全等三角形和轴对称提高练习
初二数学《全等三角形、轴对称图形》练习
问中 EF 与 BE、CF 间的关系是否存在？答：
（填“是”或“否”）
（3）如图③，若△ABC 中，∠B 的平分线 BO 与三角形外角平分线 CO 交于 O，过 O 点作 OE∥BC
交 AB 于 E，交 AC 于 F，这时图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们：这时 EF 与
BE、CF 关系又如何？并证明．
A．AE＝EC
B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 上一点，且 DA＝DC，BD＝BA，则∠B 的大小为（ ）
A．40°
B．36°
C．30°
D．25°
6．如图，△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形，且 PA⊥PD．有下列四个结论：
初二数学《全等三角形、轴对称图形》练习
一、选择题（共 10 题） 1．下列“数字”图形中，是轴对称图形有且仅有一条对称轴的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图所示的方格纸，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个被涂黑
的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（ ）种．
A．6
B．5
C．4
25. 如图，在△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，D 是 AB 的中点，AE=CF， 求证：△DEF 是等腰直角三角形．
26．如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，点 P 为边 BC 上的一点，BC=3BP， 且∠PAB=15°点 E 关于直线 PA 的对称点为 D，连接 BD，又△APC 的 PC 边上的高为 AH． （1）求∠BPD 的大小； （2）判断直线 BD，AH 是否平行？并说明理由； （3）证明：∠BAP=∠CAH．
第十三章 轴对称(能力提升)八年级数学上册单元过关测试定心卷(人教版)(解析版)
2022-2023学年人教版八年级数学上册单元测试定心卷第十三章轴对称（能力提升）时间：100分钟总分：120分一、选择题（每题3分，共24分）1．在如图所示的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是（）A．7 B．8 C．11 D．14【解析】解：由折叠的性质可知，DC＝DE，BE＝BC＝6，∵AB＝8，∴AE＝AB﹣BE＝2，△AED的周长为：AD+AE+DE＝AC+AE＝7，答：△AED的周长为7．故选：A．【点睛】本题考查的是翻折变换的知识，掌握翻折变换的性质、理解对应关系是解题的关键．2．如图，将一张矩形纸片折叠，若128∠=︒，则2∠的度数是（）A．51°B．56°C．61°D．76°【解析】解：如图由平行可知∠3=∠1=28°，由折叠可知∠4=∠2．∵∠3+∠4+∠2=180°，∴18032762︒-∠∠=︒＝．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．3．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）．A．100°B．40°C．40°或100°D．40°或70°【解析】当这个40°的角是顶角时，则这个等腰三角形的顶角为40°；当这个40°的角是底角时，则顶角度数为：180240︒︒-⨯=100°；综上所述，这个等腰三角形的顶角为40°或100°，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论，注意考虑问题要全面，体现了数学中的分类讨论思想．4．如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB＋BD ＝BC，则∠BAC的度数为（）A．74°B．69°C．65°D．60°【解析】解：如图，连接AD，∵边AC的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，∴CD＝AB，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝74°，∴∠C＝37°，∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是本题的关键．5．如图，直线m，l相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.3．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】连接OP1，OP2，P1P2，如图：∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝1.3，OP＝OP2＝1.3，∵OP1＋OP2＞P1P2，∴0＜P1P2＜2.6，故选：A．【点睛】本题考查了轴对称的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握这两个性质是解题的关键．6．如图，已知ABC，OA OB OC==，则点O是ABC（）A．三条边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点【解析】解：∵OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上，∵OB=OC，∴点O 在线段BC 的垂直平分线上，∴点O 为△ABC 的三条边的垂直平分线的交点， 故选：A ． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．7．如图，在△ABC 中，ED BC ∥，∠ABC 和∠ACB 的角平分线分别交ED 于点F 、G ，若FG ＝2，ED ＝6，则DB +EC 的值为 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【解析】解：∵ED BC ∥，∴∠DFB =∠FBC ，∠EGC =∠GCB ，∵FB 是∠ABC 的平分线，CG 是∠ACB 的平分线， ∴∠DBF =∠FBC ，∠ECG =∠GCB ， ∴∠DFB =∠DBF ，∠ECG =∠EGC ， ∴BD =DF ，CE =GE ， ∵FG =2，ED =6，∴DB +EC =DF +GE =ED -FG =6-2=4． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明．8．如图，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1，按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点1A ，得第1条线段1AA ；再以1A 为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点2A ，得第2条线段12A A ；再以2A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点3A ，得第3条线段23A A ；……；这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n 的值为( )A ．9B ．21C ．35D ．100【解析】解：由题意可知：AO = A 1A ，A 1A = A 2A 1, …； 则∠AOA 1=∠OA 1A ，∠A 1AA 2=∠A 1A 2A ，…； ∵∠BOC =9°，∴∠A 1AB =2∠BOC = 18°，同理可得∠A2A1C= 27°，∠A3A2B= 36°，∠A4A3C= 45°，∠A5A4B= 54°，∠A6A5C=63°，∠A7A6B= 72°，∠A8A7C=81°，∠A9A8B=90°，∴第10个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，∴最多能画9条线段；故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等：三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；准确地找到规律是解决本题的关键．二、填空题（每题3分，共24分）9．若一个等腰三角形的周长是20，一边长是4，则另一边长是______．【解析】解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x，则有x+4×2=20，解得：x=12，此时，三角形的三边长为4，4，12，∵4+4＜12，∴不可以组成三角形；若等腰三角形的底边为4，设腰长为x，则有2x+4=20，解得：x=8，∵4+8＞8，∴可以组成三角形；∴三角形的另一边的长分别为8，故答案为：8．【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键．10．如图，在△ABC中，AB AC∠=︒，点D在BC边上，连接AD．若△ABD为直角BAC=，120∠的度数是____．三角形，则ADC【解析】∵在△ABC中，AB= AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=(180°−∠BAC)÷2=30°，∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，如图1，当∠BAD=90°时，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=120°-90°=30°，∵∠C =30°，∴∠ADC =180°−(∠CAD +∠C )=120°，如图2，当∠ADB =90°时，则∠ADC =90°，综上所述，∠ADC 的度数是120° 或90° ， 故答案为120°或90°． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．11．如图，在等边△ABC 内，AD ＝BE ，BD ＝CE ，点D 在BE 上，若∠CBE ＝15°，则∠CAD 的度数为__________．【解析】解：∵△ABC 为等边三角形， ∴AB =BC ，60BAC ∠=︒，∵在△ABD 和△BCE 中，AB BC AD BE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS ABD BCE ∆∆≌，∴∠BAD =∠CBE ＝15°，∴601545CAD BAC BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒． 故答案为：45°． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，根据题意证明ABD BCE ∆∆≌，是解题的关键．12．在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =140°，点D 在BC 上，△ABD 和△AFD 关于直线AD 对称，∠FAC 的平分线交BC 于点G ，连接FG 当∠BAD =________时，△DFG 为等腰三角形．【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=140°，∴∠B=∠C=20°．∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，∴△ADB≌△ADF，∴∠B=∠AFD=20°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，∴AF=AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG=∠CAG．在△AGF和△AGC中，AF ACFAG CAGAG AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGF≌△AGC（SAS），∴∠AFG=∠C．∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∴∠DFG=∠B+∠C=20°+20°=40°．①当GD=GF时，∴∠GDF=∠GFD=40°．∵∠ADG=20°+θ，∴20°+40°+20°+θ+θ=180°，∴θ=50°；②当DF=GF时，∴∠FDG=∠FGD．∵∠DFG=40°，∴∠FDG=∠FGD=70°．∴20°+70°+20°+2θ=180°，∴θ=35°；③当DF=DG时，∴∠DFG=∠DGF=40°，∴∠GDF=100°，∴20°+100°+20°+2θ=180°，∴θ=20°．∴当θ=20°，35°或50°时，△DFG为等腰三角形．故答案为：20°或35°或50°．【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．13．若正多边形的一个外角是72︒，则这个多边形对称轴的条数是________． 【解析】解：∵正多边形的一个外角是72︒， ∴正多边形的边数为36072︒︒＝5， ∴这个正多边形是正五边形，故其对称轴有5条． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查的是正多边形的外角和，掌握边数×一个外角＝360°是解题的关键．14．如图，在ABC 中，AB AC =，D 、E 、F 分别是边BC 、AB 、AC 上的点，EDF C ∠=∠，且DE DF =，8BE =，5CF =，则BC 边的长是______．【解析】解：∵AB AC =， ∴∠B =∠C ，∵∠CDF +∠EDF +∠BDE =180°，∠CDF +∠C +∠CFD =180°，EDF C ∠=∠， ∴∠BDE =∠CFD ， 在△EBD 和△DCF 中BDE CFD B CDE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EBD ≌△DCF （AAS ）， ∴CD =BE =8，BD =CF =5， ∴BC =BD +CD =5+8=13， 故答案为：13． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，此题难度不大，解题的关键是能证明△EBD ≌△DCF ．15．如图，在△ABC 中，∠ABC 的角平分线和∠ACB 相邻的外角平分线CD 交于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于G ，若EG =2，且GC =6，则BE 长为_________．【解析】解：CD平分ACF∠，BD平分∠ABC，∴∠=∠，∠ABD=∠CBD，ACD FCD∥，DE BC∴∠=∠，∠EDB=∠CBD，EDC FCD∴∠=∠，∠ABD=∠EDB，ACD EDC∴==，BE=DE，GD GC6EG=，2∴=+=，DE EG GD8BE∴=，8故答案为：8．【点睛】本题考查了角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．16．如图，四边形ABCD中，70A∠=︒，90△的B D∠=∠=︒，E、F分别是AD、AB上的动点，当CEF周长最小时，ECF∠的度数是______．【解析】作C关于BA和AD的对称点N，M，连接MN，交AD于E1，交AB于F1，则MN即为△CEF的周长最小值．∵70∠=︒，90A∠=∠=︒，B D∴∠DCB=110°，由对称可得：CF 1=F 1N ，E 1C =E 1M ， ∴11,M MCE N NCF ∠=∠∠=∠， ∵180M N DCB ∠+∠+∠=︒，∴1170M N NCF MCE ∠+∠=︒=∠+∠，∴1111()1107040E CF BCD NCF MCE ∠=∠-∠+∠=︒-︒=︒， 即当CEF △的周长最小时，ECF ∠的度数是40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质、等边对等角等知识，根据已知得出CEF △的周长最小时，E ，F 的位置是解题关键． 三、解答题（每题8分，共72分）17．如图，两条公路OA ，OB 相交于点O ，在AOB ∠内部有两个村庄C ，D ．为方便群众接种新冠疫苗，该地决定在AOB ∠内部再启动一个方舱式接种点P ，要求同时满足：（1）到两条公路OA ，OB 的距离相等．（2）到两村庄C ，D 的距离相等．请你用直尺和圆规作出接种点P 的位置（保留作图痕迹）． 【解析】如图，作线段CD 的垂直平分线MN ，作∠AOB 的角平分线OF ，OF 交MN 于点P ，则点P 即为所求．【点睛】本题考查作图—作线段垂直平分线，作图—作角平分线，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的性质并知道如何正确的作图．18．如图，AB AC =，AB 的垂直平分线交AC 于D ，交AB 于E ． （1）若40A ∠=︒，求DBC ∠的度数；（2）若5AE =，BCD △的周长17，求ABC 的周长．【解析】（1）∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵∠A＝40︒，∴∠ABC＝∠C＝12×（180︒−40︒）＝70︒，∵DE所在的直线是AB的垂直平分线∴△ABD是等腰三角形，∴∠ABD＝∠A＝40︒，∴∠DBC＝∠ABC−∠ABD＝70︒−40︒＝30︒；（2）∵△ABD是等腰三角形∴AD＝BD，∵C△CBD＝BC＋CD＋BD＝17，∴BC＋CD＋AD＝BC＋AC＝17，∵AE＝5∴AB＝2AE＝10，∴C△ABC＝AB＋BC＋AC＝10＋17＝27．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，相对比较简单，属于基础题．19．如图，OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．(1)求证：OC＝OD；(2)求证：OP是CD的垂直平分线．【解析】(1)证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC＝PD，在Rt△POC与Rt△POD中，∵PC PD OP OP=⎧⎨=⎩，∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），∴OC ＝OD ；(2)证明：∵P 是∠AOB 平分线上的一点，∴∠COP ＝∠DOP ， ∵由（1）知，OC ＝OD ， ∴在△COE 与△DOE 中，OC OD COP DOP OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△COE ≌△DOE （SAS ）， ∴CE ＝DE ，∠CEO ＝∠DEO ， ∵∠CEO +∠DEO =180°， ∴∠CEO ＝∠DEO= 90°， ∴OE ⊥CD ，∴OP 是CD 的垂直平分线．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 20．如图，AB AC ⊥，AD AE ⊥，AB AD =，BC DE =． (1)求证：AM AN =；(2)连接EC ，AO ，求证：AO 垂直平分EC ．【解析】(1)证明：在Rt ABC 和Rt ADE △中， ∵AB AD =，BC DE =， ∴()Rt ABC Rt ADE HL ≌△△，∴B D ∠=∠．∵AB AC ⊥，AD AE ⊥，∴90BAM EAC DAN ∠=︒-∠=∠， ∵AB AD =，∴()ABM ADN ASA ≌△△， ∴AM AN =； (2)证明∶如图，由（1）可知，AC AE =，ACB AED ∠=∠． ∴ACE AEC ∠=∠，∴ACE ACB AEC AED ∠-∠=∠-∠， 即BCE DEC ∠=∠， ∴OE OC =，∴点O 在EC 的垂直平分线上． 又∵AE AC =，∴点A 也在EC 的垂直平分线上， ∴AO 垂直平分EC ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键． 21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，E 是AB 上的一点，EF ∥AD 交CA 的延长线于F ．求证：AF ＝AE ．【解析】证明：∵△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF AD，∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．22．已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求证：点D 在线段AC的垂直平分线上．【解析】证：如图，在BC上截取BE＝BA，连接DE，∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，∴△BAD≌△BED，∴∠A＝∠DEB，AD＝DE，∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴AD＝CD，∴点D在线段AC的垂直平分线上．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角形是解题的关键．23．在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C．(1)如图①，求证：△ADE 是等腰三角形；(2)如图②，若DE 平分∠ADC ，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE 相等的角（∠CDE 除外）． 【解析】(1)证明：ADC ∠是ABD △的一个外角， B BAD ADC ADE CDE ∴∠+∠=∠=∠+∠ 又BAD CDE ADE C ∠∠∠∠＝，＝， B C ∴∠=∠，在ABD △和DCE 中，BAD CDE B CBD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABD DCE AAS ∴≅AD DE ∴=，∴ADE 是等腰三角形．(2)解：由（1）得，ABD DCE ≅， B C ∴∠=∠，DE 平分∠ADC ， ADE CDE ∴∠=∠， 又∠BAD ＝∠CDE ，2B BAD ADC CDE ∴∠+∠=∠=∠， B CDE ∴∠=∠， C CDE ∴∠=∠，所以图中与∠CDE 相等的角有∠B ，∠C ，∠ADE 和∠BAD ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，解题关键在于熟练掌握其相关证明的判定及性质． 24．如图，在△ABC 中，点D 为直线BC 上一动点，以AD 为直角边在AD 的右侧作等腰Rt △ADE ，∠DAE ＝90°，AD ＝AE ．(1)如果∠BAC ＝90°，AB ＝AC ． ①如图1，当点D 在线段BC 上时，线段CE 与BD 的位置关系为 ，数量关系为 ； ②如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由；(2)如图3，若△ABC是锐角三角形，∠ACB＝45°，当点D在线段BC上运动时，证明：CE⊥BD．【解析】（1）解：①∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．又BA＝CA，AD ＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B，CE＝BD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACE=45°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即CE⊥BD．故答案为：CE⊥BD；CE＝BD．②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．∵∠DAE ＝90°，∠BAC＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，又AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB=45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD；（2）证明：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∵∠ACB＝45°，∴∠AGC＝45°，∴AC＝AG，即△ACG是等腰直角三角形，∵∠GAD+∠DAC＝90°＝∠CAE+∠DAC，∴∠GAD＝∠CAE，又∵DA＝EA，∴△GAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠AGD ＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，利用类比思想解答是解题的关键．25．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD≌△ACE．(1)请证明图1的结论成立；(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．【解析】(1)解：证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）； (2)如图2，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =60°， ∴∠BAD =∠CAE ， 在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）， ∴∠ADB =∠AEC ，令AD 与CE 交于点G ， ∵∠AGE =∠DGO ，∴180°-∠ADB -∠DGO =180°-∠AEC -∠AGE ， ∴∠DOE =∠DAE =60°， ∴∠BOC =60°；(3)∠A +∠BCD =180°．理由： 如图3，延长DC 至P ，使DP =DB ，∵∠BDC =60°，∴△BDP 是等边三角形， ∴BD =BP ，∠DBP =60°，∵∠ABC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键．。
北师大版七年级(下)全等三角形、对称轴综合测试卷
北师大版七年级（下）轴对称数学综合测试卷一、选择题1．对于下列命题：(1)关于某一直线成轴对称的两个三角形全等；(2)等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；(3)一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点； (4)如果两个三角形全等，那么它们关于某直线成轴对称．其中真命题的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 ） ( )2．如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线 L 对称，下列结论中正确的有（ （1）△ABC≌△A′B′C′ （2）∠BAC=∠B′A′C′ （3）直线 L 垂直平分 CC′ （4）直线 BC 和 B′C′的交点不一定在直线 L 上． A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个第2题 第5题 第7题 3．一个角的对称轴是（ ） A．这个角的其中的一条边 B．这个角的其中的一条边的垂线 C．这个角的平分线 D．这个角的平分线所在的直线 4．下列四个判断：①成轴对称的两个三角形是全等三角形；②两个全等三角形一定成轴对 称；③轴对称的两个圆的半径相等；④半径相等的两个圆成轴对称，其中正确的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 5．如图，在平面内，把矩形 ABCD 沿 EF 对折，若∠1=50°，则∠AEF 等于（ ） A．115° B．130° C．120° D．65° 6．下图是我国几家银行的标志，其中是中心对称图形的有（ ）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 7.如图，∠1=∠2，PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为 D、E，则下列结论中错误的是（ ） A．PD=PE B．BD=BE C．∠BPD=∠BPE D．BP=BE 8.如图，∠AOB 和一条定长线段 a，在∠AOB 内找一点 P，使 P 到 OA，OB 的距离都等于 a，作法如下：（1）作 OB 的垂线段 NH，使 NH=a，H 为垂足． （2）过 N 作 NM∥OB． （3）作∠AOB 的平分线 OP，与 NM 交于 P． （4）点 P 即为所求． 其中（3）的依据是（ ） A．平行线之间的距离处处相等 B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上第8题 第 10 题 第 11 题 9.下列四个图形中，如果将左边的图形作轴对称变换，能变成右边的图形的是（）A．B．C．D．10．如图，在桌面上坚直放置两块镜面相对的平面镜，在两镜之间放一个小凳，那么在两镜 中共可得到小凳的象（ ） A．2 个 B．4 个 C．16 个 D．无数个 11.如图，直线 l1、l2、l3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条 公路的距离相等，则供选择的地址有（ ） A．1 处 B．2 处 C．3 处 D．4 处二、填空题 11．已知等腰三角形的腰长是底边长的 ________.4 ，一边长为 11cm，则它的周长为 3第 12 题第 13 题第 14 题第 17 题12． 如图， 在△ABC 中， AB=AC， E 分别是 AC， 上的点， BC=BD， D， AB 且 AD=DE=EB， 则∠A=（ ） 度． 13.如图，如果直线 m 是多边形 ABCDE 的对称轴，其中∠A=130°，∠B=110°．那么∠ BCD 的度数等于______________ 度． 14.如图，等边△ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，且 AD=CE，BE、CD 交于点 P，若∠ ABE：∠CBE=1：2，则∠BDP= （ ）度．15. 等腰三角形的“三线合一”是指 （ ）（ ） ， ， （ ） 互相重合． 16. 在直线、角、线段、等边三角形四个图形中，对称轴最多的是（ ） ，它有 （ ）条 对称轴；最少的是（） ，它有（） 条对称轴． 17. 如图，DE 是 AB 的垂直平分线，交 AC 于点 D，若 AC=6 cm，BC=4 cm，则△BDC 的 周长是 （ ） ． 18. 一天小刚照镜子时，在镜子中看见挂在身后墙上的时钟，如图，猜想实际的时间应是 （ ） ．第 18 题 第 19 题 第 20 题 第 21 题 19.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，BC=30，BD：CD=3：2，则点 D 到 AB 的距离为（ ） cm． 20.如图，D、E 为 AB、AC 的中点，将△ABC 沿线段 DE 折叠，使点 A 落在点 F 处，若∠ B=50°，则∠BDF=（ ） 度． 21. 如图，直角△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=2∠B，AD 平分∠BAC，CD：BD=1：2， BC=2.7 厘米，则点 D 到 AB 的距离 DE= 厘米，AD= （ ）厘米．三、解答题1．已知：如图 7—110，△ABC 中，AB＝AC，BE∥AC，∠BDE＝100°，∠BAD＝70°，则∠E 度数？2．如图 7—111，在 Rt△ABC 中，B 为直角，DE 是 AC 的垂直平分线，E 在 BC 上，∠BAE：∠ BAC＝1：5，则∠C 的度数？3．如图 7—112，∠BAC＝30°，AM 是∠BAC 的平分线，过 M 作 ME∥BA 交 AC 于 E，作 MD⊥ BA，垂足为 D，ME＝10cm，则 MD 的长度？4．如图 7—119，点 G 在 CA 的延长线上，AF＝AG，∠ADC＝∠GEC．求证：AD 平分∠BAC．5．已知：如图 7—120，等腰直角三角形 ABC 中，∠A＝90°，D 为 BC 中点，E、F 分别为 AB、 AC 上的点，且满足 EA＝CF．求证：DE＝DF．6.已知，如图Δ ABC 中，AB＝AC,D 点在 BC 上，且 BD＝AD，DC＝AC.将图中的等腰三角 形全都写出来.并求∠B 的度数.ABDC7.如图，已知 P 点是∠AOB 平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为 C、D， （1）∠PCD=∠PDC 吗？ 为什么？ （2） 是 CD 的垂直平分线吗？ 为什么？ OPA CPODB8. 已知，△ABC 中，∠ABC 为锐角，且∠ABC=2∠ACB，AD 为 BC 边上的高，延长 AB 到 E，使 BE=BD，连接 ED 并延长交 AC 于 F．求证：AF=CF=DF．答案 三、1.∠ABC=∠BDE - ∠BAD=100° =30° -70° ∠ACB = ∠ABC =30 ∠DAC = 180-100 - 30 =50 因为 BE//AC ∠E = ∠DAC=50°2∵DE 是 AC 的垂直平分线∴AE=CE ∴∠C=∠CAE ∵∠BAE∶∠BAC=1∶5 ∴∠BAE=1/5∠BAC ∴∠CAE=4/5∠BAC ∴∠C=4/5∠BAC 即∠BAC=5/4∠C ∵∠B=90° ∴∠BAC+∠C=90° ∴5/4∠C+∠C=90° ∠C=40°3 解：过 E 点作 AB 的垂线交 AB 于 F因为 ME‖AB，且 AM 是∠BAC 的平分线 所以∠EMA=∠MAB=1/2 乘以 30°=15° 所以三角形 AEM 为等腰三角形 所以 AE=EM=10cm 又，在直角三角形 AEF 中 ∠BAC=30° 所以 EF=1/2AE=5cm 又 EFDM 为长方形，所以 MD=EF=5cm4 证明：∵AF=AG， ∴∠G=∠GFA． ∵∠ADC=∠GEC， ∴AD∥GE． ∴∠BAD=∠GFA，∠DAC=∠G． ∴∠BAD=∠DAC，即 AD 平分∠BAC．5.证明：连 AD，如图，∵△ABC 为等腰直角三角形，D 为 BC 中点， ∴AD=DC，AD 平分∠BAC，∠C=45°， ∴∠EAD=∠C=45°，在△ADE 和△CDF 中∴△ADE≌△CDF， ∴DE=DF．6. 解 析因为 AB=AC，BD=AD，DC=AC，由等腰三角形的概念得△ABC，△ADB，△ADC 是等腰三角形，再根据角之间的关系求得∠B 的度数．解 答图中等腰三角形有△ABC，△ADB，△ADC ∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形； ∵BD=AD，DC=AC ∴△ADB 和△ADC 是等腰三角形； ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵BD=AD，DC=AC ∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠DAC ∴5∠B=180° ∴∠B=36° ．7.解： （1）∠PCD=∠PDC。
初中数学 全等三角形与轴对称练习测试单元试卷
第二讲全等三角形与轴对称第一部分知识梳理一、全等三角形的性质和判定1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
2．判断两个三角形全等常用的方法如下表：3．直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
4．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
5．角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上。
二、轴对称1．轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称。
两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫对称点。
2．等腰三角形的性质：①两底角相等。
②顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
③等边三角形各角都相等，并且都等于60°。
3．等腰三角形的判定：①等角对等边。
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
③三个角都相等的三角形是等边三角形。
如果一个三角形的两个内角分别是80°、50°，那么这个三角形是等腰三角形。
4．等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。
②三个角都相等的三角形是等边三角形。
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
第二部分例题与解题思路方法归纳类型一全等三角形的性质与判定【例题1】（2011•泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．〖选题意图〗本题主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质，难度适中．〖解题思路〗（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．〖参考答案〗解：（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，又BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG，∴△AEC≌△CGB，∴AE=CG，（2）BE=CM，证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC ，又∵AC=BC ，∠ACM=∠CBE=45°， ∴△BCE ≌△CAM ， ∴BE=CM ． 【课堂训练题】1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连接BE 、EC ． 试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．〖参考答案〗数量关系为：BE=EC ，位置关系是：BE ⊥EC ． 证明：∵△AED 是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°， ∴∠EAD=∠EDA=45°， ∴AE=DE ， ∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=90°+45°=135°， ∠EDC=∠ADC ﹣∠EDA=180°﹣45°=135°， ∴∠EAB=∠EDC ， ∵D 是AC 的中点， ∴AD=12AC ， ∵AC=2AB ， ∴AB=AD=DC ， ∴△EAB ≌△EDC ，∴EB=EC ，且∠AEB=∠DEC ，∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°， ∴BE ⊥EC ．2．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．〖参考答案〗解：猜测AE=BD，AE⊥BD；理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CDB；∵∠AFC=∠DFH，又∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DHF=∠ACD=90°，∴AE⊥BD．故线段AE和BD的数量相等，位置是垂直关系．类型二直角三角形全等的性质与判定【例题2】课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=√3AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=√3AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）〖选题意图〗本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键．〖解题思路〗（1）如果：“∠B=∠D”，根据∠B 与∠D 互补，那么∠B=∠D=90°，又因为∠DAC=∠BAC=30°，因此我们可在直角三角形ADC 和ABC 中得出AD=AB=√32AC ，那么AD+AB=√3AC ．（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD 和BCD 全等即可得到（1）的条件．根据AAS 可证两三角形全等，DF=BE ．然后按照（1）的解法进行计算即可． 〖参考答案〗证明：（1）∠B=∠D=90°， ∠CAD=∠CAB=30°， ∴AB=√32AC ，AD=√32AC ． ∴AB+AD=√3AC ．（2）由（1）知，AE+AF=√3AC ， ∵AC 为角平分线，CF ⊥CD ，CE ⊥AB ， ∴CE=CF ．而∠ABC 与∠D 互补， ∠ABC 与∠CBE 也互补， ∴∠D=∠CBE ． ∴Rt △CDF ≌Rt △CBE ． ∴DF=BE ．∴AB+AD=AB+（AF+FD ）=（AB+BE ）+AF=AE+AF=√3AC ．【课堂训练题】1．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AD上，△ADC和△BDE是等腰三角形，EC=5cm，求AB的长．〖参考答案〗解：∵△ADC和△BDE是等腰三角形且AD⊥BC∴△ADC和△BDE均为等腰直角三角形∴AD=DC，BD=ED∴Rt△ADB≌Rt△CDE（HL）∴AB=CE=5cm2．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE CF；EF|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．〖参考答案〗解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF，∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF；EF=|BE﹣AF|．②所填的条件是：∠α+∠BCA=180°．证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α．∵∠BCA=180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，∴∠CBE=∠ACF，又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE=CF，CE=AF，又∵EF=CF﹣CE，∴EF=|BE﹣AF|．（2）EF=BE+AF．类型三角平分线的性质【例题3】在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．〖选题意图〗此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．〖解题思路〗（1）首先在AB上截取AE=AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED=∠C，ED=CD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=CD，则可求得AB=AC+CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=EB，则可求得AC+AB=CD．〖参考答案〗解：（1）猜想：AB=AC+CD．证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为△ABC的角平分线时，∴∠BAD=∠CAD，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED=∠C，ED=CD，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∴∠B=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CD，∴AB=AE+DE=AC+CD．（2）猜想：AB+AC=CD．证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．∵AD平分∠FAC，∴∠EAD=∠CAD．在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△EAD≌△CAD．∴ED=CD，∠AED=∠ACD．∴∠FED=∠ACB．又∠ACB=2∠B，∠FED=∠B+∠EDB，∠EDB=∠B．∴EB=ED．∴EA+AB=EB=ED=CD．∴AC+AB=CD．【课堂训练题】1．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE ⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．〖参考答案〗解：过点P作MN⊥AD，∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，∴AP⊥BP，PN⊥BC，∴PM=PE=2，，PE=PN=2，∴MN=2+2=4．故答案为：4．2．在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，且BD：DC=5：3，则D到AB的距离为cm．〖参考答案〗解：∵∠C=90°，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，∴CD就是D到AB的距离，∵BD：DC=5：3，BC=16cm，∴CD=6，即D到AB的距离为6cm．故填6．类型四轴对称的性质与应用【例题4】如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3），B（4，﹣1）．（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=时，△PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M （m ，0）、N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m= ，n= （不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．〖解题思路〗（1）根据题意，设出并找到B （4，﹣1）关于x 轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），进而可得直线AB'的解析式，进而可得答案；（2）过A 点做AE ⊥x 轴于点E ，且延长AE ，取A'E=AE ．做点F （1，﹣1），连接A'F ．利用两点间的线段最短，可知四边形ABDC 的周长最短等于A'F+CD+AB ，从而确定C 点的坐标值．（3）根据对称轴的性质，可得存在使四边形ABMN 周长最短的点M 、N ，当且仅当m=52，n=﹣53；时成立．〖参考答案〗解：（1）设点B （4，﹣1）关于x 轴的对称点是B'，其坐标为（4，1）， 设直线AB'的解析式为y=kx+b ，把A （2，﹣3），B'（4，1）代入得：{2k +b =﹣34k +b =1，解得{k =2b =﹣7∴y=2x ﹣7， 令y=0得x=72， 即p=72．（2）过A 点做AE ⊥x 轴于点E ，且延长AE ，取A'E=AE ．做点F （1，﹣1），连接A'F ．那么A'（2，3）． 直线A'F 的解析式为y ﹣1=3﹣（﹣1）2﹣1•（x ﹣1），即y=4x ﹣5∵C 点的坐标为（a ，0），且在直线A'F 上，∴a=54．（3）存在使四边形ABMN 周长最短的点M 、N ，作A 关于y 轴的对称点A′，作B 关于x 轴的对称点B′，连接A′B′，与x 轴、y 轴的交点即为点M 、N ，∴A′（﹣2，﹣3），B′（4，1），∴直线A′B′的解析式为：y=23x ﹣53，∴M （52，0），N （0，﹣53）．m=52，n=﹣53．【课堂训练题】1．如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 的周长的最小值是 ．〖参考答案〗解：要使△PBG 的周长最小，而BG=1一定，只要使BP+PG 最短即可． 连接AG 交EF 于M ．∵等边△ABC ，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，∴AG ⊥BC ，EF ∥BC ，∴AG ⊥EF ，AM=MG ，∴A 、G 关于EF 对称，∴P 点与E 重合时，BP+PG 最小，即△PBG 的周长最小，最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3．故答案为：3．2．如图，在锐角△ABC 中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 ．〖参考答案〗解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE．∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME与△AMN中，{AE=AN∠EAM=∠NAM AM=AM，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN．∴BM+MN=BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，又AB=4√2，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，∴BE=4，即BE取最小值为4，∴BM+MN的最小值是4．故答案为：4．类型五线段垂直平分线的性质【例题5】公园内有一块三角形空地（如图），现要将它分割成三块，种植三种不同的花卉，为了美观，要求每块都要是轴对称图形，请你在右图中画出分割线，保留必要的画图痕迹．〖选题意图〗本题考查了利用轴对称设计图案的知识，根据等腰三角形是轴对称图形的特点，分割后得到等腰三角形，是本题的突破口．〖解题思路〗根据等腰三角形是轴对称图形，作任意两边的垂直平分线，找出垂直平分线的交点P，然后连接PA、PB、PC，把三角形分成三块等腰三角形．〖参考答案〗解：如图，分别作AB、BC的垂直平分线，相交于点P，沿PA、PB、PC进行分割，得到的△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，都是轴对称图形．【课堂训练题】1．（2006•韶关）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．〖参考答案〗证明：（1）∵AD是∠EAF的平分线，∴∠EAD=∠DAF．∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴∠DEA=∠DFA=90°又AD=AD，∴△DEA≌△DFA．∴EA=FA∵ED=FD，∴AD是EF的垂直平分线．即AD⊥EF．（2）∵DE∥AC，∴∠DEA=∠FAE=90°．又∠DFA=90°，∴四边形EAFD是矩形．由（1）得EA=FA，∴四边形EAFD是正方形．∵DE=1，∴AD=√2．2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．〖参考答案〗解：（1）∵AD∥BC（已知），∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），∵E是CD的中点（已知），∴DE=EC（中点的定义）．∵在△ADE与△FCE中，∠ADC=∠ECF，DE=EF，∠AED=∠CEF，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC=AD（全等三角形的性质）．（2）证明：∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB=BF=BC+CF，∵AD=CF（已证），∴AB=BC+AD（等量代换）．类型六等腰三角形的性质与判定【例题6】（2011•山西）如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF．（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．〖选题意图〗本题主要考查了平分线的定义，平移的性质以及全等三角形的判定与性质，难度适中．〖解题思路〗（1）根据平分线的定义可知∠CAF=∠EAD，再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF，（2）根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G，根据平移的性质得出D′E′=DE，再根据已知条件判断出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根据等量代换可知BE′=CF．〖参考答案〗（1）证明：∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠EAD，∵∠ACB=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∵CD⊥AB于D，∴∠EAD+AED=90°，∴∠CFA=∠AED，∵∠AED=∠CEF，∴∠CFA=∠CEF，∴CE=CF；（2）BE′=CF．证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，∴ED=EG．由平移的性质可知：D′E′=DE，∴D′E′=GE，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°∵CD⊥AB于D，∴∠B+∠DCB=90°，∴∠ACD=∠B，在Rt△CEG与Rt△BE′D′中，{∠GCE=∠B∠CGE=∠BD′E′CE=D′E′，∴△CEG≌△BE′D′，∴CE=BE′，由（1）可知CE=CF，∴BE′=CF．【课堂训练题】1．（2011•日照）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD 延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．〖参考答案〗证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∴BD=AD．在△BDC与△ADC中，{BD =AD ∠CBD =∠CAD BC =AC， ∴△BDC ≌△ADC ，∴∠DCB=∠DCA ，又∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠DCB=∠DCA=45°．由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，∴∠BDM=∠EDC ，∴DE 平分∠BDC ；（2）如图，连接MC ．∵DC=DM ，且∠MDC=60°，∴△MDC 是等边三角形，即CM=CD ．又∵∠EMC=180°﹣∠DMC=180°﹣60°=120°，∠ADC=180°﹣∠MDC=180°﹣60°=120°，∴∠EMC=∠ADC ．又∵CE=CA ，∴∠DAC=∠CEM ．在△ADC 与△EMC 中，{∠ADC =∠EMC∠DAC =∠MEC AC =EC，∴△ADC ≌△EMC ，∴ME=AD=DB ．2．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，M 、N 分别是AC 、BD 的中点．（1）猜一猜，MN 与BD 的位置关系，并证明你的结论；（2）如果∠BAD=45°，BD=2，求MN 的长．〖参考答案〗解：（1）连接BM，DM，∵∠ABC=90°，AM=MC，AC，∴BM=12AC，同理DM=12∴BM=DM，∵BN=ND，∴MN⊥BD（2）∵AM=BM，∴∠BMC=∠MAB+∠ABM=2∠BAM，同理∠CMD=2∠CAD，∴∠BMD=2∠BAD=90°，∵BM=MD，∴△BMD是等腰直角三角形，BD=1．∴MN=12类型七等边三角形的性质与判定【例题7】图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．〖选题意图〗本题考查了SAS——两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，ASA——两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，同时考查了等边三角形的性质和判定．〖解题思路〗（1）等边三角形的性质可以得出△ACN，△MCB两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段AN与线段BM相等．（2）平角的定义得出∠MCN=60°，通过证明△ACE≌△MCF得出CE=CF，根据等边三角形的判定得出△CEF的形状．〖参考答案〗解：（1）∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°．∴∠MCN=60°，∠ACN=∠MCB．∴△ACN≌△MCB．∴AN=BM．（2）∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE=∠CMB．∵∠MCN=60°=∠ACM，AC=MC，∴△ACE≌△MCF．∴CE=CF．∴△CEF的形状是等边三角形．【课堂训练题】1．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，那么BC′的长为．〖参考答案〗解：根据题意：BC=6，D为BC的中点；故BD=DC=3．有轴对称的性质可得：∠ADC=∠ADC′=60°，DC=DC′=2，∠BDC′=60°，故△BDC′为等边三角形，故BC′=3．故答案为：3．第三部分课后自我检测试卷A类试题：1．在平面直角坐标系中，x轴一动点P到定点A（1，1）、B（5，7）的距离分别为AP和BP，那么当BP+AP最小时，P点坐标为．2．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为．3．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P 是BC边上一动点，则DP长的最小值为．4．如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB 于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．5．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．求证：CE=CF．B类试题：6．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA 边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为．7．（1）等腰直角△ABC和等腰直角△CDE的位置如图所示，连接BE，并延长交AD于F，试问AD与BE之间有什么关系？证明你的结论；（2）若保持其他条件不变，等腰直角△CDE绕C点旋转，位置如下图所示，试问AD与BE之间的关系还存在吗？若存在，给予证明，若不存在，则说明理由．8．已知：如图所示，AC⊥CD，BD⊥CD．线段AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD 于点F，且AC=FD，求证：△ABF是等腰直角三角形．C类试题：9．操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE 为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．10．（1）如图，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC 延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n 边形ABCD…X ，请你作出猜想：当∠AMN= 时，结论AM=MN 仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）课后自我检测试卷参考答案A 类试题：1．解：依题意得：B （5，7）关于x 轴的对称点是（5，﹣7）过（1，1）与（5，﹣7）的直线为y=kx+b∴{1=k +b ﹣7=5k +b ，∴{k =﹣2b =3∴y=﹣2x+3令y=0，得x=32 故P 点坐标为（32，0）． 2．解：如图：C′B′与AB 交点G′，与AD 交于点H′，FC′与AD 交于点W′，则这三个点关于EF 对称的对应的点分别G 、H 、W ，由题意知，BE=EB′，BG=B′G′，G′H′=GH ，H′C′=HC ，C′W′=CW ，FW′=FW ，∴①②③④四个三角形的周长之和等于正方形的周长=4×8=32．故本题答案为：32．3．解：根据垂线段最短，当DP ⊥BC 的时候，DP 的长度最小，∵BD ⊥CD ，即∠BDC=90°，又∠A=90°，∴∠A=∠BDC ，又∠ADB=∠C ，∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，DP⊥BC，∴AD=DP，又AD=4，∴DP=4．故答案为：4．4．相等．证明如下：连EB、EC，∵AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，∴EF=EG．∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，∴EB=EC．∴Rt△EFB≌Rt△EGC，∴BF=CG．5．证明：连接AC，∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）．∴∠DAC=∠BAC．又CE⊥AD，CF⊥AB，∴CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．B类试题：6．解：连DE，如图∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，∴四边形ABEF为正方形，∴∠EAD=45°，由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，∴DE平分∠GDC，∴RT△DGE≌Rt△DCE，∴DC=DG，又∵△AGD为等腰直角三角形，∴AD=√2DG=√2CD，∴矩形ABCD长与宽的比值为√2．故答案为：√2．7．解：（1）AD⊥BE，AD=BE，∵等腰直角△ABC和等腰直角△CDE，∴DC=EC，∠DCA=∠ECB，AC=BC，∴△BEC≌△ADC，∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，又∠BEC=∠AEF，∠BEC+∠EBC=90°，∴∠AEF+∠DAC=90°，∴∠AFB=90°，∴AD⊥BE．（2）仍存在．如图，∵等腰直角△ABC和等腰直角△CDE，∴DC=EC，AC=BC，∠DCE=∠ACB，∴∠DCA=∠ECB，∴△BEC≌△ADC∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，又∠BOC=∠AOE，∠BOC+∠EBC=90°，∴∠AOE+∠DAC=90°，∴AD⊥BE．8．证明：∵EF是AB的垂直平分线，∴FA=FB．∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴△ACF与△FDB是直角三角形．在Rt△ACF与Rt△FDB中，AC=FD，FA=BF，∴Rt △ACF ≌Rt △FDB （HL ）．∴∠CAF=∠DFB ．∵∠C=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∴∠CFA+∠BFD=90°，∴∠AFB=90°．∴△ABF 是等腰直角三角形．C 类试题：9．解：（1）由图①可猜想PD=PE ，再在图②中构造全等三角形来说明．即PD=PE ． 理由如下：连接PC ，因为△ABC 是等腰直角三角形，P 是AB 的中点，∴CP=PB ，CP ⊥AB ，∠ACP=12∠ACB=45°．∴∠ACP=∠B=45°．又∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE ，∴∠DPC=∠BPE ．∴△PCD ≌△PBE ．∴PD=PE ．（2）△PBE 是等腰三角形，①当PE=PB 时，此时点C 与点E 重合，CE=0；②当PB=BE 时，1）E 在线段BC 上，CE =2﹣√2，2）E 在CB 的延长线上，CE =2+√2；③当PE=BE 时，CE=1．10．解：（1）证明：在边AB 上截取AE=MC ，连接ME ．正方形ABCD 中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC ．∴∠NMC=180°﹣∠AMN ﹣∠AMB=180°﹣∠B ﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE ， BE=AB ﹣AE=BC ﹣MC=BM ，∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°．∵N 是∠DCP 的平分线上一点，∴∠DCN=45°，∴∠MCN=135°．在△AEM 与△MCN 中，∠MAE=∠NMC ，AE=MC ，∠AEM=∠MCN ， ∴△AEM ≌△MCN ，∴AM=MN ．（2）结论AM=MN 还成立证明：在边AB 上截取AE=MC ，连接ME ．△ABC 中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC ．∴∠NMC=180°﹣∠AMN ﹣∠AMB=180°﹣∠B ﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE ， BE=AB ﹣AE=BC ﹣MC=BM ，∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．∵N 是∠ACP 的平分线上一点，∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120．在△AEM 与△MCN 中，∠MAE=∠NMC ，AE=MC ，∠AEM=∠MCN ， ∴△AEM ≌△MCN ，∴AM=MN ．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n 边形ABCD…X ，则当∠AMN=（n ﹣2）•180°n时，结论AM=MN 仍然成立．。
全等三角形与轴对称习题
第十二章全等三角形1、如图，四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E、F．求证：BE=BF．2、如图，锐角△ABC中，∠BAC=60°，O是BC边上的一点，连接AO，以AO为边向两侧作等边△AOD和等边△AOE，分别与边AB，AC交于点F，G．求证：AF=AG．3、如图，已知AD∥BC，P为CD上一点，且AP，BP分别平分∠BAD和∠ABC．（1）判断△APB是什么三角形，证明你的结论；（2）比较DP与PC的大小，并说明理由．4、已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．(有十来种做法)5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB于E，交梯形的对角线BD于F，连接AF．若△BDC为等腰直角三角形，且∠BDC=90°．求证：CF=AB+AF．连接法6、已知:如图,AD＝BC,AC＝BD.求证:∠C＝∠DD COA B7、如图11-30，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，点F是CD的中点.求证：AF⊥CD.8、如图所示，BD=DC,DE⊥BC,交∠BAC的平分线于E，EM⊥AB,EN⊥AC,求证：BM=CN倍长中线9、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.10、如图，已知在△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，且∠BAD=∠CAE=90°，AM为△ABC中BC 边上的中线，连接DE．求证：DE=2AM．11、正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，∠EAF=45，求证：BE+DF=EF.FE DCB A 12、如图，AC∥BD，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA，CD 过点E，求证;AB＝AC+BDC13、如图，四边形ABCD 中，点E 在边CD 上，连结AE、BE．给出下列五个关系式：①AD∥BC；②DE=CE；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD+BC=AB．将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题．(1)用序号写出一个真命题(书写形式如：如果×××，那么××)，并给出证明：(2)用序号再写出三个真命题(不要求证明)；(3)加分题：真命题不止以上四个，想一想，就能够多写出几个真命题，每多写出一个真命题就给你加1分，最多加2分．14、在等边ABC ∆的两边AB、AC 所在直线上分别有两点M、N，D 为ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC.探究：当M、N 分别在直线AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L的关系．（I）如图1，当点M、N 边AB、AC 上，且DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是；此时=L Q ；（II）如图2，点M、N 边AB、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N 分别在边AB、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q=（用x 、L 表示）．利用角平分线15、如图，在四边形ABCD 中，BC＞BA,AD＝CD，BD 平分ABC ∠，求证：0180=∠+∠C A 。
人教版初中数学八年级上册《全等三角形》专题综合练习(提高训练题)
一、选择题
班级：
姓名：
号数：
1.如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. AC=DE
B. ∠BAD=∠CAE
C. AB=AE
D. ∠ABC=∠AED
2.如图，∠ABD=∠EBC，BC=BD，再添加一个条件，使得△ABC≌△EBD，所添加的条件不正确的是（ ）
图①
图②
图③
19.在△ABC 和△DCE 中，CA=CB，CD=CE，∠CAB=∠CED=α， （1）如图 1，将 AD、EB 延长，延长线相交于点 O； ①求证：BE=AD； ②用含α的式子表示∠AOB 的度数（直接写出结果）； （2）如图 2，当α=45o 时，连接 BD、AE，作 CM⊥AE 于 M 点，延长 MC 与 BD 交于点 N，求证：N 是 BD 的中点。
D。若 OM=5cm，CD=3.4cm，则四边形 CDNM 的周长为
。
三、解答题 16.如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AB=AC，点 E 是 BD 上一点，且 AE=AD，∠EAD= ∠BAC （1）求证：∠ABD=∠ACD （2）若∠ACB=65o，求∠BDC 的度数。
则∠AFE 的度数是
;
14.已知△ABC 三边长分别为 3，5，7，△DEF 三边长分别为 3， 3x 2 , 2x 1，
若这两个三角形全等，则 x 为
;
15.如图，∠AOB=60o，点 P 在∠AOB 的平分线上，过点 P 作 OA、OB 的垂线，垂
足分别为点 M，N。以点 P 为顶点作∠CPD=60o，两边与 OA、OB 相交于点 C、
的面积是 34，则△ABC 的周长为（ ）
全等三角形与轴对称习题
全等三角形习题一、填空1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是角平分线，AC ＝6cm ，则AD 的长是___________。
2．在等腰△ABC 中，一腰上的高为3cm ，这条高与底边的夹角是30°，则△ABC 的面积是_____________。
3．已知三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，它的最大边长为6cm ，那么它的最小边长为_____________，最大边上的中线长为____________。
4．直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为_________。
5．如图,，把△ABC 绕着点C 顺时针旋转35°，得到△A ′B ′C ′，A ′B ′交AC 于点D ，若∠A ′DC ＝90°，则∠A 的度数是___________。
二、选择题1．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB ＝3，BD ＝2，DC ＝1，则AC ＝（ ）。
A 、6 B 、6 C 、5 D 、42．若等腰三角形的腰长为2，顶角为120°，则底边长为（ ）A 、3B 、32C 、323D 、334 3．在△ABC 中，AB ＝12cm ，AC ＝9cm ，BC ＝15cm ，则ABC S 等于（ ） A 、54cm 2 B 、90 cm 2 C 、108 cm 2 D 、180 cm 2 4．以下各组数字能组成直角三角形的三边是（ ）A. 5、11、12B. 6、11、12C. 5、12、13D. 6、12、13 5．下列说法中：①如果两个三錋形可以依据“AAS ”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA ”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等。
正确的是： A 、①和② B 、②和③ C 、①和③ D 、①②③三、解答题1 已知：如图AB=CD ，BC=DA ，E 、F 是AC 上两点，且AE=CF 。
一次函数全等三角形轴对称的复习 典型例题
一. 本周教学内容：一次函数、全等三角形、轴对称的复习【典型例题】（一）一次函数 例1：马戏团演出场地的外围围墙是若干块长为5m ，宽为2.5m 的长方形帆布缝制而成的，两块帆布缝合的公共部分是0.1m ，围成的围墙高2.5m 。
（1）若先用6块帆布缝制成宽为2.5m 的条形，求其长度；（2）若用x 块帆布缝制成密封的圆形围墙，求圆形场地的周长y 与所用帆布的块数x 之间的函数关系式；（3）要是围成的圆形场地的半径为10m ，至少需要买几块这样的帆布缝制围墙。
解：（1）6块帆布缝制成条形后，有五块公共部分，所以6块帆布缝制后的总长度为： m 5.291.0556=⨯-⨯（2）x 块帆布缝制成密封的圆形围墙后有x 块公共部分。
设圆形围墙的周长为ymx y x x x y 9.4,9.41.05=∴=-=∴（3）要围成半径10m 的圆形场地，则x 9.4102=⨯π82.129.48.629.420≈≈=∴πx 块 答：需要买这样的帆布13块。
例2：已知等腰三角形周长为20cm ，求：（1）它的底边y 和腰长x 的函数关系式； （2）出自变量的取值范围； （3）画出函数图像。
解：（1）y ＝20－2x ；⎪⎩⎪⎨⎧>>>.2,0,0)2(y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧->>->∴.2202,0220,0x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧><>∴.5,10,0x x x ;105<<∴x（3）当x ＝5时，y ＝10；当x ＝10时，y ＝0连结A （5，10）、B （10，0）则线段AB （A 、B 两点除外）就是所求函数图像，如图。
例3：（1）在某一电路中，若电压保持不变，电流强度I 与电阻R 成反比例关系。
当电阻R ＝10欧姆时，电流强度I ＝4安培，则I 关于R 的函数关系式是（ ）A. I ＝40R （R>0）B. )0(401>=R R I C. )0(40>=R RID. )0(401>=R RI（2）生物学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10% 的能量能够流动到下一个营养级。
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全等三角形和轴对称提高练习
1、如图：O 是△ABC 中∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点， OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC=10㎝， 则△ODE 的周长等于 ㎝。
2、如图：△ABC 和△CDE 是等边三角形。
求证：BE=AD 。
3．如图,BD 平分∠MBN ,A ，C 分别为BM ,BN 上的点,且BC >BA ,E 为BD 上的一点,AE =CE ,求证 ∠BAE +∠BCE =180°
4． 如图1，△ABC 的边BC 的中垂线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于D,
F 为垂足, DE ⊥AB 于E ，且AB>AC ，求证：BE －AC=AE ．
5、如图，点D 、E 在△ABC 的边上，AD=AE ，BD=EC ，试说明AB=AC.
6.如图2，过线段AB 的两个端点作射线AM 、BN ，使AM ∥BN,按下列要求画图并回答：画∠MAB 、∠NBA 的平分线交于E 。
（12分） （1）∠AEB 是什么角？
（2）过点E 作一直线交AM 于D ，交BN 于C ，观察线段DE 、CE ，你有何发现？
（3）无论DC 的两端点在AM 、BN 如何移动，只要DC 经过点E ，①AD+BC=AB ；②AD+BC=CD 谁成立？并说明理由。
B C N D E M A
E D
C B
A E
C
B
A
O D
A
B
C
D
E
A
B
F C
D
E
图1
图2
2
E
D
C B
A
F
E
D A
7、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ．（1）若BD 平分∠ABC ，求证CE=1
2
BD ；
（2）若D 为线段AC 上一动点（不与A 、C 重合），∠ACE 是否变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。
8.如图：E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，
DF=EF ，BD=CE 。
求证：△ABC 是等腰三角形。
（过D 作DG ∥AC 交BC 于G ）
9、如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CE ⊥AB 于点E ，AD=AC ，AF 平分∠CAB •
交CE 于点F ，DF 的延长线交AC 于点G ， 求证：（1）DF ∥BC ；（2）FG =FE ．
10、已知：如图3，△ABC 是等边三角形，∠BDC=120°，求证：AD=BD+CD.
11、如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ，
求证：AC=BF 。
12、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E.求证：(1) △BFC ≌△DFC (2) AD=DE
D
C
B
A
F
E
A B C D
图3
3
图1
C
D
B
N
M
A
（图5）A
O
y
x
B
A
y
A1
D
F
G
B
B1
A
E
（图4）
13、如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=1200，以D为顶点作一个600角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN. （1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由.（5分）
（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长.（5分）
14、如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）（1）求B点坐标；
（2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，
∠ACD=90°连OD，求∠AOD的度数；
15、如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张全等直角三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、F、D在同一条直线上，F为公共直角顶点.
（图1）（图2）（图3）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了两个问题，请你帮助解决。
（1）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图4的位置，A1F 交DE于点G，请你求出线段EG的长度；
（2）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图5的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.
4。