人教版八年级数学上册培优讲义 第二讲：全等三角形与轴对称

模型一：手拉手模型第二讲：全等三角形与轴对称特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC =180°（3）OA 平分∠BOC例 1.如图在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形∆ABD 与∆BCE ，连结 AE 与CD ，求证： （1） ∆ABE ≅ ∆DBC （2） AE = DC （3） AE 与 DC 之间的夹角为60︒（4） ∆AGB ≅ ∆DFB （5） ∆EGB ≅ ∆CFB （6） BH 平分∠AHC （7） G F // AC变式精练1：两个等腰三角形∆ABD 与∆BCE ，其中AB =BD , CB =EB, ∠ABD =∠CBE =α,连结AE与CD，问：（1）∆ABE≅∆DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？（4）HB 是否平分∠AHC ？变式精练2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结AG, CE ,二者相交于点H问：（1）∆ADG≅∆CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分∠AHE ？模型二：对角互补模型（1）全等型——90°条件：① ∠AOB =∠DCE = 90︒②OC 平分∠AOB结论：① CD =CE ；②OD +OE = 2OC ；③S四边形ODCE =S∆OCD+S∆OCE=1OC 22辅助线之一：作垂直，证明∆CDM ≌∆CEN辅助线之二：过点C 作CF⊥OC，证明∆ODC≌∆FEC结论：①CD =CE ；②OE -OD = 2OC ；③S∆OCE -S∆OCD=1OC 22条件：① ∠AOB =∠DCE = 90︒②CD =CE结论：①OC 平分∠AOB；②OD +OE = 2OC ；③S四边形ODCE =S∆OCD+S∆OCE=1OC 22（2）全等型——120°条件：① ∠AOB = 2∠DCE = 120︒②OC 平分∠AOB结论：① CD =CE ；②OD +OE =OC ；③ S四边形ODCE 模仿（全等型——90°）辅助线之一完成证明=S∆OCD+S∆OCE=3OC 24辅助线之二：在OB 上取一点F，使OF=OC,证明△OCF 为等边三角形（3）全等型——任意角α条件：① ∠AOB = 2α,∠DCE = 180︒- 2α结论：OC 平分∠AOB②C D =CE例：四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角三角形ABD 和直角三角形CBD ，其中∠A 和∠C 都是直角，另一条对角线AC 的长度为2 ，求四边形ABCD 的面积．AB DC变式精练1：已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ．（1）在图 1 中，若∠MAN = 120︒，∠ABC =∠ADC = 90︒，求证：AB +AD =AC ；（2）在图2 中，若∠MAN = 120︒，∠ABC +∠ADC = 180︒，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;变式精练2：已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A、B、C 的距离的关系（不要求证明）⑵如果点M、N 分别在线段AC、AB 上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断△OMN 的形状，并证明你的结论.⑶如果点M、N 分别在线段CA、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．模型三：角含半角模型（1）角含半角模型90°-1条件：①正方形ABCD ②∠EAF = 45︒结论：① EF =DF +BE ；② ∆CEF 的周长为正方形ABCD 周长的一半；也可以这样：条件：①正方形ABCD ②EF =DF +BE结论：① ∠EAF = 45︒；口诀：角含半角要旋转（2）角含半角模型90°-2条件：①正方形ABCD ②∠EAF = 45︒结论：① EF =DF -BE ；辅助线：（2）角含半角模型90°-3条件：①等腰直角三角形ABC ②∠DAE = 45︒结论：① BD2+CE2=DE2；（勾股定理知识）辅助线：将△ACE 绕点 A 顺时针旋转90°得到△ABF，并连接DF.若∠DAE 旋转到△ABC 外部时，结论BD2 +CE 2 =DE 2 仍然成立。

例：在正方形ABCD 中，已知E、F 分别是边CB、DC 延长线上的点，且满足∠EAF=45°，求证：DF+EF=BE.变式精练1：如图，∆ABC 为边长是1的等边三角形，∆BDC 为顶角(∠BDC) 是120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒角，角的两边分别交AB 于M ，AC 于N ，连接MN ，形成一个∆AMN ．求证：MN =BM +CN ．变式精练2：（1)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90︒，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF = 1∠BAD ．求证：EF =BE +FD ; 2(2)如图在四边形ABCD 中，AB =AD，∠B + ∠D =180︒，E、F 分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF =1∠BAD ，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明．2(3)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180︒，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，且∠EAF =1∠BAD ，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请2写出它们之间的数量关系，并证明．模型四：倍长中线类模型通过构造“8”字型全等线段数量及位置关系，角的大小转化例：如图，已知在∆ABC 中，AD 是BC 边上的中线， E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于 F ，求证：AF =EF变式精练1：如图，在∆ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG =CF ，求证：AD 为∆ABC 的角平分线．变式精练2：如图：AB=AE，AB⊥AE，AD=AC．AD⊥AC，点M 为BC 的中点，求证：DE=2AM.模型五：截长补短模型例：已知：如图，在△ABC 中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CDA1 2B D C变式精练1：已知等腰∆ABC ，∠A = 100︒，∠ABC 的平分线交AC 于 D ，则BD +AD =BC ．变式精练2：如图， ABC 中，∠BAC = 90︒，AB=AC，AD⊥BC 于点D，点E 是AC 中点，连结BE，作AG⊥BE 于F，交BC 于点G，连接EG，求证：AG+EG=BE.模型六：一线三等角模型【条件】∠EDF =∠B =∠C，且DE =DF【结论】 BDE ≅ CFD常见三垂直模型：例：已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，⑴求证：AC⊥CE；⑵若将△CDE 沿CB 方向平移得到①②③④等不同情形，AB =CD ，1其余条件不变，试判断AC⊥C1E 这一结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由.变式精练1：如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC=4，AB=1，点P 是线段BC （不与点B、C 重合）上的动点，过点P 作DP⊥AP 交射线CM 于点D，连结AD．（1）如图1，若BP=3，求△ABP 的周长．（2）如图2，若DP 平分∠ADC，试猜测PB 和PC 的数量关系，并说明理由．（3）若△PDC 是等腰三角形，作点B 关于AP 的对称点B′，连结B′D，则B′D=．（请直接写出答案）变式精练2：⑴如图1，△ABC 是等边三角形，D、E 分别是AB、BC 上的点，且BD=CE，连接AE、CD 相交于点P．请你补全图形，并直接写出∠APD 的度数= ；⑵如图2，Rt△ABC 中，∠B=90°，M、N 分别是AB、BC 上的点，且AM=BC、BM=CN，连接AN、CM 相交于点P．请你猜想∠APM= °，并写出你的推理过程．变式精练3：已知：C点的坐标为（4，4），A为y轴负半轴上一动点，连CA，CB⊥CA交x 轴于B。

① 求证：CA＝CB；② 问OB－OA 是否为定值，是定值并求其定值。

模型七：最短路径模型【两点之间线段最短】1、将军饮马2、费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】例：如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC，AB 边于E，F 点．若点D 为BC 边的中点点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．1210变式精练1：如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF 分别交AB，AC 于点E，F，若D 为底边BC 的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的周长最小值为（）A．12 B．8 C．7 D．6变式精练2：如图，等边△ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若AE=2，当EF+CF 取得最小值时则∠ECF 的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°变式精练3：如图，点P 是∠AOB 内的一点，且OP=5，且∠AOB=30°，点M、N 分别是射线OA、OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为（A．5 B．6 C．8 D．10变式精练4：如图，锐角△ABC 中，∠ACB=30°，AB=5，△ABC 的面积为23．（1）若点P 在AB 边上且CP= 3 ，D，E 分别为边AC，BC 上的动点．求△PDE 周长的最小值；（2）假设一只小羊在△ABC 区域内，从路边AB 某点出发跑到水沟边AC 喝水，然后跑向路边BC 吃草，再跑回出发点处休息，直接写出小羊所跑的最短路程．D 巩固提升：1.如图两个等边三角形∆ABD 与∆BCE ，连结 AE 与CD ，求证：（1） ∆ABE ≅ ∆DBC （2） AE = DC （3） AE 与 DC 之间的夹角为60︒（4） AE 与 DC 的交点设为 H , BH 平分∠AHC2.如图 1，已知△ABC 中， AB = BC = 1，∠ABC = 90 ，把一块含30 角的直角三角板 DEF 的直角顶点 D 放在 AC 的中点上（直角三角板的短直角边为 DE ，长直角边为 DF ），将直角三角板 DEF 绕 D 点按逆时针方向旋转．⑴在图 1 中， DE 交 AB 于M ， DF 交 BC 于 N ．①证明 DM = DN ；②在这一旋转过程中，直角三角板 DEF 与△ABC 的重叠部分为四边形 DMBN ，请说明四边形 DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；⑵继续旋转至如图 2 的位置，延长 AB 交 DE 于 M ，延长 BC 交 DF 于 N ， DM = DN 是 否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑶继续旋转至如图 3 的位置，延长 FD 交 BC 于 N ，延长 ED 交 AB 于M ，DM = DN 是否 仍然成立？请写出结论，不用证明． FA D M EB NC AD N A CE EM F M 图 2 图 1 F B NC图 3 B3.问题 1：如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB =BC =CD ，点 M ，N 分别在 AD ，CD上，∠MBN = 1 ∠ABC ，试探究线段 MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；2问题 2：如图 2，在四边形 ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点 M ，N 分别在 DA ，CD 的延长线上，若∠MBN = 1 ∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段 MN ，AM ，CN 又有2怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.4.已知△ABC 为等边三角形，E 为射线BA 上一点，D 为直线BC 上一点，ED=EC．（1）当点E在AB的上，点D在CB的延长线上时（如图1），求证：AE+AC=CD；（2）当点E在BA的延长线上，点D在BC上时（如图2），猜想AE、AC和CD的数量关系，并证明你的猜想；（3）当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时（如图3），请直接写出AE、AC和CD 的数量关系．DQ5.如图，已知△ABC 中，AB =AC = 10厘米，BC = 8厘米，点 D 为AB 的中点．⑴如果点P 在线段BC 上以3 厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1 秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？⑵若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？AB CP6.【操作发现】：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以D 为边在BC 上方作等边△DCF，连接AF．线段AF 与BD 之间的数量关系是.（2）【类比猜想】：如图②，当动点 D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？并加以证明．（3）【深入探究】图③，当动点 D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点 D 与点 B 不重合）连接DC，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边△DCF 和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB 有何数量关系？并证明你探究的结论.7.已知点P 在∠MON 内．（1）如图1，点P 关于射线OM 的对称点是G，点P 关于射线ON 的对称点是H，连接OG、OH、OP．①若∠MON=50°，则∠GOH= ；②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON 为多少度时，GH=10；（2）如图2，若∠MON=60°，A、B 分别是射线OM、ON 上的任意一点，当△PAB 的周长最小时，求∠APB 的度数．8.如图点P 为△ABC 的外角∠BCD 的平分线上一点，PA=PB。