人教版数学九年级下册第28章282解直角三角形教案
人教版九年级下册28.2解直角三角形及其应用28.2解直角三角形教学设计
人教版九年级下册28.2解直角三角形及其应用1. 知识点概述在九年级数学中，直角三角形是一个重要的知识点。
直角三角形的三条边中，有一条是直角边，另外两条是斜边。
根据直角三角形的定义可以引出勾股定理，即直角三角形的直角边被平分时，两个形成的直角三角形的面积之和等于原来直角三角形的面积。
直角三角形的解法，主要包括正弦、余弦、正切定理，以及各种简化公式。
直角三角形的应用范围广泛，既可以运用到实际场景中，也可以用于其他数学知识点的证明。
2.教学目标通过本节课的学习，让学生理解和掌握：1.直角三角形的定义，以及勾股定理的表达式和证明过程；2.正弦、余弦、正切定理的概念及其应用场景；3.课程设计的实际应用，培养学生的实际运用能力。
3.教学重难点本课的教学重点主要为：1.掌握直角三角形的定义和勾股定理表达式、证明过程；2.熟练掌握正弦、余弦、正切定理，能够熟练运用到实际问题中。
本课的教学难点主要在于：1.证明勾股定理的过程需要运用到平方、倍数等知识点；2.能够将正弦、余弦、正切定理运用到实际问题中。
4.1 教学内容本课程主要内容涵盖：1.直角三角形的定义；2.勾股定理之证明；3.正弦、余弦、正切定理的概念及其应用场景。
4.2 教学方法本课程采取互动教学的方式，通过讲授、练习、游戏等多种形式的互动，提高学生的学习积极性和课堂互动性。
4.3 思考题以下是三个用勾股定理解决的问题，请尝试并思考解决方法：问题1：一个三角形的两条边长分别为3、4，且夹角为90度，求第三条边长。
问题2：一个房子和树之间有一个湖，某人想测出湖的宽度，他呢利用何种工具和方法，能够在不跨过湖和房子、树之间的情况下，测出湖面宽度。
问题3：一个手表的表盘半径为3.5cm，计时者与表对面相距30cm，则计时者所能看到的表盘面积是多少？4.4 作业布置根据上课内容，完成以下作业：1.认真学习和掌握本节课的知识点，并背诵正弦、余弦、正切定理；2.完成作业册中的相关题目。
初中数学人教版九年级下册优质教学设计28-2-1《解直角三角形》
初中数学人教版九年级下册优质教学设计28-2-1《解直角三角形》一. 教材分析人教版九年级下册第28-2-1节《解直角三角形》是初中学段数学学科的一节重要课程。
本节课主要让学生掌握直角三角形的性质，学会使用锐角三角函数来解直角三角形。
通过本节课的学习，学生能更好地理解和运用初中阶段所学到的数学知识，为后续学习高中数学和实际生活中的应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的代数和几何知识，对直角三角形的性质有一定的了解。
但是，对于如何运用锐角三角函数解直角三角形，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，针对不同程度的学生进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.让学生掌握直角三角形的性质，理解锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，锐角三角函数的定义和解直角三角形的方法。
2.教学难点：如何运用锐角三角函数解直角三角形，以及解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流来解决问题。
2.运用多媒体课件辅助教学，直观展示直角三角形的性质和锐角三角函数的应用。
3.采用案例分析法，让学生通过解决实际问题，提高运用数学知识解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备多媒体课件和教学素材。
2.准备直角三角形的相关题目，用于课堂练习和巩固。
3.准备小组讨论的模板，便于学生合作交流。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示直角三角形的图片，引导学生回顾直角三角形的性质。
然后提出问题：“如何用数学方法解决实际中的直角三角形问题？”2.呈现（10分钟）介绍锐角三角函数的概念，并通过课件展示锐角三角函数在解直角三角形中的应用。
引导学生理解锐角三角函数的定义和解直角三角形的方法。
3.操练（10分钟）让学生分成小组，根据课件给出的直角三角形题目，运用锐角三角函数进行解答。
人教版九年级数学下28.2解直角三角形教学设计
3.介绍解直角三角形的方法和步骤，如已知两边求解第三边、已知一边一角求解另一边等，并结合实际例题进行讲解。
（三）学生小组讨论（500字）
1.教师将学生分成小组，每组分配一个实际问题，如测量树的高度、建筑物的高度等。
2.小组内讨论如何运用解直角三角形的知识解决该问题，包括选择合适的测量方法、计算公式等。
3.针对本节课学习的勾股定理和三角函数，请同学们思考它们在其他学科领域的应用，例如物理、地理等。将你的思考成果以文字或图表形式展示在作业本上。
4.分组合作，共同完成一道综合性的应用题。题目如下：
某小区计划在一块空地上建造一个长方形游泳池，已知游泳池的长为30米，宽为20米，求游泳池对角线的长度。
要求：小组成员共同讨论解题思路，明确各自的职责，将解题过程和最终答案写在作业本上。
6.评价反馈，促进发展：
-采用多元化的评价方式，关注学生在学习过程中的表现，及时发现并解决问题。
-给予学生积极的评价和鼓励，激发学生的学习热情，促进学生的全面发展。
总字数：803字
四、教学内容与过程
（一）导入新课（500字）
1.教师通过展示一张包含直角三角形的图片，如金字塔、房屋屋顶等，引导学生观察并提问：“同学们，你们在生活中见到过这样的图形吗？它们有什么特点？”
4.关注差异，分层教学：
-针对学生的个体差异，设计不同难度的题目，使每个学生都能在课堂上得到锻炼和提高。
-对学习困难的学生给予个别辅导，帮助他们克服学习难点，增强自信心。
5.课堂总结，拓展延伸：
-在课堂结束时，引导学生对所学知识进行总结，形成知识结构。
-拓展延伸，引导学生思考解直角三角形在其他学科领域的应用，提高学生的知识迁移能力。
人教初中数学九年级下册《28-2 解直角三角形及其应用》(教学设计)
人教初中数学九年级下册《28-2 解直角三角形及其应用》（教学设计）一. 教材分析《28-2 解直角三角形及其应用》是人教初中数学九年级下册的一章内容。
这一章节主要介绍了解直角三角形的知识和方法，以及直角三角形在实际生活中的应用。
本章内容是学生在学习了三角函数和勾股定理的基础上进行的，是初中数学的重要内容之一。
二. 学情分析学生在学习本章内容时，已经具备了一定的数学基础，如算术、代数和几何知识。
但是，对于解直角三角形的实际应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际应用相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握解直角三角形的方法，能够运用勾股定理和三角函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、探究学习，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的方法和技巧。
2.难点：如何将解直角三角形的知识应用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解直角三角形的应用。
2.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论和实践，提高学生的团队协作能力。
3.探究学习法：引导学生主动探究解直角三角形的方法，培养学生的创新能力。
六. 教学准备1.教学素材：准备相关的生活实例和问题，以便进行情境教学。
2.教学工具：准备黑板、粉笔、多媒体设备等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如测量旗杆的高度，引出直角三角形和解直角三角形的重要性。
让学生思考如何解决这个问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解解直角三角形的基本方法，如使用勾股定理和三角函数。
通过示例，引导学生理解并掌握这些方法。
3.操练（10分钟）让学生进行一些解直角三角形的练习题，巩固所学知识。
教师可以给予学生一定的指导，帮助学生解决问题。
4.巩固（10分钟）通过一些实际问题，让学生运用解直角三角形的知识解决问题。
九年级数学下册28_2解直角三角形教案新版新人教版
例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精准到0.1m)?
分析：在 中， ， .因此能够利用解直角三角形的知识求出BD;类似地能够求出CD，进而求出B C.
解:如图, ， ,
答:这栋楼高约为277.1m.
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
注意：例1中的b和例2中的c都能够利用勾股定理或其它三角函数来计算，但计算出的值可能有些少不同，这都是正常的。
4．巩固练习
P91
说明：解直角三角形计算上比较繁锁，条件好的学校许诺用计算器．但不管是不是利用计算器，都必需写出解直角三角形的整个进程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，尽力避免犯错，培 养其良好的学习适应．
2．教师在学生试探后，继续引导“什么缘故两个已知元素中至少有一条边？”让全部学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生归纳什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素， 求出所有未知元素的进程，叫做解直角三角形)．
3．例题
例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边别离为a、b、c，且b= ，
√
√
9
a=c•cosB
b=c•sinB
√
√
10
不可求
不可求
不可求
√
√
注：上 表中“√”表示已知。
四、布置作业
课题 28.2 解直角三角形（二）
一、教学目标
一、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
二、慢慢培育学生分析问题、解 决问题的能力．
人教版九年级下册28.2解直角三角形(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与解直角三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和量角器测量并计算某个物体的高度。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解解直角三角形的基本概念。解直角三角形是利用锐角三角函数来求解直角三角形中未知边或角的过程。它在工程测量、建筑设计等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量一条斜边和其中一个锐角，如何求出直角三角形中的其他边长。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《解直角三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量高度或距离的情况？”（如测量旗杆高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索解直角三角形的奥秘。
举例：在解决一个直角三角形的问题时，学生需要能够准确判断哪些角是锐角，哪些边是斜边，以及如何运用正弦、余弦、正切函数来计算未知量。
2.教学难点
-理解锐角三角函数的定义及其在直角三角形中的应用，对于初中生来说，这些概念较为抽象，难以理解。
-在实际问题中，学生往往难以确定应用哪个三角函数来解决问题，需要培养他们的问题分析能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“解直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形(2)》教案
人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形（2）》教案一. 教材分析人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形（2）》这一节主要让学生掌握解直角三角形的知识和方法，能灵活运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
教材通过实例引入，引导学生探究直角三角形的性质，从而掌握解直角三角形的方法。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了直角三角形的定义、性质，以及锐角三角函数的知识。
但解直角三角形的实际应用可能对学生来说较为困难，因此需要通过实例引导学生理解解直角三角形的原理，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.了解解直角三角形的概念和方法，能熟练运用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形。
2.能运用解直角三角形的知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重难点：解直角三角形的方法和应用。
2.难点：如何引导学生将实际问题转化为解直角三角形的问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究直角三角形的性质，发现解直角三角形的方法。
2.用实例讲解，让学生在实际问题中体会解直角三角形的重要性。
3.利用小组合作交流，培养学生的团队协作能力。
4.用练习巩固所学知识，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例和练习题，以便引导学生进行探究和练习。
2.准备课件，用于展示解直角三角形的原理和实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节内容，如：一个房间的长为6米，宽为4米，求房间对角线的长度。
让学生思考如何解决这个问题，引出解直角三角形的需要。
2.呈现（10分钟）呈现直角三角形的定义和性质，引导学生回顾已学的知识。
然后讲解解直角三角形的方法，如：利用勾股定理和锐角三角函数。
通过示例，让学生理解解直角三角形的原理。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，每组选择一个实例，运用解直角三角形的方法解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
§人教版九年级数学下册第二十八章28.2解直角三角形(教学设计)
§2021 年最新人教版九年级数学下册第二十八章 28.2 解直角三角形〔 1〕〔教学设计〕§28.2 解直角三角形〔 1〕教学任务分析使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角教知识技能互余 ) ，边与边 (勾股定理 )、边与角关系解直角三角形；通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，使学生了解体学数学思考会用化归的思想方法将未知问题转化为问题去解决；通过对对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生分析问题、 解目解决问题决问题的能力。
体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模〞的标情感态度思想。
重点 直角三角形的解法及三角函数在解直角三角形中的灵活运用。
难点探究解直角三角形的条件的过程， 理解在除直角外的的两个元素当中， 至少有一个是边。
教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动 1复习旧识，提出问题课前预习能让学生为接下来的学习作很好的铺垫和自然的过渡。
带着他们的疑问来学习解直角三角形，去探索解直角三角形的条件活动 2 分析问题，形成概念 归纳出解出直角三角形 的概念。
活动 3归纳、总结通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索，给学生展示的平台，增强学生的兴趣及自信心，同时让学生在合作学习中共同解决问题，培养学生的合作精神。
活动 4运用新知，深化理解考察学生分析问题、解决问题的能力，以及在学习中还存在哪些问题，及时反应矫正。
活动 5 稳固练习，深化知识 回忆本节知识解决问题、稳固、提高。
活动 6 课堂小结 布置作业 师生共同小结，加深对本节课知识的理解．教学课程设计问题与情境师生行为 设计意图1 / 4§2021 年最新人教版九年级数学下册第二十八章28.2 解直角三角形〔1〕〔教学设计〕[活动 1]在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， a、 b、 c、∠ A、∠ B 这五个元素之间有哪些等量关系呢？B(1)三边之间关系：勾股定理 _______ca(2)两个锐角之间关系： ________J┓AC b(3)边角之间关系：教师提出问题，学生独立答复．通过几个简单的问题，让学生回忆已学过知识，用已学过知识来探究出解直角三角形的方法在活动中，教师应重点关注：（1〕学生对于已学过知识掌握的情况；数学知识是环环相扣的，课前预习能让学生为接下来的学习作很好的铺垫和自然的过渡。
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28．2．1 解直角三角形
1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点)
2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点)
一、情境导入
世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数．
在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？
二、合作探究
探究点一：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、
∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形．
(1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长；
(2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长．
解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c ，即c ＝a cosB ＝363
2
＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝a
b ＝
33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝122.
方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题
【类型二】 构造直角三角形解决长度问题
一副直角三角板如图放置，点C在FD
的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．
解析：过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．
解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴
BC＝AC＝122.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝122×
2
2
＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，
∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BM
tan60°
＝43，∴CD＝CM－MD＝12－43.
方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
【类型三】运用解直角三角形解决面积问题
如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sin A
＝37，D 为边AC 上一点，∠BD C ＝45°，DC ＝6.求△ABC 的面积．
解析：首先利用正弦的定义设BC ＝3k ，AB ＝7k ，利用BC ＝CD ＝3k ＝6，求得k 值，从而求得AB 的长，然后利用勾股定理求得AC 的长，再进一步求解．
解：∵∠C ＝90°，∴在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝37，设BC ＝3k ，则AB ＝7k (k ＞0)，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝45°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°，∴BC ＝CD ＝3k ＝6，∴k ＝2，∴AB ＝14.在Rt △ABC 中，AC ＝AB2－BC2＝142－62＝410，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12
×410×6＝1210.所以△ABC 的面积是1210.
方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
探究点二：解直角三角形的综合
【类型一】 解直角三角形与等腰三角形的综合 已知等腰三角形的底边长为2，周长为
2＋2，求底角的度数．
解析：先求腰长，作底边上的高，利用等腰三角形的性质，求得底角的余弦，即可求得底角的度数．
解：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝2，∵周长为2＋2，∴AB ＝AC ＝1.过A 作AD ⊥BC 于点D ，则BD ＝22，在Rt △ABD 中，cos ∠ABD ＝BD AB ＝22
，∴∠ABD ＝45°，即等腰三角形的底角为45°.
方法总结：求角的度数时，可考虑利用特殊角的三角函数值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型二】 解直角三角形与圆的综合
已知：如图，Rt △AOB 中，∠O ＝90°，
以OA 为半径作⊙O ，BC 切⊙O 于点C ，连接AC 交OB 于点P .
(1)求证：BP ＝BC ；
(2)若sin ∠PAO ＝13，且PC ＝7，求⊙O 的半径． 解析：(1)连接OC ，由切线的性质，可得∠OCB ＝90°，由OA ＝OC ，得∠OCA ＝∠OAC ，再由∠AOB ＝90°，可得出所要求证的结论；(2)延长AO 交⊙O 于点E ，连接CE ，在Rt △AOP 和Rt △ACE 中，根据三角函数和勾股定理，列方程解答．
解：(1)连接OC ，∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OCB ＝90°，∴∠OCA ＋∠BCA ＝90°.∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∴∠OAC ＋∠BCA ＝90°，∵∠BOA ＝90°，∴∠OAC ＋∠APO ＝90°，∵∠APO ＝∠BPC ，∴∠BPC ＝∠BCA ，∴BC ＝BP ；
(2)延长AO 交⊙O 于点E ，连接CE ，在Rt △AOP 中，∵sin ∠PAO ＝13，设OP ＝x ，AP ＝3x ，∴AO ＝22x .∵AO ＝OE ，∴OE ＝22x ，∴AE ＝42x .∵sin ∠PAO ＝1
3，∴在Rt △ACE 中CE AE ＝13
，∴AC AE ＝223，∴3x ＋742x
＝223，解得x ＝3，∴AO ＝22x ＝62，即⊙O 的半径为62. 方法总结：本题考查了切线的性质、三角函数、勾股定理等知识，解决问题的关键是根据三角函数的定义结合勾股定理列出方程．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
三、板书设计
1．解直角三角形的基本类型及其解法；
2．解直角三角形的综合．
本节课的设计，力求体现新课程理念．给学生自主探索的时间和宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神和合作精神，激发学生学习数学的积极性和主动性.。