不等式高考真题汇编(含答案)
不等式(原卷版)-五年(2018-2022)高考数学真题分项汇编(全国通用)
专题14不等式1．【2022年全国乙卷】若x ，y 满足约束条件+O2,+2N4,O0,则=2−的最大值是（）A ．−2B ．4C ．8D ．122．【2021年乙卷文科】若,x y 满足约束条件4,2,3,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则3z x y =+的最小值为（）A ．18B ．10C ．6D ．43．【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（）A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．222x xy -=+D ．4ln ln y x x=+4．【2020年新课标3卷文科】已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（）A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称5．【2019年新课标2卷理科】若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │6．【2022年新高考2卷】若x ，y 满足2+2−B =1，则（）A ．+≤1B ．+≥−2C ．2+2≤2D ．2+2≥17．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D≤8．【2020年新课标1卷理科】若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为______________.9．【2020年新课标2卷文科】若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．10．【2020年新课标3卷理科】若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________．11．【2020年新课标3卷理科】关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．12．【2019年新课标2卷文科】若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ，，，+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则z =3x –y 的最大值是___________.13．【2018年新课标1卷理科】若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．14．【2018年新课标2卷理科】若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+的最大值为__________．15．【2018年新课标3卷文科】若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，则13z x y =+的最大值是________．。
2022年高考数学真题分类汇编：不等式
2022年高考数学真题分类汇编专题05：不等式一、单选题(共10题；共50分)1．（5分）（2022·浙江）若实数x，y满足约束条件{x−2≥0，2x+y−7≤0，x−y−2≤0，则z=3x+4y的最大值是（）A．20B．18C．13D．6【答案】B【解析】【解答】根据约束条件{x−2≥0，2x+y−7≤0，x−y−2≤0，画出可行域，可知过点（2，3）时取到最大值18.故答案为：B【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可．2．（5分）（2022·全国乙卷）若x，y满足约束条件{x+y⩾2，x+2y⩽4，y⩾0，则z=2x−y的最大值是（）A．−2B．4C．8D．12【答案】C【解析】【解答】由题意作出可行域（阴影部分所示），目标函数z=2x−y转化为y=2x−z，上下平移直线 y =2x −z ，可知当直线过点 (4，0) 时，直线截距最小，z 最大， 所以 z max =2×4−0=8 . 故选：C【分析】作出可行域，数形结合即可得解.3．（5分）（2022·全国甲卷）设全集 U ={−2，−1，0，1，2，3} ，集合 A ={−1，2}，B ={x ∣x 2−4x +3=0} ，则 ∁U (A ∪B)= （ ） A ．{1，3}B ．{0，3}C ．{−2，1}D ．{−2，0}【答案】D【解析】【解答】解：由题意得， B ={x ∣x 2−4x +3=0}={1，3} ，所以A∪B={-1，1，2，3} ，所以∁U (A ∪B)={−2，0} . 故选：D【分析】先求解方程求出集合B ，再由集合的并集、补集运算即可得解.4．（5分）（2022·全国甲卷）已知 9m =10，a =10m −11，b =8m −9 ，则（ ）A ．a >0>bB ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a【答案】A【解析】【解答】解：由9m=10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10 ，即m>lg11，所以a=10m-11>10lg11-11=0．又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9 ，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0 ． 综上，a>0>b ． 故选：A【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log 910>1 ，再利用基本不等式，换底公式可得 m>lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．5．（5分）（2022·新高考Ⅰ卷）设 a =0.1e 0.1，b =19，c =−ln0.9， 则（ ） A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．a <c <b【答案】C【解析】【解答】解：令a=xe x ，b =x1−x ，c=-ln(1-x)，则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)， 令y=x+ln(1-x)，x∪(0，0.1]， 则y′=1−11−x =−x 1−x <0，所以y≤0， 所以lna≤lnb ， 所以b>a ，a-c=xe x +ln(1-x)，x∪(0，0.1]， 令y=xe x +ln(1-x)，x∪(0，0.1]， y′=xe x +e x −11−x =(1+x )(1−x )e x −11−x， 令k(x)=(1+x )(1−x )e x −1， 所以k'(x)=(1-2x-x 2)e x >0， 所以k(x)>k(0)>0， 所以y'>0， 所以a-c>0，所以a>c ， 综上可得，c<a<b ， 故选：C【分析】分别构造函数y=x+ln(1-x)，x∪(0，0.1]，y=xe x +ln(1-x)，x∪(0，0.1]，根据导数判断函数的单调性，再运用作差法比较大小即可得解.6．（5分）（2022·新高考Ⅰ卷）若集合 M ={x ∣√x <4}，N ={x ∣3x ⩾1}， 则 M ∩N =（ ）A ．{x ∣0≤x <2}B ．{x ∣13≤x <2}C ．{x ∣3≤x <16}D ．{x ∣13≤x <16}【答案】D【解析】【解答】解：由题意得， M ={x|0≤x <16}，N ={x|x ≥13} ，则 M ∩N = {x ∣13≤x <16} ， 故选：D【分析】先由不等式的解法求得集合M ，N ，再根据交集的运算求得答案.7．（5分）（2022·浙江学考）不等式 x 2−4x <0 的解集是（）A ．(0，4)B ．(−4，0)C ．(−∞，4)D ．(−∞，0)∪(4，+∞)【答案】A【解析】【解答】 x 2−4x <0⇒x(x −4)<0 ，解得 0<x <4 ，所以解集为 (0，4) 。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ．3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}24．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5}D ．{1,3}基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．64．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．32参考答案解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-. 故选：A.2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ． 【答案】{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-． 故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．4．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3}【答案】D【详细分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂，得到结果. 【答案详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ， 故选：D.【名师点评】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可. 【答案详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故B 正确，A 错误；对于选项D ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故D 错误； 对于选项C ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==， 可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故C 错误， 故选：B.2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C【详细分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【答案详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．【名师点评】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C【详细分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【答案详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ． 【名师点评】4．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【详细分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab值，根据2c =等式，即可求得答案. 【答案详解】 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点 不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B.【名师点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了详细分析能力和计算能力，属于中档题.。
高考数学压轴专题最新备战高考《不等式》难题汇编及答案
取 ，则 ，可排除B项；
因为满足 条件的排除法，可得A、B、D是错误的.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
7．对于函数 ，若 满足 ，则称 为函数 的一对“线性对称点”．若实数 与 和 与 为函数 的两对“线性对称点”，则 的最大值为（）
给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于 ；④方程 表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )
A．①③B．②④C．①②③D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式得 ，可判断②； 和 联立解得 可判断①③；由图可判断④.
⑤已知 的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则 为定值.
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断.
【详解】
①，命题“ ，使得 ”的否定是“ ，均有 ”，故①错误.
4．设 ， 满足约束条件 ，若 的最大值为 ，则 的展开式中 项的系数为( )
A．60B．80C．90D．120
【答案】B
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到 ，再利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即 ，故 表示直线与 截距的 倍，
根据图像知：当 时， 的最大值为 ，故 .
2022年高考数学真题《不等式》专项汇编(含答案)
2022年高考数学真题《不等式》专项汇编（含答案）1.【2022年 全国甲卷(文)，23】已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明： （1）23a b c ++≤； （2）若2b c =，则113a c+≥. 2.【2022年 全国乙卷(理)，23】已知a ，b ，c 都是正数，且3223231a b c ++=，证明： （1）19abc ≤；（2）a b c b c a c a b ++≤+++3.【2022年 陕西省模拟，23】设x 、y 、z 为正实数，且4x y z ++=. (1)≤(2)证明：()()()22241233x y z -+-+-≥4.【2022年 贵州贵阳模拟，23】已知实数a ，b ，c 满足0a b c ++=.（2）若0a <，0b <，1abc =，求c 的最小值.5.【2022年 安徽马鞍山模拟，23】已知函数()22f x ax x a =++-（a ∈R ） （1）当1a =时，求不等式()6f x <的解集． （2）当13a -≤≤时，求()1f a -的最大值与最小值．6.【2022年 内蒙古呼伦贝尔模拟，23】设函数()231f x x x =+--． (1)求不等式()0f x >的解集；(2)若()f x 的最小值是m ，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值． 7.【2022年 吉林长春模拟，23】设函数()1f x x =+，()21g x x =-. （1）解关于x 的不等式()()1f x g x ->；（2）若()()22f x g x ax +>+对一切实数恒成立，求实数a 的取值范围. 8.【2022年 四川宜宾模拟，23】 [选修4-5：不等式选讲]： 已知函数()22f x x x =-++. （1）求不等式()24f x x ≥+的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥9.【2022年 甘肃嘉陵关模拟，23】已知函数()|21||1|f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ；（2）记函数()()|1|g x f x x =++的最小值为m ，若,,a b c ∈R ，且230a b c m ++-=，求222a b c ++的最小值.10.【2022年 重庆市模拟，23】已知函数()|2+=(0)f x ax bx a b ->>｜｜｜． (1)若22a b == ，解不等式()2|f x x ≥｜； (2)求证：()2b f x a≥．答案以及解析1.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析解析：（1）解法一（平方转化基本不等式证明）因为22243a b c ++=， 所以2222(2)42(22)a b c a b c ab bc ac ++=+++++()2222223(2)(2)a b b c a c ⎡⎤⎡⎤≤++++++⎣⎦⎣⎦，当且仅当21a b c ===时取等号，所以2222(2)32(2)9a b c a b c ⎡⎤++≤+++=⎣⎦.又a ，b ，c 均为正数，所以23a b c ++≤.解法二（柯西不等式证明）因为22243a b c ++=，所以根据柯西不等式有()()2222222334111(2)a b c a b c ⨯=++++≥++， 当且仅当21a b c ===时取等号. 又a ，b ，c 均为正数，所以23a b c ++≤.解法三（权方和不等式证明）根据权方和不等式可得22221(2)43(111)111a b c a b c ++≤++=++（当且仅当21a b c ===时取等号），所以2(2)9a b c ++≤.又a ，b ，c 均为正数，所以23a b c ++≤. （2）因为2b c =，所以根据（1）有43a c +≤.1113314414114533333a c a c c a a c a c a c a c ⎛++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+≥+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当21a b c ===时取得等号. 2.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析解析：（1）因为a ，b ，c 都是正数，3332221a b c =++≥ 所以19abc ≤，当且仅当2313a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭时等号成立.（2）由基本不等式得b c +≥a b c ≤+， 同理得b ac ≤+c a b ≤+利用不等式的性质得a b cb c a c a b+++++≤333222bc=333222b c ==，当且仅当2313a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭时等号成立.3.答案：(1)见解析(1) 见解析 解析：(1)因为x,y,z 为正实数，由基本不等式可得422x x y z ⎛⎫⎛⎫=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y z ===≤(2)由柯西不等式可得()()()()()()()2222222123123111x y z x y z ⎡⎤-+-+-≤-+-+-⋅++⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以，()()()()22226412333x y z x y z ++--+-+-≥=， 当且仅当123x y z -=-=-时，即当13x =，43y =，73z =时，等号成立，故()()()22241233x y z -+-+-≥.4、（1）答案：证明见解析解析：证明：由0a b <<，且0a b c ++=，得0c >，0a b ->->，5.答案：（1）75,33⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）最大值为9，最小值为3解析：（1）当1a =时，不等式()6f x <可化为2216x x ++-<，2316x x <-⎧⎨--<⎩，解得723x -<<-；或12236x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-+<⎩，解得122x -≤≤；或12316x x ⎧>⎪⎨⎪+<⎩，解得1523x << 综上可知，不等式的解集为75,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）()2212222f a a a a a a a -=-++-=-++-当12a -≤<时，()[]2222224133,7a a a a a a -+-+=-+=-+∈， 当23a ≤≤时，[]22224,9a a a a -++-=∈， 故所求最大值为9，最小值为3． 6.答案：(1) {|4x x <-或23x >-}（2）2514解析：(1)当32x -时，2310x x --+->，解得4x <-； 当312x -<<时，2310x x ++->，解得213x -<<；当1x 时，2310x x +-+>，解得1x ，综上，不等式()0f x >的解集为{|4x x <-或23x >-}；（2）()34,2332,124,1x x f x x x x x ⎧---⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪+⎪⎪⎩可知，当32x =-时，()min 52f x =-，即52m =-，则235a b c ++=，因为()()()222222223123a b c a b c ++++++，所以()2222514a b c ++，即2222514a b c ++a 2+b 2+c 2⩾2514， (当且仅当123a b c==时等号成立)， 故222a b c ++的最小值为25147.答案：（1）1(,1)3；（2）12a -<<.解析：（1）因函数()1f x x =+，()21g x x =-，则()()1|1||21|1f x g x x x ->⇔+-->， 当1x <-时，1211x x --+->，解得3x >，无解， 当112x -≤<时，1211x x ++->，解得13x >，则有1132x <<， 当12x ≥时，1211x x +-+>，解得1x <，则有112x ≤<，综上得：113x <<，所以不等式()()1f x g x ->的解集是1(,1)3.（2）依题意，R x ∀∈，()()22|22||21|2f x g x ax x x ax +>+⇔++->+，当1x ≤-时，3222124x x ax a x ---+>+⇔>--，而34x --在(,1]-∞-上单调递增，当1x =-时，max 3(4)1x--=-，于是得1a >-，当112x -<<时，2221210x x ax ax +-+>+⇔-<，则有110210a a ⎧-≤⎪⎨⎪--≤⎩，解得12a -≤≤，当12x ≥时，1222124x x ax a x ++->+⇔<-+，而14x -+在1[,)2+∞上单调递增，当12x =时，min 1(4)2x -+=，于是得2a <，于是得2a <，综上得12a -<<，所以实数a 的取值范围12a -<<. 8.答案：（1）(,0]-∞（2）见解析解析： （1）①当2x <-时，不等式即为224x x -≥+，解得1,2x x ≤-∴<-； ②当22x -≤≤时，不等式即为424x ≥+，020x x ≤∴-≤≤； ③当2x >时，不等式即为224x x ≥+，x ∈∅. 综上，不等式()24f x x ≥+的解集为(,0]-∞.（2）由绝对值不等式的性质可得：|2||2||(2)(2)|4x x x x -++≥--+=∴当22x -≤≤时，()f x 取最小值4，即4,()4k a b c =∴+=，即4ab ac +=()()22222222228a b c a b a c ab ac ∴++=+++≥+=当且仅当a b c ===. 9.答案：(1) {22}xx -∣(2) 914解析：(1)1,()61216x f x x x -⎧⇔⎨---⎩或11,21216x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++⎩或1,22116,x x x ⎧⎪⎨⎪-++⎩ 解得21x --或112x -<<或122x ， 所以22x -，即不等式()6f x 的解集为{22}xx -∣. (2)()()|1||21||1||1||21|2g x f x x x x x x x =++=-++++=-++∣2||21223x x ---=∣，当且仅当(21)(22)0x x -+时取等号，所以min () 3.g x m == 故233a b c ++=.由柯西不等式()()2222222123(23)9a b c a b c ++++++=，整理得222914a b c++， 当且仅当123a b c ==，即369,,141414a b c ===时等号成立. 所以222a b c ++的最小值为914. 10.答案：(1) 2{|3x x ≤或2}x ≥(2)见解析解析：(1)由题意，22a b ==时，()2|f x x ≥｜即|22|||x x -≥， 则22|22|||x x -≥，即2384|0x x -+≥ ，解得23x ≤ 或2x ≥ ，故不等式解集为2{|3x x ≤ 或2}x ≥ ；(2)证明：()2|2+=||+||,(0)f x ax bx a x b x a b a-->>＝｜｜｜， 当0x < 时，()2-()22f x ax bx a b x -=-++>=， 当20x a ≤≤时，()2-()2f x ax bx b a x +=-+=，由于0b a -< ，故()22()(0)2b f f x f a a=≤≤=，当2x a > 时，()22-2()2()b f x ax bx a b x f a a +=+->==，综合以上，()2b f x a≥.。
2017-2019年高考真题“不等式”全集(含详细解析)
2017-2019年高考真题“不等式”全集（含详细解析）一．选择题（共14小题）1．（2019•天津）设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩…………则目标函数4z x y =-+的最大值为( ) A ．2B ．3C ．5D ．62．（2019•浙江）若实数x ，y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩………则32z x y =+的最大值是( )A ．1-B ．1C ．10D ．123．（2019•北京）若x ，y 满足||1x y -…，且1y -…，则3x y +的最大值为( ) A ．7-B ．1C ．5D ．74．（2018•天津）设变量x ，y 满足约束条件52410x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩…………，则目标函数35z x y =+的最大值为( ) A ．6B ．19C ．21D ．455．（2018•北京）设集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}x ay -…，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈ B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉ C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a …时，(2,1)A ∉ 6．（2017•天津）设变量x ，y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………，则目标函数z x y =+的最大值为( ) A ．23B ．1C ．32D ．37．（2017•山东）已知x ，y 满足约束条件3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．68．（2017•山东）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是( ) A ．21log ())2a ba ab b +<<+ B ．21log ()2ab a b a b<+<+C ．21log ()2a b a a b b +<+< D ．21log ())2aba b a b +<+< 9．（2017•山东）已知x ，y 满足约束条件250302x y x y -+⎧⎪+⎨⎪⎩………则2z x y =+的最大值是( )A ．3-B ．1-C ．1D ．310．（2017•浙江）若x 、y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则2z x y =+的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞11．（2017•北京）若x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y +的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．912．（2017•新课标Ⅱ）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最小值是() A ．15-B ．9-C ．1D ．913．（2017•新课标Ⅲ）设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩………则z x y =-的取值范围是( )A ．[3-，0]B ．[3-，2]C ．[0，2]D ．[0，3]14．（2017•新课标Ⅰ）设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩………，则z x y =+的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题（共23小题） 15．（2020•上海）不等式13x>的解集为 ． 16．（2019•全国）若12log (41)2x ->-，则x 的取值范围是 ．17．（2019•上海）已知x ，y 满足002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………，则23z x y =-的最小值为 ． 18．（2019•上海）若x ，y R +∈，且123y x +=，则yx的最大值为 ． 19．（2019•天津）设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 ． 20．（2019•天津）设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为 ．21．（2019•天津）设0x >，0y >，25x y +=的最小值为 ．22．（2019•新课标Ⅱ）若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………则3z x y =-的最大值是 ．23．（2019•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．24．（2019•北京）若x ，y 满足2,1,4310,x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩………则y x -的最小值为 ，最大值为 ．25．（2018•上海）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，的最大值为 ． 26．（2018•浙江）若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩………，则3z x y =+的最小值是 ，最大值是 ．27．（2018•新课标Ⅲ）若变量x ，y 满足约束条件23024020x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩………，则13z x y =+的最大值是 ．28．（2018•北京）若x ，y 满足12x y x +剟，则2y x -的最小值是 ．29．（2018•新课标Ⅱ）若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩………，则z x y =+的最大值为 ．30．（2018•新课标Ⅰ）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩………，则32z x y =+的最大值为 ． 31．（2017•上海）不等式11x x->的解集为 ． 32．（2017•天津）若a ，b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．33．（2017•新课标Ⅰ）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则32z x y =-的最小值为 ．34．（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ． 35．（2017•山东）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则2a b +的最小值为 ． 36．（2017•北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ()i 男学生人数多于女学生人数； ()ii 女学生人数多于教师人数； ()iii 教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 ． ②该小组人数的最小值为 ．37．（2017•新课标Ⅲ）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为 ．三．解答题（共3小题）38．（2018•江苏）若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值． 39．（2017•天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．()I 用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； ()II 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？40．（2017•江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +…．2017-2019年高考真题“不等式”全集（含详细解析）参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2019•天津）设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩…………则目标函数4z x y =-+的最大值为( ) A ．2B ．3C ．5D ．6【解答】解：由约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩…………作出可行域如图：联立120x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得(1,1)A -，化目标函数4z x y =-+为4y x z =+，由图可知，当直线4y x z =+过A 时，z 有最大值为5． 故选：C ．2．（2019•浙江）若实数x ，y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩………则32z x y =+的最大值是( )A ．1-B ．1C ．10D ．12【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩………作出可行域如图，联立340340x yx y-+=⎧⎨--=⎩，解得(2,2)A，化目标函数32z x y=+为3122y x z=-+，由图可知，当直线3122y x z=-+过(2,2)A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值：10．故选：C．3．（2019•北京）若x，y满足||1x y-…，且1y-…，则3x y+的最大值为() A．7-B．1C．5D．7【解答】解：由||11x yy-⎧⎨-⎩……作出可行域如图，联立110yx y=-⎧⎨+-=⎩，解得(2,1)A-，令3z x y=+，化为3y x z=-+，由图可知，当直线3y x z=-+过点A时，z有最大值为3215⨯-=．故选：C．4．（2018•天津）设变量x ，y 满足约束条件52410x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩…………，则目标函数35z x y =+的最大值为( ) A ．6B ．19C ．21D ．45【解答】解：由变量x ，y 满足约束条件52410x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩…………，得如图所示的可行域，由51x y x y +=⎧⎨-+=⎩解得(2,3)A ．当目标函数35z x y =+经过A 时，直线的截距最大， z 取得最大值．将其代入得z 的值为21， 故选：C ．5．（2018•北京）设集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}x ay -…，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈ B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉ C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a …时，(2,1)A ∉ 【解答】解：当1a =-时，集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}{(,)|1x ay x y x y -=-剠，4x y -+>，2}x y +…，显然(2,1)不满足，4x y -+>，2x y +…，所以A 不正确；当4a =，集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}{(,)|1x ay x y x y -=-剠，44x y +>，42}x y -…，显然(2,1)在可行域内，满足不等式，所以B 不正确；当1a =，集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}{(,)|1x ay x y x y -=-剠，4x y +>，2}x y -…，显然(2,1)A ∉，所以当且仅当0a <错误，所以C 不正确；故选：D ．6．（2017•天津）设变量x ，y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………，则目标函数z x y =+的最大值为( ) A ．23B ．1C ．32D ．3【解答】解：变量x ，y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………的可行域如图：目标函数z x y =+结果可行域的A 点时，目标函数取得最大值， 由30y x =⎧⎨=⎩可得(0,3)A ，目标函数z x y =+的最大值为：3．故选：D ．7．（2017•山东）已知x ，y 满足约束条件3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．6【解答】解：画出约束条件3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………表示的平面区域，如图所示；由30350x x y +=⎧⎨++=⎩解得(3,4)A -，此时直线1122y x z =-+在y 轴上的截距最大，所以目标函数2z x y =+的最大值为 3245max z =-+⨯=．故选：C ．8．（2017•山东）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是( ) A ．21log ())2ab a a b b +<<+ B ．21log ()2a b a b a b<+<+C ．21log ()2a b a a b b +<+< D ．21log ())2aba b a b +<+< 【解答】解：0a b >>，且1ab =，∴可取2a =，12b =． 则14a b +=，2112228a b ==，22215log ()(2)(1,2)22a b log log +=+=∈，∴21log ()2a b a b a b<+<+． 故选：B ．9．（2017•山东）已知x，y满足约束条件250302x yxy-+⎧⎪+⎨⎪⎩………则2z x y=+的最大值是()A．3-B．1-C．1D．3【解答】解：x，y满足约束条件250302x yxy-+⎧⎪+⎨⎪⎩………的可行域如图：目标函数2z x y=+经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由：2250yx y=⎧⎨-+=⎩解得(1,2)A-，目标函数的最大值为：1223-+⨯=．故选：D．10．（2017•浙江）若x、y满足约束条件3020xx yx y⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则2z x y=+的取值范围是()A．[0，6]B．[0，4]C．[6，)+∞D．[4，)+∞【解答】解：x、y满足约束条件3020xx yx y⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，表示的可行域如图：目标函数2z x y=+经过C点时，函数取得最小值，由3020x yx y+-=⎧⎨-=⎩解得(2,1)C，目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，)+∞．故选：D．11．（2017•北京）若x，y满足32xx yy x⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y+的最大值为()A．1B．3C．5D．9【解答】解：x，y满足32xx yy x⎧⎪+⎨⎪⎩………的可行域如图：由可行域可知目标函数2z x y=+经过可行域的A时，取得最大值，由3xx y=⎧⎨=⎩，可得(3,3)A，目标函数的最大值为：3239+⨯=．故选：D．12．（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………，则2z x y=+的最小值是()A ．15-B ．9-C ．1D ．9【解答】解：x 、y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………的可行域如图：2z x y =+ 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值， 由32330y x y =-⎧⎨-+=⎩解得(6,3)A --，则2z x y =+ 的最小值是：15-． 故选：A ．13．（2017•新课标Ⅲ）设x ，y 满足约束条件3260x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩………则z x y =-的取值范围是( )A ．[3-，0]B ．[3-，2]C ．[0，2]D ．[0，3]【解答】解：x ，y 满足约束条件32600x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩………的可行域如图： 目标函数z x y =-，经过可行域的A ，B 时，目标函数取得最值， 由03260x x y =⎧⎨+-=⎩解得(0,3)A ，由03260y x y =⎧⎨+-=⎩解得(2,0)B ，目标函数的最大值为：2，最小值为：3-， 目标函数的取值范围：[3-，2]． 故选：B ．14．（2017•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件331x yx yy+⎧⎪-⎨⎪⎩………，则z x y=+的最大值为()A．0B．1C．2D．3【解答】解：x，y满足约束条件331x yx yy+⎧⎪-⎨⎪⎩………的可行域如图：，则z x y=+经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由33yx y=⎧⎨+=⎩解得(3,0)A，所以z x y=+的最大值为：3．故选：D．二．填空题（共23小题）15．（2020•上海）不等式13x>的解集为1(0,)3．【解答】解：由13x>得13xx->，则(13)0x x->，即(31)0x x-<，解得13x<<，所以不等式的解集是1(0,)3，故答案为：1(0,)3．16．（2019•全国）若12log (41)2x ->-，则x 的取值范围是 15(,)44 ．【解答】解：1122log (41)2log 4x ->-=，∴410414x x ->⎧⎨-<⎩，∴1544x <<，x ∴的取值范围为15(,)44．故答案为：15(,)44．17．（2019•上海）已知x ，y 满足002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………，则23z x y =-的最小值为 6- ． 【解答】解：作出不等式组002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………表示的平面区域， 由23z x y =-即23x zy -=，表示直线在y 轴上的截距的相反数的13倍，平移直线230x y -=，当经过点(0,2)时，23z x y =-取得最小值6-， 故答案为：6-．18．（2019•上海）若x ，y R +∈，且123y x +=，则yx的最大值为 98 ．【解答】解：132y x =+…∴298y x =…；故答案为：9819．（2019•天津）设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 2(1,)3- ．【解答】解：2320x x +-<，将232x x +-分解因式即有： (1)(32)0x x +-<；2(1)()03x x +-<；由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边” 可得：213x -<<； 即：2{|1}3x x -<<；或2(1,)3-；故答案为：2(1,)3-；20．（2019•天津）设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy ++的最小值为 92．【解答】解：0x >，0y >，24x y +=， 则(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+； 0x >，0y >，24x y +=，由基本不等式有：42x y =+…， 02xy ∴<…， 552xy …， 故：5592222xy ++=…； （当且仅当22x y ==时，即：2x =，1y =时，等号成立）， 故(1)(21)x y xy ++的最小值为92；故答案为：92．21．（2019•天津）设0x >，0y >，25x y +=的最小值为【解答】解：0x >，0y >，25x y +=，===；由基本不等式有：64xyxy=当且仅当时，即：3xy=，25x y+=时，即：31xy=⎧⎨=⎩或232xy=⎧⎪⎨=⎪⎩时；等号成立，的最小值为故答案为：22．（2019•新课标Ⅱ）若变量x，y满足约束条件2360,30,20,x yx yy+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………则3z x y=-的最大值是9．【解答】解：由约束条件2360,30,20,x yx yy+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………作出可行域如图：化目标函数3z x y=-为3y x z=-，由图可知，当直线3y x z=-过(3,0)A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9．故答案为：9．23．（2019•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 130 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．【解答】解：①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得6080140+=（元)， 即有顾客需要支付14010130-=（元)； ②在促销活动中，设订单总金额为m 元， 可得()80%70%m x m -⨯⨯…， 即有8mx …恒成立， 由题意可得120m …， 可得120158x =…， 则x 的最大值为15元． 故答案为：130，1524．（2019•北京）若x ，y 满足2,1,4310,x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩………则y x -的最小值为 3- ，最大值为 ．【解答】解：由约束条件2,1,4310,x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩………作出可行域如图，(2,1)A -，(2,3)B ，令z y x =-，作出直线y x =，由图可知，平移直线y x =，当直线z y x =-过A 时，z 有最小值为3-，过B 时，z 有最大值1． 故答案为：3-，1．25．（2018•上海）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 1(OA x =，1)y ，2(OB x =，2)y ，由22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=， 可得A ，B 两点在圆221x y +=上， 且111cos 2OA OB AOB =⨯⨯∠=， 即有60AOB ∠=︒，即三角形OAB 为等边三角形，1AB=，的几何意义为点A ，B 两点 到直线10x y +-=的距离1d 与2d 之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线1x y +=平行， 可设:0AB x y t ++=，(0)t >， 由圆心O到直线AB 的距离d =，可得1，解得t1=，+26．（2018•浙江）若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩………，则3z x y =+的最小值是 2- ，最大值是 ．【解答】解：作出x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩………表示的平面区域，如图：其中(4,2)B -，(2,2)A ． 设(,)3z F x y x y ==+，将直线:3l z x y =+进行平移，观察直线在y 轴上的截距变化， 可得当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值．()4,22z F ∴=-=-最小值．可得当l 经过点A 时，目标函数z 达到最最大值：()2,28z F ==最大值． 故答案为：2-；8．27．（2018•新课标Ⅲ）若变量x ，y 满足约束条件23024020x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩………，则13z x y =+的最大值是 3 ．【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件23024020x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩………表示的平面区域如图：由2240x x y =⎧⎨-+=⎩解得(2,3)A ．13z x y =+变形为33y x z =-+，作出目标函数对应的直线，当直线过(2,3)A 时，直线的纵截距最小，z 最大， 最大值为12333+⨯=，故答案为：3．28．（2018•北京）若x ，y 满足12x y x +剟，则2y x -的最小值是 3 ． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设2z y x =-，则1122y x z =+， 平移1122y x z =+， 由图象知当直线1122y x z =+经过点A 时， 直线的截距最小，此时z 最小， 由12x y y x +=⎧⎨=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，即(1,2)A ，此时2213z =⨯-=， 故答案为：329．（2018•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件25023050x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩………，则z x y=+的最大值为9．【解答】解：由x，y满足约束条件25023050x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩………作出可行域如图，化目标函数z x y=+为y x z=-+，由图可知，当直线y x z=-+过A时，z取得最大值，由5230xx y=⎧⎨-+=⎩，解得(5,4)A，目标函数有最大值，为9z=．故答案为：9．30．（2018•新课标Ⅰ）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩………，则32z x y =+的最大值为 6 ． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由32z x y =+得3122y x z =-+，平移直线3122y x z =-+，由图象知当直线3122y x z =-+经过点(2,0)A 时，直线的截距最大，此时z 最大，最大值为326z =⨯=， 故答案为：631．（2017•上海）不等式11x x->的解集为 (,0)-∞ ． 【解答】解：由11x x->得： 111100x x x->⇒<⇒<， 故不等式的解集为：(,0)-∞， 故答案为：(,0)-∞．32．（2017•天津）若a ，b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 4 ．【解答】解：【解法一】a ，b R ∈，0ab >，∴4441a b ab ++2241a b ab +=144ab ab ab ab=+=…，当且仅当44414a b ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2222214a b a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即a =，b 或a =，b =时取“=”； ∴上式的最小值为4．【解法二】a ，b R ∈，0ab >，∴44334141142222a b a b ab b a ab ab a ab ab++=+++=…， 当且仅当44414ab ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2222214a b ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即a =，b 或a =，b =时取“=”； ∴上式的最小值为4．故答案为：4．33．（2017•新课标Ⅰ）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则32z x y =-的最小值为 5- ． 【解答】解：由x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ， 联立2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得(1,1)A -．32z x y ∴=-的最小值为31215-⨯-⨯=-．故答案为：5-．34．（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 30 ．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和6000644240x x =⨯+⨯=…（万元）．当且仅当30x =时取等号． 故答案为：30． 35．（2017•山东）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则2a b +的最小值为 8 ． 【解答】解：直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则121a b +=，由12442(2)()2244448a b a b a b a b a b b a b a +=+⨯+=+++=++++=…，当且仅当4a bb a=，即12a =，1b =时，取等号，2a b ∴+的最小值为8，故答案为：8．36．（2017•北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ()i 男学生人数多于女学生人数；()ii 女学生人数多于教师人数； ()iii 教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 6 ． ②该小组人数的最小值为 ．【解答】解：①设男学生女学生分别为x ，y 人， 若教师人数为4，则424x y y x >⎧⎪>⎨⎪⨯>⎩，即48y x <<<， 即x 的最大值为7，y 的最大值为6， 即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ， 则2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩，即2z y x z <<< 即z 最小为3才能满足条件， 此时x 最小为5，y 最小为4， 即该小组人数的最小值为12， 故答案为：6，1237．（2017•新课标Ⅲ）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为 1- ． 【解答】解：由34z x y =-，得344zy x =-，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线344z y x =-，由平移可知当直线344zy x =-， 经过点(1,1)B 时，直线344zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值， 将B 的坐标代入34341z x y =-=-=-， 即目标函数34z x y =-的最小值为1-． 故答案为：1-．三．解答题（共3小题）38．（2018•江苏）若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．【解答】解：由柯西不等式得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++…， 226x y z ++=，2224x y z ∴++… 是当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时23x =，43y =，43z =，222x y z ∴++的最小值为439．（2017•天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．()I 用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； ()II 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【解答】（Ⅰ）解：由已知，x ，y 满足的数学关系式为70606005530200x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩……………，即766062000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪-⎨⎪⎪⎪⎩……………．该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：（Ⅱ）解：设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+． 考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线．25z 为直线在y 轴上的截距，当25z取得最大值时，z 的值最大． 又x ，y 满足约束条件，∴由图可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，截距25z最大，即z 最大． 解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，得点M 的坐标为(6,3)．∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．40．（2017•江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +…． 【解答】证明：224a b +=，2216c d +=， 令2cos a α=，2sin b α=，4cos c β=，4sin d β=．8(cos cos sin sin )8cos()8ac bd αβαβαβ∴+=+=-…．当且仅当cos()1αβ-=时取等号．因此8ac bd +…．另解：由柯西不等式可得：22222()()()41664ac bd a b c d +++=⨯=…，当且仅当a bc d=时取等号．88ac bd ∴-+剟．。
高考数学压轴专题新备战高考《不等式》真题汇编附答案解析
新数学《不等式》专题解析(1)一、选择题1．已知实数x ，y 满足20x y >>，且11122x y x y+=-+，则x y +的最小值为（ ）. A．35+ B．45+ C．25+ D．35+ 【答案】B【解析】【分析】 令22x y m x y n-=⎧⎨+=⎩，用,m n 表示出x y +，根据题意知111m n +=，利用1的代换后根据基本不等式即可得x y +的最小值.【详解】20,20,20x y x y x y >>∴->+>Q ，令22x y m x y n -=⎧⎨+=⎩，解得2525m n x n my +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，则0,0m n >>，111m n +=， 223111555m n n m n m x y m n +-+⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13113(455n m m n ⎛⎫=⨯+++≥⨯+ ⎪⎝⎭=当且仅当3n m m n =，即m =，即22)x y x y -=+即931515x y +==时取等号. 故选：B .【点睛】本题主要考查的是利用基本不等式求最值的问题，换元后根据1的代换是解题的关键，考查学生的计算能力，是中档题.2．变量,x y 满足约束条件1{2314y x y x y ≥--≥+≤，若使z ax y =+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的取值集合是（ ）A ．{3,0}-B ．{3,1}-C ．{0,1}D ．{3,0,1}-【答案】B【解析】 若0a =，结合图形可知不合题设，故排除答案A ，C ，D ，应选答案B ．3．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ）A ．(,1)(3,)-∞-+∞UB ．(1,3)-C ．(1,3)D ．(,1)(3,)-∞+∞U 【答案】A【解析】【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1b a=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集.【详解】由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1b a=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ，故选：A.【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.4．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ）A ．ln ln a b b a ->-B ．|||b a <C ．ln ln a b b a -<-D ．|||b a ->【答案】C【解析】【分析】利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案.【详解】由题意，因为0a b >>，取,1a e b ==，则ln 0,ln a b b a e -=-=，1b a e ==-，可排除A 、D 项；取11,49 a b==，则71,1812a b b a-=-=，可排除B项；因为满足0a b>>条件的排除法，可得A、B、D是错误的.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5．已知点()4,3A，点B为不等式组260yx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB的最小值为（）A．5B．455C．5D．25【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A的位置，利用图形可观察出使得AB最小时点B的位置，利用两点间的距离公式可求得AB的最小值.【详解】作出不等式组260yx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立260x yx y-=⎧⎨+-=⎩，解得22xy=⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB=故选：C ． 【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．6．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( ) A ．()0,2B ．()1,9C ．()1,4D ．()1,2 【答案】D【解析】【分析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分.【详解】解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<； ()1,2P Q ∴⋂=.故选：D.【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.7．已知变量,x y 满足2402400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则24x y --的最小值为（ ）A ．5B ．8C ．15D ．163【答案】D【解析】【分析】 222424512x y x y ----=⨯+，而222412x y --+表示点(,)x y 到直线240x y --=的距离，作出可行域，数形结合即可得到答案.【详解】 因为222424512x y x y ----=⨯+，所以24x y --可看作为可行域内的动点到直线240x y --=的距离的5倍，如图所示，点44(,)33A 到直线240x y --=的距离d 最小，此时224424333512d -⨯-==+ 所以24x y --1653d =. 故选：D.【点睛】 本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.8．若,x y 满足4,20,24,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则4y x -的最大值为（ ） A ．72- B ．52- C ．32- D ．1-【答案】D【解析】【分析】画出平面区域，结合目标函数的几何意义，求解即可.【详解】该不等式组表示的平面区域，如下图所示4y x -表示该平面区域中的点(),x y 与(0,4)A 确定直线的斜率 由斜率的性质得出，当区域内的点为线段AB 上任意一点时，取得最大值.不妨取84(,)33B 时，4y x -取最大值443183-=- 故选：D【点睛】本题主要考查了求分式型目标函数的最值，属于中档题.9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞- 【答案】A【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元 【答案】B【解析】设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件： 2348069600,0,x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈∈⎩， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值.绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．11．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n +的最小值为（ ） A ．92B ．9C ．6D ．3 【答案】D【解析】【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】 把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=， 又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=. Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225*********n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立. 12m n∴+的最小值为3. 故选：D .【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.12．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.【详解】2222x y x y ++≥Q且224x y +≤ ，224222x y x y x y ++∴≤⇒≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又2x y xy +≥Q ，0,0x y >>221xy xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.13．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m -+=有实数根的概率为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】A【解析】【分析】根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果.【详解】若方程20x nx m -+=有实数根，则40n m ∆=-≥.如图，400101n m m n -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，即111124118 SPS⨯⨯===⨯阴影正方形.故选：A.【点睛】本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.14．已知M、N是不等式组1,1,10,6xyx yx y≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN的最大值是（）A．17B．34C．32D．172【答案】A【解析】【分析】先作可行域，再根据图象确定MN的最大值取法，并求结果.【详解】作可行域，为图中四边形ABCD及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN的最大值为BD=21417+=,选A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1- 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集.【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.16．若实数x ，y 满足不等式组11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最小值是( )A ．3B ．32C ．0D ．3- 【答案】D【解析】【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数2z x y =+可得2y x z =-+，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最小值．【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC ∆，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距把直线:2l y x =-向上平移到A 时，z 最小，此时由1y x y =⎧⎨=-⎩可得(1,1)A -- 此时3z =-，故选：D ．【点睛】本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z 的意义是关键，属于中档题．17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ 【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭， 解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C相切于点，(，(，， 则①和③都错误；由0xy <，得④正确.故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.18．已知正数x ，y 满足144x y +=，则x y +的最小值是（ ） A ．9B ．6C ．94D ．52 【答案】C【解析】【分析】先把x y +转化成114()4x y x y ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭，展开后利用均值不等式即可求解. 【详解】 Q 正数x ，y 满足144x y +=，1141419()1454444y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝…， 当且仅当4144y x x y x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即34x =，32y =时，取等号. 故选：C【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则，属于基础题.19．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为（ ） A ．32 B ．53 C ．74 D ．95【答案】D【解析】【分析】根据2m n +=，化简135112(1)(2)n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案；【详解】当2m n +=时， Q 131111212n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+ Q 21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当12m n +=+时，即3122m n ==，取等号， ∴139125n m n ++≥++. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c的最大值为（ ）A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41- 【答案】D【解析】【分析】根据已知有333b c a b c a ++++=，可得13131c a b +=+-，只需求出3a b +的最小值，根据333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.【详解】依题意知，a 与b 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以333a b a b +=+=≥故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）.又+a b 与c 为函数()3x f x =的“线性对称点，所以333b c a b c a ++++=， 所以3143131313a b ca b a b +++==+≤--， 从而c 的最大值为3log 41-.故选:D.【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.。
2024年全国高考数学真题分类( 不等式与不等关系)汇编(附答案)
2024年全国高考数学真题分类（不等式与不等关系）汇编一、单选题1．（2024ꞏ全国1卷）已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <2．（2024ꞏ全国1卷）已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（ ） A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞3．（2024ꞏ全国2卷）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p ⌝和q 都是真命题 C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题4．（2024ꞏ全国2卷）设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．15．（2024ꞏ全国甲卷文）若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ） A ．5B ．12C ．2-D ．72-6．（2024ꞏ北京）已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（ ） A ．{}43x x -<< B ．{}11x x -<≤ C ．{}0,1,2D ．{}14x x -<<7．（2024ꞏ北京）记水的质量为1ln S d n-=，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且1 2.1d =，2 2.2d =，则1n 与2n 的关系为（ ） A ．12n n <B ．12n n >C ．若1S <，则12n n <；若1S >，则12n n >；D ．若1S <，则12n n >；若1S >，则12n n <；8．（2024ꞏ北京）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）A ．12122log 22y y x x ++> B ．12122log 22y y x x ++< C ．12212log 2y y x x +>+ D ．12212log 2y y x x +<+ 9．（2024ꞏ天津）若0.30.34.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>二、填空题10．（2024ꞏ上海）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ．三、解答题11．（2024ꞏ全国甲卷文）已知函数()()1ln 1f x a x x =--+． (1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．12．（2024ꞏ全国甲卷理）已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-． (1)当2a =-时，求()f x 的极值；(2)当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．参考答案1．B【详细分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【答案解析】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==， 又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+> (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确. 故选：B.【名师点评】关键点名师点评：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 2．B【详细分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【答案解析】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤， 即a 的范围是[1,0]-. 故选：B. 3．B【详细分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【答案解析】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题， 对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题. 故选：B. 4．C【详细分析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+，分类讨论a -与,1b b --的大小关系，结合符号详细分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质详细分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值. 【答案解析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+， 令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-； 若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<， 此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<， 此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >； 当[)1,x b ∞∈-+时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥； 可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b ++， 此时()0f x <，不合题意； 综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+， 令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∞∈-+时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=， 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12. 故选：C.【名师点评】关键点名师点评：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性详细分析判断. 5．D【详细分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【答案解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-， 即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-， 则该直线截距取最大值时，z 有最小值， 此时直线1155y x z =-过点A ， 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭， 则min 375122z =-⨯=-. 故选：D. 6．A【详细分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【答案解析】由题意得()4,3M N ⋃=-，故选：A. 7．C【详细分析】根据题意详细分析可得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩，讨论S 与1的大小关系，结合指数函数单调性详细分析判断.【答案解析】由题意可得11221 2.1ln 1 2.2ln S d n S d n -⎧==⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩，解得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩， 若1S >，则112.1 2.2S S -->，可得112.1 2.2e e S S -->，即12n n >； 若1S =，则1102.1 2.2S S --==，可得121n n ==； 若1S <，则112.1 2.2S S --<，可得112.1 2.2e e S S --<，即12n n <； 结合选项可知C 正确，ABD 错误； 故选：C. 8．A【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可.【答案解析】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB：可得121222222x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故C 错误； 对于选项D ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故D 错误， 故选：A.9．B【详细分析】利用指数函数和对数函数的单调性详细分析判断即可. 【答案解析】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<， 所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<， 因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<， 所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <， 所以b a c >>， 故选：B10．{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案解析】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.11．(1)见答案解析 (2)见答案解析【详细分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.【答案解析】（1）()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'-=-= 当0a ≤时，1()0ax f x x-'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.（2）2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++，令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可. 11()e 2x g x x -'=-+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x-'=-， 显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=-=， 即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=-+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增， 故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证12．(1)极小值为0，无极大值. (2)12a ≤-【详细分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a ≤-、102a -<<、0a ≥分类讨论后可得参数的取值范围.【答案解析】（1）当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x+'=++-=+-+++， 因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数， 故()f x '在()1,∞-+上为增函数，而(0)0f '=， 故当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， 故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值.（2）()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x +-=-+'+-=-+->++， 设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a a ax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+， 当12a ≤-时，()0s x '>，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00f x f ≥=.当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x '<， 故()s x 在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <，即在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()00f x f <=，不合题意，舍.当0a ≥，此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立，同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍； 综上，12a ≤-.【名师点评】思路名师点评：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.。
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【2010 课标卷】设函数f(x)= 2x 4 1
（Ⅰ) 画出函数y=f(x) 的图像；
（Ⅱ）若不等式f(x) ≤ax 的解集非空，求 a 的取值范围.
【答案】
【2011 课标卷】设函数 f ( x) x a 3x , 其中a 0。
（Ⅰ）当a 1时，求不等式 f (x) 3x 2 的解集
（Ⅱ）若不等式 f (x) 0的解集为x| x 1 ，求 a 的值。
解：（Ⅰ）当a 1时，f (x) 3x 2可化为| x 1| 2。
由此可得x 3或x 1。
故不等式 f (x) 3x 2的解集为{ x | x 3或x 1} 。
( Ⅱ) 由f (x) 0得：x a 3x 0
x a x a
此不等式化为不等式组x a
x a 3x 0
或
x a
a x 3x 0
即
a
x 或
4
a
a
2
a
因为
a 0，所以不等式组的解集为|
x x 由题设可得
2 a
2
= 1，故a 2
1
【2012 课标卷】已知函数 f (x) x a x 2
（1）当a 3时，求不等式 f ( x) 3的解集；
（2）若 f (x) x 4 的解集包含[1,2] ，求a 的取值范围。
【解析】（1）当a 3时， f ( x) 3 x 3 x 2 3
x 2
3 x 2 x 3 或
2 x 3
或
3 x x 2 3
x 3
x 3 x 2 3
x 1或x 4
（2）原命题f (x) x 4 在[1,2] 上恒成立x a 2 x 4 x在[1,2] 上恒成立
2 x a 2 x在[1,2] 上恒成立
3 a 0
【2013 课标Ⅰ卷】已知函数 f (x) =|2x 1| | 2x a |, g(x) = x 3 .
（Ⅰ）当 a =2 时，求不等式 f (x) ＜g( x) 的解集；
（Ⅱ）设 a ＞-1, 且当x ∈[ a
2
，
1
2
) 时， f (x) ≤g(x) , 求a 的取值范围.
【解析】当 a =-2 时，不等式 f (x) ＜g (x) 化为|2x 1| | 2x 2 | x 3 0 ，
5x, x 1 2
设函数y =|2x 1| |2x 2 | x 3 ，y =
1
x 2, x 1
2
，3x 6, x 1
其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x (0,2) 时，y ＜0 ∴原不等式解集是{ x | 0 x 2} .
a （Ⅱ）当x ∈[
，
2 ∴x a 2对x∈[ 1
2
) 时， f (x) =1 a ，不等式 f (x) ≤g( x) 化为1 a x 3，
4
a 1 a
) 都成立，故，
a 2，即a ≤
，
2 2 2 3
∴a 的取值范围为（-1 ，4
3
].
【2013 课标Ⅱ卷】设a、b、c均为正数，且 a b c 1，证明：
2
（Ⅰ）
1
ab bc ac ；（Ⅱ）
3
2 2 2
a b c
b c a
1
【2014 课标Ⅰ卷】若 a 0,b 0 ，且1 1
a b
ab .
( Ⅰ) 求 3 3
a b 的最小值；（Ⅱ）是否存在a,b ，使得2a 3b 6？并说明理由.
【解析】：( Ⅰ) 由ab 1 1 2
a b ab
，得ab 2 ，且当 a b 2 时等号成立，
故 3 3 3 3 3 4 2
3 3
a b a b ，且当a b 2 时等号成立，∴a b 的最小值为4 2 . （Ⅱ）由 6 2a 3b 2 6 ab ，得 3
ab ，又由(Ⅰ) 知ab 2 ，二者矛盾，
2
所以不存在a,b，使得2a 3b 6成立.
【2014 课标Ⅱ卷】设函数f x = x 1 x a (a 0)
a
（Ⅰ）证明： f x ≥2；（Ⅱ）若 f 3 5，求a 的取值范围.
3
【2015 课标Ⅰ卷】已知函数 f x x 1 2 x a ,a0 .
（I ）当a 1 时求不等式 f x 1 的解集；
（II ）若 f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求 a 的取值范围.
x 1 2a, x 1
（Ⅱ）由题设可得， f (x) 3x 1 2a, 1 x a
，
x 1 2a, x a
所以函数 f (x) 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为
2a 1
A( ,0) ，B(2a 1,0) ，3
C(a,a+1) ，所以△ABC的面积为2
3
2 (a 1) .
由题设得2
3
2
(a 1) ＞6，解得a 2. 所以a 的取值范围为（2，+∞）.
【2015 课标Ⅱ卷】设a,b, c, d均为正数，且 a b c d ，证明：（Ⅰ）若
ab cd，则 a b c d ；
（Ⅱ） a b c d 是a b c d 的充要条件．
【解析】（Ⅰ）因为 2
( a b) a b 2 ab ，
2
( c d ) c d 2 cd ，由题设
a b c d ，ab cd ，得 2 2
( a b) ( c d ) ．因此 a b c d ．
（Ⅱ）（ⅰ）若a b c d ，则 2 2
(a b) (c d) ．即
2 2
(a b) 4ab (c d) 4cd ．因
为
a b c d ，所以ab cd ，由（Ⅰ）得 a b c d ．
（ⅱ）若 a b c d ，则 2 2
( a b)( c d ) . 即
a b 2 ab c d 2 cd ．因为a b c d ，所以ab cd .
于是 2 2
(a b) (a b) 4ab
2
(c d) 4cd
2
(c d) ．因此a b c d .
综上， a b c d 是a b c d 的充要条件．
4。