12-5轴对称类全等问题(1).题库教师版

与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，AB OPPOB A A BOP【例1】 已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．ODCBA【考点】轴对称型全等问题 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2008年，宜宾市，中考 【解析】略【答案】连结AB在ADB ∆与BCA ∆中 AD BC AB BA BD AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ADB BCA ∆∆≌ ∴ D C ∠=∠ODCBA轴对称类全等问题【例2】 如图，已知AC BD =，AD AC ⊥，BC BD ⊥，求证：AD BC =．DC BA【考点】轴对称类全等问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】连结CD在Rt ADC ∆和Rt BCD ∆中 AC BDDC CD =⎧⎨=⎩∴Rt Rt ADC BCD ∆∆≌ ∴AD BC =ABC D【例3】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．F E ODCB A【考点】轴对称类全等问题【难度】1星 【题型】解答【关键词】2008 年，哈尔滨，中考【解析】∵BE CF =，∴BE EF EF CF +=+，∴BF CE =在ABF ∆与DCE ∆中 AB DC B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ABF DCF ∆∆≌ ∴AF DE =，AFB DEC ∠=∠ ∴OF OE = ∴AF OF DE OE -=- ∴OA OD =【答案】【例4】 如图所示，已知AD AE =，DF EF =．求证：AB AC =．A BC DEF【考点】轴对称类全等问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】连接AF ，根据SSS 易得ADF ∆≌AEF ∆，进而得C B ∠=∠根据AAS 易得ABE ∆≌ACD ∆，进而得AB AC =．【例5】 在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =，求证：AB AC =．D CBA【考点】轴对称类全等问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】延长AD 到E ，使ED AD =，连结BE ，ED CBA在ADC ∆和EDB ∆中 AD ED ADC EDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC EDB ∆∆≌∴AC EB =，CAD BED ∠=∠ 又∵BAD CAD ∠=∠ ∴BAD BED ∠=∠ ∴AB EB = ∴AB AC =．【例6】 已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．ED CB【考点】轴对称类全等问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】∵AB AC =∴ABC ACB ∠=∠∵CD 平分ACB ∠，∴12DCB ACB ∠=∠．同理12EBC ABC ∠=∠．在DCB ∆与EBC ∆中，ABC ACB ∠=∠，DCB EBC ∠=∠，BC CB = ∴DCB EBC ∆∆≌，∴CD BE =．点评：其实就是等腰三角形底角平分线相等．【例7】 已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．F E CBA【考点】轴对称类全等问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】在BCE ∆和CBF ∆BEC CFB CBE BCF BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCE CBF ∆∆≌，BF CE =． 另一方法：面积法．1122ABC S AB CE AC BF ∆=⋅=⋅，∵AB AC =，∴BF CE =．等腰三角形两腰上的高相等．【例8】 如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE 的交点为F ．求证：FE FD =．FBEDC【考点】轴对称类全等问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】在AC 上截取AG AE =，连结FG ，AEF AGF ∆∆≌，AFE AFG ∠=∠，FE FG =，可推出60CFG CFD ∠=︒=∠， 进而证明CFG CFD ∆∆≌，有FA=FD ,进而得FE FD =．【例9】 如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．E DC B A4321【考点】轴对称类全等问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略 【答案】∵12∠=∠，34∠=∠，AC AC =∴ACD ACB ∆∆≌ ∴AB AD = ∴12∠=∠，AE AE = ∴AED AEB ∆∆≌ ∴ED EB =【例10】 如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．PDBOCA【考点】轴对称类全等问题 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2006年，北京，中考 【解析】略【答案】∵OP 是AOC ∠和BOD ∠的角平分线∴AOP COP ∠=∠，BOP DOP ∠=∠ ∴AOB COD ∠=∠ 在AOB ∆和COD ∆中 OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOB COD ∆∆≌(SAS)，∴AB CD =．【例11】 已知ABC ∆中，AB AC =，GE 过A 且GE BC ∥，B ∠的平分线与AC 和GE 分别交于D ，E ，C∠的平分线与AB 和GE 分别交于F ，G ．求证DE FG =．GFEDCBA【考点】轴对称类全等问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】先证ABE AGC ∆∆≌，得到GC BE =；再证BFC BDC ∆∆≌，得到FC BD =； 得到DE FG =．【例12】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．F E DC BA【考点】轴对称类全等问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】∵CE FB =， ∴CE EF FB EF +=+， 即CF BE =．在AEB ∆和DFC ∆中， CF BE DC AB DF AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴AEB ∆≌DFC ∆(SSS )∴AEF DFE ∠=∠，在AEF ∆和DFE ∆中，AE DF AEF DFE EF FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ∆≌DFE ∆(SAS )，∴AF DE =．【例13】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．ABCDEO【考点】轴对称类全等问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】利用SAS 证得ABE ∆≌ACD ∆，∴E D ∠=∠，根据已知可得BD CE =，利用AAS 证得BOD ∆≌COE ∆， ∴OD OE =，利用SAS 证得AOD ∆≌AOE ∆， ∴OAD OAE ∠=∠，∴OA 平分DAE ∠．【例14】 如图所示，C 是AB 的中点，CD CE =，DCA ECB ∠=∠，求证DAE EBD ∠=∠．EDC BA【考点】轴对称类全等 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】因为DCA ECB ∠=∠，所以DCA DCE ECB DCE ∠+∠=∠+∠，即ACE BCD ∠=∠．在ACE ∆和BCD ∆中，由于AC BC =，ACE BCD ∠=∠，CD CE =， 则ACE BCD ∆∆≌，从而EAC DBC ∠=∠，AE BD =．又在ABD ∆和BAE ∆中，注意到AB 公用，则ABD BAE ∆∆≌， 从而DAB EBA ∠=∠，所以DAB EAC EBA DBC ∠-∠=∠-∠， 故DAE EBD ∠=∠．【例15】 如图，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，AE BC ⊥于E 交BD 于G ，FG ∥AC 交BC 于F ，连接DF ．求证：DF BC ⊥GFEDCBA【考点】轴对称类全等问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2000年，南昌市，中考 【解析】略【答案】先证△AGB ≌△FGB ，再证△FDB ≌△ADB【例16】 如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，D 是AC 上一点，且CD CB AB ==，DE AC ⊥交AB 于E 点．求证：AD DE EB ==．CB DEA【考点】轴对称类全等问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】解法一：如图，连结CE ．∵ED AC ⊥，∴90EDC EDA ∠=∠=︒．∵90B ∠=︒，∴EDC B ∠=∠．在CDE ∆与CBE ∆中，CD CB =，CE 公共，EDC B ∠=∠， ∵AB BC =，45A ∠=︒．∵45AED ∠=︒，A AED ∠=∠． ∴AD DE =．∴AD DE EB ==． 解法二：连结DB ． ∵CD CB =，∴CBD CDB ∠=∠．∵ED AC ⊥，90CDE ∠=︒． ∵90ABC ∠=︒， ∴CDE ABC ∠=∠． ∴EBD EDB ∠=∠， ∴DE EB =．∵AB AC =，∴45A ∠=︒． ∵90ADE ∠=︒， ∴45AED ∠=︒． ∴AD DE EB ==．CB DEA【例17】 如图，ABC ∆中，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，DG BC ⊥于G ，EH BC ⊥于H ．求证：DG EH =．HG ED CBA【考点】轴对称类全等 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点又∵AB AC =，∴DB EC =． ∵AB AC =，∴B C ∠=∠． ∵DG BC ⊥，EH BC ⊥ ∴90DGB EHC ∠=∠=︒． 在DGB ∆和EHC ∆中 DGB EHC B CDB EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DGB EHC ∆∆≌，∴DG EH =．【例18】 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．M EDC B A【考点】轴对称类全等问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】延长AB ，AE ，交直线CD 于F ，G ．∵ABC AED ∠=∠． ∴FBC GED ∠=∠．∵BCM EDM ∠=∠． ∴BCF EDG ∠=∠． ∴在BCF ∆与EDG ∆中 FBC GED BC EDBCF EDG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴(ASA)BCF EDG ∆∆≌ ∴F G ∠=∠．FC GD =． ∴AG AF = ∵CM MD = ∴FM MG =∴在AM F ∆与AMG ∆中 AM AM FM MG AF AG =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()SSS AMF AMG ∆∆≌ ∴180902AMF AMG ︒∠=∠==︒ ∴AM CD ⊥G F M EDC B A【例19】 如图，AB AE =，ABC AED ∠=∠，BC ED =，点F 是CD 的中点．求证：AF CD ⊥．F EDC BA【考点】轴对称类全等问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】连结AC 、AD ．ABC F DE∵AB AE =，ABC AED ∠=∠，BC ED = ∴ABC AED ∆∆≌，∴AC AD =又∵F 为CD 的中点，∴AF BE ⊥．【例20】 如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且A E A F =．求证：EDB FDC ∠=∠．DFECBA【考点】轴对称类全等问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】连结AD ，则AD BC ⊥．∵AE AF =，AD AD =，∴Rt Rt AED AFD ∆∆≌ ∴AD E AD F ∠=∠，∴EDB FDC ∠=∠．DBCFAE【例21】 如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．E D NM CBA【考点】轴对称类全等问题【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】∵AB AC =，∴ABC ACB ∠=∠．∵D 、E 是AB 、AC 的中点，∴DB EC =，AD AE =．在DBC ∆与ECB ∆中，BC CB =，DBC ECB ∠=∠，DB EC =， ∴DBC ECB ∆∆≌．∴BDC CEB ∠=∠ ∵ADM BDC ∠=∠，AEN CEB ∠=∠，∴ADM AEN ∠=∠．在AM D ∆与ANE ∆中，90M N ∠=∠=︒AD AE =，ADM AEN ∠=∠，∴AMD ANE ∆∆≌，∴AM AN =． 证法二：∵AB AC =，∵D 、E 是AB 、AC 的中点， ∴AD AE =．在DAC ∆与EAB ∆中，AB AC =，AE AD =，A A ∠=∠，∴DAC EAB ∆∆≌，∴ACD ABE ∠=∠．AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ． ∴90M N ∠=∠=︒，在AMC ∆与ANB ∆中，AC AB =，ACM ABN ∠=∠，M N ∠=∠， ∴AMC ANB ∆∆≌，∴AM AN =． 证法三：∵AB AC =，∵D 、E 是AB 、AC 的中点，∴12ADC ABC S S ∆∆=，12AEB ABC S S ∆∆=及AD AE =，∴ADC AEB S S ∆∆=，在ADC ∆与AEB ∆中，AD AE =，AC AB =，A A ∠=∠，∴ADC AEB ∆∆≌，∴CD BE =．∴1122CD AM BE AN ⋅=⋅，∴AM AN =．【例22】 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．M EDC B A【考点】轴对称类全等问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】延长AB ，AE ，交直线CD 于F ，G ．∵ABC AED ∠=∠． ∴FBC GED ∠=∠． ∵BCM EDM ∠=∠． ∴BCF EDG ∠=∠． ∴在BCF ∆与EDG ∆中 FBC GED BC EDBCF EDG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴(ASA)BCF EDG ∆∆≌ ∴F G ∠=∠．FC GD =． ∴AG AF = ∵CM MD = ∴FM MG =∴在AM F ∆与AMG ∆中 AM AM FM MG AF AG =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()SSS AMF AMG ∆∆≌ ∴180902AMF AMG ︒∠=∠==︒ ∴AM CD ⊥G F M EDC B A【例23】 如图，在四边形ABCD 中，AD BC A ∠∥，的平分线AE 交DC 于E ．求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．EDCBA【考点】轴对称类全等问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】在AB 上截取AF ，使AF AD =，连接EF ，则可得ADE AFE ∆∆≌，于是ADE AFE ∠=∠．由AD BC ∥，知180ADE C ∠+∠=︒， 而180EFB AFE ∠+∠=︒， 从而EFB C ∠=∠注意到BE 平分B BE ∠，公用，于是，由角边角公理的推论，知EFB ECB ∆∆≌， 从而BF BC =．故AD BC AF BF AB +=+=．FEDCBA【例24】如图，在ABC∆中，BE、CD分别是ABC∠、ACB∠的角平分线，且BD CE BC+=，则A∠的度数为．EDCBA【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】60︒．【例25】如图所示，在ABC∆中，100A∠=︒，40ABC∠=︒，BD是ABC∠的平分线，延长BD至E，使DE AD=．求证：BC AB CE=+EDCA【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】在BC上取一点F，使得BF BA=FE DCA 易证得ADB FDB∆∆≌∴DF AD=，又∵DA DE=∴DF DE=∵100A∠=︒，AB AC=∴40ABC∠=︒∵BD平分ABC∠，∴20ABD∠=︒∴60ADB FDB∠=∠=︒∵60CDE ADB∠=∠=︒∴60FDC EDC∠=∠=︒∴DCF DCE∆∆≌∴FC EC=∴BC BF FC AB CE=+=+【例26】 已知ABC ∆中，60A ∠=︒，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBA【考点】轴对称类全等问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2006年，北京，中考 【解析】BE CD BC +=理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF 利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆ ∴12∠=∠ ∵60A ∠=︒∴1901202BOC A ∠=︒+∠=︒∴120DOE ∠=︒∴180A DOE ∠+∠=︒ ∴180AEO ADO ∠+∠=︒ ∴13180∠+∠=︒ ∵24180∠+∠=︒ ∴12∠=∠ ∴34∠=∠利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆ ∴CD CF =∴BC BF CF BE CD =+=+4321F O DE C BA【例27】 如图（1）所示，OP 是MON ∠的平行线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图（2），在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ． 请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系． （2）如图（3），在ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其他条件均不变，请问，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（1）PNMO（2）FED CBA（3）FEDCBA【考点】轴对称类全等问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】06北京课改第23题 【解析】略 【答案】（1）FE FD =．证明：在AC 上取点M ，使得AM AE =，连接FM ．易证AEF AM F ∆∆≌，故EF FM =． 可证MCF DCF ∆∆≌，故FD FM EF ==．MFED CBA（2）在AC 上取点M ，使得AM AE =，连接FM ．M FEDCBA∵BAD CAD ∠=∠，AF AF =，AE AM = ∴AEF AM F ∆∆≌ ∴EF FM =，AFE AFM ∠=∠∵BAD CAD ∠=∠，BCE ACE ∠=∠，60B ∠=︒ ∴120AFC ∠=︒，60AFE ∠=︒ ∴60MFC DFC ∠=︒=∠∵BCE ACE ∠=∠，CF CF = ∴MFC DFC ∆∆≌ ∴DF FM EF ==【例28】 如图，I 是ABC △的内心，且CA AI BC +=．若80BAC ∠=︒，求ABC ∠和AIB ∠的大小．ABCI【考点】轴对称类全等问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】第19届“希望杯”，初二试题【解析】略【答案】因为有内心，故可以用角平分线构造全等三角形，从而使问题容易解决．如图，在BC 上取点D ，使CD AC =，连接DI ． 因为CA AI BC +=， 所以BD AI =．在ACI △和DCI △中，AC DC =，ACI DCI ∠=∠，CI CI =． 所以ACI DCI △≌△． 于是AI D I =． 所以DI BD =． 因为80BAC ∠=︒，所以40CAI ∠=︒，40CDI ∠=︒． 又CDI ∠是等腰BDI △的外角，所以20DBI DIB CDI ∠=∠=∠=︒，40ABC ∠=︒． 在AIB △中，40BAI ∠=︒，20ABI ∠=︒， 所以()1802040120AIB ∠=︒-︒+︒=︒．20︒40︒40︒ID CBA【例29】 在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．CD B PA【考点】轴对称类全等问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】在AB 上截取AE AC =，连结EP ，根据SAS 证得AEP ∆≌ACP ∆，ECD B PA∴PE PC =，AE AC =又BEP ∆中，BE PB PE >-，BE AB AC =-，∴AB AC PB PC ->-【例30】 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ．求证：当BE 是B ∠的角平分线时，有AD BC AB +=．【考点】轴对称类全等问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】在AB 上截取AF ，使AF AD =，连EF ，则可得ADE AFE ∆∆≌． ∴ADE AFE ∠=∠． ∵AD BC ∥，知 180ADE C ∠+∠=︒． ∵180EFB AFE ∠+∠=︒． ∴EFB C ∠=∠．注意到BE 平分B ∠，BE 公用， ∴EFB ECB ∆∆≌，∴BF BC =． ∴AD BC AF BF AB +=+=．【例31】 如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.D CB A【考点】轴对称类全等问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】解法1：如图所示，延长AB 至E 使BE BD =，连接ED 、EC .ED CB A由AC AB BD =+知AE AC =，而60BAC ∠=，则AEC ∆为等边三角形.注意到EAD CAD ∠=∠，AD AD =，AE AC =， 故AED ACD ∆∆≌.从而有DE DC =，DEC DCE ∠=∠，故2BED BDE DCE DEC DEC ∠=∠=∠+∠=∠.所以20DEC DCE ∠=∠=︒，602080ABC BEC BCE ∠=∠+∠=︒+︒=︒.ED CB解法2：在AC 上取点E ，使得AE AB =，则由题意可知CE BD =.在ABD ∆和AED ∆中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =， 则ABD AED ∆∆≌，从而BD DE =， 进而有DE CE =，ECD EDC ∠=∠， AED ECD EDC ∠=∠+∠=2ECD ∠. 注意到ABD AED ∠=∠，则：1318012022ABC ACB ABC ABC ABC BAC ∠+∠=∠+∠=∠=︒-∠=︒，故80ABC ∠=.【点评】由已知条件可以想到将折线ABD “拉直”成AE ，利用角平分线AD 可以构造全等三角形.同样地，将AC 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的. 需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.【例32】 如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．DC B A【考点】轴对称类全等问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】方法一：在AC 上取一点E ，使得AB AE =EDC B A连结DE ．在ABD ∆和AED ∆中AB AE =，BAD EAD ∠=∠ AD AD =∴ABD AED ∆∆≌∴BD ED =，B AED ∠=∠又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠EDC C ∠=∠，ED EC =∴AB BD AC +=． 方法二：在AB 的延长线上取一点EBCDE使得AC AE =，连结DE ．在AED ∆和ACD ∆中，AE AC = EAD CAD ∠=∠，AD AD = ∴AED ACD ∆∆≌，∴C E ∠=∠又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠∴E BDE ∠=∠∴BE BD =，∴AB BD AC +=． 方法三：延长DB 到点E 使得AB BE =，连结AE 则有EAB E ∠=∠2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠又∵2ABC C ∠=∠，∴AE AC =又∵EAD EAB BAD E DAC ∠=∠+∠=∠+∠ C DAC ADE =∠+∠=∠∴AE DE =，∴AB BD EB BD ED AE AC +=+===ABCDEEDCB A FM方法四：如图，作BF 平分ABC ∠交AD 、AC 于E 、F 点 延长BF 到M ，使FM FA =，连结AM ∴ABF FBC ∠=∠∵2ABC C ∠=∠，∴FBC C ∠=∠．∴FB FC = ∵AF FM =，∴M FAM ∠=∠∵AFE FBC C ∠=∠+∠，又AFE M FAM ∠=∠+∠ 即22AFE M C ∠=∠=∠．∴C M ∠=∠∴M ABM DBF C ∠=∠=∠=∠．∴AB AM = ∵ADB C DAC ∠=∠+∠ 且D EB EBA BAE ∠=∠+∠∵BAD DAC ∠=∠，∴ADB DEB ∠=∠．∴BD BE = 同理MA ME =∵AF FM =，FB FC =，∴AC BM =．∴AC AB BD =+【例33】 在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．CD B A【考点】轴对称类全等问题 【难度】4星【关键词】2001年，河南省，中考 【解析】略【答案】在AC 上截取AE AB =，连结DE根据SAS 证得ABD ∆≌AED ∆，∴AED B EDC C ∠=∠=∠+∠，DE BD =， 结合已知可得ED EC =，∴EDC C ∠=∠，∴2B C ∠=∠，:2:1B C ∠∠=ECD B A【例34】 如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．DC B A【考点】轴对称类全等问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】在AC 上取一点E ，使得AB AE =，连结DE ．EDC B A在ABD ∆和AED ∆中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠， AD AD =．∴ABD AED ∆∆≌，∴BD ED =，B AED ∠=∠又∵AB BD AC +=，∴EC BD ED == 2AED EDC C C B ∠=∠+∠=∠=∠． 其他方法参考例题．【例35】 如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．AB CD【考点】轴对称类全等问题【关键词】 【解析】略【答案】方法一：在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．E DCB A∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠． 在ABD ∆与EBD ∆中∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD = ∴ABD EBD ∆∆≌，∴A DEB ∠=∠∵108A ∠=︒， ∴108DEB ∠=∠︒∴72DEC ∠=︒． 又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒ ∴72CDE ∠=︒ ∴CDE DEC ∠=∠ ∴CD CE =∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+方法二：如图，延长CA 到F ，使CF CB =，连结BF ．DCBAF∵AB AC =，且108BAC ∠=︒， ∴36ABC C ∠=∠=︒． ∵CB CF =， ∴F FBC ∠=∠．∴FAB C ABC ∠=∠+∠． ∴72FAB ∠=︒．∵12ADB C ABC ∠=∠+∠，∴54ADB ∠=︒．又∵54FBD ∠=︒ ∴BF AB AC FD ===．∴AF CD =．∴BC AC CD =+．【例36】 如图，ABC ∆中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=︒，那么C ∠的大小是__________． D CB A【考点】轴对称类全等问题【难度】4星 【题型】填空 【关键词】“希望杯”培训题【解析】在AB 上取点E ，使得AE AC =，连接DE ．ED CB A∵AE AC =，BAD CAD ∠=∠，AD AD =， ∴ACD AED ∆∆≌∴C AED ∠=∠，CD CE =∵AB AC CD =+，AE AC =，∴CD BE DE == ∴40EBD EDB ∠=∠=︒，80C AED ∠=∠=︒【答案】80︒【例37】 如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2B C ∠=∠，D 点在BC 上，AD 平分BAC ∠，若1AB =，则BD的长为____________．D CB A【考点】轴对称类全等问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】【解析】在BC 上截取AE AB =，连接DE ．ED CB A∵AE AB =，BAD CAD ∠=∠，AD AD = ∴ABD AED ∆∆≌∴BD DE =，ABD AED ∠=∠，AB AE =∵90BAC ∠=︒，2B C ∠=∠ ∴60B ∠=︒，30C ∠=︒∴30DEC C ∠=︒=∠ ∴DE CE =∴1BD AC AB =-=【例38】 已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．DCB A【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】解法一：如图，在BC 上截取BE BD =，连接DE ，过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，于是32∠=∠，ADF ECD ∠=∠．BAF EDC321又∵12∠=∠，∴13∠=∠，故DF BF =．显然FBCD 是等腰梯形． ∴BF DC =，DF DC =．∵()111218010020222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，()11802802BED BDE ∠=∠=︒-∠=︒，∴180100DEC BED ∠=︒-∠=︒，∴100FAD DEC ∠=∠=︒，∴AFD EDC ∆∆≌，AD EC =． 又∵BE BD =，∴BC BD EC BD AD =+=+． 解法二：如图，延长BD 到E ，使DE AD =，在BC 上截取BF BA =．BADC21FE43∵12∠=∠，BD 为公共边，∴BAD BFD ∆≌，AD FD =，ADB FDB ∠=∠．∵()111118010020222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，∴()()18011801002060ADB A ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒．∴60FDB ∠=︒，故60FDC ∠=︒，60EDC ∠=︒．∵DF DE =，∴DFC DEC ∆∆≌．∴E DFC ∠=∠，34∠=∠． ∵2206080DFC FDB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴80E ∠=︒．∵440∠=︒，∴340∠=︒，故3480ECB ∠=∠+∠=︒． ∴ECB E ∠=∠，故BC BE =．∵BE BD DE =+，∴BC BD AD =+． 解法三：如图，延长BD 到E ，使BE BC =．延长BA 到F ，使BF BC =．连接CE 、EF 、DF ．BADC21FE∵12∠=∠，BD 公共， ∴BDC BDF ∆∆≌．∴BDC BDF ∠=∠，BCD BFD ∠=∠．又∵120100120BDC BAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，40BCD ∠=︒， ∴40BFD ∠=︒．∵BE BF =，120∠=︒． ∴80BEF BFE ∠=∠=︒， ∴804040DFE ∠=︒-︒=︒．而180********FAD BAD ∠=︒-∠=︒-︒=︒． ∴FAD DEF ∠=∠．又FD 公共，∴FAD FED ∆∆≌．∴ED AD =． ∴BC BE BD AD ==+【例39】 已知：在ABC ∆中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证： 2B C ∠=∠．D CBA【考点】轴对称类全等问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】方法一：在DC 上取一点E ，使BD DE =，如图1，图1E AB CD在ABD ∆和AED ∆中，AD BC ⊥，BD ED =，AD AD =． ∴ABD AED ∆∆≌．∴AB AE =，B AED ∠=∠． 又∵AE AB CD BD CD DE EC ==-=-=∴C EAC ∠=∠，∴2C EAC AED C ∠+∠=∠=∠ ∴2B C ∠=∠．方法二：延长DB 到点E ，使BE AB =，如图2，图2EAB CD∴E EAB ∠=∠．∵AB CD BD =-，∴ED CD =．在AED ∆和ACD ∆中，AD BC ⊥，ED CD =，AD AD =． ∴AED ACD ∆∆≌．∴E C ∠=∠． ∴2B C ∠=∠．【例40】 如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，2B C ∠=∠．求证：AB BD CD +=．C D BA【考点】轴对称类全等问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】由已知AD BC ⊥，2B C ∠=∠知如果我们在CD 上截取DE DB =，连接AE ，就可以构造出两个等腰三角形ABE △和AEC △．如图，在CD 上截取DE DB =，连接AE ． 因为AD BC ⊥，DE DB =，所以AE AB =，于是B AEB ∠=∠，又因为AEB C CAE ∠=∠+∠，2B C ∠=∠， 所以CAE C ∠=∠， 于是AE EC =，故AB BD AE ED EC ED CD +=+=+=．ABD E C【例41】 如图，ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，且AB BD CD +=，则C ∠的大小是( )A ．20︒B ．25︒C ．30︒D ．大于30︒AB CD【考点】轴对称类全等问题 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】【解析】如图，在DC 上取DE DB =，连接AE ，易得Rt Rt ABD AED ∆∆≌．AB AE CE ==，2AEB C ∠=∠，所以22(902)120BAC EAD C C C ∠=∠+∠=︒-∠+∠=︒，得20C ∠=︒．EAB CD【答案】A【例42】 （1）已知：如图1，Rt ABC ∆中，90ACB AC BC ∠=︒=，，点D E 、在斜边AB 上，且45DCE ∠=︒．求证：线段DE AD EB 、、总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图2，等边三角形ABC 中，点D E 、在边AB 上，且30DCE ∠=︒，请你找出一个条件，使线段DE AD EB 、、能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数； （3）在⑴的条件下，如果10AB =，求BD AE ⋅的值．图2图1E CBA ECBA【考点】旋转类全等问题；轴对称类全等问题；相似三角形 【难度】4星 【题型】解答【关键词】几何综合题，2009年，朝阳，一模 【解析】略 【答案】（1）如图1，∵90ACB AC BC ∠=︒=，，∴45A B ∠=∠=︒．以CE 为一边作ECF ECB ∠=∠，在CF 上截取CF CB =， 则CF CB AC ==，连接DF EF 、，则CFE CBE ∆∆≌，∴145FE BE B =∠=∠=︒，． ∵45DCE ECF DCF ∠=∠+∠=︒，∴45DCA ECB ∠+∠=︒， ∴DCF DCA ∠=∠，∴DCF DCA ∆∆≌，∴245A DF AD ∠=∠=︒=，，∴2190DFE ∠=∠+∠=︒， ∴DFE ∆是直角三角形． 又AD DF =，EB EF =，∴线段DE AD EB 、、总能构成一个直角三角形．（2）当AD BE =时，线段DE AD EB 、、能构成一个等腰三角形．如图2，与⑴类似，以CE 为一边，作ECF ECB ∠=∠，在CF 上截取CF CB =，可得CFE CBE DCF DCA ∆∆∆∆，≌≌． ∴AD DF EF BE ==，，∴12120DFE A B ∠=∠+∠=∠+∠=︒． 若使DFE ∆为等腰三角形，只需DF EF =，即AD BE =．∴当AD BE =时，线段DE AD EB 、、能构成一个等腰三角形， 且顶角DFE ∠为120︒．（3）如图1，∵ACE ACD DCE CDB ACD A ∠=∠+∠∠=∠+∠，， 又45DCE A ∠=∠=︒，∴ACE CDB ∠=∠．又A B ∠=∠，∴ACE BDC ∆∆∽，∴AE ACBC BD=，∴BD AE AC BC ⋅=⋅， ∵Rt ACB ∆中，由222210AC BC AB +==，得2250AC BC ==，∴250BD AE AC BC AC ⋅=⋅==．21FABCD E图112A BCD E图2【例43】 如图，已知60ABD ACD ∠=∠=︒，且1902ADB BDC ∠=︒-∠．求证：ABC ∆是等腰三角形．DBA【考点】轴对称类全等问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】延长BD 到E ，使得DE CD =，连接AE ．∵1902ADB BDC ∠=︒-∠，∴2180ADB BDC ∠+∠=︒，即180ADC ADB ∠+∠=︒．∵180ADE ADB ∠+∠=︒，∴ADC ADE ∠=∠， ∵CD DE AD AD ==，，∴()SAS ADC ADE ∆∆≌，∴60ACD E ∠=∠=︒，AC AE =，∵60ABD ACD ∠=∠=︒，∴ABD E ∠=∠，∴AB AE =，∴AB AC =，∴ABC ∆是等腰三角形．ED BA【例44】 在ABC ∆中，AB AC =，CG BA ⊥交BA 的延长线于点G ．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B ． （1）在图1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE BA ⊥于点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE DF +与CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在⑵的基础上沿AC 方向继续平移到图3所示的位置(点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合)时，⑵中的猜想是否仍然成立？(不用说明理由)【考点】轴对称类全等问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】几何综合题，2007年，河北省，中考 【解析】略 【答案】（1）BF CG =；在ABF ∆和ACG ∆中，∵90F G FAB GAC AB AC ∠=∠=︒∠=∠=，，， ∴(AAS)ABF ACG ∆∆≌， ∴BF CG =．（2）DE DF CG +=；过点D 作DH CG ⊥于点H (如图4)．∵DE BA ⊥于点E ，90G DH CG ∠=︒⊥，，∴四边形EDHG 为矩形，∴DE HG DH BG =，∥，∴GBC HDC ∠=∠，∵AB AC =，∴FCD GBC HDC ∠=∠=∠，又∵90F DHC CD DC ∠=∠=︒=，， ∴(AAS)FDC HCD ∆∆≌，∴DF CH =．∴GH CH DE DF CG +=+=，即DE DF CG +=． （3）仍然成立．(注：本题还可以利用面积来进行证明，比如⑵中连结AD )【例45】 如图，在Rt ABC ∆中，,,D E F 分别为AB 、AC 、BC 中点，H 为斜边AB 的高的垂足，G 是DH的中点．设O 为AB 上的任一点，求证：EOF ∠的最大的角便是EGF ∠．B【考点】轴对称类全等问题 【难度】 【题型】 【关键词】 【解析】分析 设EG 交OF 于M ．注意到在OEM ∆与FGM ∆中，OME FMG ∠=∠，故欲证EOF EGF ∠∠≤，只需证OEM GFM ∠∠≥，利用对称性，可将GFM ∠与OEM ∠统一到一个三角形中便于比较．图3图解连接CH，则HF为Rt CHB∆斜边BC上的中线，故12HF BC FB==．D、E分别为AB、AC的中点，故DE BC∥且12DE BC=，所以DE HF=．ADE ABC FHB∠=∠=∠，从而EDG FHG∠=∠，故EDG FHG∆∆≌．于是有EG GF=，EGD FGH∠=∠．延长EG至N，使GN EG=，连接HN．由于NGH EGD FGH∠=∠=∠，GN EG GF==，GH GH=，故FGH NGH∆∆≌．从而FH HN=．结合GF GN=知GH为线段FN的垂直平分线．设O为AB上任一异于G的点，则OF ON=，且易知ON OF OE=>(若O在G的左边，OF OE>，O在G的右边，则OE OF>)．从而OFG ONG OEG OEM∠=∠∠=∠≤，在OEM∆与MGF∆中，EMO∠与FMG∠为对顶角，于是有：EOF EOM MGF EGF∠=∠∠=∠≤(等号当且仅当点O与点G重合时取到)．这就证明了EOF∠取最大角时便是EGF∠．说明本题为1993年浙江省全国初中数学联赛选拔赛试题．解法中巧妙地将结论”转化”，然后利用对称性将中间结论统一于同一个三角形中，又一次”转化”．转换、转化、化归是解决数学问题的常用的基本的数学思想方法．。