全等三角形轴对称期末复习提优题及答案解析
2020年 人教版八年级数学上册期末专题《全等三角形》(含答案)

期末专题《全等三角形》一、选择题1.如图(1),已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合.将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置,其中A′C交直线AD于点E,A′B′分别交直线AD、AC于点F、G,则在图(2)中,全等三角形共有()A.5对B.4对C.3对D.2对2.如图所示的4×4正方形网格中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=()A.330° B.315° C.310° D.320°3.如图,△ABE、△ADC和△ABC分别是关于AB,AC边所在直线的轴对称图形,若∠1:∠2:∠3=7:2:1,则∠α的度数为( )A.90°B.108°C.110°D.126°4.如图,已知在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=45°;③BD⊥CE;④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.45.△ABC中,AB=7,AC=5,则中线AD之长的范围是( )A.5<AD<7B.1<AD<6C.2<AD<12D.2<AD<56.在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形(即顶点恰好是正方形的顶点),则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是()A.1B.2C.3D.47.如图,在△ABC中,∠C=900,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论:①AD平分∠CDE;②∠BAC=∠BDE;③DE平分∠ADB;④BE+AC=AB.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图,△ABC的角平分线CD、BE相交于F,∠A=90°,EG∥BC,且CG⊥EG于G.下列结论:①∠CEG=2∠DCB;②CA平分∠BCG;③∠ADC=∠GCD;④∠CGE =2∠DFB.其中正确的结论是()A.只有①③B.只有①③④C.只有②④D.①②③④二、填空题9.如图,在△ACB中,∠C=90°,∠CAB与∠CBA的角平分线交于点D,AC=3,BC=4,则点D到AB的距离为.10.如图,DE⊥AB于E,DF⊥A于F,若BD=CD,BE=CF,则下列结论:①DE=DF;②AD平分∠BAC;③AE=AD;④AB+AC=2AE中,正确的是 .11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O,点C沿EF折叠后与点O重合,则∠CEO的度数是.12.在平面直角坐标系中,点A(2,0),B(0,4),作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C坐标为 .三、解答题13.如图,已知∠B+∠CDE=180°,AC=CE.求证:AB=DE.14.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证:BD=2CE.15.如图,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=CD.(1)求证:△BCE≌△DCF;(2)求证:AB+AD=2AE.16.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,求∠CAB和∠CAP的度数.17.如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC.求证:∠A+∠C=180°.18.如图,已知在△ABC中,∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN垂直于AB于点N,PM垂直于AC于点M,BN和CM有什么数量关系?请说明理由.参考答案1.B2.B3.B4.D5.B6.C7.C8.B9.答案为:1.10.答案为:①②④;11.答案为:100°.12. 答案为:(-2,0),(-2,4),(2,4);13.证明:如图,过E点作EH∥AB交BD的延长线于H,故∠A=∠CEH,在△ABC与△EHC中,∴△ABC≌△EHC(ASA),∴AB=HE,∵∠B+∠CDE=180°,∠HDE+∠CDE=180°∴∠HDE=∠B=∠H,∴DE=HE.∵AB=HE,∴AB=DE.14.证明:因为∠CEB=∠CAB=90°所以:ABCE四点共元又因为:∠ABE=∠CBE所以:AE=CE所以:∠ECA=∠EAC取线段BD的中点G,连接AG,则:AG=BG=DG所以:∠GAB=∠ABG而:∠ECA=∠GBA所以:∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而:AC=AB所以:△AEC≌△AGB所以:EC=BG=DG所以:BD=2CE15.(1)证明:∵AC是角平分线,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,∴CE=CF,∠F=∠CEB=90°,在Rt△BCE和Rt△DCF中,∴△BCE≌△DCF;(2)解:∵CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,∴∠F=∠CEA=90°,在Rt△FAC和Rt△EAC中,,∴Rt△FAC≌Rt△EAC,∴AF=AE,∵△BCE≌△DCF,∴BE=DF,∴AB+AD=(AE+BE)+(AF﹣DF)=AE+BE+AE﹣DF=2AE.16.答案为:80°,50°;17.证明:过点D作DE⊥BC于E,过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F,∵BD平分∠ABC,∴DE=DF,∠DEC=∠F=90°,在RtCDE和Rt△ADF中,,∴Rt△CDE≌Rt△ADF(HL),∴∠FAD=∠C,∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°.18.证明:如图,连接PB,PC,∵AP是∠BAC的平分线,PN⊥AB,PM⊥AC,∴PM=PN,∠PMC=∠PNB=90°,∵P在BC的垂直平分线上,∴PC=PB,在Rt△PMC和Rt△PNB中,,∴Rt△PMC≌Rt△PNB(HL),∴BN=CM.。
2018年八年级数学《三角形全等、轴对称》专题复习资料(含解析)

2018年八年级数学《三角形全等、轴对称》专题复习资料【1】一.解答题(共15小题)1.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.求证:∠ABC=∠ACB=∠DEF.2.如图,已知:BE、CF是△ABC的高,在射线BE上截取BP=AC,在射线CF上截取CQ=AB,求证:(1)AP=AQ;(2)AP⊥AQ.3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC,∠ACB,(1)求∠AOE的度数;(2)试说明:AC=AE+CD.4.已知在△ABC中,AB=AC,D是BC边上任意一点,过点D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F.(1)如图1,当点D在边BC的什么位置时,DE=DF?并给出证明;(2)如图2,过点C作AB边上的高CG,垂足为G,试猜想线段DE,DF,CG的长度之间存在怎样的数量关系?并给出证明.5.△ABC中,∠ABC=110°,AB边的垂直平分线交AB于D、AC于E,BC边的垂直平分线交BC于F、AC于G、AB的垂直平分线于H,求∠EBG和∠DHF的度数.6.如图,点C在线段AB上,AD∥EB,AC=BE,AD=BC,F是DE的中点,试探索CF与DE的位置关系,并说明理由.7.如图,将一块三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边PQ上,直尺的另一边MN与三角板的两边AC、BC分别交于两点E、D,且AD为∠BAC的平分线,∠B=30°,∠ADE=15°.(1)求∠BDN的度数;(2)求证:CD=CE.8.将含有45°角的直角三角板ABC和直尺如图摆放在桌子上,然后分别过A、B两个顶点向直尺作两条垂线段AD,BE.(1)请写出图中的一对全等三角形并证明;(2)你能发现并证明线段AD,BE,DE之间的关系吗?9.在△ABC中,∠BAC=100°,∠ABC=∠ACB,点D在直线BC上运动(不与点B、C重合),点E 在射线AC上运动,且∠ADE=∠AED,设∠DAC=n.(1)如图①,当点D在边BC上时,且n=36°,则∠BAD=,∠CDE=;(2)如图②,当点D运动到点B的左侧时,其他条件不变,请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系,并说明理由;(3)当点D运动到点C的右侧时,其他条件不变,∠BAD和∠CDE还满足(2)中的数量关系吗?请画出图形,并说明理由.10.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为12cm和21cm两部分,求这个等腰三角形的底边和腰的长度.11.△ABC在直角坐标系中的位置如图所示,其中A(﹣3,5),B(﹣5,2),C(﹣1,3),直线l经过点(0,1),并且与x轴平行,△A′B′C′与△ABC关于线1对称.(1)画出△A′B′C′,并写出△A′B′C′三个顶点的坐标:;(2)观察图中对应点坐标之间的关系,写出点P(a,b)关于直线l的对称点P′的坐标:;(3)若直线l′经过点(0,m),并且与x轴平行,根据上面研究的经验,写出点Q(c,d)关于直线1′的对称点Q′的坐标:.12.如图1,在△ABC中,∠BAC=75°,∠ACB=35°,∠ABC的平分线BD交边AC于点D.(1)求证:△BCD为等腰三角形;(2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E,如图2,求证:BD+AD=AB+BE;(3)若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E,请你探究(2)中的结论是否仍然成立?直接写出正确的结论.13.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,点D是BC边上一动点(与点B,C不重合),点E与点D 关于直线AC对称,连结AE,过点B作BF⊥ED的延长线于点F.(1)依题意补全图形;(2)当AE=BD时,用等式表示线段DE与BF之间的数量关系,并证明.14.请按要求完成下面三道小题.(1)如图1,AB=AC.这两条线段一定关于某条直线对称吗?如果是,请画出对称轴a(尺规作图,保留作图痕迹);如果不是,请说明理由.(2)如图2,已知线段AB和点C.求作线段CD(不要求尺规作图),使它与AB成轴对称,且A与C是对称点,标明对称轴b,并简述画图过程.(3)如图3,任意位置的两条线段AB,CD,AB=CD.你能通过对其中一条线段作有限次的轴对称使它们重合吗?如果能,请描述操作方法;如果不能,请说明理由.15.阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,在△ABC和△ADE中,∠ACB=∠AED=90°,AC=AE,BC=DE,连接CE交BD于点F.求证:BF=DF小明经探究发现,过B点作∠CBG=∠EDF,交CF于点G(如图2),从而可证△DEF≌△BCG,使问题得到解决(1)请你按照小明的探究思路,完成他的证明过程:参考小明思考问题的方法,解决下面的问题:(2)如图3,在△ABC与△BDE中,∠ABC=∠BDE,BC=DE,AB=BD,CF、EG分别为AB、BD的中线,连结FG并延长交CE于点H,是否存在与CH相等的线段?若存在,请找出并证明;若不存在,说明理由.2018年八年级数学《三角形全等、轴对称》专题复习资料【1】参考答案与试题解析一.解答题(共15小题)1.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.求证:∠ABC=∠ACB=∠DEF.【解答】证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,在△DBE和△CEF中,∴△DBE≌△CEF(SAS),∴∠BDE=∠CEF,∵∠ABC+∠BDE+∠BED=∠BED+∠DEGF+∠CEF=180°,∴∠ABC=∠DEF,∴∠ABC=∠ACB=∠DEF.2.如图,已知:BE、CF是△ABC的高,在射线BE上截取BP=AC,在射线CF上截取CQ=AB,求证:(1)AP=AQ;(2)AP⊥AQ.【解答】证明:(1)∵CF⊥AB,BE⊥AC,∴∠AEB=∠AFC=90°,∴∠ABE=∠ACQ=90°﹣∠BAC.∵BP=AC,CQ=AB,在△APB和△QAC中,,∴△APB≌△QAC(SAS).∴AP=AQ;(2)∵△APB≌△QAC,∴∠BAP=∠CQA.∵∠CQA+∠QAF=90°,∴∠BAP+∠QAF=90°.即AP⊥AQ.3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC,∠ACB,(1)求∠AOE的度数;(2)试说明:AC=AE+CD.【解答】解:(1)∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=60°,∴∠ACB=30°,∵AD、CE分别平分∠BAC,∠ACB,∴∠CAO=∠BAC=45°,∠ACO=∠ACB=15°,∴∠AOE=∠CAO+∠AOC=45°+15°=60°.(2)如图,在AC上截取AF=AE,连接OF∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,在△AOE和△AOF中,∴△AOE≌△AOF(SAS),∴∠AOE=∠AOF=60°,∴∠AOF=∠COD=60°=∠COF,在△COF和△COD中,,∴△COF≌△COD(ASA)∴CF=CD,∴AC=AF+CF=AE+CD.4.已知在△ABC中,AB=AC,D是BC边上任意一点,过点D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F.(1)如图1,当点D在边BC的什么位置时,DE=DF?并给出证明;(2)如图2,过点C作AB边上的高CG,垂足为G,试猜想线段DE,DF,CG的长度之间存在怎样的数量关系?并给出证明.【解答】解:(1)当点D在BC的中点上时,DE=DF,证明:∵D为BC中点,∴BD=CD,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°,在△BED和△CFD中,,∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF.(2)CG=DE+DF证明:连接AD,=S三角形ADB+S三角形ADC,∵S三角形ABC∴AB×CG=AB×DE+AC×DF,∵AB=AC,∴CG=DE+DF.5.△ABC中,∠ABC=110°,AB边的垂直平分线交AB于D、AC于E,BC边的垂直平分线交BC于F、AC于G、AB的垂直平分线于H,求∠EBG和∠DHF的度数.【解答】解:∵AB的垂直平分线交AC于点E,BC的垂直平分线交AC于点G,∴EA=EB,GB=GC,∵∠ABC=110°,∴∠A+∠C=70°,∵EA=EB,GB=GC,∴∠ABE=∠A,∠GBC=∠C,∴∠ABE+∠GBC=70°,∴∠EBG=110°﹣70°=40°,在四边形BDHF中,∵∠ABC=110°、∠HDB=∠HFB=90°,∴∠DHF=360°﹣∠ABC﹣∠HDB﹣∠HFB=70°.6.如图,点C在线段AB上,AD∥EB,AC=BE,AD=BC,F是DE的中点,试探索CF与DE的位置关系,并说明理由.【解答】解:CF⊥DE,理由如下:∵AD∥EB∴∠A=∠EBC在△ADC和△BCE中∴△ADC≌△BCE(SAS)∴DC=CE又∵F是DE的中点∴CF⊥DE.7.如图,将一块三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边PQ上,直尺的另一边MN与三角板的两边AC、BC分别交于两点E、D,且AD为∠BAC的平分线,∠B=30°,∠ADE=15°.(1)求∠BDN的度数;(2)求证:CD=CE.【解答】(1)解:在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°,又AD平分∠BAC,∴∠CAD=30°,又∠ACD=90°,∴∠CDA=60°又∠ADE=15°,∴∠CDE=∠CDA﹣∠ADE=60°﹣15°=45°∴∠BDN=∠CDE=45°;(2)证明:在△CED中,∠ECD=90°,∠CDE=45°∴∠CED=45°∴CD=CE.8.将含有45°角的直角三角板ABC和直尺如图摆放在桌子上,然后分别过A、B两个顶点向直尺作两条垂线段AD,BE.(1)请写出图中的一对全等三角形并证明;(2)你能发现并证明线段AD,BE,DE之间的关系吗?【解答】解:(1)结论:△ADC≌△CEB.理由:∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠ACB=∠ADC=∠CEB=90°,∴∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠ECB=90°,∴∠CAD=∠ECB,∵AC=CB,'∴△ADC≌△CEB(AAS).(2)结论:AD=BE+DE.理由:∵△ADC≌△CEB,∴AD=CE,CD=BE,∵CE=CD+DE,∴AD=BE+DE.9.在△ABC中,∠BAC=100°,∠ABC=∠ACB,点D在直线BC上运动(不与点B、C重合),点E 在射线AC上运动,且∠ADE=∠AED,设∠DAC=n.(1)如图①,当点D在边BC上时,且n=36°,则∠BAD=64°,∠CDE=32°;(2)如图②,当点D运动到点B的左侧时,其他条件不变,请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系,并说明理由;(3)当点D运动到点C的右侧时,其他条件不变,∠BAD和∠CDE还满足(2)中的数量关系吗?请画出图形,并说明理由.【解答】解:(1)∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=100°﹣36°=64°.∵在△ABC中,∠BAC=100°,∠ABC=∠ACB,∴∠ABC=∠ACB=40°,∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=40°+64°=104°.∵∠DAC=36°,∠ADE=∠AED,∴∠ADE=∠AED=72°,∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=104°﹣72°=32°.故答案为64°,32°;(2)∠BAD=2∠CDE,理由如下:如图②,在△ABC中,∠BAC=100°,∴∠ABC=∠ACB=40°.在△ADE中,∠DAC=n,∴∠ADE=∠AED=.∵∠ACB=∠CDE+∠AED,∴∠CDE=∠ACB﹣∠AED=40°﹣=.∵∠BAC=100°,∠DAC=n,∴∠BAD=n﹣100°,∴∠BAD=2∠CDE;(3)∠BAD=2∠CDE,理由如下:如图③,在△ABC中,∠BAC=100°,∴∠ABC=∠ACB=40°,∴∠ACD=140°.在△ADE中,∠DAC=n,∴∠ADE=∠AED=.∵∠ACD=∠CDE+∠AED,∴∠CDE=∠ACD﹣∠AED=140°﹣=.∵∠BAC=100°,∠DAC=n,∴∠BAD=100°+n,∴∠BAD=2∠CDE.10.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为12cm和21cm两部分,求这个等腰三角形的底边和腰的长度.【解答】解:如图所示,设AD=DC=x,BC=y,由题意得,或,解得或,当,等腰三角形的三边为8,8,17,显然不符合三角形的三边关系;当时,等腰三角形的三边为14,14,5,所以,这个等腰三角形的底边长是5,综上所述,这个等腰三角形的底边长5.腰长是14.11.△ABC在直角坐标系中的位置如图所示,其中A(﹣3,5),B(﹣5,2),C(﹣1,3),直线l经过点(0,1),并且与x轴平行,△A′B′C′与△ABC关于线1对称.(1)画出△A′B′C′,并写出△A′B′C′三个顶点的坐标:A'(﹣3,﹣3),B'(﹣5,0),C'(﹣1,﹣1);(2)观察图中对应点坐标之间的关系,写出点P(a,b)关于直线l的对称点P′的坐标:(a,2﹣b);(3)若直线l′经过点(0,m),并且与x轴平行,根据上面研究的经验,写出点Q(c,d)关于直线1′的对称点Q′的坐标:(c,2m﹣d).【解答】解:(1)如图所示,△A′B′C′即为所求,A'(﹣3,﹣3),B'(﹣5,0),C'(﹣1,﹣1);故答案为:A'(﹣3,﹣3),B'(﹣5,0),C'(﹣1,﹣1);(2)由题可得,点P'的横坐标为a,设点P'的纵坐标为y,则=1,解得y=2﹣b,∴点P(a,b)关于直线l的对称点P′的坐标为(a,2﹣b),故答案为:(a,2﹣b);(3)由题可得,点Q′的横坐标为c,设点Q'的纵坐标为y,则=m,解得y=2m﹣d,∴点Q(c,d)关于直线1′的对称点Q′的坐标为(c,2m﹣d).故答案为:(c,2m﹣d).12.如图1,在△ABC中,∠BAC=75°,∠ACB=35°,∠ABC的平分线BD交边AC于点D.(1)求证:△BCD为等腰三角形;(2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E,如图2,求证:BD+AD=AB+BE;(3)若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E,请你探究(2)中的结论是否仍然成立?直接写出正确的结论.【解答】证明:(1)如图1,在△ABC中,∠BAC=75°,∠ACB=35°,∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=70°,(2分)∵BD平分∠ABD,∴∠DBC=∠ABD=35°,(3分)∴∠DBC=∠ACB=35°,∴△BCD为等腰三角形;(4分)(2)证法一:如图2,在AC上截取AH=AB,连接EH,由(1)得:△BCD为等腰三角形,∴BD=CD,∴BD+AD=CD+AD=AC,(6分)∵AE平分∠BAC,∴∠EAB=∠EAH,∴△ABE≌△AHE,∴BE=EH,∠AHE=∠ABE=70°,(8分)∴∠HEC=∠AHE﹣∠ACB=35°,∴EH=HC,∴AB+BE=AH+HC=AC,∴BD+AD=AB+BE;(10分)证法二:如图3,在AB的延长线上取AF=AC,连接EF,由(1)得:△BCD为等腰三角形,且BD=CD,∴BD+AD=CD+AD=AC,∵AE平分∠BAC,∴∠EAF=∠EAC,∴△AEF≌△AEC,∴∠F=∠C=35°,(8分)∴BF=BE,∴AB+BE=AB+BF=AF,∴BD+AD=AB+BE;(10分)(3)正确结论:BD+AD=BE﹣AB,理由是:如图4,在BE上截取BF=AB,连接AF,∵∠ABC=70°,∴∠AFB=∠BAF=35°,∵∠BAC=75°,∴∠HAB=105°,∵AE平分∠HAB,∴∠EAB=∠HAB=52.5°,∴∠EAF=52.5°﹣35°=17.5°=∠AEF=17.5°,∴AF=EF,∵∠AFC=∠C=35°,∴AF=AC=EF,∴BE﹣AB=BE﹣BF=EF=AC=AD+CD=AD+BD.(12分)13.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,点D是BC边上一动点(与点B,C不重合),点E与点D 关于直线AC对称,连结AE,过点B作BF⊥ED的延长线于点F.(1)依题意补全图形;(2)当AE=BD时,用等式表示线段DE与BF之间的数量关系,并证明.【解答】解:(1)依题意补全图形如图所示:(2)结论:DE=2BF.理由:连接AD,设DE交AC于H.∵点E、D关于AC对称,∴AC垂直平分DE.∴AE=AD.∵AE=BD,∴AD=DB.∴∠DAB=∠ABC=45°.∴∠ADC=90°.∴∠ADE+∠BDF=90°.∵BF⊥ED,AC⊥ED,∴∠F=∠AHD=90°.∴∠DBF+∠BDF=90°.∴∠DBF=∠ADH.∴△ADH≌△DBF∴DH=BF又∵DH=EH,∴DE=2BF.14.请按要求完成下面三道小题.(1)如图1,AB=AC.这两条线段一定关于某条直线对称吗?如果是,请画出对称轴a(尺规作图,保留作图痕迹);如果不是,请说明理由.(2)如图2,已知线段AB和点C.求作线段CD(不要求尺规作图),使它与AB成轴对称,且A与C是对称点,标明对称轴b,并简述画图过程.(3)如图3,任意位置的两条线段AB,CD,AB=CD.你能通过对其中一条线段作有限次的轴对称使它们重合吗?如果能,请描述操作方法;如果不能,请说明理由.【解答】解:(1)如图1,作∠ABC的平分线所在直线a.(答案不唯一)(2)如图2所示:①连接AC;②作线段AC的垂直平分线,即为对称轴b;③作点B关于直线b的对称点D;④连接CD即为所求.(3)如图3所示,连接BD;作线段BD的垂直平分线,即为对称轴c;作点C关于直线c的对称点E;连接BE;作∠ABE的角平分线所在直线d即为对称轴,故其中一条线段作2次的轴对称即可使它们重合.15.阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,在△ABC和△ADE中,∠ACB=∠AED=90°,AC=AE,BC=DE,连接CE交BD于点F.求证:BF=DF小明经探究发现,过B点作∠CBG=∠EDF,交CF于点G(如图2),从而可证△DEF≌△BCG,使问题得到解决(1)请你按照小明的探究思路,完成他的证明过程:参考小明思考问题的方法,解决下面的问题:(2)如图3,在△ABC与△BDE中,∠ABC=∠BDE,BC=DE,AB=BD,CF、EG分别为AB、BD的中线,连结FG并延长交CE于点H,是否存在与CH相等的线段?若存在,请找出并证明;若不存在,说明理由.【解答】(1)证明:∵∠ACB=∠AED=90°,∴∠DEF+∠AEC=∠ACE+∠BCG=90°,∵AE=AC,∴∠AEC=∠ACE,∴∠DEF=∠BCG,在△BCG与△DEF中,∴△BCG≌△DEF,(ASA),∴BG=DF,∠BGC=∠DFC,∴∠BGF=∠BFG,∴BF=BG,∴BF=DF;(2)解:CH=EH,理由:如图3,延长FH至L,使HL=FG,连接LE,则HL+HG=FG+HG,即LG=FH,∵∠ACB=∠AED=90°,CF、EG分别为AB、BD的中线,∴CF=EG,∵∠ABC=∠BDE,∠CBF=∠CFB,∠D=∠DGE,∴∠BFC=∠DGE,∵AB=BD,∴BF=BG,∴∠BFG=∠BGF,∵∠BGF=∠DGH,∴∠CFH=∠EGL,在△CFH与△EGL中,,∴△CFH≌△EGL,(SAS),∴CH=EL,∠ELH=∠CHF,∴∠ELH=∠EHL,∴EH=EL,∴EH=CH.。
全等三角形与轴对称复习测试卷(含答案)

全等三角形与轴对称复习测试卷一、选择题(共10小题,每小题4分,满分40分)1.下列各图中,为轴对称图形的是()A.B.C.D.2.观察下列银行标志,从图案看是中心对称图形的有()个.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.如图,AB=AC,EB=EC,那么图中的全等三角形共有()A.1对 B.2对 C.3对 D.4对(第3题)(第6题)4.已知一个三角形中有两个角度数如下,其中不能构成等腰三角形的是()A.40°,70° B.60°,90° C.50°,80° D.30°,120°5.下列说法错误的是()A.全等三角形的对应边上的高相等 B.全等三角形的对应边上的中线相等C.全等三角形的对应角平分线相等 D.所有等边三角形都全等6.如图,已知AB、CD相交于O点,△AOC≌△BOD,E、F分别在OA、OB上,要使△EOC≌△FOD,添加的一个条件不可以是()A.CE=DF B.∠CEA=∠DFB C.∠OCE=∠ODF D.OE=OF7.如图,阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形.若点A的坐标是(1,3),则点M和点N的坐标分别是()A.M(1,-3),N(-1,-3) B.M(-1,-3),N(-1,3)C.M(-1,-3),N(1,-3) D.M(-1,3),N(1,-3)(第7题)(第8题)8.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图1).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图2)的对应点所具有的性质是()A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线互相平行9.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上一点,AD=AE,∠EDC=20°,则∠BAD的度数是()A.20° B.40° C.60° D.无法确定(第9题)(第10题)(第11题)10.如图,在△ABC中,AD是∠A的外角平分线,P是AD上异于A的任意一点,设PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,则(m+n)与(b+c)的大小关系是()A.m+n>b+c B.m+n<b+c C.m+n=b+c D.无法确定二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)11.如图,点P在∠AOB的平分线上,若使△AOP≌△BOP,则需添加的一个条件是.(只写一个即可,不添加辅助线)12.下列4个图形中,不是轴对称图形的是图形,对称轴最多的轴对称图形是图形.13.如图,D、E为AB、AC的中点,将△ABC沿线段DE折叠,使点A落在点F处,若∠B=50°,则∠BDF=度.(第13题)(第14题)14.如图,有一底角为35°的等腰三角形纸片,现过底边上一点,沿与底边垂直的方向将其剪开,分成三角形和四边形两部分,则四边形中,最大角的度数是度.三、解答题(共9小题,满分90分)15.如图,AC、BD交于点E,添加怎样的两个条件,直接用AAS证明△ADE≌△BCE?16.已知:M、N分别在∠AOB的边OA、OB上.求作:以MN为底边的等腰△MNP,使点P在∠AOB的平分线OC上.(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法和证明)17.如图,在△ABC与△ABD中,BC=BD.设点E是BC的中点,点F是BD的中点.(1)请你在图中作出点E和点F;(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明)(2)连接AE,AF.若∠ABC=∠ABD,请你证明△ABE≌△ABF.18.如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.19.如图,在平面直角坐标系中,将四边形ABCD称为“基本图形”,且各点的坐标分别为A(4,4),B(1,3),C(3,3),D(3,1).(1)画出“基本图形”关于原点O对称的四边形A1B1C1D1,并求出A1,B1,C1,D1的坐标;(2)画出“基本图形”关于x轴的对称图形A2B2C2D2;(3)画出四边形A3B3C3D3,使之与前面三个图形组成的图形既是中心对称图形又是轴对称图形.20.如图,在△ABC中,∠C=2∠B,AD是△ABC的角平分线,∠1=∠B.求证:AB=AC+CD.21.如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连接DE并延长至点F,使EF=AE,连接AF、BE和CF.请在图中找出所有全等的三角形,用符号“≌”表示,并选择一对加以证明.22.如图,已知∠B+∠D=180°,AE、BD相交于点C,AC=CE,求证:AB=DE.23.如图:在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点.(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系;(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,移动中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论.答案;一、选择题(共10小题,每小题4分,满分40分)1.故选C.考点:轴对称图形.分析:根据轴对称图形的概念求解.解答:解:A、B、D都不是轴对称图形,只有C是轴对称图形.故选C.点评:掌握好轴对称的概念.轴对称的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合.2.故选C.考点:中心对称图形;生活中的旋转现象.分析:根据中心对称图形的概念求解.解答:解:根据中心对称图形的概念,观察可知,只有第四个不是中心对称图形,其它三个都是中心对称图形.故选C.点评:掌握好中心对称与轴对称的概念.判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;判断中心对称图形是要寻找对称中心,图形旋转180度后与原图形重合.3.故选C.考点:全等三角形的判定.分析:三角形全等条件中必须是三个元素,至少有一组对应边相等,根据已知条件和等腰三角形的性质可以得到三组全等三角形.做题要从已知开始找,由易到难.解答:解:∵AB=AC,EB=EC,∴∠ABC=∠ACB,∠EBD=∠ECD,∴∠ABE=∠ACE,∴△ABE≌△ACE(SAS),∴∠BAD=∠CAD,又∠ABC=∠ACB,AD=AD,△ABD≌△ACD(AAS),∴BD=CD,又∠EBD=∠ECD,EB=EC,∴△BDE≌△CDE(SAS).故选C.点评:本题考查全等三角形的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、AAS、ASA.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.做题时要从已知入手,结合图形由易到难寻找.4.故选B.考点:三角形内角和定理.分析:等腰三角形有两个底角相等,根据三角形的内角和是180°,进行判断即可.解答:解:A、构成等腰三角形的三个角的度数分别是40°,70°,70°;B、不能同时满足等腰三角形和三角形的内角和是180°,所以不能构成等腰三角形;C、构成等腰三角形的三个角的度数分别是50°,80°,50°;D、构成等腰三角形的三个角的度数分别是30°,120°,30°.故选B.点评:解决此类问题一定要同时满足等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和是180°这两个条件.5.故选D.考点:全等三角形的判定;全等三角形的性质.分析:根据全等三角形的性质进行分析可得答案.解答:解:根据题意,由全等三角形的性质,两个三角形全等,其对应的边角相等,对应的中线、角平分线、高也相等,可得A、B、C正确,D、每个等边三角形的三边都相等,由于对应边不一定相等,所以不一定全等,D错误,故选D.点评:本题考查全等三角形的性质,两个三角形全等,其对应的边角相等,对应的中线、角平分线、高也相等.6.故选A.考点:全等三角形的判定.分析:因为△AOC≌△BOD,所以要使△EOC≌△FOD,隐含的已知条件是:∠COE=∠DOF,CO=OD;据三角形的判定方法ASA、AAS、SAS,添加条件去判断即可.解答:解:∵△AOC≌△BOD,∴CO=OD,又∵∠COE=∠DOF(对顶角相等),∴要使△EOC≌△FOD,则添加的一个条件是∠CEA=∠DFB,即说明其补角是相等的,符合AAS;或∠OCE=∠ODF,符合ASA;或OE=OF,符合SAS.A选项不符合判定定理,故选A.点评:本题考查了全等三角形的判定;解题的关键是牢记三角形的判定定理,并能熟练应用.从已知条件入手,结合全等的判定方法,通过分析推理,对选项一个个进行验证,做到由易到难,不重不漏7.故选C.考点:坐标与图形变化-旋转;坐标与图形变化-对称.分析:根据轴对称和中心对称图形的概念解答.解答:解:A,M关于原点对称,A的坐标是(1,3),∴M(-1,-3);∵A,N关于x轴对称,A的坐标是(1,3),∴N(1,-3).故选C.点评:两个点关于原点对称,横纵坐标均互为相反数,两个点关于x轴对称,横坐标不变,纵坐标互为相反数.8.故选B.考点:轴对称的性质;平移的性质.专题:压轴题.分析:由已知条件,根据轴对称的性质和平移的基本性质可得答案.解答:解:观察原图,有用进行了平移,所以有垂直的一定不正确,A、C是错误的;对应点连线是不可能平行的,D是错误的;找对应点的位置关系可得:对应点连线被对称轴平分.故选B.点评:本题考查平移的基本性质:①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等及轴对称的性质;按要求画出图形是正确解答本题的关键.9.故选B .考点:三角形的外角性质.分析:根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,∠AED=∠EDC+∠C,∠ADC=∠B+∠BAD,再根据等边对等角的性质∠B=∠C,∠ADE=∠AED,代入数据计算即可求出∠BAD 的度数.解答:解:如图,∠AED=∠EDC+∠C,∠ADC=∠B+∠BAD,∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠EDC,即∠BAD=2∠EDC,∵∠EDC=20°,∴∠BAD=40°.故选B .点评:本题主要利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质,熟练掌握性质是解题的关键. 10.故选A .考点:全等三角形的判定与性质;三角形三边关系.分析:在BA 的延长线上取点E ,使AE=AC ,连接ED ,EP ,证明△ACP 和△AEP 全等,推出PE=PC ,根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n >b+c .解答:解:在BA 的延长线上取点E ,使AE=AC ,连接ED ,EP ,∵AD 是∠A 的外角平分线,∴∠CAD=∠EAD,在△ACP 和△AEP 中,⎩⎪⎨⎪⎧AE =AC ∠CAD =∠EAD AP =AP , ∴△ACP≌△AEP(SAS ),∴PE=PC,在△P BE 中,PB+PE >AB+AE ,∵PB=m,PC=n ,AB=c ,AC=b ,∴m+n>b+c .故选A .点评:本题主要考查三角形全等的证明,全等三角形的性质,三角形的三边关系,作辅助线构造以m 、n 、b 、c 的长度为边的三角形是解题的关键,也是解本题的难点.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)11.故填OA=OB.考点:全等三角形的判定.专题:压轴题;开放型.分析:OA=OB结合已知条件可得△AOP=≌△BOP(ASA),当∠OAP=∠OBP或∠APO=∠BPO时,利用全等三角形的判定(AAS)可得△AOP≌△BOP.解答:解:已知点P在∠AOB的平分线上∴∠AOP=∠BOP∵OP=OP,OA=OB∴△AOP=≌△BOP.故填OA=OB.点评:本题考查了全等三角形的判定;题目是开放型题目,根据已知条件结合判定方法,找出所需条件,一般答案不唯一,只要符合要求即可.12.故填(1).考点:轴对称图形.分析:根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.解答:解:图(1)是轴对称图形,它有3条对称轴;图(2)是轴对称图形,它有2条对称轴;图(3)不是轴对称图形;图(4)是轴对称图形,它有1条对称轴;故4个图形中,不是轴对称图形的是图形(3),对称轴最多的轴对称图形是图形(1).点评:掌握好轴对称图形的有关概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,一个轴对称图形的对称轴可以不只一条.13.故填80.考点:翻折变换(折叠问题);平行线的性质.专题:计算题;压轴题.分析:根据中位线的定义得出ED∥BC,再根据平行的性质和折叠的性质即可求.解答:解:∵D、E为AB、AC的中点,∴DE为△ABC的中位线,ED∥BC,∴∠ADE=∠ABC∵∠ABC=50°,∴∠ADE=50°,由于对折前后两图形全等,故∠EDF=50°,∠BDF=180°-50°×2=80°.点评:本题通过折叠变换考查正多边形的有关知识,及学生的逻辑思维能力.解答此类题最好动手操作,易得出答案.14.故填125.考点:等腰三角形的性质;三角形内角和定理;三角形的外角性质.专题:压轴题.分析:根据等腰三角形的性质,依题意可得等腰三角形的顶角为110°,又根据三角形的一个外角等于和它不相邻的内角的和可求出最大角的度数.解答:解:根据等腰三角形的性质:等边对等角.以及三角形的内角和是180°,解得等腰三角形的顶角是180°-35°×2=110°.根据三角形的一个外角等于和它不相邻的内角的和求得四边形的第四个角是90°+35°=125°.比较四边形的四个内角,最大角的度数是125°.故填125.点评:本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质;利用三角形外角的性质求得四边形的内角后与其它三个角进行比较式正确解答本题的关键.三、解答题(共9小题,满分90分)15.考点:全等三角形的判定.专题:证明题;开放型.分析:在△ADE与△BCE中,∠BEC=∠AED,两三角形有一组角对应相等,添加一组角、一组边对应相等(不是两组对应角的夹边),才能用AAS证明△ADE≌△BCE.解答:解:可添加∠B=∠A,EC=ED;或∠C=∠D,BE=AE;∵∠B=∠A,EC=ED,又∠BEC=∠AED,∴△ADE≌△BCE.点评:本题考查了全等三角形的判定;是开放型题目,答案不唯一.注意应用对顶角相等这一条件.16.考点:作图—复杂作图.专题:作图题.分析:以MN为底边的等腰△MNP,则点P在MN的垂直平分线上,点P在∠AO B的平分线OC上.则又要做角的角平分线,两线的交点就是点P的位置.解答:解:点评:本题综合考查了角平分线和线段的垂直平分线的性质.17.考点:全等三角形的判定.专题:作图题.分析:(1)由作一条线段中垂线的方法作出点E和点F.(2)由题意BC=BD推出BE=BF,然后证明△ABE≌△ABF.解答:解:(1)能看到“分别以B,C为圆心,以大于12BC,长为半径画弧,两弧交于点M、N,连接MN,交BC于E”的痕迹,能看到用同样的方法“作出另一点F(或以B为圆心,BE 为半径画弧交BD于点F)”的痕迹(凡正确作出点E,F中的一个后,另一个只要在图上标注了大致位置.,(2)∵BC=BD,E,F分别是BC,BD的中点,∴BE=BF,在△ABE和△ABF中BE=BF,∠ABE=∠ABF,AB=AB,∴△ABE≌△ABF.点评:本题考查了全等三角形的判定;命题意图:掌握知识同时要培养学生的能力,尺规作图就是考查动手能力,三角形全等的证明是几何证明的基础,考查是必要的.中点作法用作垂直平分线的方法,三角形全等利用边角边定理.18.考点:等腰三角形的判定;全等三角形的判定与性质.专题:探究型.分析:要判断△AFC的形状,可通过判断角的关系来得出结论,那么就要看∠FAC和∠FCA 的关系.因为∠BAD=∠B CE,因此我们只比较∠BAC和∠BCA的关系即可.根据题中的条件:BD=BE,∠BAD=∠BCE,△BDA和△BEC又有一个公共角,因此两三角形全等,那么AB=AC,于是∠BAC=∠BCA,由此便可推导出∠FAC=∠FCA,那么三角形AFC应该是个等腰三角形.解答:解:△AFC是等腰三角形.理由如下:在△BAD与△BCE中,∵∠B=∠B(公共角),∠BAD=∠BCE,BD=BE,∴△BAD≌△BCE(AAS),∴BA=BC,∠BAC=∠BCA,∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE,即∠FAC=∠FCA.∴AF=CF,∴△AFC是等腰三角形.点评:本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定等知识点,利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键.19.考点:利用旋转设计图案;利用轴对称设计图案.专题:作图题.分析:(1)关于原点对称的两个点的坐标特点是:横坐标,纵坐标都互为相反数;(2)关于x轴对称的;两个点的坐标特点是:横坐标相等,纵坐标互为相反数,根据坐标关系画图,写坐标.解答:解:(1)A1(-4,-4),B1(-1,-3),C1(-3,-3),D1(-3,-1).(正确写出每个点的坐标得4分;正确画出四边形A1B1C1D1给2分)(2)正确画出图形A2B2C2D2给(3分);(3)正确画出图形A3B3C3D3给(3分).点评:本题实际上就是坐标系里的轴对称,中心对称的问题,要明确关于原点对称,关于x 轴对称,y 轴对称的点的坐标特点;通过画图,图形由部分到整体,体现了对称的美感. 20.考点:全等三角形的判定与性质.专题:证明题.解答:证明:∵∠1=∠B(已知),∴∠AED=2∠B(三角形外角的性质),DE=BE (等角对等边),又∠C=2∠B,∴∠C=∠AED(等量代换),在△ACD 和△AED 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠CAD=∠EAD∠C =∠AED AD =AD ∴△ACD≌△AED(AAS ),∴AC=AE,CD=DE (对应边相等),∴CD=BE(等量代换),∴AB=AE+EB=AC+CD.点评:此题考查了学生对角平分线的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用能力,要熟练掌握并灵活运用这些知识. 21.考点:全等三角形的判定.专题:证明题;开放型.分析:要找出全部的全等三角形,就要从已知的条件求出未知的条件.△ABC 是等边三角形,所以AC=BC ,又CD=CE ,所以BD=AE=EF ,很容易就可以求得△CDE,△AEF 为等边三角形,所以∠BDE=∠CEF,所以△BDE≌△FEC,从而得BE=CF ,由SSS 可得△BCE≌△FDC,因AB=BC=CF ,AE=AF ,∠BAE=∠EAF=60°,由SAS 可求△ABE≌△ACF,然后任意选择一组加以证明即可.解答:答:△BDE≌△FEC,△BCE≌△FDC,△ABE≌△ACF;证明:(以△BDE≌△FEC 为例)∵△ABC 是等边三角形,∴BC=AC,∠ACB=60°,∵CD=CE,∴△EDC 是等边三角形,∴∠EDC=∠DEC=60°,∴∠BDE=∠FEC=120°,∵CD=CE,∴BC -CD=AC-CE ,∴BD=AE,又∵EF=AE,∴BD=FE, 在△BDE 与△FEC 中,⎩⎪⎨⎪⎧DE =CE ∠EDB =∠CEF BD =EF , ∴△BDE≌△FEC(SAS ).点评:本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL .由已知条件快速的找出一组全等的三角形,然后求出未知的条件,作为下组全等三角形的判定条件,可出从中找出相似的三角形,试着找条件证明全等,数形结合是很重要的数学解题思路. 22.考点:全等三角形的判定与性质;平行线的性质.专题:证明题.分析:要求AB=DE ,而且两边分别在两个三角形中,所以只能通过全等,但由题意两三角形不全等,但根据AC=CE 知需要作辅助线AF∥DE 交BC 于F ,证得△ACF≌△EDC,再根据题中条件即可得到AB=DE .解答:证明:如图,过A 点作AF∥DE 交BC 于F ,∴∠CAF=∠CED,∠CFA=∠CDE,又∵AC=CE,∴△ACF≌△EDC,∴∠D=∠AFC,AF=DE ,∵∠B+∠D=180°,∠AFC+∠AFB=180°,∴∠B=∠AFB,∴AB=AF,∴AB=DE.点评:本题考查了两直线平行性质及全等三角形的判定和性质,要善于观察、利用题中的隐含条件,对此类题要求有一定转化思想的能力. 23.考点:等腰三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.专题:压轴题;探究型.分析:分析:(1)由于△ABC 是直角三角形,点O 是BC 的中点,根据直角三角形的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,故有OA=OB=OC=12 BC ; (2)由于OA 是等腰直角三角形的斜边上的中线,根据等腰直角三角形的性质知,∠CAO=∠B=45°,OA=OB ,又有AN=MB ,所以由SAS 证得△AON≌△BOM 可得:ON=OM ①∠NOA=∠MOB,于是有,∠NOM=∠AOB=90°,所以△OMN 是等腰直角三角形.解答:解:(1)∵在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,O 为BC 的中点,∴OA=12BC=OB=OC , 即OA=OB=OC ;(2)△OMN 是等腰直角三角形.理由如下:连接AO∵AC=AB,OC=OB∴OA=OB,∠NAO=∠B=45°, 在△AON 与△BOM 中⎩⎪⎨⎪⎧AN =BM∠NAO =∠B OA =OB∴△AON≌△BOM(SAS )∴ON=OM,∠NOA=∠MOB∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM∴∠NOM=∠AOB=90°,∴△OMN 是等腰直角三角形.点评:本题利用了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质求解.。
《全等三角形》《轴对称》期末复习提优题及答案解析

A ①②③ .
B.①②④
C.②③④
D ①②③④ .
3.如图,Rt△ACB 中,∠ACB=90°,△ABC 的角平分线 AD、BE 相交于点 P,过 P 作 PF⊥AD 交 BC 的延长线于点 F,交 AC 于点 H,则下列结论:①∠APB=135°;②PF=PA;③AH+BD=AB;④S 四边形 ABDE= S△ABP,其中正 确的是( )
八年级[丄]数学期末《全等三角形》《轴对称》复 习提优题【大海之音组卷】
一.选择题(共 4 小题) 1.如图,Rt△ACB 中,∠ACB=90°,∠ABC 的角平分线 BE 和∠BAC 的外角平分线 AD 相交于点 P,分别交 AC 和 BC 的延长线于 E,D.过 P 作 PF⊥AD 交 AC 的延长线于点 H,交 BC 的延长线于点 F,连接 AF 交 DH 于点 G.则下列结论:①∠APB=45°;②PF=PA;③BD﹣ AH=AB;④DG=AP+GH.其中正确的是( )
②③先根据直角的关系求出∠AHP=∠FDP,然后利用角角边证明△AHP 与△FDP 全等,根据全等三角形对 应边相等可得 DF=AH,对应角相等可得∠PFD=∠HAP,然后利用平角的关系求出∠BAP=∠BFP,再利用角 角边证明△ABP 与△FBP 全等,然后根据全等三角形对应边相等得到 AB=BF,从而得解; ④根据 PF⊥AD,∠ACB=90°,可得 AG⊥DH,然后求出∠ADG=∠DAG=45°,再根据等角对等边可得 DG=AG,再根据等腰直角三角形两腰相等可得 GH=GF,然后求出 DG=GH+AF,有直角三角形斜边大于 直角边,AF>AP,从而得出本小题错误. 解答: 解:①∵∠ABC 的角平分线 BE 和∠BAC 的外角平分线,
人教版八年级数学上《全等三角形》《轴对称》期末复习提优题及答案解析

新世纪教育网精选资料 版权全部 @新世纪教育网先学后教、当堂达标(数学科)导教案一、学习目标:1、经过类比分数的乘除运算法例,获取分式的乘除运算法例,并利用法例进行运算及解决相关的简单的实质问题;2、经历探究分式的运算法例的过程,并能联合详细状况说明其合理性。
3、理解分式的乘除混淆运算法例,并能解决简单的实质问题二、要点难点:要点: 掌握分式的乘除运算难点: 分子、分母为多项式的分式乘除法运算,及乘除运算法例。
三、学习过程:㈠、回首练习 : 1、在分式2 y 中,当 y 1时,分式没存心义; 当 y_0___时,分式的值为零, 当 __ y15 y 155时,分式存心义。
2、填出以下各等式中未知的分子或分母。
x y x2a 2 aba by xy ;x yx2y2abb3、分解因式:① 2x-6= 2( x 3) ;② x2-4x+4= ( x2)2 ;③ 1-2x+x 2= ; ④ x 2-9y 2= ;㈡、预习看书 10— 13 页,并做好思虑,察看,练习题㈢、达成以下预习作业:1、察看以下运算:5 2 5 9 5 9 . 7 9 7 27 2概括分数的乘除法法例:乘法法例: __________________________________________________________除法法例: ___________________________________________________________猜一猜ad ? b d ? 与伙伴沟通。
bca c2、①两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的 _分子 _____, 把分母相乘的积作为积的___分母___, 如ac acb dbd②两个分式相除,把除式的 分子 _____和分母 _____ 颠倒地点后再与 __被除式 _______相乘,如ac ad ad。
可把这个法例简单的说成:bd bcbc3、试一试:( 1)4 y x( 2)ab 2 3a 2b 23x 2y 32c 24cd解:( 2)原式( 1)4 y x3x 2y 3新世纪教育网精选资料版权全部@新世纪教育网2ab(4cd )24ab cd2d3ac四、当堂达标测试2 41、计算:( 1)x x(2)( x 2)( x 3) x2x21x2、化简求值:x22x 1 x五、讲堂反省:4xy323y224x x2x解:x 412(x 2)( x3) x2xx21x3 x(x2)( x3) x x1 3( x1)(x1)x3x(x2)x1x2,此中 x=2x 1。
人教版数学八年级上册第12章《全等三角形》复习测试题(配套练习附答案)

同理△DCB≌△C'DB,
∵∠A=∠C',∠AOB=∠C'OD,AB=C'D,
∴△AOB≌△C'OD (AAS) ,
所以共有四对全等三角形.
故答案为4.
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、SSA、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
故选D.
二.填空题(本大题共8小题,共24.0分)
9.如图,在 和 中, ,若利用“HL”证明 ≌ ,则需要加条件______.
【答案】 ,
【解析】
【分析】
添加∠C=∠D=90°,由HL证明△ABC≌△ABD即可.
【详解】添加∠C=∠D=90°,理由如下:
∵∠C=∠D=90°,
∴在Rt△ABC和Rt△ABD中,
A. AE=DFB. ∠A=∠DC. ∠B=∠CD. AB= CD
【答案】D
【解析】
【分析】
根据垂直定义求出∠CFD=∠AEB=90°,由已知 ,再根据全等三角形的判定定理推出即可.
【详解】添加的条件是AB=CD;理由如下:
∵AE⊥BC,DF⊥BC,
∴∠CFD=∠AEB=90°,
在Rt△ABE和Rt△DCF中,
【详解】①∵PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS,
∴点P在∠A的平分线上,∠ARP=∠ASP=90°,
∴∠SAP=∠RAP,
在Rt△ARP和Rt△ASP中,
,
∴Rt△ARP≌Rt△ASP(HL),
∴AR=AS,∴①正确;
八年级数学全等三角形专题练习(解析版)

八年级数学全等三角形专题练习(解析版)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.如图,在四边形ABCD 中,BC CD = ,对角线BD 平分ADC ∠,连接AC ,2ACB DBC ∠=∠,若4AB =,10BD =,则ABC S =_________________.【答案】10【解析】【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ,然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ,可得CB=CA=CD ,过点C 作CE ⊥BD 于点E ,CF ⊥AB 于点F ,如图,根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠,然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ,可得CF=DE ,再根据三角形的面积公式计算即得结果.【详解】解:∵BC CD =,∴∠CBD =∠CDB ,∵BD 平分ADC ∠,∴∠ADB =∠CDB ,∴∠CBD =∠ADB ,∴AD ∥BC ,∴∠CAD =∠ACB ,∵2ACB DBC ∠=∠,2ADC BDC ∠=∠,∠CBD =∠CDB ,∴ACB ADC ∠=∠,∴CAD ADC ∠=∠,∴CA=CD ,∴CB=CA=CD ,过点C 作CE ⊥BD 于点E ,CF ⊥AB 于点F ,如图,则152DE BD ==,12BCF ACB ∠=∠, ∵12BDC ADC ∠=∠,ACB ADC ∠=∠,∴BCF CDE ∠=∠, 在△BCF 和△CDE 中,∵BCF CDE ∠=∠,∠BFC =∠CED =90°,CB=CD ,∴△BCF ≌△CDE (AAS ),∴CF=DE =5,∴11451022ABC S AB CF =⋅=⨯⨯=. 故答案为:10.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识,涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度,正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键.2.如图,△ABC 是等边三角形,高AD 、BE 相交于点H ,BC=43,在BE 上截取BG=2,以GE 为边作等边三角形GEF ,则△ABH 与△GEF 重叠(阴影)部分的面积为_____.53 【解析】试题分析:如图所示,由△ABC 是等边三角形,BC=433,∠ABG=∠HBD=30°,由直角三角的性质,得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°,由对顶角相等,得∠MHE=∠BHD=60°,由BG=2,得EG=BE ﹣BG=6﹣2=4.由GE 为边作等边三角形GEF ,得FG=EG=4,∠EGF=∠GEF=60°,△MHE 是等边三角形;S △ABC =12AC•BE=12AC×EH×3EH=13BE=13×6=2.由三角形外角的性质,得∠BIF=∠FGE ﹣∠IBG=60°﹣30°=30°,由∠IBG=∠BIG=30°,得IG=BG=2,由线段的和差,得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2,由对顶角相等,得∠FIN=∠BIG=30°,由∠FIN+∠F=90°,得∠FNI=90°,由锐角三角函数,得FN=1,3S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣S △FIN 2233142312--5353.考点:1.等边三角形的判定与性质;2.三角形的重心;3.三角形中位线定理;4.综合题;5.压轴题.3.如图,在△ABC 中,P ,Q 分别是BC ,AC 上的点,PR ⊥AB ,PS ⊥AC ,垂足分别是R ,S ,若AQ PQ =,PR PS =,那么下面四个结论:①AS AR =;②QP //AR ;③△BRP ≌△QSP ;④BRQS ,其中一定正确的是(填写编号)_____________.【答案】①,②【解析】【分析】连接AP ,根据角平分线性质即可推出①,根据勾股定理即可推出AR=AS ,根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA ,推出∠QPA=∠BAP ,根据平行线判定推出QP ∥AB 即可;在Rt △BRP 和Rt △QSP 中,只有PR=PS .无法判断△BRP ≌△QSP 也无法证明BRQS .【详解】解:连接AP①∵PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS,∴点P在∠BAC的平分线上,∠ARP=∠ASP=90°,∴∠SAP=∠RAP,在Rt△ARP和Rt△ASP中,由勾股定理得:AR2=AP2-PR2,AS2=AP2-PS2,∵AP=AP,PR=PS,∴AR=AS,∴①正确;②∵AQ=QP,∴∠QAP=∠QPA,∵∠QAP=∠BAP,∴∠QPA=∠BAP,∴QP∥AR,∴②正确;③在Rt△BRP和Rt△QSP中,只有PR=PS,不满足三角形全等的条件,故③④错误;故答案为:①②.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用,熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.4.等腰三角形一边长等于4,一边长等于9,它的周长是__.【答案】22【解析】【分析】等腰三角形有两条边长为4和9,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形;【详解】解:因为4+4=8<9,0<4<9+9=18,∴腰的不应为4,而应为9,∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.故答案为22.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.5.如图,在平面直角坐标系中,点 A,B 的坐标分别是(1,5)、(5,1),若点 C 在 x 轴上,且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形,则这样的 C 点共有_____________个【答案】5【解析】【分析】分别以A、B为圆心,AB为半径画圆,及作AB的垂直平分线,数出在x轴上的点C的数量即可【详解】解:由图可知:点 C 在 x 轴上,且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形,则这样的 C 点共有5个故答案为:5【点睛】本题考查了等腰三角形的存在性问题,掌握“两圆一线”找等腰三角形是解题的关键6.如图,ABC ∆中,AB AC =,点D 是ABC ∆内部一点,DB DC =,点E 是边AB 上一点,若CD 平分ACE ∠,100AEC =∠,则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ,再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB -2∠ACD ,然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°,代换化简得出∠ACB -∠ACD=50°,即∠DCB=50°,从而求出∠BDC 即可.【详解】∵CD平分∠ACE,∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD,∴∠ECB=∠ACB-∠ACE=∠ACB-2∠ACD,∵∠AEC=100°,∴∠ABC+∠ECB=100°,∴∠ABC+∠ACB-2∠ACD=100°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB-2∠ACD=100°,∴∠ACB-∠ACD=50°,即∠DCB=50°,∵DB=DC,∴∠DBC=∠DCB,∴∠BDC=180°-2∠DCB=180°-2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线,三角形内角和,外角定理,及等边对等角的性质等知识,熟练掌握基本知识,找出角与角之间的关系是解题的关键.7.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,若BE=6cm,DE=2cm,则BC=_____cm.【答案】8cm.【解析】【详解】解:如图,延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,作DF∥BC,∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AN⊥BC,BN=CN,∵∠EBC=∠E=60°,∴△BEM为等边三角形,∴△EFD为等边三角形,∵BE=6cm,DE=2cm,∴DM=4,∵△BEM为等边三角形,∴∠EMB=60°,∵AN⊥BC,∴∠DNM=90°,∴∠NDM=36°,∴NM=2,∴BN=4,∴BC=8.8.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠ADC=∠ABC=90°,在AB、AD上分别找一点F、E,连接CE、EF、CF,当△CEF的周长最小时,则∠ECF的度数为______.【答案】60°【解析】【分析】此题需分三步:第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置(用对称即可);第二步是证明此时的△CEF的周长最小(利用两点之间线段最短);第三步是利用对称性求此时∠ECF的值.【详解】分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2,连接C1C2,分别交AD,AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小,理由如下:在AD、AB上任意取E1、F1两点根据对称性:∴CE=C1E,CE1=C1E1,CF=C2F,CF1=C2F1∴△CEF的周长= CE+EF+CF= C1E+EF+C2F= C1C2而△CE1F1的周长= CE1+E1F1+CF1= C1E1+E1F1+C2F1根据两点之间线段最短,故C1E1+E1F1+C2F1>C1C2∴△CEF的周长的最小为:C1C2.∵∠A=60°,∠ADC=∠ABC=90°∴∠DCB=360°-∠A-∠ADC-∠ABC=120°∴∠C C1C2+∠C C2C1=180°-∠DCB=60°根据对称性:∠C C1C2=∠E CD,∠C C2C1=∠F CB∴∠E CD+∠F CB=∠C C1C2+∠C C2C1=60°∴∠ECF=∠DCB-(∠E CD+∠F CB)=60°故答案为:60°【点睛】此题考查的是周长最小值的作图方法(对称点),及周长最小值的证法:两点之间线段最短,掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.9.已知,∠MON=30°,点A1、A2、A3在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=a,则△A7B7A8的边长为______.【答案】64a【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3,根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到A2B2=2B1A2,进而得出A3B3=4B1A2=4a,A4B4=8B1A2=8a,A5B5=16B1A2…从而得到答案.【详解】∵△A1B1A2是等边三角形,∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,∴∠2=120°.∵∠MON=30°,∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°.又∵∠3=60°,∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°.∵∠MON=∠1=30°,∴OA1=A1B1=a,∴A2B1=a.∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形,∴∠11=∠10=60°,∠13=60°.∵∠4=∠12=60°,∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3,∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°,∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,∴A3B3=4B1A2=4a,A4B4=8B1A2=8a,A5B5=16B1A2=16a,以此类推:A7B7=64B1A2=64a.故答案为:64a.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质,根据已知得出A3B3=4B1A2,A4B4=8B1A2,A5B5=16B1A2进而发现规律是解题的关键.10.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q 分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是_____.【答案】9.6.【解析】【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC,过点B作BQ⊥AC于点Q,BQ交AD于点P,则此时PC+PQ取最小值,最小值为BQ的长.在△ABC中,利用面积法可求出BQ的长度,此题得解.【详解】 ∵AB =AC ,AD 是∠BAC 的平分线,∴AD 垂直平分BC ,∴BP =CP .过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ,BQ 交AD 于点P ,则此时PC +PQ 取最小值,最小值为BQ 的长,如图所示.∵S △ABC 12=BC •AD 12=AC •BQ ,∴BQ 12810BC AD AC ⋅⨯===9.6. 故答案为:9.6.【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积,利用点到直线垂直线段最短找出PC +PQ 的最小值为BQ 是解题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.如图,已知一条线段的长度为a ,作边长为a 的等边三角形的方法是:①画射线AM ;②连结AC 、BC ;③分别以A 、B 为圆心,以a 的长为半径作圆弧,两弧交于点C ;④在射线AM 上截取AB =a ;以上画法正确的顺序是( )A .①②③④B .①④③②C .①④②③D .②①④③【答案】B【解析】【分析】 根据尺规作等边三角形的过程逐项判断即可解答.【详解】解:已知一条线段的长度为a,作边长为a的等边三角形的方法是:①画射线AM;②在射线AM上截取AB=a;③分别以A、B为圆心,以a的长为半径作圆弧,两弧交于点C;④连结AC、BC.△ABC即为所求作的三角形.故选答案为B.【点睛】本题考查了尺规作图和等边三角形的性质,解决本题的关键是理解等边三角形的作图过程.12.如图,C 是线段 AB 上一点,且△ACD 和△BCE 都是等边三角形,连接 AE、BD 相交于点O,AE、BD 分别交 CD、CE 于 M、N,连接 MN、OC,则下列所给的结论中:①AE=BD;②CM=CN;③MN∥AB;④∠AOB=120º;⑤OC 平分∠AOB.其中结论正确的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】由题意易证:△ACE≅△DCB,进而可得AE=BD;由△ACE≅△DCB,可得∠CAE=∠CDB,从而△ACM ≅△DCN,可得:CM=CN;易证△MCN是等边三角形,可得∠MNC=∠BCE,即MN∥AB;由∠CAE=∠CDB,∠AMC=∠DMO,得∠ACM=∠DOM=60°,即∠AOB=120º;作CG⊥AE,CH⊥BD,易证CG=CH,即:OC 平分∠AOB.【详解】∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形,∴AC=DC,CE=CB,∠ACE=∠DCB=120°,∴△ACE≅△DCB(SAS)∴AE=BD,∴①正确;∵△ACE≅△DCB,∴∠CAE=∠CDB,∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形,∴∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°,AC=DC,在△ACM 和△DCN中,∵60CAE CDB AC DCACD DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△ACM ≅△DCN (ASA ),∴CM =CN ,∴②正确;∵CM =CN ,∠DCE=60°,∴△MCN 是等边三角形,∴∠MNC=60°,∴∠MNC=∠BCE ,∴MN ∥AB ,∴③正确;∵△ACE ≅△DCB ,∴∠CAE=∠CDB ,∵∠AMC=∠DMO ,∴180°-∠CAE-∠AMC=180°-∠CDB-∠DMO ,即:∠ACM=∠DOM=60°,∴∠AOB =120º,∴④正确;作CG ⊥AE ,CH ⊥BD ,垂足分别为点G ,点H ,如图,在△ACG 和△DCH 中,∵90?AMC DHC CAE CDB AC DC ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACG ≅△DCH (AAS ),∴CG =CH ,∴OC 平分∠AOB ,∴⑤正确.故选D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理,等边三角形的性质定理以及角平分线性质定理的逆定理,添加合适的辅助线,是解题的关键.13.如图,△ABC、△CDE都是等腰三角形,且CA=CB, CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD,BE相交于点O,点M,N分别是线段AD,BE的中点,以下4个结论:①AD=BE;②∠DOB=180°-α;③△CMN是等边三角形;④连OC,则OC平分∠AOE.正确的是()A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④【答案】B【解析】【分析】①根据全等三角形的判定定理得到△ACD≌△BCE(SAS),由全等三角形的性质得到AD=BE;故①正确;②设CD与BE交于F,根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC,得到∠DOE=∠DCE=α,根据平角的定义得到∠BOD=180°-∠DOE=180°-α,故②正确;③根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE,AD=BE,AC=BC根据线段的中点的定义得到AM=BN,根据全等三角形的性质得到CM=CN,∠ACM=∠BCN,得到∠MCN=α,推出△MNC不一定是等边三角形,故③不符合题意;④过C作CG⊥BE于G,CH⊥AD于H,根据全等三角形的性质得到CH=CG,根据角平分线的判定定理即可得到OC平分∠AOE,故④正确.【详解】解:①∵CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,∴∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中AC BCACD BCECD CE⎪∠⎪⎩∠⎧⎨===∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE;故①正确;②设CD与BE交于F,∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC,∵∠CFE=∠DFO,∴∠DOE=∠DCE=α,∴∠BOD=180°-∠DOE=180°-α,故②正确;③∵△ACD ≌△BCE ,∴∠CAD=∠CBE ,AD=BE ,AC=BC又∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM=12AD ,BN=12BE , ∴AM=BN ,在△ACM 和△BCN 中 AC BC CAM CBN AM BN ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨=== ∴△ACM ≌△BCN (SAS ),∴CM=CN ,∠ACM=∠BCN ,又∠ACB=α,∴∠ACM+∠MCB=α,∴∠BCN+∠MCB=α,∴∠MCN=α,∴△MNC 不一定是等边三角形,故③不符合题意;④过C 作CG ⊥BE 于G ,CH ⊥AD 于H ,∴∠CHD=∠ECG=90°,∵∠CEG=∠CDH ,CE=CD ,∴△CGE ≌△CHD (AAS ),∴CH=CG ,∴OC 平分∠AOE ,故④正确,故选:B .【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,等边三角形的性质和判定等知识点的应用,解此题的关键是根据性质进行推理,此题综合性比较强,有一定的代表性.14.如图钢架中,∠A=a ,焊上等长的钢条P 1P 2, P 2P 3, P 3P 4, P 4P 5……来加固钢架.著P 1A= P 1P 2,且恰好用了4根钢条,则α的取值范圈是( )A .15°≤ a <18°B .15°< a ≤18°C .18°≤ a <22.5°D .18° < a ≤ 22.5°【答案】C【解析】【分析】由每根钢管长度相等,可知图中都是等腰三角形,利用等腰三角形底角一定是锐角,可推出取值范围.【详解】∵AB=BC=CD=DE=EF∴∠P 1P 2A=∠A=a由三角形外角性质,可得∠P 2P 1P 3=2∠A=2a同理可得,∠P 1P 3P 2=∠P 2P 1P 3=2a ,∠P 3P 2P 4=∠P 3P 4P 2=∠A+∠P 1P 3P 2=3a ,∠P 4P 3P 5=∠P 4P 5P 3=∠A+∠P 3P 4P 2=4a ,在△P 4P 3P 5中,∠P 3P 4P 5=180°-2∠P 4P 3P 5=180°-8a当∠P 5P 4B ≥90°即∠P 5P 4A ≤90°时,不能再放钢管,∴3180890+-≤a a ,解得a ≥18°又∵等腰三角形底角只能是锐角,∴4a <90°,解得a <22.5∴1822.5οο≤<a故选C.【点睛】本题考查等腰三角形的性质,掌握等腰三角形的底角只能是锐角是关键.15.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这个三角形为特异三角形.若△ABC 是特异三角形,∠A=30°,∠B 为钝角,则符合条件的∠B 有( )个. A .1B .2C .3D .4 【答案】B【解析】【分析】【详解】如下图,当30°角为等腰三角形的底角时有两种情况:∠B=135°或90°,当30°角为等腰三角形的顶角时有一种情况:∠B=112.5°,所以符合条件的∠B有三个.又因为∠B为钝角,则符合答案的有两个,故本题应选B.点睛:因为不确定这个等腰三角形的底边,所以应当以点A为一个确定点进行分类讨论:①当以B为顶点时,即以B为圆心,AB长为半径画弧交AC于点D,构成等腰△BAD;②当以点A为顶点时,即以点A为圆心,AB长为半径画弧,交AC于点D,构成等腰△ABD;或作线段AB的垂直平分线交AC于点D构成等腰△DAB.16.如图,已知等边△ABC的面积为43, P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点,则PR+QR的最小值是()A.3B.23C.15D.4【答案】B【解析】如图,作△ABC关于AC对称的△ACD,点E与点Q关于AC对称,连接ER,则QR=ER,当点E,R,P在同一直线上,且PE⊥AB时,PE的长就是PR+QR的最小值,设等边△ABC的边长为x,则高为32x,∵等边△ABC的面积为43,∴12x×32x=43,解得x=4,∴等边△ABC的高为32x=23,即PE=23,所以PR+QR的最小值是23,故选B.【点睛】本题考查了轴对称的性质,最短路径问题等,解题的关键是正确添加辅助线构造出最短路径.17.如图,已知,点A(0,0)、B(43,0)、C(0,4),在△ABC内依次作等边三角形,使一边在x轴上,另一个顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1,第2个△B1A2B2,第3个△B2A3B3,…则第2017个等边三角形的边长等于()A 3B3C3D3【答案】A【解析】【分析】【详解】根据锐角三函数的性质,由OB=3OC=1,可得∠OCB=90°,然后根据等边三角形的性质,可知∠A1AB=60°,进而可得∠CAA1=30°,∠CA1O=90°,因此可推导出∠A2A1B=30°,同理得到∠CA2B1=∠CA3B2=∠CA4B3=90°,∠A2A1B=∠A3A2B2=∠A4A3B3=30°,故可得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半,即OA1=OCcos∠CAA1=3B1A2=1232⨯2017个等边三角形的边长为:2017201513()4322⨯=.故选A.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质,属于规律型题目,解题关键是仔细审图,得出:后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.18.如图,O是正三角形ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,下列结论:①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;②点O与O′的距离为4;③∠AOB=150°;④S四边形AOBO′=6+33;⑤S△AOC+S△AOB=6+934.其中正确的结论是()A.①②③⑤B.①③④C.②③④⑤D.①②⑤【答案】A【解析】试题解析:由题意可知,∠1+∠2=∠3+∠2=60°,∴∠1=∠3,又∵OB=O′B,AB=BC,∴△BO′A≌△BOC,又∵∠OBO′=60°,∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到,故结论①正确;如图①,连接OO′,∵OB=O′B,且∠OBO′=60°,∴△OBO′是等边三角形,∴OO′=OB=4.故结论②正确;∵△BO′A≌△BOC,∴O′A=5.在△AOO′中,三边长为3,4,5,这是一组勾股数,∴△AOO′是直角三角形,∠AOO′=90°,∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°,故结论③正确;S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=12323故结论④错误;如图②所示,将△AOB绕点A逆时针旋转60°,使得AB与AC重合,点O旋转至O″点.易知△AOO″是边长为3的等边三角形,△COO″是边长为3、4、5的直角三角形,则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=12×3×4+34×32=6+934,故结论⑤正确.综上所述,正确的结论为:①②③⑤.故选A.19.如图,将△ABC沿DE、EF翻折,顶点A,B均落在点O处,且EA与EB重合于线段EO,若∠CDO+∠CFO=108°,则∠C的度数为()A.40°B.41°C.32°D.36°【答案】D【解析】分析:如图,连接AO、BO.由题意EA=EB=EO,推出∠AOB=90°,∠OAB+∠OBA=90°,由DO=DA,FO=FB,推出∠DAO=∠DOA,∠FOB=∠FBO,推出∠CDO=2∠DAO,∠CFO=2∠FBO,由∠CDO+∠CFO=108°,推出2∠DAO+2∠FBO=98°,推出∠DAO+∠FBO=49°,由此即可解决问题.详解:如图,连接AO、BO.由题意得:EA=EB=EO,∴∠AOB=90°,∠OAB+∠OBA=90°.∵DO=DA,FO=FB,∴∠DAO=∠DOA,∠FOB=∠FBO,∴∠CDO=2∠DAO,∠CFO=2∠FBO.∵∠CDO+∠CFO=108°,∴2∠DAO+2∠FBO=108°,∴∠DAO+∠FBO=54°,∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=144°,∴∠C=180°﹣(∠CAB+∠CBA)=180°﹣144°=36°.故选D.点睛:本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,学会把条件转化的思想,属于中考常考题型.20.如图所示,把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后,得到的一个小三角形的周长是()A.2B.1+22C.2D2-1【答案】B【解析】第一次折叠后,等腰三角形的底边长为1,腰长为22;第一次折叠后,等腰三角形的底边长为22,腰长为12,所以周长为1122122++=+.故答案为B.。
几何-全等三角形及轴对称(含答案)

初二数学上学期期末考试复习建议(几何部分)一. 考试范围第十一章 三角形 第十二章 全等三角形 第十三章 轴对称 二. 复习目的1. 通过复习使学生对已学过的数学知识系统化, 条理化. 更有利于学生掌握基础知识和基本方法, 为进一步学习数学打下良好的基础.2. 逐步培养学生识图能力, 逻辑思维和推理论证的能力, 作图能力, 分析问题和解决问题的能力, 提高学生的数学素质.3. 使学生初步会运用数形结合、转化与化归、分类讨论等数学思想方法.三. 总体复习建议1. 重视基础: 对每一章的知识点进行总结, 使学生掌握所有重要的定义、公式、性质和判定; 掌握每章必须掌握的基本方法(包括解题规范) , 且“每一步推理都要有根据”; 关注教材中数学应用(包括尺规作图) 的实例及其数学原理.2. 优选例题习题, 使学生熟悉一些基本题型, 掌握常用辅助线的添加. 证明书写格式要规范, 思路清楚.3. 适当的综合题的训练.4. 关注新旧教材的对比与变化.5. 充分利用区里的教育资源.第十二章 全等三角形 第十三章 轴对称 一、通过框架图进行知识梳理轴对称等腰三角形 等边三角形画轴对称图形画轴对称图形的对称轴 关于坐标轴对称的点的坐标的关系 生活中的轴对称二、基本尺规作图: 作法及原理作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知角的平分线;作已知线段的垂直平分线(作已知线段的中点) ;三、适当总结证明方法:(1) 证明线段相等的方法①利用线段中点. ②利用数量相等.③证明两条线段所在的两个三角形全等④利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等⑤等腰三角形顶角平分线、底边上的高线平分底边⑥线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等(2) 证明角相等的方法:①利用数量相等. ②利用平行线的性质进行证明.③利用角平分线证明. ④证明两个角所在的两个三角形全等⑤同角(或等角) 的余角(或补角) 相等⑥等腰三角形底边上的高线或底边中线平分顶角⑦等式性质⑧等边对等角(3) 证明两条线段的位置关系(平行、垂直) 的方法.(4) 常添加的辅助线:截长补短倍长中线角分线双垂直角分线翻折平行线+角分线: 等腰三角形角分线+垂直: 补全等腰三角形四、从图形变换的角度来复习全等同时复习几何的平移、轴对称两种变换, 归纳定义及性质, 渗透旋转变换的思想全等三角形的常见图形平移型:A'AB C C'B'轴对称型:旋转型:补充习题(一) 全等的性质和判定1. 如图, 正方形ABCD 的边长为4, 将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A 处, 该三角板的两条直角边与CD 交于点F , 与CB 延长线交于点E . 四边形AECF 的面积是( ) . A A. 16 B. 12 C. 8 D. 42. 已知: 如图, AC 、BD 相交于点O , ∠A = ∠D , 请你再补充一个条件, 使△AOB ≌△DOC , 你补充的条件是____________.CA A' BABCB'C' ABCC' B'AB CC' B'B (C' )C (B' ) AA'ABB'C'CABB'C' C A'AA'B (C' )C (B' )A A'BB' C C' AA'B' BCC' ABB'C'C A'ABCDO3. 在△ABC 与△A'B'C' 中, 已知∠A = ∠A', CD 和C'D' 分别为∠ACB 和∠A'C'B' 的平分线, 再从以下三个条件: ①∠B = ∠B', ②AC = A'C', ③CD = C'D' 中任取两个为题设, 另一个为结论, 则可以构成 ( ) 个正确的命题.A . 1B . 2C . 3D . 4 4. 根据下列已知条件, 不能唯一确定......△ABC 的大小和形状的是( ) . B A. AB =3, BC =4, AC =5 B. AB =4, BC =3, ∠A =30º C. ∠A =60º, ∠B =45º, AB =4D. ∠C =90º, AB =6, AC = 55. 如图, 已知△ABC , 则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的是( ) . Dbaca cc aa丙72︒50︒乙50︒甲50︒CBA50︒72︒58︒A. 只有乙B. 只有丙C. 甲和乙D. 乙和丙6. 已知: 如图, CB = DE , ∠B = ∠E , ∠BAE = ∠CAD . 求证: ∠ACD = ∠ADC .7. 如图, 锐角△ABC 中, D , E 分别是AB , AC 边上的点, △ADC ≌△ADC ′, △AEB ≌△AE B′, 且C ′D ∥EB ′∥BC , 记BE , CD 交于点F , 若BAC x ∠=︒, 则∠BFC 的大小是__________°. (用含x 的式子表示) (1802x -)E ABCDF E DB'C'ABC第6题图第7题图(二) 轴对称图形和垂直平分线1. 在下列各图中, 对称轴最多的图形有________条对称轴.2. (1) 点P (3, − 5) 关于x 轴的对称点坐标为( ) D A. (−3, −5) B. (5, 3) C. (−3, 5) D. (3, 5)(2) 如图, 数轴上A B ,两点表示的数分别为1-和3, 点B 关于点A 的对称点为C , 则点C 所表示的数为( ) A A. 23-- B. 13--C. 23-+D. 13+(3) 如图, 在正方形网格纸上有三个点A , B , C , 现要在图中网格范围内再找格点D , 使得A , B , C , D 四点组成的凸四边形是轴对称图形, 在图中标出所有满足条件的点D 的位置. (两个解)3. 如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB = 90°, ∠A = 15°, AB 的垂直平分线与 AC 交于点D , 与AB 交于点E , 连结BD . 若AD =12cm, 则BC 的长为 cm.4. 如图, 已知△ABC 中, ∠BAC = 120°, 分别作AC , AB 边的垂直平分线PM , PN 交于点P , 分别交BC 于点E 和点F . 则以下各说法中: ①∠P = 60°, ②∠EAF = 60°, ③点P 到点B 和点C 的距离相等, ④PE = PF , 正确的说法是______________. (填序号) ①②③FEPMN CAB第3题图第4题图5. 已知∠AOB =45°, 点P 在∠AOB 的内部, P 1与P 关于OB 对称, P 2与P 关于OA 对称, 则P 1、P 2与O 三点构成的三角形是( ) D A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形(三) 等腰三角形的性质和判定1. 等腰直角三角形的底边长为5, 则它的面积是( ). D A. 50B. 25C. 12.5D. 6.252. 已知: 如图3, △ABC 中, 给出下列四个命题: ① 若AB =AC , AD ⊥BC , 则∠1=∠2; ②若AB =AC , ∠1=∠2, 则BD =DC ; ③若AB =AC , BD =DC , 则AD ⊥BC ;④若AB =AC , AD ⊥BC , BE ⊥AC , 则∠1=∠3; 其中, 真命题的个数是( ). D A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个A O B3. 如图, 在△ABC 中, D 是BC 边上一点, 且AB = AD = DC , ∠BAD = 40°, 则∠C 为( ) . B A. 25° B. 35°C. 40°D. 50°4. 如图, 在△ABC 中, AB = AC , ∠BAC = 30°. 点D 为△ABC 内一点, 且DB = DC , ∠DCB = 30°. 点E 为BD 延长线上一点, 且AE = AB .(1) 求∠ADE 的度数;(2) 若点M 在DE 上, 且DM = DA , 求证: ME = DC .5. 已知: 如图, △ABC 中, 点,D E 分别在,AB AC 边上, F 是CD 中点, 连BF 交AC 于点E , 180ABE CEB ∠+∠=︒, 比较线段BD 与CE 的大小, 并证明你的结论.(提示, 注意AE = AB ; 过D 作AC 的平行线交BE 于点G )(四) 等边三角形(30° 角直角三角形)1. 下列条件中, 不能..得到等边三角形的是( ) . B A. 有两个内角是60°的三角形 B. 有两边相等且是轴对称图形的三角形 C. 三边都相等的三角形D. 有一个角是60°且是轴对称图形的三角形2. 如图, △ABC 中, AB =AC , ∠BAC =120°, DE 垂直平分AC . 根据以上条件, 可知∠B =______, ∠BAD =_______, BD : DC =_______. (30, 90, 2: 1)3. 如图, 在纸片△ABC 中, AC = 6, ∠A = 30º, ∠C = 90º, 将∠A 沿DE 折叠, 使点A 与点B 重合, 则折痕DE 的长为_____. (2)4. 如图所示△ABC 中, AB = AC , AG 平分∠BAC ; ∠FBC = ∠BFG = 60︒, 若FG = 3, FB = 7, 求BC 的长. (答案10. 提示: 延长AG 、FG 与BC 相交)ABCDABCDEADMC(五) 最值问题1. 如图, P 、Q 为ABC 边上的两个定点. 在BC 边上求作一点M , 使PM +MQ 最短2. 已知: 如图, 牧马营地在M 处, 每天牧马人要赶着马群到草地吃草, 再到河边饮水, 最后回到营地M . 请在图上画出最短的放牧路线..M河草地第1题图第2题图3. 如图, 四边形EFGH 是一长方形的台球桌面, 现在黑、白两球分别位于A 、B 两点的位置上. 试问怎样撞击黑球A , 才能使黑球A 先碰到球台边EF , 反弹一次后再击中白球B ?4. 如图, MN 是正方形ABCD 的一条对称轴, 点P 是直线MN 上的一个动点, 当PC +PD 最小时, ∠PCD = _________°. (45)DAMNBCP5. 已知两点M (4, 2) , N (1, 1) , 点P 是x 轴上一动点, 若使PM +PN 最短, 则点P 的坐标应为___________. (2, 0)6. 平面直角坐标系xOy 中, 已知点A (0, 4) , 直线x = 3, 一个动点P 自OA 的中点M 出发, 先到达x 轴上的某点(设为点E ) , 再到达直线x = 6上某点(设为点F ) 最后运动到点A , 求使点P 运动的路径中最短的点E 、F 的坐标. E (4, 0) , F (6, 1)几何专题复习 (一) 分类讨论1. ① 等腰三角形的一个角是110︒, 求其另两角? ② 等腰三角形的一个角是80︒, 求其另两角?③ 等腰三角形两内角之比为2: 1, 求其三个内角的大小? 2. ① 等腰三角形的两边长为5cm 、6cm, 求其周长? ② 等腰三角形的两边长为10cm 、21cm, 求其周长?3. ① 等腰三角形一腰上的中线将周长分为12cm 和21cm 两部分, 求其底边长? ② 等腰三角形一腰上的中线将周长分为24cm 和27cm 两部分, 求其底边长?4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°, 则其顶角为_______.(按高的位置分类)5. 等腰三角形一边上的高等于底边的一半, 则其顶角为___________.6. 等腰三角形一腰上的高等于腰的一半, 则其顶角为___________.7. 等腰三角形一边上的高等于这边的一半, 则其顶角为___________.8. △ABC 中, AB = AC, AB 的中垂线EF 与AC 所在直线相交所成锐角为40︒, 则∠B = _____. (按一腰中垂线与另一腰的交点所在位置分类)9. 已知: ()()ABC x C B A ∆-轴上一点且为、,4,00,2为等腰三角形 , 问满足条件的C 点有几个? 4个10. 在正方形ABCD 所在平面上找一点P, 使△PAD 、△PAB 、△PBC 、△PCD 均为等腰三角形, 这样的P 点有几个? 9个11. 平面内有一点D 到△ABC 三个顶点的距离DA = DB = DC , 若∠DAB = 30°, ∠DAC = 40°, 则∠BDC 的大小是_________°. (20或140)(二) 几何作图1. 如图, 某地区要在区域S 内建一个超市M , 按照要求, 超市M 到两个新建的居民小区A , B 的距离相等, 到两条公路OC , OD 的距离也相等. 这个超市应该建在何处? (本题要求: 尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹)SD2. 尺规作图作AOB 的平分线方法如下: 以O 为圆心, 任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D , 再分别以点C 、D 为圆心, 以大于12CD 长为半径画弧, 两弧交于点P , 则作射线OP 即为所求. 由作法得OCP ODP △≌△的根据是( ) . DA. SASB. ASAC. AASD. SSS3. 如图, 用圆规以直角顶点O 为圆心, 以适当半径画一条弧 交两直角边于A 、B 两点, 若再以A 为圆心, 以OA 为半径画弧, 与弧AB 交于点C , 则∠AOC 等于 __________ °4. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现, 只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线. 如图: 一把直尺压住射线OB , 另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P , 小明说: “射线OP 就是∠BOA 的角平分线. ”你认为小明的想法正确吗? 请说明理由.5. 阅读下列材料:木工张师傅在加工制作家具的时候, 用下面的方法在木板上画直角:如图1, 他首先在需要加工的位置画一条线段AB , 接着分别以点A 、点B 为圆心, 以大于12AB 的适当长为半径画弧, 两弧相交于点C , 再以C 为圆心, 以同样长为半径画弧交AC 的延长线于点D (点D 需落在木板上) , 连接DB . 则∠ABD 就是直角. 木工张师傅把上面的这种作直角的方法叫做“三弧法.图2EF ACBD 图1OAB解决下列问题:(1) 利用图1就∠ABD是直角作出合理解释(要求: 先写出已知、求证, 再进行证明);(2) 图2表示的一块残缺的圆形木板, 请你用“三弧法”, 在木板上...画出一个以EF为一条直角边的直角三角形EFG(要求: 尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹) .(三) 操作问题第1题图①图②第2题图1. 如图①, 一张四边形纸片ABCD, ∠A=50︒, ∠C=150︒. 若将其按照图②所示方式折叠后, 恰好MD'∥AB, ND'∥BC, 则∠D的度数为( ). CA. 70°B. 75°C. 80°D. 85°2. 如图所示, 把一个三角形纸片ABC顶角向内折叠3次之后, 3个顶点不重合, 那么图中∠1+ ∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值为( ) CA. 180°B. 270°C. 360°D. 无法确定3. 将一个菱形纸片依次按下图①、②的方式对折, 然后沿图③中的虚线裁剪, 成图④样式. 将纸展开铺平. 所得到的图形是图中的( ) A4. 如图, 等边△ABC的边长为1cm, D、E分别是AB、AC上的点, 将△ADE沿直线DE折叠, 点A落在点A´处, 且点在△ABC外部, 则阴影部分图形的周长为____________cm. (3)5. 如图, 将一张三角形纸片ABC 折叠, 使点A 落在BC 边上, 折痕EF ∥BC , 得到△EFG ; 再继续将纸片沿△BEG 的对称轴EM 折叠, 依照上述做法, 再将△CFG 折叠, 最终得到矩形EMNF , 折叠后的△EMG 和△FNG 的面积分别为1和2, 则△ABC 的面积为( ) A . 6B . 9C . 12D . 186. 将如图1所示的长方形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠, 使点B 落在AD 边上, 折痕为AE (如图2) ; 再继续将纸片沿过点E 的直线折叠, 使点A 落在EC 边上, 折痕为EF (如图3) , 则在图3中, ∠F AE = _______°, ∠AFE = _______°. (45, 67.5)图1 图2 图37.(1) 已知ABC △中, 90A ∠=, 67.5B ∠=, 请画一条直线, 把这个三角形分割成两个等腰三角形. (请你选用下面给出的备用图, 把所有不同的分割方法都画出来. 只需画图, 不必说明理由, 但要在图中标出相等两角的度数)(2) 已知ABC △中, C ∠是其最小的内角, 过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形, 请探求ABC ∠与C ∠之间的所有可能的关系.8. 当身边没有量角器时, 怎样得到一些特定度数的角呢? 动手操作有时可以解“燃眉之急”. 如图, 已知矩形ABCD , 我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角: (1) 以点A 所在直线为折痕, 折叠纸片, 使点B 落在AD 上, 折痕与BC 交于E ; (2) 将纸片展平后, 再一次折叠纸片, 以E 所在直线为折痕, 使点A 落在BC 上, 折痕EF 交AD 于F . 则∠AFE = _______°. (67.5)A BC 备用图①A BC 备用图②ABC备用图③AC B GFEACBAM GFECB NM G FEACB A BCD ED CB AFD CEA9. 如图(1)所示Rt △ABC 中, ∠A = 90°, 三边a b c >>. 现以△ABC 某一边的垂直平分线为对称轴, 作△ABC 的轴对称图形, 记作一次操作. 例如, 若图(1)中△ABC 以a 边的垂直平分线为对称轴, 作轴对称图形得到图(2)中的△ABC , 记作“a 操作”一次; 图(2)中△ABC 继续以b 边的垂直平分线为对称轴, 作轴对称图形得到图(3)中的△ABC , 记作“b 操作”一次. 现对图(1)中的△ABC 分别按以下顺序连续进行若干次操作, 则最后得到的△ABC 与图(1)中△ABC 重合的是( ) . BA. a 操作 − b 操作 − c 操作B. b 操作 − c 操作 − b 操作 − c 操作C. a 操作 − c 操作 − b 操作 − a 操作D. b 操作 − a 操作 − b 操作 − a 操作c ba a(1)ABC (2) a 操作 (3) b 操作BCAA BCACB四、探究性问题1. 已知: 如图, Rt △ABC 中, AB = AC , ∠BAC = 90°, 直线AE 是经过点A 的任一直线, BD ⊥AE 于D , CE ⊥AE 于E , BD > CE . (1) AD 与CE 的大小关系如何? 请说明理由. (2) 求证: DE =BD -CE .2. 已知: 如图, B 、A 、C 三点共线, 并且Rt △ABD ≌Rt △ECA , M 是DE 的中点. 问题:(1) 判断△ADE 的形状并证明;(2) 判断线段AM 与线段DE 的关系并证明; (3) 判断△MBC 的形状并证明.MCDAEB3.已知: 在△ABC 中, ∠CAB = 2α, 且030α<<, AP 平分∠CAB .(1) 如图1, 若21α=, ∠ABC = 32°, 且AP 交BC 于点P , 试探究线段AB , AC 与PB 之间的数量关系, 并对你的结论加以证明;(2) 如图2, 若∠ABC = 60α-, 点P 在△ABC 的内部, 且使∠CBP = 30°, 求∠APC 的度数(用含α的代数式表示) .五、关于旋转的问题、动点问题1. 已知: 如图, △AOB 和△COD 都是等边三角形, 作直线AC 、直线BD 交于E . 求证: (1) AC =BD ; (2) ∠AEB =60°.2. 已知: 如图, 等边三角形ABC 中, AB = 2, 点P 是AB 边上的一动点(点P 可以与点A 重合, 但不与点B 重合) , 过点P 作PE ⊥BC , 垂足为E , 过点E 作EF ⊥AC , 垂足为F , 过点F 作FQ ⊥AB , 垂足为Q . 设BP = x , AQ = y . (1) 请用x 的代数式表示y (直接写出) ; (2) 当BP 的长等于多少时, 点P 与点Q 重合; (128x y =+; 43) 3. 已知: 如图, △ABC 中, ∠A =90°, AB =AC . D 是斜边BC 的中点; E 、F 分别在线段AB 、AC 上, 且∠EDF =90°.(1) 求证: △DEF 为等腰直角三角形.(2) 如果E 点运动到AB 的反向..延长线...上, F 在直线..CA 上且仍保持∠EDF =90°, 那么△DEF 还仍然是等腰直角三角形吗? 请画图(右图) 并直接写出....你的结论. 图1ABCP图2AC PBACB P EFQC4. 如图所示, 长方形ABCD 中, AB = 4, BC 点E 是折线段A —D —C 上的一个动点(点E 与点A 不重合) , 点P 是点A 关于BE 的对称点. 在点E 运动的过程中, 能使△PCB 为等腰三角形.....的点E 的位置共有( ) . CA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个5. 如图ABC △中, 10AB AC ==厘米, 8BC =厘米, 点D 为AB 中点. (1) 如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动, 同时, 点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等, 经过1秒后, BPD △与CQP △是否全等, 请说明理由;②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等, 当点Q 的运动速度为多少时, 能够使BPD △与CQP △全等?(2) 若点Q 以②中的运动速度从点C 出发, 点P 以原来的运动速度从点B 同时出发, 都逆时针沿ABC △三边运动, 求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇? ( (1) ①SAS 全等; ②415厘米/秒. (2) 经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇. )六、综合应用1. 在平面直角坐标系中, 直线l 过点M (3,0), 且平行于y 轴.如果△ABC 三个顶点的坐标分别是A (-2,0), B (-1,0),C (-1,2), △ABC 关于y 轴的对称图形是△A 1B 1C 1, △A 1B 1C 1关于直线l 的对称图形是△A 2B 2C 2, 在右面的坐标系中画出△A 2B 2C 2,并写出它的三个顶点的坐标.AB CDEPB2. 已知: 如图, 在△ABC 中, AB = AC , ∠BAC = α, 且60° < α < 120°. P 为△ABC 内部一点, 且PC = AC , ∠PCA = 120° − α.(1) 用含α的代数式表示∠APC , 得∠APC = ________; (2) 求证: ∠BAP = ∠PCB ; (3) 求∠PBC 的度数.3. 在△ABC 中, AD 是△ABC 的角平分线.(1) 如图1, 过C 作CE ∥AD 交BA 延长线于点E , 若F 为CE 的中点, 连结AF , 求证: AF ⊥AD ;(2) 如图2, M 为BC 的中点, 过M 作MN ∥AD 交AC 于点N , 若AB = 4, AC = 7, 求NC 的长.4.在ABC △中, BA BC BAC =∠=α,, M 是AC 的中点, P 是线段BM 上的动点, 将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ .(1) 若α=60︒且点P 与点M 重合(如图1) , 线段CQ 的延长线交射线BM 于点D , 请补全图形, 并写出CDB ∠的度数;(2) 在图2中, 点P 不与点B M ,重合, 线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D , 猜想CDB ∠的大小(用含α的代数式表示) , 并加以证明.图1 图2BCPA5. 在Rt△ABC中, ∠ACB = 90°, ∠A = 30°, BD是△ABC的角平分线, DE⊥AB于点E.(1) 如图1, 连接EC, 求证: △EBC是等边三角形;(2) 点M是线段CD上的一点(不与点C, D重合) , 以BM为一边, 在BM的下方作∠BMG = 60°, MG交DE延长线于点G. 请你在图2中画出完整图形, 并直接写出MD, DG与AD之间的数量关系;(3) 如图3,点N是线段AD上的一点, 以BN为一边, 在BN的下方作∠BNG= 60°, NG交DE延长线于点G. 试探究ND, DG与AD数量之间的关系, 并说明理由.。
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八年级上册数学期中期末《全等三角形》《轴对称》拔高题一.选择题(共4小题)1.如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P,分别交AC和BC的延长线于E,D.过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H,交BC的延长线于点F,连接AF交DH于点G.则下列结论:①∠APB=45°;②PF=PA;③BD﹣AH=AB;④DG=AP+GH.其中正确的是()①②④C.②③④D.①②③④A.①②③*B.2.如图,将30°的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置,使B点的对应点D落在BC边上,连接EB、EC,则下列结论:①∠DAC=∠DCA;②ED为AC的垂直平分线;③EB平分∠AED;④ED=2AB.其中正确的是()|①②③④A.①②③B.①②④C.②③④%D.3.如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H,则下列结论:①∠APB=135°;②PF=PA;③AH+BD=AB;④S四边形ABDE =S△ABP,其中正确的是()A.①③(①②④C.①②③D.②③B.4.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点,则下列结论:①∠AMD=90°;②M为BC的中点;③AB+CD=AD;④;⑤M 到AD的距离等于BC的一半;其中正确的有(){5个A.2个B.3个C.4个<D.二.解答题(共8小题)5.如图1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC=30°AC=1点D为AC上一动点,连接BD,以BD 为边作等边△BDE,EA的延长线交BC的延长线于F,设CD=n,(1)当n=1时,则AF=_________;(2)当0<n<1时,如图2,在BA上截取BH=AD,连接EH,求证:△AEH为等边三角形.@6.两个等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如图1摆放,其中D点在AB上,连接BE.(1)则=_________,∠CBE=_________度;(2)当把△DEF绕点C旋转到如图2所示的位置时(D点在BC上),连接AD并延长交BE于点F,连接FC,则=_________,∠CFE=_________度;(3)把△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,请求出∠CFE的度数_________.7.已知△ABC为边长为10的等边三角形,D是BC边上一动点:、①如图1,点E在AC上,且BD=CE,BE交AD于F,当D点滑动时,∠AFE的大小是否变化?若不变,请求出其度数.②如图2,过点D作∠ADG=60°与∠ACB的外角平分线交于G,当点D在BC上滑动时,有下列两个结论:①DC+CG的值为定值;②DG﹣CD的值为定值.其中有且只有一个是正确的,请你选择正确的结论加以证明并求出其值.8.如图,点A、C分别在一个含45°的直角三角板HBE的两条直角边BH和BE上,且BA=BC,过点C作BE的垂线CD,过E点作EF上AE交∠DCE的角平分线于F点,交HE于P.(1)试判断△PCE的形状,并请说明理由;(2)若∠HAE=120°,AB=3,求EF的长.{9.如图,AD是△ABC的角平分线,H,G分别在AC,AB上,且HD=BD.(1)求证:∠B与∠AHD互补;(2)若∠B+2∠DGA=180°,请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系,并加以证明.10.如图,在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中,∠BDE=∠ACB=90°,且BE在AB边上,取AE的中点F,CD的中点G,连接GF.(1)FG与DC的位置关系是_________,FG与DC的数量关系是_________;(2)若将△BDE绕B点逆时针旋转180°,其它条件不变,请完成下图,并判断(1)中的结论是否仍然成立?请证明你的结论.!11.如图1,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC 外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q.(1)试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.(2)若连接EF交GA的延长线于H,由(1)中的结论你能判断并证明EH与FH的大小关系吗?(3)图2中的△ABC与△AEF的面积相等吗?(不用证明)·12.已知如图1:△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F.①图中有几个等腰三角形?请说明EF与BE、CF间有怎样的关系.②若AB≠AC,其他条件不变,如图2,图中还有等腰三角形吗?如果有,请分别指出它们.另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?③若△ABC中,∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB 于E,交AC于F.如图3,这时图中还有哪几个等腰三角形?EF与BE、CF间的关系如何?为什么?…八年级上册数学期中期末《全等三角形》《轴对称》拔高题参考答案与试题解析一.选择题(共4小题)1.如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P,分别交AC和BC的延长线于E,D.过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H,交BC的延长线于点F,连接AF交DH于点G.则下列结论:①∠APB=45°;②PF=PA;③BD﹣AH=AB;④DG=AP+GH.其中正确的是()A.、①②③B.①②④C.②③④D.①②③④、考点:直角三角形的性质;角平分线的定义;垂线;全等三角形的判定与性质.专题:推理填空题.分析:①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP,再根据角平分线的定义∠ABP=∠ABC,然后利用三角形的内角和定理整理即可得解;②③先根据直角的关系求出∠AHP=∠FDP,然后利用角角边证明△AHP与△FDP全等,根据全等三角形对应边相等可得DF=AH,对应角相等可得∠PFD=∠HAP,然后利用平角的关系求出∠BAP=∠BFP,再利用角角边证明△ABP与△FBP全等,然后根据全等三角形对应边相等得到AB=BF,从而得解;④根据PF⊥AD,∠ACB=90°,可得AG⊥DH,然后求出∠ADG=∠DAG=45°,再根据等角对等边可得DG=AG,再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF,然后求出DG=GH+AF,有直角三角形斜边大于直角边,AF>AP,从而得出本小题错误.'解答:解:①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线,∴∠ABP=∠ABC,∠CAP=(90°+∠ABC)=45°+∠ABC,在△ABP中,∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP,=180°﹣(45°+∠ABC+90°﹣∠ABC )﹣∠ABC,=180°﹣45°﹣∠ABC﹣90°+∠ABC ﹣∠ABC,=45°,故本小题正确;`②③∵∠ACB=90°,PF⊥AD,∴∠FDP+∠HAP=90°,∠AHP+∠HAP=90°,∴∠AHP=∠FDP,∵PF⊥AD,∴∠APH=∠FPD=90°,在△AHP与△FDP中,,∴△AHP≌△FDP(AAS),∴DF=AH,]∵AD为∠BAC的外角平分线,∠PFD=∠HAP,∴∠PAE+∠BAP=180°,又∵∠PFD+∠BFP=180°,∴∠PAE=∠PFD,∵∠ABC的角平分线,∴∠ABP=∠FBP,在△ABP与△FBP中,,∴△ABP≌△FBP(AAS),!∴AB=BF,AP=PF故②小题正确;∵BD=DF+BF,∴BD=AH+AB,∴BD﹣AH=AB,故③小题正确;④∵PF⊥AD,∠ACB=90°,∴AG⊥DH,∵AP=PF,PF⊥AD,∴∠PAF=45°,]∴∠ADG=∠DAG=45°,∴DG=AG,∵∠PAF=45°,AG⊥DH,∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形,∴DG=AG,GH=GF,∴DG=GH+AF,∵AF>AP,∴DG=AP+GH不成立,故本小题错误,)综上所述①②③正确.故选A.点评:本题考查了直角三角形的性质,全等三角形的判定,以及等腰直角三角形的判定与性质,等角对等边,等边对等角的性质,综合性较强,难度较大,做题时要分清角的关系与边的关系.2.如图,将30°的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置,使B点的对应点D落在BC边上,连接EB、EC,则下列结论:①∠DAC=∠DCA;②ED为AC的垂直平分线;③EB 平分∠AED;④ED=2AB.其中正确的是()①②③B.①②④C.②③④D.①②③④\A.《考点:旋转的性质;含30度角的直角三角形.分析:根据直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半,以及旋转的性质即可判断.解答:解:①根据旋转的性质可以得到:AB=AD,而∠ABD=60°,则△ABD是等边三角形,可得到∠DAC=30°,∴∠DAC=∠DCA,故正确;②根据①可得AD=CD,并且根据旋转的性质可得:AC=AE,∠EAC=60°,则△ACE是等边三角形,则EA=EC,即D、E都到AC两端的距离相等,则DE在AC的垂直平分线上,故正确;—③根据条件AB∥DE,而AB≠AE,即可证得EB平分∠AED不正确,故错误;④根据旋转的性质,DE=BC,而BC=2AB,即可证得ED=2AB,故正确;故正确的是:①②④.故选B.点评:正确理解旋转的性质,图形旋转前后两个图形全等是解决本题的关键.3.如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H,则下列结论:①∠APB=135°;②PF=PA;③AH+BD=AB;④S四边形ABDE =S△ABP,其中正确的是()<A.①③B.①②④C.①②③D.{②③考点:全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.分析:根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐条分析判断.解答:解:在△ABC中,AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC,,∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC,∴∠BAD+∠ABE=(∠A+∠B)=45°,∴∠APB=135°,故①正确.∴∠BPD=45°,又∵PF⊥AD,(∴∠FPB=90°+45°=135°,∴∠APB=∠FPB,又∵∠ABP=∠FBP,BP=BP,∴△ABP≌△FBP,∴∠BAP=∠BFP,AB=FB,PA=PF,故②正确.在△APH和△FPD中,:∵∠APH=∠FPD=90°,∠PAH=∠BAP=∠BFP,PA=PF,∴△APH≌△FPD,∴AH=FD,又∵AB=FB,∴AB=FD+BD=AH+BD.故③正确.∵△ABP≌△FBP,△APH≌△FPD,!∴S四边形ABDE=S△ABP+S△BDP+S△APH﹣S△EOH+S△DOP=S△ABP+S△ABP﹣S△EOH+S△DOP=2S△ABP﹣S△EOH+S△DOP.故选C.点评:本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.—4.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点,则下列结论:①∠AMD=90°;②M为BC的中点;③AB+CD=AD;④;⑤M 到AD的距离等于BC的一半;其中正确的有()A.2个B.3个C.【4个D.5个考点:全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.分析:过M作ME⊥AD于E,得出∠MDE=∠CDA,∠MAD=∠BAD,求出∠MDA+∠MAD=(∠CDA+∠BAD)=90°,根据三角形内角和定理求出∠AMD,即可判断①;根据角平分线性质求出MC=ME,ME=MB,即可判断②和⑤;由勾股定理求出DC=DE,AB=AE,即可判断③;根据SSS证△DEM≌△DCM,推出S三角形DEM =S三角形DCM,同理得出S三角形AEM=S三角形ABM,即可判断④.解答:解:过M作ME⊥AD于E,∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点,∴∠MDE=∠CDA,∠MAD=∠BAD,∵DC∥AB,∴∠CDA+∠BAD=180°,∴∠MDA+∠MAD=(∠CDA+∠BAD)=×180°=90°,`∴∠AMD=180°﹣90°=90°,∴①正确;∵DM平分∠CDE,∠C=90°(MC⊥DC),ME⊥DA,∴MC=ME,同理ME=MB,∴MC=MB=ME=BC,∴②正确;∴M到AD的距离等于BC的一半,∴⑤正确;∵由勾股定理得:DC2=MD2﹣MC2,DE2=MD2﹣ME2,又∵ME=MC,MD=MD,》∴DC=DE,同理AB=AE,∴AD=AE+DE=AB+DC,∴③正确;∵在△DEM和△DCM中,∴△DEM≌△DCM(SSS),∴S三角形DEM=S三角形DCM同理S三角形AEM =S三角形ABM,】∴S三角形AMD=S梯形ABCD,∴④正确;故选D.点评:本题考查了角平分线性质,垂直定义,直角梯形,勾股定理,全等三角形的性质和判定等知识点的应用,主要考查学生运用定理进行推理的能力.二.解答题(共8小题)5.如图1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC=30°AC=1点D为AC上一动点,连接BD,以BD 为边作等边△BDE,EA的延长线交BC的延长线于F,设CD=n,(1)当n=1时,则AF=2;)(2)当0<n<1时,如图2,在BA上截取BH=AD,连接EH,求证:△AEH为等边三角形.考点:含30度角的直角三角形;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.专题:动点型.分析:~(1)根据三角形内角和定理求出∠BAC=60°,再根据平角等于180°求出∠FAC=60°,然后求出∠F=30°,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可;(2)根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用∠CBD表示出∠ADE=30°+∠CBD,又∠HBE=30°+∠CBD,从而得到∠ADE=∠HBE,然后根据边角边证明△ADE与△HBE全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=HE,对应角相等可得∠AED=∠HEB,然后推出∠AEH=∠BED=60°,再根据等边三角形的判定即可证明.解答:(1)解:∵△BDE是等边三角形,∴∠EDB=60°,∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,∴∠BAC=180°﹣90°﹣30°=60°,∴FAC=180°﹣60°﹣60°=60°,、∴∠F=180°﹣90°﹣60°=30°,∵∠ACB=90°,∴∠ACF=180°﹣90°,∴AF=2AC=2×1=2;(2)证明:∵△BDE是等边三角形,∴BE=BD,∠EDB=∠EBD=60°,在△BCD中,∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C,)即∠ADE+60°=∠CBD+90°,∴∠ADE=30°+∠CBD,∵∠HBE+∠ABD=60°,∠CBD+∠ABD=30°,∴∠HBE=30°+∠CBD,∴∠ADE=∠HBE,在△ADE与△HBE中,,∴△ADE≌△HBE(SAS),/∴AE=HE,∠AED=∠HEB,∴∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB,即∠AEH=∠BED=60°,∴△AEH为等边三角形.点评:本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质与判定,以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,(2)中求出∠ADE=∠HBE是解题的关键.'6.两个等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如图1摆放,其中D点在AB上,连接BE.(1)则=1,∠CBE=45度;(2)当把△DEF绕点C旋转到如图2所示的位置时(D点在BC上),连接AD并延长交BE于点F,连接FC,则=1,∠CFE=45度;(3)把△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,请求出∠CFE的度数135°.考点:圆周角定理;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;确定圆的条件.分析:#(1)先证明∠ACD=∠BCE,再根据边角边定理证明△ACD≌△BCE,然后根据全等三角形对应边相等和对应角相等解答;(2)根据(1)的思路证明△ACD和△BCE全等,再根据全等三角形对应边相等得BE=AD,对应角相等得∠DAC=∠DBF,又AC⊥CD,所以AF⊥BF,从而可以得到C、E、F、D四点共圆,根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠CFE=∠CDE=45°;(3)同(2)的思路,证明C、F、D、E四点共圆,得出∠CFD=∠CED=45°,而∠DEF=90°,所以∠CFE的度数即可求出.解答:解:(1)∵△ABC和△DCE是等腰三角形,∴AC=BC,CD=CE,∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD,^即∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中,,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴BE=AD,∠CBE=∠CAD=45°,因此=1,∠CBE=45°;(2)同(1)可得BE=AD,∴=1,、∠CBE=∠CAD;又∵∠ACD=90°,∠ADC=∠BDF,∴∠BFD=∠ACD=90°;又∵∠DCE=90°,∴C、E、F、D四点共圆,∴∠CFE=∠CDE=45°;(3)同(2)可得∠BFA=90°,—∴∠DFE=90°;又∵∠DCE=90°,∴C、F、D、E四点共圆,∴∠CFD=∠CED=45°,∴∠CFE=∠CFD+∠DFE=45°+90°=135°.点评:《本题综合考查了等边对等角的性质,三角形全等的判定和全等三角形的性质,四点共圆以及同弧所对的圆周角相等的性质,需要熟练掌握并灵活运用.7.已知△ABC为边长为10的等边三角形,D是BC边上一动点:①如图1,点E在AC上,且BD=CE,BE交AD于F,当D点滑动时,∠AFE的大小是否变化?若不变,请求出其度数.②如图2,过点D作∠ADG=60°与∠ACB的外角平分线交于G,当点D在BC上滑动时,有下列两个结论:①DC+CG的值为定值;②DG﹣CD的值为定值.其中有且只有一个是正确的,请你选择正确的结论加以证明并求出其值.考点:"等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.专题:探究型.分析:①∠AFE的大小不变,其度数为60°,理由如下:由三角形ABC为等边三角形,得到三条边相等,三个内角相等,都为60°,可得出AB=BC,∠ABD=∠C,再由BD=CE,利用SAS可得出三角形ABD与三角形BCE全等,根据全等三角形的对应角相等可得出∠BAD=∠CBE,在三角形ABD中,由∠ABD为60°,得到∠BAD+∠ADB的度数,等量代换可得出∠CBE+∠ADB的度数,利用三角形的内角和定理求出∠BFD的度数,根据对应角相等可得出∠AFE=∠BFD,可得出∠AFE的度数不变;②连接AG,如图所示,由三角形ABC为等边三角形,得出三条边相等,三个内角都相等,都为60°,再由CG为外角平分线,得出∠ACG也为60°,由∠ADG为60°,可得出A,D,C,G四点共圆,根据圆内接四边形的对角互补可得出∠DAG与∠DCG互补,而∠DCG为120°,可得出∠DAG为60°,根据∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAG=60°,利用等式的性质得到∠BAD=∠CAG,利用ASA可证明三角形ABD与三角形ACG全等,利用全等三角形的对应边相等可得出BD=CG,由BC=BD+DC,等量代换可得出CG+CD=BC,而BC=10,即可得到DC+CG为定值10,得证.解答:解:①∠AFE的大小不变,其度数为60°,理由为:`∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC,∠ABD=∠C=60°,在△ABD和△BCE中,,∴△ABD≌△BCE(SAS),∴∠BAD=∠CBE,又∠BAD+∠ADB=120°,∴∠CBE+∠ADB=120°,}∴∠BFD=60°,则∠AFE=∠BFD=60°;②正确的结论为:DC+CG的值为定值,理由如下:连接AG,如图2所示:∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC=AC,∠ABD=∠ACB=∠BAC=60°,又CG为∠ACB的外角平分线,@∴∠ACG=60°,又∵∠ADG=60°,∴∠ADG=∠ACG,即A,D,C,G四点共圆,∴∠DAG+∠DCG=180°,又∠DCG=120°,∴∠DAG=60°,即∠DAC+∠CAG=60°,又∵∠BAD+∠DAC=60°,∴∠BAD=∠GAC,在△ABD和△ACG中,`∵,∴△ABD≌△ACG(ASA),∴DB=GC,又BC=10,则BC=BD+DC=DC+CG=10,即DC+CG的值为定值.点评:此题考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,四点共圆的条件,以及圆内接四边形的性质,利用了等量代换及转化的思想,熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键.8.如图,点A、C分别在一个含45°的直角三角板HBE的两条直角边BH和BE上,且BA=BC,过点C作BE的垂线CD,过E点作EF上AE交∠DCE的角平分线于F点,交HE于P.}(1)试判断△PCE的形状,并请说明理由;(2)若∠HAE=120°,AB=3,求EF的长.考点:全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.专题:计算题;证明题.~(1)根据∠PCE=∠DCE=×90°=45°,求证∠CPE=90°,然后即可判断三角形的形状.分析:(2)根据∠HEB=∠H=45°得HB=BE,再根据BA=BC和∠HAE=120°,利用ASA求证△HAE≌△CEF,得AE=EF,又因为AE=2AB.然后即可求得EF.解答:解:(1)△PCE是等腰直角三角形,理由如下:∵∠PCE=∠DCE=×90°=45°∠PEC=45°;∴∠PCE=∠PEC∠CPE=90°∴△PCE是等腰直角三角形(2)∵∠HEB=∠H=45°∴HB=BE∵BA=BC∴AH=CE而∠HAE=120°—∴∠BAE=60°,∠AEB=30°又∵∠AEF=90°∴∠CEF=120°=∠HAE而∠H=∠FCE=45°∴△HAE≌△CEF(ASA)∴AE=EF又∵AE=2AB=2×3=6∴EF=6}点评:此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形等知识点的理解和掌握,解答(2)的关键是利用ASA求证△HAE≌△CEF,此题有一定的拔高难度,属于中档题.9.如图,AD是△ABC的角平分线,H,G分别在AC,AB上,且HD=BD.(1)求证:∠B与∠AHD互补;(2)若∠B+2∠DGA=180°,请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系,并加以证明.}考点:全等三角形的判定与性质.专题:证明题.分析:(1)在AB上取一点M,使得AM=AH,连接DM,则利用SAS可得出△AHD≌△AMD,从而得出HD=MD=DB,即有∠DMB=∠B,通过这样的转化可证明∠B与∠AHD互补.(2)由(1)的结论中得出的∠AHD=∠AMD,结合三角形的外角可得出∠DGM=∠GDM,可将HD转化为MG,从而在线段AG上可解决问题.解答:>证明:(1)在AB上取一点M,使得AM=AH,连接DM,∵,∴△AHD≌△AMD,∴HD=MD,∠AHD=∠AMD,∵HD=DB,∴DB=MD,∴∠DMB=∠B,∵∠AMD+∠DMB=180°,@∴∠AHD+∠B=180°,即∠B与∠AHD互补.(2)由(1)∠AHD=∠AMD,HD=MD,∠AHD+∠B=180°,∵∠B+2∠DGA=180°,∠AHD=2∠DGA,∴∠AMD=2∠DGM,又∵∠AMD=∠DGM+∠GDM,∴2∠DGM=∠DGM+∠GDM,即∠DGM=∠GDM,)∴MD=MG,∴HD=MG,∵AG=AM+MG,∴AG=AH+HD.点评:本题考查了全等三角形的判定及性质,结合了等腰三角形的知识,解决这两问的关键都是通过全等图形的对应边相等、对应角相等,将题目涉及的角或边进行转化.$10.如图,在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中,∠BDE=∠ACB=90°,且BE在AB边上,取AE的中点F,CD的中点G,连接GF.(1)FG与DC的位置关系是FG⊥CD,FG与DC的数量关系是FG=CD;(2)若将△BDE绕B点逆时针旋转180°,其它条件不变,请完成下图,并判断(1)中的结论是否仍然成立?请证明你的结论.考点:全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.专题:-探究型.分析:(1)证FG和CD的大小和位置关系,我们已知了G是CD的中点,猜想应该是FG⊥CD,FG=CD.可通过构建三角形连接FD,FC,证三角形DFC是等腰直角三角形来得出上述结论,可通过全等三角形来证明;延长DE交AC于M,连接FM,证明三角形DEF和FMC全等即可.我们发现BDMC是个矩形,因此BD=CM=DE.由于三角形DEB和ABC都是等腰直角三角形,∠BED=∠A=45°,因此∠AEM=∠A=45°,这样我们得出三角形AEM是个等腰直角三角形,F是斜边AE的中点,因此MF=EF,∠AMF=∠BED=45°,那么这两个角的补角也应当相等,由此可得出∠DEF=∠FMC,这样就构成了三角形DEF和CMF的全等的所有条件,可得到DF=FC,即三角形DFC是等腰三角形,下面证直角.根据两三角形全等,我们还能得出∠MFC=∠DFE,我们知道∠MFC+∠CFE=90°,因此∠DFE+∠CFE=∠DFC=90°,这样就得出三角形DFC是等腰直角三角形了,也就能得出FG⊥CD,FG=CD的结论了.(2)和(1)的证法完全一样.解答:解:(1)FG⊥CD,FG=CD.(2)延长ED交AC的延长线于M,连接FC、FD、FM,)∴四边形BCMD是矩形.∴CM=BD.又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形,∴ED=BD=CM.∵∠AEM=∠A=45°,∴△AEM是等腰直角三角形.又F是AE的中点,∴MF⊥AE,EF=MF,∠EDF=∠MCF.、∵在△EFD和△MFC中,∴△EFD≌△MFC.∴FD=FC,∠EFD=∠MFC.又∠EFD+∠DFM=90°,∴∠MFC+∠DFM=90°.即△CDF是等腰直角三角形,又G是CD的中点,(∴FG=CD,FG⊥CD.点评:本题中通过构建全等三角形来证明线段和角相等是解题的关键.11.如图1,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC 外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q.(1)试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.(2)若连接EF交GA的延长线于H,由(1)中的结论你能判断并证明EH与FH的大小关系吗?;(3)图2中的△ABC与△AEF的面积相等吗?(不用证明)考点:全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.分析:(1)根据全等三角形的判定得出△ABG≌△EAP,进而求出AG=EP.同理AG=FQ,即EP=FQ.(2)过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q.根据全等三角形的判定和性质即可解题.—(3)由(1)、(2)中的全等三角形可以推知△ABC与△AEF的面积相等.解答:解:(1)EP=FQ,理由如下:如图1,∵Rt△ABE是等腰三角形,∴EA=BA.∵∠PEA+∠PAE=90°,∠PAE+∠BAG=90°,∴∠PEA=∠BAG)在△EAP与△ABG中,,∴△EAP≌△ABG(AAS),∴EP=AG.同理AG=FQ.∴EP=FQ.(2)如图2,HE=HF.理由:过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q.由(1)知EP=FQ.在△EPH与△FQH中,∵,∴△EPH≌△FQH(AAS).∴HE=HF;(3)相等.理由如下:由(1)知,△ABG≌△EAP,△FQA≌△AGC,则S△ABG=S△EAP,S△FQA=S△AGC.由(2)知,△EPH≌△FQH,则S△EPH=S△FQH,所以S△ABC=S△ABG+S△AGC=S△EAP﹣S△EPH+S△FQA﹣S△FQH=S△EAP+S△FQA=S△AEF,即S△ABC=S△AEF.故图2中的△ABC与△AEF的面积相等.点评:本题考查了全等三角形的证明,考查了全等三角形对应边相等的性质,考查了三角形内角和为180°的性质,考查了等腰三角形腰长相等的性质,本题中求证△AFQ≌△CAG是解题的关键.12.已知如图1:△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F.①图中有几个等腰三角形?请说明EF与BE、CF间有怎样的关系.②若AB≠AC,其他条件不变,如图2,图中还有等腰三角形吗?如果有,请分别指出它们.另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?③若△ABC中,∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB 于E,交AC于F.如图3,这时图中还有哪几个等腰三角形?EF与BE、CF间的关系如何?为什么?考点:等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.专题:计算题;证明题.分析:(1)根据EF∥BC,∠B、∠C的平分线交于O点,可得∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,∠EOB=∠OBE,∠FCO=∠FOC,再加上题目中给出的AB=AC,共5个等腰三角形;根据等腰三角形的性质,即可得出EF与BE、CF间有怎样的关系.(2)根据EF∥BC 和∠B、∠C的平分线交于O点,还可以证明出△OBE和△OCF是等腰三角形;利用几个等腰三角形的性质即可得出EF与BE,CF的关系.(3)EO∥BC和OB,OC分别是∠ABC与∠ACL的角平分线,还可以证明出△BEO和△CFO是等腰三角形.解答:解:(1)有5个等腰三角形,EF与BE、CF间有怎样的关系是:EF=BE+CF=2BE=2CF.理由如下:∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,又∠B、∠C的平分线交于O点,∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB,∴∠EOB=∠OBE,∠FCO=∠FOC,∴OE=BE,OF=CF,∴EF=OE+OF=BE+CF.又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC,∴EF=BE+CF=2BE=2CF;(2)有2个等腰三角形分别是:等腰△OBE和等腰△OCF;第一问中的EF与BE,CF的关系是:EF=BE+CF.(3)有,还是有2个等腰三角形,△EBO,△OCF,EF=BE﹣CF,理由如下:∵EO∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∠EOC=∠OCG(G是BC延长线上的一点)又∵OB,OC分别是∠ABC与∠ACG的角平分线∴∠EBO=∠OBC,∠ACO=∠OCG,∴∠EOB=∠EBO,∴BE=OE,∠FCO=∠FOC,∴CF=FO,又∵EO=EF+FO,∴EF=BE﹣CF.点评:此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握,此题难度并不大,但是步骤繁琐,属于中档题,还有第(1)中容易忽略△ABC也是等腰三角形,因此这又是一道易错题.要求学生在证明此题时一定要仔细,认真.。