高中数学导数和函数的知识点讲解
(完整版)高中数学导数与函数知识点归纳总结
高中导数与函数知识点总结归纳一、基本概念1.导数的定义：设x 0是函数y =f (x )定义域的一点，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，则函数值y 也引起相应的增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)；比值率；如果极限lim ∆y f (x 0+∆x )-f (x 0)称为函数y =f (x )在点x 0到x 0+∆x 之间的平均变化=∆x ∆xf (x 0+∆x )-f (x 0)∆y 存在，则称函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做=lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x y =f (x )在x 0处的导数。
f (x )在点x处的导数记作y 'x =x=f '(x 0)=lim∆x →0f (x 0+∆x )-f (x 0)∆x2导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x )在点(x 0,f (x ))处的切线的斜率，也就是说，曲'线y =f (x )在点P (x 0,f (x ))处的切线的斜率是f (x 0)，切线方程为y -y 0=f (x )(x -x 0).'3．基本常见函数的导数:n①C '=0;（C 为常数）②x ()'=nx x x n -1;③(sin x )'=cos x ;④(cos x )'=-sin x ;⑤(e )'=e ;⑥(a )'=a ln a ;⑦(ln x )'=x x 11;⑧(l o g ax )'=logae .xx二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：⎡'⎣f (x )±g (x )⎤⎦=f '(x )±g '(x )法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：⎡'=f '(x )g (x )+f (x )g '(x )f x ⋅g x ⎤()()⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cf (x ))'=Cf '(x ).(C为常数)法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎡f (x )⎤'f '(x )g (x )-f (x )g '(x )g (x )≠0)。
导数知识点总结大全高中
导数知识点总结大全高中一、导数的基本概念1. 函数的变化率函数在定义域内的某一点上的变化率就是导数。
函数在某一点的导数描述了函数在这一点附近的变化趋势，是函数曲线的切线斜率。
当函数在某一点的导数为正时，表示函数在这一点附近是增加的；当函数在某一点的导数为负时，表示函数在这一点附近是减小的；当函数在某一点的导数为零时，表示函数在这一点附近有极值。
2. 导数的几何意义函数在某一点的导数是该函数曲线在这一点的切线斜率，即切线的倾斜程度。
当导数为正时，表示切线斜率为正，曲线是逐渐上升的；当导数为负时，表示切线斜率为负，曲线是逐渐下降的；当导数为零时，表示切线水平，曲线在该点可能有极值。
3. 导函数如果函数f(x)在x处可导，则在这一点导函数f'(x)给出了函数在这一点的变化率。
导函数是原函数f(x)关于自变量x的导数函数，通常使用f'(x)来表示。
4. 导数的符号函数f(x)在某一点的导数为正时，表示函数在这一点附近是增加的；函数f(x)在某一点的导数为负时，表示函数在这一点附近是减小的；函数f(x)在某一点的导数为零时，表示函数在这一点附近有极值。
二、导数的定义1. 函数可导如果函数f(x)在某一点x处的导数存在，那么称函数f(x)在这一点可导。
函数在某一点可导的条件是函数在这一点存在切线。
2. 函数导数的极限定义函数f(x)在x处的导数被定义为：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h其中，lim表示极限，h→0表示当h趋近于0时的极限，f(x+h) - f(x)表示函数在x+h处和x处的高度差，h为x的增量。
3. 导数的等价形式导数的等价形式有有限增量与自变量增量之比求极限、差商公式等形式。
三、导数的性质1. 可导函数的和、差的导数如果函数f(x)和g(x)在x处可导，则它们的和f(x)+g(x)和差f(x)-g(x)在x处也可导，且导数为f'(x)+g'(x)和f'(x)-g'(x)。
如何备考高考数学函数与导数部分重点知识点及解题思路
如何备考高考数学函数与导数部分重点知识点及解题思路高考数学是每位学生备战高考的关键科目之一，其中函数与导数部分作为数学的重点内容之一，需要我们充分理解其中的知识点和解题思路。
本文将详细介绍备考高考数学函数与导数部分的重点知识点和解题思路，帮助同学们在备考过程中更好地准备这一部分考试内容。
一、函数的基本概念与性质在备考高考数学函数与导数部分，首先要掌握函数的基本概念与性质。
函数是两个集合之间的一种对应关系，其中自变量和因变量之间存在确定的对应关系。
在学习函数的过程中，需要掌握函数的定义域、值域、图像和性质等相关概念。
在解题时，常用的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
每种函数都有自己的特点和主要的解题方法。
在备考过程中，我们需要深入理解每种函数的定义及其特点，同时掌握它们的常用解题方法。
例如，对于一元一次方程，可以通过求解方程组或消元法来确定方程的解。
二、函数的运算与复合函数函数的运算与复合函数也是备考高考数学函数与导数部分的重点内容。
在函数的运算中，我们常遇到的有函数的加减乘除、复合函数的概念和求导法则等。
同学们要熟练掌握函数的运算方法，能够熟练解答相关题目。
复合函数是由两个或多个函数按照一定的顺序组成的新函数。
在解题时，常用的方法是利用函数之间的复合关系求导，根据链式法则将复合函数的导数转化为基本函数的导数。
通过反复练习和掌握相关的解题技巧，我们能够更好地应对高考中的相关题目。
三、导数的基本概念和运算规则导数是函数在某一点的变化速率，也是备考高考函数与导数部分需要掌握的重点内容之一。
在备考过程中，我们需要理解导数的定义和运算规则，并能够熟练计算导数。
导数的定义是函数变化率的极限值，也可以理解为函数曲线在某一点的切线斜率。
计算导数时，常用的方法有基本导数法则、导数的四则运算法则和复合函数求导法则等。
在备考过程中，我们要掌握这些法则的使用方法，能够熟练计算各种函数的导数。
四、函数的应用数学函数在实际问题中有着广泛的应用，备考高考数学函数与导数部分也需要理解其中的应用题。
函数与导数知识点归纳总结
函数与导数知识点归纳总结函数与导数是高中数学中的重要概念，也是数学建模和解题中常用的工具。
函数是描述变量间关系的数学工具，而导数则是描述函数变化率的指标。
在这篇文章中，我们将对函数与导数的相关知识进行归纳总结。
以下是主要内容：一、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一个将自变量的值映射到因变量的值的规则。
通常用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为函数值。
2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是因变量可能取值的集合。
3. 奇函数和偶函数：奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) =f(x)。
4. 增减性和最值：函数在某一区间上的增减性能够描述函数的趋势，最值是函数在某一区间上的最大值或最小值。
二、导数的定义和计算方法1. 导数的定义：函数在某一点的导数描述了函数在该点附近的变化率。
导数可视为函数的斜率或速度。
2. 导数的计算方法：常用的导数计算方法包括使用导数的定义、使用导数的性质（如乘法法则、链式法则等），以及使用常见函数的导数公式。
三、导数的几何意义和应用1. 几何意义：导数表示了函数图像上某一点的切线斜率。
当导数为正时，函数图像在该点上升；当导数为负时，函数图像在该点下降。
2. 切线方程：使用导数可以求得函数图像上某一点的切线方程。
切线方程的斜率为该点的导数，截距为通过该点的切线。
3. 最优化问题：导数在优化问题中有广泛应用。
例如，求函数的最大值和最小值的问题可以通过导数为零的点来解决。
4. 运动学问题：导数可以用来描述物体运动的速度和加速度。
通过对位移函数取导数，可以得到速度函数；再对速度函数取导数，可以得到加速度函数。
四、高阶导数和导数应用1. 高阶导数：导数的导数称为高阶导数。
二阶导数表示函数的变化加快程度，三阶导数表示函数的变化加速程度，依此类推。
2. 凸凹性和拐点：使用高阶导数可以判断函数的凸凹性和拐点。
当二阶导数大于零时，函数图像在该区间上凸；当二阶导数小于零时，函数图像在该区间上凹；当二阶导数为零且三阶导数不为零时，函数图像存在拐点。
高中数学导数知识点总结
高中数学导数知识点总结一、导数的定义1. 导数的几何意义在直角坐标系中，函数的导数表示了函数曲线在某一点的切线的斜率。
也就是说，导数描述了函数在某一点处的变化率。
如果函数在某一点的导数为正，那么函数在这一点的曲线是朝上凸的；如果函数在某一点的导数为负，那么函数在这一点的曲线是朝下凸的；如果函数在某一点的导数为零，那么函数在这一点的曲线可能是一个最大值、最小值或者拐点。
2. 导数的代数定义设函数y=f(x)，在点x0处可导。
如果当自变量x的增量为Δx时，函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限存在，那么就称函数y=f(x)在点x0处可导。
这个极限就是函数在点x0处的导数，通常用f'(x0)或者df(x0)/dx来表示。
二、导数的性质1. 可导性与连续性在区间上连续的函数必定在该区间上有定义且连续的导数。
不过反之不成立。
2. 导数的四则运算法则设函数y=f(x)和y=g(x)都在x处可导，则：（1）常数函数的导数\[ (k)' = 0 \]（2）乘积的导数\[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \]（3）商的导数\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \]（4）复合函数的导数\[ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]3. 链式法则设函数y=f(u)和u=g(x)都在某点可导，则复合函数y=f(g(x))在该点可导，且有\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]4. 高阶导数如果函数f的导数也可导，则函数f有二阶导数，记作f''；同理，f(n)表示函数f的n阶导数。
高三函数和导数知识点总结
高三函数和导数知识点总结函数是数学中的重要概念，而导数则是函数的基本性质之一。
在高三阶段，函数和导数是数学学习的重点内容。
下面将对高三函数和导数的知识点进行总结。
一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，将一个数集的每一个元素都对应到另一个数集的元素上。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系。
在函数的性质方面，常见的有奇偶性、单调性、周期性等。
二、常见函数的图像和特点1. 线性函数线性函数表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
线性函数的图像为直线，其特点是一次函数，斜率决定了线的倾斜程度。
2. 二次函数二次函数表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
二次函数的图像为抛物线，其特点是开口方向、最值等。
3. 指数函数指数函数表示为y = a^x，其中a>0且a≠1。
指数函数的图像在直角坐标系中右上方增长，其特点是单调递增。
4. 对数函数对数函数表示为y = loga(x)，其中a>0且a≠1。
对数函数的图像在直角坐标系中左上方增长，其特点是单调递增。
5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的图像在坐标系中以一定周期重复出现，具有周期性和振荡性。
三、导数的定义和求解导数描述了函数在某一点的变化率，是函数的重要性质之一。
导数的定义是函数的极限，常用的求导公式有：1. 基本函数的导数如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数可根据定义和求导法则进行求解。
2. 导数的四则运算法则导数具有加减乘除等基本运算法则，可根据这些法则对复杂函数进行求导。
3. 链式法则链式法则是求解复合函数导数时常用的方法，将复合函数拆开分别求导再进行乘积。
四、导数的应用导数不仅有理论意义，也在实际问题中有重要应用，以下是导数的几个常见应用：1. 切线和法线导数代表了函数曲线上某一点的斜率，通过导数可以求出函数曲线在某一点的切线和法线方程。
2. 最值问题导数的零点处为函数的极值点，通过求解导函数的零点可以求出函数的最值。
函数与导数知识点总结
函数与导数知识点总结函数与导数是微积分中的重要概念和工具。
函数是数学中描述变量之间关系的一种工具，而导数是函数的变化率的度量。
理解函数与导数的概念和性质对于学习微积分和解决实际问题非常重要。
本文将对函数与导数的主要内容进行总结，并讲解它们的应用。
一、函数函数是一种数学关系，用来描述输入和输出之间的关系。
一个函数通常用f(x)或者y来表示，其中x是自变量，y是因变量。
函数基本形式为：y=f(x)。
1.1定义域和值域函数的定义域是指能够使函数有意义的x的取值范围，值域是函数所有可能的输出值的集合。
1.2奇偶性如果对于定义域内任意一个x，有f(-x)=f(x)，则函数是偶函数；如果对于定义域内任意一个x，有f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数。
1.3特殊函数常见的特殊函数包括常函数、一次函数、二次函数、立方函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
二、导数导数是函数变化率的度量，表示函数在其中一点的切线斜率。
导数可用于研究函数的变化特征和寻找函数的极值点。
2.1导数的定义与求导法则导数的定义为：f'(x) = lim[h->0] (f(x+h) - f(x))/h。
求导法则包括常数导数法则、幂函数导数法则、指数函数导数法则、对数函数导数法则、三角函数导数法则等。
2.2导数的几何意义导数可以理解为函数在其中一点的切线斜率，也可以理解为函数曲线上其中一点处的瞬时变化率。
2.3导数的性质常见的导数性质包括可导性和连续性、导数计算法则、导数的四则运算法则、导数与函数图像的关系等。
2.4高阶导数函数的导数可以继续求导，得到高阶导数。
常见的高阶导数有f''(x)、f'''(x)等。
2.5隐函数与参数方程的导数对于隐函数和参数方程，导数的求解需要通过链式法则或参数方程求导公式。
三、导数的应用导数在数学和物理等领域有广泛的应用。
以下是导数的一些主要应用。
3.1极值与最值通过求导，我们可以得到函数的最大值和最小值。
求导函数知识点总结
求导函数知识点总结求导函数的知识点包括了导数的定义、求导法则、高阶导数、隐函数求导、参数方程求导、微分以及应用题等内容。
下面我们将逐个进行详细的介绍。
1. 导数的定义导数的定义是对函数在某一点的斜率进行求解，并且可以用一个极限的定义来表示。
对于函数f(x)，在点x处的导数可以表示为：\[f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]其中，f'(x)表示函数在点x处的导数，h表示自变量的增量。
2. 求导法则求导法则是对不同类型的函数进行导数运算时所遵循的一些规律。
常见的求导法则包括常数法则、幂函数求导法则、指数函数求导法则、对数函数求导法则、三角函数求导法则、反三角函数求导法则、复合函数求导法则、积分函数求导法则以及商函数求导法则等。
熟练掌握这些求导法则可以帮助我们更快地进行函数的导数运算。
3. 高阶导数高阶导数是指函数的导数的导数，即对导数再次求导。
我们可以用f''(x)、f'''(x)或者f^(n)(x)来表示函数f(x)的高阶导数。
高阶导数在研究函数的性质和曲线的特征时具有重要的作用。
4. 隐函数求导当函数不是显式地以y=f(x)的形式表示时，我们就需要使用隐函数求导的方法。
对于隐函数y=f(x)中的x和y，我们可以通过求导法则得到在给定点的斜率。
首先，在给定点处对x求导，然后用导数关系式对y进行换算。
这样我们就可以得到x对y的导数。
5. 参数方程求导对于参数方程x=f(t)、y=g(t)，我们可以通过对t进行求导来得到x关于y的导数。
首先，对x和y分别进行求导，然后用导数关系式得到x对y的导数。
参数方程求导在曲线的切线和法线方程的推导中有重要的应用。
6. 微分微分的概念是导数的一种运用，它可以用来近似表示函数的变化。
对于函数f(x)，在点x处的微分可以表示为：\[df(x) = f'(x)dx\]微分可以用来求解近似值、推导微分方程、确定函数的极值点以及解决函数的最优化问题。
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第一部分专题二第四讲A 组1．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是(A)A ．a >0，b <0，c >0，d >0B ．a >0，b <0，c <0，d >0C ．a <0，b <0，c >0，d >0D ．a >0，b >0，c >0，d <0[解析]由图象知f (0)＝d >0，因为f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0有两个不相等的正实根，所以a >0，－2b 6a ＝－b3a>0，所以b <0，又f ′(0)＝c >0，所以a >0，b <0，c >0，d >0．2．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是(D )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析]∵2x (x －a )<1，∴a >x －12x ．令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln2>0．∴f (x )>f (0)＝0－1＝－1，∴a 的取值范围为(－1，＋∞)，故选D ．3．(文)(2019·昆明市高三摸底调研测试)若函数f (x )＝2x －x 2－1，对于任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，都有f (x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围为(D)A ．(－∞，1]B ．(－∞，0]C ．(－∞，4]D ．(－∞，5][解析]对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，都有f (x )≤0恒成立，可转化为对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，2x ≤x 2＋1恒成立．令g (x )＝2x ，h (x )＝x 2＋1，当x <0时，g (x )<h (x )，当x ＝0或1时，g (x )＝h (x )，当x ＝2或3或4时，g (x )<h (x )，当x ≥5时，g (x )>h (x )．综上，实数a 的取值范围为(－∞，5]，故选D ．(理)已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f (x )x>0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是(B )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析]由F (x )＝xf (x )＋1x＝0，得xf (x )＝－1x ，设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，因为x ≠0时，有f ′(x )＋f (x )x>0，所以x ≠0时，f (x )＋xf ′(x )x>0，即当x >0时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，此时函数g (x )单调递增，此时g (x )>g (0)＝0，当x <0时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0，此时函数g (x )单调递减，此时g (x )>g (0)＝0，作出函数g (x )和函数y ＝－1x 的图象，(直线只代表单调性和取值范围)，由图象可知函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数为1个．4．(文)已知x ＝1是函数f (x )＝ax 3－bx －ln x (a >0，b ∈R )的一个极值点，则ln a 与b －1的大小关系是(B)A ．ln a >b －1B ．ln a <b －1C ．ln a ＝b －1D ．以上都不对[解析]f ′(x )＝3ax 2－b －1x，∵x ＝1是函数f (x )的极值点，∴f ′(1)＝3a －b －1＝0，即3a －1＝b ．令g (a )＝ln a －(b －1)＝ln a －3a ＋2(a >0)，则g ′(a )＝1a －3＝1－3a a∴g (a )在(0，13)上递增，在(13，＋∞)上递减，故g (a )max ＝g (13)＝1－ln3<0．故ln a <b －1．(理)已知函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2，则使得f (2x )>f (x ＋3)成立的x 的取值范围是(D )A ．(－1,3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3,3)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)[解析]∵函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2，∴f ′(x )＝e x －e －xe x ＋e －x＋2x ，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ＝0时，f ′(x )＝0，f (x )取最小值，∵f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，∴f (2x )>f (x ＋3)等价于|2x |>|x ＋3|，整理，得x 2－2x －3>0，解得x >3或x <－1，∴使得f (2x )>f (x ＋3)成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)，故选D ．5．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且g (x )≠0，当x <0时，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是____(－∞，－3)∪(0,3)__．[解析]因为f (x )和g (x )(g (x )≠0)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．因为当x <0时，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，当x <0时，[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )>0，令h (x )＝f (x )g (x )，则h (x )在(－∞，0)上单调递增．因为h (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－h (x )，所以h (x )为奇函数，根据奇函数的性质可得函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (－3)＝－f (3)＝0，所以h (－3)＝－h (3)＝0．h (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．6．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m的取值范围是．[解析]m )＝m 2＋m 2－1<0，m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0．7．定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )，即f ″(x )＝[f ′(x )]′．定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x )在区间D 上为凹函数．已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是____(12，＋∞)__．[解析]∵f (x )＝x 3－32x 2＋1，∴f ′(x )＝3x 2－3x ，∴f ″(x )＝6x －3.令f ″(x )>0，即6x －3>0，解得x >12．∴x 的取值范围是(12，＋∞)．8．已知f (x )＝ln x ＋ax ，a ∈R ．(1)讨论函数f (x )的单调性．(2)若函数f (x )的两个零点为x 1，x 2，且x2x 1≥e 2，求证：(x 1－x 2)f ′(x 1＋x 2)>65．[解析](1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的定义域为{x |x >0}，所以f ′(x )＝1x＋a ．①若a ≥0，则f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)内单调递增．②若a <0，则f ′(x )＝1x ＋a ，由f ′(x )>0，得0<x <－1a ，∴f (x )在(0，－1a )内单调递增；由f ′(x )＝1x ＋a <0，得x >－1a ，∴f (x )在(－1a ，＋∞)内单调递减．(2)证明：∵ln x 1＋ax 1＝0，ln x 2＋ax 2＝0，∴ln x 2－ln x 1＝a (x 1－x 2)．(x 1－x 2)f ′(x 1＋x 2)＝(x 1－x 2)(1x 1＋x 2＋a )＝x 1－x 2x 1＋x 2＋a (x 1－x 2)＝x 1－x 2x 1＋x 2＋ln x 2x 1＝1－x 2x 11＋x2x 1＋ln x 2x 1．令x2x 1＝t ≥e 2，令φ(t )＝1－t 1＋t ＋ln t ，则φ′(t )＝t 2＋1(1＋t )2t>0，∴φ(t )在[e 2，＋∞)内单调递增，φ(t )≥φ(e 2)＝1＋2e 2＋1>1＋232＋1＝65．∴(x 1－x 2)f ′(x 1＋x 2)>65．9．某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．(1)求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )．(提示：利润＝产值－成本)(2)问：年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP (x )的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么．[解析](1)P (x )＝R (x )－C (x )＝－10x 3＋45x 2＋3240x －5000(x ∈N *，且1≤x ≤20)；MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－30x 2＋60x ＋3275(x ∈N *，且1≤x ≤19)．(2)P ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3240＝－30(x －12)(x ＋9)，因为x >0，所以P ′(x )＝0时，x ＝12，当0<x <12时，P ′(x )>0，当x >12时，P ′(x )<0，所以x ＝12时，P (x )有极大值，也是最大值．即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．(3)MP (x )＝－30x 2＋60x ＋3275＝－30(x －1)2＋3305．所以，当x ≥1时，MP (x )单调递减．所以单调减区间为[1,19]．MP (x )是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少．B 组1．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－xf ′(x )≤0，则必有(A)A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)[解析]当x <1时，f ′(x )<0，此时函数f (x )递减；当x >1时，f ′(x )>0，此时函数f (x )递增，即当x ＝1时，函数f (x )取得极小值同时也取得最小值f (1)，所以f (0)>f (1)，f (2)>f (1)，则f (0)＋f (2)>2f (1)．故选A ．2．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是(B )A ．(－∞，0)B ．(0，12)C ．(0,1)D ．(0，＋∞)[解析]∵f (x )＝x (ln x －ax )，∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，故f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点，令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x ，设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln xx2，∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0，而g (x )max ＝g (1)＝1，∴只需0<2a <1⇒0<a <12．3．(文)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a >0，b ∈R )，若对任意x >0，f (x )≥f (1)，则(A )A ．ln a <－2bB ．ln a ≤－2bC ．ln a >－2bD ．ln a ≥－2b[解析]f ′(x )＝2ax ＋b －1x，由题意可知f ′(1)＝0，即2a ＋b ＝1，由选项可知，只需比较ln a ＋2b 与0的大小，而b ＝1－2a ，所以只需判断ln a ＋2－4a 的符号．构造一个新函数g (x )＝2－4x ＋ln x ，则g ′(x )＝1x －4，令g ′(x )＝0，得x ＝14，当x <14时，g (x )为增函数；当x >14时，g (x )为减函数，所以对任意x >0有g (x )≤g (14＝1－ln4<0，所以有g (a )＝2－4a ＋ln a ＝2b＋ln a <0⇒ln a <－2b .故选A ．(理)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为(A)A ．3B ．4C ．5D ．6[解析]f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，原题等价于方程3x 2＋2ax ＋b ＝0有两个不等实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴x 1为极大值点，x 2为极小值点．∴方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有两个不等实根，f (x )＝x 1或f (x )＝x 2．∵f (x 1)＝x 1，∴由图知f (x )＝x 1有两个不同的解，f (x )＝x 2仅有一个解．故选A ．4．已知函数f (x )＝2ax 3－3ax 2＋1，g (x )＝－a 4x ＋32，若任意给定的x 0∈[0,2]，总存在两个不同的x i (i ＝1,2)∈[0,2]，使得f (x i )＝g (x 0)成立，则实数a 的取值范围是(A)A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1][解析]当a ＝0时，显然不成立，故排除D ；当a >0时，注意到f ′(x )＝6ax 2－6ax ＝6ax (x－1)，即f (x )在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数，又f (0)＝1<32＝g (0)，当x 0＝0时，结论不可能成立；进一步，可知a <0，此时g (x )在[0,2]上是增函数，且取值范围是[32，－a 2＋32]，同时f (x )在0≤x ≤1时，函数值从1增大到1－a ，在1≤x ≤2时，函数值从1－a 减少到1＋4a ，所以“任意给定的x 0∈[0,2]，总存在两个不同的x i (i ＝1,2)∈[0,2]，使得f (x i )＝g (x 0)成立”，x )的最大值>g (x )的最大值，x )的最小值<g (x )的最小值，－a >－a 2＋32，＋4a <32，解得a <－1．5．已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，且xf ′(x )＋f (x )>0，则函数g (x )＝xf (x )＋1(x >0)的零点个数为____0__．[解析]因为g (x )＝xf (x )＋1(x >0)，g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又g (0)＝1，y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，所以g (x )为(0，＋∞)上的连续可导函数，所以g (x )>g (0)＝1，所以g (x )在(0，＋∞)上无零点．6．已知函数f (x )＝e xx ，g (x )＝－(x －1)2＋a 2，若当x >0时，存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是____(－∞，－e]∪[e ，＋∞)__．[解析]由题意得存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，等价于f (x )min ≤g (x )max ．因为g (x )＝－(x －1)2＋a 2，x >0，所以当x ＝1时，g (x )max ＝a 2．因为f (x )＝e xx，x >0，所以f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2．所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝e ．又g (x )max ＝a 2，所以a 2≥e ⇔a ≤－e 或a ≥e ．故实数a 的取值范围是(－∞，－e]∪[e ，＋∞)．7．(2019·武汉市武昌区调研考试)已知函数f (x )＝ln x ＋ax ，a ∈R ．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a >0时，证明f (x )≥2a －1a ．[解析](1)f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(a >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a >0时，若x >a ，则f ′(x )>0，函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增；若0<x <a ，则f ′(x )<0，函数f (x )在(0，a )上单调递减．(2)证明：由(1)知，当a >0时，f (x )min ＝f (a )＝ln a ＋1．要证f (x )≥2a －1a ，只需证ln a ＋1≥2a －1a，即证ln a ＋1a －1≥0．令函数g (a )＝ln a ＋1a －1，则g ′(a )＝1a －1a 2＝a －1a2(a >0)，当0<a <1时，g ′(a )<0，当a >1时，g ′(a )>0，所以g (a )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以g (a )min ＝g (1)＝0．所以ln a ＋1a －1≥0恒成立，所以f (x )≥2a －1a．8．(文)设函数f (x )＝(1－x 2)e x ．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．[解析](1)f′(x)＝(1－2x－x2)e x．令f′(x)＝0得x＝－1－2或x＝－1＋2．当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)<0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)>0；当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)<0．所以f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)e x．当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)e x，则h′(x)＝－x e x<0(x>0)，因此h(x)在[0，＋∞)上单调递减．而h(0)＝1，故h(x)≤1所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1．当0<a<1时，设函数g(x)＝e x－x－1，则g′(x)＝e x－1>0(x>0)，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，故e x≥x＋1．当0<x<1时，f(x)>(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝5－4a－12，则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)>ax0＋1．当a≤0时，取x0＝5－12，则x0∈(0,1)，f(x0)>(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1．综上，a的取值范围是[1，＋∞)．(理)已知函数f(x)＝ax2－ax－x ln x，且f(x)≥0．(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2<f(x0)<2－2．[解析](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．设g(x)＝ax－a－ln x，则f(x)＝xg(x)，f(x)≥0等价于g(x)≥0．因为g(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0，而g′(x)＝a－1x，g′(1)＝a－1，得a＝1．若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x．当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以x ＝1是g (x )的极小值点，故g (x )≥g (1)＝0．综上，a ＝1．(2)证明：由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x ．设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x ．当x ∈(0，12)时，h ′(x )<0；当x ∈(12，＋∞)时，h ′(x )>0．所以h (x )在(0，12)上单调递减，在(12，＋∞)上单调递增．又h (e －2)>0，h (12)<0，h (1)＝0，所以h (x )在(0，12)上有唯一零点x 0，在[12，＋∞)上有唯一零点1，且当x ∈(0，x 0)时，h (x )>0；当x ∈(x 0,1)时，h (x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0．因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点．由f ′(x 0)＝0，得ln x 0＝2(x 0－1)，故f (x 0)＝x 0(1－x 0)．由x 0∈(0，12)得f (x 0)<14．因为x ＝x 0是f (x )在(0,1)上的最大值点，由e －1∈(0,1)，f ′(e －1)≠0得f (x 0)>f (e －1)＝e －2．所以e －2<f (x 0)<2－2．。