(完整版)截长补短法专题
人教版八年级常见辅助线：截长补短专题
罕见的辅助线作法（截长补短）之勘阻及广创作
截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：
截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
例1、已知：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
（分别用截长补短两种方法证明）
例2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ABE=∠CBE，CE⊥BD的延长线于E。
求证：BD=2CE.
例3、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：
例4、如图①所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
(2)如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．。
几何辅助线之截长补短 总结+例题
截长补短专题知识导航“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“c b a =+”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段。
补短法：①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等于较长线段。
即延长a ，得到b ，证：c b a =+。
②延长较短线段中的一条，使延长后的线段等于较长线段，然后证明延长出来的部分等于另一条较短线段。
即延长a ，得到c ，证：a c b -=。
【核心考点1】角平分线相关截长补短1. 如图，BP 平分ABC ∠，D 为BP 上一点，E ，F 分别在BA ，BC 上，且满足DE DF =，若140BED ∠=︒，则BFD ∠的度数是( )A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【分析】作DG AB ⊥于G ，DH BC ⊥于H ，根据角平分线的性质得到DH DG =，证明Rt DEG Rt DFH ∆≅∆，得到DEG DFH ∠=∠，根据互为邻补角的性质得到答案．【解答】解：作DG AB ⊥于G ，DH BC ⊥于H ，D 是ABC ∠平分线上一点，DG AB ⊥，DH BC ⊥， DH DG ∴=，在Rt DEG ∆和Rt DFH ∆中， DG DHDE DF=⎧⎨=⎩， ()Rt DEG Rt DFH HL ∴∆≅∆，DEG DFH ∴∠=∠，又180DEG BED ∠+∠=︒， 180BFD BED ∴∠+∠=︒，BFD ∴∠的度数18014040=︒-︒=︒，故选：A ．2. 已知，如图，ABC ∆中，2C B ∠=∠，12∠=∠，求证：AB AC CD =+．【分析】在AB 上截取AE AC =，由“SAS ”可证ADE ADC ∆≅∆，可证DE DC =，C AED ∠=∠，可证B BDE ∠=∠，可得BE DE DC ==，即结论可得． 【解答】证明：如图，在AB 上截取AE AC =，AE AC =，12∠=∠，AD AD =()ADE ADC SAS ∴∆≅∆DE DC ∴=，C AED ∠=∠， 2C B ∠=∠，AED B BDE ∠=∠+∠，B BDE ∴∠=∠ BE DE DC ∴==，AB AE BE =+， AB AC DC ∴=+。
截长补短
截长补短一、知识点： 1.定义截长：1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短：1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
例：已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2。
求证：AB =AC +CD .分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .证明：方法一（补短法）延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ， ∴∠ACB ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ，在△ABD 与△AED 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21 ∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC .方法二（截长法）在AB 上截取AF =AC ，如图4-3 在△AFD 与△ACD 中,DCBA 12EDCBA12FDCBA 12ECDBADCB A⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21 ∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD . 二、基础训练1、如图，在△ABC 中，∠BAC=1200，AD ⊥BC 于D ， 且AB+BD=DC ，则∠C 的大小为2、如图，已知正方形ABCD ，∠BAC 的角平分线交BC 于E ，试说明AB+BE=AC3、如图，已知： △ABC 中，BC=2AB ，D 、E 分别是BC 、BD 的中点.求证：AC=2AE4、如图，将一个含30°角的直角三角形△ABD沿斜边AD翻折得到△ACD，以D为顶点再用含60°角的直角三角板作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．（1）求∠BDC的度数（2）求证：BM＋CN＝MN5、如图：在△ABC中，∠A=60°，∠B，∠C的平分线BE，相交于点O。
完整版)截长补短类辅助线作法
完整版)截长补短类辅助线作法截长补短类辅助线作法是解决三条线段之间数量关系问题的常用方法。
其中，“截长”是将最长的线段一分为二，使其中一条等于已知的较短线段之一，然后证明另一段与已知另一条线段的数量关系；“补短”是将一条较短的线段延长至与另一条较短的线段相等，然后证明延长后的线段与最长的线段的数量关系。
需要注意的是，截长补短类辅助线作法一般用于三条线段之间的数量关系问题，特别是当线段前的系数不是1时，可能会涉及到含特殊角的直角三角形。
在构造辅助线时，需要结合题目条件选择适当的方法，并不是所有题目都适用于截长和补短方法。
下面是一些例题的精讲：1.在图中，以D为顶点作一个边长为a的正三角形，连接AD、BD、CD，点E、F分别在AB、AC上，且AE=EF=FB，求△XXX的周长。
2.已知△ABC中，DP⊥BC，证明BD平分∠ABC，BC上有动点P；DP平分∠BDC时，求BD、CD、CP三者的数量关系。
3.已知△ABC中，D、E、F分别平分∠A、∠B、∠C，交于点P，试判断AD：DB、BE：EC、CF：FA的数量关系，并加以证明。
4.在△ABC中，AD是角平分线，点F、E分别在AC、AB上，且AF=DE，证明BF=CE。
5.在图中，以D为顶点作一个边长为a的正三角形，连接AD、BD、CD，点E、F分别在AB、AC上，且AE=EF=FB，求△XXX的周长。
6.已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠AED=45°，证明AE=BD。
7.五边形ABCDE中，AD平分∠CDE，证明XXX。
8.在△ABC中，D是三角形外一点，且∠ACD=∠BCD，AB与CD交于点E，证明XXX。
9.如图1所示，AB、CD平行，AE、DE分别平分∠A、∠D，并交于点E。
过点E的直线分别交AM、DN于B、C。
1）当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系。
2）试证明你的猜想。
培训学习资料-截长补短法_2023年学习资料
N-如图3，点M、N分别在边-AB、CA的延长线上时，-猜想的结论还成立吗？-若不成立，又有怎样的-数量关 ？写出你的猜-想并加以证明.
截长法与补短法，具体做法是在某条-线段上载取一条线段与特定线段相等，或-是将某条线段延长使之与特定线段相等 -再利用三角形全等的有关性质加以说明-这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、-分等类的题目.
等-如图，AD∥BC,AE,BE分别平分-∠DAB,∠CBA,-CD经过点E,-求证：AB=AD+BC
在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上-思考题-分别有两点M、N,D为△ABC外一点，且-∠MDN=60 ，∠BDC=120°，BD=DC.-探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，-BM、NC、MN之间的数 关系.-如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，-BM、NC、MN之间的数量关系是
在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上-分别有两点M、N,D为△ABC外一点，且-∠MDN=60°，∠B C=120°，BD=DC.-探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，-BM、NC、MN之间的数量关系. 如图2，点M、N边AB、AC上，且-当DMDN时，猜想I的结论还成立吗？-写出你的猜想并加以证明；
例2、五边形ABCDE中，AB=AE,-BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°，求证-AD平分∠C E-学法辅导-1、可考虑补短法，延长DE-至F,使EF=BC,连AC,AF,B-证两次全等即可求解。-2、 意，用截长法得不到-两次全等，故本题不宜用-截长法来做
思考-㳇列1和例2，一牧出现十么杀件-时可以同时使用截长补短两种办法？-A-D-F-E-B-C-M
1.在△ABC中，∠B=2∠C,AD平分BAC.-求证：AB+BD=AC-证明：在AB的延长线截取BE=B ,-连结DE.-补短法-在射线AB截取BE=BD,
专题10：截长补短
专题10：截长补短专题10.1 截长补短--角平分线一．【知识要点】1.截长补短（截长法，补短法）是证明线段和差问题的基本方法:有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。
这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。
所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。
所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。
然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。
有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。
二．【经典例题】1、如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．2、如图,△ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分线，点P是线段AD上异于A，D的任意一点,则AB+PC与AC+PB的大小关系是( )A. AB+PC>AC+PBB. AB+PC<AC+PBC.AB+PC=AC+PBD.不确定三．【练习】1．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN,按下列要求画图并回答：画∠MAB、∠NBA的平分线交于E。
（12分）（1）∠AEB是什么角？（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD 谁成立？并说明理由。
2.如图,P为△ABC内的点,连CP、BP、AP,∠PBA=30°,PC平分∠BCA，∠BPC =150°,求证:BC=AC+PA.一．【知识要点】1.截长补短（截长法，补短法）是证明线段和差问题的基本方法。
二．【经典例题】 1．已知：如图，△ABC 中，∠C=2∠B ，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD ．三、【练习】1．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB=AC+CD ，求证：∠C=2∠B2.已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ．求证：AE =BC +CE ．M ED CBA一．【知识要点】半角模型：若一个角等于整个角的一半,往往通过旋转将两个角搬到一起从而产生全等转化问题.有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质。
截长补短经典例题20道
截长补短经典例题20道一、三角形中的截长补短例1：在△ABC中，∠ABC = 60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点O。
求证：AC = AE+CD。
解析：在AC上截取AF = AE，连接OF。
因为AD平分∠BAC，所以∠EAO = ∠FAO。
在△AEO和△AFO中，AE = AF，∠EAO = ∠FAO，AO = AO，所以△AEO≌△AFO(SAS)。
所以∠AOE = ∠AOF。
因为∠ABC = 60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，所以∠BAC+∠ACB = 120°，则∠AOE =∠COD =∠AOF = 60°。
所以∠COF = 180° - ∠AOF - ∠COD=60°，即∠COF = ∠COD。
又因为CE平分∠ACB，所以∠FCO = ∠DCO。
在△FOC和△DOC中，∠FOC = ∠DOC，∠FCO = ∠DCO，CO = CO，所以△FOC≌△DOC(ASA)。
所以CD = CF。
因为AC = AF+CF，AF = AE，CF = CD，所以AC = AE + CD。
例2：已知：如图，在△ABC中，∠A = 90°，AB = AC，BD是∠ABC的平分线。
求证：BC = AB+AD。
解析：过点D作DE⊥BC于E。
因为BD是∠ABC的平分线，∠A = 90°，DE⊥BC，所以AD = DE。
因为AB = AC，∠A = 90°，所以∠C = 45°。
在Rt△DEC中，因为∠C = 45°，所以DE = EC。
又因为BD = BD，AD = DE，∠A = ∠BED = 90°，所以△ABD≌△EBD(HL)。
所以AB = BE。
因为BC = BE+EC，AB = BE，AD = EC，所以BC = AB+AD。
二、四边形中的截长补短例3：如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点，且∠EAF = 45°。
初二数学截长补短法专题
初二数学截长补短法专题嘿，小伙伴们，今天我们聊聊“截长补短法”！这可是一种妙招，能让咱们的数学成绩蹭蹭往上涨。
别担心，听我慢慢说，保证你听得津津有味。
想象一下，咱们在考试的时候，总会遇到一些难题，有的就像个硬骨头，让人捉襟见肘，真想在考场上大喊一声：“谁来帮帮我呀！”但别急，咱们可以用“截长补短法”来扭转局面，真的是一剂良药。
“截长补短法”听起来高大上，其实就是把长的地方给截短，把短的地方补上，简单吧？比如说，你的数学基础有点薄弱，那就把那些基本概念搞清楚，争取不掉链子。
想想看，连打个篮球都有“罚球”和“投篮”的区别，数学也是一样，得把基本功练扎实，才能在关键时刻不掉链子。
不然就像一个球员，老是投不中，心里那个郁闷啊，简直想找个地缝钻进去。
截长补短法不光是补基础，也能在解决问题的时候发挥大作用。
比如遇到一个复杂的应用题，你一看就头疼，没关系，咱们可以把这个题目拆开，像剥洋葱一样，一层一层的来。
先看看它问的是什么，再把已知条件一一列出来，最后一步一步地推理，就像玩拼图，拼好每一块，最终整个图案就清晰可见。
感觉很简单吧？不过要是你老是急着找答案，那可就大错特错了。
在学习的过程中，我们总会遇到这样那样的问题。
有些同学可能觉得：“哎呀，我数学真是个短板！”可是，真相是，没谁是全能的，谁都有自己的短处。
就像有些人唱歌特别好，但一提到篮球，可能就有点不行。
咱们的目标不是要做个全能选手，而是要学会利用自己的优势，来弥补那些短板。
比如数学特别好的人，可以帮助身边的小伙伴，大家一起进步，一起学习，谁说不能合作共赢呢？在这个过程中，别忘了多和老师、同学交流，抛出你的疑问，或者求助于别人，像一根筷子，单独的力量有限，双手合力，才能夹起更大的饭。
交流的过程也是成长的过程，搞清楚一个问题，跟别人讨论，收获的可不止是答案，还是更深的理解。
学数学，有时候不仅仅是要掌握公式，更要懂得它背后的逻辑，才能在考场上游刃有余，岂不是美滋滋？说到这里，大家肯定会问，截长补短法到底怎么在考试中用？嘿嘿，其实这就像备战一样，平时的练习是关键。
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选择第4题图
P
D
C
B
A
一、角平分线的性质
一．选择题填空（共10小题）
1．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ∠OA 于点D ，PD=6，则点P 到边OB 的距离为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
2．到三角形的三边距离相等的点是（ ）
A ．三角形三条高的交点
B ．三角形三条内角平分线的交点
C ．三角形三条中线的交点
D ．三角形三条边的垂直平分线的交点 3．如图，AD 是∠ABC 的角平分线，则AB ：AC 等于（ ）
A ．BD ：CD
B ．AD ：CD
C ．BC ：A
D D ．BC ：AC 4．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB ＝，PC ＝，AB ＝，AC ＝，则与的大小关系是（ ）
A 、＞
B 、＜
C 、＝
D 、无法确定
5．如图，在∠ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE ∠AC 交于点E ，DF ∠BC 于点F ，且BC=4，DE=2，则∠BCD 的面积是 ．
7．如图所示，在∠ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC ，AD=2cm ，AB+BC=8，S ∠ABC = ．
7．如图4，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于 。
8．如图所示，已知∠ABC 和∠DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，连接OC 、FG ，则下列结论中：①AE=BD ；②AG=BF ；③FG ∠BE ；④∠BOA=60度，（5）、△AGC ≌△BFC ，（6）△DFC ≌△EGC ，（7）CO 平分∠BOE 正确的是 ．
二、截长、补短法的专题
例1、 如图所示，已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90°，
求证：AB ＝AC ＋CD ．
m n c b )(n m +)(c b +n m +c b +n m +c b +n m +c b +
例2：已知AD ⊥AB,BC ⊥AB,E 是AB 的中点，DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD. 求证：AD+BC=CD
例3：已知AB ∥CD, ∠1=∠2, ∠3=∠4 求证：BC=AB+CD
例4：已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD,CE ⊥AB 于点E 且∠B+∠D=180. 求证：AE=AD+BE.
例5：正方形ABCD,的边CD 的中点，点F 在BC 上且∠DAE=∠FAE, 求证：AF=AD+CF.。