【数学】河北省石家庄市正定中学2014-2015学年高二上学期期中考试
河北省正定中学14—15学年下学期高二第一次月考数学试题(附答案)
河北正定中学高二第二学期第一次数学试卷说明：1.考试时间120分钟，满分150分。
2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。
试卷Ⅰ（共 60 分）一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ，每题5分，共60分。
请把答案涂在答题卡上） 1．复数i215+的共轭复数为( )A ． i 31035--B ．i 31035+-C ．i 21- D. i 21+2．已知一个线性回归方程为455.1+=∧x y ，其中x 的取值依次是1,7,5,13,19，则=y ( ) A ． 46.5 B ．58.5 C ． 60 D. 753．已知随机变量ξ服从正态分布)1,2(N ，且a x P =≤≤)31(，则=>)3(x P ( ) A ．2a B.21a -C ．a -1 D.21a -4．某中学高一年级有540人，高二年级有440人，高三年级有420人，用分层抽样的方法抽取样本容量为70的样本，则高一、高二、高三三个年级分别抽取 ( ) A ．28人、24人、18人 B ．27人、22人、21人 C ．26人、24人、20人 D. 25人、24人、21人 5．对任意非零实数b a ,，若b a ⊗的运算规则如右图的程序框图所示，则4)23(⊗⊗的值是( ) A ．0 B ．21 C ．23 D. 96．下列说法：○1将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；○2设一个回归方程y=3-5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ○3线性回归方程y b x a =+必过(),x y ；○4在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系.其中错误的个数是A ．0B ．1C ．2 D.3本题可以参考独立性检验临界值表7.(2nx-的展开式的各个二项式系数之和为64，则在(2nx -的展开式中，常数项为( )A ．120-B ．120C ． 60- D. 608．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A ． 1727B ． 59C ． 1027D. 139．双曲线22221xya b λλ+=--（22b a>>λ）的焦点坐标为( )A ．)0,(22b a +± B.)0,(22b a -± C.)0,2(22λ-+±b a D.),0(22b a +± 10．已知四棱锥P A B C D -，现要在四棱锥的各个面上涂色，有4种不同的颜色可供选择，要求相邻的面不同色，则不同的涂色方法有（ ）种 A ．48 B ．60 C ．72 D. 12011．甲、乙两人独立地从四门选修课程中任选两门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则=ξE ( )A ．1B ．23 C ．2 D.2512．已知定义域为R 的奇函数)(x f 的导数为)(x f '，当0≠x 时，0)()(>+'xx f x f ，若)2(ln 21ln),2(2),21(21f c f b f a =--==，则下列关于c b a ,,的大小关系正确的是（ ）A ．c b a >> B. b c a >> C ．a b c >> D. c a b >>试卷Ⅱ（共 90 分）二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上） 13．某篮球运动员在三分线处投球的命中率是53，若他在此处投球3次，则恰好投进2个球的概率是______________14．将5位志愿者分成3组，其中两组各2个人，另一组1人，分赴世博会的3个不同场馆服务，不同的分配方案有___________种（数字作答） 15．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为16．已知抛物线x y 82=的焦点为F ，点),(y x P 为该抛物线上的动点，若点)0,2(-A ，则PFPA 的最大值是___________三、解答题（本题共6个小题 共计70分。
河北省正定中学高二上学期期中考试(数学文).pdf
河北省正定中学2011-2012学年度上学期高二期中考试（数学文） 参考公式：台体的体积公式为：，其中，分别为台体的上、下底面积，为台体的高. 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
） 1.设集合则（ ） A． B． C． D． 2. 已知命题、,“非为真命题”是“或是假命题”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个 两底长分别为和，腰长为的等腰梯形，则该几何体 的体积是（ ） . . . . 4．已知函数的最小正周期为， 则函数的图像的一条对称轴方程是（ ） A． B． C． D． 5. 已知等差数列的前n项和为，若、、三点共线，为坐标原点，且(直线不过点)，则等于（ ） . . . . 6．设，则（ ） . . . . 7．直线与双曲线的位置关系是（ ） Ａ．相交 Ｂ．相切 Ｃ.相离 Ｄ．与的值有关 8.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为（ ） Ａ．6 Ｂ．12 Ｃ. 18 Ｄ．16 9. 经过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线的方程是（ ） Ａ． Ｂ. Ｃ. Ｄ． 10．已知,为圆上两点，且弦长等于半径，为圆内任意一点，则落在小 扇形内的概率为（ ） A． B． C． D． 11. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线 的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是 A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
） 13. 执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，图中判断框内处应填的数为 14．从某地区随机抽取100名高中男生，将他们的体重（单位：）数据绘制成频率分布直方图（如图）。
河北正定中学2013-2014学年高二上学期第三次月考数学试题
数 学 试 题一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为（ ）A.042,2≥+-∈∀x x R xB.042,2>+-∈∀x x R xC.042,2>+-∈∃x x R xD.042,2>+-∉∃x x R x2. 在等差数列{}n a 中，已知4816,a a +=则210a a +=（ ）A.12B.16C.20D.243. 双曲线的两条渐近线方程为34y x =±,则双曲线的离心率为( ) A.45 B.2 C.45或35D.25或2154. 一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是 （ ） A ．6 B ．12 C ．24 D ．365. 已知命题87p :≤；命题q :函数cos y x =的图像关于直线2x π=对称。
则下列判断正确的是（ ）A. p 为真B.q ⌝为假C.p q ∧为假D.p q ∨ 为真 6. 甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示， 12,x x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的众数，12,s s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有( )A. 1212,x x s s ><B. 1212,x x s s =<C. 1212,x x s s ==D. 1212,x x s s => 7. 若圆心在x 轴上、半径为的圆O 位于y 轴左侧，且与直线+2=0x y 相切，则圆O 的方程是（ ）ABC ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++=8. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）甲乙012965541835572正(主)视图俯视图侧(左)视图A.1321B.2113C.813D.1389. 已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的右焦点为(3,0)F，过点F的直线交椭圆于,A B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )A.221189x y+= B.2213627x y+=错误！未找到引用源。
河北省正定中学14—15学年下学期高二期中考试数学(附答案)
高二第二学期期中考试数学一、选择题：(本大题共有12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1．复数iiz +=1（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知命题p ：R x ∈∀，0122>+x ，则p ⌝是（ ）A.0122≤+∈∀x R x ，B.0122>+∈∃x R x ，C.0122<+∈∃x R x ，D.0122≤+∈∃x R x ， 3.圆02:22=-+x y x C 的圆心到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ）B ．12C ．1D 4．如右图所示，程序框图输出的结果为（ ） A ．15B ．16C ． 136D ． 1535．二项式6(ax 的展开式的第二项的系数为3-，则22a x dx -⎰的值为（ ）A ．3B ．73 C ．3或73 D ．3或310- 6．从6,5,4,3,2,1中任取2个不同的数，事件=A “取到的2个数之和为偶数”，事件=B “取到的2个数均为偶数”，则=)(A B P ( )A ．81 B. 41 C.52 D. 217．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为o m ，平均值为x ，则（ ） A ． e o m m x == B ．e o m m x =< C ．e o m m x << D ．o e m m x <<8．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题 讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安 排方法共有（ ）9．若函数()f x 的导函数，则使得函数(1)f x -单调递减的一个充分不必要条件是x ∈( )A ．[]0,1B ．[]3,5C ．[]2,3D ．[]2,4 10．已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ） A ．233 B ． 236 C ． 113 D ． 10311．已知P 是双曲线)0(14222>=-b byx 上一点，1F 、2F 是左右焦点，21F PF ∆的三边长成等差数列，且︒=∠12021PF F ，则双曲线的离心率等于（ ） A.753B. 253 C.72D.2712．定义在)20(π，上的函数)(')(x f x f ，是它的导函数，且恒有x x f x f tan )(')(<成立，则（ ） A.)3(2)4(3ππf f >B. 1sin )6(2)1(πf f <C.)4()6(2ππf f >D.()()43ππ二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分).13．极坐标方程分别是θρcos =和θρsin =的两个圆的圆心距是14．1000名考生的数学成绩近似服从正态分布(100,100)N ，则成绩在120分以上的考生人数约为 .（注：正态总体2(,)N μσ在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+,(3,3)μσμσ-+，内取值的概率分别为0.683，0.954，0.997）． 15．1234212,21334,2135456,213575678,⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯…依此类推，第n 个等式为 .16. 已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是线段11C A 上的动点，则四棱锥ABCD P -的外接球半径R 的取值范围是 ．三、解答题（本题共6个小题 共计70分。
石家庄市正定中学2013-2014学年高二上学期期末考试数学试题及答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U R =且}086|{},2|1||{2<+-=>-=x x x B x x A ，则B A C u ⋂)(=（ ）A ．[)4,1-B ．()3,2C ．(]3,2D ．()4,1-2. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.123． 已知命题p 、q ,“非p 为真命题”是“p 或q 是假命题”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知1)(,0,20,ln )(>⎩⎨⎧<+>=x f x x x x x f 则的解集为（ ）A ．(1,0)(0,)e -B ．(,1)(,)e -∞-+∞C ．(1,0)(,)e -+∞D ．(,1)(0,)e -∞-5． 在△ABC 中，若30A =，8a =，b =ABC S ∆等于 （ ）A． B．C．或．6. 如右图, 是一程序框图, 则输出结果为A.49 B. 511 C. 712 D. 6137．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正 三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的 表面积为 A ．π34 B ．π38 C ．π316 D ．π3328. 已知点O 是以角B 为直角顶点的ABC ∆的外心，且||2AB =，||4AC =，则AO BC ⋅=A. 2B. 4C. 6D.俯视图9．已知{(,)|01,01}x y x y Ω=≤≤≤≤，A 是由直线)10(,0≤<==a a x y 和曲线3x y =围成的曲边三角形的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P ，点P 落在区域A 内的概率是641，则a 的值为( ) A ．641 B ．81C ．41 D ．21 10. 右图是一次考试结果的频数分布直方图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为( ) A. 46 B. 36 C. 56 D. 60 11. 在正方体1111ABCD A BC D -中，若E 是AD 的中点，则异面直线1A B 与1C E 所成角的大小是 ( ) A.6πB.4πC.3πD.2π12．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别12,F F ，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，12PF F ∆的内切圆的圆心为I ，且⊙I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的率心率，则( )A ．||||OB e OA =B ．||||OA e OB =C ．||||OB OA =D ．||,||OB OA 关系不确定二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．实数,x y 满足条件1,0,0,x y y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩则22(1)z x y =-+的取值范围是 .14．已知向量(1,2),(4,)a x b y =-= ,若a b ⊥ ，则93x y+的最小值为．15．在等比数列{}n a 中，首项123a =，441(12)a x dx =+⎰，则公比q 为．16．下列四个命题：①命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a =，则0ab ≠”； ②若命题22:,10,:,10p x R x x p x R x x ∃∈++<⌝∀∈++≥则；③若命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，则命题q 一定是真命题； ④命题“若101,log (1)log (1)a a a a a<<+<+则”是真命题. 其中真命题为三、解答题（共70分。
河北省正定中学高二上学期期中考试(数学理).pdf
面积为（ ）
A．100
B．50 C．
D．
8．已知，若的充分条件，则实数取值范围是
A．B．C．D．
9．一个各面都涂满红色的4×4×4（长、宽、高均为4）正方体，被锯成同样大小的单位（长宽高均为1）小正方体
，将这些小正方体放在一个不透明的袋子中，充分混合后，从中任取一个小正方体，则取出仅有一面涂有色彩的小正方
河北省正定中学2011-2012学年度上学期高二期中考试试卷（数学理）
参考公式：台体的体积公式为：，其中，分别为台体的上、下底面积，为台体的高.
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
。）
1. 已知命题、,“非为真命题”是“或是假命题”的（ ）
是 结束 输出 开始 俯视图 侧视图 正视图 否
填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13. 执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，图中判断框内处应填的数为
14．从某地区随机抽取100名高中男生，将他们的体重（单位：）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数
据可知体重的平均值为 。
16．有如下四个命题：
①命题“有的三角形是直角三角形”的否定为“所有 B． C． D．
10.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是
A．B．C．D．
12．已知椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于的中点，则该椭圆的离心
率为（ ）
A．
B． C． D．
.
.
.
4. 已知等差数列的前项和为，若、、三点共线，为坐标原点，且(直线不过点)，则等于（ ）
【精品】2016年河北省石家庄市正定中学高二上学期期中数学试卷带解析答案(理科)
2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分） 1．（5分）设p ：1＜x ＜2，q ：2x ＞1，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．（5分）命题“存在x 0∈R ，2x0≤0”的否定是（ ） A ．不存在x 0∈R ，2x0＞0B ．存在x 0∈R ，2x0≥0C ．对任意的x ∈R ，2x ＜0D ．对任意的x ∈R ，2x ＞0 3．（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（ ） A ． B ． C ．D ．4．（5分）设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是（ ） A ．若a 1+a 2＞0，则a 2+a 3＞0 B ．若a 1+a 3＜0，则a 1+a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2D ．若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）＞05．（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．6．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M=（ ）A．B．C．D．7．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．C．3 D．18．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣a）2+y2=a2截得的弦长为a．则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．9．（5分）已知=（1，sinα），=（cos2α，2sinα﹣1），α∈（，π）．若•=，则tan（α+）的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣10．（5分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB 为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）π D．π11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=．14．（5分）双曲线﹣=1的离心率为，则m等于．15．（5分）如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是．16．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）在△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cosBsinA﹣2sinA=sin （A﹣B），且a=2，cosC=，求b及△ABC的面积．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m，n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．20．（12分）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值．（Ⅰ）确定a的值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）e x，讨论g（x）的单调性．21．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1，BC 的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；（2）已知存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，请说明点D的位置．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分）1．（5分）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由1＜x＜2可得2＜2x＜4，则由p推得q成立，若2x＞1可得x＞0，推不出1＜x＜2．由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件．故选：A．2．（5分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x＜0 D．对任意的x∈R，2x＞0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是：对任意的x∈R，2x＞0．故选：D．3．（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A．B．C．D．【解答】解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，则顶点到渐近线的距离d=．故选：C．4．（5分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B 不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0，即D不正确．故选：C．5．（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：这2只球颜色不同的对立事件是2只球都是黄球，摸出的2只球都是黄球的概率：p1==，∴由对立事件概率性质得这2只球颜色不同的概率为：p=1﹣p1=1﹣=．故选：A．6．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．7．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．C．3 D．1【解答】解：由约束条件作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与定点M（0，1）连线的斜率，联立，解得A（﹣1，﹣1），∴的最大值为．故选：A．8．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣a）2+y2=a2截得的弦长为a．则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，∵渐近线被圆（x﹣a）2+y2=a2截得的弦长为a，∴=a，∴c2=2b2，∴e=．故选：B．9．（5分）已知=（1，sinα），=（cos2α，2sinα﹣1），α∈（，π）．若•=，则tan（α+）的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵=（1，sinα），=（cos2α，2si nα﹣1），α∈（，π）．若•=，∴=cos2α﹣sinα+2sin2α=1﹣sinα；解得sinα=，cosα=﹣∴tanα==﹣．tan（α+）==．故选：D．10．（5分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB 为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）π D．π【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4=0的距离为：d==，此时r=∴圆C的面积的最小值为：S min=π×（）2=．故选：A．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，=，∴S△ABC∴V==．三棱锥S﹣ABC故选：C．12．（5分）已知F 为抛物线y 2=x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，•=2（其中O 为坐标原点），则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．D ．【解答】解：设直线AB 的方程为：x=ty +m ，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 直线AB 与x 轴的交点为M （m ，0）， 由⇒y 2﹣ty ﹣m=0，根据韦达定理有y 1•y 2=﹣m ， ∵•=2，∴x 1•x 2+y 1•y 2=2， 结合及，得，∵点A ，B 位于x 轴的两侧，∴y 1•y 2=﹣2，故m=2． 不妨令点A 在x 轴上方，则y 1＞0，又，∴S △ABO +S △AFO ═×2×（y 1﹣y 2）+×y 1，=．当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3， 故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=﹣1．【解答】解：由题意得，y′=k+，∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，∴k+1=0，得k=﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）双曲线﹣=1的离心率为，则m等于9．【解答】解：∵双曲线可得a2=16，b2=m，又离心率为，则，解得m=9．故答案为9．15．（5分）如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是20+3π．【解答】解：由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为2的正方体，下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半，∴该几何体的表面积S=5×22+π×12+=20+3π．故答案为：20+3π．16．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：根据“对称函数”的定义可知，，即h（x）=6x+2b﹣，若h（x）＞g（x）恒成立，则等价为6x+2b﹣＞，即3x+b＞恒成立，设y1=3x+b，y2=，作出两个函数对应的图象如图，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=，即|b|=2，∴b=2或﹣2，（舍去），即要使h（x）＞g（x）恒成立，则b＞2，即实数b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）在△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cosBsinA﹣2sinA=sin （A﹣B），且a=2，cosC=，求b及△ABC的面积．【解答】解：∵2cosBsinA﹣2sinA=sin（A﹣B），可得：2cosBsinA﹣2sinA=sinAcosB ﹣cosAsinB，∴整理可得sinC=2sinA，由正弦定理可得：c=2a，①由余弦定理可知cosC==，②再由a=2，①②联立求得b=4，c=4，sinC==，∴S=absinC==．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，当n＞1时，2S n=3n﹣1+3，﹣1此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．19．（12分）某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m，n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．【解答】解：（I）由直方图知，成绩在[60，80）内的人数为：50×10×（0.18+0.040）=29．所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．（3分）（II）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2，设成绩为x、y（5分）成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c，（6分）若m，n∈[50，60）时，只有xy一种情况，（7分）若m，n∈[90，100]时，有ab，bc，ac三种情况，（8分）若m，n分别在[50，60）和[90，100]内时，有共有6种情况，所以基本事件总数为10种，（9分）事件“|m﹣n|＞10”所包含的基本事件个数有6种（10分）∴．（12分）20．（12分）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值．（Ⅰ）确定a的值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）e x，讨论g（x）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x．∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值，∴f′（﹣）=0，∴3a•+2•（﹣）=0，∴a=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（x3+x2）e x，∴g′（x）=（x2+2x）e x+（x3+x2）e x=x（x+1）（x+4）e x，令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数．21．（12分）在直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1，BC 的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；（2）已知存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，请说明点D的位置．【解答】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），且λ∈[0，1]，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），则D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），∵=（0，1，），∴•==0，所以DF⊥AE；（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．理由如下：设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，∵=（，，），=（，﹣1），∴，即，令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜，＞|==，即=，解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．【解答】解：（1）由题意得：，a2﹣b2=c2，得b=c，因为椭圆过点A（﹣，），则+=1，解得c=1，所以a2=2，所以椭圆C方程为．（2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得，．当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，令M（x 1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=1，|MN|=•．即有，∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为：y=﹣（x﹣1），将直线与椭圆联立得，（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0，令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4=，x3x4=，由弦长公式|PQ|=•，代入计算可得，∴四边形PMQN的面积S=|MN|•|PQ|=，令1+k2=t，（t＞1），上式=，所以．最小值为．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
河北省正定中学2014-2015学年高二4月月考数学(文)试题及答案
数学一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）． 1．已知集合1{|0}1xA x x+=≥-,集合{sin ,}B y y x x R ==∈,则R B A =ðI （ ） A ．∅ B ．{1} C ．{－1} D ．{－1,1}2．命题“,x x e x ∀∈>R ”的否定是（ ）A ．,x x e x ∃∈<RB ．,x x e x ∀∈<RC ．,x x e x ∀∈≤RD ．,x x e x ∃∈≤R 3．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是（ ）A ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20% 4．已知为{}n a 等比数列，n S 是它的前n 项和.若35114a a a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值为（ ） A.35 B.33 C.31D.295．实数m 为区间[0,6]上的随机数，则关于x 的方程240x mx -+=有实根的概率为（ ） A.14 B. 13C. 12D. 23 6．已知点()y x P ,的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为（ ） A ．[]8,2 B ．(]8,2 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,516 D ．⎥⎦⎤⎝⎛8,516 7．已知角α是第二象限角,且3sin 5α=, ()sin 2cos cos2sin f x x x αα=+的图像关于直线0x x =对称,则0tan x =（ ）A ．724－B ．247C ．34－ D ．438．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的 表面积是（单位2m ）（ ）A ．624+B ．64+C ．224+D ．24+ 9.下图是某次考试对一道题评分的算法框图，其中123,,x x x 为三个评阅人对该题的独立评分，p 为该题的最终得分，当126,9,8.5x x p ===时，3x 等于（ ）A ．11B ．10C ．8D ．710. 函数21()x f x e -=的部分图象大致是（ ）11. 已知定义在R 上的函数()=y f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且()01f =，则不等式()<x f x e 的解集为（ ）A. 4(,)-∞eB. 4(,)+∞eC. (,0)-∞D. (0,)+∞12.已知椭圆2215x y +=，椭圆的中心为坐标原点O ，点F 是椭圆的右焦点，点A 是椭圆短轴的一个端点，过点F 的直线l 与椭圆交于M N 、两点，与OA 所在直线交于E 点，若12,,EM MF EN NF λλ==，则12λλ+=（ ）A.10-B.10C. 5-D. 5第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．13．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第 象限．14．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴相交于点K ，直线l 过焦点F 且倾斜角为α，则点K 到直线l 的距离为 ． 15.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 ．16．方程(0)169x x y yλλ+=<的曲线即为函数()y f x =的图像，对于函数()y f x =，下列命题中正确的是 ．（请写出所有正确命题的序号）①函数()y f x =在R 上是单调递减函数； ②函数()y f x =的值域是R ；③函数()y f x =的图像不经过第一象限； ④函数()y f x =的图像关于直线y x =对称； ⑤函数()4()3F x f x x =+至少存在一个零点三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，31 , cos . 4AB BC C ===（1）求sin A 的值； （2）求CA CB ⋅的值.18．（本小题满分12分）某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），数学成绩分组及各组频数如下：[40，50），2；[50，60），3；[60，70），14；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，4． （Ⅰ）估计成绩在80分以上学生的比例； （Ⅱ）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[40，50）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．19．（本小题满分12分）已知四棱锥E ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=o，2,AB EC ==AE BE ==,O 为AB 的中点.（1）求证：EO ⊥平面ABCD ； （2）求点D 到面AEC 的距离． 20．（本小题满分12分）如图，已知圆E ：22(16x y +=，点F ，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知,,A B C 是轨迹Γ的三个动点，A 与B 关于原点对称，且||||CA CB =，问△ABC 的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点C 的坐标，若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分） 已知a R ∈，函数()ln 1af x x x=+-，()()ln 1x g x x e x =-+（其中e 为自然对数的底数）．（1）判断函数()f x 在区间(0,]e 上的单调性；（2）是否存在实数0(0,]x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直?若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．如图，PA 为圆 O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA=10，PB=5．求：(Ⅰ)圆 O 的半径；(Ⅱ) sin BAP ∠的值． 23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程在直 角 坐 标 系xOy 中，曲线1C 的参数方程为 sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参 数)，以 原点O 为 极 点，以x 轴 正 半 轴为 极 轴，建立极 坐 标 系，曲线2C 的极坐标方程为24)4sin(=+πθρ(1) 求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程;(2) 设P 为曲线1C 上的 动 点，求 点P 到2C 上点的距离的最小值，并求此时点P 坐标.解：（I ）证明：连接CO 2AE EB AB ===Q AEB ∴V 为等腰直角三角形Q O 为AB 的中点,1EO AB EO ∴⊥=……………………2分 又,60AB BC ABC =∠=oQACB ∴V 是等边三角形CO ∴=，………………………………4分 又2,EC =222EC EO CO ∴=+，即E O ∴⊥EO ABCD ∴⊥平面……………………6分（II ）设点D 到面AEC 的距离为h 2AE AC EC ===Q∴2AEC S =V …………8分Q ADC S =V ,E 到面ACB 的距离1EO =D AECE ADC V V --=Q ∴AEC ADC S h S EO ⋅=⋅V V ………………………………10分h ∴=∴点D 到面AEC ……………………12分20解：（Ⅰ）连结QF ，根据题意，|QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝4||EF >=故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆． ··································· 2分设其方程为22221(0)x x a b a b+=>>，可知2a =，c =1b =， ····· 3分所以点Q 的轨迹Γ的方程为为2214x y +=． ····························································· 4分（Ⅱ）存在最小值． ··································································································· 5分 （ⅰ）当AB 为长轴（或短轴）时，可知点C 就是椭圆的上、下顶点（或左、右顶点），则1||||22ABC S OC AB ab ∆=⨯⨯==． ··········································································· 6分（ⅱ）方法一、当直线AB 的斜率存在且不为0时，设斜率为k ，则直线AB 的直线方程为y kx =，设点(,)A A A x y ，联立方程组221,4,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得22414A x k =+，222414A k y k =+， 由||||CA CB =，知△ABC 是等腰三角形，O 为AB 的中点，则OC ⊥AB ，可知直线OC 的方程为1y x k =-，同理可得点C 的坐标满足22244C k x k =+，2244C y k =+，则222222444(1)||141414k k OA k k k +=+=+++，222222444(1)||444k k OC k k k +=+=+++，……8分则222||||||ABC OACS S OA OC OA ∆∆==⨯=． 9分222(14)(4)5(1)22k k k ++++≤， 所以224(1)825(1)52ABC OAC k S S k ∆∆+=≥=+，当且仅当22144k k +=+，即21k =时取等号． 综合（ⅰ）（ⅱ），当21k =时，△ABC 的面积取最小值85， ··································· 11分此时2224445C k x k ==+，22444Cy ==，即C x =C y =， 所以点C的坐标为，，(，(． 12分 方法二、前同（ⅰ），记21t k =+，则1t ≥，所以101t<≤，故ABC S ∆=== 当112t =，即21k =时，211259()24t --+有最大值254，此时ABC S ∆取得最小值85．综合（ⅰ）（ⅱ），当21k =时，△ABC 的面积取得最小值85． ······························· 11分此时2224445C k x k ==+，22444Cy ==，即C x =C y =， 所以点C的坐标为，，(，(． 12分 2当(]00,x e ∈，00x e>，001ln 10x x +-≥，∴00001()ln 1110x g x x e x ⎛⎫'=+-+≥> ⎪⎝⎭．曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程0()0g x '=有实数解． 而()00g x '>，即方程0()0g x '=无实数解．故不存在(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在0x x =处的切线与y 轴垂直……12分。
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河北省石家庄市正定中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题说明：1.考试时间120分钟，满分150分。
2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。
试卷Ⅰ（共 60 分） 一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ，每题5分，共60分。
请把答案涂在答题卡上）1.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是59,则 （ ） A ．4=aB ．5=aC ．6=aD ． 7=a2.命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为 （ ）A ．对任意x R ∈,都有20x < B ．不存在x R ∈,都有20x <C ．存在0x R ∈,使得200x ≥D ．存在0x R ∈,使得200x <3.在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88, 88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差 4.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60), [60,80）,[80,100），若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．605.某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 （ ） A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数6.把389化为四进制数的末位是 （ ）A.1B.2C.3D.0 7．在一次跳伞训练中,甲.乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨8.已知P 为椭圆2212516x y +=上的一个点,M ,N 分别为圆22(3)1x y ＋＋＝和圆22(3)y 4x =－＋上的点，则PM PN ＋的最小值为 ( )A ．5B ．7C ．13D ．159.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =（ ）A ．1B ．32C ．2D ．310."0"a ≤ 是“函数()=(-1)f x a x x 在区间(0,+∞内单调递增”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F , C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF . 若410,8,cos 5AB BF ABF ==∠=，则C 的离心率为 （ ）12.已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于,A B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k = （ ）A ．13 B.C. 23试卷Ⅱ（共 90 分）二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13. 盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示).14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点, P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为___.15．已知直线:100l x y -+=,椭圆22:1259x y C +=.在以椭圆C 的焦点为焦点并与直线l 有公共点的所有椭圆中,长轴最短的椭圆标准方程为 . 16. 已知实数x ∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为________．三、解答题（本题共6个小题 共计70分。
请把解答过程写在答题纸上） 17．（本题满分10分）若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品，在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品，计算这50件不合格品的直径长与标准值的差 (单位：mm)，将(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置上；(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品，据此估算这批产品中的合格品的件数． 18．（本题满分12分） 设p ：实数x 满足)0(03422<<+-a a axx q ：实数x 满足0820622>-+≤--x x x x 或 且非p 是非q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19．（本题满分12分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.20．（本题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、.CO BDEA CDOBE'A图1图2(1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程; (2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程.21．（本题满分12分）如图,椭圆0C :22221(0x y a b a b+=>>,b a ,为常数),动圆22211:C x y t +=,1b t a <<.点12,A A 分别为0C 的左,右顶点,1C 与0C 相交于A ,B ,C ,D 四点.(Ⅰ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;(Ⅱ)设动圆22222:C x y t +=与0C 相交于////,,,A B C D 四点,其中2b t a <<,12t t ≠.若矩形ABCD 与矩形////A B C D 的面积相等, 证明:2212t t +为定值.22．（本题满分12分）如图,点P (0,－1)是椭圆C 1：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：224x y ＋＝的直径，1l ,2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆C 2于A ，B 两点，2l 交椭圆C 1于另一点D ．(1)求椭圆C 1的标准方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线1l 的方程．2014—2015学年度第一学期期中考试高二年级数学试卷 参考答案选择题：ADDBC AABCCBD填空题: 131832215842x y += 38 17. 解：(1)频率分布表（每空1分）(2)由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70；（8分）(3)设这批产品中的合格品数为x 件，依题意有505 000＝20x ＋20，解得x ＝5 000×2050－20＝1980.所以该批产品的合格品件数估计是1 980件．（10分） 18.p ：3a x a <<（2分) q ：4x x <-≥或-2 （6分）（12分）19.(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,O D O E ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD == 由翻折不变性可知A D '=所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,同理可证A O OE '⊥, 又ODOE O =,所以A O '⊥平面BCDE . （6分）(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而A H '==所以cos OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '-- 向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=,(1,DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,3n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦. （12分） 20.[解](1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知2221a ba b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=. （4分） (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=.设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++，，，，， 因为11F P FQ ⊥,所以110F P FQ ⋅=,即21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++ 2271021k k -==+, 解得217k =,即k =.故直线l的方程为10x -=或10x -=.（12分） 21.（1）解：设),(),,(2211y x B y x A ，又知)0,(),0,(21a A a A -，则 直线A A 1的方程为 ),(11a x ax y y ++=（1） 直线B A 2的方程为 ),(11a x ax y y ---=（2） 由（1）,(2)得 )(22221212a x ax y y ---=， （3） 由点),(11y x A 在椭圆0C 上，故1221221=+b y a x 。