2018版高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本(均值)不等式及应用课件理新人教A版
高考数学(理)一轮资源库 第七章 7.3基本不等式及其应用
思维启迪 解析 答案 思维升华
(1)∵x>0，y>0，且 2x＋y＝1，
∴1x＋1y＝2xx＋y＋2x＋ y y ＝3＋xy＋2yx≥3＋2 2.当且仅当 xy＝2yx时，取等号. (2)∵x>0，∴f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x ≤22＝1，当且仅当 x＝1x，即 x ＝1 时取等号.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
利用基本不等式求最值
【例 3】 (1)已知 x>0，y>0， 且 2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值 为___3_＋__2__2______； (2)当 x>0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的
最大值为___1_____.
思维启迪 解析 答案 思维升华
数学 苏（理）
§7.3 基本不等式及其应用
第七章 不等式、推理与证明
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
1.基本不等式 ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件： a≥0，b≥0
.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R). (2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号). (3)ab≤a＋2 b2 (a，b∈R). (4)a2＋2 b2≥a＋2 b2 (a，b∈R).
∴xy≤3.当且仅当3x＝4y时取等号.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
不等式与函数的综合问题
【例 2】 (1)已知 f(x)＝32x－(k＋ 思维启迪 解析 答案 思维升华
高考数学大一轮复习第七章不等式、推理与证明、数学归纳法7.4基本不等式及其应用教案(含解析)
§7.4 基本不等式及其应用 考情考向分析 主要考查利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档．1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(a ≥0，b ≥0)(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？ 提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x ≥2”的充要条件．( × )(3)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × ) (4)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 有相同的成立条件．( × )(5)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )题组二 教材改编2．[P88T4]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________．答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ， 即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81. 3．[P89例1]若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______m 2.答案 25解析 设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， ∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 充要解析 当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1时等号成立)． 因为x ，1x同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的充要条件． 5．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________. 答案 3 解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是________． 答案 5解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5， 所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎪⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12x y，即y ＝2x ＝1时，“＝”成立， 故4x ＋3y 的最小值为5.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )。
2018版高考数学大一轮温习 第七章节 不等式 7.4 基本不等式及其应用讲义 理 新人教版
5.(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的 最大面积是___2_5____ m2. 答案 解析
设矩形的一边为x m， 则另一边为 1 ×(20－2x)＝(10－x)m，
2 ∴y＝x(10－x)≤[x＋120－x]2＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.
(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D 上恒成立⇔ f(x)min>A(x∈D) ；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式 f(x)<B在区间D上恒成立⇔ f(x)max<B(x∈D) . (2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x 使不等式f(x)>A成立⇔ f(x)max>A(x∈D) ；若f(x)在区间D上存在最小 值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立⇔ f(x)min<B(x∈D) .
1
3
A.2
B.2
C.1
D.2
由题意可得a>0， ①当 x>0 时，f(x)＝x＋ax＋2≥2 a＋2，当且仅当 x＝ a时取等号； ②当 x<0 时，f(x)＝x＋ax＋2≤－2 a＋2，
当且仅当 x＝－ a时取等号，
所以22－a2＋a2＝ ＝04， ， 解得 a＝1，故选 C.
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，若存在两项 am，
引申探究
1.条件不变，求(1＋1a)(1＋1b)的最小值. 解答
(1＋1a)(1＋1b)＝(1＋a＋a b)(1＋a＋b b)＝(2＋ba)·(2＋ab)
＝5＋2(ba＋ab)≥5＋4＝9.
当且仅当a＝b＝
高考理科数学一轮复习《第7章不等式》7.4 基本(均值)不等式及其应用试题
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定， 故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．【答案】 C2．(2016·河南百校联盟质检)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a ，b (2≤a ≤10)，剪去部分的面积为8，则1b ＋1＋9a ＋9的最大值为( )A ．1 B.1110C.65D ．2【解析】 由题意，2ab ＝8，∴b ＝4a .∵2≤a ≤10，∴1b ＋1＋9a ＋9＝14a ＋1＋9a ＋9＝1＋5a ＋36a＋13≤1＋52a ·36a＋13＝65， 当且仅当a ＝36a ，即a ＝6时，1b ＋1＋9a ＋9取得最大值65.【答案】 C3．(2016·新疆乌鲁木齐第二次诊断)已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( )A.1315B ．2 C.94D ．3 【解析】 由题意知，x ＋2＞0，y ＋1＞0， (x ＋2)＋(y ＋1)＝4， 则4x ＋2＋1y ＋1＝14[(x ＋2)＋(y ＋1)]⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4（y ＋1）x ＋2＋x ＋2y ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋24（y ＋1）x ＋2·x ＋2y ＋1＝94，当且仅当x ＝23，y ＝13时，4x ＋2＋1y ＋1取最小值94.【答案】 C4．(2016·甘肃白银会宁一中第三次月考)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2，＋∞)C ．[－2，2]D ．[0，＋∞) 【解析】 当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |，故a 大于或等于－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |的最大值．由基本不等式可得|x |＋1|x |≥2， ∴－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |≤－2，即－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |的最大值为－2，故实数a 的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.【答案】 B5．(2016·武汉模拟)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．0【解析】 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x ＞0，y ＞0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy ＋4≥4＋4＝8. 【答案】 A6．(2015·陕西)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 【解析】 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C. 【答案】 C7．(2016·银川模拟)若直线2ax ＋by －2＝0(a ＞0，b ＞0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是( ) A ．2－2 B.2－1 C ．3＋22 D ．3－2 2【解析】 ∵圆心为(1，2)在直线2ax ＋by －2＝0上，∴a ＋b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋2ba ＋ab≥3＋2 2.当且仅当2ba＝ab，即a＝2－2，b＝2－1时等号成立．【答案】C8．(2016·安徽安庆二中第一次质检)若x＞0，y＞0，则x＋yx＋y的最小值为()A. 2 B．1C.22 D.12【解析】设t＝x＋yx＋y，则t＞0，∵t2＝x＋yx＋y＋2xy ≥x＋yx＋y＋x＋y＝12，∴t≥22，当且仅当x＝y时取等号．∴x＋yx＋y的最小值为22.故选C.【答案】C9．(2016·湖北华师一附中等八校联考)若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________．【解析】因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x·22y＝22x＋2y，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.【答案】210．(2016·南京金陵中学第一次联考)已知实数x，y满足x－x＋1＝y＋3－y，则x＋y的最大值为________．【解析】∵x－x＋1＝y＋3－y，∴x＋y＝x＋1＋y＋3≤2x＋y＋42，则(x＋y)2≤2(x＋y＋4)，解得－2≤x＋y≤4.∴x＋y的最大值为4.【答案】411．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值．【解析】 (1)∵x ＞0，y ＞0， ∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x ＞0，y ＞0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20 ＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)12．(2016·重庆巴蜀中学期中)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∵y ＝f (x )在x ＝1处有极值，∴a ＋b ＝6.∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴ab 的最大值等于9.故选D.【答案】 D13．(2016·云南大理祥云一中第二次月考)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a （a －b ）≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1ab，a （a －b ）＝1a （a －b ）时取等号，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝22. ∴a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值为4.【答案】 D14．(2016·天津河西模拟)函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)的最小值为________． 【解析】 ∵x ＞2，∴x －2＞0，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x ＝2＝1，即x ＝3时取等号．∴函数f (x )的最小值为f (3)＝4. 【答案】 415．(2016·广东北师大东莞石竹附中期中)已知x ＞0，y ＞0，若不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y 恒成立，则m 的最大值为________．【解析】 ∵x ＞0，y ＞0，不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y 恒成立，∴m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立．又∵⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )＝6＋9y x ＋xy ≥6＋29y x ·x y ＝12，当且仅当9y x ＝xy，即x ＝3y 时取等号， ∴⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )的最小值为12.由m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立，得m ≤12，即m 的最大值为12. 【答案】 1216．(2016·山东齐鲁名校第二次调研)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解析】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为12x ＋45 000x －200≥212x ·45 000x－200＝100， 当且仅当12x ＝45 000x ，即x ＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．(2)获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝200x －y ＝－12x 2＋400x －45 000＝－12(x －400)2＋35 000.因为x ∈[300，600]，所以S ∈[15 000，35 000]．故该单位每月获利，最大利润为35 000元．。
高三数学一轮复习第七章不等式第四节基本不等式及其应用课件理
12 y 3x x y
故3x+4y的最小值为5. (3)因为正数x,y满足x+2y=1, 所以 + = +2 (x+2y)=2+ + y x x y x y
2
4y x 4y x =4+ + ≥4+2 x y =8, x y
1 2
1
4y
x
当且仅当 = ,即x=2y时取等号. 所以 + 的最小值为8.
理数
课标版
第四节 基本不等式及其应用
教材研读
1.>0,b>0. 2
(2)等号成立的条件:当且仅当① a=b 时等号成立. (3)其中②
ab 2
ab 称为正数a,b的算术平均数,③
称为正数a,b
的几何平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥④ 2ab (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
ab (2)ab≤ (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 2
2
a 2 b2 a b (3) ≥ (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 2 2 b a (4) + ≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号. a b
考点突破
考点一 利用基本不等式求最值
典例1 (1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,求ab的最大值; (2)若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值;
2 1 (3)已知正数x,y满足x+2y=1,求 + 的最小值. x y
解析 (1)解法一:∵a>0,b>0,4a+b=1,∴1=4a+b≥2 4ab =4 ab ,
高考数学一轮复习第七章不等式7-3基本均值不等式及应用学案理
【2019最新】精选高考数学一轮复习第七章不等式7-3基本均值不等式及应用学案理考纲展示► 1.了解基本(均值)不等式的证明过程．2．会用基本(均值)不等式解决简单的最大(小)值问题．考点1 利用基本(均值)不等式求最值1.基本(均值)不等式≤a＋b2(1)基本(均值)不等式成立的条件：________.(2)等号成立的条件：当且仅当________时等号成立．答案：(1)a>0，b>0 (2)a＝b2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)．(2)＋≥________(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．答案：(1)2ab (2)23．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本(均值)不等式可叙述为：________________________________.答案：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4．利用基本(均值)不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最________值是2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最________值是.(简记：和定积最大)答案：(1)x ＝y 小 (2)x ＝y 大1.基本不等式的两个易错点：忽视不等式成立的条件；忽视等号成立的条件．(1)函数y ＝x ＋在区间(0，＋∞)上的最小值是________，在区间(－∞，0)上的最大值是________．答案：2 －2解析：当x>0时，y ＝x ＋≥2＝2，当且仅当x ＝，即x ＝1时取等号，故y 的最小值为2.当x<0时，－x>0，y ＝x ＋＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≤－2＝－2，当且仅当－x ＝－，即x ＝－1时取等号，故y 的最大值为－2.(2)函数y ＝sin x ＋，x∈的最小值为________．答案：5解析：y ＝sin x ＋≥2＝4，当sin x ＝时，sin x ＝±2，显然取不到等号．事实上，设t ＝sin x ，x∈，则t∈(0,1]，易知y ＝t ＋在(0,1]上为减函数，故当t ＝1时，y 取得最小值5.2．应用基本不等式的技巧：凑；拆．(1)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时，x 的值为________．答案：12解析：由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝时，等号成立．(2)若x>1，则x ＋的最小值为________．答案：5解析：x ＋＝x －1＋＋1≥4＋1＝5，当且仅当x －1＝，即x ＝3时，等号成立.利用基本不等式确定最值的两种常见类型：代换变形；变量是负数．(1)已知a>0，b>0，a ＋b ＝2，则y ＝＋的最小值是________．答案：92解析：∵a＋b ＝2，∴＝1，∴＋＝＝＋≥＋2＝.故y ＝＋的最小值为.(2)已知0<x<1，则y ＝lg x ＋的最大值是________．答案：－4解析：∵0<x<1，∴lg x<0，－lg x>0，∴－y ＝－lg x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－lg x ≥2＝4，当且仅当－lg x ＝，即x ＝时，等号成立，故ymax ＝－4.[考情聚焦] 利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定积求其和的最小值，是每年高考的重点内容．主要有以下几个命题角度：角度一通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值[典题1] (1)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x 的值为( )A.B. C.D.23 [答案] B[解析] 因为0<x<1，所以x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝时等号成立．(2)已知x ＜，求f(x)＝4x －2＋的最大值．[解] 因为x ＜，所以5－4x ＞0，则f(x)＝4x －2＋14x －5＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝，即x ＝1时等号成立．故f(x)＝4x －2＋的最大值为1.(3)已知x 为正实数且x2＋＝1，求x 的最大值．[解] 因为x ＞0，所以x ＝2x2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋y22 ≤.又x2＋＝＋＝，所以x≤ ＝，即(x)max ＝.(4)求函数y ＝的最大值．[解] 令t ＝ ≥0，则x ＝t2＋1，所以y ＝＝.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t ＞0，即x ＞1时，y ＝，因为t ＋≥2＝4，当且仅当t ＝2时等号成立，所以y ＝≤，即y 的最大值为(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．[点石成金] 1.利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．2．在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式．角度二通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值[典题2] 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则＋的最小值为________．[答案] 4[解析] ∵a＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴＋＝＋＝2＋＋a b≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝时等号成立．[题点发散1] 本例的条件不变，则的最小值为________．答案：9解析：＝·＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝时等号成立．[题点发散2] 本例的条件和结论互换，即：已知a ＞0，b ＞0，＋＝4，则a ＋b 的最小值为________．答案：1解析：由＋＝4，得＋＝1.∴a ＋b ＝(a ＋b)＝＋＋a 4b≥＋2＝1.当且仅当a ＝b ＝时等号成立．[题点发散3] 若将本例中的“a＋b ＝1”换为“a＋2b ＝3”，如何求解？解：∵a＋2b ＝3，∴a＋b ＝1，∴＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ＝＋＋＋2b 3a≥1＋2＝1＋.当且仅当a＝b＝3－3时等号成立．故＋的最小值为1＋. [题点发散4] 若将本例变为：设a，b，c均为正数，满足a－2b＋3c＝0，则的最小值是________．答案：3解析：∵a－2b＋3c＝0，∴b＝，∴＝≥＝3，当且仅当a＝3c时等号成立．[题点发散5] 若将本例变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得＝2a1，则＋的最小值为________．答案：95解析：设公比为q(q＞0)，由a7＝a6＋2a5⇒a5q2＝a5q＋2a5⇒q2－q－2＝0(q＞0)⇒q＝2.am·an＝2a1⇒a12m－1·a12n－1＝8a21⇒2m－1·2n－1＝8⇒m＋n－2＝3⇒m＋n＝5，则＋＝(m＋n)＝≥×(5＋2)＝，当且仅当n＝2m＝时等号成立．[点石成金] 将条件灵活变形，利用常数代换法求最值是解决此类问题的常用方法．角度三通过消元法利用基本(均值)不等式求最值[典题3] [2017·江西南昌模拟]已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．[答案] 6[解析] 由已知，得x＝.解法一：∵x＞0，y＞0，∴0＜y＜3，∴x＋3y＝＋3y＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6，当且仅当＝3(y＋1)，即y＝1，x＝3时，等号成立，故(x＋3y)min＝6.解法二：∵x＞0，y＞0，9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·2，当且仅当x＝3y时等号成立．设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6. [点石成金] 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本(均值)不等式求解．考点2 基本(均值)不等式与函数的综合问题[典题4] (1)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )A．(－∞，－1)B．(－∞，2－1)C．(－1,2－1)D．(－2－1,2－1)[答案] B[解析] 由32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，得k＋1<3x＋.∵3x＋≥2，∴k＋1<2，即k<2－1.(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a 的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ [解析] 由f(x)≥3恒成立，得x2＋ax ＋11x ＋1≥3， 又x∈N*，∴x2＋ax ＋11≥3(x＋1)，∴a －3≥－.令F(x)＝－，x∈N*，则F(x)max ＝F(3)＝－，即a －3≥－，∴a≥－.[点石成金] 1.a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max ，a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.2．求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本(均值)不等式的问题可考虑利用函数的单调性.已知函数f(x)＝x ＋(p 为常数，且p>0) ，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p ＝( )A ．2B. C ．4D.92 答案：B解析：由题意，得x －1>0，f(x)＝x －1＋＋1≥2＋1，当且仅当x ＝＋1时等号成立．因为f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2＋1＝4, 解得p ＝.考点3 基本(均值)不等式的实际应用(1)[教材习题改编]现有一段长为18 m 的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是( )B．1.5 mA．1 mD．0.5 mC．0.75 m答案：A (2)[教材习题改编]将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.答案：4＋22解析：设两直角边分别为a m，b m，框架的周长为l，则ab＝2，即ab＝4，∴ l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋2)m.(3)[教材习题改编]建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为________元．答案：1 760解析：池底一边长为x米，则另一底边为米，则总造价y＝4×120＋4×80≥1760，当且仅当x＝2时取得最小值．[典题5] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．[答案] (1)1 900 (2)100[解析] (1)当l＝6.05时，F＝，∴F ＝＝76 000v ＋121v＋18 ≤＝1 900，当且仅当v ＝，即v ＝11时等号成立．∴最大车流量F 为1 900辆/时．(2)当l ＝5时，F ＝＝，∴F ≤＝2 000，当且仅当v ＝，即v ＝10时等号成立．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100(辆/时)．[点石成金] 解实际应用题的三个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 答案：B解析：若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝，即x ＝80时等号成立.[方法技巧] 1.基本(均值)不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本(均值)不等式的切入点．2．对使用基本(均值)不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性．[易错防范] 1.使用基本(均值)不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．连续使用基本(均值)不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．真题演练集训1．[2016·江苏卷]在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan AtanBtan C的最小值是________．答案：8解析：由sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bsin C，得sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，两边同时除以cos Bcos C，得tan B＋tan C＝2tan Btan C，令tan B＋tan C＝2tan Btan C＝m，因为△ABC是锐角三角形，所以2tan Btan C>2，则tan Btan C>1，m>2.又在三角形中有tan Atan Btan C＝－tan(B＋C)tan Btan C＝－·m＝＝m－2＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当m－2＝，即m＝4时等号成立，故tan Atan Btan C的最小值为8. 2．[2014·福建卷]要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案：160解析：设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为x m，因为无盖长方体的容积为4 m3，高为1 m，所以长方体的底面矩形的宽为 m，依题意，得y＝20×4＋10＝80＋20≥80＋20×2＝160，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，所以该容器的最低总造价为160元．3．[2013·天津卷]设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．答案：－2解析：∵a＋b＝2，∴＋＝＋|a|b＝＋＝＋＋|a|b≥＋2 ＝＋1.当且仅当＝且a<0，即b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．课外拓展阅读基本(均值)不等式在压轴题中的应用关于基本(均值)不等式的高考试题，它可以涉及的知识点很多，尤其是在数列、解析几何中运用时，难度一般较大，需要有较强的分析问题及解决问题的能力．1．与数列搭配基本不等式在数列解答题中多出现在第(2)问中，常见的是比较大小或证明不等式，问题的求解需要有较强的运算能力．[典例1] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a1＝1，且a1，a2，a7成等比数列．(1)求数列{an}的前n项和Sn；(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：2Tn－9bn－1＋18>(n>1)．[思路分析] (1)根据等差数列和等比数列的性质易求；(2)中数列{bn}满足bn＝，这是一个等差数列的前n 项和与一个关于n 的一次函数之比，数列{bn}极可能也是一个等差数列，求出其和后，根据不等式的有关知识解决．(1)[解] 因为a1，a2，a7成等比数列，所以a ＝a1a7，即(a1＋d)2＝a1(a1＋6d)．又a1＝1，d≠0，所以d ＝4.所以Sn ＝na1＋d ＝n ＋2n(n －1)＝2n2－n.(2)[证明] 因为bn ＝＝＝2n ，所以{bn}是首项为2，公差为2的等差数列．所以Tn ＝＝n2＋n.所以2Tn －9bn －1＋18＝2n2＋2n －18(n －1)＋18＝2n2－16n ＋36＝2(n2－8n ＋16)＋4＝2(n －4)2＋4≥4，当且仅当n ＝4时等号成立．①64bn ＋＋1＝64×2n ＋＋＝＝≤646＋10＝4，当且仅当n ＝，即n ＝3时等号成立．②又①②中等号不可能同时取到，所以2Tn －9bn －1＋18>(n>1)．温馨提示本题在求解时注意，两次放缩取等号的条件不一致，最后结果不能取等号．2．与函数、导数共现在函数的解答题中出现的基本(均值)不等式一般都与导数有密切的联系，在多数情况下问题的求解需要构造新的函数，通过合理转化，巧妙放缩去完成．求解这类问题一般难度较大，在高考中常以压轴题的形式出现，需要较强的综合能力．[典例2] 已知h(x)＝ln(x ＋1)－.(1)当a>0时，若对任意的x≥0，恒有h(x)≥0，求实数a 的取值范围；(2)设x∈N 且x>2，试证明：ln x≥＋＋＋…＋.(1)[解] h(x)＝ln(x ＋1)－，则h(x)的定义域为(－1，＋∞)，h′(x)＝－＝.①当0<a ≤1时，对任意的x ≥0，h ′(x)≥0恒成立，则h(x)在[0，＋∞)上单调递增，h(x)≥h(0)＝0，所以满足题意．②当a>1时，h(x)在x ∈(0，a －1]上单调递减，h(x)在x ∈[a －1，＋∞)上单调递增．若对任意的x≥0，恒有h(x)≥0，则h(x)的最小值h(a －1)＝ln a ＋1－a≥0恒成立．令m(a)＝ln a ＋1－a(a>1)，则m′(a)＝，m′(a)<0，m(a)在a∈(1，＋∞)上单调递减，所以当a∈(1，＋∞)时，有m(a)<m(1)＝0，与h(a －1)＝ln a ＋1－a≥0恒成立矛盾．所以实数a 的取值范围为(0,1]．(2)[证明] 由(1)知，ln(1＋x)≥，所以ln x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21×32×43×…×xx －1 ＝ln 2＋ln ＋ln ＋…＋ln x x －1＝ln(1＋1)＋ln ＋ln ＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1 ≥＋＋…＋1x －11＋1x －1＝＋＋＋…＋.所以ln x≥＋＋＋…＋.。
2018年高考高考数学(理)一轮复习真题演练：第7章 7-3 基本(均值)不等式及应用
真题演练集训1．[2016·江苏卷]在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin Bsin C ，则tan Atan Btan C 的最小值是________．答案：8解析：由sin A ＝sin(B ＋C)＝2sin Bsin C ，得sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bsin C ，两边同时除以cos Bcos C ，得tan B ＋tan C ＝2tan Btan C ，令tan B ＋tan C ＝2tan Btan C ＝m ，因为△ABC 是锐角三角形，所以2tan Btan C>2tan Btan C ，则tan Btan C>1，m>2.又在三角形中有tan Atan Btan C ＝－tan(B ＋C)tan Btan C＝－m 1－12m ·12m ＝m 2m －2＝m －2＋4m －2＋4 ≥2m －24m －2＋4＝8， 当且仅当m －2＝4m －2，即m ＝4时等号成立， 故tan Atan Btan C 的最小值为8.2．[2014·福建卷]要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)． 答案：160解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4x m ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ×4x ＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立， 所以该容器的最低总造价为160元．3．[2013·天津卷]设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值． 答案：－2解析：∵a ＋b ＝2，∴12|a|＋|a|b ＝24|a|＋|a|b＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b≥a 4|a|＋2 b 4|a|×|a|b ＝a 4|a|＋1. 当且仅当b 4|a|＝|a|b且a<0， 即b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值．课外拓展阅读基本(均值)不等式在压轴题中的应用关于基本(均值)不等式的高考试题，它可以涉及的知识点很多，尤其是在数列、解析几何中运用时，难度一般较大，需要有较强的分析问题及解决问题的能力．1．与数列搭配基本不等式在数列解答题中多出现在第(2)问中，常见的是比较大小或证明不等式，问题的求解需要有较强的运算能力．[典例1] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，a 1＝1，且a 1，a 2，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设b n ＝2S n 2n －1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：2T n －9b n －1＋18>64b n n ＋9b n ＋1(n>1)． [思路分析] (1)根据等差数列和等比数列的性质易求；(2)中数列{b n }满足b n ＝2S n 2n －1，这是一个等差数列的前n 项和与一个关于n 的一次函数之比，数列{b n }极可能也是一个等差数列，求出其和后，根据不等式的有关知识解决．(1)[解] 因为a 1，a 2，a 7成等比数列，所以a 22＝a 1a 7，即(a 1＋d)2＝a 1(a 1＋6d)．又a 1＝1，d ≠0，所以d ＝4.所以S n ＝na 1＋n n －12d ＝n ＋2n(n －1)＝2n 2－n.(2)[证明] 因为b n ＝2S n 2n －1＝2n 2n －12n －1＝2n ， 所以{b n }是首项为2，公差为2的等差数列．所以T n ＝n 2＋2n 2＝n 2＋n.所以2T n －9b n －1＋18＝2n 2＋2n －18(n －1)＋18＝2n 2－16n ＋36＝2(n 2－8n ＋16)＋4＝2(n －4)2＋4≥4，当且仅当n ＝4时等号成立．①64b nn ＋9b n ＋1＝64×2n n ＋92n ＋1 ＝64nn 2＋10n ＋9＝64n ＋9n ＋10≤646＋10 ＝4，当且仅当n ＝9n，即n ＝3时等号成立．② 又①②中等号不可能同时取到，所以2T n －9b n －1＋18>64b n n ＋9b n ＋1(n>1)．温馨提示 本题在求解时注意，两次放缩取等号的条件不一致，最后结果不能取等号．2．与函数、导数共现在函数的解答题中出现的基本(均值)不等式一般都与导数有密切的联系，在多数情况下问题的求解需要构造新的函数，通过合理转化，巧妙放缩去完成．求解这类问题一般难度较大，在高考中常以压轴题的形式出现，需要较强的综合能力．[典例2] 已知h(x)＝ln(x ＋1)－ax x ＋1. (1)当a>0时，若对任意的x ≥0，恒有h(x)≥0，求实数a 的取值范围；(2)设x ∈N 且x>2，试证明：ln x ≥12＋13＋14＋…＋1x. (1)[解] h(x)＝ln(x ＋1)－ax x ＋1， 则h(x)的定义域为(－1，＋∞)，h ′(x)＝11＋x －a 1＋x 2＝x ＋1－a1＋x 2.①当0<a ≤1时，对任意的x ≥0，h ′(x)≥0恒成立，则h(x)在[0，＋∞)上单调递增，h(x)≥h(0)＝0，所以满足题意．②当a>1时，h(x)在x ∈(0，a －1]上单调递减，h(x)在x ∈[a －1，＋∞)上单调递增．若对任意的x ≥0，恒有h(x)≥0，则h(x)的最小值h(a －1)＝ln a ＋1－a ≥0恒成立．令m(a)＝ln a ＋1－a(a>1)，则m ′(a)＝1－a a，m ′(a)<0， m(a)在a ∈(1，＋∞)上单调递减，所以当a ∈(1，＋∞)时，有m(a)<m(1)＝0， 与h(a －1)＝ln a ＋1－a ≥0恒成立矛盾． 所以实数a 的取值范围为(0,1]．(2)[证明] 由(1)知，ln(1＋x)≥x 1＋x， 所以ln x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21×32×43×…×x x －1 ＝ln 2＋ln 32＋ln 43＋…＋ln xx －1 ＝ln(1＋1)＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1 ≥12＋121＋12＋…＋1x －11＋1x －1＝12＋13＋14＋…＋1x. 所以ln x ≥12＋13＋14＋…＋1x.。
创新方案高考数学一轮复习第七章不等式第四节基本均值不等式课件理
求其和的最小值，是每年高考的重点内容，且主要有以下几个
命题角度：
角度一：通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值
[典题 1] (1)已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大值时 x 的值
为( )
A.13
B.12
C.34
D.23
第十页，共35页。
(2)若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于
答案：4
第十七页，共35页。
[ 探 究 1] ________．
本 例 的 条 件 不 变 ， 则 1＋1a 1＋1b 的 最 小 值 为
解析：1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b＝2＋ba·2＋ab＝5＋ 2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当 a＝b＝12时，取等号．
答案：9
第十八页，共35页。
第二十五页，共35页。
(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max，a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min， (2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本(均值) 不等式的问题可考虑利用函数的单调性．
第二十六页，共35页。
已知函数 f(x)＝x＋x－p 1(p 为常数，且 p>0) ，若 f(x)在(1，
第十五页，共35页。
(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一 正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是 指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等” 是指满足等号成立的条件．
(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵 活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不 等式．
第四页，共35页。
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1 解析：当 x>0 时，y＝x＋ ≥2 x
1 x·＝2， x
1 当且仅当 x＝ ，即 x＝1 时取等号，故 y 的最小值为 2. x 当 x<0 时，－x>0，
1 1 y＝x＋ ＝－－x＋－x x
a＝b 时等号成立． (2)等号成立的条件：当且仅当________
2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥________( a，b∈R)． 2ab b a 2 (2) ＋ ≥________( a，b 同号)． a b
a＋b 2 (3)ab≤ 2 (a，b∈R)． a2＋b2 a＋b2 (4) ≥ (a，b∈R)． 2 2
[典题 1] 值为( B ) 1 A. 3 3 C. 4
(1)已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大值时 x 的
1 B. 2 2 D. 3
[解析] 所以
பைடு நூலகம்
因为 0<x<1，
x＋1－x 3 2 x(3－3x)＝3x(1－x)≤3 ＝4. 2
1 当且仅当 x＝1－x，即 x＝ 时等号成立． 2
利用基本不等式确定最值的两种常见类型：代换变形；变 量是负数．
9 1 4 2 (1)已知 a>0， b>0， a＋b＝2， 则 y＝ ＋ 的最小值是________ ． a b
a＋b 解析：∵a＋b＝2，∴ ＝1， 2
1 2a 4 b 1 4 5 5 a＋b ∴ ＋ ＝ a＋b ＝ ＋ b ＋2a ≥ ＋ 2 a b 2 2 2 2a b 当且仅当 ＝ ，即 b ＝ 2 a 时，等号成立 . b 2a
≤－2
1 －x×－ ＝－2， x
1 当且仅当－x＝－ ，即 x＝－1 时取等号， x 故 y 的最大值为－2.
π 4 5 (2)函数 y＝sin x＋ ，x∈0，2 的最小值为________ ． sin x
4 解析： y＝sin x＋ ≥2 sin x sin x＝± 2，显然取不到等号． 事实上， 设 t＝sin
2a b 9 · ＝ b 2a 2
1 4 9 故 y＝ ＋ 的最小值为 . a b 2
4 －4 (2)已知 0<x<1，则 y＝lg x＋ 的最大值是________ ． lg x
解析：∵0<x<1，∴lg x<0，－lg x>0， ∴－y＝－lg ≥2 －lg
4 x＋ －lg 4 x× －lg x ＝4， x
5 1 (2)已知 x＜ ，求 f(x)＝4x－2＋ 的最大值． 4 4x－5
[解]
5 因为 x＜ ，所以 5－4x＞0， 4
1 1 则 f(x)＝4x－2＋ ＝－5－4x＋ ＋3 5 － 4 x 4x－5
≤－2＋3＝1. 1 当且仅当 5－4x＝ ，即 x＝1 时等号成立． 5－4x 1 故 f(x)＝4x－2＋ 的最大值为 1. 4x－5
1 1 9 3 解析：由 x(3－3x)＝ ×3x(3－3x)≤ × ＝ ，当且仅当 3x 3 3 4 4 1 ＝3－3x，即 x＝ 时，等号成立． 2
4 (2)若 x>1，则 x＋ 的最小值为________ ． 5 x－1
4 4 解析：x＋ ＝x－1＋ ＋1≥4＋1＝5， x－1 x－1 4 当且仅当 x－1＝ ，即 x＝3 时，等号成立. x－1
x＝y 时，x＋y 有 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当________ 小 最________ 值是 2 p.(简记：积定和最小)
x＝y 时，xy 有 (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当________
p2 大 最________ 值是 .(简记：和定积最大) 4
1.基本不等式的两个易错点：忽视不等式成立的条件；忽视 等号成立的条件． 1 2 (1)函数 y＝x＋ 在区间(0，＋∞)上的最小值是________ ，在 x
4 4 sin x· ＝4， 当 sin x＝ 时， sin x sin x
π x， x∈0，2 则 ，
4 t∈(0,1]， 易知 y＝t＋ 在 t
(0,1]上为减函数，故当 t＝1 时，y 取得最小值 5.
2．应用基本不等式的技巧：凑；拆．
1 (1)已知 0<x<1， 则 x(3－3x)取得最大值时， x 的值为________ ． 2
必考部分
第七章
不等式
§7.3
基本(均值)不等式及应用
考纲展示► 1.了解基本(均值)不等式的证明过程． 2．会用基本(均值)不等式解决简单的最大(小)值问题．
考点 1 利用基本(均值) 不等式求最值
1.基本(均值)不等式
a＋b a＋b≤ 2
a>0，b>0 (1)基本(均值)不等式成立的条件：____________.
4 1 当且仅当－lg x＝ ，即 x＝ 时，等号成立，故 ymax 100 －lg x ＝－4.
[考情聚焦]
利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两
个非负数的和为定值求其乘积的最大值， 或已知两个非负数的乘 积为定积求其和的最小值，是每年高考的重点内容． 主要有以下几个命题角度： 角度一 通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值
2 y (3)已知 x 为正实数且 x2＋ ＝1，求 x 2 [解] 因为 x＞0，
1＋y2的最大值．
所以 x
1＋y2＝ 2
2 1 y ＋ x2 2 2
3．算术平均数与几何平均数 a＋b 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 2 ab，基本(均值)不等式可叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 __________________________________________________.
4．利用基本(均值)不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则