2012哈佛大学-麻省理工数学竞赛(高中2月赛)geometry部分
许康华专集（截至2021-02-02）
许康华专集（截至2021-02-02）2021-02-02 一道数论竞赛题的解答2021-01-28 一道平面几何竞赛题的解答2021-01-17 一道江苏省高中数学竞赛题的另解2021-01-14 一道2019年韩国初中数学奥林匹克试题解答2021-01-12 一道巴尔干竞赛题的另解2021-01-06 一道复数题解答的纠正2021-01-03 数学专业测试练习题2020-11-16 从一个五元不等式的证明谈起2020-11-04 第三届刘徽杯数学竞赛第二天第6题解答2020-10-20 一个三元不等式的另证2020-10-14 一个三元最值题的另解2020-10-11 一个三元最值题的解答2020-08-24 一道平面几何题的解答2020-08-05 竞赛生每日一题330解答2020-08-01 竞赛生每日一题(333)：一个IMO候选题的推广2020-07-29 竞赛生每日一题(330)：一个条件约束多元等式2020-07-24 一道求函数值域竞赛题的别解2020-07-21 竞赛生每日一题320解答2020-07-18 一道不等式竞赛题的解答2020-07-18 竞赛生每日一题(320)：一道递推不等式题2020-06-28 2020年北京数学邀请赛两题的解答2020-06-20 竞赛生每日一题(292)：一个组合最值问题2020-06-16 两道百子菁英计划赛题的解答2020-05-27 一道函数最值竞赛题的推广2020-05-20 一道竞赛训练题的别解2020-05-17 一道初中数学竞赛题的解答2020-05-13 几道数论征解题2020-05-08 一个欧拉函数问题2020-05-05 一道华罗庚金杯赛题的解答2020-04-22 一道高斯函数竞赛题的解答2020-04-19 竞赛生每日一题(230)：一个组合数不等式2020-01-30 竞赛生每日一题(150)：一道数论题2020-01-29 2019年IMO第四题推广2020-01-24 竞赛生每日一题(144)：一道数论题2019-12-28 有奖征解第二届刘徽杯第2题的加强问题2019-12-24 第二届刘徽杯第2题参考答案2019-11-02 竞赛生每日一题044解答2019-10-16 竞赛生每日一题(044)：一个组合数学问题2019-10-11 竞赛生每日一题(039)：一个正整数的表示问题2019-10-03 竞赛生每日一题(031)：一个离散最值问题2019-06-21 组合数的一个同余性质2019-06-12 三个数学征解问题2019-05-28 一道不等式竞赛题的别证2019-05-08 一道数论竞赛题的解答2019-04-28 图论中的NP－完全问题举例2019-03-28 一道函数方程题的解答2019-03-20 一道IMO组合题的另解2019-02-20 Ramsey定理的一种推广2019-02-18 关于正方形的勾股剖分2019-02-13 一个高斯函数题的解答2019-01-27 参数法求最值两例2019-01-17 一道数论竞赛题2018-12-26 一道国际数学奥林匹克压轴题的简证2018-12-25 高中数学竞赛题的分级2018-12-05 Euclid平面上8点间的不同距离2018-11-28 一个数论问题的初步结果2018-11-26 难题有奖征解2018-11-11 两个有奖征解问题2018-11-05 欧拉定理推广的一个证明2018-11-01 一个与欧拉函数有关的恒等式2018-10-26 一道澳大利亚竞赛题的证明2018-10-20 刘徽杯第5题与完全图的优美性2018-10-12 谈谈刘徽杯第5题的命题2018-09/12 集合与函数近两年竞赛新题2018-09/11 2018年全国高中数学联赛压轴题解答2018-09/01 2018年波兰数学奥林匹克第4题解答2018-08/28 2018年波兰数学奥林匹克（决赛）第2题解答2018-08/23 一道2018年华杯赛题解答2018-08/17 2018中国西部数学邀请赛第二天试题2018-08/16 2018年西部数学奥林匹克2018-08/15 北大数学营与2018年中国女子数学奥林匹克第二天试题2018-08/14 北大数学营试题与2018年中国女子数学奥林匹克(第一天)试题2018-08/08 第十五届中国东南地区数学奥林匹克试题2018-08/06 高联二试整除性经典题选2018-07/20 2018中科大自主招生试题2018-07/12 2018 年全国高中数学联合竞赛辽宁省初赛试卷及参考答案2018-07/11 一道组合数学竞赛题的解答2018-07/11 2018年第59届IMO试题（第一天、第二天）2018-07/10 2018年第59届IMO第一天试题2018-07/08 一道组合数学竞赛题的解答2018-07/02 2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷2018-07/02 第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中二年级组)2018-07/01 2018全国高中数学联赛广东赛区选拔赛参考答案2018-07/01 2018年高中数学联赛天津市预赛参考答案与评分标准2018-07/01 2018年湖南省高中数学联赛B卷答案2018-07/01 2018年全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案2018-06/30 第23届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组练习用)2018-06/29 复旦、上海交大等自主招生考试题及清华飞测等2018-06/25 2018年欧洲女子数学奥林匹克解答(全英文)2018-06/25 2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 2018-06/16 一道有奖征解题2018-06/14 两道征解题2018-06/09 2018年高考数学全国卷Ⅱ压轴题解答2018-06/08 2018年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷2018-06/08 2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学2018-06/08 2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学2018-06/07 2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)2018-06/07 2018年浙江省理科高考数学试卷2018-06/07 2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(A卷)2018-05/26 有奖问题征解2018-05/23 2018年高考数学浙江试卷几道模拟压轴题2018-05/21 2018年高考数学全国试卷I模拟压轴题2018-05/16 许康华三道数学征解问题2018-05/06 一道不等式竞赛题的解答2018-04/30 孪生素数与不定方程2018-03/28 一道2018年美国数学邀请赛的推广2018-03/04 从一道香港数学奥林匹克竞赛题谈起2018-02/27 组合数学有奖征解问题三道2018-02/15 一道数论有奖征解题2018-02/09 高中数学竞赛中的高斯函数[x]2018-01/25 2017年全国高中数学联赛天津市预赛压轴题多解2018-01/22 初中奥数中的离散最值问题2018-01/02 一道数列竞赛题的解答2017-12/27 一道小奥希望杯培训题的解答2017-12/20 数学竞赛中的二次函数2017-11/30 一道韩国数学奥林匹克试题解析2017-11/22 一道递推数列竞赛题的常规解法2017-11/13 一道中国数学奥林匹克(CMO)试题的别解2017-11/02 《数学通报》问题3276解答2017-10/27 许康华征解题二则2017-10/01 谈谈装箱问题2017-09/08 “数学通报”2017年第8期中一个问题的由来2017-08/20 一道北京大学2010年数学夏令营试题解析2017-08/10 许康华老师用容斥原理解三道省赛压轴题2017-07/03 许康华再解2009年高中数学联赛二试数论题2017-06/11 最小公倍数2017-06/05 详解一道高考解析几何题2017-05/27 一个三角不等式有奖征解题2017-05/23 一个多元函数最值问题2017-05/16 四道数论练习题的解答2017-05/11 一道2016年俄罗斯数学奥林匹克试题解析2017-05/09 一个简单的集合问题2017-05/05 关于2016年中国科技大学自主招生压轴题2017/04/27 平方和与四次方和2017/04/25 2014年国家集训队选拔考压轴题的变式2017/04/12 2012年北京大学自主招生压轴题的推广2017/04/12 关于图类B(n,r,m)的优美性2017/04/06 许康华三个有奖问题2017/03/31 Erdos-Ko-Rado定理2017/03/29 数学问题讨论2017/03/23 一道2015年全国高联湖北省预赛题的推广2017/03/22 一道2012年IMO预选题2017/03/14 一个不定方程题的解析2017/03/14 一个典型不等式的若干证法(1)2017/03/13 骆来根老师近期文章专辑2017/03/11 平面格图的一个矩形计数问题(续上期)2017/03/09 平面格图的一个矩形计数问题2017/02/27 初中数学竞赛讲座——高斯函数2017/02/20 一道罗马尼亚国家队选拔考试题解析2017/02/14 一道IMO预选题的解析2017/01/30 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2012年全国高中数学联赛组合数学冲刺试题
2014全国高中数学联赛组合冲刺试题（2014.09.1） 1.（本题满分50分）设,nk为大于1的整数，2kn.证明：存在2k个不被n整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被n整除. （2013年全国联赛）
2、（本题满分50分）设A是一个93的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)91,31(nmnm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A
中的一个11的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．（2011年全国联赛）
3、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形12nAAA的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？ （2010年全国联赛）
4、（本题满分50分）在非负数构成的39数表 111213141516171819212223242526272829313233343536373839
xxxxxxxxxPxxxxxxxxxxxxxxxxxx
中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390xxx，27x，37x，18x，
38x，19x，29x均大于．如果P的前三列构成的数表
111213212223313233
xxxSxxxxxx
满足下面的性质()O：对于数表P中的任意一列123kkkxxx（1k，2，…，9）均存在某个123i，，使得
123minikiiiixuxxx≤，，．
求证： （ⅰ）最小值123miniiiiuxxx，，，1i，2，3一定自数表S的不同列．
（ⅱ）存在数表P中唯一的一列***123kkkxxx，*1k≠，2，3使得33数表
武亚杰 童永会 李济明 2012年数学建模B题解析
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：河西学院参赛队员(打印并签名) ：1. 武亚杰2. 童永会3. 李济明指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张飞羽魏瑛源日期： 2012 年 9 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：太阳能小屋的设计摘要随着当今社会资源的匮乏，合理利用能源显得越来越重，其中太阳能做为一种新能源，给人们的生活和生产带来了很多帮助。
在设计太阳能小屋时，需在建筑物表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。
因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋表面的优化铺设是很重要的问题。
首先，运用EXCEL，对附件2-附件5的数据进行处理，特别是得到了给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表，详细结果见附件2；其次，建立了线性规划模型，运用EXCEL,对三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的优化铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益及投资的回收年限。
2003-2008哈佛-MIT数学竞赛题(HMMT)
5. Consider a 2003-gon inscribed in a circle and a triangulation of it with diagonals intersecting only at vertices. What is the smallest possible number of obtuse triangles in the triangulation?
Harvard-MIT Mathematics Tournament
March 15, 2003
Individual Round: Algebra Subject Test 1. Find the smallest value of x such that a ≥ 14√a − x for all nonnegative a.
P (2x) P (x + 1)
=
8
−
56 x+7
for all real x for which both sides are defined. Find P (−1).
1
Harvard-MIT Mathematics Tournament
March 15, 2003
Individual Round: Geometry Subject Test 1. AD and BC are both perpendicular to AB, and CD is perpendicular to AC. If AB = 4
N
6
U s M
20 25
C s
H
3. A room is built in the shape of the region between two semicircles with the same center
【数学】高中数学竞赛专题训练平面几何
【关键字】数学高中数学竞赛专题训练——平面几何主讲人：凌彬一、训练目标主要目标有两个：一是为2010年和2011年初赛和联赛做充分准备．重点是2011年全国高中数学联赛，争取有同学进入省队参加CMO（中国数学奥林匹克），同时照顾少数极有智力的同学参加2010年的全国高中数学联赛．二是为部分同学备战2012年名牌大学自主招生考试．二、大纲要求“全国高中数学联赛”要求全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高．“全国高中数学联赛加试”要求全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容．平面几何所增加的内容是：几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理．三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线．几何中的变换：对称、平移、旋转．几何不等式．几何极值问题．圆的幂和根轴．面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法．三、训练理念、能力是训练出来的．、心有多大舞台就有多大．、一切皆有可能．四、训练要求凡参加竞赛训练的同学必须做到如下四条：1．认真上好每一节课，除在讲义上做笔记外，应另有一个专用笔记本，将每节内容的重要知识和重点方法做整理，勤作归纳总结．无特殊情况不允许缺席．2．每次上课后要认真进行消化，按时完成所布置的作业．严禁抄袭或不缴作业．3．除上课外，每天应安排一定的时间复习和翻阅相关竞赛书籍，适当挑选一些题目练习．4．参加训练的同学要经常进行学习交流，取长补短，共同进步．凡能认真遵守以上四条要求并取得较好成绩的同学推荐给学校予以公开表扬．凡不能做到以上四条要求的，轻者公开批评并通报其班主任，重者劝其退出训练，并交给其班主任进行思想教育．第1讲全等形与相似形班级姓名一、基本知识1．全等三角形的判定与性质判定：边角边公理SAS；角边角公理ASA；角角边定理AAS；边边边定理SSS；如果三角形是直角三角形还可以用：斜边直角边定理HL．性质：全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、对应位置上的线段和角都相等．2．相似三角形的判定与性质判定：①一个角对应相等，并且夹这个角的两边对应成比率；②两个角对应相等；③三条边对应成比率；④两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比率．性质：相似三角形的对应角相等；对应边的比、对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比以及周长的比都等于相似比；面积之比等于相似比的平方．3．常用方法论证的过程通常是：由待证明的等式反过来找相应的三角形，然后证明相应的三角形全等或相似．而“相应的三角形”往往不是现成的，需要去构造，去作辅助线．在竞赛中，连续多次证明全等或相似是常见的．二、例题讲解例1．如图，点C是线段AB上一点，和是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE、BD分别交CD、CE于G、H；求证：．例2．如图，在的两边上分别截取，在上截取，在上截取，且使；试问：与的交点是否在的平分线上？例3．已知在等腰直角中，是直角，是上一点，，的延长线交于，若，求证：是的中点．例4．如图，已知在中，，是边上的中线，是的中线，求证：．例5．如图，已知中，边上的高为，又，求证：．例6．如图，四边形的两组对边延长后分别相交于点、，对角线，的延长线交于，求证：．例7．在中，，，的平分线交于，求证：．平面几何训练巩固练习一班级________ 姓名__________1．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD AB ⊥，AD AB =，BE DC ⊥，AF AC ⊥， 求证：CF 平分ACB ∠．2．如图，从等腰直角ABC ∆的直角顶点C 向中线BD 引垂线，交BD 于点F ，交AB 于点E ，连DE ；求证：CDF ADE ∠=∠．3．如图，AT 为ABC ∆的角平分线，M 为边BC 的中点，过M 作直线平行于AT ，分别交直线BA 、AC 于点E 、F ，求证：1()2CF AB AC =+． 4．如图，设P 、Q 为线段BC 上两点，且BP CQ =，点A 为BC 外的动点，当点A 运动到使BAP CAQ ∠=∠时，ABC ∆是什么三角形？试证明你的结论．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
2012年高一数学竞赛解答15
平面几何竞赛基础15 ── 塞瓦定理及其逆定理姓名：爱因斯坦曾说：如果平面几何不能激起一个人的好奇心，那么这个人在科学上的发展也不会很远诶． 自学处理方法：先阅读完成例题解答，再独立完成练习并将解答回发jylingbin@ 邮箱，以便批阅反馈． 注意要求目的：要求独立完成，可以参阅资料．目的是开学后考试选拔100名思维好且钻研能力强的竞赛选手．一、基本知识定理：设M 是ΔABC 内任一点，连接AM ，BM ，CM 并延长，分别交对边于P ，Q ，R ；则有：1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP ；其逆命题也成立．（提示：用面积法，逆命题用“同一法”证明）证明：∵BP S BPA S BPM S BPA S BPM S BMAPC S CPA S CPM S CPA S CPM S CMA-====- 同理CQ S CMB QA S AMB=，AR S AMC RB S BMC = ∴BP CQ AR S BMA S AMC S CMB PC QA RB S CMA S BMC S AMB ∙∙=∙∙=1 二、重要例题例1．如图，在ΔABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，设BE与CD 交于S ，求证：AS 通过BC 边的中点M ．（提示：直接使用定理）证明：∵S 为△ABC 内一点∴AD BM CE1DB MC EA ∙∙= ∵DE ∥BC ∴AD AE DB EC = ∴BM 1MC= 即M 为BC 中点例2．如图，设ΔABC 的内切圆与三边BC ，CA ，AB 分别切于R ，S ，T ；试证：AR ，BS ，CT 交于一点．（提示：直接使用定理） 证明：∵AB,BC,CA 为圆外切线 ∴AT=AS,BT=BR,CR=CS ∴AT BR CS 1TB RC SA∙∙= ∴AR ，BS ，CT 交于一点ABCMRPQABCDESM例3．如图，以ΔABC 的边BC ，CA ，AB 为边向外作正方形；A 1，B 1，C 1是正方形的边BC ，CA ，AB 的对边的中点；试证明：AA 1，BB 1，CC 1相交于一点．（提示：用面积转化比，三角形的面积公式可用111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=∠=∠=∠）证明：11ABA 2112ACA 11S BA BA sin ABA AB AB sin(B )A C S AC CA sin ACA AC sin(C )∆∆∠∠+φ==⋅⋅=⋅∠∠+φ其中11CBA BCA arctan 2φ=∠=∠= 同理2222CB AC BC sin(C )AC sin(A )B A AB sin(A )C B BC sin(B )∠+φ∠+φ=⋅=⋅∠+φ∠+φ 三式相乘222222BA CB AC 1A C B A C B⋅⋅ ∴AA 1，BB 1，CC 1相交于一点三、巩固练习15 （以下两道题的解答要回发到邮箱jylingbin@ ） 1．如图1，已知ΔABC 中，M 是BC 的中点，AD 平分∠BAC ，B 在AD 上的射影为E ，BE 交AM 于N ，求证：DN ∥AB延长BE,AC 交于F 点，延长EM 交AB 于G 点 ∵∠BAE=∠FAE,AE=AE, AE ⊥BF ∴△ABE ≌△ACE ∴BE=EF ∴EM ∥AF易知G 为AB 中点由塞瓦定理得AG BN ED1GB NE DA∙∙=∴BN ED 1NE DA ∙= ∴ED NE DA BN = ∴DN ∥AB2．如图2，设P 是ΔABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别与BC ，CA ，AB 交于D ，E ，F ；过D ，E ，F三点作圆与三边又交于D 1，E 1，F 1；求证：AD 1，BE 1，CF 1三线交于一点． ∵P 为△内一点 ∴AF BD CE 1FB DC EA ∙∙= ∴BD AF CE 1FB EA DC∙∙= 由割线定理知11BF BF BD BD ∙=∙ ∴11B BD F F B BD =,同理11A AF E E A AF =, 11C CED D C CE = ∴111111BF AE CD BD AF 1CE ∙∙= A 1B 1C1ABCA 2B 2C 2F 1D 1E 1P ABCDEF图2∴111111BF AE CD F A E C 1D B∙∙= ∴AD 1，BE 1，CF 1三线交于一点3．在ΔABC 中，D ，D 1在BC 边上；E ，E 1在AC 边上；F ，F 1在AB 边上；且直线AD 与AD 1，BE与BE 1，CF 与CF 1分别关于∠A ，∠B ，∠C 的角平分线对称；若AD ，BE ，CF 三线共点时，则AD 1，BE 1，CF 1三线也共点．在△ACF 1与△BCF 1，利用正弦定理有111111AF sin ACF F C sin B,F C sin A BF sin BCF ∠∠==∠∠ ∴11111111AF AF F C sin ACF sin BBF F C BF sin BCF sin A∠∠=∙=∙∠∠，同理得1111BD sin BAD sin C D C sin D AC sin B ∠∠=∙∠∠,1111CE sin CBE sin AE A sin ABE sin C∠∠=∙∠∠ ∴111111111111AF BD CE sin ACF sin BAD sin CBE F C D C E A sin BCF sin D AC sin ABE ∠∠∠∙∙=∙∙∠∠∠ ∵关于角平分线对称∴∠ACF 1=∠BCF, ∠BCF 1=∠ACF, ∠BAD 1=∠CAD, ∠CAD 1=∠BAD, ∠ABE 1=∠CBE, ∠CBE 1=∠ABE∴111111AF BD CE sin BCF sin CAD sin ABE BF DC AE1F C D C E A sin ACF sin BAD sin CBE AF BD CE ∠∠∠∙∙=∙∙=∙∙=∠∠∠ ∴AD 1，BE 1，CF 1三线也共点。
2012年高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题国家二等奖论文
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：Y 0802所属学校（请填写完整的全名）：西安理工大学高等技术学院参赛队员(打印并签名) ：1. 熊**2. 胡**3. 杨**指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：教练组日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：机器人避障问题摘要机器人避障问题主要考虑机器人的路径选择。
本文问题是地图已知情况下，机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径问题。
利用几何学的路径规划算法对机器人避障问题建立几何模型，并使用matlab 软件和mathematica 软件求解，用图论知识进行分析得出局部最优路径，最终比较得出机器人避障的全局最优路径。
问题一：建立区域中一点到达任一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型，将具体问题分解成三种线圆结构，并运用图论知识中的方法、穷举法以及几何知识进行优化求出最短路径，最终比较得到各个路段机器人避障得最短路径。
02-2012全国高中联赛全真模拟(二)答案陶平生
清北学堂-高中学业规划专家
个数为 1007 ．
3 、将棱长为 1 的正方体的八个顶点按红、蓝间隔染色，使得每条棱上的两顶点不同色；
那么，由红色顶点连成的四面体与 由蓝色顶点连成的四面体的公共部分的体积 是 答案：
．
1 ． 6
D1 A1 B1 D A B C1
解： S A1BD
an 1 an n 1 ，而 a2 a1 1 ； an an 1 n 1
an 1 an
an 1 an an an 1 a a n 1 n 2 n 3 1 3 2 (a2 a1 ) 1 an an 1 an 1 an 2 a2 a1 n 1 n n 1 3
清北学堂-高中学业规划专家
归纳得， g ku kg u ，令 k 25, u 1 ，得 g 25 25 g1 因此 f 5
，即
f
1 25
25 f
1
，
2 ． 25 c1 ，取 x 1 得 x2
（注：若看出 ○ 1 为柯西方程，则可以直接得到 g u cu ，所以 f x
C
DA0 DC0 ，故 BA0 D BC0 D ，所以 BA0 D BC0 D ，即是说，棱 BD 关于两相
邻面上切点的张角相等.其它棱的情况与此类似。 在 ABD 中，设 AC0 B , BC0 D , AC0 D ，则 于是， AD0 B , BA0C , AB0 D 在 BCD 中，设 CA0 D 1 , BA0C 1 ，因为 BA0 D ，所以
c1 2 ， f x
2012年北京市高一数学竞赛初赛试题及参考答案Version20120425
A
√ √ 3+1 PD a . 因为P F = P B sin 15◦ = 2a sin 15◦ , P E = CD = √ = √ , 2 3 3+1 1 1 所以S∆CP N − S∆BP N = a(P E − P F ) = , 选(A). 2 8
C D P N B FM A E
Figure 2: 一.5答案 6.定 义 在 (−1, 1) 上 的 函 数 f (x) 满 足 f (x) − f (y ) = f ( x−y
A
Figure 7: 二.8
D
解 答: 设 两 圆圆 心 分别 为 O1 , O2 , 连 结 O1 O2 , 则O1 O2 必 过O点. 连 结 AO1 , DO2 并延 长 交 BC 延 长 线 于 E, F , 过 O 点 作 两 圆 外 公 切 线, 交 AD 于 G, EF 于 H . 易知四边形 ADF E 为矩形, G, H 分别为 AD, BC 中点, 且 ∠AOD = ⊙ ⊙ 1 5 ∠BOC = 90◦ , 故 GH = (AD + BC ) = . 设 O1 半径为 R , O2 半径 2 2 2 2 2 2 2 为 r, AE = DF = h, 则EK = R − (h − R) , F L = r − (h − r)2 , 所以 AK 2 +DL2 = [R2 −(h−R)2 +h2 ]+[r2 −(h−r)2 +h2 ] = 2h(r +R) = 2AE ·O1 O2 . AE AD 容易证明 = , 所以 AK 2 + DL2 = 2GH · AD = 15. GH O1 O2
值. 解答: 由拉格朗日插值公式得: (x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5) 1 (x − 1)(x − 3)(x − 4)(x − 5) f (x) = 1· + · (1 − 2)(1 − 3)(1 − 4)(1 − 5) 2 (2 − 1)(2 − 3)(2 − 4)(2 − 5) 1 (x − 1)(x − 2)(x − 4)(x − 5) 1 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5) + · + · 3 (3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 5) 4 (4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)(4 − 5) 1 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) + · , 5 (5 − 1)(5 − 2)(5 − 3)(5 − 4) 1 所以f (6) = . 3 3.若 [x] 表示不超过 x 的最大整数, 求满足方程 [n lg 2] + [n lg 5] = 2012 的自然数 n 的值. 解答: 因为 [x] x < [x] + 1, 所以 [n lg 2] + [n lg 5] n lg 2 + n lg 5 < ([n lg 2] + 1) + ([n lg 5] + 1), 即2012 n < 2014, 说明n = 2012或2013. 但n = 2012时, 2012 lg 2, 2012 lg 5 均为无理数, 必有 [2012 lg 2] + [2012 lg 5] < 2012, 故只能有 n = 2013. 4.如图, 半径为 1 的两个等圆相交, 在两圆的公共部分作一内接正方形 ABCD. 如果圆心距 O1 O 等于1, 试求正方形 ABCD 的面积.
2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题及答案(高二)
2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）1．函数741)(2+++=x x x x f的值域为． 2．已知1sin 2sin 322=+βα，1)cos (sin 2)cos (sin 322=+-+ββαα，则=+)(2cos βα13-． 3．已知数列}{n a 满足：1a 为正整数，⎪⎩⎪⎨⎧+=+,,13,,21为奇数为偶数n n n nn a a a a a 如果29321=++a a a ，则=1a 5 ．4．设集合}12,,3,2,1{Λ=S ，},,{321a a a A =是S 的子集，且满足321a a a <<，523≤-a a ，那么满足条件的子集A 的个数为 185 ．5．过原点O 的直线l 与椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 交于N M ,两点，P 是椭圆C 上异于N M ,的任一点．若直线PN PM ,的斜率之积为31-，则椭圆C6．在△ABC 中，2==BC AB ，3=AC ．设O 是△ABC 的内心，若AC q AB p AO +=，则qp的值为32． 7．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知p AB C B AC ===11,2,1，则长方体的体积最大时，p为． 8．设][x 表示不超过x 的最大整数，则2012120122[]2kk k +=+=∑ 2012 ． 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列}{n a=11a =，28a =，求}{n a 的通项公式．解 在已知等式两边同时除以1+n n a a ，得3141112++=++++nn n n a aa a ， 所以11)=． ------------------------------------------4分 令111++=+nn n a a b ,则n n b b b 4,411==+，即数列}{n b 是以1b ＝4为首项,4为公比的等比数列，所以n n n b b 4411=⋅=-. ------------------------------------------8分所以n nn a a 4111=+++,即 n n n a a ]1)14[(21--=+. ------------------------------------------12分 于是，当1>n 时,22221121]1)14[(]1)14[(]1)14[(-------⋅--=--=n n n n n n a a a∏∏-=--=---=--==112111121]1)14[(]1)14[(n k k n k k a Λ ，因此,⎪⎩⎪⎨⎧≥--==∏-=-.2,]1)14[(,1,11121n n a n k k n ------------------------------------------16分10．已知正实数b a ,满足122=+b a ，且333)1(1++=++b a m b a ，求m 的取值范围． 解 令cos ,sin a b θθ==，02πθ<<，则322333)1sin (cos 1)sin sin cos )(cos sin (cos )1sin (cos 1sin cos ++++-+=++++=θθθθθθθθθθθθm ．----------------------------------------5分令 θθsin cos +=x ，则 ]2,1()4sin(2∈+=πθx ，且21sin cos 2-=x θθ．------------------------------10分于是21)1(23)1(22)1(22)1(232)1(1)211(223332-+=+-=+-+=+-+=++--=x x x x x x x x x x x x m ． ------------------------------15分 因为函数21)1(23)(-+=x x f 在]2,1(上单调递减，所以)1()2(f m f <≤．又2423)2(,41)1(-==f f ，所以)41,2423[-∈m ． --------------------------------------20分11．已知点),(n m E 为抛物线)0(22>=p px y 内一定点，过E 作斜率分别为21,k k 的两条直线交抛物线于D C B A ,,,，且N M ,分别是线段CD AB ,的中点．（1）当0=n 且121-=⋅k k 时，求△EMN 的面积的最小值； （2）若λ=+21k k （λλ,0≠为常数），证明：直线MN 过定点．解 AB 所在直线的方程为m n y t x +-=)(1，其中111k t =，代入px y 22=中，得2112220y pt y pt n pm -+-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有1212pt y y =+，从而1211211(2)2(22)2x x t y y n m t pt n m +=+-+=-+．则2111(,)M pt nt m pt -+．CD 所在直线的方程为m n y t x +-=)(2，其中221k t =，同理可得2222(,)N pt nt m pt -+． ------------------------------------------5分（1）当0=n 时，(,0)E m ，211(,)M pt m pt +，222(,)N pt m pt +，2111||||t pt EM +=，2221||||t pt EN +=．又121-=⋅k k ，故121-=⋅t t ，于是△EMN 的面积221211||||||222p S EM EN p t t =⋅==222p p ≥=， 当且仅当1||||21==t t 时等号成立．所以，△EMN 的面积的最小值为2p . ------------------------------------------10分 （2）p nt t t t n t t p t t p k MN -+=----=)(1)()()(2121222121，MN 所在直线的方程为]([)(1121211m nt pt x pn t t pt y +--⋅-+=-，即m x t pt pnt t y -=--+2121)(． ------------------------------------------15分又λ=+=+212111t t k k ，即λ2121t t t t +=，代入上式，得1212()t t n y t t p x m p λ++--⋅=-， 即 m pnyx p y t t -+=-+))((21λ．当0=-λp y 时，有0=-+m p ny x ，即⎪⎩⎪⎨⎧-==λλn m x p y 为方程的一组解，所以直线MN 恒过定点),(λλpn m -． -------------------------------。