超越史密斯圆图

图5.（a)变压器测试电路图。（b)方案#1对于 不同k值得S11。(c)方案#2对于不同k值的S11。
电感相等化
实现一个完整的变压器要求对电感进行精确的 调谐，获得恰当的绕线比例，品质因数，磁耦合 系数，高的自谐振频率（SRF），和电感大小。大 的电感和大的绕线比例N，导致额外的设计难度如 变压器品质因数和SRF的降低。为了简化设计，增 加变压器的精确度，常用有小的绕线比例的小的 电感。匹配圆图可以用来简单的检查设计的可行 性和变压器所需的平衡（或补偿）（L1=L2）。对 于L1=L2： 根据（6）和之前的例子，Re{ZL}/Re{ZS}=0.5。 在图6中，QXL1/QXL2=0.5用灰线在匹配圆图中标出。 为了使电感值相等，移动最初的点到灰线上。选 择A—增加QL到4.6左右，选择B—降低QS到1.2左 右。将QL从2增加到4.6（如图6 OptionA),不改变ZL 的实部，串联负载增加了额外的21fF的电容。此 时QXL1=1.55，QXL2=3.1，L1=L2=410pH。将QS降低 到1.2（如图6 OptionB),串联了480pH的电感。此时 QXL1=0.9，QXL2=1.8，L1=L2=240pH。
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变压器阻抗匹配
图1（a）一阶变压器模型，磁耦合系数-1<k<1。 (b)具有理想N:1变压器的等效电路。
图2 改良的变压器，包含阻抗节点标记。
在这项工作中开发的图形化工具，是基于一个非理想变压器(图1(a))的一级变压器近 似，由两个理想电感代替（这个假设的证明在后面）L1，L2通过共同的磁耦合系数K 进行耦合。一个等效的方案(图1(b))包括两个理想的漏电感（1-k2）L1, K2L1 ，和一个 理想的N：1变压器， 。 变压器作为两阶段之间的匹配网络，L1和L2的值由电源和负载之间产生共轭匹配决 定。 为了推导过程的方便，使用下列符号： （1） （2） 利用（1）和（2）得到如图2所示的等效电路，电感值变为αL和L。整体变压器的 特征值K的范围在0.7~0.8， α在1~0.5。Zs为电源阻抗，ZL为负载阻抗。ZL=RL-jQLRL, ZS=RS-jQSRS,，RL,RS>0。
超越史密斯圆图
姓名：高思梦 学号：3115390015
目
录
背景介绍 变压器阻抗匹配 匹配圆图的由来 图形工具 匹配例子 电感相等化 导纳匹配 用史密斯圆图检验匹配 实际变压器验证
背景介绍
与非集成射频电路的相比，变压器（由耦合电感构成）在以CMOS为 基础的射频集成电路中发挥关键作用，当涉及到阻抗匹配和CMOS射频 中的级联模块和毫米波集成电路块时，它成为优先的选择。 与较传统的L-C阻抗匹配（L-网络，Л-网络，等）使用Smith圆图 实现相反，不存在类似的方法用变压器进行精确的阻抗共轭匹配。常 用的匹配方法是添加额外的并联和串联电容与变压器的剩余电感谐振。 以我们现在的知识，在知道集总电感和电容或传输线的情况下，还不 能直接确定对于给定负载和电源阻抗的精确共轭匹配所需的变压器的 大小和绕阻的比例。 Eli Bloch和Eran Socher提出并论证一种用在变压器的共轭阻抗 匹配的通用的图形化工具（列线图）。该工具不仅提供了直接确定变 压器的参数的方法，也给设计者提供了参数的权衡和选择，如变压器 的大小，匹配带宽，以及各种绕阻比，从而轻松地完成设计，并选择 一个优化的方案。
图6.电感相等化的过程
电感相等化
电感相等时的回波损耗曲线图如图7所示 。都在60GHz匹配。选择B以额外的电感为代 价得到了更小的变压器，选择A增加了额外 的电容。可观察到由于较小的品质因数选择 B的匹配带宽更大。
图7.电感相等化的选择A 和B的回波损耗匹配
导纳匹配
图8.导纳匹配圆图：QL和QS的K=0.8时 ωL1Re{Ys}和ωL2Re{YL}的等高线。给 定电源阻抗ZS=RS-jQSRS，导纳实部为 Re{Ys}=1/ (RS(1+QS2))。
这个结果表示现在发现了两个线圈电感系数的标准值（QXL1和QXL2）。 具体计算细节在后面。
匹配圆图由来
理想N：1变压器中负载阻抗乘以 N2，保留它的品质因数，如（S1） 。转换为导纳为（S2）。 将 代入（S6），解出 ：
为满足阻抗匹配，应使Zi=1/Yi,用 表示Zi，Y2表示Y1：
（S7）表示 只与电源和负载的品质因数， 磁耦合系数K有关。电源和负载的阻抗与之 无关。由 可得到：
实际变压器验证
用一个变压器，在120GHz下对两个 65nm的CMOS微分缓冲器进行匹配。基于 前面匹配圆图提取的电感参数进行变压器 设计，已用安捷伦动力电磁仿真工具进行 了验证。 Zout1=ZS=10-55j与Zin2=ZL=20-140j匹配。这 是一个单端型阻抗（一个差分器的一半）， QS=5.5，QL=5.2,。通过匹配圆图（图3方 案#1),得到QXL1=3.3和QXL2=3的归一化电感 阻抗。提取电感值L1=43.7pH和L1=79.6pH, 耦合系数K=0.725。
除阻抗匹配功能外，一个变压器经常用 来提高直流偏压。在这种情况下，一个串联 的电容不能作为一个直流闭锁器来增加端口 的品质因数。一个并联的电抗原件也可用来 改变端口品质因数，但它不是轻而易举地符 合我们以阻抗为基础的匹配工具。为了把圆 图扩展到能处理并联元件，以导纳为基础的 表示法如下。对于给定的电源阻抗ZS=RSjQSRS,导纳实部为 。 因此 同时，类似的， 由等式（8）和（9）绘制等效的导纳 匹配圆图如图8所示。由图可知大比例的 ωL1Re{Ys}和ωL2Re{YL}不能实现。这意味 着外加的串联元件不能用来改变QS和QL， 从而改变匹配带宽和变压器大小。 不论作为阻抗还是导纳，负载和电源 的品质因数都不变。因此，阻抗的匹配圆图 和导纳的匹配圆图有同样的坐标轴，也是可 交换的，当同时增加串、并联元件时可用来 控制变压器的大小和匹配带宽。
假设电源阻抗ZS=100-300j,与之匹配的负载 阻抗ZL=50-100j，频率f=60GHz。由Zi=Ri-jQiRi, 可得到电源和负载的品质因数QS=3,QL=2。在图 4中找到QS=3,QL=2的交叉点，可提取出 QXL1=2.2和QXL2=1.2（方案#1）。计算得到 L1=580pH,L2=160pH。 同样的方法，用方案#2(见图4(a)),可得到 L1=3.5nH,L2=1.6nH,比方案#1大得多，在60GHz 的集成电路中不实用，所以选择方案#1。
下一步求L2，由（S2）得 （S4），同时 ，可得到： 代入
（S2)中的Y2带入（S3）中，使实部虚 部分别相等：
由S1得 将（S4）中的G2带入（S5）中，两边 同乘以RS2：
，代入（S9）得
，ωL1/Rs由（S8） 求出，R2/Rs由（S9）给出，可得到：
图形工具
（4），（5）式是构成匹配圆图的基 础。如图3所示 不直接取决于响应频率或 实际电源和负载的阻抗值。由于交叉品质 因数QXL1，QXL2是 ，QS,QL和K的函数， 它们有归一化值，当给定QL和QS的k值时可 以绘制出QXL1和QXL2的等高线（如图3）。 图3所示的匹配圆图是QXL1（QS,QL）和 QXL2（QS,QL）的等高线（当耦合系数k=0.8 时），适用于任何电容性的电源和负载阻 抗（QS>0,QL>0)。由于QXL1和QXL2与实际电 源和负载阻抗，操作频率无关，圆图对任 何匹配应用都适合。 由于 ， ，只要给出QS和QL，可以用图形找到所需 的QXL1和QXL2，然后由 和 可算出最终在响应频率形成的 变压器的L1和L2。
图3.匹配圆图：QL和QS的 k=0.8时 和 的等高线。（a)方案#2，（b)方案 #1.
匹配例子
由图3所示，使用匹配圆图的计算过程如下： 和QL; 对于给定的ZS和ZL，计算在响应频率的QS 在图上找到QS和QL的交叉点； 在交叉点提取QXL1和QXL2的值；
最后得到L1和L2和电源和负载的电阻RS和 RL：L1=QXL1RS/ω和 L2=QXL2RS/ω。
变压器已用安捷伦动力电磁仿真器仿真 出来（图10（b))。验证所设计的变压器磁 耦合系数K=0.725，与匹配圆图的K=0.8有 轻微误差。回波损耗见图10（c)。
在123GHz，回波损耗为-17dB，与目标 频率有2.5%的误差，大部分原因是与设定 的耦合系数有误差。
图10.用实际变压器实现放大器的级间匹配。(a)模块 电路图，(b)变压器布线和参数，(c)回波损耗。
变压器阻抗匹配
用变压器的目的是与阻抗共轭匹配，使得电源阻抗为ZS时，变压器阻 抗为ZS*。用ZS*来表示Zi，ZL来表示Yi，同时等式Zi=1/ Yi随着L的二次等式 变化，变为它的归一化值 （见后面）。 这个结果的意义是对每组电源和负载阻抗我们可以通过（3）解出并 找到由L定义的所需变压器参数。 然而，我们想提供一个图像工具，能够足够普遍的，与频率，电源、 负载阻值等参数无关的解决匹配问题。规定 和 为两个线圈的交叉（十字）品质因数。由（3）可计算出：
图4. ZS=100-300j, ZL=50-100j的匹配 过程。（a)方案#2.(b)方案#1.
匹配例子
这个结果已用CAD仿真软件证实。电压器用 耦合系数为K的理想耦合电感,ZL为负载阻抗，ZS 为电源阻抗的模型来模拟（如图5(a))。方案#1和 #2的回波损耗绘制成图5(b)和(c)。 K=0.8时，在60GHz能获得精确的匹配。然 而，在实际的变压器设计之前，很难预测到精确 的K值。轻微的改变k值，对两种方案的回波损耗 进行仿真。保持电感值不变，绘制K=0.7,0.8和0.9 时的曲线图如图5。可以看到，方案#1的谐振频 率漂移仅5%，方案#2的谐振频率漂移超过50 %。 所以选择方案#1。
用史密斯圆图检验匹配
选择Z0=RS，电源阻抗的归一化共轭值位于
（图9）。方法是：由虚部QS在电阻 圆上标注出 。对于电抗圆上任意一点 ， 和 的距离等于
（红色箭头路线）， 和恒定的 圆与QL 的交叉点的距离（绿色箭头路线），称为 由 得 （图9）。当