概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)
概率论与数理统计第二章习题参考答案]
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(1)设
X
服从二项分布，其分布律为 P{X
=
k}=
C
k n
pk (1−
)p n−k
K=0，1，2，……n，问 K 取何值时 P{X = k}最大？
（2）设 X 服从泊松分布，其分布率为 p{X = k} = λke−λ ，k=0，1，2……
k!
问 K 取何值时 P{X = k}最大？
（1）
解： M
=
N 试确定常数 a
（2）设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = b ⋅ ⎜⎛ 2 ⎟⎞k , k = 1,2.....
⎝3⎠
试确定常数 b
（3）设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = c ⋅ λk , k = 0,1,2......λ > 0 为常数，
k!
试确定常数 c
N
解：（1） ∑ P{X
6、设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = k , k = 1,2,3,4,5
15
其分布函数为 F (x) ，试求：
（1）
P⎨⎧ ⎩
1 2
<
X
<
5 2
⎫ ⎬ ⎭
，
（2） P{1 ≤ X ≤ 2}，
（3） F ⎜⎛ 1 ⎟⎞ ⎝5⎠
解：（1）
P⎨⎧ ⎩
1 2
<
X
<
5⎫
2
⎬ ⎭
=
P{X
= 1}+
0
2
1
x
xdx+
0
1
(2−
x)dx=
2x
−
x2
/
2−1
0< x ≤1 1< x≤2
概率论与数理统计练习册答案
概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==，故365()1365rrP P A =-.12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3．0.3，0.5 解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。
概率论与数理统计练习册-第二章答案
第二章 随机变量及其分布基础训练Ⅰ一、选择题1、下列表中（ A ）可以作为离散型随机变量的分布律。
A) X 1 －1 0 1 B) X 2 0 1 2P 1/4 1/2 1/4 P －1/4 3/4 1/2C) X 3 0 1 2 D) X 4 1 2 1P 1/5 2/5 3/5 P 1/4 1/4 1/2 2、常数b ＝（ B ）时，),2,1()1( =+=k k k bp k 为离散型随机变量的概率分布。
A ）2B ）1C ）1/2D ）33、设⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,2/0,0)(x x x x x F ，则（ D ）A ）是随机变量的密度函数 B) 不是随机变量的分布函数 C ）是离散型随机变量的分布函数 D ）是连续型随机变量的分布函数4、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量21,X X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）A ）a ＝3/5，b ＝－2/5 B) a ＝2/3，b ＝2/3 C ）a ＝－1/2，b ＝3/2 D ）a ＝1/2，b ＝－3/25、设随机变量),(~2σμN X ,且}{}{c X P c X P >=≤，则=c （ B ）A) 0 B)μ C) μ- D) σ二、填空题1、连续型随机变量取任何给定值的概率为 0 。
2、设离散型随机变量X 分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛5.03.02.0210，则P (X ≤1.5) = 0.5 。
3、设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x Ax x x F ，则A = 1 ，X 落在（－1,1/2）内的概率为 1 / 4 。
4、设K 在（0, 5）上服从均匀分布，则方程02442=+++K Kx x 有实根的概率为0.6 。
5、随机变量X 的分布函数)(x F 是事件}{x X ≤的概率。
概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)
第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。
《概率论与数理统计》习题及答案 第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
概率论与数理统计习题解答(第2章)
概率论与数理统计习题解答(第2章)习 题 二（A ）三、解答题1．一颗骰子抛两次，以X 表示两次中所得的最小点数(1) 试求X 的分布律； (2) 写出X 的分布函数．解: (1)分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有1-612⨯C（这里12C 指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为612⨯C 多算了一次）或1512+⨯C 种，故2{}36113615361-611212=+⨯=⨯==C C X P ,其他结果类似可得.(2)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤=+=+=+=+=<≤=+=+=+=<≤=+=+=<≤=+=<≤=<=6165}5{}4{}3{}2{}1{54 }4{}3{}2{}1{43 }3{}2{}1{32}2{}1{21}1{1 0 )(x x X P X P X P X P X P x X P X P X P X P x X P X P X P x X P X P x X P x x F ，，，，，，，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<≤<=6 165363554 363243 36273236202136111 0 x x x x x x x ，，，，，，， 2．某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各5只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出5只球，若5只球同色，则获奖100元，否则无奖，以X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求X 的分布律．3解：注意，这里X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然{}1261299510===C X P .3．设随机变量X 的分布律为;,2,1,0,!}{>===λλ k k ak X P k为常数，试求常数a ．解：因为1!0==-∞=∑λλaek ak k，所以λ-=e a .4．设随机变量X 的分布律为(1) 求X 的分布函数；(2) 求}21{≤X P ，}2523{≤<X P ，}32{≤≤x P ． 解： (1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤-<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤=+-=<≤--=<=3x 132432141-1x 03x 132}2{}1{21}1{-1x 0)(，，，，，，，，x x x X P X P x X P x f ，4(2) {}41121=-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤X p X P 、 {}2122523===⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<X P X P , {}{}{}{}{}{}43323232==+=====≤≤X P X P X X P X P .5．设随机变量X 的分布律为 ,2,1,21}{===k k X P k求： (1) P {X = 偶数} (2) P {X ≥ 5} (3) P {X = 3的倍数} 解：(1) {}3121121121lim 212121222242=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++==∞→i i iX P 偶数，(2) {}{}16116151415=-=≤-=≥X P X P ， (3) {}7121121121lim 21333313=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-===∞→∞=∑i i i i X P 的倍数.6. 某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计） (1) 求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率．(2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到5一次紧急呼救的概率． 解：(1) ()()5.15.0~P t P X = {}5.10-==e X P .(2) 5.25.0=t {}{}5.21011--==-=≥e x P x P .7. 某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概率．解：设射击的次数为X ，由题意知().20400~，B X , {}{},98.002.0111240010400k k k kC X P X P -=∑-=≤-=≥9972.028.01!81810=-=-≈-=∑e k k K ，其中8=400×0.02.8. 设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号．现进行5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率． 解：设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数，().305~，B X 则指示灯发出信号的概率{}{})7.03.07.03.07.03.0(131********55005C C C X P X P p ++-=<-=≥=1631.08369.01=-=.9. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从参数为5指数分布．某顾客在6窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开．他一个月要到银行5次，以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数．写出Y 的分布律，并求P {Y ≥ 1}． 解：因为X 服从参数为5的指数分布，则51)(xex F --=，{}2)10(110-=-=>e F X P ，()25~-e B Y ，,则50,1,k ,)1()(}{5225=-==---k k k e e Ck Y P .0.516711}0{-1}1{52=--===≥-）（e Y P Y P10．设随机变量X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=2||,02||,cos )(ππx x x a x f ，试求：(1) 系数a ；(2) X 落在区间)4,0(π内的概率． 解：(1) 由归一性知：⎰⎰-∞+∞-===222cos )(1ππaxdx a dx x f ，所以21=a . (2) .42|sin 21cos 21}40{404===<<⎰πππx xdx X P . 11．设连续随机变量X的分布函数为7⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x Ax x x F试求：(1) 系数A ；(2) X 落在区间(0.3，0.7)内的概率；(3) X 的概率密度．解 （1）由F (x )在x =1的连续性可得)1()(lim )(lim 11F x F x F x x ==-→+→，即A=1.（2）{}=<<7.03.0X P 4.0)3.0()7.0(=-F F .（3）X 的概率密度⎩⎨⎧<<='=,010,2)()(x x x F x f .12．设随机变量X 服从(0，5)上的均匀分布，求x 的方程02442=+++X Xx x有实根的概率．解：因为X 服从（0，5）上的均匀分布，所以⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他05051)(x x f若方程24422=+++X Xx x 有实根，则3216)4(2≥--=∆X X ，即12-≤≥X X ，所以有实根的概率为{}{}53510511252152==+=-≤+≥=⎰⎰-∞-x dx dx X P X P p813．设X ～N (3，4)(1) 求};3{},2{},104{},52{>>≤<-≤<X P X P X P X P (2) 确定c 使得};{}{c X P c X P ≤=>(3) 设d 满足9.0}{≥>d X P ，问d 至多为多少?解: (1) 因为4)(3~，N X 所以 )2()5(}52{F F X P -=≤<5328.016915.08413.01)5.0()1(=-+=-Φ-Φ={})4()10(104--=≤<-F F X P9996.019998.021)5.3(21)5.3()5.3(=-⨯=-Φ=--Φ-Φ={}{}212≤-=>X P X P {}221≤≤--=X P[])2()2(1---=F F [])5.2()5.0(1-Φ--Φ-=[])5.0()5.2(1Φ-Φ-=3023.01-=6977.0={}{}313≤-=>X P X P )3(1F -=)0(1Φ-=5.01-=5.0=. (2){}{}c X P c X P ≤-=>1，则{}21=≤c X P 21)23()(=-Φ==c c F ，经查表得21)0(=Φ，即023=-c ，得3=c ；由概率密度关于9x=3对称也容易看出。
概率论与数理统计统计课后习题答案(有过程)
概率论与数理统计统计课后习题答案(有过程)第一章习题解答1．解：（1）Ω=｛0，1，…，10｝；（2）Ω=｛，1，…，100n｝，其中n为小班人数；n（3）Ω=｛√,×√, ××√, ×××√,…｝,其中√表示击中，×表示未击中；（4）Ω=｛（x,y）｝。
2．解：（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员；（2）当全学院运动员都是三年级学生时，关系式是正确的；（3）全学院运动员都是三年级的男生，ABC=C成立；（4）当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，=B成立。
3．解：（1）ABC；（2）AB；（3）；（4）；（5）；（6）4．解：因，则P（ABC）≤P（AB）可知P（ABC）=0 所以A、B、C至少有一个发生的概率为P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=3×1/4-1/8+0 =5/85．解：（1）P（A∪B）= P（A）+P（B）-P（AB）=0.3+0.8-0.2=0.9 P(A)=P（A）-P（AB）=0.3-0.2=0.1（2）因为P（A∪B）= P（A）+P（B）-P（AB）≤P（A）+P（B）=α+β, 所以最大值maxP （A∪B）=min(α+β,1)；又P（A）≤P（A∪B），P（B）≤P（A∪B）,故最小值min P（A∪B）=max(α,β)6．解：设A表示事件“最小号码为5”，B表示事件“最大号码为5”。
223由题设可知样本点总数，。
2C52C411所以；7．解：设A表示事件“甲、乙两人相邻”，若n个人随机排成一列，则样本点总数为n!，， 1若n个人随机排成一圈.可将甲任意固定在某个位置，再考虑乙的位置。
表示按逆时针方向乙在甲的第i个位置，。
则样本空间，事件所以8．解：设A表示事件“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中有数8”，则其对立事件A表示“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中没有数8”，即号码中每一位都可从除8以外的其他9个数中取，因此A包含的基本事件数为，样本点总数为104。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第二章习题参考答案
（2）Y 的全部可能取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5，
且 P{Y
= 0} =
6 62
=
6 36
， P{Y
= 1} =
5×2 62
=
10 36
，
P{Y
=
2}
=
4×2 62
=
8 36
，
P{Y
=
3}
=
3× 2 62
=
6 36
，
1
P{Y
=
4}
=
2×2 62
=
4 36
，
P{Y
=
5}
=
1× 2 62
=
⎟⎞ ⎠
3
× ⎜⎛ ⎝
5 ⎟⎞1 6⎠
=
20 1296
，
P{X
=
4} =
⎜⎜⎝⎛
4 4
⎟⎟⎠⎞
×
⎜⎛ ⎝
1 6
⎟⎞ ⎠
4
× ⎜⎛ ⎝
5 ⎟⎞0 6⎠
=
1 1296
，
故 X 的概率分布列为
X0 1 2 3 4 P 625 500 150 20 1 ．
1296 1296 1296 1296 1296
6． 从一副 52 张的扑克牌中任取 5 张，求其中黑桃张数的概率分布． 解：设 X 表示黑桃张数，有 X 的全部可能取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5，
2 36
，
故 Y 的分布列为
Y0 1 2 3 4 5 P 6 10 8 6 4 2 ．
36 36 36 36 36 36
3． 口袋中有 7 个白球、3 个黑球． （1）每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数 X 的概率分布列； （2）如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，此时 X 的概率分布列如何．
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第二章练习题(答案)一、单项选择题1. 已知连续型随机变量X 的分布函数为3.若函数f(x)是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是(C ) A. f(x)的定义域是[0, 1] B. f(x)的值域为[0,1]4.设X - N(l,l),密度函数为f(x),则有(C )5.设随机变量X ~ N (/M6), Y 〜N 仏25)，记 P1 = P (X <//-4), p 2 = P (Y> “ + 5), 则正确的是(A)对任意“，均有Pi = p 2 (B)对任意“，均有Pi v p?(c)对任意〃，均有Pl > Pi (D )只对“的个别值有P1 = P26.设随机变量x 〜N(10^s 2) 9 则随着s 的增加 P{|X- 10|< s} ( C )F(x) =o,kx+b 、 x<0 0 < x< x>则常数&和〃分别为 (A) k = —b = 0龙， (B) k = 0,b 丄 (C) k = —,b = 0 (D) k = 0,b= 1 n In In2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数(A ) z 7fl -cosx ； 2 0, f sinx,A. f(x)』沁,xnO C. f (x)= a (a>0);B. f (x)1, x < 0[cosx, — - < X < - 1 2 2 D. f (x) 其他 0, 0 < X < 7T 其他 —-< x < - 2 2 其他 C- f(x)非负D. f (x)在(-叫+00)内连续A. P {X <O }=P {X >O }B. f(x)= f(-x)C. p{x<l}=p{x>l} D ・ F(x) = l-F(-x)A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设片3与E（力分别为随机变量X、兀的分布函数，为使F（沪aF©—胡（力是某一随机变量的分布函数，在下列给定的多组数值中应取（A ）&设心与人是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为ft （力和f2（力，分布函数分别为川力和E （力，则（A）亡（力+負（力必为某个随机变量的概率密度；（B） f心）临（力必为某个随机变量的概率密度；（C）川力+£（力必为某个随机变量的分布函数；（D）FAx）吠（力必为某个随机变量的分布函数。
9.设连续随机变量X的密度函数满足f（x） = f（-x） , F（x）是X的分布函则P( XI > 2004)=(D )(A) 2-F(2004) ；(B) 2F(2004)-1 ； (C) l-2F(2004)；(D) 2[l-F(2004)].10.每次试验成功率为p（Ovpvl）,进行重复试验，直到第十次试验才取得4次成功的概率为(B )A、C^p4(l-p)6B、C^p4(l-p)6C、C^p4(l-p)5D、C；p“l-p)611-设随机变量x的概率密度为f（週严（弋GV+J则其分布函数F (x)是(B )(A) F (x) =■1 X .2e，X<(B) F (x)=J,x>0A|e\x<0l--e_x,x>022D.1 , -e\x<02 (D) F (x) =<l--e~x ,O<x<l2Lx>0 二、填空题1.设随机变量x 的概率密度为1 .a f(x) = — e 4 , -oo<x<oo 2五KY=aX + b 〜N(0,1) (a >0),贝(|a= —, b= 41 ・_ -----------0 x<-l2. 已知随机变量X 的分布函数F(x)=二"J,则X 的分布律为0.7 l<x<31 x>3X -1 1 3F 0.4 0.3 0.33. 设三次独立试验中，事件川出现的概率相等，如果已知力至少出现一 次的概率等于菩，则事件虫在一次试验中出现的概率为1/3・4. X 〜B(2, p),Y 〜B(4, p),已知 p{X^l} = |,则 p{Y>l} = go 1 三、计算题1.设连续型随机变量X 的分布函数为F(x)= A+Barctanx,-8VXV+00.求⑴ 常数虫和〃；(2) X 落入区间(71)的概率；(3)X 的概率密度f(x)(1) A=1/2,B=1/TT ; (2)1/2; (3) f(x)=i 宀 (-oo<x <oo)71 1+X 2、 1- —e"x (c) F (x) =r 2 ' l,x>0 x<00, x<-a, 2・设连续型随机变量无的分布函数为F(x) = < A+Barcsm-, -a<x<a,其中 a 1, x>a,a>0,求：(1)常数人 B\(2)P {|X |<^}； (3)概率密度 f (x)・(1) A=1/2,B=1/TT ; (2) 1/3; (3) f(x)二 n 傅二0,|x| > a3.若©〜U[0, 5],求方程x2+« x +l=0有实根的概率.求(1)系数 k ； (1) § 的分布函数；(3) Pfe<l},P{e = l}.P{l<^<2}.(2) Y=e-2X (3) Y=X ，的概率分布.6.设X 〜N (0, 1)求丫次的概率密度。
7•进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为p,试求以下事件的概 率：(1)直到第「次才成功；(2) 第】次成功之前恰失败k 次；(3) 在D 次中取得r(l<r<n)次成功；(4) 直到第1】次才取得r(l<r <n)次成功。
解：(1) P = p(i-p)T (2) P = c ；；i_1P r d-P )k(3) P = c ；p r (i-P )M (4) P = c ：：p 「(i_p )円8•投掷“次均匀硬币，求出现正反面次数相等的概率。
解 若口为奇数，显然，出现正反面次数不可能相等，故所求概率为0; 若为偶数，“出现正反面次数相等”等价于“出现正反面次数各口/2次”，投掷n 次均匀硬币，可以看作伯努里概型，故这时概率为:[0, n 为奇数 ----- 2分故所求为：(c ：「2T, n 为偶数 12分 9•某科统考成绩近似服从4.设连续型随机变量歹的概率密度为f(x)=o;2:2 < < >- XXX <- 5-已知随机变量才的概率密度为f(x) = e"\x>0, a x<0-求随机变量(1) Y=2X,N(70, 102),在参加统考的人数中，及格者100人(及格分数为60分)，计算(1)不及格人数；(2)成绩前10名的人数在考生中所占的比例；(3)估计排名第10名考生的成绩。
解，设考生的统考成绩为X, X〜N(70, 1O2).设参加统考的人数为n, 则P{x^6O}=l-0(^^)=0 (1) =0.8413,—=0.8413.10 11(1)不及格人数占统考人数的15.87%,不及格人数为0.1587n^l9Ao ⑵ 前10名考生所占比例为更4%II(3)设第10 名考生成绩为X。
分,P{XMx。
}二0・ 08413, P{X<x o}=0. 91587 0(^)=0.91587,千尹=1.37, x0=83.7^84 分。
O x<- 110•离散型随机变量X的分布函数F(x)=(a，-1 S x VI,且P(x=2)= 1.-a, 1 < x<2la + b, x > 2求a,b及x的分布律.11•巴拿赫火柴盒问题：波兰数学家巴拿赫(Banach)随身带着两盒火柴,分别放在左右两个衣袋里，每盒各有Ji根火柴。
每次使用时，他随机地从其中一盒中取出一根。
试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下K根火柴的概率。
解：A：“取左衣袋盒中火柴”，B：“取右衣袋盒中火柴”。
P(A)=P(B)=l/2. 若Banach首次发现他左衣袋盒中火柴用完，这时事件A已经是第n+1次发生了，而此时他右衣袋盒中火柴恰好剩k根一相当于他在此前已在右衣袋中取走了n-k根火柴，即B发生了n-k次，即一共做了n-k+n+l=2n k+1次随机试验，其中A发生了n+1次，B发生了n-k次，在这2n-k+l次试验中，第2n—k+l次是A发生，前面的次试验中，A发生了n次，B发生了"k 次,这时概率为P(A)C人/P(A))n(P(B))n-k =ic?n_k(i)2n-k由对称性知，他右衣袋盒中火柴用完，而左衣袋盒中火柴恰好剩k根的概率也是扌C人亠匚所以，将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下k根火柴的概率为Cn /1、2n_k2n - °四.应用题1.某家电维修站保养本地区某品牌的600台电视机，已知每台电视机的故障率为0. 005 o(1)如果维修站有4名维修工，每台只需1人维修，求电视机能及时维修的概率。
(2)维修站需配备多少维修工，才能使及时维修的概率不少于96%。
解：设同一时刻发生故障的电视机台数为X, X~B(600, 0. 005),由于n很大，而P较小，可以利用泊松定理计算。
A=np=3,所以P{X^4}=l-0.1847=0. 8153 (査表)P{XWn} M0. 96,査表知n=6,即需配备6名维修工。
2•人寿保险问题：某单位有2500个职工参加某保险公司的人寿保险。
根据以前的统计资料，在1年内每个人死亡的概率为0.0001 o每个参保人1年付给保险公司120元保险费,而在死亡时其家属从保险公司领取20000元,求(不计利息)下列事件的概率。
(A)保险公司亏本。
(B)保险公司1年获利不少于十万元。
解：设这2500人中有k个人死亡。
则保险公司亏本当且仅当20000k>2500*120,即k>15.由二项概率公式知，1年中有k个人死亡的概率为C^soo (0. OOOl)k (0.9999)2500-k.k=0,l,2, ,2500所以，保险公司亏本的概率P(A)吃聲％° (0.0001)k (0・9999严007^0.000001 (由此可见保险公司亏本几乎不可能)保险公司1年获利不少于十万元等价于2500*120-20000k^ 1(^ 即k^lO保险公司1年获利不少于十万元的概率为P(B)=Sk=o C愿oo (0 0001)k (0.9999严^0.999993662 (由此可见保险公司1年获利不少于十万元几乎是必然的) 对保险公司来说，保险费收太少了，获利将减少，保险费收太多了，参保人数将减少，获利也将减少。