∬R1f(x,y)dA+∬R2f(x,y)dA其中，R1和R2是两个不相交的区域，f(x,y)是定义在R1∪R2上的函数，dA表示面积元素。
加法公式的应用非常广泛，可以用于计算不规则区域上的积分，将区域分成若干个小区域，然后分别计算每个小区域上的积分再求和即可。
二、乘法公式乘法公式是用来计算两个函数的乘积的积分的公式，具体形式如下：∬Rf(x,y)g(x,y)dA=∬Rf(x,y)dA·∬Rg(x,y)dA其中，f(x,y)和g(x,y)是定义在区域R上的函数，dA表示面积元素。
乘法公式可以简化积分的计算，将二重积分分成两个单变量的积分，分别计算再相乘即可。
三、换元公式换元公式是用来进行变量替换的公式，可以将一个二元函数在坐标变换后的区域上的积分转化为原区域上的积分，具体形式如下：∬Rf(x,y) dA = ∬R'(f(g(u,v),h(u,v)) ，J(u,v)， du dv其中，R是原区域，R'是通过坐标变换得到的新区域，f(x,y)是定义在R上的函数，J(u,v)，是变换后的雅可比行列式。
换元公式可以简化积分的计算，通过适当的坐标变换可以将原积分转化为更简单的形式，例如将直角坐标系中的积分转化为极坐标系中的积分等。
四、分部积分公式分部积分公式是用来计算二重积分中的积分运算的公式，具体形式如下：∬R(∂f/∂x + ∂g/∂y) dA = ∮C(f dx + g dy)其中，R是区域，C是区域R的边界曲线，f(x,y)和g(x,y)是定义在R上的函数，∂f/∂x和∂g/∂y分别表示函数f和g关于x和y的偏导数。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面上某个区域的面积、质量、质心等问题。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方法，包括直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
一、直角坐标系下的二重积分计算方法在直角坐标系下，二重积分的计算通常通过累次积分的方式进行。
设有一个二元函数 f(x, y) 在某一闭区域 D 上连续，则 D 可以表示为水平投影区域 D' 在直角坐标系上的投影区域，并且可以将 D 划分成许多小的面积 dA。
二重积分的计算可以表示为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(x, y)dxdy其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(x, y) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(x, y)dxdy = ∫[a, b]∫[c(x), d(x)]f(x, y)dydx其中，[a, b] 表示 x 的取值范围，c(x) 和 d(x) 分别表示 D' 在 x 轴上的投影区间的下边界和上边界。
根据具体问题，我们可以选择先对 x进行积分，再对y 进行积分，或者先对y 进行积分，再对x 进行积分。
通过这样的累次积分方式，可以计算得到二重积分的结果。
二、极坐标系下的二重积分计算方法在某些问题中，使用极坐标系进行二重积分的计算更加方便。
对于闭区域 D 在极坐标系下的表示，我们可以将二重积分的计算公式改写为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(r, θ)rdrdθ其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(r, θ) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(r, θ)rdrdθ = ∫[α, β]∫[g(θ), h(θ)]f(r, θ)rdrdθ其中，[α, β] 表示θ的取值范围，g(θ) 和h(θ) 分别表示 D 在极坐标系下的投影区间的内半径和外半径。
同样地，通过选择先对θ进行积分，再对r进行积分，或者先对r进行积分，再对θ进行积分的方式，可以计算得到二重积分的结果。
二重积分的算法
二重积分的算法二重积分是微积分中的重要概念之一，它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。
二重积分的算法是求解二重积分的方法和步骤，下面将介绍二重积分的算法。
一、二重积分的定义二重积分是对二元函数在有界闭区域上的积分。
设函数f(x,y)在闭区域D上有定义，其中D是一个有界闭区域，D的边界可以用一组参数方程x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b表示。
则称函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分为：∬D f(x,y) dxdy二、二重积分的计算方法二重积分的计算方法有多种，常见的有直角坐标系下的直接计算法和极坐标系下的极坐标变换法。
1. 直接计算法直角坐标系下的直接计算法是将二重积分转化为两个一重积分的叠加，按照积分的定义逐个计算。
具体步骤如下：（1）确定积分区域D的范围和方向；（2）将二重积分转化为两个一重积分，先对y进行积分，再对x进行积分；（3）根据积分区域D的范围和方向，确定积分的上下限；（4）按照一重积分的定义计算每个一重积分；（5）将两个一重积分的结果相加，得到二重积分的结果。
2. 极坐标变换法极坐标系下的极坐标变换法是通过极坐标系下的变换公式将二重积分转化为极坐标系下的一重积分。
具体步骤如下：（1）确定积分区域D的范围和方向；（2）通过极坐标变换公式将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的一重积分；（3）根据积分区域D的范围和方向，确定极坐标下的积分范围和方向；（4）按照一重积分的定义计算极坐标下的一重积分；（5）得到极坐标下的一重积分后，根据极坐标变换公式将其转化为直角坐标系下的二重积分。
3. 其他计算方法除了直接计算法和极坐标变换法外，还有其他一些特殊情况下的计算方法，如利用对称性、变量替换等方法进行计算。
具体使用哪种方法取决于具体的问题和积分区域的特点。
三、二重积分的性质二重积分具有一些重要的性质，包括线性性、保号性、保序性、可加性等。
这些性质在计算二重积分时起到了重要的作用，可以简化计算过程和提高计算效率。
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法
1. 直接计算法：
这是最常见的计算二重积分的方法。
直接按照积分的定义，将被积函数与微元面
积相乘后进行求和即可。
一般来说，要根据具体的被积函数和积分区域的形状，选择合适
的坐标系来进行计算。
3. 对称性法：
如果被积函数在某个轴或者平面上具有一定的对称性，可以利用对称性简化计算。
如果被积函数关于某个轴对称，可以将积分区域分成两部分，然后只计算其中一部分的积分，最后再乘以2。
类似地，如果被积函数关于某个平面对称，可以将积分区域分成两个
对称的部分，然后只计算其中一个部分的积分，最后再乘以2。
4. 等值线法：
对于一些复杂的被积函数，可以通过画出函数的等值线图来简化计算。
通过观察
等值线的形状和分布，可以选择合适的积分路径和积分限，使得函数在该路径上的积分更
容易计算。
5. 枚举法：
当积分区域非常复杂、函数表达式非常复杂或者积分路径不容易选择时，可以考
虑使用枚举法进行计算。
将积分区域分成若干个简单的子区域，然后分别计算每个子区域
的积分，最后将它们相加得到最终的积分值。
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法一、极坐标法在二维平面上，如果点P在直角坐标系中的坐标为（x，y），那么以O点为极点，OP 线段所在直线为极轴的极坐标（r，θ）满足以下关系式：x=r*cosθy=r*sinθ将函数f(x,y)转化为g(r,θ)表示，则有：根据二重积分的定义式，可以得到用极坐标表示的二重积分：∬Df(x,y)dxdy=∬g(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ其中，D为定义域，r为极径。
二、对称性法对称性法即利用函数在定义域内的对称性简化计算。
具体方法如下：1. 翻折对称：如果定义域D为一个轴对称图形，那么可以将积分区域缩小一半，只计算一侧再乘以2。
3. 奇偶性：如果函数f(x,y)满足奇偶性，即满足f(-x,y)=-f(x,-y)或f(-x,-y)=f(x,y)，则可以将定义域限定在一个象限内（通常是第一象限），依次计算再乘以4或2。
轮换对称法即利用极坐标系下的轮换对称性简化计算。
对于一个n边形，将其边每隔2π/n取一条，则这些边的边长相等，角度之和为2π，因此在极坐标系下具有轮换对称性。
具体方法如下：1. 将定义域D分成n份，每份的极角为（k-1）2π/n和k2π/n（k=1,2,...,n）。
2. 对于每份，取中心点和每条边上的一个点，计算这些点构成的区域上的积分。
3. 最后将n份的积分相加即得到原积分。
四、正交性法正交性法即根据正交性定理，将一些特殊的函数乘在被积函数上，使之变成正交函数的线性组合，从而简化计算。
常用的正交函数有勒让德多项式、柯西-斯瓦茨函数等。
1. 将f(x,y)表示为一些正交函数的线性组合。
2. 考虑在正交函数构成的正交系下计算积分。
3. 利用正交性定理，将积分转化为正交基上的系数计算，从而得到简化后的积分表达式。
五、变换法变换法即通过适当的变换将一些定义域较为复杂的积分转化为更加简单的形式。
常见的变换有参数化、奇异变换、极坐标变换等。
1. 找到适当的变换使定义域变得简单。
求二重积分的方法
求二重积分的方法在数学中，二重积分是一种重要的积分形式，它在物理、工程、经济学等领域都有广泛的应用。
求解二重积分的方法有很多种，本文将介绍几种常见的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握二重积分的计算技巧。
一、直角坐标系下的二重积分。
在直角坐标系下，二重积分的计算通常采用先对x进行积分，再对y进行积分的方法。
对于给定的二元函数f(x,y)，其在有界区域D上的二重积分可以表示为：∬f(x,y)dxdy。
其中积分区域D可以用不等式形式表示为D={(x,y)|a≤x≤b,g1(x)≤y≤g2(x)}，此时二重积分可以表示为：∬f(x,y)dxdy=∫(∫f(x,y)dy)dx。
其中内层积分是对y进行积分，外层积分是对x进行积分。
在实际计算中，可以先对y进行积分，再对x进行积分，也可以反过来进行计算，选择合适的积分顺序可以简化计算过程。
二、极坐标系下的二重积分。
在某些情况下，使用极坐标系进行二重积分的计算会更加方便。
对于给定的二元函数f(x,y)，其在极坐标下的二重积分可以表示为：∬f(x,y)dxdy=∫(∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ。
其中积分区域D可以用极坐标形式表示为D={(r,θ)|α≤θ≤β, h1(θ)≤r≤h2(θ)}。
在极坐标系下，二重积分的计算可以简化为对r和θ的积分，适用于一些具有极向对称性的函数。
三、变量代换法。
对于一些复杂的二重积分，可以通过变量代换的方法来简化计算。
常见的变量代换包括直角坐标系到极坐标系的转换、直角坐标系到柱坐标系的转换、直角坐标系到球坐标系的转换等。
通过适当的变量代换，可以将原积分区域D变换为一个更简单的区域，从而简化积分的计算。
四、二重积分的性质。
在计算二重积分时，还可以利用二重积分的性质来简化计算。
例如，二重积分具有线性性质，可以将一个复杂的二重积分拆分为若干个简单的二重积分相加；二重积分的积分区域可以进行分割，将原积分区域分割为若干个简单的子区域，分别计算再相加等。
二重积分计算技巧总结
4 2 首先 O 在区域内，所以 r 0 ，然后过 O 作射线，射线与 y 1 相交，就将参数方程代入被
O 与区域内点的连线的张角范围为 : 交的曲线得到 r sin 1 r
1 1 ，于是 D : ;0 r sin 4 2 sin
y2 y u u ,v 则 x 2 , y . v v x x
1 v2 J 1 v
2u u v3 4 u v 2 v
于是原区域 D 变换成新区域 D m, n , ，这样原来不规则的区域变成了矩形区域， 方便积分。 面积 S
1dxdy 1 J dudv
1 1 1 (u v) , y (v u ) ，则 J= 2 2 2 D 的边界一一对应得到新区域 D ： 1 x 0 u v 0 u v 2 1 y 0 v u 0 u v 2 x
x y 1
1 1 u v v u 1 v 1 2 2
D D
dv n (n 2 m 2 )( 3 3 ) u d u v 4 m 6 3 3
（2）极坐标下的二重积分 极坐标代换法基本格式为：
x r cos y r sin
被积函数 f x, y 化为 f r cos , r sin r ， 接下来重要的是讨论 r , 的范围。 其中 r , 的 范围由于积分次序的不同而不同。 若积分次序为先 r 后 ，则对应方法为“张角 射线” ，其中确定张角的方法为，原点与区 域内点的连线的最小、最大夹角；作射线确定 r 的范围：过原点 O 作射线，把先后与所作 射线相交的边界线化成 r r 的形式，就确定出 r 的范围。 比如：求 f x, y dxdy ，其中 D 的范围如图：
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若区域如图， 则必须分割.
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
D3 D1
D2
.
D
D1
D2
D3
例 1
改变积分
1
dx
1 x
f ( x, y)dy 的次序.
00
解 积分区域如图
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
（6）若D对称于原点，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 0.
D
（7）若D对称于直线y x,则 f ( x, y)d f ( y, x)d .
D1
D2
(或 f ( x, y)d f ( y, x)d ). 对称于直线y x
(t
1 2
sin
2t
)
|04
1
4 说明：
(11分）
形如积分 f ( x, y) d , max{ f ( x, y), g( x, y)}d ,
D
D
min{ f ( x, y), g( x, y)}d , sgn{ f ( x, y) g( x, y)}d
D
D
等的被积函数均应当做分区域函数看待，利用积分的
的可加性分区域积分。
(17)(本题满分 11 分)2008 年数学二、三 y
计算 max{xy,1}dxdy,其中
D
D={(x, y) | 0 x 2,0 y 2}.
解 曲线xy 1将区域D分成
2
D2 D1
o
2x
两个区域D1和D2
D
(2分） o D
x
1
2 dy
1 y2 ( x3 3 xy2 )dx
（5分）
0
2y
1
（1 1 2 y2 3 y4 )dy 3
1
(
y2
y4 )dy(8分）
20
1
1
dy (1 x)dx dy
2 y2
( x 1)dx
(4分）
0
y
0
1
1
(x
0
x2 2
)
|1y
dy
1
(
0
x2 2
x) |1 2 y2 dy
1
(2 y
2 y2 )dy
0
(2 y
y2 2
)
|10
4 2cos2 tdt
0
(6分）
2
1 2
D
D
的两部分区域记为D1和D2.
这种情况常称为积分区域D具有关于积分变量的对称性 或称为二重积分的轮换对称性(即若积分区域或被积函 数的表达式中，将其变量x, y互换，其表达式不变）。
(18)(本题满分 11 分)2010 年农学门类
计算二重积分[ x sin( xy)]dxdy,其中区域
z x y，z xy， x y 1，x 0 ，y 0 .
解 曲面围成的立体如图.
所围立体在xoy 面上的投影是
0 x y 1, x y xy,
所求体积V ( x y xy)d
D
1dx 1x ( x
0
0
y
xy)dy
(11分）
D2
o1
D1
2
x
2
利用对称性简化计算
在利用对称性计算重积分时，不仅积分区域要 对称，而且被积函数也要对称（即对x(或y）是 奇或偶函数），两者缺一都不能使用。
（1）若D对称于x轴，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 2 f ( x, y)d .
（3分)
max{xy,1}dxdy
D
xydxdy dxdy
(5分）
D1
D2
2
= 1 dx
2
2
1 xydy
x
1
2
2 dx dy
0
0
2
1 dx
2
1
x dy(8分）
0
y
= 15 ln 2 1 2ln 2 4
19 ln 2 4
2
（4）若D对称于y轴，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 0.
D
（5）若D对称于原点，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 2 f ( x, y)d .
D
D1
其中D1是D位于y轴右侧(或左侧）的部分。
1
计算积分 I 2 dy
yy
1
e xdx dy
yy
e xdx.
1
1
4
2
1 2
y
y
解 e xdx不能用初等函数表示
先改变积分次序.
y x
1
xy
原式 I dx e xdy
1 2
x2
y x2
1 x(e e x )dx 3 e 1 e.
1 2
82
(16)(本题满分 7 分)2006 年数学三、数学四
x y
b b
1 2
b
dy
a
b f 2 (x) dx
a
b
dx
a
b f 2(y)dy
a
ba 2
b f 2(x)dx
a
b a
f
2
(
y)d
利y 用
(b a) b f 2 (x)dx = 右端 2ab a2 b2 a
例 8 求由下列曲面所围成的立体体积，
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
D
c
1( y)
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直
x3 3
∣) 10
1 2
2
(2
x2
1
)2
d(2
x2
)
1
2 1
2 x2 dx
1 6
1 3
(2
1
x2)2
|1
2
2
2
cos2
tdt
4
1 6
+
1 3
(t
1 3
sin
2t )
|2
4
1
4
(9分） (11分）
解法2 x 1dxdy
D
1
二、选择题（每小题3分，共15分）2007级期末考试
5、设D是圆域x2 y2 a2 ,(a 0)D1是D在第一象限
部分区域，则 ( x y 1)d ( C )
D
A. 4 ( x y 1)d
D1
C. a2
B. ( x y 1)d
D1
D. 0
2
x
1 1 dy
2
1 f ( x, y)dx
2
dy
1
2 f ( x, y)dx __1_d_x__1x__f_(_x_,_y_)_d_y .
y
2
y
例 4 求 ( x2 y)dxdy，其中D 是由抛物线
D
y x2和 x y2所围平面闭区域.
x y2
6
1
4
0
2 y1
8
2 y
dy
f ( x, y)dx dy
f ( x, y)dx
___1_____2 _y__1 ___________0_____2__y_1_________ .
一、填空题(本题15分,每小题3分)2006(224)级期末考试
4.交换积分次序：
(16)(本题满分 10 分)2010 年数学三
计算二重积分（x y)3dxdy,其中D由曲线
D
x 1 y2与直线x 2 y 0y
x 2y 0围成。 解 区域D如图所示
oD
x
原式 （x3 3x2 y 3xy2 y3 )dxdy
D
y
( x3 3xy2 )dxdy
解 两曲线的交点
y x2
x
(0,0) y2
, (1,1),
y x2
( x 2
y)dxdy
1
dx
0
x
x
2
(
x
2
y)dy
D
1
[
x
2
(
x x2 ) 1 ( x x4 )]dx 33 .
0
2
140
例5 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
一、利用直角坐标系计算二重积分
如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)