第二节利用极坐标计算二重积分
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二重积分的计算法2
D
D
及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. 2. ( x 2 y 2 )d 其中 D 是由直线
D
y x , y x a, y a, y 3a(a 0)所围成的区域. 3. R2 x 2 y 2 d ,其中 D 是由圆周
D
x 2 y 2 Rx 所围成的区域. 2 2 2 2 4. , 其中 D : x y 3. x y 2 d
三、设平面薄片所占的闭区域 D 是由螺线 r 2 上一段
弧( 0 )与直线 所围成,它的面密度为 2 2
( x , y ) x 2 y 2 ,求这薄片的质量.
四、 计算以 xOy 面上的圆周 x 2 y 2 ax 围成的闭区域为底， 而以曲面 z x 2 y 2 为顶的曲顶柱体的体积.
D1
(1 x y )
R
D1
(1 r )
r 2 1 (1 R ) 1 d d r 2 1 0 (1 r ) 0
I lim I ( R) lim
R
2 1 (1 R ) R 1
2
, 当 1 1 1 当 1 ,
d e r rdr
2
2 0
a
a x
0
D
2
0
1 r2 a ( e ) 0 d 2
2
0
1 a2 a2 (1 e )d (1 e ). 2
通常当积分区域的边界由圆弧、射线组成且被积函数 y 含有x y ， 等形式时，用极坐标计算较为简单. x
2 2
例 2 计算 ( x 2 y 2 )dxdy，其 D 为由圆 x 2 y 2 2 y ，
利用极坐标系计算二重积分
π 2 π 2 a cos θ 0
f ( r , θ)dr ( a ≥ 0).
思考题解答
π π ≤θ≤ D: 2 2 , 0 ≤ r ≤ a cos θ
I = ∫ dr ∫
0 a r arccos a r arccos a
y
θ = arccos
D
r a r = a cosθ
a x
o
f ( r ,θ )dθ .
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 示为极坐标形式的二次积分为______________. 3 、 将 ∫ dx ∫
0 2 3x x
x2
f ( x 2 + y 2 )dy 化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 次积分为______________________. 4 、 将 ∫ dx ∫
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
).
例3
求广义积分∫0 e
2
∞
x2
dx .
2
解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }
2
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
2 2 2
D1
D S2 D
二、利用极坐标系计算二重积分
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
r = ri + ri
θ = θ i + θ i
ηi )xi yi
λ →0 i 1 = n
f ( r , θ)dr ( a ≥ 0).
思考题解答
π π ≤θ≤ D: 2 2 , 0 ≤ r ≤ a cos θ
I = ∫ dr ∫
0 a r arccos a r arccos a
y
θ = arccos
D
r a r = a cosθ
a x
o
f ( r ,θ )dθ .
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 示为极坐标形式的二次积分为______________. 3 、 将 ∫ dx ∫
0 2 3x x
x2
f ( x 2 + y 2 )dy 化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 次积分为______________________. 4 、 将 ∫ dx ∫
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
).
例3
求广义积分∫0 e
2
∞
x2
dx .
2
解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }
2
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
2 2 2
D1
D S2 D
二、利用极坐标系计算二重积分
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
r = ri + ri
θ = θ i + θ i
ηi )xi yi
λ →0 i 1 = n
第2节 二重积分的计算法
23
例 2 计算 ex2 y2dxdy ，其中 D 是由中心在
D
原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.
解 在极坐标系下
D : 0 a,0 2 .
ex2 y2dxdy 2 d ae2 d
0
0
D
(1 ea2 ).
24
例 3 求广义积分 ex2dx . 0
解 D1 {( x, y) | x2 y2 R2 }
y x 所围的闭区D 域.
y
解法1.
将D看作X–型区域,
则D
:
1
y
x
y
yx
2x
2
1 x 2 1
I dx x ydy
11
1
1 2
x
y2
x dx
1
0 1x2 x
解法2.
2
2
1 2
x3
1
将D看作Y–型区域,
2
2
1x dx9
28则Fra bibliotekD:
y 1
x y
2 2
2
I dy x ydx
1 2
x2y
2d
y
y
2y
1 2
y3
1y
1
1
dy9 8
8
例 2
改变积分
1
dx
1 x
f ( x, y)dy 的次序.
00
解 积分区域如图
y 1 x
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
00
9
例3. 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x2
I d x 2 f ( x, y)d y d x
第二节 二重积分的计算法(2)
二重积分的计算法( 第二节 二重积分的计算法(２)
一、利用极坐标计算二重积分 二、小结 思考题
1
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一、极坐标系下二重积分的计算
1 1 2 2 ∆σ i = ( ri + ∆ri ) ⋅ ∆θ i − ri ⋅ ∆θ i 2 2 1 r = ri + ∆ri 2 = ri ∆ ri ∆ θ i + ( ∆ ri ) ∆ θ i r = ri 2 当( ∆ri , ∆θ i ) → ( 0,0)时,
D
8
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观察练习］ ［观察练习］ 下列各图中区域 D 分别与 x , y 轴相切 的变化范围是什么? 于原点,试 于原点 试问θ 的变化范围是什么? (1)
y
r = ϕ(θ )
(2) y
r = ϕ(θ )
D
D
o x
(2) −
x
o
答: (1) 0 ≤ θ ≤ π ;
π
2
≤θ ≤
dσ = rdrdθ
又由点的极坐标与直角坐标之间的关系， 又由点的极坐标与直角坐标之间的关系，
x = r cos θ , y = r sin θ ∴ f ( x , y ) = f ( r cos θ , r sin θ )
故在极坐标下， 故在极坐标下，二重积分化为
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ )rdrdθ .
x2 + y2 = 1
x+ y =1
∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫0 dθ ∫
2
π
1
D
1 sin θ + cosθ
f ( ρ cosθ , ρ sinθ ) ρdρ .
一、利用极坐标计算二重积分 二、小结 思考题
1
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一、极坐标系下二重积分的计算
1 1 2 2 ∆σ i = ( ri + ∆ri ) ⋅ ∆θ i − ri ⋅ ∆θ i 2 2 1 r = ri + ∆ri 2 = ri ∆ ri ∆ θ i + ( ∆ ri ) ∆ θ i r = ri 2 当( ∆ri , ∆θ i ) → ( 0,0)时,
D
8
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观察练习］ ［观察练习］ 下列各图中区域 D 分别与 x , y 轴相切 的变化范围是什么? 于原点,试 于原点 试问θ 的变化范围是什么? (1)
y
r = ϕ(θ )
(2) y
r = ϕ(θ )
D
D
o x
(2) −
x
o
答: (1) 0 ≤ θ ≤ π ;
π
2
≤θ ≤
dσ = rdrdθ
又由点的极坐标与直角坐标之间的关系， 又由点的极坐标与直角坐标之间的关系，
x = r cos θ , y = r sin θ ∴ f ( x , y ) = f ( r cos θ , r sin θ )
故在极坐标下， 故在极坐标下，二重积分化为
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ )rdrdθ .
x2 + y2 = 1
x+ y =1
∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫0 dθ ∫
2
π
1
D
1 sin θ + cosθ
f ( ρ cosθ , ρ sinθ ) ρdρ .
二重积分计算法
11
2
12
22
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也
可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视
积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体 的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
x2 y2 R2, x2 z2 R2 它们在第一象限的图形如下
二、利用极坐标系计算二重积分
由二重积分的定义知
n
D
f
(x,
y)d
lim
0 i 1
f
(i ,i ) i
极坐标与直角坐标之间的关系
__
__
i ri cos i , i ri sin i
n
lim
0
i1
f
(i
,i
)
i
n_
__ _ _
D
c 1(y)
上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这
个积分也常记作
d 2 (y)
f (x,y)d dy f (x, y)dx 2'
Dc 1(y)来自二重积分化为二次积分时,确定积分限是解题关键.
若将其交换积分次序,先对x积分后对y积分,则其积分 区域如下图
交换积分次序为
2x
dx f (x, y)dy
lim
0
i1
f
(ri
cosi
,
ri
sin
i
)
ri
ri
i
即： f (x, y)d f (r cos ,r sin )rdrd
2
12
22
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也
可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视
积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体 的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
x2 y2 R2, x2 z2 R2 它们在第一象限的图形如下
二、利用极坐标系计算二重积分
由二重积分的定义知
n
D
f
(x,
y)d
lim
0 i 1
f
(i ,i ) i
极坐标与直角坐标之间的关系
__
__
i ri cos i , i ri sin i
n
lim
0
i1
f
(i
,i
)
i
n_
__ _ _
D
c 1(y)
上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这
个积分也常记作
d 2 (y)
f (x,y)d dy f (x, y)dx 2'
Dc 1(y)来自二重积分化为二次积分时,确定积分限是解题关键.
若将其交换积分次序,先对x积分后对y积分,则其积分 区域如下图
交换积分次序为
2x
dx f (x, y)dy
lim
0
i1
f
(ri
cosi
,
ri
sin
i
)
ri
ri
i
即： f (x, y)d f (r cos ,r sin )rdrd
二重积分的计算法
24 3
6 1 8
整理ppt
15
例6. 计算 sinxdxdy, 其中D 是直线 yx,y0, Dx
x所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行,
因此取D 为X – 型域 sinxdxdy Dx
:
0
D
:
0
dx
0
x
y x
x sin x 0x
d
y
y yx
D x
o x
0
sinxdx
x
x x yd 1
y 2 1
1 2
x
y
2
x dx
1
2 y
yx
1
2
1
12x312xdx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则D
:
1y2o yx2
1 x2x
2
I d y
1
2yx y d
x
2 1
1 2
x
2
y
2
2
dy
y
1
2y1 2y3
dy
9 8
整理ppt
14
例5. 计算 Dxyd, 其中D 是抛物线
解 y 2ax x y 2
2a
y 2axx2 xaa2y2 2a
Dx:
0x2a 2axx 2axx2
a 2a
整理ppt
12
0 ya
Dy1
: y2 2a
x
a
a2 y2
2a
Dy2:2ax0ayaa2y2
a
a y 2a
Dy3
:
y2 2a
x
2a
a 2a
= 原式
利用极坐标系计算二重积分
利用极坐标系计算二重积分二重积分可以用极坐标系来计算。
极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，其中点的位置由距离原点的距离和与正x轴的夹角表示。
极坐标与直角坐标系之间的转换关系如下：x = r * cosθy = r * sinθ其中，x和y是直角坐标系下的坐标，r是点到原点的距离，θ是点与正x轴的夹角。
对于二重积分∬f(x, y)dA，在极坐标下可以表示为∬g(r,θ)rdrdθ，其中，g(r, θ)是将f(x, y)用极坐标来表示。
下面我们将详细介绍如何利用极坐标系计算二重积分。
首先，将被积函数f(x,y)转换为极坐标形式g(r,θ)。
具体来说，我们将x和y替换为r和θ，然后利用极坐标与直角坐标的转换关系，将f(x,y)表示为g(r,θ)。
这个转换过程需要根据具体的被积函数进行分析和计算。
接下来，我们需要确定积分区域。
在极坐标系下，积分区域可以用极坐标表示。
通常情况下，我们将极坐标的范围确定为r的区间[a,b]和θ的区间[α,β]，其中a、b、α和β都是常数。
这样，二重积分就变成了在确定的极坐标区域上的积分。
然后，我们将二重积分∬f(x, y)dA 转换为极坐标下的二重积分∬g(r, θ)rdrdθ。
这个过程需要用到雅可比行列式的公式，即 dA = r dr dθ。
最后，我们按照以下步骤来计算极坐标下的二重积分：1.确定极坐标的范围[a,b]和[α,β]。
2.将被积函数f(x,y)转换为极坐标形式g(r,θ)。
3. 利用雅可比行列式的公式，将二重积分∬f(x, y)dA 转换为∬g(r, θ)rdrdθ。
4.根据极坐标下的积分区域，确定积分范围。
5.将极坐标下的二重积分分解成两个单重积分，先对θ进行积分，再对r进行积分。
6.依次进行积分计算，最后得到结果。
需要注意的是，在进行计算时，要注意被积函数的连续性和积分区域的对称性，以便简化计算。
综上所述，利用极坐标系计算二重积分的步骤包括确定被积函数的极坐标形式、确定积分区域、转换为极坐标下的二重积分、分解为两个单重积分、依次进行积分计算。
在极坐标系下计算二重积分
解: (1) 利用对称区间奇偶性，得 I x2dxdy D
Q D x 2d xdy D y 2dyd x
y
I1 (x2y2)dxdy 2D
D o 1x
1 2d 1r3dr
20 0
4
二重积分
综合题： 计算 I (x2xyex2y2)dxdy,其中: D
o
A
D
f
(x,
y)dxdy d
2()f(rcos,
1()
rsin)rdr.
二重积分
例 1 计算 x2 y2 d ， D {( x, y) | 2 x2 y2 4 2}．
D
y
解：D 在极坐标系下可表示为
{ ( r ,) |0 2 , r 2 }
O
x
x2 y2d r rdrd
D
D
2d 2r2dr
0
2
0
r3
(
3
)
|2
d
2 7 3d 1 4 4
03
3
二重积分
例2. 计算 (x2y2)dxdy, 其中D 为由圆 x2 y2 2y, D
x2 y2 4y及直线 y 3x 0, x 3y 0, 所围成的
x
x y
1 x2 y2
是关于Y的奇函数，
D
xy 1x2 y2
dxdy0
D
xy1 1x2 y2
dxdy
D
1 1x2 y2
dxdy
2
2d
0
1r 0 1r2 dr
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它的底为xoy平面的区域D : 0 y
它的顶为柱面 z R2 x2 ,
故由二重积分的几何意义得：
R2 x2，0 x R, z
z R2 x2
V 8 R2 x2dxdy
D
R
8 dx
R2 x2
R2 x2dy
0
0
R
80
(
R2
x
2
)dx
8(R2 x
1 3
x
3
)
R 0
16 R3 . 3
其中 i 表示相邻两圆弧的半径的平均值.
提示
i
1 2
(
i
i )2
i
1 2
i2
i
1 2
(2i
i
)i
i
i
(i
2
i )
i
i
i i i
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族 同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
小区域iii的面1212((积ii为ii))22ii1212i2i2ii iiiiii 其中 i 表示相邻两圆弧的半径的平均值.
y
0 R，0 .
R
I
2 d
R e 2 d
0
0
(1 eR2 ) .
2 2
0
1 (1 eR2 )d
2
o
4
y R2 x2
D Rx
例2. 求I
a
dx
a2 x2 ( x2 y2 )dy.
0
0
y
解： I ( x2 y2 )dxdy
a
y a2 x2
D
2 d
a 2 d
0
0
2
a 4 d
04
a4 .
8
D o
ax
例 3.求广义积分 . ex2 dx 0
e x2 y2 dxdy
D
解: 设 D1 {( x, y) | x2 y2 R2，x 0，y 0},
D2 {( x, y) | x2 y2 2R2，x 0，y 0},
S {(x, y) | 0 x R, 0 y R},
0
0
D
要求(1)或(2)就必须解决积分 et2 dt, o
Rx
而 et2 dt是存在的，但积不出来,
故在直角坐标下无法求 出该积分.
二、利用极坐标系计算二重积分
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族
同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
小区域i的面积为 ii 1212((iiii))22ii1212i2i2ii iiiiii
在i 内取点 ( i ,i ) 设其直角坐标为( i i)
则则有有 iiiiccoossii,, iiiissininii.. 于于是是
n
n
lim
0 i1
f
(i ,i ) i
lim
0 i1
f
(i
cosi,
i
sin
i)i
ii
即
f (x, y)d f ( cos, sin)dd .
D
D
二、利用极坐标系计算二重积分
sinsin))dd.
.
DD
((22)) ff((ccooss, , sisnin))dddd0202dd00(()f) (f(cocsos,,sinsin))dd. . DD
例1. 求I e x2 y2 dxdy，其中D：x2 y2 R2，x 0，y 0.
D
解： 在极坐标下区域 D可表示为：
例1. 求I emax{ x2，y2 }dxdy，其中D {( x，y) 0 x 1，0 y 1}(02年).
D
解：I
emax{ x2，y2 }dxdy emax{ x2，y2 }dxdy
D1
D2
e x2dxdy e y2dxdy
D1
D2
1
dx
x e x2 dy
,
4
4
,
I2
4
4
,
I
4
所求广义积分
0
e
,
x2
dx
2
.
例4. 求 x2 y2d，其中D : x2 y2 2x，y 0.
D
y
解： 在极坐标下，区域D可表示为：
0 2cos，0 .
1.
极坐标与直角坐标的关系：
x y
cos sin
.
2. 极坐标下面积元素： d dd
3. 二重积分在极坐标下的变换公式：
f ( x, y)dxdy f ( cos , sin )dd .
D
D
F(， )
4. 计算方法：.化为关于，的二次积分，
特别：
一般是先对，再对积分
如果积分区域可表示为
o y
xy
y R2 x2
D
o
Rx
例 求 e x2 y2 dxdy，其中D：x2 y2 R2，x 0，y 0.
D
解：如图D既是X型区域又是Y型区域. y
故 I
R
dx
e dy R2 x2 x2 y2 (1)
0
0
R
y R2 x2
或 I
R
dy
e dx R2 y2 x2 y2 (2)
D2
S
DSD1 2
显然有 D1 S D2 . e x2 y2 0,
R 2R
e x2 y2 dxdy e x2 y2 dxdy e x2 y2 dxdy.
D1
S
D2
又 I e x2 y2 dxdy R e x2 dx R e y2 dy ( R e x2 dx)2;
0
0
0
I1 D1
同理 I 2
(1Sex2y2
dxdy
2 d
R e
0
0
e x2 y2 dxdy (1
eD2
R
2
)
(
4 R e x2 dx)2
2 d
e2R2
(1
(1 e
4 ); I1
e 2R2 );
R
2
); I
I2,
当
4 R
时,
即( e x2 dx)2
0
0
I1
1
dy
y e y2 dx
0
0
0
0
D D2
D1
y x
1 xe x2 dx 1 ye y2 dy
0
0
1 e x2 2
1 0
1 e y2 2
1 0
e 1.
例2.求由柱面x2 y2 R2及x2 z2 R2所围立体体积.
解：由对称性得所求立体体 积为第一卦限部分体 积的8倍. 而第一卦限的部分立 体为一曲顶柱体，
二、利用极坐标系计算二重积分
二重积分在直角坐标下的计算公式
(1) f ( x，y)d
D
b
dx
2 ( x) f ( x，y)dy
a
1( x)
(X型区域),
(2)
f ( x，y)d
b
dy
2 ( x) f ( x，y)dx (Y型区域).
D
a
1(x)
注：(1) 先画D的图形，再选择公式，
(2)积分顺序从右到左.
D 1()2() ab 则
f ( cos , sin )dd
D
bd
2( ) f ( cos , sin )d .
a
1 ( )
讨论 区域如下图, 如何确定积分限?
(1)
(2)
提示
((11) )
ff((ccooss,
, sisnin))dddd b bdd(()f) aa 0 0
(f(cocsos,,