截长补短的技巧
截长补短技巧
截长补短技巧
截长补短是一种改进文章或文章段落的技巧，使其更加紧凑和有力。
下面是一些截长补短的技巧：
1. 删除冗余信息：仔细审查你的文章，删除不必要或重复的词语、句子或段落。
确保每个词语和句子都对于表达你的观点是必要的。
2. 简化句子结构：检查你的句子结构是否过于复杂。
尽量使用简洁明了的句子，避免使用过多从属从句或过长的修饰语。
3. 使用具体的词语：用具体的词语取代模糊或泛泛的描述。
这样可以提供更清晰、更具图像感的表达方式，并避免篇幅过长。
4. 缩减段落长度：确保每个段落只包含一个主要观点，并删除无关或重复的内容。
同时，考虑将较长的段落分成更小的段落，以增加可读性和易理解性。
5. 提供必要的背景信息：在撰写文章时，确保为读者提供必要的背景信息，以便他们能够理解你的论点。
然而，切勿陷入过多的细节或琐碎的描述。
6. 突出关键信息：通过使用强调、引用或编号等方式，突出文章中最重要的信息。
这样可以帮助读者更快地理解你的观点和重点。
7. 避免啰嗦和废话：尽量避免在文章中使用啰嗦的句子或废话。
去除不必要的修饰词和句子，使表达更加简洁明了。
8. 运用段落过渡语：使用合适的段落过渡语，将一个观点引出到下一个观点。
这样可以使文章整体更流畅，帮助读者更好地跟随你的思路。
通过运用以上截长补短的技巧，你可以让你的写作更加紧凑，使观点更加明确，提高文章的可读性和吸引力。
记得在修改文章时保持批判性思维和审美眼光，确保每个词语和句子都能够为文章增添价值。
经典截长补短法巧解
截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。
通常来证明几条线段的数量关系。
截长补短法有多种方法。
截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
……补短法（1）延长短边。
（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
……例：B A在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证）B A方法二（好证不好想）MB A例题不详解。
（第2页题目答案见第3、4页）FE（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45o。
求证：EF=DE+BF（1）变形a正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，∠EAF=45o。
请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？（1）变形b正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，∠EAF=45o。
请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？（1）变形cD正三角形ABC中，E在AB上，F在AC 上∠EDF=45o。
DB=DC，∠BDC=120o。
请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？（1）变形dFE正方形ABCD中，点E在CD上，点F 在BC上，∠EAD=15o，∠FAB=30o。
AD=3求∆AEF的面积（1）解：（简单思路）FE延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。
由四边形ABCD是正方形得∠ADG=∠ABF=90oAD=AB又DG=BF所以∆ADG≅∆ABF（SAS）∠GAD=∠FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得∠DAB=90o=∠DAF+∠FAB=∠DAF+∠GAD=∠GAF所以∠GAE=∠GAF-∠EAF=90o-45o=45o∠GAE=∠FAE=45o又AG=AFAE=AE所以∆EAG≅∆EAF（SAS）EF=GE=GD+DE=BF+DE变形a解：（简单思路）EF= BF-DE在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。
《截长补短法》课件
04
截长补短法的实例
实例一：几何图形
总结词
通过图形直观展示
详细描述
在PPT中，我们可以使用几何图形来展示截长补短法的应用。例如，在平面几何中，我们可以通过将一个不规则 图形切割成几个规则图形，然后进行补充，从而得到一个新的规则图形。这种方法可以帮助学生更好地理解几何 图形的性质和特点。
实例二：数据可视化
原理的数学解释
截长补短法是一种基于几何和代数知识 的解题方法，其原理可以通过数学公式
和定理进行解释。
在几何学中，截长补短法可以用于证明 一些线段或角度的性质和关系，例如通 过截取线段来证明两个三角形相似或通 过补全角度来证明一个四边形是平行四
边形。
在代数中，截长补短法可以用于解决一 些方程和不等式问题，例如通过将一个 复杂的多项式方程进行截取和补全，来
索其在其他领域的应用。
拓展应用范围
尝试将截长补短法与其他几何 作图方法结合，拓展其应用范 围，解决更多复杂的几何问题 。
提高教学水平
在数学教学中，加强对截长补 短法的介绍和讲解，帮助学生 更好地理解和掌握该方法。
激发学习兴趣
通过引导学生运用截长补短法 解决实际问题，激发他们对数
学学习的兴趣和热情。
THANKS
简单、更易于解决的小问题。
补全短线段
补全短线段是指在解题过程中，将一些较短的线段或步骤进行补充和整合，使其形 成一个完整的解决方案。
通过补全短线段，可以将零散的信息和步骤整合起来，形成一个完整的知识体系或 解决方案。
在数学问题中，补全短线段通常用于将一些分散的条件和信息整合起来，形成一个 完整的证明或解题过程。
找到满足条件的解。
03
截长补短法的步骤
截长补短法证明题课件
THANKS
谢谢
总结词：梯形中位线定理 详细描述
1. 定义梯形中位线为AD， 并设梯形两底分别为AB和 CD。
2. 通过梯形中位线的定义， 我们知道AD是AB和CD的组 合线段。
3. 根据组合线段的性质， AD等于两底AB和CD的平均 值。
4. 因此，AD等于 (AB+CD)/2，即梯形的中位 线等于两底和的一半。
02
CHAPTER
截长补短法的基础知识
平行线定理与推论
平行线定理
两条平行线被第三条直线所截，截得的对应线段成比例。
推论
如果一条直线截三角形的两边或其延长线，都使得两对边成 比例，那么这条直线一定与三角形相交。
三角形中位线定理
定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
应用
通过证明三角形中位线定理，可以得出四边形可以被分割成若干个三角形，从 而利用三角形面积公式求解四边形面积。
05
CHAPTER
截长补短法的实际应用
在几何作图中的应用
总结词
截长补短法在几何作图中应用广泛，是解决 作图题的重要方法。
详细描述
在几何作图中，常常需要将一条线段分成两 段或几段，然后利用这些线段构造新的图形 。截长补短法通过将长线段截取成若干段， 或补短线段以形成所需的新图形，从而实现 作图目标。
截长补短法证明题课件
目录
CONTENTS
• 截长补短法概述 • 截长补短法的基础知识 • 截长补短法的证明技巧 • 截长补短法经典例题解析 • 截长补短法的实际应用 • 截长补短法的进一步研究与探讨
01
CHAPTER
截长补短法概述
定义与特点
定义
截长补短法是一种证明几何命题 的技巧，通过将较长的线段截取 一部分，用来补足较短线段的不 足，从而使命题得证。
完整版)截长补短类辅助线作法
完整版)截长补短类辅助线作法截长补短类辅助线作法是解决三条线段之间数量关系问题的常用方法。
其中，“截长”是将最长的线段一分为二，使其中一条等于已知的较短线段之一，然后证明另一段与已知另一条线段的数量关系；“补短”是将一条较短的线段延长至与另一条较短的线段相等，然后证明延长后的线段与最长的线段的数量关系。
需要注意的是，截长补短类辅助线作法一般用于三条线段之间的数量关系问题，特别是当线段前的系数不是1时，可能会涉及到含特殊角的直角三角形。
在构造辅助线时，需要结合题目条件选择适当的方法，并不是所有题目都适用于截长和补短方法。
下面是一些例题的精讲：1.在图中，以D为顶点作一个边长为a的正三角形，连接AD、BD、CD，点E、F分别在AB、AC上，且AE=EF=FB，求△XXX的周长。
2.已知△ABC中，DP⊥BC，证明BD平分∠ABC，BC上有动点P；DP平分∠BDC时，求BD、CD、CP三者的数量关系。
3.已知△ABC中，D、E、F分别平分∠A、∠B、∠C，交于点P，试判断AD：DB、BE：EC、CF：FA的数量关系，并加以证明。
4.在△ABC中，AD是角平分线，点F、E分别在AC、AB上，且AF=DE，证明BF=CE。
5.在图中，以D为顶点作一个边长为a的正三角形，连接AD、BD、CD，点E、F分别在AB、AC上，且AE=EF=FB，求△XXX的周长。
6.已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠AED=45°，证明AE=BD。
7.五边形ABCDE中，AD平分∠CDE，证明XXX。
8.在△ABC中，D是三角形外一点，且∠ACD=∠BCD，AB与CD交于点E，证明XXX。
9.如图1所示，AB、CD平行，AE、DE分别平分∠A、∠D，并交于点E。
过点E的直线分别交AM、DN于B、C。
1）当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系。
2）试证明你的猜想。
(完整版)截长补短类辅助线作法
截长补短类协助线作法?“截长”就是将三条线段中最长的那条线段一分为二，使此中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，而后证明此中的另一段与已知的另一条线段的数目关系；“补短”就是将三条线段中一条已知的较短的线段延伸至与另一条已知的较短的长度相等，而后证明延伸后的线段与最长的已知线段的数目关系．?注： 1、截长补短类协助线解决的一般是三条线段之间的数目关系问题，特别要注意线段前系数不是“ 1”的时候，一般会波及到含特别角的直角三角形2、详细在利用截长或许补短结构协助线时要联合题目条件选择适合的方法，并不是全部题目截长和补短都能够例题精讲1、如下图，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为极点作一个的，点、分别在、上，求的周长．P．2、已知：如图，△ABC中，，BD均分∠ ABC，BC上有动点（ 1） DP⊥BC时（如图 1），求证：；（ 2） DP均分∠ BDC时（如图 2）， BD、CD、 CP三者有何数目关系？3、已知中，，、分别均分和，、交于点，试判断、、的数目关系，并加以证明．4、（ 2014 初二上期末昌平区）如图，AD是△ ABC的角均分线，点F，E 分别在边 AC， AB上，且．（ 1）求证：；（ 2）假如，研究线段AE， AF，FD之间知足的等量关系，并证明．5、如下图，是边长为的正三角是顶角为的等腰三角形，形，以为极点作一个的，点、分别在、上，求的周长．6、如下图，已知正方形ABCD 中， M 为 CD 的中点， E 为 MC 上一点，且．求证：．7、五边形 ABCDE 中，，，，求证：AD 均分∠ CDE．8、如图，在△ ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证：9、(2012 初二上期中中关村中学)如图1 所示：，AE 、DE 分别均分和，并交于 E 点.过点E 的直线分别交AM 、DN 于B、C.（1）如图 2，当点 B、C 分别位于点 AD 的同侧时，猜想 AD 、 AB、 CD 之间的存在的数目关系： ____ _____.（2）试证明你的猜想 .（3）若点 B、 C 分别位于点 AD 的双侧时，试写出 AD 、AB 、CD 之间的关系，并选择一个写出证明过程 .10、（2012 初二上期中北达资源中学）（1）如图，四边形ABPC 中，，，，求证：．（ 2）如图，四边形ABCD 中，，，P 为四边形ABCD 内一点，且，求证：．11、（2009 山东临沂中考）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF=90°，且EF 交正方形外角∠DCG 的均分线 CF 于点 F，求证： AE=EF．AB 的中点M ，连结ME ，则经过思虑，小明展现了一种正确的解题思路：取AM=EC ，易证△AME ≌△ ECF，因此 AE=EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（ 1）小颖提出：如图 2，假如把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC上（除B，C 外）的随意一点”，其余条件不变，那么结论“ AE=EF”仍旧建立，你以为小颖的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延伸线上（除 C 点外）的随意一点，其余条件不变，结论“AE=EF”仍旧建立．你以为小华的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因．12、（ 2013 中考旭日二模）在平行四边形 ABCD 过点 E 作直线 EF，在 EF 上取一点 G，使得中，E 是AD 上一点，，连结AG ．，（ 1）如图1，当EF 与AB 订交时，若，求证：；（ 2）如图2，当EF 与AB 订交时，若，请你直接写出线段EG、AG 、 BG 之间的数目关系（用含（ 3）如图 3，当 EF 与 CD 订交时，且α的式子表示）；，请你写出线段EG、AG 、BG之间的数目关系，并证明你的结论．13、（2015 初二上期末昌平区）为等腰直角三角形, , 点在边上（不与点、重合），以为腰作等腰直角，（ 1）如图1，作于，求证：；（ 2）在图 1 中，连结交于，求的值；（ 3）如图2，过点作交的延伸线于点，过点作，交于点，连结.当点在边上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明原因.随堂练习1、已知等腰，，的均分线交于，则．2、已知：如图，是正方形，，求证：．3、（2015 中考顺义一模）如图，△ABC中，，点P是三角形右外一点，且．（ 1）如图 1，若，点 P 恰好在∠ ABC的均分线上，，求 PB的长；（ 2）如图 2，若，研究 PA，PB， PC的数目关系，并证明；（ 3）如图 3，若，请直接写出 PA，PB，PC的数目关系．课后作业1、如图，四边形 ABCD 中， AB ∥DC， BE、CE 分别均分∠ ABC 、∠ BCD ，且点E在AD 上．求证：．2、（ 2013 黑龙江龙东地域中考）正方形 ABCD 的极点 A 在直线 MN 上，点 O 是对角线 AC 、BD 的交点，过点 O 作 OE⊥MN 于点 E，过点 B 作 BF⊥ MN 于点 F．（1）如图 1，当 O、B 两点均在直线 MN 上方时，易证： AF+BF=2OE （不需证明）（2）当正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转至图 2、图 3 的地点时，线段 AF、BF、OE 之间又有如何的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种状况赐予证明．3、（ 2015 中考海淀一模）在菱形中，，点是对角线上一点，连结，，将线段绕点逆时针旋转并延伸获得射线，交的延伸线于点．（ 1）依题意补全图形；（ 2）求证：；（ 3）用等式表示线段，，之间的数目关系：．4、（2014 黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭、黑河中考）在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，直线 MN 过点 A 且 MN ∥ BC，过点 B 为一锐角极点作Rt△BDE，∠ BDE=90°，且点 D 在直线 MN 上（不与点 A 重合），如图 1， DE 与 AC 交于点 P，易证： BD=DP ．（无需写证明过程）（ 1）在图 2 中， DE 与 CA 延伸线交于点 P，BD=DP 能否建立？假如建立，请(完整版)截长补短类辅助线作法赐予证明；假如不建立，请说明原因；（2）在图 3 中， DE 与 AC 延伸线交于点 P，BD 与 DP 能否相等？请直接写出你的结论，无需证明．11 / 11。
《截长补短法》课件
具体步骤
1
分析主题
仔细分析PPT的主题和目的，确保准确理解要传达的信息。
2
确定主旨
确立PPT的主旨，明确要传达的核心观点或信息。
3
删。
4
识别重点
识别PPT中的重要信息，突出主要观点和关键数据。
5
补充细节
根据需要，补充必要的细节和案例，以支撑主要观点。
《截长补短法》PPT课件
截长补短法是一种高效的PPT制作技巧，适用于各种场合。通过精确的分析 和简明扼要的表达，能够让信息更加凝练、清晰地传达给观众。
简介
截长补短法是一种PPT制作技巧，通过剔除冗余内容、挖掘关键信息、补充 必要细节等方式，让PPT更具有信息密度和可读性。
该技巧的优势在于能够提炼主要内容，使PPT更具逻辑性和系统性，并能够 准确传达信息。
权衡截长补短法
在使用截长补短法时，需要根据情况加以衡量和权衡，确保达到最佳的信息传达效果。
结论
截长补短法是一种优秀的PPT制作技巧，能够提升PPT的信息密度和可读性。 未来，截长补短法将在PPT制作中发挥更重要的作用，为信息沟通和交流提供更高效的解决方案。
案例分析
以“市场营销”为例，介绍如何运用截长补短法进行PPT制作。 通过案例展示和分析，展示如何精确传达市场营销的核心概念和策略，让观众更容易理解和接受。
注意事项
不追求简洁失去准确性
在使用截长补短法时，不要只顾追求简洁，而忽略准确传达信息的重要性。
保持逻辑性和系统性
截长补短法仅是一种技巧，不要让PPT失去逻辑性和系统性，保持信息的有机连接。
截长补短模型专题解读
截长补短模型专题解读【专题说明】“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“a＋b ＝c”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。
【方法技巧】常见类型及常规解题思路：① a b c ±= 可采取直接截长或补短，绕后进行证明。
或者化为类型②证明。
② a b kc ±= 可以将a b ±与c 构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30o 的直角三角形等。
截长法常规辅助线：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短法常规辅助线：（1）延长短边。
（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起【典例分析】【典例1】模型分析当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且∠B ＝2∠C ，求证：AB +BD ＝AC ． 截长法：在AC 上截取AE ＝AB ，连接DE ，证明CE ＝BD 即可．补短法：延长AB 至点F ，使AF ＝AC ，连接DF ，证明BF ＝BD 即可．请结合右边的证明结论．求证：AB +BD ＝AC ．请结合右边的【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】【解答】证明：【截长法】在AC上截取AE＝AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AB+BD＝AE+CE＝AC．证明：【补短法】延长AB到F，使BF＝BD，连接DF，∵BF＝BD，∴∠F＝∠BDF，∴∠ABC＝∠F+∠BDF＝2∠F，且∠ABC＝2∠C，∴∠C＝∠F，且∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，∴△ADF≌△ADC（AAS）∴AC＝AF，∴AC＝AF＝AB+BF＝AB+BD．【变式1】如图，Rt△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于点E．求证：AD＝2DF+CE．【解答】证明：在AF上截取FG＝DF，连接CG，则DG＝2DF，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF+∠ACF＝90°，又∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠DCF＝∠CAF，∵AD平分∠CAE，∴∠CAF＝∠EAF，∵DF＝FG，CF⊥DG，∴CD＝CG，∴∠CDG＝∠CGD，∵∠DGC＝∠GAC+∠ACG，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠ACG，又∵AC＝BC，∴△ACG≌△CBE（ASA），∴AG＝CE，∴AD＝AG+DG＝CE+2DF．【变式2】如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠ADB ＝∠ADC＝60°，求证：AD＝BD+CD．【解答】证明：在DA上截取DE＝DB，连接BE，如下图所示，∵∠ADB＝60°，DE＝DB，∴△ABD为等边三角形，∴∠EBD＝60°，BE＝BD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∴∠EBD﹣∠EBC＝∠ABC﹣∠EBC，∴∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD，∴AD＝AE+ED＝CD+BD．【变式3】如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的一条弦，且＝，过点A 作AP⊥CD，分别交CD，⊙O于点E，P，连接BP，若CD＝6，△ABP的周长为13，求AE的长．【解答】解：在AE上截取AF＝BP，连接CF，PC，∵AC＝BC，∠CAF＝∠CBP，∴△CAF≌△CBP，CF＝CP，∵CD⊥P A，∴EF＝PE，∴AE＝AF+FE＝PB+PE，∵AC＝BC，∴＝，∵＝，∴＝，∴AB＝CD＝6，∵△ABP的周长是13，∴AP+PB＝7，∵AE＝PE+PB，∴2AE＝AP+PB，∴AE＝．【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB左侧作∠BDC＝∠BAC＝α，过点A作AE ⊥DC于点E．（1）当α＝90°时，①求证：AE＝DE；②若BD＝AE＝2，请求出△ABC的面积；（2）当α≠90°时，求证：BD+DE＝EC．【解答】（1）①证明：过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，∵AE⊥CD，∴∠DEF＝90°，又∵∠BDE＝90°，∴四边形BDEF为矩形，∴DE＝BF，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF+∠EAC＝90°，又∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠BF A＝90°，AB＝AC，∴△ABF≌△CAE（AAS），∴BF＝AE，∴DE＝AE；②解：∵四边形BDEF为矩形，BD＝AE＝2，∴BD＝EF＝2，DE＝BF＝AE＝，∴AF＝AE+EF＝+2，∴BA2＝BF2+AF2＝＝8+4，∴S△ABC＝＝；（2）证明：过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于F，连接AD，设CD与AB交于点O，∵∠BDC＝∠BAC，∠BOD＝∠AOC，∴∠ACO＝∠DOB，即∠ABF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠AFB＝90°，AC＝AB，∴△ACE≌△ABF（AAS），∴AE＝AF，BF＝CE，又∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴DE＝DF，∴CE＝BF＝BD+DF＝BD+DE．【变式5】【问题背景】如图①，在边长为1的正方形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点（与点B，C不重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，与正方形ABCD的外角∠DCG的平分线交于点F．李老师指出，当点E为线段BC的中点时，AE＝EF．【初步探索】（1）如图②，当点E在线段BC的延长线上时，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立；【问题解决】（2）当点E在线段BC上时，设BE＝x，△ECF的面积为y，求y与x之间的函数关系式；【拓展延伸】（3）如图③，将正方形ABCD放在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，点C在x轴正半轴上，当点E运动到某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，求此时点E 的坐标．【解答】解：【问题背景】如图1，取AB的中点H，连接EH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∵E是BC的中点，∴BH＝BE＝AH＝CE，∴∠BHE＝∠BEH＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【初步探索】（1）仍然成立，理由如下：如图2，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．∵AB＝BC，AN＝CE，∴BN＝BE，∴∠N＝∠FCE＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠NAE＝∠CEF，在△ANE和△ECF中，，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【问题解决】（2）如图3，在BA上截取BH＝BE，连接HE，同理得：△AHE≌△ECF，∴y＝S△AHE＝AH•BE＝x（1﹣x）＝﹣x2+x（0≤x≤1）；【拓展延伸】（3）如图4，在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，设点E（a，0），∴BE＝a＝BH，∴HE＝a，由（1）可得△AHE≌△ECF，∴CF＝HE＝a，∵CF平分∠DCM，∴∠DCF＝∠FCM＝45°，∵FM⊥CM，∴∠CFM＝∠FCM＝45°，∴CM＝FM＝a，∴BM＝1+a，∴点F（1+a，a），∵点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，∴a＝﹣2（1+a）+3，∴a＝，∴点E（，0）．【典例2】如图1，在Rt△ABC中，AB＝BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF＝∠B，∠A＝45°．（1）试猜想CF与BE之间的数量关系，并证明；（2）自主探究：如图2，若将已知条件中含45°的直角三角形换成含30°的直角三角形，其余条件不变，试探究BE和CF的关系．【解答】解：（1）CF与BE之间的数量关系为：CF＝BE．理由：过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠A＝45°，∴∠C＝45°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝45°，∴△FHC为等腰直角三角形，∴FC＝FH，∴FC＝BE；（2）CF与BE之间的数量关系为：CF＝BE．理由：过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵Rt△ABC中，∠A＝30°，∴∠C＝60°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝60°，∴sin60°＝，∴FC＝FH，∴FC＝BE．【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，点F是AC上一点，连接BF交AD于点E，且DE＝CD，连接DF，若AF＝4，DF＝2，则BF的长为．【解答】解：如图，在BF上截取HF＝AF，连接AH，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∠ADB＝∠ADC＝90°，在△BDE和△ADC中，，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴∠EBD＝∠CAD，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AFE＝∠BDE＝90°，∴∠AHF＝∠HAF＝45°，∴AH＝AF，∴∠BAH＝∠DAF，∠AHB＝135°，∠AEF＝∠BED，∠AFE＝∠BDE＝90°，∴△AFE∽△BDE，∴＝，∵∠AEB＝∠FED，∴△AEB∽△FED，∴∠EAB＝∠EFD＝45°，∴∠AFD＝∠AFH+∠EFD＝90°+45°＝135°，∴∠AHB＝∠AFD，∴△AHB∽△AFD，∴＝＝，∴BH＝DF，∴BF＝BH+HF＝DF+AF＝2+4．故答案为：2+4．【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＞AC，点E在BC上，点D在AB上，CE＝CA，连接DE，∠ACB+∠ADE＝180°，CH⊥AB，垂足为点H．求证：DE+AD＝2CH．【解答】证明：如图，作∠FCD＝∠ACB，交BA延长线于F，∵∠FCA+∠ACD＝∠ACD+∠DCB，∴∠FCA＝∠DCB，∵∠ACB＝120°，∠ACB+∠ADE＝180°，∴∠EDB＝120°，∠EDA＝60°，∵∠F AC＝120°+∠B，∠CED＝120°+∠B，∴∠F AC＝∠CED，在△AFC和△EDC中，，∴△AFC≌△EDC（ASA），∴AF＝DE，FC＝CD，∵CH⊥FD，∴FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°，∴DH＝CH，∵AD+DE＝AD+AF＝FD＝2DH＝2CH，∴AD+DE＝2CH．【变式3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，连接AC，BD，若AB＝AC，请探究AD，BD，DC之间的数量关系．【解答】解：作AE⊥AD交BD于E，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∵∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠ABD＝∠ACD，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∵△AED是等腰直角三角形，∴DE＝AD，∵BD＝DE+BE，∴BD＝AD+CD．【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝AD，点E为CD延长线上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，CF交AD于点H，过点D作DN⊥AE于点N，连接DF．（1）在不添加辅助线的情况下，找出一个与△CDH相似的三角形，并证明；（2）求证：FD＝2DN；（3）求证：CF＝AF+2FD．【解答】（1）解：选择△AFH，证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵CF⊥AE，∴∠AFC＝90°，∴∠AFH＝∠CDH，∵∠AHF＝∠CHD，∴△AFH∽△CDH；（2）证明：连接AC，∵△AFH∽△CDH，∴，∴，∵∠FHD＝∠AHC，∴△FHD∽△AHC，∴∠DFC＝∠DAC，∵AB＝CD＝AD，∴∠DAC＝60°，∴∠DFC＝∠DAC＝60°，∴∠DFN＝30°，∵DN⊥AE，∴∠DNF＝90°，∴FD＝2DN；（3）证明：在线段FC上截取FO，使FO＝AF，连接AO，∵∠AFO＝90°，∴F AO＝60°，∵∠DAC＝60°，∴∠F AD＝∠OAC，∵，∴△F AD∽△OAC，∴，∴OC＝2FD，∴CF＝FO+OC＝AF+2FD，∴CF＝AF+2FD．【变式5】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是平面内一点，且AD⊥CD．点O是BC的中点，连接OA，OD．（1）如图①，若点D是BC下方一点，过点O作OE⊥OD分别交AC，AD于点E，F．①求证：∠OAF＝∠OCD；②若CD＝1，DF＝2，求BC的长；（2）如图②，若点D是AC右侧一点，试判断AD，CD，OD之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，O为BC的中点，∴OA＝OB＝OC，OA⊥OC，∵OE⊥OD，∴∠AOC＝∠EOD＝90°，∴∠AOF＝∠COD，∵∠AOM＝∠MDC＝90°，∠AMO＝∠CMD，∴∠OAM＝∠MCD，∴△OAF≌△OCD（ASA），∴∠OAF＝∠OCD；②解：∵△OAF≌△OCD，∴AF＝CD＝1，∵DF＝2，∴AD＝AF+DF＝1+2＝3，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝，∵AC＝AB，∴BC＝AC＝＝2；（2）解：AD+CD＝OD．理由：过点O作OE⊥OD，交DA的延长线于点E，∵∠DOE＝∠AOC＝90°，∴∠AOE＝∠COD，∵∠ODC+∠+ODA＝90°，∠ODA+∠OEA＝90°，∴∠ODC＝∠OEA，又∵OA＝OC，∴△OCD≌△OAE（AAS），∴CD＝AE，OD＝OE，∴DE＝OD，∴AD+AE＝AD+CD＝OD．【变式6】【问题探究】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是平面内一点，连接AD，BD，CD，且∠CAB＝∠CDB．（1）如图①，当∠CAB＝60°时，试探究BD，CD，AD之间的数量关系；（2）如图②，当∠CAB＝120°时，探究是否为定值，并说明理由；【问题解决】（3）如图③，在四边形ADBC中，AB＝AC，∠CAB＝∠CDB＝120°，若AD＝2，BD ＝3，求CD的长．【解答】解：（1）BD，CD，AD之间的数量关系为：BD＝CD+AD，理由如下：在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，设AC交BD于H，如图①所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD，∴BD＝BE+DE＝CD+AD；（2）是定值，理由如下：在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，设AC交BD于H，过点A作AF⊥BD于F，如图②所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，∵AF⊥DE，∴DF＝EF，AF＝AD，在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，∴DE＝2DF＝AD，∵DE＝BD﹣BE＝BD﹣CD，∴BD﹣CD＝AD，∴＝，∴是定值；（3）在CD上取一点E，使CE＝BD，连接AE，设AB交CD于H，过点A作AF⊥CD 于F，如图③所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHC＝∠BHD，∴∠ACE＝∠ABD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE＝∠CAB＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，∵AF⊥DE，∴DF＝EF，AF＝AD，在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，∴DE＝2DF＝AD，∴CD＝CE+DE＝BD+AD＝3+×2＝3+2．。
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核心考点 考 (1)截长补短（例1-例2） (2)巧妙运用角平分线（例33 例4） (3)补短的普适性（例5-例6）
知识梳理
1 截长补短(适用及目的) 适用题型： 条件或问题中包含“a 条件或问题中包含 a=b+c” b+c 目的： 构造全等三角形
1
知识梳理
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知识梳理 3 补短的普适性 一般来说，包含“a=b+c”的题型，截长法与补短法都能解决 般来说，包含 a b+c 的题型，截长法与补短法都能解决 ★截长法更简单，能用截长法解决的问题，通常优先使用截长法 ★补 ★补短法适用范围更广，有时候题目不能用截长法解决，应考虑补短法 适用范围更广，有时候题目不能用截长 解决，应考虑补