概率论二重积分的计算(二)
二重积分的概念及计算
2)“常代变”
(k ,k )
在每个 中任取一点
则
Vk f (k , k ) k (k 1, 2,, n)
3)“近似和”
n
f (k , k ) k
k 1
D
k
Page 3
4)“取极限”
( k ) max P1P2 P1 ,P2 k
令
max 1 k n
( k )
n
V
Page 17
例5. 估计 I
D
x2
d
y2
2xy
16
的值,
其中
y
D
为
0 x 1, 0 y 2.
解: 被积函数 f (x, y)
1
(x y)2 16
2
D
D 的面积 2
在D上 f (x, y)的最大值 M f (0,0) 1 o 1 x
4
f (x, y) 的最小值 m f (1, 2) 1 1
故 2 I 2 , 0.4 I 0.5
32 42 5
54
Page 18
8. 设函数
在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,
D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上
y
(1) f (x, y) f (x, y), 则
D1
D f (x, y) d 2D1 f (x, y) d
oD x
设曲顶柱的底为
z y 2(x)
D
(
x,
y)
1
(
x) a
y x
2
b
(x)
y
D
任取 截面积为
平面
截柱体的
o a x0 b x y 1(x)
概率论 二重积分的计算(二)
利用极坐标常能简化计算.
要点与步骤:
(1)用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用 极坐标计算;
(2) 画区域图, 列出型区域, 写成极坐标下的 二次积分.
3.极坐标下二重积分计算的基本步骤
(1)将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的 二重积分.
① 将 xrco θ,y srsiθ n代入被积函数,
rr
当r充分小时 , 略去2高阶无穷小量
1 (r)2 , 得 rr,
D
2
故面积微元为
drdrd,o
A
这样二重积分在极坐标系下的表达式为
f (x, y)dσ f(rcoθs,rsinθ)rdrd
D
D
二重积分在极坐标下的计算
二重积分在极坐标系下的表达式为
f (x, y)dσf(rcoθs,rsinθ) rdrd
解
D
在极坐标系下
0r a D:0θ2π
,
故
e(x2y2)dxdy er2rdrdθ
y
D
D
2π
dθ
aer2rdr
0
0
2π1er2 0 2
0adθ
o
x
π(1ea2 ).
注：由于 e x 2 的原函数不是初等函数 ,故本题
无法用直角坐标计算.
二重积分在极坐标下的计算
例2 计I算 dxd,yD:x2y21. D 1x2y2
D
D
直角坐标系下与极坐标系下二重积分的转换公式
f (x, y)dxdyf(rcoθ,srsiθ n)rdθr.d
D
D
如何计算极坐标系下的二重积分？
化为二次积分或累次积分来计算
二重积分在极坐标下的计算
二重积分的计算方法与应用
二重积分的计算方法与应用二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面区域上的某一函数在该区域上的总体积量。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方法与应用。
首先，我们将讨论二重积分的基本概念和计算方法。
假设有一个平面区域D，可以用一个闭合曲线C来描述。
我们将函数f(x, y)定义在区域D内的每一个点上，并且假设f(x, y)在D上连续。
那么在D上的二重积分可以表示为：∬D f(x, y) dA其中，dA表示面积元素，其大小等于dxdy。
要计算二重积分，我们可以将区域D划分成许多小的面积元素，然后对每个面积元素上的函数值进行加权求和。
通常可以使用二重积分的累次积分形式来计算，可以按顺序进行x方向的积分，然后再进行y方向的积分。
在具体计算二重积分时，可以根据问题的特点选择不同的计算方法。
下面介绍常见的二重积分计算方法：1. 矩形坐标系下的二重积分：在矩形坐标系下，将区域D投影到xy平面上，可以得到一个矩形R。
这时，二重积分可以转化为对两个变量的累次积分，其中外层积分表示对x的积分，内层积分表示对y的积分。
通过对x和y的积分限进行适当选择，可以将二重积分转化为两个定积分的计算。
2. 极坐标系下的二重积分：在某些问题中，使用极坐标系进行二重积分计算可以更加简洁。
通过将区域D在极坐标系下的表示，可以将二重积分转化为对极坐标下的两个变量的累次积分。
在计算时，可以通过选择适当的极坐标系下的积分限来简化计算过程。
3. 对称性的利用：在某些问题中，可以利用区域D的对称性简化二重积分的计算。
通过观察函数f(x, y)的对称性，可以改变积分限或者变量的顺序，从而简化计算的过程。
接下来，我们将讨论二重积分在实际问题中的应用。
1. 面积与质量：二重积分可以用来计算平面区域的面积。
将函数f(x, y)设为1，即可得到区域D的面积。
此外，如果区域D上的密度函数为ρ(x, y)，那么通过计算二重积分∬D ρ(x, y) dA，可以得到区域D的质量。
在极坐标系下计算二重积分
解: (1) 利用对称区间奇偶性，得 I x2dxdy D
Q D x 2d xdy D y 2dyd x
y
I1 (x2y2)dxdy 2D
D o 1x
1 2d 1r3dr
20 0
4
二重积分
综合题： 计算 I (x2xyex2y2)dxdy,其中: D
o
A
D
f
(x,
y)dxdy d
2()f(rcos,
1()
rsin)rdr.
二重积分
例 1 计算 x2 y2 d ， D {( x, y) | 2 x2 y2 4 2}．
D
y
解：D 在极坐标系下可表示为
{ ( r ,) |0 2 , r 2 }
O
x
x2 y2d r rdrd
D
D
2d 2r2dr
0
2
0
r3
(
3
)
|2
d
2 7 3d 1 4 4
03
3
二重积分
例2. 计算 (x2y2)dxdy, 其中D 为由圆 x2 y2 2y, D
x2 y2 4y及直线 y 3x 0, x 3y 0, 所围成的
x
x y
1 x2 y2
是关于Y的奇函数，
D
xy 1x2 y2
dxdy0
D
xy1 1x2 y2
dxdy
D
1 1x2 y2
dxdy
2
2d
0
1r 0 1r2 dr
概率论二重积分的计算方法
概率论二重积分的计算方法
概率论中经常涉及到二重积分的计算，这是因为二重积分可以用于计算概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）等概率论中的重要量。
计算二重积分时，首先需要确定积分的边界。
这些边界通常由问题的约束条件给出。
然后，可以选择不同的计算方法来求解二重积分。
一种常用的方法是直接计算二重积分。
这种方法适用于边界简单且积分函数光滑的情况。
通过将积分区域分割成小矩形，并在每个小矩形上进行积分，可以近似地计算二重积分的值。
这种方法的优点是简单直观，但对于复杂的积分区域和积分函数可能不太适用。
另一种常用的方法是变量替换法。
通过引入新的变量，可以将原本的二重积分转化为更简单的形式。
常见的变量替换包括极坐标变换、柱坐标变换和球坐标变换等。
变量替换法的优点是可以简化计算过程，尤其适用于具有对称性的问题。
还有一种常用的方法是利用积分的性质进行计算。
例如，可以利用积分的线性性质、对称性、切比雪夫不等式等来简化计算过程。
这种方法通常需要对问题进行一定的分析和推导，但可以大大简化计算过程。
除了上述方法外，还可以利用数值计算方法来求解二重积分。
例如，可以使用数值积分方法，如梯形法则、辛普森法则等，来近似计算二重积分的值。
这种方法适用于无法通过解析方法求解的积分。
综上所述，计算概率论中的二重积分有多种方法可供选择。
根据具体的问题和计算的要求，可以选择不同的方法来进行计算。
第2.2讲 二重积分的计算_极坐标
D
o
f (r cos ,r sin )rdrd
D
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
r ( ) A
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
D
0 2, 0 r ( ).
o
f (r cos ,r sin )rdrd
D
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
D
y 0, y x2, x 1 所围区域，则 f (x, y) 等于
(A) xy (B) 2xy (C)xy 1 (D) xy 1 8
2.设D是xOy平面上以(1,1),(1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域，
D1是D在第一象限的部分，则 (xy cosx sin y)dxdy
D
(A) 2 cosx sin ydxdy
答案： ln 2.
练习2： 计算二重积分 x2 y2 d .
D
答案：32 .
其中D是圆 x2 y2 2 y所围成的区域.
9
练习3：利用极坐标计算二重积分
D
x x2
y y2
d .
其中D：x2 y2 1 x y 1.
答案：2 .
2
难题解析
1.设f (x, y) 连续,且 f (x, y) xy f (u, v)dudv,其中 D 是由
0 0 (a x)( x y)
解
a
x
dx
f '(y)
a
a
dy dy
f '( y) dx
0 0 (a x)(x y)
0 y (a x)(x y)
a
a
f '( y)dy
二重积分的计算法(2)
D
f ( x,
y)dxdy
D
f ( y, x)dxdy
1 2
D
[
f
(
x,
y)
f ( y, x)]dxdy
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(20)(本题满分10分）2010年数学二
计算二重积分 r2 sin 1 r2 cos 2drd,其中
D
D
(r, )
|
0
r
sec , 0
}. 4
y
解 由题设知，积分区域D如图
D
形式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1} .
解
在极坐标系下
x r cos
y
r
sin
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
1
,
sin cos
x2 y2 1 x y1
f ( x, y)dxdy
2 d
1
1
f (r cos , r sin )rdr.
二、选择题（本题15分，每小题3分）2009级期末考试
3、球面x2 y2 z2 4a2与柱面x2 y2 2ax所围成的
立体体积V ( B )
( A) 4 2 d
2a cos
4a2 r 2 dr;
0
0
(B)
4
2 d
2a cos
r
4a2 r 2 dr;
0
0
(C)
8
2 d
2a cos
yx
所示，将积分化为直角坐标系下 o
的二重积分为
D x1 1x
r2 sin 1 r2 cos2 r2 sin2 drd
二重积分的概念与计算
二重积分的概念与计算二重积分是微积分中的重要概念，在数学和物理学等领域有广泛应用。
本文将介绍二重积分的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和应用该概念。
一、二重积分的基本概念二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算。
通常表示为∬_Df(x,y)dxdy，其中D为积分区域。
二重积分的结果是一个实数。
二、二重积分的计算方法1. 通过迭代积分计算如果积分区域D可以表示为两个范围有限的连续函数g(x)和h(x)之间的交集，即D={(x,y)|a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x)}，则二重积分可以通过先计算内层积分再计算外层积分的方式进行计算。
具体计算步骤如下：步骤1：计算内层积分将变量y看作常数，将二元函数f(x,y)带入到内层积分中，进行y 的积分运算。
得到一个关于x的函数。
步骤2：计算外层积分将步骤1得到的关于x的函数带入到外层积分中，进行x的积分运算。
得到最终的结果。
2. 通过坐标变换计算在某些情况下，二重积分的计算可以通过坐标变换来简化。
常见的坐标变换包括极坐标变换和直角坐标变换。
以极坐标变换为例，如果积分区域D可以用极坐标表示，则可以通过将二元函数f(x,y)转化为二元函数g(r,θ)来计算二重积分。
具体计算步骤如下：步骤1：进行坐标变换将二元函数f(x,y)用极坐标变换的公式来表示，并计算坐标变换的Jacobi行列式。
步骤2：计算新函数的二重积分将坐标变换后得到的二元函数g(r,θ)进行二重积分计算，得到最终结果。
三、二重积分的应用二重积分在数学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何体的面积二重积分可以用来计算平面上有界区域的面积。
对于给定区域D和一个常数函数f(x,y)=1，在D上进行二重积分即可得到该区域的面积。
2. 质量和质心的计算已知二元函数f(x,y)表示平面上的质量密度分布，二重积分∬_Df(x,y)dxdy可以用来计算平面上有界区域D的质量。
质心的坐标可以通过以下公式计算：x_0=1/m∬_Dxf(x,y)dxdyy_0=1/m∬_Dyf(x,y)dxdy其中m为区域D的总质量。
二重积分的计算法
0
法二
先x后y
2
x2+y2
a
2
x
D
e
a
x y
d xd y dy
a a2 y2
2 2
a
a y
e
x2 y 2
dx
e
a
y
2
dy
a y
e
x2
dx积不出
14
故本题无法用直角 坐标计算.
二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
极坐标积分。
令x=rcos, y=rsin, 则 x2+y2 = 1的极坐标方程为r = 1. 由(2)
y
x2+y2 1
D*: 0 r 1, 0 2
0
x
D
1 x 2 y 2 dxdy
d 1 r 2 cos2 r 2 sin 2 rdr
1
x
y=x 1 D1
D2
0
D 1 x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
10
例 11
求由下列曲面所围成的立体体积， z x y ， z xy， x y 1， x 0， y 0 .
解 画图. 所围立体在 xoy 面上的投影 D 如图所示。
x2 y2 R2 , x2 z 2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为 z R 2 x 2
R
o x
0 y R 2 x 2 ( x, y ) D : 0 x R 则所求体积为
10.2二重积分计算(2)
0 x
1
1
f (x) f ( y)dy +
1
dx ∫0 f (x) f ( y)dy
x
设
0 x
且
求 I = 1d x 1 f (x) f ( y) dy. (95数一 数一) 数一 ∫ ∫ 解法２ 解法２: 设F为f的一个原函数 则 A = F(1) − F(0) 的一个原函数,则 为 的一个原函数 则 I = 1 f (x)d x 1 f ( y)dy = 1[F(1) − F(x)] f (x)d x
o
r = rk x
∆σ k
rdθ dσ 再转化为先对ｒ后对 的二次积分 的二次积分， 再转化为先对ｒ后对θ的二次积分， 且积分口诀仍然可以使用． 且积分口诀仍然可以使用． dr dθ r 不过用过极点的射线穿过积分区域， 不过用过极点的射线穿过积分区域， 域边为射线θ＝ ， ＝ ． 域边为射线 ＝α，θ＝β．
3. 计算
其中 D ={(x, y) | x | + | y |≤ 2} y 2 2 x, 2 r= | x | + | y |≤1 f (x, y) = 1 D12 sinθ + cosθ , 1<| x | + | y |≤ 2 2 2 D11 x +y 2 x -2 如图:… 解: D如图 如图 -2 （D1 为第一象限部分） 为第一象限部分）
∫0
a
re−r d r
)
2
a x
= (1− e 4
由于 e
−x2
π
−a 2
的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算. 坐标计算
注: 利用例 可得到一个在概率论与数理统计及工程上 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 D2 +∞ −x2 π D e dx = ∫0 D1 2 事实上, 事实上 (D, D1, D2如图 如图)
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f ( x, y)dxdy f (r cosθ, r sinθ)rdrdθ.
D
D
选择积分次序
选择积分限
化为累次积分
作业：P153 3.2 12(1)(2) 13(2)(3)
下次课内容
3.3 二重积分的应用
复习
二重积分的计算
一、二重积分在直角坐标系下的计算
f (x, y)dxdy
2
y
x2 y2dxdy r rdrd
D
D
π
2 dθ
2sinθ r 2dr
1
π
2 r3
2sinθ
dθ
8
π
2 sin3 θdθ
0
0
30 0
30
πo
x
8
π
2 (1 cos2 θ)d cosθ
8 1 cos3 θ cosθ 2
30
33
0
16 . 9
x2 y2dxdy
D
sin(
x
x2 2
y2
y2
)
dxdy
D
sin(r
r
)
rdrd
r2 r 1
2
0
d
2
1
sinrdr
4.
二重积分在极坐标下的计算
例5 计算二重积分 x2 y2dxdy，其中区域D为由
x=0及 x2+y2=2y 围成的第D 一象限内的区域.
解 D的边界曲线为x2+y2=2y，其极坐标表达式
r 2sinθ, 此时D可以表示为 0 θ π , 0 r 2sinθ，
则平面上任意一点的极坐标(r, )与直角坐标( x, y)之间
的变换公式为
极坐标(r, )
x r cos
y
r
sinθ
r
极点O 原点O
y
x
极轴X
x轴
1.利用极坐标系计算二重积分
在直角坐标系下 f (x, y)d f (x, y)dxdy
D
D
在极坐标系下 f (x, y)d f (r cosθ, r sinθ)dσ D
3.2 二重积分的计算
复习
二重积分的计算 （累次积分）
（一）在直角坐标系中
f (x, y)dxdy
b
dx
y2( x) f ( x, y)dy
D
a
y1 ( x )
X-型
y
或 (
d
dy
x2( y) f ( x, y)dx)
Y-型
y y2(x)
c
x1
(
y)
y
d x x1( y)
y y1(x)
x
利用极坐标常能简化计算.
y
要点与步骤:
(1)用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用 极坐标计算;
(2) 画区域图, 列出型区域, 写成极坐标下的 二次积分.
3.极坐标下二重积分计算的基本步骤
(1)将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的 二重积分.
① 将 x r cosθ, y r sinθ 代入被积函数,
A
这样二重积分在极坐标系下的表达式为
f ( x, y)dσ f (r cosθ, r sinθ) rdrd
D
D
二重积分在极坐标下的计算 二重积分在极坐标系下的表达式为
f ( x, y)dσ f (r cosθ, r sinθ) rdrd
D
D
直角坐标系下与极坐标系下二重积分的转换公式
所以，不能直接用一元函数的广义积分计算。
令 H ex2 y2dxdy 其中D {( x, y) | x 0, y 0}
ex2dx De y2 dy ( ex2dx)2 I 2
0
0
0
4
利用极坐标计算H，D {(r, ) | 0 r ,0 }
D
2
I e x2 dx 2 e x2 dx
例2 计算I
dxdy , D : x2 y2 1.
D 1 x2 y2
解 D (r, ) | 0 r 1,0 2 y
I
D
rdrd
1 r2
2
0
d
1
0
rdr 2 .
1 r2
r 1
x
一般地,
f ( )g(r)rdrd 2 f ( )dx r2rg(r)dr
1 2
1
r1
r1 r r2
a
a2 y2
o
x
D
xe x2 dx 或 ye y2 dy
因此,针对不同形状的积分区域D以及被积函数
y f ( x, y) 的特点,选择不同的坐标系来计算二重
积分是一个重要的问题.
二、二重积分在极坐标下的计算
二重积分在极坐标下的计算
极坐标(r, )与直角坐标( x, y)变换公式
如果选取以直角坐标系的原点O为极点，以x轴为极轴，
D
0,
f (x, y) பைடு நூலகம் f (x, y)
(2)若D关于x轴对称,则
f
(
x,
y)dxdy
2
D上
f ( x, y)dxdy,
D
0,
f (x, y) f (x, y)
f (x, y) f (x, y)
二重积分在极坐标下的计算
例7 计算 xy dxdy.
x y 1
y
解 由区域的对称性和
f ( x, y)dxdy f (r cosθ, r sinθ)rdrdθ.
D
D
如何计算极坐标系下的二重积分？
化为二次积分或累次积分来计算
二重积分在极坐标下的计算
化为二次积分或累次积分来计算
在极坐标系下化二重积分为二次积分或累次积 分， 同样要解决下面两个问题：
（1）选择积分次序
（2）确定积分的上、下限
r2 (θ )
D
f (r cos ,r sin )rdrd
0
π
2π[r cos r 2π
2π
cos rdr]
π
π
6π 2 .
y
o
rπ
r 2π
x
二重积分在极坐标下的计算
例4 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
其中积分区域为 D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 D {(r, ) | 1 r 2,0 2 }
D
f (r cosθ, r sinθ)rdrdθ
D
x
2π
dθ
r2
(θ
)
f
(r
cos
θ
,
r
s
in
θ
)rdr
.
0
r1 (θ )
二重积分在极坐标下的计算
利用极坐标计算二重积分积分特征
如果积分区域 D为圆、半圆、圆环、扇形域等，
或被积函数为f (x2+y2)、 f ( y ), f ( x ) 等形式，
极坐标系下的面积微元 dσD如何表示?
设过极点O的射线与积分区域D的边界曲线的交点 不多于两点， 函数f ( x, y)在D上连续. 在极坐标系下，
用以极点O为中心的一族同心圆,
以及从极点出发的一族射线,
把区域D分成n个小区域，
D
o
A
二重积分在极坐标下的计算
设 为 其 中 一 个 典 型 小 闭 区域( 同 时 也 表 示 该
2.极坐标系下化二重积分为二次积分
（只研究先对r后对θ的积分次序） 型区域
下面根据极点O与区域D的位置分三种情况讨论 r2(θ)
(1)若极点O在区域 D 之外
D : α θ β, r1(θ) r r2(θ), 则有
r1(θ) D
β
α
f (r cosθ, r sinθ)rdrdθ
o
x
D
D1
D2
201dx
1
x2
(
y
x2 )dy
201dx
x
0
2
(x2
y)dy.
例3.17——3.18不作要求
小结
一、二重积分在直角坐标系中计算
D
f (x, y)dxdy
b
dx
a
y2 ( x) y1 ( x )
f
(
x,
y)dy(
d
dy
c
x2( y) f ( x, y)dx).
x1 ( y)
二、二重积分在极坐标系中的计算
x
3y 0
θ1
π
6π
y 3x 0 θ2 3
故
( x2 y2 )dxdy
D
3 d
4sin r 2 rdr
6
2sin
15( 2
3).
二重积分在极坐标下的计算
例7 求广义积分 I e x2 dx.(泊松积分,例3.19）
解 因为被积函数为偶函数, 所 以I 2 e x2 dx. 0 又因为被积函数 e x2 的原函数不是初等函数,
β
dθ
r2 (θ) f (r cosθ, r sinθ)rdr.
α
r1 (θ )
r r(θ)
D
β
(2) 极点O在区域D的边界线上
，0 r r( ), 则有
o
α
x
f (r cosθ, r sinθ)rdrdθ
β
r (θ )
dθ f (r cosθ, r sinθ)rdr.
α
0
D
二重积分在极坐标下的计算
b
dx
y2(x) f ( x, y)dy(
d
dy
x2( y) f ( x, y)dx).