2019年广州二模数学理科试题(含解析)

2019年广州二模数学理科试题（含解析）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！2018年广州市普通高中毕业班综合测试〔二〕数学〔理科〕2018.4本试卷共4页，21小题， 总分值150分、考试用时120分钟【一】选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、A 、=a b a bB 、+=+a b a bC 、()()=a b c a b cD 、2=a a a 2、直线1y kx =+与圆2220x y y +-=的位置关系是 A 、相交B 、相切C 、相离 D 、取决于k 的值文3〔理1〕、假设1i -〔i 是虚数单位〕是关于x 的方程220x px q ++=〔p q ∈R 、〕的一个解，那么p q +=A 、3-B 、1-C 、1D 、34、函数()y f x =的图象如图1所示，那么其导函数()y f x '=的图象可能是5、假设函数cos 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()*ω∈N 的一个对称中心是06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，那么ω的最小值为 A 、1B 、2C 、4 D 、8 6、一个圆锥的正〔主〕视图及其尺寸如图2所示、假设一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两 部分，那么截面的面积为A 、14πB 、π C 、94π D 、4π7、某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元、年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，那么这辆汽车报废的最正确年限〔即使用多少年的年平均费用最少〕是A 、8年B 、10年C 、12年D 、15年 8、记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,，最小数为{}12min ,,n x x x …,，那么{}{}2max min 116x x x x +-+-+=，，A 、34B 、1C 、3 D 、72xyO图1y x O A ． x O B ． x O C ． x O D ． yyy46 图2【二】填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分、 〔一〕必做题〔9～13题〕9、某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2﹕3﹕4、现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中甲型钢笔有12支，那么此样本容量n =、 10、α为锐角，且3c o s 45απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么s i n α=、ks5u 11、用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成个没有重复数字且能被5整除的五位数〔结果用数值表示〕、 12、函数()22f x x x =-，点集()()(){}M x y f x f y =+，≤2，()()(){}N x y f x f y =-，≥0，那么MN 所构成平面区域的面积为、13、数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列}{n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，那么20S =；2013S =、 〔二〕选做题〔14～15题，考生只能从中选做一题〕 14、〔几何证明选讲选做题〕在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足13BE BD =，延长AE 交BC 于点F ， 那么BFFC的值为、ks5u 15．〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，点1,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意一点，设点P 到直线 cos 10ρθ+=的距离为d ，那么PA d +的最小值为、【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分、解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤、 16、〔本小题总分值12分〕某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等、这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m 、假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面内、 〔1〕求BAC ∠的大小；〔2〕求点O 到直线BC 的距离、 17、〔本小题总分值12分〕正方形ABCD 的边长为2，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点、〔1〕在正方形ABCD 内部随机取一点P ，求满足||2PH <的概率；〔2〕从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ、18、〔本小题总分值14分〕等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足AD DB =12CE EA =〔如图3〕、将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结1A B 、1AC 〔如图4〕、〔1〕求证：1A D ⊥平面BCED ； 〔2〕在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60？假设存在，求出PB 的长，假设不存在，请说明理由、19、〔本小题总分值14分〕0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：()g x x a ax =--在区间()0,+∞上有最小值、假设()p q ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范围、20、〔本小题总分值14分〕经过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M 、点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD 〔两端点除外〕上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C 、 〔1〕求轨迹M 的方程；〔2〕证明：BAD CAD ∠=∠； 〔3〕假设点D 到直线AB 的距离等于22AD ，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程、 21、〔本小题总分值14分〕设n a 是函数()321f x x n x =+-()*n ∈N的零点、〔1〕证明：01n a <<； 〔2〕证明：1nn <+1232n a a a +++<、 2018年广州市普通高中毕业班综合测试〔二〕数学〔理科〕试题参考答案及评分标准说明：1、参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数、2、对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分、3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数、4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分、【一】选择题：本大题考查基本知识和基本运算、共8小题，每题5分，总分值40分、题号 1 2 3 4 5 6 7 8BCE D1A 图4 图3ABC DE答案 D A C A B C B D【二】填空题：本大题查基本知识和基本运算，表达选择性、共7小题，每题5分，总分值30分、其中14~15题是选做题，考生只能选做一题、第13题第一个空2分，第二个空3分、9、5410、21011、21612、2π13、36；398114、1415、2 【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分、解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤、16、〔本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题总分值12分〕 解：〔1〕在△ABC 中，因为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ，由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⨯⨯………………………………………………………2分2228050701280502+-==⨯⨯、……………………………………………………3分因为BAC ∠为△ABC 的内角，所以3BAC π∠=、……………………………………………………4分 〔2〕方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心、……………………………………………………………………5分 设外接圆的半径为R ，在△ABC 中，由正弦定理得2sin BCR A=，……………………………………………………………7分 因为70BC =，由〔1〕知3A π=，所以3sin 2A =、所以7014032332R ==，即7033R =、…………………8分 过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△OBD 中，7033OB R ==，703522BC BD ===， 所以2222703353OD OB BD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………………11分 3533=、 所以点O 到直线BC 的距离为3533m 、……………………………………………………………12分 方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等， 所以点O 为△ABC 外接圆的圆心、……………………5分 连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………6分ABCODABCO由〔1〕知3BAC π∠=， 所以3BOC 2π∠=、 所以3BOD π∠=、………………………………………9分在Rt △BOD 中，703522BC BD ===，所以35353tan tan 603BD OD BOD ===∠、……………………ks5u ………………………11分所以点O 到直线BC 的距离为3533m 、……………………ks5u …………………………12分 17、〔本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运算求解能力与数据处理能力等，本小题总分值12分〕 解：〔1〕这是一个几何概型、所有点P 构成的平面区域是正方形ABCD 的内部，其面积是224⨯=、 ………………………………………………1分满足||2PH <的点P 构成的平面区域是以H 为圆心，2为半径的圆的内部与正方形ABCD 内部的公共部分，它可以看作是由一个以H 为圆心、2为半径、圆心角为2π的扇形HEG 的内部〔即四分之一个圆〕与两个 直角边为1的等腰直角三角形〔△AEH 和△DGH 〕内部构成、……………………………………………………………2分其面积是()21122111422π⨯π⨯+⨯⨯⨯=+、………………3分所以满足||2PH <的概率为112484π+π=+、………………………………………………………4分〔2〕从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成28C 28=条不同的线段、 ………………………………………………………5分其中长度为1的线段有8条，长度为2的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为5的线段有8条，长度为22的线段有2条、所以ξ所有可能的取值为122522，，，，、……………………………………………………7分 且()821287P ξ===，()412287P ξ===，()6322814P ξ===， ()825287P ξ===，()21222814P ξ===、………………………………………9分所以随机变量ξ的分布列为：A B CDE FGHξ 12 2522P2717 31427 114随机变量ξ的数学期望为213211225227714714E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯522257++=、…………………………12分18、〔本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力等，本小题总分值14分〕证明：〔1〕因为等边△ABC 的边长为3，且AD DB =12CE EA =， 所以1AD =，2AE =、 在△ADE 中，60DAE ∠=，由余弦定理得2212212cos603DE =+-⨯⨯⨯=、因为222AD DE AE +=， 所以AD DE ⊥、折叠后有1A D DE ⊥、……………………………………………………………………………………2分 因为二面角1A DE B --是直二面角，所以平面1A DE ⊥平面BCED 、…………………………3分 又平面1A DE平面BCED DE =，1A D ⊂平面1A DE ，1A D DE ⊥，所以1A D ⊥平面BCED 、………………………………………………………………………………4分 〔2〕解法1：假设在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60、如图，作PH BD ⊥于点H ，连结1A H 、1A P 、………………5分 由〔1〕有1A D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED ，所以1A D ⊥PH 、…………………………………………………6分 又1A DBD D =，所以PH ⊥平面1A BD 、…………………………………………………………………………………7分 所以1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角、……………………………………………………8分 设PB x =()03x ≤≤，那么2xBH =，32PH x =、…………………………………………………9ABCDEBCED1A HP……10分分在Rt △1PA H 中，160PA H ∠=，所以112A H x =、………………………………………………10分 在Rt △1A DH 中，11A D =，122DH x =-、………………………………………………………11分 由22211A D DH A H +=，得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、…………………………………………………………………………12分解得52x =，满足03x ≤≤，符合题意、……………………………………………………………13分 所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60，此时52PB =、………14分解法2：由〔1〕的证明，可知ED DB ⊥，1A D ⊥平面BCED 、以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -如图、…………………………………………………………5分设2PB a =()023a ≤≤，那么BH a =，3PH a =，2DH a =-、……………………6分 所以()10,0,1A ，()2,3,0P a a -，()0,3,0E 、…………7分所以()12,3,1PA a a =--、……………………………………………………………………………8分因为ED ⊥平面1A BD ，所以平面1A BD 的一个法向量为()0,3,0DE =、……………………………………………………9分 因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60， 所以11sin 60PA DE PA DE=………………………………………………………………………………10分23324453a a a ==-+⨯，……………………………………………………………11分 解得54a =、……………………………………………………………………………………………12分 即522PB a ==，满足023a ≤≤，符合题意、……………………………………………………13分所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60，此时52PB =、………14分19、〔本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识，考查数形结合思想、BC ED1A Hxy zP分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等，本小题总分值14分〕 解：要使函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点，必须()()0101,0.f f a ⎧⎪⎪⎨<<⎪⎪∆>⎩≥0，≥0,……………………………………………………………………………………………2分即()()2,1224012412a a a a a -⎧⎪-⎪⎨<<⎪⎪--->⎩≥0,≥0,0.………………………………………………………………………………4分解得1212a -<≤、所以当1212a -<≤时，函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点、…5分 下面求()g x x a ax =--在()0,+∞上有最小值时a 的取值范围：方法1：因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………………………6分①当1a >时，()g x 在()0,a 和[),a +∞上单调递减，()g x 在()0,+∞上无最小值；……………7分 ②当1a =时，()1,,21,1.x g x x x -⎧=⎨-+<⎩≥1()g x 在()0,+∞上有最小值1-；………………………8分③当01a <<时，()g x 在()0,a 上单调递减，在[),a +∞上单调递增，()g x 在()0,+∞上有最小值()2g a a =-、…………………………………………………………9分所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值、……………………………………………10分方法2：因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………………………6分因为0a >，所以()10a -+<、所以函数()()110y a x a x a =-++<<是单调递减的、………………………………………………7分 要使()g x 在()0,+∞上有最小值，必须使()21y a x a =--在[),a +∞上单调递增或为常数、……8分 即10a -≥，即1a ≤、……………………………………………………………………………………9分 所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值、……………………………………………10分 假设()p q ⌝∧是真命题，那么p ⌝是真命题且q 是真命题，即p 是假命题且q 是真命题、……………11分所以1021,,20 1.a a a ⎧<->⎪⎨⎪<⎩≤≤或…………………………………………………………………………12分解得021a <-≤或112a <≤、………………………………………………………………………13分 故实数a 的取值范围为(10,21,12⎛⎤⎤- ⎥⎦⎝⎦、…………………………………………………………14分 20、〔本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题总分值14分〕解：〔1〕方法1：设动圆圆心为(),x y ，依题意得，()2211x y y +-=+、…………………………1分整理，得24x y =、所以轨迹M 的方程为24x y =、…………………………………………………2分 方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等， 根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线、……………………………………………………1分 且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线、所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =、………………………………………………………2分 〔2〕由〔1〕得24x y =，即214y x =，那么12y x '=、 设点2001,4D x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =、…………………………3分 由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭、设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫⎪⎝⎭，那么2212120121114442BCx x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=、 (4)分因为2210101011444ACx x x x k x x --==+，2220202011444ABx x x x k x x --==+、……………………………5分由于()120102020444AC ABx x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-、………………………6分A B CDOxylE所以BAD CAD ∠=∠、…………………………………………………………………………………7分 〔3〕方法1：由点D 到AB 的距离等于22AD ，可知BAD ∠45=、………………………………8分 不妨设点C 在AD 上方〔如图〕，即21x x <，直线AB 的方程为：()20014y x x x -=-+、 由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭、……………………………………………………………10分 所以()()00024222AB x x x =---=-、由〔2〕知CAD BAD ∠=∠45=，同理可得0222AC x =+、………………………………11分 所以△ABC 的面积2000122222244202S x x x =⨯-⨯+=-=， 解得03x =±、……………………………………………………………………………………………12分 当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BCk =， 直线BC 的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=、…………………………………………13分 当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BCk =-， 直线BC 的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=、……………………………………14分 方法2：由点D 到AB 的距离等于22AD ，可知BAD ∠45=、…………………………………8分 由〔2〕知CAD BAD ∠=∠45=，所以CAB ∠90=，即AC AB ⊥、 由〔2〕知104AC x x k -=，204AB x x k -=、 所以1020144AC ABx x x xk k --=⨯=-、即()()102016x x x x --=-、① 由〔2〕知1202x x x +=、②不妨设点C 在AD 上方〔如图〕，即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩…………………………10分 因为()2222202*********AB x x x x x ⎛⎫=++-=- ⎪⎝⎭， 同理0222AC x =+、………………………………………………………………………………11分 以下同方法1、21、〔本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题总分值14分〕证明：〔1〕因为()010f =-<，()210f n =>，且()f x 在R 上的图像是一条连续曲线，所以函数()f x 在()01，内有零点、………………………………………………………………………1分因为()2230f x x n '=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增、………………………………………………………………………2分 所以函数()f x 在R 上只有一个零点，且零点在区间()01，内、而n a 是函数()f x 的零点，所以01n a <<、……………………………………………………………………………………………3分 〔2〕先证明左边的不等式：因为3210n n a n a +-=，由〔1〕知01n a <<，所以3n n a a <、……………………………………………………………………………………………4分 即231n n n n a a a -=<、所以211n a n >+、…………………………………………………………………………………………5分 所以1222211111211n a a a n +++>++++++、…………………………………………………6分 以下证明222111112111n n n +++≥++++、① 方法1〔放缩法〕：因为()21111111n a n n n n n >≥=-+++，…………………………………………7分 所以1211111111223341n a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++、………………………………………………………………9分 方法2〔数学归纳法〕：1〕当1n =时，2111111=++，不等式①成立、 2〕假设当n k =〔*k ∈N 〕时不等式①成立，即 222111112111k k k +++≥++++、 那么 ()222211111121111k k +++++++++ ()21111k k k ≥++++、 以下证明()()()21111111k k k k k ++≥+++++、② 即证()()()21111111k k k k k +≥-+++++、 即证22112232k k k k ≥++++、 由于上式显然成立，所以不等式②成立、即当1n k =+时不等式①也成立、根据1〕和2〕，可知不等式①对任何*n ∈N 都成立、所以121n n a a a n +++>+、…………………………………………………………………………9分 再证明右边的不等式：当1n =时，()31f x x x =+-、 由于31113102228f ⎛⎫⎛⎫=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3333111044464f ⎛⎫⎛⎫=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11324a <<、…………………………………………………………………………………………10分 由〔1〕知01n a <<，且3210n n a n a +-=，所以32211n n a a n n -=<、……………………………11分 因为当2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，…………………………………………………………12分 所以当2n ≥时，12342311111114223341n a a a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭113122n =+-<、 所以当*n ∈N 时，都有1232n a a a +++<、 综上所述，1n n <+1232n a a a +++<、………………ks5u …………………………………14分。