概率论 二重积分的计算(二)

二重积分在极坐标下的计算
利用极坐标计算二重积分积分特征
如果积分区域 D为圆、半圆、圆环、扇形域等， 2+y2)、 f ( y ), f ( x ) 或被积函数为f (x 等形式， x y 利用极坐标常能简化计算. 要点与步骤:
(1)用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用 极坐标计算;
(2) 画区域图, 列出型区域, 写成极坐标下的 二次积分.
二重积分在极坐标下的计算
f ( x , y )dσ f (r cos θ , r sin θ ) rdrd
D
D
二重积分在极坐标下的计算 二重积分在极坐标系下的表达式为
f ( x , y )dσ f (r cos θ , r sin θ )
D
rdrd
D
直角坐标系下与极坐标系下二重积分的转换公式
dxdy 其中D {( x, y) | x 0, y 0}
I e dx e dy ( e dx ) 0 0 0 4 利用极坐标计算H，D {(r , ) | 0 r ,0 } 2



D

y
2


x
2
2
2
D
I e


x2
x 2 y2 D sin(r ) rdrd r D
2 2

sin( x 2 y 2 )
dxdy
r2 r 1
0 d 1 sinrdr 4.
二重积分在极坐标下的计算
例5 计算二重积分

其中区域D为由 x y dxdy，
2 2
D x=0及 x2+y2=2y 围成的第一象限内的区域. 解 D的边界曲线为x2+y2=2y，其极坐标表达式
特殊地 D : r1 (θ ) r r2 (θ ),0 θ 2π, 且
r 1 ( ) r 2 ( ) o D
x
f (r cos θ , r sin θ )rdrdθ dθ f (r cos θ , r sin θ )rdr .
D
2π r2 ( θ ) 0 r1 ( θ )
sin r rdrd θ
o rπ
x
6π 2 .
二重积分在极坐标下的计算
sin( x 2 y 2 ) dxdy, 例4 计算二重积分 2 2 x y D 其中积分区域为 D {( x , y ) | 1 x 2 y 2 4}.
解
D {( r , ) | 1 r 2,0 2 }
3.2 二重积分的计算
复习
二重积分的计算 （累次积分） X-型
（一）在直角坐标系中 b y2 ( x ) f ( x, y )dxdy dx f ( x, y)dy
D
a
y1 ( x )
y
y y2 ( x )
y y1 ( x )
a
b
或 ( dy
d c
x2 ( y )
y f ( x , y ) 的特点,选择不同的坐标系来计算二重
积分是一个重要的问题.
二、二重积分在极坐标下的计算
二重积分在极坐标下的计算
极坐标(r , )与直角坐标 x, y )变换公式 (
则平面上任意一点的极 坐标(r , )与直角坐标( x, y)之间
如果选取以直角坐标系的原点O为极点， 以x轴为极轴，
D
D
e
( x2 y2 )
dxdy , 其中 D : x y a .
2 2 2
故 y
dθ e rdr 0
a r 2 0 0
2π
D
2π
1 r 2 a e 0 dθ 2
o
x
π (1 e
a2
).
x2
注：由于 e
的原函数不是初等函数 ,故本题
的变换公式为
极坐标 (r , )
r
x r cos y r si nθ
极点O 原点O

x
y
极轴X x轴
1.利用极坐标系计算二重积分
在直角坐标系下 f ( x , y )d f ( x , y )dxdy
D
D
在极坐标系下
f ( x , y )d f ( r cos θ , r sin θ )dσ
解
π x 3 y 0 θ1 6 π
x 2 y 2 2 y r 2 sinθ x 2 y 2 4 y r 4 sin
y 3 x 0 θ2
3
3
2
故 ( x y )dxdy d
2 2 D
6
r 2 rdr 15( 3 ). 2 sin
一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环形区域， 2 2 y x 而被积函数中含有 x y , , 项时, 采用极坐标系 x y 下的计算方法往往比较简便. 当积分区域由直线和除圆以外的其它曲线围成时，
无法用直角坐标计算.
二重积分在极坐标下的计算
例2 计算 I
D
dxdy 1 x2 y2
, D : x 2 y 2 1.
y
解 D ( r , ) | 0 r 1,0 2
I
D 2
rdrd 1 r
1
2
r 1
x
0 d 0
4 sin
二重积分在极坐标下的计算
例7 求广义积分 I

2


e
x2
dx.(泊松积分,例3.19）
解
因为被积函数为偶函数, 所以I 2
又因为被积函数 e x 的原函数不是初等函数,


0
e
x2
dx.
所以，不能直接用一元函数的广义积分计算。
令
H e
x
2
x2 y2
D
极坐标系下的面积微元 dσ如何表示?
设过极点O的射线与积分区域D的边界曲线的交点 不多于两点， 函数f ( x, y )在D上连续. 在极坐标系下， 用以极点O为中心的一族同心圆, 以及从极点出发的一族射线, 把区域D分成n个小区域，
o
D
D
A
设 为其中一个典型小闭区 ( 同时也表示该 域 小闭区域的面积), 它由半径分别为r和r r的同心圆 和极角分别为和 的射线所确定， 则 1 1 2 2 r r r (r r ) r 2 1 2 2 rr rr ( r ) 2 当r充分小时, 略去高阶无穷小量 D 1 2 ( r ) , 得 r r , 2 故面积微元为 d rdrd , o A 这样二重积分在极坐标系下的表达式为
r 2 sin θ , 此时D可以表示为 0 θ π , 0 r 2 sin θ，
x 2 y 2 dxdy r rdrd
dθ
π 2 0
2
y
D
2 sinθ
0
8 π 81 2 2 3 2 (1 cos θ )d cos θ cos θ cos θ 16 . 3 0 3 3 0 9 2 2 2 2 y y2 x y dxdy dy x 2 y 2 dx
0
1 r [ e ] 2
0
d 0
2
1 I2 d 2 4 4
所求广义积分 I

e dx
x2 2

x2
π.
正态分布



e
dx 2
二重积分计算方法总结：
二重积分可在两种坐标系下计算 .选取适当的坐标系 对计算二重积分的计算是至关重要的.
2
dxdy dx
a
e
e
( x 2 y 2 )
dy
dx
y
o
e
( x y )
2 2
dxdy a dy
a
a2 y 2 a y
2 2
( x 2 y 2 )
xe
D
x
x2
dx 或 ye
y2
dy
因此,针对不同形状的积分区域D以及被积函数
x1 ( y )
f ( x , y )dx ) Y-型
y
d
c
x x1 ( y)
x
x x2 ( y )
x
3.2 二重积分的计算
例 计算 e
解
( x2 y2 )
dxdy , 其中 D : x 2 y 2 a 2 .
a a2 x 2 a x
2 2
e
D
D ( x y2 )
f ( x , y )dxdy f ( r cos θ , r sin θ )rdrd θ . D
D
如何计算极坐标系下的二重积分？
化为二次积分或累次积分来计算
二重积分在极坐标下的计算
化为二次积分或累次积分来计算
在极坐标系下化二重积分为二次积分或累次积 分， 同样要解决下面两个问题：
D
2 sinθ 1 8 π 3 2 r dr r 0 dθ 02 sin 3 θdθ 3 3 π
π 2 0
D
o
x

0

0
二重积分在极坐标下的计算
例6 计算
2 2
(x
D
2
y )dxdy，其中D由圆x y 2y ,
2 2 2
x y 4y , x 3y 0, y 3x 0所围成的平面区域 .
D
D
②将区域D 的边界曲线换为极坐标系下的表达 式，确定相应的积分限. (2)将极坐标系下的二重积分转化为二次积分.
(3)计算二次积分.
二重积分在极坐标下的计算
例1 计算
0r a , 解 在极坐标系下 D : 0 θ 2π ( x2 y 2 ) r2 dxdy e rdrdθ e
2 2
解 积分域是圆环， D：0 θ 2π , π r 2π .
π2 x 2 y 2 4 π2
sin x 2 y 2 dxdy
y
r 2π

2π[ r cos r π cos rdr ]
2π
dθ r sin rdr
0 π
2π π
π2 x 2 y 2 4 π2 2π 2π
（1）选择积分次序 （2）确定积分的上、下限
2.极坐标系下化二重积分为二次积分
（只研究先对r后对θ的积分次序） 型区域
下面根据极点O与区域D的位置分三种情况讨论 r (θ ) 2 (1)若极点O在区域 D 之外 D r1 (θ ) D : α θ β, r1 (θ ) r r2 (θ ), 则有 β
3.极坐标下二重积分计算的基本步骤
(1)将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的 二重积分. ① 将 x r cos θ , y r sin θ 代入被积函数, 将面积元素 dxdy 换为 rdrd. , 则
f ( x, y )dxdy f (r cos θ , r sin θ )rdrdθ .
D
α
0
二重积分在极坐标下的计算 (3) 若极点O在区域D的内部
D: 0 θ 2π, 0 r r (θ ). 则有
f (r cos θ , r sin θ )rdrdθ
D
r r ( )
D
o
dθ
0
2π
r (θ )
x
0
f (r cos θ , r sin θ )rdr .

β
D
f ( r cos θ , r sin θ )rdrdθ
r2 ( θ ) r1 ( θ )
o
D
α
x
r r (θ )
dθ
α
f ( r cos θ , r sin θ )rdr .
β
(2) 极点O在区域D的边界线上 α o x ，0 r r ( ), 则有 r (θ ) β f (r cos θ , r sin θ )rdrdθ dθ f (r cos θ , r sin θ )rdr .
一般地 ,
rdr 1 r2
2 .
2
1
1
r1 r r2
f ( ) g(r )rdrd
2
f ( )dx rg ( r )dr
r2 r1
二重积分在极坐标下的计算
例3 计算积分
π2 x 2 y 2 4 π2
sin
x y dxdy . (例3.14)
2
令
H e
D
x y
2
所以 H e
D
利用极坐标计算H， D {( r , ) | 0 r ,0 } 2
wenku.baidu.com x2 y2
2

2
I dxdy 4
dx 2

0
e
x2
dx
2
D
r2
dxdy 0 d 0 e
2
rdr