全等三角形+轴对称整理
全等三角形的五大基本模型及题型归纳总结
全等三角形的基本模型一、平移模型常见的平移模型：例1：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，点E在边AB上，点F在AB的延长线上，且AE ＝BF.求证：∠ADE＝∠BCF.例2：如图，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF.求证：AC∥DF.二、轴对称模型常见的轴对称类型：例3：如图3－ZT－5，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是() A．AC＝BDB．∠CAB＝∠DBAC．∠C＝∠DD．BC＝AD例4：如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有______ 对全等三角形．例5：如图，点D，E分别在AB，AC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：BE＝CD.例6：如图3－ZT－8，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF. 试证明下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM.三、旋转模型常见的旋转模型例7：如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.求证：PC＝PD.两个特殊的旋转模型：（一）绕点型：（手拉手模型）（1）自旋转（2）共旋转（典型的手拉手模型）例7：在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： 1) △ABE ≌△DBC 2) AE=DC3) AE 与DC 的夹角为60。
4) △AGB ≌△DFB 5) △EGB ≌△CFB 6) BH 平分∠AHC 7) GF ∥AC练习：1. 如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： 1) △ABE ≌△DBC 2) AE=DC3) AE 与DC 的夹角为60。
4) AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC2. △ABD和△ACE均为等腰直角三角形，连接CD，BE交于点O①△ACD ≌△ABE；②∠BOC＝90°；③OA平分∠BOC3. 已知：△ABE和△ACD为两个的等腰三角形，∠BAE＝∠CAD＝∠α，连接EC，BD交于点O①△ABD ≌△AEC；②∠α＋∠BOC＝180°；③OA平分∠BOC模型应用1. (2010·深圳改编)如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．(1)求证：△AOC≌△BOD；(2)判断△CAD是什么形状的三角形，说明理由．2. 如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，连接CD，BE，CD，BE相交于点O，判断CD与BE的位置关系，并说明理由．（二）半角模型：说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
全等三角形的常见类型归纳
全等三角形的常见类型全等三角形是初中平面几何的一个重要内容，也是中考必考的内容之一。
识别两个三角形全等一般有边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、边边边（SSS）四种方法。
全等三角形的题目很多，但不外乎以下四种类型：一、轴对称型全等三角形 把一个图形沿着某一条直线折叠过来，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。
把△ABC沿直线L翻折后，能与△A”B”C”重合，则称它们是轴对称型全等三角形。
下图是常见的轴对称型全等三角形，其对称轴L是对称点所连线段的垂直平分线。
识别轴对称三角形全等要注意题中的一些隐含条件，例如有些具有公共边（如图（1）中的AC，图（4）中的AA”），有些具有公共角或对顶角（如图（2）中的∠BAC＝∠B”AC”，图（3）中的∠ACB＝∠A”CB”）。
例1.如下图，在∠A的两边截取AB＝AC，又截取AD＝AE，连CD、BE交于F。
试说明：AF平分∠A。
二、平移型全等三角形 把△ABC沿着某一条直线L平行移动，所得△A”B”C”与△ABC称为平移型全等三角形。
有时这条直线就是△ABC的某一条边所在直线。
下图是常见的平移型全等三角形。
图（1）中AB∥A”B”，AB＝A”B”，AC∥A”C”，AC＝A”C”。
图（2）中AB∥A”B”，AB＝A”B”，AC∥A”C”，AC＝A”C”，BC∥B”C”，BC＝B”C”。
例2. 如下图，△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于D点，∠C的平分线CE交AB、AD于E、F，过F作FG∥BC交AB于G点。
试说明：AE＝BG。
三、旋转型全等三角形 将△ABC绕顶点A旋转角后，到达△AB”C”的位置，则称△ABC和△AB”C”为旋转型全等三角形。
如下图所示，这些是常见的旋转型全等三角形。
识别旋转型全等三角形时，要注意图（1）（2）（3）中以点A、B、B”和点A、C、C”为顶点的三角形都是顶角为的等腰三角形，∠BAC和∠B”AC”隐含着一个等量减（加）等量的条件，通常用边角边（SAS）来识别两个三角形全等。
轴对称和全等三角形专题
轴对称和全等三角形专题(总6页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-全等三角形培优辅导知识要点：全等三角形的定义：能够的两个三角形。
全等三角形的性质：全等三角形对应边，对应角，对应边上的高，对应边上的中线，周长，面积。
全等变换的定义：只改变图形的，而不改变其的图形变换。
判定三角形全等公理：边角边公理：。
角边角公理：。
推论：（AAS）边边边公理：。
斜边直角边公理：的两个直角三角形全等。
用全等三角形证明线段相等或角相等的思路:①观察要证的线段或角（或者用等量代换后的线段或角）在哪两个可能全等的三角形之中；②分析要证全等的这两个三角形，已知什么还缺什么条件；（已知条件分为两种：一个是题目给出的；一个是图形中所隐含的，如公共角、公共边、对顶角等）；③设法证明出所缺条件；④当待证得线段或角不分布在两个三角形中（也找不到等量代换）时，常需要添加辅助线构造出三角形，使它们分别包括一个所要证的线段或角。
证题时常用的方法：（1）证角相等的方法：①对顶角相等；②同角（或等角）的余角（或补角）相等；③平行线同位角相等，内错角相等；④角平分线定义；⑤等式性质；⑥全等三角形对应角相等。
（2）证线段相等常用方法：①中点定义；②全等三角形对应边相等；③等式性质；④中垂线定义；⑤角平分线上的点到角的两边距离相等；⑥等腰（等边）三角形的性质（4）证题常用分析方法：①综合法：从已知出发用学过的定义、公理、定理得出结论；②分析法：从结论出发反过来寻找能使结论成立所需要的条件，这样一步一步地逆求，一直到是结论成立的条件与已知条件吻合；③两头“凑”的方法：综合上两种方法来证明结论。
角平分线的定义：把一个角分成两个相等的角的射线。
角平分线的性质定理：。
逆定理也同时成立。
逆定理也常作为角平分线的判定定理。
全等三角形一些常见题型：一、探索条件型此类型题给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件。
一般地，依据三角形全等地判定方法，补充所缺少的条件。
八年级上册数学第1章 全等三角形第2章 轴对称图形知识梳理
第1章全等三角形1、全等图形：能完全重合的图形叫做全等图形．◆全等变换：通过平移、旋转、翻折这几种方式图形的形状、大小不发生改变，换而言之，就是三种变换前后的图形是全等的，所以我们也把这三种变换叫做全等变换.2、全等三角形：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
3、全等三角形的性质◆全等三角形的对应边相等，对应角相等.（注意写法：字母一一对应）理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角.延伸：①全等三角形的周长相等、面积相等.②全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等.4、全等三角形的判定方法理解：三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．．．．．．．．．．.5、全等三角形的判定的基本思路◆已知两边：①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.◆已知一边一角：若边为角的对边：找任一角（AAS）.若边就是角的一条边：①找这条边上的另一角（ASA）；②找这条边上的对角（AAS）；②找该角的另一边（SAS）.◆已知两角：①找两角的夹边（ASA）；②找任意一边（AAS）.6、全等三角形的判定的基本模型◆平移型：平行线，重叠线段◆翻折型：公共边，公共角，对顶角◆旋转型：对顶角，重叠角和重叠线段◆一线三等角型：◆手拉手型：◆半角全等型：7、全等三角形的判定常用辅助线◆直接连线构造全等三角形：◆倍长中线构造全等三角形：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线”的方法添加辅助线.所谓倍长中线，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.◆截长补短构造全等三角形：(1)“截长法”,即在长线段上取一段,使之等于其中一条短线段,然后证明剩下的线段等于另一条短线段.(2)“补短法”,即延长短线段,使延长部分等于另一条短线段,再证明延长后的线段等于长线段;或延长短线段,使延长后的线段等于长线段,再证明延长部分等于另一条短线段.8、尺规作图①用尺规作角平分线②过直线外一点作已知直线的垂线③过直线上一点作已知直线的垂线第2章轴对称图形1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.◆轴对称的性质：①成轴对称的两个图形全等；②成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.拓展：成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称.2、轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴.◆轴对称图形与轴对称的区别与联系：3、线段的垂直平分线的概念：垂直并且平分．．．．．．一条线段的直线，叫做这条直线的垂直平分线.◆线段的垂直平分线必须满足两个条件：①经过线段的中点；②垂直于这条线段.注意：线段的垂直平分线是一条直线，而不是一条线段，且只有一条.●4、线段：线段是轴对称图形，有2条对称轴，分别是线段所在直线和线段的垂直平分线.◆线段的垂直平分线性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．拓展：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.◆线段的垂直平分线判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.5、角：角是轴对称图形，有1条对称轴，角平分线所在的直线．．．．．是它的对称轴.◆角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.拓展：三角形三个内角的平分线交于一点，这一点到三角形三条边的距离相等.◆角平分线判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.6、等腰三角形：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（也可以说是底边上的中线或底边上的高）所在的直线是它的对称轴.◆等腰三角形性质定理：①等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；②等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合（简称“三线合一”）.◆等腰三角形判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).◆直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.注意：该定理需满足两个条件：1.直角三角形；2.斜边上的中线.7、等边三角形：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形.8、等边三角形：等边三角形是轴对称图形，角平分线（也可以说是三边上的中线或三边上的高）所在的直线是它的对称轴◆等边三角形性质定理：等边三角形的每个内角都等于60°．拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一这性质.◆等边三角形判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形.②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．尺规作图：●●1、画已知图形的对称图形（“三步法”）：一找——找已知图形的关键点；二画——根据对称点的位置关系画出各关键点的对称点；三连——按照已知图形的形状连接各对称点，得到所要求作的图形.●●2、用尺规作线段的垂直平分线●●3、已知底边及底边上的高作等腰三角形。
2018年八年级数学《三角形全等、轴对称》专题复习资料(含解析)
2018年八年级数学《三角形全等、轴对称》专题复习资料【1】一．解答题（共15小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．求证：∠ABC=∠ACB=∠DEF．2．如图，已知：BE、CF是△ABC的高，在射线BE上截取BP=AC，在射线CF上截取CQ=AB，求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，（1）求∠AOE的度数；（2）试说明：AC=AE+CD．4．已知在△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．（1）如图1，当点D在边BC的什么位置时，DE=DF？并给出证明；（2）如图2，过点C作AB边上的高CG，垂足为G，试猜想线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并给出证明．5．△ABC中，∠ABC=110°，AB边的垂直平分线交AB于D、AC于E，BC边的垂直平分线交BC于F、AC于G、AB的垂直平分线于H，求∠EBG和∠DHF的度数．6．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，F是DE的中点，试探索CF与DE的位置关系，并说明理由．7．如图，将一块三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边PQ上，直尺的另一边MN与三角板的两边AC、BC分别交于两点E、D，且AD为∠BAC的平分线，∠B=30°，∠ADE=15°．（1）求∠BDN的度数；（2）求证：CD=CE．8．将含有45°角的直角三角板ABC和直尺如图摆放在桌子上，然后分别过A、B两个顶点向直尺作两条垂线段AD，BE．（1）请写出图中的一对全等三角形并证明；（2）你能发现并证明线段AD，BE，DE之间的关系吗？9．在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，点D在直线BC上运动（不与点B、C重合），点E 在射线AC上运动，且∠ADE=∠AED，设∠DAC=n．（1）如图①，当点D在边BC上时，且n=36°，则∠BAD=，∠CDE=；（2）如图②，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，∠BAD和∠CDE还满足（2）中的数量关系吗？请画出图形，并说明理由．10．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边和腰的长度．11．△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣3，5），B（﹣5，2），C（﹣1，3），直线l经过点（0，1），并且与x轴平行，△A′B′C′与△ABC关于线1对称．（1）画出△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标：；（2）观察图中对应点坐标之间的关系，写出点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标：；（3）若直线l′经过点（0，m），并且与x轴平行，根据上面研究的经验，写出点Q（c，d）关于直线1′的对称点Q′的坐标：．12．如图1，在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD=AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．13．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，点D是BC边上一动点（与点B，C不重合），点E与点D 关于直线AC对称，连结AE，过点B作BF⊥ED的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）当AE=BD时，用等式表示线段DE与BF之间的数量关系，并证明．14．请按要求完成下面三道小题．（1）如图1，AB=AC．这两条线段一定关于某条直线对称吗？如果是，请画出对称轴a（尺规作图，保留作图痕迹）；如果不是，请说明理由．（2）如图2，已知线段AB和点C．求作线段CD（不要求尺规作图），使它与AB成轴对称，且A与C是对称点，标明对称轴b，并简述画图过程．（3）如图3，任意位置的两条线段AB，CD，AB=CD．你能通过对其中一条线段作有限次的轴对称使它们重合吗？如果能，请描述操作方法；如果不能，请说明理由．15．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，AC=AE，BC=DE，连接CE交BD于点F．求证：BF=DF小明经探究发现，过B点作∠CBG=∠EDF，交CF于点G（如图2），从而可证△DEF≌△BCG，使问题得到解决（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程：参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：（2）如图3，在△ABC与△BDE中，∠ABC=∠BDE，BC=DE，AB=BD，CF、EG分别为AB、BD的中线，连结FG并延长交CE于点H，是否存在与CH相等的线段？若存在，请找出并证明；若不存在，说明理由．2018年八年级数学《三角形全等、轴对称》专题复习资料【1】参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．求证：∠ABC=∠ACB=∠DEF．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF（SAS），∴∠BDE=∠CEF，∵∠ABC+∠BDE+∠BED=∠BED+∠DEGF+∠CEF=180°，∴∠ABC=∠DEF，∴∠ABC=∠ACB=∠DEF．2．如图，已知：BE、CF是△ABC的高，在射线BE上截取BP=AC，在射线CF上截取CQ=AB，求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．【解答】证明：（1）∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB=∠AFC=90°，∴∠ABE=∠ACQ=90°﹣∠BAC．∵BP=AC，CQ=AB，在△APB和△QAC中，，∴△APB≌△QAC（SAS）．∴AP=AQ；（2）∵△APB≌△QAC，∴∠BAP=∠CQA．∵∠CQA+∠QAF=90°，∴∠BAP+∠QAF=90°．即AP⊥AQ．3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，（1）求∠AOE的度数；（2）试说明：AC=AE+CD．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，∴∠ACB=30°，∵AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，∴∠CAO=∠BAC=45°，∠ACO=∠ACB=15°，∴∠AOE=∠CAO+∠AOC=45°+15°=60°．（2）如图，在AC上截取AF=AE，连接OF∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△AOE和△AOF中，∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOE=∠AOF=60°，∴∠AOF=∠COD=60°=∠COF，在△COF和△COD中，，∴△COF≌△COD（ASA）∴CF=CD，∴AC=AF+CF=AE+CD．4．已知在△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．（1）如图1，当点D在边BC的什么位置时，DE=DF？并给出证明；（2）如图2，过点C作AB边上的高CG，垂足为G，试猜想线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并给出证明．【解答】解：（1）当点D在BC的中点上时，DE=DF，证明：∵D为BC中点，∴BD=CD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）CG=DE+DF证明：连接AD，=S三角形ADB+S三角形ADC，∵S三角形ABC∴AB×CG=AB×DE+AC×DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．5．△ABC中，∠ABC=110°，AB边的垂直平分线交AB于D、AC于E，BC边的垂直平分线交BC于F、AC于G、AB的垂直平分线于H，求∠EBG和∠DHF的度数．【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于点E，BC的垂直平分线交AC于点G，∴EA=EB，GB=GC，∵∠ABC=110°，∴∠A+∠C=70°，∵EA=EB，GB=GC，∴∠ABE=∠A，∠GBC=∠C，∴∠ABE+∠GBC=70°，∴∠EBG=110°﹣70°=40°，在四边形BDHF中，∵∠ABC=110°、∠HDB=∠HFB=90°，∴∠DHF=360°﹣∠ABC﹣∠HDB﹣∠HFB=70°．6．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，F是DE的中点，试探索CF与DE的位置关系，并说明理由．【解答】解：CF⊥DE，理由如下：∵AD∥EB∴∠A=∠EBC在△ADC和△BCE中∴△ADC≌△BCE（SAS）∴DC=CE又∵F是DE的中点∴CF⊥DE．7．如图，将一块三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边PQ上，直尺的另一边MN与三角板的两边AC、BC分别交于两点E、D，且AD为∠BAC的平分线，∠B=30°，∠ADE=15°．（1）求∠BDN的度数；（2）求证：CD=CE．【解答】（1）解：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，又AD平分∠BAC，∴∠CAD=30°，又∠ACD=90°，∴∠CDA=60°又∠ADE=15°，∴∠CDE=∠CDA﹣∠ADE=60°﹣15°=45°∴∠BDN=∠CDE=45°；（2）证明：在△CED中，∠ECD=90°，∠CDE=45°∴∠CED=45°∴CD=CE．8．将含有45°角的直角三角板ABC和直尺如图摆放在桌子上，然后分别过A、B两个顶点向直尺作两条垂线段AD，BE．（1）请写出图中的一对全等三角形并证明；（2）你能发现并证明线段AD，BE，DE之间的关系吗？【解答】解：（1）结论：△ADC≌△CEB．理由：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ACB=∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠ECB=90°，∴∠CAD=∠ECB，∵AC=CB，'∴△ADC≌△CEB（AAS）．（2）结论：AD=BE+DE．理由：∵△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∵CE=CD+DE，∴AD=BE+DE．9．在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，点D在直线BC上运动（不与点B、C重合），点E 在射线AC上运动，且∠ADE=∠AED，设∠DAC=n．（1）如图①，当点D在边BC上时，且n=36°，则∠BAD=64°，∠CDE=32°；（2）如图②，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，∠BAD和∠CDE还满足（2）中的数量关系吗？请画出图形，并说明理由．【解答】解：（1）∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=100°﹣36°=64°．∵在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=40°+64°=104°．∵∠DAC=36°，∠ADE=∠AED，∴∠ADE=∠AED=72°，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=104°﹣72°=32°．故答案为64°，32°；（2）∠BAD=2∠CDE，理由如下：如图②，在△ABC中，∠BAC=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°．在△ADE中，∠DAC=n，∴∠ADE=∠AED=．∵∠ACB=∠CDE+∠AED，∴∠CDE=∠ACB﹣∠AED=40°﹣=．∵∠BAC=100°，∠DAC=n，∴∠BAD=n﹣100°，∴∠BAD=2∠CDE；（3）∠BAD=2∠CDE，理由如下：如图③，在△ABC中，∠BAC=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠ACD=140°．在△ADE中，∠DAC=n，∴∠ADE=∠AED=．∵∠ACD=∠CDE+∠AED，∴∠CDE=∠ACD﹣∠AED=140°﹣=．∵∠BAC=100°，∠DAC=n，∴∠BAD=100°+n，∴∠BAD=2∠CDE．10．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边和腰的长度．【解答】解：如图所示，设AD=DC=x，BC=y，由题意得，或，解得或，当，等腰三角形的三边为8，8，17，显然不符合三角形的三边关系；当时，等腰三角形的三边为14，14，5，所以，这个等腰三角形的底边长是5，综上所述，这个等腰三角形的底边长5．腰长是14．11．△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣3，5），B（﹣5，2），C（﹣1，3），直线l经过点（0，1），并且与x轴平行，△A′B′C′与△ABC关于线1对称．（1）画出△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标：A'（﹣3，﹣3），B'（﹣5，0），C'（﹣1，﹣1）；（2）观察图中对应点坐标之间的关系，写出点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标：（a，2﹣b）；（3）若直线l′经过点（0，m），并且与x轴平行，根据上面研究的经验，写出点Q（c，d）关于直线1′的对称点Q′的坐标：（c，2m﹣d）．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求，A'（﹣3，﹣3），B'（﹣5，0），C'（﹣1，﹣1）；故答案为：A'（﹣3，﹣3），B'（﹣5，0），C'（﹣1，﹣1）；（2）由题可得，点P'的横坐标为a，设点P'的纵坐标为y，则=1，解得y=2﹣b，∴点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标为（a，2﹣b），故答案为：（a，2﹣b）；（3）由题可得，点Q′的横坐标为c，设点Q'的纵坐标为y，则=m，解得y=2m﹣d，∴点Q（c，d）关于直线1′的对称点Q′的坐标为（c，2m﹣d）．故答案为：（c，2m﹣d）．12．如图1，在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD=AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．【解答】证明：（1）如图1，在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=70°，（2分）∵BD平分∠ABD，∴∠DBC=∠ABD=35°，（3分）∴∠DBC=∠ACB=35°，∴△BCD为等腰三角形；（4分）（2）证法一：如图2，在AC上截取AH=AB，连接EH，由（1）得：△BCD为等腰三角形，∴BD=CD，∴BD+AD=CD+AD=AC，（6分）∵AE平分∠BAC，∴∠EAB=∠EAH，∴△ABE≌△AHE，∴BE=EH，∠AHE=∠ABE=70°，（8分）∴∠HEC=∠AHE﹣∠ACB=35°，∴EH=HC，∴AB+BE=AH+HC=AC，∴BD+AD=AB+BE；（10分）证法二：如图3，在AB的延长线上取AF=AC，连接EF，由（1）得：△BCD为等腰三角形，且BD=CD，∴BD+AD=CD+AD=AC，∵AE平分∠BAC，∴∠EAF=∠EAC，∴△AEF≌△AEC，∴∠F=∠C=35°，（8分）∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF，∴BD+AD=AB+BE；（10分）（3）正确结论：BD+AD=BE﹣AB，理由是：如图4，在BE上截取BF=AB，连接AF，∵∠ABC=70°，∴∠AFB=∠BAF=35°，∵∠BAC=75°，∴∠HAB=105°，∵AE平分∠HAB，∴∠EAB=∠HAB=52.5°，∴∠EAF=52.5°﹣35°=17.5°=∠AEF=17.5°，∴AF=EF，∵∠AFC=∠C=35°，∴AF=AC=EF，∴BE﹣AB=BE﹣BF=EF=AC=AD+CD=AD+BD．（12分）13．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，点D是BC边上一动点（与点B，C不重合），点E与点D 关于直线AC对称，连结AE，过点B作BF⊥ED的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）当AE=BD时，用等式表示线段DE与BF之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）依题意补全图形如图所示：（2）结论：DE=2BF．理由：连接AD，设DE交AC于H．∵点E、D关于AC对称，∴AC垂直平分DE．∴AE=AD．∵AE=BD，∴AD=DB．∴∠DAB=∠ABC=45°．∴∠ADC=90°．∴∠ADE+∠BDF=90°．∵BF⊥ED，AC⊥ED，∴∠F=∠AHD=90°．∴∠DBF+∠BDF=90°．∴∠DBF=∠ADH．∴△ADH≌△DBF∴DH=BF又∵DH=EH，∴DE=2BF．14．请按要求完成下面三道小题．（1）如图1，AB=AC．这两条线段一定关于某条直线对称吗？如果是，请画出对称轴a（尺规作图，保留作图痕迹）；如果不是，请说明理由．（2）如图2，已知线段AB和点C．求作线段CD（不要求尺规作图），使它与AB成轴对称，且A与C是对称点，标明对称轴b，并简述画图过程．（3）如图3，任意位置的两条线段AB，CD，AB=CD．你能通过对其中一条线段作有限次的轴对称使它们重合吗？如果能，请描述操作方法；如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，作∠ABC的平分线所在直线a．（答案不唯一）（2）如图2所示：①连接AC；②作线段AC的垂直平分线，即为对称轴b；③作点B关于直线b的对称点D；④连接CD即为所求．（3）如图3所示，连接BD；作线段BD的垂直平分线，即为对称轴c；作点C关于直线c的对称点E；连接BE；作∠ABE的角平分线所在直线d即为对称轴，故其中一条线段作2次的轴对称即可使它们重合．15．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，AC=AE，BC=DE，连接CE交BD于点F．求证：BF=DF小明经探究发现，过B点作∠CBG=∠EDF，交CF于点G（如图2），从而可证△DEF≌△BCG，使问题得到解决（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程：参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：（2）如图3，在△ABC与△BDE中，∠ABC=∠BDE，BC=DE，AB=BD，CF、EG分别为AB、BD的中线，连结FG并延长交CE于点H，是否存在与CH相等的线段？若存在，请找出并证明；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵∠ACB=∠AED=90°，∴∠DEF+∠AEC=∠ACE+∠BCG=90°，∵AE=AC，∴∠AEC=∠ACE，∴∠DEF=∠BCG，在△BCG与△DEF中，∴△BCG≌△DEF，（ASA），∴BG=DF，∠BGC=∠DFC，∴∠BGF=∠BFG，∴BF=BG，∴BF=DF；（2）解：CH=EH，理由：如图3，延长FH至L，使HL=FG，连接LE，则HL+HG=FG+HG，即LG=FH，∵∠ACB=∠AED=90°，CF、EG分别为AB、BD的中线，∴CF=EG，∵∠ABC=∠BDE，∠CBF=∠CFB，∠D=∠DGE，∴∠BFC=∠DGE，∵AB=BD，∴BF=BG，∴∠BFG=∠BGF，∵∠BGF=∠DGH，∴∠CFH=∠EGL，在△CFH与△EGL中，，∴△CFH≌△EGL，（SAS），∴CH=EL，∠ELH=∠CHF，∴∠ELH=∠EHL，∴EH=EL，∴EH=CH．。
全等三角形、轴对称复习专题
全等三⾓形、轴对称复习专题全等三⾓形、轴对称复习专题（⼀）知识要点1.全等三⾓形的概念：能够完全重合的两个三⾓形叫做全等三⾓形。
理解：①全等三⾓形形状与⼤⼩完全相等，与位置⽆关；②⼀个三⾓形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三⾓形全等不因位置发⽣变化⽽改变。
2.全等三⾓形有哪些性质（1）全等三⾓形的对应边相等、对应⾓相等。
（理解：①长边对长边，短边对短边；最⼤⾓对最⼤⾓，最⼩⾓对最⼩⾓；②对应⾓的对边为对应边，对应边对的⾓为对应⾓）。
（2）全等三⾓形的周长相等、⾯积相等。
（3）全等三⾓形的对应边上的对应中线、⾓平分线、⾼线分别相等。
3.⾓的平分线：从⼀个⾓的顶点得出⼀条射线把这个⾓分成两个相等的⾓，称这条射线为这个⾓的平分线。
性质：⾓的平分线上的点到⾓的两边的距离相等。
判定：⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上。
4.全等三⾓形找法（运动法寻找）翻折法：找到中⼼线经此翻折后能互相重合的两个三⾓形，易发现其对应元素旋转法：两个三⾓形绕某⼀定点旋转⼀定⾓度能够重合时，易于找到对应元素平移法：将两个三⾓形沿某⼀直线推移能重合时也可找到对应元素5.全等三⾓形的判定（证明⽅法）边边边：三边对应相等的两个三⾓形全等（可简写成“SSS”)边⾓边：两边和它们的夹⾓对应相等两个三⾓形全等（可简写成“SAS”）⾓边⾓:两⾓和它们的夹边对应相等的两个三⾓形全等（可简写成“ASA”)⾓⾓边:两⾓和其中⼀⾓的对边对应相等的两个三⾓形全等（可简写成“AAS”)斜边.直⾓边：斜边和⼀条直⾓边对应相等的两个直⾓三⾓形全等（可简写成“HL”)⼩贴⼠：学习全等三⾓形应注意以下⼏个问题：（1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应⾓”与“对⾓”的不同含义；（2）表⽰两个三⾓形全等时，表⽰对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）“有三个⾓对应相等”或“有两边及其中⼀边的对⾓对应相等”的两个三⾓形不⼀定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共⾓” 、“公共边”、“对顶⾓”（5）截长补短法证三⾓形全等。
人教八年级数学上册《全等三角形》、《轴对称》知识要点归纳
第十一章《全等三角形》知识要点归纳一、知识网络二、基础知识梳理 1、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）全等三角形周长、面积相等。
2、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理A B C D E F 中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DEAB DEF(SSS) ABC ∆∆∴≌ A B C D EF中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF BC E B DE AB DEF(SAS) ABC ∆∆∴≌ AB CDE F中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠E B DE AB D A（4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
注意：①全等三角形问题中，找准对应点，对应边，对应角。
（突出对应） ②题中已知平移、翻折、旋转相当已知全等；③判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
④要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
⑤要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
其中：一般三角形有四 种判定方法 。
直角三角形有五 种判定方法。
3、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上DEF(ASA)ABC ∆∆∴≌ A B C DE F中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF BC E B D A DEF(AAS)ABC ∆∆∴≌ A C BEFD中和在DEF Rt ABC Rt ∆∆⎩⎨⎧==DF AC DE AB )HL (DEF Rt ABC Rt ∆∆∴ ≌ ·ADP COB角平分线的性质）平分PD(PC OAPD OB PC AOB OP =∴⊥⊥∠ ·ADP CBAOB∠∠=∠∴=⊥⊥平分或：角平分线的判定）OP BOP(AOP PD PC OA PD OB PC注：①性质与判定都是由三个条件推出一个结论，要正确应用； ②会用尺规做一个角的平分线，依据为“边边边”。
几何-全等三角形及轴对称(含答案)
初二数学上学期期末考试复习建议(几何部分)一. 考试范围第十一章 三角形 第十二章 全等三角形 第十三章 轴对称 二. 复习目的1. 通过复习使学生对已学过的数学知识系统化, 条理化. 更有利于学生掌握基础知识和基本方法, 为进一步学习数学打下良好的基础.2. 逐步培养学生识图能力, 逻辑思维和推理论证的能力, 作图能力, 分析问题和解决问题的能力, 提高学生的数学素质.3. 使学生初步会运用数形结合、转化与化归、分类讨论等数学思想方法.三. 总体复习建议1. 重视基础: 对每一章的知识点进行总结, 使学生掌握所有重要的定义、公式、性质和判定; 掌握每章必须掌握的基本方法(包括解题规范) , 且“每一步推理都要有根据”; 关注教材中数学应用(包括尺规作图) 的实例及其数学原理.2. 优选例题习题, 使学生熟悉一些基本题型, 掌握常用辅助线的添加. 证明书写格式要规范, 思路清楚.3. 适当的综合题的训练.4. 关注新旧教材的对比与变化.5. 充分利用区里的教育资源.第十二章 全等三角形 第十三章 轴对称 一、通过框架图进行知识梳理轴对称等腰三角形 等边三角形画轴对称图形画轴对称图形的对称轴 关于坐标轴对称的点的坐标的关系 生活中的轴对称二、基本尺规作图: 作法及原理作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知角的平分线;作已知线段的垂直平分线(作已知线段的中点) ;三、适当总结证明方法:(1) 证明线段相等的方法①利用线段中点. ②利用数量相等.③证明两条线段所在的两个三角形全等④利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等⑤等腰三角形顶角平分线、底边上的高线平分底边⑥线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等(2) 证明角相等的方法:①利用数量相等. ②利用平行线的性质进行证明.③利用角平分线证明. ④证明两个角所在的两个三角形全等⑤同角(或等角) 的余角(或补角) 相等⑥等腰三角形底边上的高线或底边中线平分顶角⑦等式性质⑧等边对等角(3) 证明两条线段的位置关系(平行、垂直) 的方法.(4) 常添加的辅助线:截长补短倍长中线角分线双垂直角分线翻折平行线+角分线: 等腰三角形角分线+垂直: 补全等腰三角形四、从图形变换的角度来复习全等同时复习几何的平移、轴对称两种变换, 归纳定义及性质, 渗透旋转变换的思想全等三角形的常见图形平移型:A'AB C C'B'轴对称型:旋转型:补充习题(一) 全等的性质和判定1. 如图, 正方形ABCD 的边长为4, 将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A 处, 该三角板的两条直角边与CD 交于点F , 与CB 延长线交于点E . 四边形AECF 的面积是( ) . A A. 16 B. 12 C. 8 D. 42. 已知: 如图, AC 、BD 相交于点O , ∠A = ∠D , 请你再补充一个条件, 使△AOB ≌△DOC , 你补充的条件是____________.CA A' BABCB'C' ABCC' B'AB CC' B'B (C' )C (B' ) AA'ABB'C'CABB'C' C A'AA'B (C' )C (B' )A A'BB' C C' AA'B' BCC' ABB'C'C A'ABCDO3. 在△ABC 与△A'B'C' 中, 已知∠A = ∠A', CD 和C'D' 分别为∠ACB 和∠A'C'B' 的平分线, 再从以下三个条件: ①∠B = ∠B', ②AC = A'C', ③CD = C'D' 中任取两个为题设, 另一个为结论, 则可以构成 ( ) 个正确的命题.A . 1B . 2C . 3D . 4 4. 根据下列已知条件, 不能唯一确定．．．．．．△ABC 的大小和形状的是( ) . B A. AB ＝3, BC ＝4, AC ＝5 B. AB ＝4, BC ＝3, ∠A ＝30º C. ∠A ＝60º, ∠B ＝45º, AB ＝4D. ∠C ＝90º, AB ＝6, AC = 55. 如图, 已知△ABC , 则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的是( ) . Dbaca cc aa丙72︒50︒乙50︒甲50︒CBA50︒72︒58︒A. 只有乙B. 只有丙C. 甲和乙D. 乙和丙6. 已知: 如图, CB = DE , ∠B = ∠E , ∠BAE = ∠CAD . 求证: ∠ACD = ∠ADC .7. 如图, 锐角△ABC 中, D , E 分别是AB , AC 边上的点, △ADC ≌△ADC ′, △AEB ≌△AE B′, 且C ′D ∥EB ′∥BC , 记BE , CD 交于点F , 若BAC x ∠=︒, 则∠BFC 的大小是__________°. (用含x 的式子表示) (1802x -)E ABCDF E DB'C'ABC第6题图第7题图(二) 轴对称图形和垂直平分线1. 在下列各图中, 对称轴最多的图形有________条对称轴.2. (1) 点P (3, − 5) 关于x 轴的对称点坐标为( ) D A. (−3, −5) B. (5, 3) C. (−3, 5) D. (3, 5)(2) 如图, 数轴上A B ，两点表示的数分别为1-和3, 点B 关于点A 的对称点为C , 则点C 所表示的数为( ) A A. 23-- B. 13--C. 23-+D. 13+(3) 如图, 在正方形网格纸上有三个点A , B , C , 现要在图中网格范围内再找格点D , 使得A , B , C , D 四点组成的凸四边形是轴对称图形, 在图中标出所有满足条件的点D 的位置. (两个解)3. 如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB = 90°, ∠A = 15°, AB 的垂直平分线与 AC 交于点D , 与AB 交于点E , 连结BD . 若AD ＝12cm, 则BC 的长为 cm.4. 如图, 已知△ABC 中, ∠BAC = 120°, 分别作AC , AB 边的垂直平分线PM , PN 交于点P , 分别交BC 于点E 和点F . 则以下各说法中: ①∠P = 60°, ②∠EAF = 60°, ③点P 到点B 和点C 的距离相等, ④PE = PF , 正确的说法是______________. (填序号) ①②③FEPMN CAB第3题图第4题图5. 已知∠AOB ＝45°, 点P 在∠AOB 的内部, P 1与P 关于OB 对称, P 2与P 关于OA 对称, 则P 1、P 2与O 三点构成的三角形是( ) D A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形(三) 等腰三角形的性质和判定1. 等腰直角三角形的底边长为5, 则它的面积是( ). D A. 50B. 25C. 12.5D. 6.252. 已知: 如图3, △ABC 中, 给出下列四个命题: ① 若AB ＝AC , AD ⊥BC , 则∠1＝∠2; ②若AB ＝AC , ∠1＝∠2, 则BD ＝DC ; ③若AB ＝AC , BD ＝DC , 则AD ⊥BC ;④若AB ＝AC , AD ⊥BC , BE ⊥AC , 则∠1＝∠3; 其中, 真命题的个数是( ). D A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个A O B3. 如图, 在△ABC 中, D 是BC 边上一点, 且AB = AD = DC , ∠BAD = 40°, 则∠C 为( ) . B A. 25° B. 35°C. 40°D. 50°4. 如图, 在△ABC 中, AB = AC , ∠BAC = 30°. 点D 为△ABC 内一点, 且DB = DC , ∠DCB = 30°. 点E 为BD 延长线上一点, 且AE = AB .(1) 求∠ADE 的度数;(2) 若点M 在DE 上, 且DM = DA , 求证: ME = DC .5. 已知: 如图, △ABC 中, 点,D E 分别在,AB AC 边上, F 是CD 中点, 连BF 交AC 于点E , 180ABE CEB ∠+∠=︒, 比较线段BD 与CE 的大小, 并证明你的结论.(提示, 注意AE = AB ; 过D 作AC 的平行线交BE 于点G )(四) 等边三角形(30° 角直角三角形)1. 下列条件中, 不能．．得到等边三角形的是( ) . B A. 有两个内角是60°的三角形 B. 有两边相等且是轴对称图形的三角形 C. 三边都相等的三角形D. 有一个角是60°且是轴对称图形的三角形2. 如图, △ABC 中, AB ＝AC , ∠BAC ＝120°, DE 垂直平分AC . 根据以上条件, 可知∠B ＝______, ∠BAD ＝_______, BD : DC ＝_______. (30, 90, 2: 1)3. 如图, 在纸片△ABC 中, AC = 6, ∠A = 30º, ∠C = 90º, 将∠A 沿DE 折叠, 使点A 与点B 重合, 则折痕DE 的长为_____. (2)4. 如图所示△ABC 中, AB = AC , AG 平分∠BAC ; ∠FBC = ∠BFG = 60︒, 若FG = 3, FB = 7, 求BC 的长. (答案10. 提示: 延长AG 、FG 与BC 相交)ABCDABCDEADMC(五) 最值问题1. 如图, P 、Q 为ABC 边上的两个定点. 在BC 边上求作一点M , 使PM +MQ 最短2. 已知: 如图, 牧马营地在M 处, 每天牧马人要赶着马群到草地吃草, 再到河边饮水, 最后回到营地M . 请在图上画出最短的放牧路线..M河草地第1题图第2题图3. 如图, 四边形EFGH 是一长方形的台球桌面, 现在黑、白两球分别位于A 、B 两点的位置上. 试问怎样撞击黑球A , 才能使黑球A 先碰到球台边EF , 反弹一次后再击中白球B ?4. 如图, MN 是正方形ABCD 的一条对称轴, 点P 是直线MN 上的一个动点, 当PC +PD 最小时, ∠PCD = _________°. (45)DAMNBCP5. 已知两点M (4, 2) , N (1, 1) , 点P 是x 轴上一动点, 若使PM +PN 最短, 则点P 的坐标应为___________. (2, 0)6. 平面直角坐标系xOy 中, 已知点A (0, 4) , 直线x = 3, 一个动点P 自OA 的中点M 出发, 先到达x 轴上的某点(设为点E ) , 再到达直线x = 6上某点(设为点F ) 最后运动到点A , 求使点P 运动的路径中最短的点E 、F 的坐标. E (4, 0) , F (6, 1)几何专题复习 (一) 分类讨论1. ① 等腰三角形的一个角是110︒, 求其另两角? ② 等腰三角形的一个角是80︒, 求其另两角?③ 等腰三角形两内角之比为2: 1, 求其三个内角的大小? 2. ① 等腰三角形的两边长为5cm 、6cm, 求其周长? ② 等腰三角形的两边长为10cm 、21cm, 求其周长?3. ① 等腰三角形一腰上的中线将周长分为12cm 和21cm 两部分, 求其底边长? ② 等腰三角形一腰上的中线将周长分为24cm 和27cm 两部分, 求其底边长?4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°, 则其顶角为_______.(按高的位置分类)5. 等腰三角形一边上的高等于底边的一半, 则其顶角为___________.6. 等腰三角形一腰上的高等于腰的一半, 则其顶角为___________.7. 等腰三角形一边上的高等于这边的一半, 则其顶角为___________.8. △ABC 中, AB = AC, AB 的中垂线EF 与AC 所在直线相交所成锐角为40︒, 则∠B = _____. (按一腰中垂线与另一腰的交点所在位置分类)9. 已知: ()()ABC x C B A ∆-轴上一点且为、,4,00,2为等腰三角形 , 问满足条件的C 点有几个? 4个10. 在正方形ABCD 所在平面上找一点P, 使△PAD 、△PAB 、△PBC 、△PCD 均为等腰三角形, 这样的P 点有几个? 9个11. 平面内有一点D 到△ABC 三个顶点的距离DA = DB = DC , 若∠DAB = 30°, ∠DAC = 40°, 则∠BDC 的大小是_________°. (20或140)(二) 几何作图1. 如图, 某地区要在区域S 内建一个超市M , 按照要求, 超市M 到两个新建的居民小区A , B 的距离相等, 到两条公路OC , OD 的距离也相等. 这个超市应该建在何处? (本题要求: 尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹)SD2. 尺规作图作AOB 的平分线方法如下: 以O 为圆心, 任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D , 再分别以点C 、D 为圆心, 以大于12CD 长为半径画弧, 两弧交于点P , 则作射线OP 即为所求. 由作法得OCP ODP △≌△的根据是( ) . DA. SASB. ASAC. AASD. SSS3. 如图, 用圆规以直角顶点O 为圆心, 以适当半径画一条弧 交两直角边于A 、B 两点, 若再以A 为圆心, 以OA 为半径画弧, 与弧AB 交于点C , 则∠AOC 等于 __________ °4. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现, 只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线. 如图: 一把直尺压住射线OB , 另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P , 小明说: “射线OP 就是∠BOA 的角平分线. ”你认为小明的想法正确吗? 请说明理由.5. 阅读下列材料:木工张师傅在加工制作家具的时候, 用下面的方法在木板上画直角:如图1, 他首先在需要加工的位置画一条线段AB , 接着分别以点A 、点B 为圆心, 以大于12AB 的适当长为半径画弧, 两弧相交于点C , 再以C 为圆心, 以同样长为半径画弧交AC 的延长线于点D (点D 需落在木板上) , 连接DB . 则∠ABD 就是直角. 木工张师傅把上面的这种作直角的方法叫做“三弧法.图2EF ACBD 图1OAB解决下列问题:(1) 利用图1就∠ABD是直角作出合理解释(要求: 先写出已知、求证, 再进行证明);(2) 图2表示的一块残缺的圆形木板, 请你用“三弧法”, 在木板上．．．画出一个以EF为一条直角边的直角三角形EFG(要求: 尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹) .(三) 操作问题第1题图①图②第2题图1. 如图①, 一张四边形纸片ABCD, ∠A＝50︒, ∠C＝150︒. 若将其按照图②所示方式折叠后, 恰好MD'∥AB, ND'∥BC, 则∠D的度数为( ). CA. 70°B. 75°C. 80°D. 85°2. 如图所示, 把一个三角形纸片ABC顶角向内折叠3次之后, 3个顶点不重合, 那么图中∠1+ ∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值为( ) CA. 180°B. 270°C. 360°D. 无法确定3. 将一个菱形纸片依次按下图①、②的方式对折, 然后沿图③中的虚线裁剪, 成图④样式. 将纸展开铺平. 所得到的图形是图中的( ) A4. 如图, 等边△ABC的边长为1cm, D、E分别是AB、AC上的点, 将△ADE沿直线DE折叠, 点A落在点A´处, 且点在△ABC外部, 则阴影部分图形的周长为____________cm. (3)5. 如图, 将一张三角形纸片ABC 折叠, 使点A 落在BC 边上, 折痕EF ∥BC , 得到△EFG ; 再继续将纸片沿△BEG 的对称轴EM 折叠, 依照上述做法, 再将△CFG 折叠, 最终得到矩形EMNF , 折叠后的△EMG 和△FNG 的面积分别为1和2, 则△ABC 的面积为( ) A . 6B . 9C . 12D . 186. 将如图1所示的长方形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠, 使点B 落在AD 边上, 折痕为AE (如图2) ; 再继续将纸片沿过点E 的直线折叠, 使点A 落在EC 边上, 折痕为EF (如图3) , 则在图3中, ∠F AE = _______°, ∠AFE = _______°. (45, 67.5)图1 图2 图37.(1) 已知ABC △中, 90A ∠=, 67.5B ∠=, 请画一条直线, 把这个三角形分割成两个等腰三角形. (请你选用下面给出的备用图, 把所有不同的分割方法都画出来. 只需画图, 不必说明理由, 但要在图中标出相等两角的度数)(2) 已知ABC △中, C ∠是其最小的内角, 过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形, 请探求ABC ∠与C ∠之间的所有可能的关系.8. 当身边没有量角器时, 怎样得到一些特定度数的角呢? 动手操作有时可以解“燃眉之急”. 如图, 已知矩形ABCD , 我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角: (1) 以点A 所在直线为折痕, 折叠纸片, 使点B 落在AD 上, 折痕与BC 交于E ; (2) 将纸片展平后, 再一次折叠纸片, 以E 所在直线为折痕, 使点A 落在BC 上, 折痕EF 交AD 于F . 则∠AFE = _______°. (67.5)A BC 备用图①A BC 备用图②ABC备用图③AC B GFEACBAM GFECB NM G FEACB A BCD ED CB AFD CEA9. 如图(1)所示Rt △ABC 中, ∠A = 90°, 三边a b c >>. 现以△ABC 某一边的垂直平分线为对称轴, 作△ABC 的轴对称图形, 记作一次操作. 例如, 若图(1)中△ABC 以a 边的垂直平分线为对称轴, 作轴对称图形得到图(2)中的△ABC , 记作“a 操作”一次; 图(2)中△ABC 继续以b 边的垂直平分线为对称轴, 作轴对称图形得到图(3)中的△ABC , 记作“b 操作”一次. 现对图(1)中的△ABC 分别按以下顺序连续进行若干次操作, 则最后得到的△ABC 与图(1)中△ABC 重合的是( ) . BA. a 操作 − b 操作 − c 操作B. b 操作 − c 操作 − b 操作 − c 操作C. a 操作 − c 操作 − b 操作 − a 操作D. b 操作 − a 操作 − b 操作 − a 操作c ba a(1)ABC (2) a 操作 (3) b 操作BCAA BCACB四、探究性问题1. 已知: 如图, Rt △ABC 中, AB = AC , ∠BAC = 90°, 直线AE 是经过点A 的任一直线, BD ⊥AE 于D , CE ⊥AE 于E , BD > CE . (1) AD 与CE 的大小关系如何? 请说明理由. (2) 求证: DE ＝BD －CE .2. 已知: 如图, B 、A 、C 三点共线, 并且Rt △ABD ≌Rt △ECA , M 是DE 的中点. 问题:(1) 判断△ADE 的形状并证明;(2) 判断线段AM 与线段DE 的关系并证明; (3) 判断△MBC 的形状并证明.MCDAEB3.已知: 在△ABC 中, ∠CAB = 2α, 且030α<<, AP 平分∠CAB .(1) 如图1, 若21α=, ∠ABC = 32°, 且AP 交BC 于点P , 试探究线段AB , AC 与PB 之间的数量关系, 并对你的结论加以证明;(2) 如图2, 若∠ABC = 60α-, 点P 在△ABC 的内部, 且使∠CBP = 30°, 求∠APC 的度数(用含α的代数式表示) .五、关于旋转的问题、动点问题1. 已知: 如图, △AOB 和△COD 都是等边三角形, 作直线AC 、直线BD 交于E . 求证: (1) AC ＝BD ; (2) ∠AEB ＝60°.2. 已知: 如图, 等边三角形ABC 中, AB = 2, 点P 是AB 边上的一动点(点P 可以与点A 重合, 但不与点B 重合) , 过点P 作PE ⊥BC , 垂足为E , 过点E 作EF ⊥AC , 垂足为F , 过点F 作FQ ⊥AB , 垂足为Q . 设BP = x , AQ = y . (1) 请用x 的代数式表示y (直接写出) ; (2) 当BP 的长等于多少时, 点P 与点Q 重合; (128x y =+; 43) 3. 已知: 如图, △ABC 中, ∠A ＝90°, AB ＝AC . D 是斜边BC 的中点; E 、F 分别在线段AB 、AC 上, 且∠EDF ＝90°.(1) 求证: △DEF 为等腰直角三角形.(2) 如果E 点运动到AB 的反向．．延长线．．．上, F 在直线．．CA 上且仍保持∠EDF ＝90°, 那么△DEF 还仍然是等腰直角三角形吗? 请画图(右图) 并直接写出．．．．你的结论. 图1ABCP图2AC PBACB P EFQC4. 如图所示, 长方形ABCD 中, AB = 4, BC 点E 是折线段A —D —C 上的一个动点(点E 与点A 不重合) , 点P 是点A 关于BE 的对称点. 在点E 运动的过程中, 能使△PCB 为等腰三角形．．．．．的点E 的位置共有( ) . CA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个5. 如图ABC △中, 10AB AC ==厘米, 8BC =厘米, 点D 为AB 中点. (1) 如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动, 同时, 点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等, 经过1秒后, BPD △与CQP △是否全等, 请说明理由;②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等, 当点Q 的运动速度为多少时, 能够使BPD △与CQP △全等?(2) 若点Q 以②中的运动速度从点C 出发, 点P 以原来的运动速度从点B 同时出发, 都逆时针沿ABC △三边运动, 求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇? ( (1) ①SAS 全等; ②415厘米/秒. (2) 经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇. )六、综合应用1. 在平面直角坐标系中, 直线l 过点M (3,0), 且平行于y 轴.如果△ABC 三个顶点的坐标分别是A (-2,0), B (-1,0),C (-1,2), △ABC 关于y 轴的对称图形是△A 1B 1C 1, △A 1B 1C 1关于直线l 的对称图形是△A 2B 2C 2, 在右面的坐标系中画出△A 2B 2C 2,并写出它的三个顶点的坐标.AB CDEPB2. 已知: 如图, 在△ABC 中, AB = AC , ∠BAC = α, 且60° < α < 120°. P 为△ABC 内部一点, 且PC = AC , ∠PCA = 120° − α.(1) 用含α的代数式表示∠APC , 得∠APC = ________; (2) 求证: ∠BAP = ∠PCB ; (3) 求∠PBC 的度数.3. 在△ABC 中, AD 是△ABC 的角平分线.(1) 如图1, 过C 作CE ∥AD 交BA 延长线于点E , 若F 为CE 的中点, 连结AF , 求证: AF ⊥AD ;(2) 如图2, M 为BC 的中点, 过M 作MN ∥AD 交AC 于点N , 若AB = 4, AC = 7, 求NC 的长.4.在ABC △中, BA BC BAC =∠=α，, M 是AC 的中点, P 是线段BM 上的动点, 将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ .(1) 若α=60︒且点P 与点M 重合(如图1) , 线段CQ 的延长线交射线BM 于点D , 请补全图形, 并写出CDB ∠的度数;(2) 在图2中, 点P 不与点B M ，重合, 线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D , 猜想CDB ∠的大小(用含α的代数式表示) , 并加以证明.图1 图2BCPA5. 在Rt△ABC中, ∠ACB = 90°, ∠A = 30°, BD是△ABC的角平分线, DE⊥AB于点E.(1) 如图1, 连接EC, 求证: △EBC是等边三角形;(2) 点M是线段CD上的一点(不与点C, D重合) , 以BM为一边, 在BM的下方作∠BMG = 60°, MG交DE延长线于点G. 请你在图2中画出完整图形, 并直接写出MD, DG与AD之间的数量关系;(3) 如图3,点N是线段AD上的一点, 以BN为一边, 在BN的下方作∠BNG= 60°, NG交DE延长线于点G. 试探究ND, DG与AD数量之间的关系, 并说明理由.。
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全等三角形、轴对称解答题
1如图，AB=AC,AD ⊥BC 于点D ，AD=AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F ，请写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明。
3.已知，如图所示，OP 是∠AOC 和∠BOD 的角平分线，OA=OC ，OB=OD 。
求证：AB=CD
4.已知如图在△ABC 中，∠ACB=90。
，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE=BC ，过E 点做AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ，求证：AB=FC
C
O
A C
P
B
5.如图四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4；求证：（1）△ABC≌△ADC.
（2）BO=DO.
6.如图，已知在等边三角形ABC中，点D、E分别是AB、BC的延长线上的点，且BD=CE.求证：DC=AE D
A
C
B
E
7.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，试证明：BE=CF
8.如图，△ABC 中，AB=AC ，AD=DE=EB ，BD=BC ，试求∠A 的度数
9.已知△ABC 中，BD 、CE 是高，BD 、CE 相交于O ，OB=OC ，试判断△ABC 的形状，并说明理由。
B
C
A
D
A
10.已知：CD 、CF 分别是△ABC 的角平分线和外角平分线，DE ∥BC 交AC 于E ，求证：DF=2DE 。
11.在△ABC 中，AB=AC ，AC 的中垂线DE 交AB 于D ，∠A=44。
，AB+BC=10,试求,
(1)∠BDC 的度数
（2）△BDC 的周长
A
B
B C
A
12.如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，CE 和BD 相交于点M,BD 交AC 于点N ，试说明 （1）BD=CE (2) BD ⊥CE
13.如图，在△ABC 中，分别延长中线BE 、CD ，使AEF=BE ，DH=CD ，连接AF 、AH 求证：AF=AH
14、如图，AB 、CD 相交于点O ，AO=BO ，AC ∥DB 。
求证：AC=BD
A
C
15.如图，B 、C 、F 、E 在同一直线上，AB 、DE 相交于点G ，且BC=EF ，GB=GE ，∠D=∠A. 求证：DC=AF
16.在△ABC 中，直线DE 垂直平分线段AB ，垂足为E,交BC 于点D ，∠B=。
60，∠C=。
50，求∠CAD 的度数。
E
F D
A
B
17. 如图，AB=DF ，AC=DE ，BE=FC ，问：ΔABC 与ΔDEF 全等吗？AB 与DF 平行吗？请说明你的理由。
18.已知∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，AB=AC . 证明：BD=CE.
19：如图，∠A ＝∠D ＝90°，BD 与AC 相交于点O ，且BD ＝AC 。
求证：
A
B
C
D
E
OB＝OC
20如图，AB=CD，AD=BC，EF经过AC的中点O，分别交AB、CD于E、F。
求证：OE=OF.
21 如图，AB=AC,∠BAC=900,BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE，求证:BD=EC+ED.
A
B C
D
O。