黑龙江省哈尔滨一中2017-2018学年高考数学二模试卷(理科) Word版含解析

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黑龙江省哈尔滨2018届高考数学二模试卷(理科)Word版含解析

黑龙江省哈尔滨2018届高考二模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（）A ．2﹣iB ．2+iC ．4﹣iD ．4+i2．设a=（sin17°+cos17°），b=2cos 213°﹣1，c=．则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c ＜a ＜bB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a3．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞x 2；q ：“ab＞1“是“a＞1，b ＞1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（） A ．p ∧qB ．￢p ∧qC ．p ∧￢qD ．￢p ∧￢q4．设变量x ，y 满足约束条件：，则z=|x ﹣2y+1|的取值范围为（）A ．[0，4]B ．[0，3]C ．[3，4]D ．[1，3]5．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x+1）=f （﹣x ），当x ∈（0，]时，f （x ）=（1﹣x ），则f （x ）在区间（1，）内是（）A ．减函数且f （x ）＞0B ．减函数且f （x ）＜0C ．增函数且f （x ）＞0D ．增函数且f （x ）＜06．执行右面的程序框图，如果输出的a 值大于2017，那么判断框内的条件为（）A ．k ＜9？B ．k ≥9？C ．k ＜10？D ．k ≥11？7．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 2011=﹣2011，a 1012=3，则S 2017等于（） A ．1009B ．﹣2017C ．2017D ．﹣10098．现有语文书第一二三册，数学书第一二三册共六本书排在书架上，语文第一册不排在两端，数学书恰有两本相邻的排列方案种数（） A ．144 B ．288 C ．216 D ．3609．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4 B．C．D．210．已知Rt△ABC，AB=3，BC=4，CA=5，P为△ABC外接圆上的一动点，且的最大值是（）A．B．C．D．11．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，点E，F在侧棱PA，PB上且PE=2EA，PF=2FB，点M为四棱锥内任一点，则M在平面EFCD上方的概率是（）A．B．C．D．12．已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，则下列结论中错误的是（）A．∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 B．∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0C．∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 D．∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0二、填空题（本大题共4小题，每题5分.）13．已知f（x）=3cosx﹣4sinx，x∈[0，π]，则f（x）的值域为．14．在二项式（x2+）5的展开式中，含x项的系数是a，则x﹣1dx= ．15．如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角，若A+C=180°，AB=6，BC=4，CD=5，AD=5，则四边形ABCD面积是．16．已知圆：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，直线l：y=kx．给出下面四个命题：①对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；②对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切；③对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；④存在实数k和θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3．其中正确的命题是（写出所以正确命题的编号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n }满足，（n ∈N +）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n }的前n 项和S n ，求证：．18．（12分）哈六中在2017年3月中旬举办了一次知识竞赛，经过层层筛选，最后五名同学进入了总决赛．在进行笔答题知识竞赛中，最后一个大题是选做题，要求参加竞赛的五名选手从2道题中选做一道进行解答，假设这5位选手选做每一题的可能性均为．（Ⅰ）求其中甲乙2位选手选做同一道题的概率．（Ⅱ）设这5位选手中选做第1题的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．19．（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=DC=CB=1，∠A BC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．20．（12分）己知抛物线C1：x2=2py（p＞0）与圆C2：x2+y2=5的两个交点之间的距离为4．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）设过抛物线C1的焦点F且斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点，与圆C2交于C，D两点，当k∈[0，1]时，求|AB|•|CD|的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在（1，f （1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若对任意x∈（，+∞），（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=，Tn=1+2[g（）+g（）+g（）+…+g（）]（n=2，3…）．问：是否存在正常数M，对任意给定的正整数n（n≥2），都有+++…+＜M成立？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆ρ=4cosθ与圆ρ=2sinθ交于O，A两点．（Ⅰ）求直线OA的斜率；（Ⅱ）过O点作OA的垂线分别交两圆于点B，C，求|BC|．23．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2，；（Ⅱ）若a＞0，求证：f（ax）﹣af（x）≤f（a）．黑龙江省哈尔滨2018届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i【考点】A8：复数求模．【分析】化简复数z，写出z的共轭复数即可．【解答】解：复数=|i+1|+i2016•i=+i=2+i，∴复数z的共轭复数为=2﹣i．故选：A．【点评】本题考查了复数的化简与共轭复数的应用问题，是基础题．2．设a=（sin17°+cos17°），b=2cos213°﹣1，c=．则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GT：二倍角的余弦．【分析】利用条件以及两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式，化简a、b、c，再利用正弦函数的单调性判断a，b，c的大小关系．【解答】解：∵a=（sin17°+cos17°）=sin17°cos45°+cos17°sin45°=sin62°，b=2cos213°﹣1=cos26°=sin64°，c=sin60°=，再根据函数y=sinx在（0°，90°）上单调递增，∴b＞a＞c，故选：A．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角的余弦公式，诱导公式，正弦函数的单调性，属于基础题．3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞x2；q：“ab＞1“是“a＞1，b＞1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【考点】2E：复合命题的真假．【分析】命题p：是假命题，例如取x=2时，2x与x2相等．q：由“a＞1，b＞1”⇒：“ab＞1”；反之不成立，例如取a=10，b=．进而判断出结论．【解答】解：命题p：对任意x∈R，总有2x＞x2；是假命题，例如取x=2时，2x与x2相等．q：由“a＞1，b＞1”⇒：“ab＞1”；反之不成立，例如取a=10，b=．∴“ab＞1“是“a＞1，b＞1”的必要不充分条件，是假命题．∴下列命题为真命题的是￢p∧（￢q），故选：D．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．设变量x，y满足约束条件：，则z=|x﹣2y+1|的取值范围为（）A．[0，4] B．[0，3] C．[3，4] D．[1，3]【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，在平面直角坐标系中画出直线x﹣2y+1=0，由图可知，当x ﹣2y+1≥0时，当直线平移至B函数t=x﹣2y+1有最小值﹣4；当x﹣2y+1＜0时，当直线平移至A函数t=x﹣2y+1有最大值3，取绝对值后再取并集得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，﹣2），联立，解得B（﹣1，2），作出直线x﹣2y+1=0如图，由图可知，当x﹣2y+1≥0时，当直线平移至B函数t=x﹣2y+1有最小值﹣4；当x﹣2y+1＜0时，当直线平移至A函数t=x﹣2y+1有最大值3．∴z=|x﹣2y+1|的取值范围为[0，4]．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当x∈（0，]时，f（x）=（1﹣x），则f（x）在区间（1，）内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜0【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据条件推出函数的周期性，利用函数的周期性得：f（x）在（1，）上图象和在（﹣1，﹣）上的图象相同，利用条件、奇偶性、对数函数单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解；因为定义在R上的奇函数满足f（x+1）=f（﹣x），所以f（x+1）=﹣f（x），即f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），所以函数的周期是2，则f（x）在（1，）上图象和在（﹣1，﹣）上的图象相同，设x∈（﹣1，﹣），则x+1∈（0，），又当x∈（0，]时，f（x）=（1﹣x），所以f（x+1）=（﹣x），由f（x+1）=f（﹣x）得，f（﹣x）=（﹣x），所以f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x），由x∈（﹣1，﹣）得，f（x）=﹣（﹣x）在（﹣1，﹣）上是减函数，且f（x）＜f （﹣1）=0，所以则f（x）在区间（1，）内是减函数且f（x）＜0，故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的综合应用，考查了转化思想．6．执行右面的程序框图，如果输出的a值大于2017，那么判断框内的条件为（）A．k＜9？B．k≥9？C．k＜10？D．k≥11？【考点】EF：程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出判断框内的条件．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；k=1，a=1，满足条件，执行循环体，a=6，k=3 满足条件，执行循环体，a=33，k=5 满足条件，执行循环体，a=170，k=7 满足条件，执行循环体，a=857，k=9 满足条件，执行循环体，a=4294，k=10由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出a 的值为4294．可得判断框内的条件为：k ＜10？故选：C ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．7．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 2011=﹣2011，a 1012=3，则S 2017等于（） A ．1009B ．﹣2017C ．2017D ．﹣1009【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列{a n }，S 2011=﹣2011，可得S 2011=﹣2011==2011a 1006，再利用求和公式与性质即可得出．【解答】解：由等差数列{a n }，S 2011=﹣2011，∴S 2011=﹣2011==2011a 1006，∴a 1006=﹣1，a 1012=3，则S 2017===2017．故选：C ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．现有语文书第一二三册，数学书第一二三册共六本书排在书架上，语文第一册不排在两端，数学书恰有两本相邻的排列方案种数（） A ．144 B ．288 C ．216 D ．360【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：1、若语文第一册排在3本数学书之间，分3步进行分析：①、将三本数学书分为1﹣2的两组，将两组全排列，②、将语文第一册安排在数学书的两组之间，③、将3本数学书和语文第一册看成一个整体，与语文第二、三册全排列，2、若语文第一册不排在三本数学书之间，也需要分3步进行分析：①、安排语文第二、三册，将其全排列即可，②、安排3本数学书，先将将三本数学书分为1﹣2的两组，再在语文书的3个空位中，任选2个，安排2组数学书，③、安排语文第一册，分别求出每一步的情况数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：1、若语文第一册排在3本数学书之间，分3步进行分析：1=3种分组方法，考虑2本一组的顺序，有2种情况，①、将三本数学书分为1﹣2的两组，有C32=2种顺序，将两组全排列，有A2②、将语文第一册安排在数学书的两组之间，有1种情况，3=6种情况，③、将3本数学书和语文第一册看成一个整体，与语文第二、三册全排列，有A3此时不同的排法有3×2×2×6=72种排法；2、若语文第一册不排在三本数学书之间，分3步进行分析：2=2种顺序，排好后有3个空位可用，①、将语文第二、三册全排列，有A21=3种分组方法，②、将三本数学书分为1﹣2的两组，有C3考虑2本一组的顺序，有2种情况，2=6种情况，在3个空位中，任选2个，安排2组数学书，有A3则数学书的安排有3×2×6=36种情况，③、数学书和2本语文书排好后，除去2端，有3个空位可选，1=3种情况，在3个空位中，任选1个，安排语文第一册，有C3此时不同的排列方法有2×36×3=216种；综合可得：不同的排列方法有72+216=288种；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，关键是分析题意，确定分步分析的步骤．9．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4 B．C．D．2【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据三视图，得直观图是三棱锥，底面积为=2，高为，即可求出它的体积．【解答】解：根据三视图，得直观图是三棱锥，底面积为=2，高为；•h=×2=．所以，该棱锥的体积为V=S底面积故选：B．【点评】本题考查了利用三视图求体积的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．10．已知Rt△ABC，AB=3，BC=4，CA=5，P为△ABC外接圆上的一动点，且的最大值是（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设P的坐标为（cosθ，sinθ），求出点B的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到x+y=sin（θ+φ）+，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案【解答】解：以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则△ABC外接圆的方程为x2+y2=2.52，设P的坐标为（cosθ，sinθ），过点B作BD垂直x轴，∵sinA=，AB=3∴BD=ABsinA=，AD=AB•cosA=×3=，∴OD=AO﹣AD=2.5﹣=，∴B（﹣，），∵A（﹣，0），C（，0）∴=（，），=（5，0），=（cosθ+，sinθ）∵=x+y∴（cosθ+，sinθ）=x（，）+y（5，0）=（x+5y， x）∴cosθ+=x+5y，sinθ=x，∴y=cosθ﹣sinθ+，x=sinθ，∴x+y=cosθ+sinθ+=sin（θ+φ）+，其中sinφ=，cosφ=，当sin（θ+φ）=1时，x+y有最大值，最大值为+=，故选：B【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题．11．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，点E，F在侧棱PA，PB上且PE=2EA，PF=2FB，点M为四棱锥内任一点，则M在平面EFCD上方的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】由题意画出图形，设四棱锥P﹣ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，可得四棱锥的体积，再利用比例关系结合等积法求出多面体ABCDEF的体积，作出得到四棱锥P﹣DCFE的体积，由测度比为体积比得答案．【解答】解：如图，设四棱锥P﹣ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，∴．∵PE=2EA，PF=2FB，∴EF∥AB，则EF∥平面ABCD，且F到平面ABCD的距离为，∴，， =．则多面体ABCDEF的体积为．∴．∴M在平面EFCD上方的概率是．故选：B．【点评】本题考查几何概型，考查多面体体积的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．12．已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，则下列结论中错误的是（）A．∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 B．∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0C．∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 D．∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0【考点】2H：全称命题．【分析】先利用导数求出函数f（x）的最小值，再转化为函数f（x）≥0恒成立，构造函数设g（a）=e2a﹣1+a，再利用导数求出a的值，问题的得以解决【解答】解：∵f（x）=x2（1nx﹣a）+a，x＞0，∴f′（x）=x（21nx﹣2a+1），令f′（x）=0，解得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x=，函数有最小值，最小值为f（）=e2a﹣1+a∴f（x）≥f（）=e2a﹣1+a，若f（x）≥0恒成立，只要e2a﹣1+a≥0，设g（a）=e2a﹣1+a，∴g′（a）=1﹣e2a﹣1，令g′（a）=0，解得a=当a∈（，+∞）时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，当x∈（0，）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增∴g（a）＜g（）=0，∴e2a﹣1+a≤0，当且仅当a=时取等号，存在唯一的实数a=，使得对任意x∈（0，+∞），f（x）≥0，故A，B，D正确，当a≠时，f（x）＜0，故C错误故选：C【点评】本题考查了利用导数函数恒成立的问题，关键构造函数g（a），属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每题5分.）13．已知f（x）=3cosx﹣4sinx，x∈[0，π]，则f（x）的值域为[﹣5，3] ．【考点】HW：三角函数的最值．【分析】利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，根据x∈[0，π]，结合三角函数的性质可得值域．【解答】解：f（x）=3cosx﹣4sinx=5sin（x+θ），其中sinθ=＞0，cosθ=＜0，∴，∵x∈[0，π]，∴x+θ∈（，2π）当x+θ=，则f（x）取得最小值为﹣5，当x=0，则f（x）取得最大值为3，答案为：[﹣5，3]．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题．14．在二项式（x2+）5的展开式中，含x项的系数是a，则x﹣1dx= ln10 ．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】根据二项式的展开式中，含x项的系数是a，求出a的值．根据定积分公式求解定积分即可．【解答】解：二项式为，，由通项公式可得：Tr+1=∵含x项，∴r=3，∴含x项的系数为=10．即a=10．那么==lnx|=ln10．故答案为：ln10．【点评】本题主要考查二项式定理通项公式的应用，和定积分的计算．属于基础题．15．如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角，若A+C=180°，AB=6，BC=4，CD=5，AD=5，则四边形ABCD 面积是 10．【考点】HT ：三角形中的几何计算．【分析】连结BD ，根据余弦定理列出方程解出cosA （或cosC ），进而给出sinA ，sinC ，代入面积公式即可【解答】解：连结BD ，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2﹣2AB •ADcosA=61﹣60cosA ，在△BCD 中，BD 2=BC 2+CD 2﹣2BC •CDcosC=41﹣40cosC ． ∴61﹣60cosA=41﹣40cosC ， ∵A+C=180°， ∴cosA=﹣cosC ．∴cosA=．∴sinA=sinC=．∴四边形ABCD 的面积S=S △ABD +S △BCD =AB ×AD ×sinA+BC ×CD ×sinC=6×5×+×4×5×=10故答案为：10【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．16．已知圆：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，直线l：y=kx．给出下面四个命题：①对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；②对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切；③对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；④存在实数k和θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3．其中正确的命题是①②（写出所以正确命题的编号）【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】圆心M（﹣cosθ，sinθ）到直线的距离d==≤1，由此能求出结果．【解答】解：∵圆：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1恒过定点O（0，0）直线l：y=kx也恒过定点O（0，0），∴①正确；圆心M（﹣cosθ，sinθ）圆心到直线的距离d==≤1，∴对任意实数k和θ，直线l和圆M的关系是相交或者相切，∴②正确，③④都错误．故答案为：①②．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）}满足，17．（12分）（2017•香坊区校级二模）已知数列{an）．（n∈N+}的通项公式；（Ⅰ）求数列{an（Ⅱ）设，数列{b n }的前n 项和S n ，求证：．【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】（I ）数列{a n }满足，（n ∈N +）．n ≥2时，a 1+3a 2+ (3)﹣2a n ﹣1=，相减可得：3n ﹣1a n =，可得a n ．n=1时，a 1=．（II），b 1=．n≥2时，b n ==．利用裂项求和方法与数列的单调性即可得出．【解答】（I ）解：数列{a n }满足，（n ∈N +）．∴n ≥2时，a 1+3a 2+…+3n ﹣2a n ﹣1=，相减可得：3n ﹣1a n =，∴a n =．n=1时，a 1=．综上可得：a n =．（II ）证明：，∴b 1==．n ≥2时，b n ==．∴S n =+++…+=+＜．【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、数列单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•香坊区校级二模）哈六中在2017年3月中旬举办了一次知识竞赛，经过层层筛选，最后五名同学进入了总决赛．在进行笔答题知识竞赛中，最后一个大题是选做题，要求参加竞赛的五名选手从2道题中选做一道进行解答，假设这5位选手选做每一题的可能性均为．（Ⅰ）求其中甲乙2位选手选做同一道题的概率．（Ⅱ）设这5位选手中选做第1题的人数为X，求X的分布列及数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用相互独立事件的概率公式，求出甲、乙2名学生选做同一道题的概率；（Ⅱ）确定X的取值，求出相应的概率，即可求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示“甲选做第1题”，事件B表示“乙选做第1题”，则“甲选做第2题”为，“乙选做第2题”为；∴甲、乙2位选手选做同一道题的事件为“AB+”，且事件A、B相互独立；∴P（AB+）=P（A）P（B）+P（）P（）=×+（1﹣）×（1﹣）=；（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B（5，）；∴P（X=k）=••=•，k=0，1，2，3，4，5；∴变量X的分布列为：X的数学期望为EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=（或EX=np=5×=）．【点评】本题考查了概率知识的运用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与期望计算问题，是中档题．19．（12分）（2017•香坊区校级二模）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知求解三角形可得BC⊥AC，由平面ACFE⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质得BC⊥平面ACFE；（2）建立空间坐标系，令FM=λ（0≤λ≤），根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦值关于λ的表达式，再利用函数的有关知识求出余弦的范围．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，∴AB=2，则AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3，∴AB2=AC2+BC2，得BC⊥AC．∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE；（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令FM=λ（0≤λ≤），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1）．=（﹣，1，0），=（λ，﹣1，1）．设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由，取x=1，得=（1，，），∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量．∴cosθ===．∵0≤λ≤，∴当λ=0时，cosθ有最小值，当λ=时，cosθ有最大值．∴cosθ∈[]．【点评】本题考查平面与平垂直的证明，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的余弦值，是中档题．20．（12分）（2017•香坊区校级二模）己知抛物线C1：x2=2py（p＞0）与圆C2：x2+y2=5的两个交点之间的距离为4．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）设过抛物线C1的焦点F且斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点，与圆C2交于C，D两点，当k∈[0，1]时，求|AB|•|CD|的取值范围．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）利用圆C1：x2+y2=5与抛物线C2：x2=2py（p＞0）在第一象限内的交点为R（2，m），即可求m的值及抛物线C2的方程；（Ⅱ）直线的方程为y=kx+1，分别于抛物线、圆的方程联立，求出|AB|，|CD|，利用k∈[0，1]时，即可求|AB|•|CD|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设抛物线C1：x2=2py（p＞0）与圆C2：x2+y2=5在第一象限内的交点为R（2，m），∴4+m2=5，∵m＞0，∴m=1，将（2，1）代入x2=2py，可得p=2；（Ⅱ）抛物线C1的方程为x2=4y．直线的方程为y=kx+1，联立x2=4y可得x2﹣4kx﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4联立x2+y2=5可得（1+k2）x2+2kx﹣4=0，设C（x3，y3），D（x4，y4），∴x3+x4=﹣，x3x4=﹣，∴|AB|=•=4（1+k2），|CD|=，∴|AB||CD|=4=×，∵k∈[0，1]，∴k2∈[0，1]，∴|AB||CD|∈[16，24]．【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）（2015•龙岩一模）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若对任意x∈（，+∞），（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=，Tn=1+2[g（）+g（）+g（）+…+g（）]（n=2，3…）．问：是否存在正常数M，对任意给定的正整数n（n≥2），都有+++…+＜M成立？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出导数，利用条件列出方程，即可求实数a的值；（Ⅱ）转化条件为对恒成立，即对恒成立，构造函数，求出t（x）最小，即可得到实数m的取值范围．（Ⅲ）通过，推出，化简，推出T=n．然后求解n，取n=2m（m∈N*），利用放缩法推出≥，当m趋向于+∞时，趋向于+∞．然后说明结果．【解答】解：（Ⅰ） =依题意曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直．得：，∴a=0，（Ⅱ）对任意的，（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立．等价于xe x﹣m（2x﹣1）≥0对恒成立，即对恒成立令，则m≤t（x）最小∵由t′（x）=0得：x=1或（舍去）当时，t′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0∴t（x）在上递减，在（1，+∞）上递增=t（1）=e，∴t（x）最小∴m≤e．（Ⅲ）=，，∴，因此有由，得2T n =2+2[1+1+…+1]=2+2（n ﹣1）=2n ，∴T n =n ．，取n=2m （m ∈N *），则==，当m 趋向于+∞时，趋向于+∞．所以，不存在正常数M ，对任意给定的正整数n （n ≥2），都有成立．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的求法，构造法以及数列求和，放缩法的应用，难度大，考查知识面广．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22．（10分）（2017•香坊区校级二模）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆ρ=4cosθ与圆ρ=2sinθ交于O ，A 两点．（Ⅰ）求直线OA 的斜率；（Ⅱ）过O 点作OA 的垂线分别交两圆于点B ，C ，求|BC|．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由由，得2cosθ=sinθ，化简即可得出k OA ．（Ⅱ）设A 的极角为θ，tanθ=2，则sinθ=，cosθ=，把B （ρ1，θ﹣）代入ρ=2cosθ得ρ1．把C （ρ2，θ+）代入ρ=sinθ得ρ2，利用|BC|=ρ1+ρ2，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由，得2cosθ=sinθ，tanθ=2，∴k OA =2．（Ⅱ）设A 的极角为θ，tanθ=2，则sinθ=，cosθ=，则B （ρ1，θ﹣），代入ρ=2cosθ得ρ1=2cos （θ﹣）=2sinθ=，C （ρ2，θ+），代代入ρ=sinθ得ρ2=sin （θ+）=cosθ=，∴|BC|=ρ1+ρ2=．【点评】本题考查了极坐标方程的应用、斜率计算、弦长计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（2017•香坊区校级二模）已知函数f （x ）=|x ﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f （x ）+f （x ﹣1）≤2，；（Ⅱ）若a ＞0，求证：f （ax ）﹣af （x ）≤f （a ）．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当a ＞0时，求得f （ax ）﹣af （x ）=|ax ﹣1|﹣|a ﹣ax|，利用绝对值不等式的性质可得|ax ﹣1|﹣|a ﹣ax|≤|ax ﹣1+a ﹣ax|=f （a ），从而可证结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=|x ﹣1|，不等式：f （x ）+f （x ﹣1）≤2，即|x ﹣1|+|x ﹣2|≤2，∴①，或②，或③，解①求得≤x ＜1，解②求得 1≤x ≤2，解③求得2＜x ≤．综合可得，不等式的解集为{x|≤x ≤}．（Ⅱ）证明：若a ＞0，则f （ax ）﹣af （x ）=|ax ﹣1|﹣a|x ﹣1|=|ax ﹣1|﹣|ax ﹣a|≤|（ax ﹣1）﹣（ax ﹣a ）|=|a ﹣1|=f （a ），即f （ax ）﹣af （x ）≤f （a ）成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，掌握双绝对值不等式的性质，通过分类讨论去掉绝对值符号是解题的关键，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2018届高三第二次模拟考试考试理科数学试题(word)

2018年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷〔理工类〕一、选择题(共12小题，每题5分，共60分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．i 为虚数单位，复数12-=i iz 在复平面内对应的点所在象限为 A ．第二象限B ．第一象限C ．第四象限D ．第三象限2．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=13222y x y A ，集合{}x y x B 42==，则=⋂B AA ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．)⎡+∞⎣D ．)+∞3．命题p ：“R x ∈∃0，02021x x <+”的否认⌝p 为A ．R x ∈∀,x x 212≥+B ．R x ∈∀,x x 212<+C ．R x ∈∃0,02021x x ≥+D ．R x ∈∃0,02021x x >+4．5221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中常数项是 A ．5B ．5-C ．10D ．10-5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，执行如右图所示的程序框图，则输出的M 一定满足A ．2n nMS =B ．n S nM =C ．n S nM ≥D ．n S nM ≤6．设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则 A ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增正视图侧视图俯视图 C ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减A ．128[,]53B ．35[,]53C ．]38,58[D ．]512,58[8．,A B 是圆22:1O x y +=上两个动点，1AB =，32OC OA OB =-，M 为线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为 A ．32B ．34C ．12D ．149．函数11+=x y 的图像与函数)24(sin 3≤≤-=x x y π的图像所有交点的横坐标之和等于 A ．4- B ．2-C ．8-D ．6-10．ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，假设A B 2=，0cos cos cos >C B A ，则bA a sin 的取值范围是A ．⎝⎭B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,43C ．12⎛ ⎝⎭D ．12⎫⎪⎪⎝⎭11．某棱锥的三视图如下图，则该棱锥的外接球的外表积为A ．12πB ．11πC ．14πD ．13π12．已知S 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上的任意一点，过S 分别引其渐近线的平行线，分别交x 轴于点N M ,交y 轴于点Q P ,，假设()411≥+⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+OQ OP ON OM 恒成立，则双曲线离心率e 的取值范围为,A ．(]2,1B ．[)+∞,2 C．(D．)+∞二、填空题〔共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．〕 13．等比数列{}n a 中，318a =，5162a =，公比q = ．14．利用随机模拟方法计算1=y 和2x y =所围成图形的面积．首先利用电脑产生两组0~1区间的均匀随机数，RAND a =1，RAND b =；然后进行平移和伸缩变换，()5.021-=a a ；假设共产生了N 个样本点〔，b 〕，其中落在所围成图形内的样本点数为1N ，则所围成图形的面积可估计为〔结果用N ，1N 表示〕．15．设O 为抛物线：)0(22>=p px y 的顶点，F 为焦点，且AB 为过焦点F 的弦，假设p AB 4=，则AOB ∆的面积为．16．)(x f 是定义在R 上的函数,其导函数为)(x f '．假设2018)1(,1)()(=->'f x f x f ，则不等式12017)(1+>-x e x f (其中e 为自然对数的底数)的解集为．三、解答题〔本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．〕 17．〔本小题总分值12分〕已知数列{}n a 为正项数列，13a =，且111112()n n n n n n a a a a a a +++-=+*()n N ∈．〔1〕求数列{}n a 通项公式；〔2〕假设2(1)n ann n b a =+-⋅，求{}n b 的前n 项和n S ．18．〔本小题总分值12分〕交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T ，早高峰时段93≤≤T ，[)5,3∈T 基本畅通；[)6,5∈T 轻度拥堵；[)7,6∈T 中度拥堵；[]9,7∈T 严重拥堵，从市交通指挥中心提供的一天中早高峰市内路段交通拥堵指数数据，绘制直方图如下．〔1〕据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；〔2〕某人上班路上遇中度拥堵或严重拥堵则不能按规定时间打卡〔记为迟到〕，否则能按时到岗打卡．单位规定每周考勤奖的基数为50元，无迟到再给予奖励50a元，迟到一次考勤奖为基数，迟到两次及两次以上每次从基数中扣除10元，每周至多扣除40元，根据直方图求该人一周〔按5天计算〕所得考勤奖的分布列及数学期望〔假设每天的交通状况相互独立〕．19．〔本小题总分值12分〕如图，在四棱锥ABCD P -中，侧面⊥PCD 底面ABCD ，CD PD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，CD AB //， 90=∠ADC ，1===PD AD AB ，2=CD ．〔1〕求证：平面⊥PBC 平面PBD ；〔2〕假设()12-=，求二面角P BD Q --的大小．20．〔本小题总分值12分〕CPABD已知F 为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点，3=OF ，Q P ,分别为椭圆C 的上下顶点，且PQF ∆为等边三角形．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕过点P 的两条互相垂直的直线21,l l 与椭圆C 分别交于异于点P 的点B A ,，①求证：直线AB 过定点；②求证：以PB PA ,为直径的两个圆的另一个交点H 在定圆上，并求此圆的方程．21．〔本小题总分值12分〕已知函数 e x , 直线1:+=x y l , 其中e 为自然对数的底．〔1〕当1=a ,0>x 时, 求证: 曲线221)()(x x h x f -=在直线l 的上方；〔2〕假设函数)(x h 的图象与直线l 有两个不同的交点, 求实数a 的取值范围；〔3〕对于〔2〕中的两个交点的横坐标21,x x 及对应的a , 当21x x <时，求证：)e (e)e )(e ()e (e 21212122212x x xxxxa x x -<+---．()=h x a请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4:坐标系与参数方程〔本小题总分值10分〕在直角坐标系xoy 中，直线3:14x t l y t=⎧⎨=+⎩〔t 为参数〕，以原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 24ρθ=-．〔1〕求曲线C 的直角坐标方程；〔2〕点(0,1)P ，直线l 与曲线C 交于,M N ，求11PM PN+的值．23．选修4-5:不等式选讲〔本小题总分值10分〕已知,,x y z 为正实数，且2x y z ++=. 〔1〕求证： 24422z xy yz xz -≥++；〔2〕求证：2222224x y y z x z z x y+++++≥.,。

黑龙江省哈尔滨市第二中学2018年高三数学理模拟试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市第二中学2018年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数z满足：，则A．1 B．2 C．D．5参考答案：D略2. 定义在（—，0）（0，+）上的函数，如果对于任意给定的等比数列{}，{）仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在（—，0）（0，+）上的如下函数：①=：②；③；④．则其中是“保等比数列函数”的的序号为（）A．①②B．③④C．①③D．②④参考答案：C3. 已知抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|=2，则直线AF的倾斜角为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】可先画出图形，得出F（），由抛物线的定义可以得出|PA|=2，从而可以得出P点的横坐标，带入抛物线方程便可求出P点的纵坐标，这样即可得出A点的坐标，从而求出直线AF的斜率，根据斜率便可得出直线AF的倾斜角．【解答】解：如图，由抛物线方程得；|PF|=|PA|=2；∴P点的横坐标为；∴，P在第一象限；∴P点的纵坐标为；∴A点的坐标为；∴AF的斜率为；∴AF的倾斜角为．故选：D．【点评】考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点和准线，以及抛物线的定义，抛物线上的点的坐标和抛物线方程的关系，以及由直线上两点的坐标求直线的斜率的公式，直线的斜率的定义，已知正切值求角．4. 已知集合U=R，集合A={x|－l≤x≤3}，集合B=|x|log2x<2}，则A B=A．{x|1≤x≤3}B．{x|－1≤x≤3}C．{x| 0<x≤3}D．{x|－1≤x<0}参考答案：C略5. 已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣1＜0，m+2＞0，解得﹣2＜m＜1．则实数m的取值范围是（﹣2，1）．故选：B6. 若,则的元素个数为( )0 1 2 3参考答案：C7. 将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有A．种 B．种C．种 D．种参考答案：A8. 已知i是虚数单位，则复数的值为A．i B. －i C . 1 D．－1参考答案：A9. 在直角坐标系xOy中，直线Z的参数方程为（t为参数，且t>0）；以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为．则直线l和曲线C的公共点有A．0个 B．l个 C．2个 D．无数个参考答案：A10. 已知全集为，集合，，则（）A. B.C. D.参考答案：C，，。

[精品]2017年黑龙江省高考数学试卷及解析答案word版(理科)(全国新课标ⅱ)

2017年黑龙江省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．96．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B．C．D．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3 D．112．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017-2018学年高三数学(二模理科)试题及答案

2018年高三二模数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1.已知集合 A =｛ x | 3/ • x _2 空0｝， B 二｛ x | Io g2（2x _1）空0｝，贝A 门 B 二（）A . ( 2 -B( 2 1収| <x • Q x —< x 兰1 ,3 3C .1JDL「 1J2 {x | -1 < x <1} .1x | < x < \I23J42. 已知复数z满足z（3 +4i） =3 _4i , z为z的共轭复数，则z =（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 如图，当输出y =4时，输入的x可以是（）L —-/壽/*3屮A. 201 8B. 2017C. 2016D. 201 4a _ cos x4. 已知x为锐角，=、.3，则a的取值范围为（）sin xA. [ —2, 2]B. （1,、、3）C. （1, 2]D. （1, 2）5. 把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为A . LB . — c. I D . 128 16 41 66. (x? ■ x ■ 1)( _l /的展开式中，x 3的系数为()A. .3B. _2C. 1L a n = 0，设b n = lo g 2 ——，则数列｛ b n ｝的前n 项 a i和为(-1)( n - 2)2A. 6、、2 B . 6、、3 C. 8 D . 9A. 1009 B . 1 008 C.2D. 1f (x) =log 6(x - 1)，若 f (a) =1(a • [0 ,2020])，则 a的最大值是()A. 201 8 B . 2010 C. 2020 D11.已知抛物线y 2 =2px(p ■ 0)的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线 AB , C D 与抛物7.已知正项数列｛ a2—.aA. nB. n(n _1)8.如图，网格纸上正方形小格的边长为粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最9.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且满足 Sa i =1 , a n ■ an i = 2 n 1，^则 2017 二()201710.已知函数f (x)是定义在R 上的偶函数,f ( x) = f (1 2 _x)，当 x 三[0 , 6]时,201 1长棱的长度为( )线分别相交于A , B以及C , D，若1 1——+——B FAF=1，则四边形ACBD的面积的最小值为A. 18 B . 30C. 32 D . 36、 1 X12. 已知a .1，方程一e 亠x —a=0与In2x 」x —a=0的根分别为x ’ , x 2，贝2x 12 x 222 x 1x2的取值范围为（）A. （1, • ：:）B. （0, •二：）c. i 1, ：： D . i -,12 2二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.4 * * 4 4 4 .13. 已知 a =（1, m ）， b =1， a +b = J 7，且向量 a ， b 的夹角是 60，贝U m =.x _114. 已知实数x , y 满足x —2y 亠1空0，则z = x 亠3y 的最大值是.x y _ 32 2xy15. 已知双曲线 —-=1（a0,b . 0）的左、右焦点分别为 F 1 , F 2，过F ’且垂直于x 轴的a b直线与该双曲线的左支交于 A , B 两点，AF 2 , BF 2分别交y 轴于P , Q 两点，若.'PQF 2的周长为16，则丄的最大值为.a +116.如图，在三棱锥 P -ABC 中，PC _ 平面 ABC , AC _CB ,已知 AC = 2 , PB =2.6 ,三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤每个试题考生都必须作答.第22 , 23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60分.17.已知在「'ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且cos A a sin A cos C c sin A cos A = 0 ..第17〜21题为必考题,P -ABC 的表面积为.(1)求角A 的大小;(2)右 a =..3 ， B=—，求 F .ABC 的面积.1 2占占N八、、：八、、(1)是否存在一点 N ，使得线段MN / /平面B B 1C 1C ?在，请说明理由•(2)若点N 为AB i 的中点且C M _ M N ，求二面角M19.某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分的中点为P .(1)求直线OP 的斜率;(2)设平行于OP 的直线l 与椭圆交于不同的两点 C ， D ，且与直线AF 交于点Q ，求证:■ ■呀 ■■玛■■視■■叫乘坐站数X 0 £X 兰 1010 £ x 兰 2020 £X 兰30票价(元)3 69段优惠政策，不超过 30站的地铁票价如下表:现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁, 已知他们乘坐地铁都不超过 30站.甲、乙18.如图,在直三棱柱 AB^ -A 1B 1C 1 中，.B AC =90、，A B = A C = 2，点 M 为 A 1C 1 的中乘坐不超过(1)求甲、 1 1 10站的概率分别为11;甲、43乙两人付费相同的概率；乙乘坐超过 20站的概率分别为 (2)设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望20.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆2x 丿 ——+— 2 a2y 2 =1(a b b - 0)的离心率为别为椭圆的上顶点和右焦点， L AOF 的面积为 1-，直线AF 与椭圆交于另一个点 B ，线段AB2若存在，指出点 N 的位置，若不存为AB i 上一动点.存在常数■，使得QC QD =怎QA QB .xe 21.已知函数f (x) ，g (x^ln x 1 .x(1)求函数f (x)的单调区间; (2)证明：x 3 f (x) . g(x).(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)设点M 的极坐标为i 3,—，直线I 与曲线C 的交点为A ， B ，I 2丿23.［选修4-5 :不等式选讲］已知函数f(x) = x_1 + x_m(1)当m =3时，求不等式f (x) _5的解集;(2)若不等式f(x) _2m -1对R 恒成立，求实数 m 的取值范围(二)选考题：共 10分•请考生在22, 23题中任选一计分•22.［选修4-4 :坐标系与参数方程］在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1X = — — t2{( t 为参数)， V 3y = 3 t 、 2以坐标原点0为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 J = 4 sin答案、选择题1-5: DABCB6-10: BCDAD 11 、12: CA、填空题1 3.二314. 7 15. - 16. 4 E • 2 63sin A (sin A co s C 亠co s A sin C )、，3 sin B cos A ,即sin A sin ( A 亠 C )=3 sin B cos A ，又sin (A 亠 C ) = sin B ,0，所以ta n A - - 3又A 5（0^：），所以(2)由(1)知A =，又B ，易求得1 2在.-：ABC中，由正弦定理得Jt sin—122 二'sin -----3所以b所以.SBC的面积为S1=—ab sin2.6 -「2 、、2 3 - J 3----------------- X-------- = ----------------18. （1）存在点N，且N 为 A B1的中点.证明如下:如图，连接A1B，BC1，点M ,N分别为A i C i，A i B的中点,所以M N为.-：A i BC i的一条中位线, M N / / BC ，M N 二平面BB C C，BC平面BB C C，所以M N / / 平面BB C C三解答题、17. (1)由cos A a sin A cosC c sin A cos A =0及正弦定理得，M N 二平面BB C C，BC平面BB C C，所以M N / / 平面BB C C故二面角M -CN -A 的余弦值为cos ::: m , n 、二- 3 -0-2 .3 15 故二面角M — C N -A 的正弦值为2 2(2)设 A A 、二 a ，贝V CM = a - 1 ,2 2aa 20C N5 =44由CMAB 为x 轴，AC 为y 轴，AA i 为z 轴建立如图所示的空间直角•A r2y = o,m AC 0,得2 m AN=0, xz=0,L 2叫一令x - _1，得平面 ANC 的一个法向量 m =(_1,0, .2)，同理可得平面 M N C 的一个法向量为n = (3, 2, -、2)，=1由题意以点A 为坐标原点，坐标系，可得设m = (x, y , z)为平面A N C 的一个法向量，则解得aA (0,0,0)，C (0,2,0)，故AN■■叫AC =(0,2,0)，CN1 51 51 51x=1219. ( 1)由题意知甲乘坐超过 10站且不超过20站的概率为乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111贝U P ( A)=—---4 34 3所以甲、乙两人付费相同的概率是设“甲、乙两人付费相同”为事件1x=12所以 X 的数学期望E (X ) =61111912 15 1 8 —635120. (1)因为椭圆的离心率为所以22b所以 A(0,c)，F (c,0)，所以所以c =1，所以椭圆的方程为(2)由题意 :可X 的所有可能取值为1 11P (X二 =— ---4 3 1 2111 1 1P=9): 二+43 4 36111 11 1P=—X _ + X — + — X — =4 32 3 4 31 11 1 1P (X= 12)=X _ + — X — 二—, 4 32 3 41 11 P (X= 18)—X — ——236因此X 的分布列如下：12 ，15，31 3x 一，联立 g T +y =1,消去 y 得 3X 2_4X =y = —x 1,f 2AB 的中点P —28QB (t -1).9x =0 ,所以直线 OP (2)由 (1) 的斜率为32 _0知，直线AF 的方程为y - -x • 1直线OP 1 的斜率为一 2，设直线l 的方程为t(t -0).联立一 x t,2 '得2 _2t3所以点的坐标为2t 1-x ■ 1,2t 1 f 2t _2 2 _2t ) ■叫 i‘2t +2 2t +2 \Q A,， QB ，…[33丿\33丿3所以 2 —2t2t + 1' i .2t —2 1 X1 + , X 1< 3 2t -14- X1 — I 3y 1 一3) = lT3丿所以QC直线AF 的方程为y 一 _x • 14，所以x 或3所以Bi-1，从而得线段 3所以 —4Q A 联立x 2=1,消去2tx - 2t 2一2 =0 ,t,由已知得.：：=4(32-2t )L"」0,逅'i 2丿I 2丿设 C ( x 1，则 y 1X [亠tX 1X 24tX,2 24t -4t21t -1 —x 2------ , 232e3，所以x f3{ 2t _2 'i2t _2 ' ♦t _1 /1 t _1 ' 1 + *2 + + 1 —X’ + *2 +I 3丿 I 3丿 I 2 3丿 l 2 3丿Q C Q D 25 5t -5 5(t -1) 二一X t X 2 • ---------- ( x 1 - x 2)-4 62 5 4t =—X —— 4 : -4 5t _5 X3 4t 5(t -1)-- +----------- 9 5 8 2(t -1).9所以QC QD 5 4—4 QA Q B .所以存在常数5，使得Q C4■■叫—4 ■Q B■■■+Q D2t -2 + ---- 321. ( 1)由题易知 x(x —1)ef '(x)==2「sin v ■ 2 "丿3「COS v ①. 22=x y ，「COST - x ，「sin v - y 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2 - y 2 -2-2 y = 0 ② I 1x 一2「_(2)将_代入②式，得『• 3-、3t • 3 =0 ,y 亠宀 I 2易知点M 的直角坐标为(0,3).设这个方程的两个实数根分别为匕,t 2，则由参数t 的几何意义即得M A + M B = J +t 2 =3>/3 .23. ( 1)当m =3时，原不等式可化为 x _1十x _3工5 .1当 x 三(—二，0) U (0 ,1)时，f '(x) ：：：0，当 x 三(1, •：:)时，f '(x) . 0 , 所以f ( x)的单调递减区间为(_：: ,0) U (0 ,1)，单调递增区间为(1, •：：). (2) g( x)的定义域为(0, •：：)，要证 x 3f (x) ■g (x)，即证—.xxe ln x ■ 1 由(1 )可知f (x)在(0,1)上递减，在(1, •：：)上递增，所以f (x) f (1) ln x - 1 设 h(x)—2 — 3 In x3 ， x . 0，因为 h '(x) x 2""3 当 x • (0,e 3)时，h'(x) 0，当 x • (e 3,；)时，h '(x) ::: 0，所以h(x)在(0, e"3)上单调递增，在(e 3, •：：)上单调递减，所以 h( x) _ h(e 3)(x)■ g (x).22. (1) 把 J - 4 sinJTie+—展开得 Q = 2 sin V • 2、、3 COST 1 ，两边同乘将T 22若 x <1U 1_x ・3_x_5，即 4_2x _ 5，解得 x 仝2若1 :：: x ：::3，则原不等式等价于 2 _5，不成立；9若 x _3，则 x _1 • x _3 _5，解得 X _—.2f1 9 1综上所述，原不等式的解集为：x | x 或x .I 22J(2)由不等式的性质可知 f ( x) = x 一1 + x _m m 一1 , 所以要使不等式f (x) 3 2m -1恒成立，则 m _1 ^2m —1 ,2所以 m 「1 _1「2m 或 m 「1 _2m -1，解得 m <,3r 21所以实数m 的取值范围是m | m 乞一.I 13J。

(黑龙江)高三数学-黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三二模考试数学(理)试题 Word版含答案

2017年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数21z i=-+，则（） A ．z 的模为2 B ．z 的虚部为-1 C ．z 的实部为1 D ．z 的共轭复数为1i +2.已知集合{0,2,4,6}A =，{|28}nB n N =∈<，则集合A B I 的子集个数为（） A ． 8 B ．7C ． 6D ．43.对于平面α和不重合的两条直线,m n ，下列选项中正确的是（） A ．如果m α⊂，//n α，,m n 共面，那么//m n B ．如果m α⊂，n 与α相交，那么,m n 是异面直线 C ．如果m α⊂，n α⊄，,m n 是异面直线，那么//n α D ．如果m α⊥，n m ⊥，那么//n α4.已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.84P ξ≤=，则(0)P ξ≤=（） A ．0.16 B ．0.32 C. 0.68 D ．0.845.在区间[中随机取一个实数k ，则事件“直线y kx =与圆22(3)1x y -+=相交”发生的概率为（） A ．12 B ．14C. 16 D ．186.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5，2，则输出的n =（）A ． 2B ． 3 C. 4 D ．57.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．10B ． 20 C. 40 D ．608.已知1sin()33πα-=，则sin(2)6πα-=（） A ．79- B ．79 C. 79± D ．29-9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题：①(())1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③对于任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形；其中真命题的个数是（）A ． 4B ．3 C. 2 D ．110.“关于x 的方程20x mx n -+=有两个正根”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2(0)c c >，抛物线22y cx =的准线交双曲线左支于,A B 两点，且120AOB ∠=o，其中O 为原点，则双曲线的离心率为（）A ． 2 B．11．1+12.已知函数1()([,])f x kx x e e=∈，21()()x g x e =，若(),()f x g x 图象上分别存在点,M N ，使得,M N 关于直线y x =对称，则实数k 的取值范围为（） A ．1[,]e e - B ．2[,2]e e -C. 3[,3]e e - D ．2(,2)e e- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知,x y 满足400x y x y x +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，若目标函数2z x y =+的最大值为n，则(n x 展开式的常数项为．14.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知2c =，若222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，则a b +的取值范围是．15.已知221,[1,1]()1,(1,2]x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则21()f x dx -=⎰ ．16.已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数k ，使得|()|||2017kf x x ≤对所有实数x 均成立，则称函数()f x 为“期望函数”，给出下列函数：①2()f x x =；②()xf x xe =；③2()1x f x x x =-+；④()1xxf x e =+；其中为“期望函数”的是．（写出所有正确的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知13a =，123n n a S +=+，*()n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，050:为优；51100:为良；101150:为轻度污染；151200:为中度污染；201300:为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI 的茎叶图如下：（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（100AQI ≤）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望.19. 如图，四棱锥P ABCD -底面为正方形，已知PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，点M 为线段PA 上任意一点（不含端点），点N 在线段BD 上，且PM DN =.（1）求证：直线//MN 平面PCD ；（2）若M 为线段PA 中点，求直线PB 与平面AMN 所成的角的余弦值.20. 已知圆22:4O x y +=与x 轴交于,A B 两点，点M 为圆O 上异于,A B 的任意一点，圆O 在点M 处的切线与圆O 在点,A B 处的切线分别交于,C D ，直线AD 和BC 交于点P ，设P 点的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）曲线E 与y 轴正半轴交点为H ，则曲线E 是否存在直角顶点为H 的内接等腰直角三角形Rt GHK ∆，若存在，求出所有满足条件的Rt GHK ∆的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由.21. 定义：设()f x 为(,)a b 上的可导函数，若'()f x 为增函数，则称()f x 为(,)a b 上的凸函数.（1）判断函数3y x =与1lgy x=是否为凸函数；（2）设()f x 为(,)a b 上的凸函数，求证：若121n λλλ+++=L ，0(1,2,,)i i n λ>=L ，则(,)(1,2,,)i x a b i n ∀∈=L 恒有11221122()()()()n n n n f x f x f x f x x x λλλλλλ+++=+++L L 成立；（3）设,,0a b c >，*n N ∈，n b ≥，求证：532532532n n n n n n a b c a b c b c a c a b ---++≥++.22.圆锥曲线C 的极坐标方程为：22(1sin )2ρθ+=.（1）以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程，并求曲线C 在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标；（2）直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，若曲线C 上的点M 到直线l 的距离最大，求点M 的坐标（直角坐标和极坐标均可）.23.（1）已知对于任意非零实数a 和b ，不等式|3|||||(|1||1|)a b a b a x x ++-≥-++恒成立，试求实数x 的取值范围；（2）已知不等式|21|1x -<的解集为M ，若,a b M ∈，试比较11ab+与11a b +的大小.（并说明理由）试卷答案1-------6：B DAA B C 7---------12：BAADBC 13.240 14.(2,4] 15. 16.③④17. 解：（1）当2n ≥时，由123n n a S +=+，得123n n a S -=+，两式相减，得11222n n n n n a a S S a +--=-=，∴13n n a a +=，∴13n na a += 当1n =时，13a =，21123239a S a =+=+=，则213a a =. 数列{}n a 是以3为首项，3 为公比的等比数列∴1333n nn a -=⨯=（2）由（1）得(21)(21)3nn n b n a n =-=-⨯ ∴23133353(21)3nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L23413133353(21)3n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯L错位相减得：2311213232323(21)36(22)3n n n n T n n ++-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=---⨯L ∴1(1)33n n T n +=-⨯+18、解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为63105=，从而估计该月空气质量优良的天数为330185⨯=(2)35（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0,1,2,3 328(0)()5125P ξ===，1233236(1)()55125P C ξ===，2233254(2)()55125P C ξ=== 3327(3)()5125P ξ===，故ξ的分布列为：显然3(3,)5B ξ:，33 1.85E ξ=⨯=. 19.（Ⅰ）延长AN ，交CD 于点G ，由相似知AN BN AMNG ND MP==， MN ⊄平面PCD ，PG ⊂平面PCD ，则直线MN //平面PCD ；（Ⅱ）由于DA DC DP ⊥⊥，以,,DA DC DP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, 设(1,0,0)A ，则(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，11(,0,)22M ，11(,,0)22N则(1,1,1)PB =-u u u r ，平面AMN 的法向量为(1,1,1)m =u r，则向量PB u u u r 与m u r 的夹角为θ，则1cos 3θ=，则PB 与平面AMN 夹角的余弦值为23.20. （Ⅰ）设00(,)M x y ，则M 处的切线为004x x y y +=，则0042(2,)x C y +-，0042(2,)x D y -，则00042(2)4:42(2)4x y x y P x y x y -⎧=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩，则22:1(0)4x E y y +=≠；（Ⅱ）由于直线GH 不与坐标轴平行或垂直，可设:1GH l y kx =+，则1:1KH l y x k=-+ 224401x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩，得22(14)80k x kx ++=，由于0∆>恒成立，设两个根为12,x x ，则2281||14k GH k k -=++，同理，222281181||||4||41k kkHK k k k k +=+=++ 由GH HK =知：22||(4)41k k k +=+，得：（1）0k >时，得2(1)(31)0k k k --+=得：1k =或352k ±=（2）0k <时，得2(1)(31)0k k k +++=得：1k =-或352k -±= 综上，共分三种情况（1）两条直角边所在直线方程为：1y x =±+；（2）两条直角边所在直线方程为：5312y x ±=+ （3）两条直角边所在直线方程为：5312y x -±=+ 21.（1）3y x =不是，1lgy x=是；（2）2n =时，即证：120λλ>且121λλ+=时，11221122()()()f x f x f x x λλλλ+≥+ 不防设12x x ≥，12,(,)x x a b ∈，令11221122()()()()F x f x f x f x x λλλλ=+-+'''1122()[()()]F x f x f x x λλλ=-+因为122212()()0x x x x x λλλ-+=-≥且'()f x 时递增函数，所以'()0F x ≥，即()F x 为单调递增函数，所以12()()0F x F x ≥=，即11221122()()()f x f x f x x λλλλ+≥+；假设(2)n k k =≥时，结论成立，即0i λ∀>，11kii λ==∑，(,)i x a b ∈，(1,2,3,,)i k =L ，有11()()k ki i i i i i f x f x λλ==≥∑∑成立，则1n k =+时，0i λ∀>，11kii λ==∑，(,)i x a b ∈，(1,2,3,,,1)i k k =+L ，有+1+111221111221111()[()()]k k k k k k k k k k k k k k x x f x x x x f x x x λλλλλλλλλλλλλ++--+++++++=++++++L L11122111111()()()()()]k k k k k k k k k k k k f x f x f x f x x λλλλλλλλλλλ+--++++≤++++++++L112211()()()k k f x f x f x λλλ++≤+++L所以1n k =+时，结论也成立，综合以上可得，原结论成立.（3）令0n a a =，0n b b =，0nc c =，即证：（000,,0a b c >）5325353200000000000n n n nn n nn nn na b c a b c b c b a b ---++≥++成立，由（1）得1()lgf x x =为凸函数，而5321n n n n-++=，有000000532532(lg )(lg )(lg )lg()n n a b c a b c n n n n n n---+-+-≥-++而532000000532n n n nn a b c a b c n n n --++≥，同理有： 532000000532n n n n n a b c b c a n n n --++≥ 532000000532n n n n n c a b c a b n n n--++≥，则5325353200000000000n n n nnnnnnnna b c a b c b c b a b ---++≥++成立，得证.22.（Ⅰ）曲线C 直角坐标方程：2212x y +=，焦点直角坐标：12(1,0),(1,0)F F - 焦点极坐标：12(1,),(1,0)F F π （Ⅱ）217(,)77M -或2217(77M - 23.（Ⅰ）|3||||3|4||a b a b a b a b a ++-≥++-=，当且仅当(3)()0a b a b +-≥时取等号，只需：4||||(|1||1|)a a x x ≥++-，由于0a ≠，只需|1||1|4x x ++-≤，11 所以：x 的取值范围为：[2,2]-；（Ⅱ）解得：(0,1)M =，,a M b M ∈∈知：1111(1)(1)10ab a b a b ab a b ab ab +----+--==>，即1111ab a b +>+.。

2018年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷(理科)-教师用卷

2018年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】解：，在复平面内对应的点为，故选：D．由题意分子分母同乘以，再进行化简求出实部和虚部即可．本题考查了复数的除法运算以及几何意义，关键利用共轭复数对分母实数化．2.已知集合，集合，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：集合，集合，，故选：A．分别化简集合A，B，再由交集运算性质得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．3.命题p：“，”的否定￢为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题即￢：，，故选：A．根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．4.的展开式中常数项是A. 5B.C. 10D.【答案】D【解析】解：的展开式的通项公式为，令，求得，可得常数项为，故选：D．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5.已知数列的前n项和为，执行如图所示的程序框图，则输出的M一定满足A.B.C.D.【答案】C【解析】解：根据程序框图：算法的作用是求中的最小项．故：，故：，故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量M的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.设函数的最小正周期为，且，则A. 在单调递减B. 在单调递增C. 在单调递增D. 在单调递减【答案】D【解析】解：函数，函数的最小正周期为，则：，由于，且，解得．故：，令，解得，当时，在单调递增．当时，在单调递增．所以在单调递减．所以A错误．故选：D．首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用．7.如果实数x，y满足关系，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；设，则z的几何意义是区域内的点到的斜率加上1，由，可得，由，可得；由图象可知，当MA的斜率最小为，MB的斜率最大为，所以的取值范围是：故选：C．画出不等式组表示的平面区域，化目标函数，由z的几何意义求得最优解，计算目标函数的最值即可．本题考查了简单的线性规划的应用问题，是基础题．8.A，B是圆O：上两个动点，，，M为线段AB的中点，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，A，B是圆O：上两个动点，，则为等边三角形且，则，，M为线段AB的中点，则，则；故选：B．根据题意，分析可得为等边三角形且，由向量的加法的运算法则可得，进而可得，计算可得答案．本题考查向量的数量积的运算和圆的有关性质，关键是分析的形状．9.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于A. B. C. D.【答案】A【解析】解：在同一坐标系内作出函数与函数的图象，如图所示，则函数的图象关于点对称，同时点也是函数的对称点；由图象可知，两个函数在上共有4个交点，且两两关于点对称；设对称的两个点的横坐标分别为，，则，个交点的横坐标之和为．故选：A．分别作出两个函数的图象，根据图象的对称性求得所有交点横坐标的和．本题主要考查了两个函数交点横坐标求和的计算问题，根据函数图象的性质，利用数形结合是解题的关键．10.的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：中，由知，是锐角三角形，由正弦定理可知，，，，，，，，，，则．故选：D．利用二倍角公式化简换成边的关系，求得A的范围，再根据正切函数的单调性求得的取值范围．本题主要考查了正弦定理的应用问题，解题时应把边化成角的问题，利用三角函数的基本性质求解．11.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意，该几何体是高为1的三棱锥，且由俯视图可得三菱锥的底为等腰直角三角形，可得，，，为．过PA中点作面PAC垂线与过F作面ABC的垂线交于点M，则M为该棱锥的外接球的球心．设面EMF交AC于H，则，，在中，由余弦定理可得，由正弦定理的四边形MEHF的外接圆直径为，即，，，即该棱锥的外接球的半径．则该棱锥的外接球的表面积为．故选：A．该几何体是高为1的三棱锥，结合图中数据，过PA中点作面PAC垂线与过F作面ABC 的垂线交于点M，则M为该棱锥的外接球的球心设面EMF交AC于H，则，，在中，由余弦定理可得，由正弦定理的四边形MEHF的外接圆直径为，即，即该棱锥的外接球的半径即可求解．本题考查了三棱锥的性质、空间几何位置关系、三垂线定理、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知S为双曲线上的任意一点，过S分别引其渐近线的平行线，分别交x轴于点M，N，交y轴于点P，Q，若恒成立，则双曲线离心率e的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设与渐近线平行的直线方程为则，与渐近线平行的直线方程为则，，，，，，，要使恒成立，则．双曲线离心率，故选：D．设，与渐近线平行的直线方程为，，则，，，，，，可得，则即可本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.等比数列中，，，公比______．【答案】【解析】解：，，，公比．故答案为：．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.利用随机模拟方法计算和所围成图形的面积首先利用计算机产生两组～区间的均匀随机数，，，然后进行平移和伸缩变换，，若共产生了N个样本点，其中落在所围成图形内的样本点数为，则所围成图形的面积可估计为______结果用N，表示【答案】【解析】解：由题意，，又，由N个样本点，其中落在所围成图形内的样本点数为，则，如图所示；所围成图形的面积可估计为．故答案为：．由题意，计算对应的面积比即可估计所围成图形的面积．本题考查了用模拟实验法求对应面积的比值问题，是基础题．15.设O为抛物线：的顶点，F为焦点，且AB为过焦点F的弦若，则的面积为______【答案】【解析】解：抛物线的焦点为设弦AB所在直线的方程为，与抛物线联解，得设，，由根与系数的关系得．根据抛物线的定义，得，得．由此可得．，因此，三角形的面积为：．故答案为：．设，，弦AB所在直线的方程为，与抛物线联解，并结合一元二次方程根与系数的关系，得根据抛物线的定义，得，结合抛物线方程化出，可得最后根据三角形面积公式，得到本题的答案．本题给出抛物线过焦点的弦AB的长度，求面积的表达式，着重考查了抛物线的简单性质和直线与抛物线关系等知识，属于中档题．16.是定义在R上的函数，其导函数为若，，则不等式其中e为自然对数的底数的解集为______．【答案】【解析】解：不等式．令，，，函数在R上单调递增，而，，．不等式其中e为自然对数的底数的解集为．故答案为：．不等式令，根据，利用导数研究函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列为正项数列，，且求数列通项公式；若，求的前n项和．【答案】解：由，，，，数列为正项数列，，，，，设，则的前n项和为设，当n为偶数时，的前n项和为，当n为奇数时，的前n项和为，故当n为偶数时，，当n为奇数时，，综上所述为偶数为奇数．【解析】由数列的递推公式可得，即可得到，即可求出数列通项公式；利用分组求和，以及分类讨论即可求出．本题考查了数列的递推公式和数列的前n项和公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．18.交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，早高峰时段，基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵，从市交通指挥中心提供的一天中早高峰市内路段交通拥堵指数数据，绘制直方图如图．据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；某人上班路上遇中度拥堵或严重拥堵则不能按规定时间打卡记为迟到，否则能按时到岗打卡单位规定每周考勤奖的基数为50元，无迟到再给予奖励50元，迟到一次考勤奖为基数，迟到两次及两次以上每次从基数中扣除10元，每周至多扣除40元，根据直方图求该人一周按5天计算所得考勤奖的分布列及数学期望假设每天的交通状况相互独立．【答案】解：的频率为：，据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数6．由频率分布直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的平均数为：．设所得考勤奖为X元，X的所有可能取值为100，50，30，20，10，，，，，，．【解析】求出的频率为，据此直方图能估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数；由频率分布直方图能估算早高峰时段交通拥堵指数的平均数．设所得考勤奖为X元，X的所有可能取值为100，50，30，20，10，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．本题考查中位数、平均数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，，底面ABCD是直角梯形，，，，．求证：平面平面PBD；若，求二面角的大小．【答案】证明：在梯形ABCD中，过点B作于H，在中，，，又在中，，，，，，面面ABCD，面面，，面PCD，平面ABCD，，，平面PBD，平面PBD，平面PBD，平面PBC，平面平面PBD．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，PD为z轴，建立空间直角坐标系，则1，，2，，0，，0，，1，，2，，1，，，0，，，，，平面PBD，平面PBD的法向量1，，设平面BDQ的法向量y，，则，取，得，设二面角的大小为，则，，二面角的大小为．【解析】过点B作于H推导出，从而平面ABCD，进而，由此能证明平面PBD，从而平面平面PBD．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，PD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知F为椭圆C：的右焦点，，P，Q分别为椭圆C的上下顶点，且为等边三角形．求椭圆C的方程；过点P的两条互相垂直的直线，与椭圆C分别交于异于点P的点A，B，求证：直线AB过定点；求证：以PA，PB为直径的两个圆的另一个交点H在定圆上，并求此圆的方程．【答案】解：，．，Q分别为椭圆C的上下顶点，且为等边三角形．，，又，解得，，．椭圆C的方程为：．证明：设直线AB的方程为：，，联立，化为：，，．，，，．．解得舍，或．直线AB经过定点．分别取PA，PB的中点，，则分别为两圆的圆心，且交于对S，S为PH的中点，交y轴于点N．，且，点点S的轨迹为以PN为直径的圆：．点H的轨迹方程为：．【解析】由，可得由P，Q分别为椭圆C的上下顶点，且为等边三角形可得，，又，解得，c，即可得出．设直线AB的方程为：，，联立，化为：，由，可得，由，可得把根与系数的关系代入解得可得直线AB经过定点．分别取PA，PB的中点，，则分别为两圆的圆心，且交于对S，S为PH的中点，交y轴于点由，且，可得点进而得出圆的方程．本题考查了椭圆与圆的标准方程方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.已知函数，直线l：，其中e为自然对数的底．当，时，求证：曲线在直线l的上方；若函数的图象与直线l有两个不同的交点，求实数a的取值范围；对于中的两个交点的横坐标，及对应的a，当时，求证：【答案】解：证明：，时，令，可得的导数为，，当时，，可得递增，可得，即在递增，可得，曲线在直线l的上方；可令，导数为，当时，，递减，不和题意；当时，由，可得，可得在递减，在递增，有两个零点，的最小值为，解得；由，在上有且只有一个零点；由当时，，由可得时，，即有，所以，则在上有且只有一个零点，综上可得，；证明：由条件可得，，所以，要证，即证，即证，方法一、由可得，，，等价为，成立．方法二、可令，则，当时，，在递减，可得时，，成立．【解析】可令，求得二阶导数，可得单调区间，即可得到证明；可令，求得导数，讨论a的符号，以及函数的单调性，求得最值，解不等式即可得到所求范围；由交点的定义，作差可得a，要证原式成立，即证，，方法一、运用的单调性可得；方法二，可令，求得导数和单调性，即可得证．本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查分类讨论思想方法和转化思想，以及化简整理的变形能力，属于难题．22.在直角坐标系xOy中，直线l：为参数，以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．求曲线C的直角坐标方程；点，直线l与曲线C交于M，N，求的值．【答案】解：曲线C的极坐标方程为，即．曲线C的直角坐标方程为，即．将直线l：为参数代入曲线，得到：，所以，和为M和N对应的参数，则．故的值为．【解析】直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果．本题考查曲线的直线的极坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，．23.已知x，y，z为正实数，且．求证：；求证：．【答案】解：在等式两边平方得，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，；由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立．【解析】在等式两边平方，平方后利用基本不等式得，然后移项，合并同类项即可；在原不等式左边每个分式分子利用基本不等式，然后分别提公因式y、z、x，继续利用基本不等式并结合等式可证明原不等式．本题考查利用基本不等式证明不等式，问题的关键在于对代数式进行化简，灵活配凑，考查转化能力与应变能力，属于中等题．。

高考数学二模试题卷(理科)-Word版含解析

高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，1，4}，B={y|y=log2|x|+1，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3，4} B．{﹣1，1，3}C．{1，3}D．{1}2．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则|z|为（）A．B．1 C．D．3．已知，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）A．1 B．C．D．24．四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有（）A．10种B．14种C．20种D．24种5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3 B．C．D．6．在等差数列{a n}中，2a7=a9+7，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．21 B．35 C．63 D．1267．设F1，F2是双曲线的两个焦点，若点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，|PF1|•|PF2|=2，则b=（）A．1 B．2 C．D．8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F，H分别是棱PA，PB，AD的中点，且过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为，则四棱锥P﹣ABCD的体积为（）A．B．8 C．D．9．有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序①②③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决…，依此类推．假设：1．四人都守信用，愿赌服输；2．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0）．问①号的最佳分配方案是（）A．（4，2，2，2） B．（9，0，1，0） C．（8，0，1，1） D．（7，0，1，2）10．某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．24π11．已知数列{αn}的前n项和s n=3n（λ﹣n）﹣6，若数列{a n}单调递减，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，5）12．如图是f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象，下列说法错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期是B．函数g（x）=x的图象可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．函数f（x）图象的一个对称中心是（﹣，0）D．函数f（x）的一个递减区间是（5，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的展开式中各项系数的和为256，则该展开式的二项式系数的最大值为．14．已知实数x，y满足，则x+3y的最大值为．15．AB是圆C：x2+（y﹣1）2=1的直径，P是椭圆E：上的一点，则的取值范围是．16．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则﹣的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知且c＜b．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若b=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．18．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，侧面ABB1A1⊥底面ABC，D是BC的中点，∠BAA1=120o，B1D⊥AB．（Ⅰ）求证：AC⊥面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．19．（12分）某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：甲乙8998993899201042111010（Ⅰ）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．20．（12分）如图抛物线C：y2=4x的弦AB的中点P（2，t）（t≠0），过点P且与AB垂直的直线l与抛物线交于C、D，与x轴交于Q．（Ⅰ）求点Q的坐标；（Ⅱ）当以CD为直径的圆过A，B时，求直线l的方程．21．（12分）已知函数，，其中a≥1．（Ⅰ）f（x）在（0，2）上的值域为（s，t），求a的取值范围；（Ⅱ）若a≥3，对于区间[2，3]上的任意两个不相等的实数x1、x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l1：，射线与曲线C的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|kx﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≤3的解集为[﹣2，1]，求实数k的值；（Ⅱ）当k=1时，若对任意x∈R，不等式f（x+2）﹣f（2x+1）≤3﹣2m都成立，求实数m的取值范围．2017年湖南省永州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，1，4}，B={y|y=log2|x|+1，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3，4}B．{﹣1，1，3}C．{1，3}D．{1}【考点】交集及其运算．【分析】分别让x取﹣1，1，4，然后求出对应的y，从而得出集合B，然后进行交集运算即可．【解答】解：x=﹣1，或1时，y=1；x=4时，y=3；∴B={1，3}；∴A∩B={1}．故选D．【点评】考查列举法、描述法表示集合的概念，元素与集合的关系，对数式的运算，以及交集的运算．2．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则|z|为（）A．B．1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：（1+i）z=（1﹣i）2，∴（1﹣i）（1+i）z=﹣2i（1﹣i），2z=﹣2﹣2i，即z=1﹣i．则|z|==．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）A．1 B．C．D．2【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的几何表示．【分析】根据|+|2=，而，均为单位向量，它们的夹角为，再结合向量数量积的公式可得答案．【解答】解：由题意可得：|+|2=，∵，均为单位向量，它们的夹角为，∴|+|2==1+1+2×1×1×cos=3，∴|+|=，故选C．【点评】本题主要考查向量模的计算公式与向量数量积的公式，解决此类问题的关键是熟练记忆公式并且细心认真的运算即可得到全分．属于基础题．4．四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有（）A．10种 B．14种 C．20种 D．24种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，假设2个单位为甲单位和乙单位，按照分配在甲单位的人数分3种情况讨论：即①、甲单位1人而乙单位3人，②、甲乙单位各2人，③、甲单位3人而乙单位1人，由组合数公式求出每一种情况的分配方法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，假设2个单位为甲单位和乙单位，分3种情况讨论：①、甲单位1人而乙单位3人，在4人中任选1个安排在甲单位，剩余3人安排在甲乙单位即可，有C41=4种安排方法；②、甲乙单位各2人，在4人中任选2个安排在甲单位，剩余2人安排在甲乙单位即可，有C42=6种安排方法；③、甲单位3人而乙单位1人，在4人中任选3个安排在甲单位，剩余1人安排在甲乙单位即可，有C43=4种安排方法；则一共有4+6+4=14种分配方案；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意根据题意进行分类讨论时，一定要做到不重不漏．5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3 B．C．D．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y z 是否继续循环循环前 1 1 0第一圈 1 3 7 是第二圈 3 7 17 否则输出的结果为．故选C【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．6．在等差数列{a n}中，2a7=a9+7，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．21 B．35 C．63 D．126【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知得a1+4d=a5=7，从而利用数列{a n}的前9项和S9=，能求出结果．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，2a7=a9+7，∴2（a1+6d）=a1+8d+7，∴a1+4d=a5=7，∴数列{a n}的前9项和S9==63．故选：C．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7．设F1，F2是双曲线的两个焦点，若点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，|PF1|•|PF2|=2，则b=（）A．1 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，则mn=2，m2+n2=4c2，|m﹣n|=2a，由此，即可求出b．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则mn=2，m2+n2=4c2，|m﹣n|=2a，∴4c2﹣4a2=2mn=4，∴b2=c2﹣a2=1，∴b=1，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查勾股定理的运用，属于中档题．8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F，H分别是棱PA，PB，AD的中点，且过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为，则四棱锥P﹣ABCD的体积为（）A．B．8 C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】取BC中点M，连结FM，HM，推导出平面EFMH是过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，设PA=AB=a，则S梯形EFMH==，求出a=2，由此能求出四棱锥P﹣ABCD 的体积．【解答】解：取BC中点M，连结FM，HM，∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F，H分别是棱PA，PB，AD的中点，∴EF∥AB∥MH，∴EF⊥EH，MH⊥EH，平面EFMH是过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，设PA=AB=a，∵过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为，∴S梯形EFMH===，解得a=2，∴四棱锥P﹣ABCD的体积V===．故选：A．【点评】本题考查柱、锥、台体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．9．有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序①②③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决…，依此类推．假设：1．四人都守信用，愿赌服输；2．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0）．问①号的最佳分配方案是（）A．（4，2，2，2）B．（9，0，1，0）C．（8，0，1，1）D．（7，0，1，2）【考点】进行简单的合情推理．【分析】若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0），可得结论．【解答】解：根据若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0），可知①号的最佳分配方案是（9，0，1，0），故选B．【点评】本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．24π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面两直角边长分别为2，2，故斜边长为2，过斜边的侧面与底面垂直，且为高为3的等腰三角形，设其外接球的半径为R，则，解得：R=2，故它的外接球表面积S=4πR2=16π，故选：B【点评】本题考查的知识点是球的表面积和体积，球内接多面体，空间几何体的三视图，难度中档．11．已知数列{αn}的前n项和s n=3n（λ﹣n）﹣6，若数列{a n}单调递减，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，5）【考点】数列的函数特性．【分析】由已知求出a n利用为单调递减数列，可得a n＞a n+1，化简解出即可得出【解答】解：∵s n=3n（λ﹣n）﹣6，①∴s n﹣1=3n﹣1（λ﹣n+1）﹣6，n＞1，②①﹣②得数列a n=3n﹣1（2λ﹣2n﹣1）（n＞1，n∈N*）为单调递减数列，∴a n＞a n+1，且a1＞a2∴﹣3n﹣1（2λ﹣2n﹣1）＞3n（2λ﹣2n﹣3），且λ＜2化为λ＜n+，（n＞1），且λ＜2，∴λ＜2，∴λ的取值范围是（﹣∞，2）．故选：A．【点评】本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力．12．如图是f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象，下列说法错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期是B．函数g（x）=x的图象可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．函数f（x）图象的一个对称中心是（﹣，0）D．函数f（x）的一个递减区间是（5，）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象过（0，1），（2，0）求出ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；根据函数解析式之间的关系判断各选项即可得结论．【解答】解：根据图象可知，f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的图象过（0，1），（2，0）可得：f（0）=cos（φ）=1，解得：φ=+2kπ或φ=﹣+2kπ，（k∈Z）f（2）=cos（2ω+）=0，解得ω=+kπ或ω=+kπ．当k=﹣1时，|ω|为：，周期T==．故A对．此时可得f（x）=cos（）．函数g（x）=x的图象图象向右平移个单位可得：=cos（）．故B对．当x=﹣时，函数f（）=cos（）．==1，故C不对．由f（x）=cos（）=cos（）．令0+2kπ≤）≤π+2kπ，可得：，（k∈Z）当k=2时，可得是单调递减．故D对．故选C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的展开式中各项系数的和为256，则该展开式的二项式系数的最大值为6．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：令x=1，则（5﹣1）m=256，解得m=4．该展开式的二项式系数的最大值为．【解答】解：由题意可得：令x=1，则（5﹣1）m=256，解得m=4．该展开式的二项式系数的最大值为=6．故答案为：6．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知实数x，y满足，则x+3y的最大值为10．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+3y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得B（1，3），代入目标函数z=x+3y得z=1+3×3=10故答案为：10．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．15．AB是圆C：x2+（y﹣1）2=1的直径，P是椭圆E：上的一点，则的取值范围是[﹣1，] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由，，得=（）•（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4再结合y的范围即可求出结论【解答】解：设P（x，y），∵，，∴=（）•（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4∵y∈[﹣1，1]，∴﹣3y2﹣2y+4，∴的取值范围是：[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]【点评】本题主要考查椭圆的基本性质，向量数量积的基本运算技巧，选好基底是解决向量问题的基本技巧之一，及二次函数的值域问题，属于中档题，16．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则﹣的取值范围是．【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数的图象，求出x≥0时f（x）的最大值，判断零点的范围，然后推出结果．【解答】解：函数f（x）=，图象如图，函数g（x）=f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，即方程f（x）=t有三个不同的实数根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞0时，f（x）=，因为x+≥2（x＞0），所以f（x），当且仅当x=1时取得最大值．当y=时，x1=﹣2；x2=x3=1，此时﹣=，由=t（0），可得=0，∴x2+x3=，x2x3=1∴+=＞2，∴﹣=t+∵0，∴﹣的取值范围是．故答案为．【点评】本题考查函数的零点个数的判断与应用，基本不等式的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•永州二模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知且c＜b．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若b=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化，即可求出sinC的值，从而求出C；（Ⅱ）根据图形设BC=x，利用余弦定理求出x的值，再求出AB的值，利用正弦定理求出sinA，再计算△ACD的面积．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，，由正弦定理得，，∴，又c＜b，∴；…（6分）（Ⅱ）如图所示，设BC=x，则AB=5﹣x，在△ABC中，由余弦定理得，求得，即，所以，…（8分）在△ABC中，由正弦定理得，∴，…（10分）∴△ACD的面积为=．…（12分）【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．18．（12分）（2017•永州二模）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，侧面ABB1A1⊥底面ABC，D是BC的中点，∠BAA1=120o，B1D⊥AB．（Ⅰ）求证：AC⊥面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连接OD，B1O，推导出B1O⊥AB，B1D⊥AB，从而AB⊥面B1OD，进而AB⊥OD，再求出AC⊥AB，由此能证明AC⊥面ABB1A1．（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB、OD、OB1方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取AB中点O，连接OD，B1O，△B1BO中，AB=2，B1B=2，∠B1BA=60°，故△AB1B是等边三角形，∴B1O⊥AB，又B1D⊥AB，而B1O与B1D相交于B1，∴AB⊥面B1OD，故AB⊥OD，又OD∥AC，所以AC⊥AB，又∵侧面ABB1A1⊥底面ABC于AB，AC在底面ABC内，∴AC⊥面ABB1A1．…（6分）解：（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB、OD、OB1方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，C（﹣1，2，0），A（﹣1，0，0），D（0，1，0），B（1，0，0），B1（0，0，），∴，，，，设面ADC1的法向量为，依题意有：，令x=1，则y=﹣1，，∴，…（9分）又面ADC的法向量为，…（10分）∴，∴二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2017•永州二模）某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：甲乙8 9 9 8 9 9 3 8 9 92 0 1 0 4 2 1 1 1 0 1 0（Ⅰ）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出这两天的销售量都大于40的概率．（Ⅱ）（ⅰ）设乙产品的日销售量为a，推导出X的所有可能取值为：152，156，160，166，172，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（ⅱ）求出甲厂家的日平均销售量，从而得到甲厂家的日平均返利，由（ⅰ）得乙厂家的日平均返利额，由此推荐该商场选择乙厂家长期销售．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，则．…（4分）（Ⅱ）（ⅰ）设乙产品的日销售量为a，则当a=38时，X=38×4=152；当a=39时，X=39×4=156；当a=40时，X=40×4=160；当a=41时，X=40×4+1×6=166；当a=42时，X=40×4+2×6=172；∴X的所有可能取值为：152，156，160，166，172，∴X的分布列为X 152 156 160 166 172p∴．…（9分）（ⅱ）依题意，甲厂家的日平均销售量为：38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5，∴甲厂家的日平均返利额为：70+39.5×2=149元，由（ⅰ）得乙厂家的日平均返利额为162元（＞149元），∴推荐该商场选择乙厂家长期销售．…（12分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．20．（12分）（2017•永州二模）如图抛物线C：y2=4x的弦AB的中点P（2，t）（t≠0），过点P且与AB垂直的直线l与抛物线交于C、D，与x轴交于Q．（Ⅰ）求点Q的坐标；（Ⅱ）当以CD为直径的圆过A，B时，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设AB直线方程，与抛物线C：y2=4x联立，利用韦达定理，求出直线l的方程，即可求点Q的坐标；（Ⅱ）（方法一）A，B，C，D四点共圆，有，即可求直线l的方程．（方法二）利用参数方程求．【解答】解：（Ⅰ）易知AB不与x轴垂直，设AB直线方程为：y=k（x﹣2）+t，与抛物线C：y2=4x联立，消去y得：k2x2+（2tk﹣4k2﹣4）x+（t﹣2k）2=0，∴△=（4k2+4﹣2tk）2﹣4k2×（t﹣2k）2＞0（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程两根，∴x1+x2=，即tk=2，代入（i）中，求得且t≠0，∴直线l的方程为：y﹣t=（x﹣2），令y=0，得x=4，知定点坐标为（4，0）；…（Ⅱ）（方法一）|AB|===，…（7分）CD直线：，与抛物线y2=4x联立，消去y得：t2x2﹣（8t2+16）x+16t2=0，设C（x3，y3），D（x4，y4），∴x3+x4=，x3x4=16，…（8分）设CD的中点为M（x0，y0），∴x0=，y0=，|PM|=，∴|CD|====，∴A，B，C，D四点共圆，有，代入并整理得t4﹣12t2+32=0，求得t2=4或t2=8（舍去），t=±2．∴直线l的方程为y=x﹣4或y=﹣x+4．…（12分）（方法二）利用参数方程求：设AB直线的参数方程为：，代入抛物线C：y2=4x得，sin2θm2+2sinθmt﹣4cosθm+t2﹣8=0，，，则直线CD的参数方程为：，或有，，sin2β=cos2θ，依题意有：|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，sin2θ=cos2θ，则有或，∴直线l的方程为y=x﹣4或y=﹣x+4．…（12分）【点评】本题考查直线过定点，考查直线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（2017•永州二模）已知函数，，其中a ≥1．（Ⅰ）f（x）在（0，2）上的值域为（s，t），求a的取值范围；（Ⅱ）若a≥3，对于区间[2，3]上的任意两个不相等的实数x1、x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）f′（x）=x2﹣（a+1）x+a，令f′（x）=0得x1=1，x2=a，由题意函数f（x）在区间（0，2）无最值，知f（x）在（0，2）上要么有两个极值点或者没有极值点，即可求a的取值范围；（Ⅱ）不妨设2≤x1＜x2≤3，由（Ⅰ）知：当a≥3时，f（x）在区间[2，3]上恒单调递减，有|f（x1）﹣f（x2）|=f（x1）﹣f（x2），分类讨论，构造函数，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2﹣（a+1）x+a，令f′（x）=0得x1=1，x2=a，…（1分）依题意函数f（x）在区间（0，2）无最值，知f（x）在（0，2）上要么有两个极值点或者没有极值点，知1≤a＜2，…（3分），，f（0）=﹣1，，（i）若a=1，函数f（x）在区间（0，2）上恒单调递增，显然符合题意；…（4分）（ii）若1＜a＜2时，有，即，，得；综上有．…（6分）（Ⅱ）不妨设2≤x1＜x2≤3，由（Ⅰ）知：当a≥3时，f（x）在区间[2，3]上恒单调递减，有|f（x1）﹣f（x2）|=f（x1）﹣f（x2），…（7分）（i）若3≤a≤4时，在区间[2，3]上恒单调递减，|g（x1）﹣g（x2）|=g（x1）﹣g （x2），则|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|等价于f（x1）﹣g（x1）＞f（x2）﹣g（x2），令函数F（x）=f（x）﹣g（x），由F（x1）＞F（x2）知F（x）在区间[2，3]上单调递减，F′（x）=x2﹣（a+1）x+a﹣（a﹣4）x=x2﹣（2a ﹣3）x+a，当a≥3时，x2﹣（2a﹣3）x+a≤0，即，求得；…（10分）（ii）若a＞4时，单调递增，|g（x1）﹣g（x2）|=g（x2）﹣g（x1），则|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|等价于f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），令函数G（x）=f（x）+g（x），由G（x1）＞G（x2）知G（x）在区间[2，3]上单调递减，有G′（x）=x2﹣（a+1）x+a+（a﹣4）x=x2﹣5x+a≤0，故当2≤x≤3时，x2﹣5x+a≤0，即，求得4＜a≤6，由（i）（ii）得．…（12分）【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，有难度．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）（2017•永州二模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l1：，射线与曲线C的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）把参数方程消去参数，可得曲线C的普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C 的极坐标方程．（Ⅱ）利用极坐标方程求得P、Q的坐标，可得线段PQ的长．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为：，普通方程为（x﹣1）2+y2=7，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，可得曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣6=0；（Ⅱ）设P（ρ1，θ1），则有，解得ρ1=3，θ1=，即P（3，）．设Q（ρ2，θ2），则有，解得ρ2=1，θ2=，即Q（1，），所以|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．【点评】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应用以及极坐标的意义，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．（2017•永州二模）已知函数f（x）=|kx﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≤3的解集为[﹣2，1]，求实数k的值；（Ⅱ）当k=1时，若对任意x∈R，不等式f（x+2）﹣f（2x+1）≤3﹣2m都成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论k的范围，求出不等式的解集，从而求出k的值即可；（Ⅱ）令h（x）=f（x+2）﹣f（2x+1），根据h（x）的单调性求出h（x）的最大值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）显然k≠0，k＞0时，f（x）≤3的解集是[﹣，]，∴﹣=﹣2且=1，但k无解，k＜0时，f（x）≤3的解集是[，﹣]，∴=﹣2且﹣=1，解得：k=﹣2，综上，k=﹣2；（Ⅱ）k=1时，令h（x）=f（x+2）﹣f（2x+1）=，由此可得，h（x）在（﹣∞，0]上递增，在[0，+∞）递减，∴x=0时，h（x）取最大值1，由题意得：1≤3﹣2m，解得：m的范围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查了解不等式问题，考查函数的单调性以及分类讨论思想，是一道中档题．。

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2017-2018学年黑龙江省哈尔滨一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=（）A．{（0，1）}B．{x|x≥﹣1}C．{x|x≥0} D．{x|x≥1}2．设复数z满足（z+i）（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．43．P：“∃x∈R，x2+1＜2x”的否定￢P为（）A．∃x∈R，x2+1＞2x B．∃x∈R，x2+1≥2x C．∀x∈R，x2+1≥2x D．∀x∈R，x2+1＜2x4．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的（）A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=S3=12，则a8=（）A．16 B．14 C．12 D．106．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度7．如果执行如图所示的程序框图，输入x=6，则输出的y值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．8．函数f（x）=2cosx（x∈[﹣π，π]）的图象大致为（）A． B．C． D．9．已知F是抛物线x2=4y的焦点，直线y=kx+1与该抛物线相交于A，B两点，且在第一象限的交点为点A，若|AF|=3|FB|，则k的值是（）A．B．C．D．10．设P是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的任意一点，已知A（a，b），B（a，﹣b），若=λ+μ（O为坐标原点），则λ2+μ2的最小值为（）A．ab B．C．ab D．11．设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图象交于B，C两点，点A （m，n）位于函数y2的图象上，若△ABC为正三角形，则m•2n=（）A．8B．12 C．12D．1512．已知f（x）定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，若f（x）＞1﹣f′（x），且f（0）=2，则不等式e x f（x）＞e x+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分．13．计算定积分（2x+）dx=3+ln2，则a=______．14．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有______种．15．已知x8=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a8（x﹣1）8，则a7=______．16．已知双曲线，（a，b∈R+）的离心率e∈[]，则一条渐近线与实轴所成的角的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣（x∈R）（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）取得最大值和最小值时x的值；（2）设锐角△ABC的内角A、B、C的对应边分别是a，b，c，且a=1，c∈N*，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）平行，求c的值．18．学校重视高三学生对数学选修课程的学习，在选修系列4中开设了4﹣1，4﹣2，4﹣3，4﹣4，4﹣5共5个专题课程，要求每个学生必须且只能选修其中1门课程，设A、B、C、D是高三某班的4名学生．（1）求恰有2个专题没有被这4名学生选择的概率；（2）设这4名学生中选择4﹣4专题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．20．我校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”（阴影区域）来庆祝数学学科节目的成功举办，其中AC，BD是过抛物线C的焦点F的两条弦，且F（0，1），=0，点E为y 轴上一点，记∠EFA=a，其中a为锐角．（1）求抛物线的方程；（2）当“蝴蝶形图案”的面积最小时，求a的大小．21．已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数），g（x）=x+m（m，n∈R）．（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在[0，1]上的最大值；（2）若n=4时方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求m的取值范围；（3）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．[注意：7＜e2＜]．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AD是△ABC的对角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC．（1）求证：FB=FC；（2）若FA=2，AD=6，求FB的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆锥曲线和定点，F1，F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线AF2的极坐标方程；（Ⅱ）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M，N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．2016年黑龙江省哈尔滨一中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=（）A．{（0，1）}B．{x|x≥﹣1}C．{x|x≥0} D．{x|x≥1}【考点】交集及其运算．【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=x2+1，得到x∈R，即M=R，由N中y=≥0，得到N={x|x≥0}，则M∩N={x|x≥0}，故选：C．2．设复数z满足（z+i）（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】复数求模．【分析】变形已知条件可得z+i=，化简可得z，可得模长．【解答】解：∵（z+i）（1+i）=1﹣i，∴z+i====﹣i，∴z=﹣2i∴|z|=2故选：B．3．P：“∃x∈R，x2+1＜2x”的否定￢P为（）A．∃x∈R，x2+1＞2x B．∃x∈R，x2+1≥2x C．∀x∈R，x2+1≥2x D．∀x∈R，x2+1＜2x 【考点】的否定．【分析】直接利用特称的否定是全称写出结果即可．【解答】解：因为特称的否定是全称，所以，P：“∃x∈R，x2+1＜2x”的否定￢P为：∀x∈R，x2+1≥2x．故选：C．4．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的（）A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充要条件的概念即可判断是什么条件，从而得到答案．要注意三角形内角和是π，不要丢掉这个大前提．【解答】解：在△ABC中，“sinA＞”⇒“＞A＞”⇒“A＞”．必要性成立；反之，“A＞不能⇒“sinA＞”，如A=时，sinA=sin=sin＜sin=，即sinA，即充分性不成立，∴可判断A＞是sinA＞的必要而不充分条件．故选A．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=S3=12，则a8=（）A．16 B．14 C．12 D．10【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a6=S3=12，∴a1+5d=12，3a1+3d=12，解得a1=d=2，则a8=2+7×2=16．故选：A．6．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x﹣）到y=cos2x的路线，确定选项．【解答】解：∵y=sin（2x﹣）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=cos[2（x﹣）]，∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度．故选B．7．如果执行如图所示的程序框图，输入x=6，则输出的y值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=﹣1，y=﹣时，满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣．【解答】解：执行程序框图，可得x=6y=2不满足条件|y﹣x|＜1，x=2，y=0不满足条件|y﹣x|＜1，x=0，y=﹣1不满足条件|y﹣x|＜1，x=﹣1，y=﹣满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣．故选：D．8．函数f（x）=2cosx（x∈[﹣π，π]）的图象大致为（）A． B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】由f（﹣x）=2cos（﹣x）=2cosx=f（x），得出f（x）为偶函数，则图象关于y轴对称，排除A、D，再令x=π代入f（x）的表达式即可得到答案．【解答】解：∵f（﹣x）=2cos（﹣x）=2cosx=f（x），∴f（x）为偶函数，则图象关于y轴对称，排除A、D，把x=π代入得f（π）=2﹣1=0.5，故图象过点（π，0.5），C选项适合，故选：C．9．已知F是抛物线x2=4y的焦点，直线y=kx+1与该抛物线相交于A，B两点，且在第一象限的交点为点A，若|AF|=3|FB|，则k的值是（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点F（0，1），过A、B分别作BQ⊥l于Q，AP⊥l 于P，BC⊥AP，垂足为C，由|AF|=3|FB|，则|AP|=3|BQ|，进而求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：x2=4y的准线为l：y=﹣1，直线y=kx+1（k＞0）恒过定点F（0，1）过A、B分别作AP⊥l于P，BQ⊥l于Q，BC⊥AP，垂足为C，由|AF|=3|FB|=3m，则|AP|=3|BQ|=3m，∴|AC|=2m，|AB|=4m，|BC|=2m∴k=，故选B．10．设P是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的任意一点，已知A（a，b），B（a，﹣b），若=λ+μ（O为坐标原点），则λ2+μ2的最小值为（）A．ab B．C．ab D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定A，B的坐标，根据=λ+μ，确定坐标之间的关系，可得4λμ=1，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：由题意，设P（x，y），则∵=λ+μ，∴x=（λ+μ）a，y=（λ﹣μ）b∵P为双曲线C右支上的任意一点，∴（λ+μ）2﹣（λ﹣μ）2=1∴4λμ=1∴λ2+μ2≥2λμ=∴λ2+μ2的最小值为．故选：D．11．设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图象交于B，C两点，点A （m，n）位于函数y2的图象上，若△ABC为正三角形，则m•2n=（）A．8B．12 C．12D．15【考点】函数的图象．【分析】根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出p、q的值，计算出结果【解答】解：根据题意，设A（m，n），B（x0，log2x0），C（x0，2+log2x0），∵线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴BC=2，2+log2m=n，∴m=2n﹣2，∴4m=2n；又x0﹣m=，∴m=x0﹣，∴x0=m+；又2+log2x0﹣n=1，∴log2x0=n﹣1，x0=2n﹣1=；∴m+=；2m+2=2n=4m，∴m=，2n=4；∴m•2n=×4=12；故选：B12．已知f（x）定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，若f（x）＞1﹣f′（x），且f（0）=2，则不等式e x f（x）＞e x+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）＞1﹣f′（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+1，∴g（x）＞1，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=1，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分．13．计算定积分（2x+）dx=3+ln2，则a=2．【考点】定积分．【分析】根据函数的积分公式进行化简求解即可．【解答】解：∵（2x+）dx=3+ln2，∴（x2+lnx）|=3+ln2，即a2+lna﹣1﹣ln1=3+ln2，则a2+lna=4+ln2，则得得a=2，故答案为：214．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有192种．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由于甲必须站中央，故先安排甲，两边一边三人，不妨令乙丙在甲左边，求出此种情况下的站法，再乘以2即可得到所有的站法总数，计数时要先安排乙丙两人，再安排甲左边的第三人，最后余下三人，在甲右侧是一个全排列【解答】解：不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A22种站法，再取一人站左侧有C41×A22种站法，余下三人站右侧，有A33种站法考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2×A22×C41×A22×A33=192故答案为19215．已知x8=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a8（x﹣1）8，则a7=8．【考点】二项式系数的性质．【分析】将x写成1+（x﹣1），利用二项展开式的通项公式求出通项，令x﹣1的指数为7，求出a7．【解答】解：∵x8=[1+（x﹣1）]8，∴其展开式的通项为T r+1=C8r（x﹣1）r，令r=7得a7=C87=8．故答案为：8．16．已知双曲线，（a，b∈R+）的离心率e∈[]，则一条渐近线与实轴所成的角的取值范围是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设经过一、三象限的渐近线与实轴所成的角为θ，则tanθ=，根据2≤≤4，求出的范围，即得tanθ的范围，从而得到θ的范围．【解答】解：设经过一、三象限的渐近线与实轴所成的角为θ，则tanθ=．由题意可得2≤≤4，∴1≤≤，即1≤tanθ≤，∴≤θ≤，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣（x∈R）（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）取得最大值和最小值时x的值；（2）设锐角△ABC的内角A、B、C的对应边分别是a，b，c，且a=1，c∈N*，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）平行，求c的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理．【分析】（1）首先，化简函数解析式，利用辅助角公式，化简给定的函数，然后，结合三角函数的图象与性质进行求解；（2）根据向量共线的条件，同时结合余弦定理进行求解．【解答】解：（1）f（x）=sin2x﹣﹣，=sin2x﹣cos2x﹣1，=sin（2x﹣）﹣1，∵x∈[﹣，]，∴﹣≤2x﹣，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，∴当sin（2x﹣）=1时，即2x﹣=，得x=，f（x）取得最大值；当sin（2x﹣）=﹣时，即2x﹣=﹣，得x=﹣，f（x）取得最小值；（2）∵向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）平行，所以sinB=2sinA，根据正弦定理的推论，得b=2a，∴a=1，b=2，由余弦定理c2=1+4﹣2×1×2cosC=5﹣4cosC，∵0＜C＜，∴0＜cosC＜1，∴1＜c2＜5，∴1＜c＜，∵c∈N*，∴c=2，经检验符合三角形要求，∴c的值2．18．学校重视高三学生对数学选修课程的学习，在选修系列4中开设了4﹣1，4﹣2，4﹣3，4﹣4，4﹣5共5个专题课程，要求每个学生必须且只能选修其中1门课程，设A、B、C、D是高三某班的4名学生．（1）求恰有2个专题没有被这4名学生选择的概率；（2）设这4名学生中选择4﹣4专题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）每个学生必须且只需选修1门专题课程，每一人都有种选择，总共有54，恰有2门专题课程没有被这3名学生选择的概率，则有C52C42A33，从而求解；（2）某一专题课程被这3名学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3，4，分别算出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），再利用期望公式求解．【解答】解：（1）根据每个学生必须且只需选修1门专题课程，每一人都有种选择，总共有54，恰有2门专题课程没有被这3名学生选择的概率，则有C52C42A33，∴恰有2门专题课程这4名学生都没选择的概率：P2==（2）设A专题课程被这4名学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3，4P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=．19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，通过面面垂直的判定定理即得结论；（2）过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．则∠QNM是二面角Q﹣BD﹣P的平面角，在Rt三角形MNQ中利用tan∠MNQ=计算即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PCD，DC⊂平面PDC，图1所示．∴AD⊥PD，AD⊥DC，在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°，又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°，∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD．∵PD⊥AD，PD⊥DC，AD∩DC=D．AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD．∴BC⊥平面PBD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）解：过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．由（1）可知BC⊥平面PDB，∴QM⊥平面PDB，∴QM⊥BD，∵QM∩MN=M，∴BD⊥平面MNQ，∴BD⊥QN，图2所示．∴∠QNM是二面角Q﹣BD﹣P的平面角，∴∠QNM=60°，∵，∴，∵QM∥BC，∴，∴QM=λBC，由（1）知，∴，又∵PD=1，MN∥PD，∴，∴MN===1﹣λ，∵tan∠MNQ=，∴，∴．20．我校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”（阴影区域）来庆祝数学学科节目的成功举办，其中AC，BD是过抛物线C的焦点F的两条弦，且F（0，1），=0，点E为y 轴上一点，记∠EFA=a，其中a为锐角．（1）求抛物线的方程；（2）当“蝴蝶形图案”的面积最小时，求a的大小．【考点】抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由抛物线的焦点坐标即可得到抛物线的标准方程；（2）由题意结合图形，把A、B、C、D四点的坐标分别用|AF|、|BF|、|CF|、|DF|和α表示，代入抛物线方程后最终求得|AF|、|BF|、|CF|、|DF|，对三角形面积化简整理，换元后利用配方法求面积的最小值．【解答】解：（1）由题意可得抛物线方程为：x2=4y．（2）解：①由抛物线Γ焦点F（0，1）得，抛物线Γ方程为x2=4y；②设AF=m，则点A（﹣msinα，mcosα+1），∴（﹣msinα）2=4（1+mcosα），即m2sin2α﹣4mcosα﹣4=0．解得：m=，∵m＞0，∴|AF|=．同理：，|DF|=，|CF|=．．“蝴蝶形图案”的面积S=S△AFB+S△CFD=，令t=sinαcosα，，．则=，∴当时，即时“蝴蝶形图案”的面积最小为8．21．已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数），g（x）=x+m（m，n∈R）．（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在[0，1]上的最大值；（2）若n=4时方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求m的取值范围；（3）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．[注意：7＜e2＜]．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）T（x）=f（x）g（x）=e x（x+m）=e x（x+1﹣）；求导T′（x）=e x（x+1）；从而确定函数的最大值；（2）n=4时，方程f（x）=g（x）可化为m=e x﹣2x；求导m′=e x﹣2，从而得到函数的单调性及取值，从而求m的取值范围；（3）由题意，f（x）=e x，g（x）=x﹣；故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣x+＞0恒成立；从而化为最值问题．【解答】解：（1）T（x）=f（x）g（x）=e x（x+m）=e x（x+1﹣）；故T′（x）=e x（x+1）；则当n≥﹣2时，T′（x）≥0；故T（x）在[0，1]上的最大值为T（1）=e；当n＜﹣2时，x∈[0，﹣）时，T′（x）＞0；x∈（﹣，1]时，T′（x）＜0；T（x）在[0，1]上的最大值为T（﹣）=﹣；（2）当n=4时，方程f（x）=g（x）可化为m=e x﹣2x；m′=e x﹣2，故当x∈[0，ln2）时，m′＜0；当x∈（ln2，2]时，m′＞0；m（ln2）=2﹣2ln2；m（0）=1，m（2）=e2﹣4；故由题意知，2﹣2ln＜m≤1；（3）由题意，f（x）=e x，g（x）=x﹣；故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣x+＞0恒成立；F′（x）=e x﹣；故F（x）在（﹣∞，ln）上是减函数，在（ln，+∞）上是增函数；故可化为F（ln）＞0；即（1﹣ln）+＞0；令G（n）=（1﹣ln）+；故G′（n）=﹣（ln+1）＜0；故G（n）=（1﹣ln）+是[1，+∞）上的减函数，而G（2e2）=﹣e2+＞0；G（14）=7（1﹣ln7）+＞0；G（15）=7.5（1﹣ln7.5）+＜0；故最大正整数n为14．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AD是△ABC的对角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC．（1）求证：FB=FC；（2）若FA=2，AD=6，求FB的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）欲证FB=FC，可证∠FBC=∠FCB．由A、C、B、F四点共圆可知∠FBC=∠CAD，又同弧所对的圆周角相等，则∠FCB=∠FAB，而∠FAB=∠EAD，则∠FCB=∠EAD，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，得∠CAD=∠EAD，故∠FBC=∠FCB；（2）由（1）知，求FB的长，即可以转化为求FC的长，联系已知条件：告诉FA与AD的长度，即可证△FAC∽△FCD．【解答】（1）证明：∵A、C、B、F四点共圆∴∠FBC=∠DAC又∵AD平分∠EAC∴∠EAD=∠DAC又∵∠FCB=∠FAB（同弧所对的圆周角相等），∠FAB=∠EAD∴∠FBC=∠FCB∴FB=FC；（2）解：∵∠BAC=∠BFC，∠FAB=∠FCB=∠FBC∴∠FCD=∠BFC+∠FBC=∠BAC+∠FAB=∠FAC∵∠AFC=∠CFD，∴△FAC∽△FCD∴FA：FC=FC：FD∴FB2=FC2=FA•FD=16，∴FB=4．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆锥曲线和定点，F1，F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线AF2的极坐标方程；（Ⅱ）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M，N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）消去参数α可得曲线C的方程为+y2=1，先得直线的普通方程，化为极坐标方程即可；（Ⅱ）易得l的方程，解方程组可得交点坐标，由两点间的距离公式可得．【解答】解：（Ⅰ）消去参数α可得曲线C的方程为+y2=1，可得F1（﹣，0），F2（，0），∴直线AF2的斜率为k==﹣1，故直线方程为y﹣=﹣（x﹣0），即x+y=，∴极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=；（Ⅱ）经过点F1（﹣，0）且与直线AF2垂直的直线l斜率为1，故l的方程为y﹣0=x+，即y=x+，联立可解得M（，），N（，），∴由两点间的距离公式可得||MF1|﹣|NF1||=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0，从而得到所证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．2016年9月23日。