八年级数学 全等三角形截长补短法专题
专题14 倍长中线法与截长补短法构造全等三角形(原卷版)
专题14倍长中线法与截长补短法构造全等三形模型一：倍长中线法构造全等三角形模型二：截长补短法构造全等三角形【典例分析】【模型一：倍长中线法构造全等三角形】△ABC 中,AD 是BC 边中线方式1到E ，使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长（1）作CF ⊥AD 于F，作BE⊥AD 的延长线于E（2）延长MD 到N，使DN=MD，连接CN【典例1】（2021春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小N延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“SAS ”证明对应边之间的关系。
（在一定范围中）明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【变式1-1】（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜7【变式1-2】如图，AE是△ABD的中线AB＝CD＝BD．求证：AB+AD＞2AE；【变式1-3】（2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E 是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【模型二：截长补短法构造全等三角形】∙截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
人教版数学八年级上册第12章全等三角形专题课截长补短法教学设计
-通过小组间的交流，分享解题思路和经验，提高学生之间的相互学习和借鉴。
4.实践操作，加深理解：
-安排尺规作图实践，让学生动手操作，加深对截长补短法的理解和记忆。
-教师巡回指导，及时纠正学生在作图和证明过程中的错误，确保学习效果。
5.反思评价，促进成长：
-在复杂问题中识别应用截长补短法的时机，并能够结合全等三角形的判定定理进行有效证明。
-对于一些非标准图形，能够创造性地运用截长补短法，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
（二）教学设想
1.创设情境，引入新课：
-通过展示一些生活中的实际例子，如建筑设计中的几何图形，引出全等三角形的应用。
-设计问题，让学生在实际情境中发现全等三角形，并感受到截长补短法在解决问题时的便捷性。
2.教学实施：
-分组讨论：将学生分成小组，每组分配一个或多个问题，要求运用截长补短法解决。
-教师巡回指导：观察学生的讨论过程，适时给予提示和指导，引导学生深入思考。
-小组分享：鼓励各小组展示解题过程和结果，其他小组给予评价和反馈。
（四）课堂练习
1.教学设计：设计具有梯度性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
-鼓励学生在课后进行反思，总结截长补短法在解决问题时的优势和局限。
-通过自我评价和同伴评价，帮助学生认识自身的进步和需要提升的地方，促进他们的个性化发展。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学设计：通过生活实例和问题情境，自然导入新课——截长补短法在全等三角形中的应用。
-展示图片：呈现一些包含全等三角形的生活场景，如建筑物的立面图、拼图游戏等。
人教版数学八年级上册第12章全等三角形专题课截长补短法教学设计
八年级数学 全等三角形问题中常见的辅助线——截长补短法
CCBA全等三角形问题中常见的辅助线——截长补短法例1、如图，中，AB =2AC ，AD 平分，且AD =BD ，ABC ∆BAC ∠求证：CD ⊥AC例2、如图，AD ∥BC ， AE , BE 分别平分∠DAB ,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD +BC例3、如图，已知在内，，，P ，Q 分别在BC ，CA 上，ABC 060BAC ∠=040C ∠=并且AP ，BQ 分别是，的角平分线。
求证：BQ +AQ =AB +BPBAC ∠ABC ∠B A DO E CB A 例4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ,AD ＝CD ，BD 平分，ABC ∠求证： 0180=∠+∠C A 例5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB －AC ＞PB －PC例6、已知中，，、分别平分和，、ABC ∆60A ∠= BD CE ABC ∠.ACB ∠BD CE交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．O BE CD BC例7、如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作M ABD AB B ，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数60DMN ∠=︒MN DBA ∠N DM MN 量关系?变式练习：如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分M ABCD AB MN DM ⊥ABC ∠线交于点，与有怎样的数量关系？N MD MN 例8、如图所示．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ．求证：AE =BC +CE ．NEB M A DMEDCB A NCD EB M ANMD CB A FEDC B A DN M CB A例9、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE .求证：BE +DF =AE .例10、如图所示，是边长为2的正三角形，是顶角为的等腰三ABC ∆BDC ∆120 角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求D 60 MDN ∠M N AB AC的周长．AMN ∆变式练习如图所示，是边长为4的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以ABC ∆BDC ∆120为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．D 60MDN ∠M N AB AC AMN ∆CE DB A例11、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分∠CDE例12、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E是AB上一个动点，若∠B=600，AB=BC，且∠DEC=60O,判断AD+AE与BC的关系并证明你的结论。
人教版数学八年级上册第12章全等三角形专题课截长补短法优秀教学案例
3.引导学生运用数学符号和语言，表达和阐述解题过程和思路。例如，要求学生用数学语言描述全等三角形的判定方法，并解释其原理。
4.鼓励学生积极思考和解决问题，培养他们的自主学习能力和问题解决能力。例如，在解决问题的过程中，引导学生独立思考，寻找解决方案，并进行验证。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论和实践活动，培养他们的团队协作能力和交流能力。例如，将学生分成小组，让他们共同解决一个实际问题，要求学生在讨论中交流思路、分享解题方法。
在全等三角形专题课中，学生已经学习了全等三角形的定义、性质和判定方法。通过对全等三角形的性质和判定方法的学习，学生已经能够熟练地运用SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法判断两个三角形是否全等。然而，在解决实际问题时，学生往往需要灵活运用多种方法，而截长补短法作为一种特殊的方法，可以帮助学生更加简洁地解决问题。
3.小组合作培养团队协作能力：组织学生进行小组讨论和实践活动，培养他们的团队协作能力和交流能力。通过小组合作，学生能够在合作中发现问题、解决问题，并培养批判性思维和自我反思能力。
4.反思与评价提高自我认知：教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结经验和教训。通过互评和自我评价，学生能够培养批判性思维和自我反思能力，提高自我认知。
2.引导学生通过观察、分析和归纳，发现全等三角形的性质和判定方法。例如，通过展示两个全等三角形的图形，让学生观察并分析它们的性质，引导学生归纳出全等三角形的判定方法。
人教版八年级数学上册全等三角形问题中常见的辅助线——截长补短法.doc
全等三角形问题中常见的辅助线——截长补短法例 1、如图，ABC 中，AB=2 AC，AD平分BAC ，且AD =BD ，求证： CD ⊥ ACAB CD例 2、如图，AD ∥ BC ，AE, BE分别平分∠DAB, ∠ CBA ， CD 过点 E ，求证;AB ＝ AD+BCADEBCABC 内，0例 3、如图，已知在BAC 60 ，BC，CA 上，C 40 ，P，Q分别在并且AP ， BQ 分别是BAC ，ABC 的角平分线。
求证：BQ+AQ=AB+BPABQPC例 4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC ，求证：A C180ADCB例 5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠ 1＝∠ 2，P为AD上任意一点，A 求证 ;AB －AC ＞ PB －PC1 2PCBD例、已知ABC 中，A 60 ，BD、CE分别平分ABC和 . ACB ，BD、CE交6于点 O ，试判断BE、CD、BC 的数量关系，并加以证明． AEODB C例7 、如图，点M 为正三角形ABD 的边 AB 所在直线上的任意一点(点B除外 )，作DMN 60 ，射线 MN 与∠DBA外角的平分线交于点N ，DM与MN有怎样的数量关系 ?DNA MB E变式练习：如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM 且与∠ ABC 外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？D CNA MB E例8 、如图所示．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E为MC 上一点，且∠ BAE =2 ∠ DAM．求证：AE =BC+CE ．A DMECB。
专题 全等三角形模型——截长补短与倍长中线(解析版)
全等三角形模型——截长补短与倍长中线截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段AB 上截取AD AC=补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长AC ，使得AD AB =1.ABC D 中，AD 是BAC Ð的平分线，且AB AC CD =+．若60BCA Ð=°，则ABC Ð的大小为( )A ．30°B ．60°C ．80°D ．100°【分析】可在AB 上取AC AC ¢=，则由题中条件可得BC C D ¢=¢，即2C AC D B Ð=Т=Ð，再由三角形的外角性质即可求得B Ð的大小．【解答】解：如图，在AB 上取AC AC ¢=，AD Q 是角平分线，DAC DAC ¢\Ð=Ð，ACD \D @△()AC D SAS ¢，CD C D ¢\=，又AB AC CD =+Q ，AB AC C B ¢¢=+，BC C D \¢=¢，DCBAAB CD260C AC D B ¢\Ð=Ð=Ð=°，30B \Ð=°．故选：A ．2.阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在ABC D 中，2B C Ð=Ð，AD 平分BAC Ð．求证：AB BD AC +=．证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE（2）如图2，//AD BC ，EA ，EB 分别平分DAB Ð，CBA Ð，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．【分析】（1）在AC 上截取AE AB =，连接DE ，证明ABD AED D @D ，得到B AED Ð=Ð，再证明ED EC =即可；（2）由等腰三角形的性质知AE FE =，再证明ADE FCE D @D 即可解决本题．【解答】证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图1:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2BC Ð=Ð，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=；（2）延长AE 、BC 交于F ，AB BF =Q ，BE 平分ABF Ð，AE EF \=，在ADE D 和FCE D 中，DAE F AE EFAED CEF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADE FCE ASA \D @D ，AD CF \=，AB BF BC CF BC AD \==+=+．3.如图，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð交BC 于D ，在AB 上截取AE AC =．（1）求证：ADE ADC D @D ；（2）若6AB =，5BC =，4AC =，求BDE D的周长．【分析】（1）根据SAS 证明ADE ADC D @D 即可；（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可．【解答】证明：（1）AD Q 平分BAC Ð，EAD CDA \Ð=Ð，在ADE D 与ADC D 中，AE AC EAD CDA AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE ADC SAS \D @D ，（2）ADE ADC D @D Q ，ED DC \=，BDE \D 的周长6457BE BD DE AB AE BC DC DC AB AC BC DC DC AB AC BC =++=-+-+=-+-+=-+=-+=4.（2020秋•武昌区期中）如图，ABC D 中，60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð、ACB Ð，AD 、CE 相交于点P（1）求CPD Ð的度数；（2）若3AE =，7CD =，求线段AC 的长．【分析】（1）利用60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，即可得出答案；（2）由题中条件可得APE APF D @D ，进而得出APE APF Ð=Ð，通过角之间的转化可得出CPF CPD D @D ，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）60ABC Ð=°Q ，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，120BAC BCA \Ð+Ð=°，1()602PAC PCA BAC BCA Ð+Ð=Ð+Ð=°，120APC \Ð=°，60CPD \Ð=°．（2）如图，在AC 上截取AF AE =，连接PF ．AD Q 平分BAC Ð，BAD CAD \Ð=Ð，在APE D 和APF D 中AE AF EAP FAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()APE APF SAS \D @D ，APE APF \Ð=Ð，120APC Ð=°Q ，60APE \Ð=°，60APF CPD CPF \Ð=Ð=°=Ð，在CPF D 和CPD D 中，FPC DPC CP CPFCP DCP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()CPF CPD ASA \D @D CF CD \=，3710AC AF CF AE CD \=+=+=+=．5.如图，在ABC D 中，60BAC Ð=°，AD 是BAC Ð的平分线，且AC AB BD =+，求ABC Ð的度数．【分析】在AC上截取AE AB=，根据角平分线的定义可得BAD CADÐ=Ð，然后利用“边角边”证明ABDD和AEDD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD DE=，全等三角形对应角相等可得B AEDÐ=Ð，再求出CE BD=，从而得到CE DE=，根据等边对等角可得C CDEÐ=Ð，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得2AED CÐ=Ð，然后根据三角形的内角和定理列方程求出CÐ，即可得解．【解答】解：如图，在AC上截取AE AB=，ADQ平分BACÐ，BAD CAD\Ð=Ð，在ABDD和AEDD中，AE ABBAD CAD AD AD=ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS\D@D，BD DE\=，B AEDÐ=Ð，AC AE CE=+Q，AC AB BD=+，CE BD\=，CE DE\=，C CDE\Ð=Ð，即2B CÐ=Ð，在ABCD中，180BAC B CÐ+Ð+Ð=°，602180C C\°+Ð+Ð=°，解得40CÐ=°，24080ABC\Ð=´°=°．6.如图，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，120BAE BCD Ð=Ð=°，180ABC AED Ð+Ð=°，连接AD ．求证：AD 平分CDE Ð．【分析】连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，由AB AE =，120BAE Ð=°，得到AB 与AE 重合，并且AC AF =，又由180ABC AED Ð+Ð=°，得到180AEF AED Ð+Ð=°，即D ，E ，F 在一条直线上，而BC DE CD +=，得CD DF =，则易证ACD AFD D @D ，于是ADC ADF Ð=Ð．【解答】证明：如图，连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，AB AE =Q ，120BAE Ð=°，AB \与AE 重合，并且AC AF =，又180ABC AED Ð+Ð=°Q ，而ABC AEF Ð=Ð，180AEF AED Ð+Ð=°Q ，D \，E ，F 在一条直线上，而BC EF =，BC DE CD +=，CD DF \=，又AC AF =Q ，ACD AFD \D @D ，ADC ADF \Ð=Ð，即AD 平分CDE Ð．7.已知：如图，在ABC D 中，D 是BA 延长线上一点，AE 是DAC Ð的平分线，P 是AE 上的一点（点P 不与点A 重合），连接PB ，PC ．通过观察，测量，猜想PB PC +与AB AC +之间的大小关系，并加以证明．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得FP CP =，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．【解答】解：PB PC AB AC +>+，理由如下：在BA 的延长线上截取AF AC =，连接PF ，在FAP D 和CAP D 中，AF AC FAP CAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()FAP CAP SAS \D @D ，FP CP \=．在FPB D 中，FP BP FA AB +>+，即PB PC AB AC +>+．8.已知ABC D 中，AB AC =，BE 平分ABC Ð交边AC 于E ．（1）如图（1），当108BAC Ð=°时，证明：BC AB CE =+；（2）如图（2），当100BAC Ð=°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．【分析】（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．只要证明BEA BED D @D ，CE CD =即可解决问题；（2）结论：BC BE AE =+．如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，再证明EA EH EF CF ===即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．BA BD =Q ，EBA EBD Ð=Ð，BE BE =，BEA BED \D @D ，BA BD \=，108A BDE Ð=Ð=°，AB AC =Q ，36C ABC \Ð=Ð=°，72EDC Ð=°，72CED \Ð=°，CE CD \=，BC BD CD AB CE \=+=+．（2）结论：BC BE AE =+．理由：如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，EF EH \=，100BAC Ð=°Q ，AB AC =，40ABC C \Ð=Ð=°，20EBA EBC \Ð=Ð=°，80BFE H EAH \Ð=Ð=Ð=°，AE EH \=，BFE C FEC Ð=Ð+ÐQ ，40CEF C \Ð=Ð=°，EF CF \=，BC BF CF BE AE \=+=+．9.（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð，2B C Ð=Ð．求证：AB BD AC +=．”李老师给出了如下简要分析：要证AB BD AC +=，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD = EC 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ @△ ，得出B AED Ð=Ð及BD = ，再证出Ð = ，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD 平分BAC Ð，将ABD D 沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可，此时先证Ð C =Ð，再证出△ @△ ，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【分析】方法一、如图2，在AC 上截取AE AB =，由“SAS ”可证ABD AED D @D ，可得B AED Ð=Ð，BD DE =，由角的数量关系可求DE CE =，即可求解；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，由“AAS ”可证AFD ACD D @D ，可得AC AF =，可得结论．【解答】解：方法一、在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2B C Ð=ÐQ ，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=，故答案为：EC ，转化，ABD ，AED ，DE ，EDC ，C Ð；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，F BDF \Ð=Ð，2ABD F BDF F \Ð=Ð+Ð=Ð，2ABD C Ð=ÐQ ，F C \Ð=Ð，在AFD D 和ACD D 中，FAD CAD F CAD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AFD ACD AAS \D @D ，AC AF \=，AC AB BF AB BD \=+=+，故答案为F ，AFD ，ACD ．倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．10.三角形ABC 中，AD 是中线，且4AB =，6AC =，求AD 的取值范围是 ．【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，证ADC EDB D @D ，推出8AC BE ==，在ABE D 中，根据三角形三边关系定理得出AB BE AE AB BE -<<+，代入求出即可．【解答】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，AD Q 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，Q AD DE ADC EDB DC BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，4AC BE \==，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，64264AD \-<<+，15AD \<<，故答案为：15AD <<．11.（2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABCD 中，若4AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下ED ABC的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，则得到ADC EDB D @D ，小明证明BED CAD D @D 用到的判定定理是： （用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以ABC D 的边AB ，AC 为边向外作ABE D 和ACD D ，AB AE =，AC AD =，90BAE CAD Ð=Ð=°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．当3AM =时，求DE 的长．【分析】问题背景：先判断出BD CD =，由对顶角相等BDE CDA Ð=Ð，进而得出()ADC EDB SAS D @D ；问题解决：先证明()ADC EDB SAS D @D ，得出3BE AC ==，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，同（1）的方法得出()BMN CMA SAS D @D ，则BN AC =，进而判断出ABN EAD Ð=Ð，进而判断出ABN EAD D @D ，得出AN ED =，即可求解．【解答】解：问题背景：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，故答案为：SAS；问题解决：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC EDB D @D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，4AB =Q ，3AC =，4343AE \-<<+，即17AE <<，DE AD =Q ，12AD AE \=，\1722AD <<；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，由问题背景知，()BMN CMA SAS D @D ，BN AC \=，CAM BNM Ð=Ð，AC AD =Q ，//AC BN ，BN AD \=，//AC BN Q ，180BAC ABN \Ð+Ð=°，90BAE CAD Ð=Ð=°Q ，180BAC EAD \Ð+Ð=°，ABN EAD \Ð=Ð，在ABN D 和EAD D 中，AB EA ABN EAD BN AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN EAD SAS \D @D ，AN DE \=，MN AM =Q ，2DE AN AM \==，3AM =Q ，6DE \=．12.如图，ABC D 中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB D @D ，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D Q 为BC 的中点，DB CD \=，在ADC D 和EDB D 中AD DE ADC BDE DB CD =ìïÐ=Ðíï=î，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE +>Q ，2AB AC AD \+>；（2）5AB =Q ，3AC =，53253AD \-<<+，14AD \<<．13.如图，平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 、C 分别为x 轴负半轴，x 轴正半轴上的点，AB AD =，AC AE =，90BAD CAE Ð=Ð=°，连DE ．如图，F 为BC 的中点，求证：2DE AF =．【分析】延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，证明BFN CFA D @D ，根据全等三角形的性质得到BN AC =，FBN FCA Ð=Ð，证明ABN DAE D @D ，根据全等三角形的性质证明；【解答】证明：延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，在BFN D 和CFA D 中，FB FC BFN CFA FN AF =ìïÐ=Ðíï=î，BN AC \=，FBN FCA Ð=Ð，BN AE \=，ABN DAE Ð=Ð，在ABN D 和DAE D 中，AB AD ABN DAE BN AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN DAE SAS \D @D ，AN DE \=，2DE AF \=．14.如图，AD 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AE 是ABD D 的边BD 上的中线．求证：2AC AE =．【分析】延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，由SAS 证得ABE FDE D @D ，得出DF AB CD ==，EDF B Ð=Ð，易证AB BD =，得出ADB BAD Ð=Ð，证明ADC ADF Ð=Ð，由SAS 证得ADF ADC D @D ，即可得出结论．【解答】证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，如图所示：AE Q 是ABD D 的边BD 上的中线，BE DE \=，在ABE D 与FDE D 中，AE EF AEB FED BE DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE FDE SAS \D @D ，DF AB CD \==，EDF B Ð=Ð，AD Q 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AB BD \=，ADB BAD \Ð=Ð，ADC B BAD BDA EDF ADF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，在ADF D 与ADC D 中，AD AD ADF ADC DF DC =ìïÐ=Ðíï=î，()ADF ADC SAS \D @D ，2AC AF AE \==．15.如图，在ABC D 中，D ，E 是AB 边上的两点，AD EB =，CF 是AB 边上的中线，则求证AC BC CD CE +>+．【分析】如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G ，通过证明AFH BFC D @D ，BCE AHD D @D ，可得BC AH =，CE DH =，利用三角形的三边关系可求解．【解答】证明：如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G，Q是AB边上的中线，CF\=，且CFB AFHAF BF=，Ð=Ð，CF FH()\D@DAFH BFC SAS=，Ð=Ð，且AD BE\=，CBE HADBC AH\D@D()BCE AHD SAS\=，CE DH在AGC+>+，D中，AC AG DC DG在GDH+>，D中，DG GH DHAC AG DG GH DC DG DH\+++>++，\+>+，AC AH DC DH\+>+．AC BC CD CE16.如图1，ABCÐ=Ð．D中，CD为ABCD的中线，点E在CD上，且AED BCD（1）求证：AE BC=．（2）如图2，连接BE，若2CBEÐ的度数为 （直接写出结果），Ð=°，则ACDAB AC DE==，14【分析】（1）如图1，延长CD到F，使DF CDD@D，可得=，连接AF，由“SAS”可证ADF BDCAF BC=，F BCDÐ=Ð，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得DEB DBEÐ=Ð，可得14DCB DEBÐ=Ð-°，14ACB ABC DEBÐ=Ð=Ð+°，即可求解．【解答】证明：（1）如图1，延长CD到F，使DF CD=，连接AF，CDQ为ABCD的中线，AD BD\=，且ADF BDCÐ=Ð，且CD DF=，()ADF BDC SAS\D@D，AF BC\=，F BCDÐ=Ð，AED BCDÐ=ÐQ，AED F\Ð=Ð，AE AF\=，AE BC\=；（2）12DE AB=Q，CD为ABCD的中线，DE AD DB\==，DEB DBE\Ð=Ð，14 ABC DBE CBE DEB\Ð=Ð+Ð=Ð+°，DEB DCB CBEÐ=Ð+ÐQ，14DCB DEB\Ð=Ð-°，AC AB=Q，14ACB ABC DEB\Ð=Ð=Ð+°28ACD ACB DCB\=Ð-Ð=°，故答案为：28°．17.如图，ABC D 中，点D 是BC 中点，连接AD 并延长到点E ，连接BE ．（1）若要使ACD EBD D @D ，应添上条件： ；（2）证明上题：（3）在ABC D 中，若5AB =．3AC =，可以求得BC 边上的中线AD 的取值范围4AD <．请看解题过程：由ACD EBD D @D 得：AD ED =，3BE AC ==，因此AE AB BE <+，即8AE <，而12AD AE =，则4AD <请参考上述解题方法，可求得AD m >，则m 的值为 ．（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）【分析】（1）根据“边角边”求证三角形全等的方法可以添加条件AD DE =；（2）易证BD CD =，根据“边角边”求证三角形全等的方法即可解题；（3）根据三角形三边关系即可解题；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =；证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，易证ACD EBD D @D ，可得C DBE Ð=Ð，AC BE =，即可证明BAC ABE D @D ，可得BC AE =，即可解题．【解答】解：（1）应添上条件：AD DE =，故答案为AD DE =；（2）Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；（3）Q 三角形两边之差小于第三边，AE AB BE \>-，即2AE >，12AD AE =Q ，1AD \>，故答案为 1；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =，证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；C DBE \Ð=Ð，AC BE =，90ABC C Ð+Ð=°Q ，90ABC DBE \Ð+Ð=°，即90ABE Ð=°，Q 在BAC D 和ABE D 中，90AB BA ABE BAC AC BE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()BAC ABE SAS \D @D ；BC AE \=，12AD BC \=．。
八年级-全等三角形拓展专题(1)截长补短
全等三角形专题（1）——截长补短【例题分析】1.如图，已知E 为AD 的中点，AB//CD，BE 平分∠ABC，CE 平分∠BCD，求证：BC=AB+CD.2.如图，AD 为△ABC 平分线，AB>AC，点P 为AD 上一点，求证：AB—AC>BP—CP3.如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）求证：AD平分∠CDE；（3）若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？【巩固练习】1.在△ABC 中,∠ACB＝90o,AC＝BC,直线MN 经过点C,且AD⊥MN 于D,BE⊥MN 于E.⑴当直线MN 绕点C 旋转到图⑴的位置时,求证:DE＝AD＋BE；⑵当直线MN 绕点C 旋转到图⑵的位置时,求证:DE＝AD－BE；⑶当直线MN 绕点C 旋转到图⑶的位置时,试问DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？并证明。
2.如图在△ABC 中，∠ABC=600，AD、CE 分别平分∠BAC 和∠ACB，求证：AC=AE+CD.654321O ED CBA3.五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE4.（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD.求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由.。
人教版八年级数学上截长补短法证明三角形全等
初中数学试卷灿若寒星整理制作一、截长补短法证明三角形全等例1已知：AC 平分/BAD, CE，AB,NB+ND=180°,求证：AE=AD+BE练习1如图，四边形ABCD中，AB〃DC, BE、CE分别平分/ABC、/BCD,且点E在AD上。
求证: BC=AB+DC。
2.已知NABC=3NC,N1=N2, BELAE,求证:AC-AB=2BE3如图，已知AD〃BC,NPAB的平分线与NCBA的平分线相交于E, CE的连线交AP于D.求证: AD+BC=AB.4 在4ABC中，/ACB = 90。
，AC = BC，直线MN经过点C，且AD± MN于D，BE± MN 于E .(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①AADC 0 A CEB:② DE = AD + BE；6.如图，已知AC〃BD, EA、EB分别平分NCAB和/DBA, CD过点E,则AB与AC+BD相等吗？请说明理由例2已知，如图1-1,在四边形ABCD中，BOAB, AD=DC, BD平分/ABC.求证：NBAD+NBCD=180°.图1-例1. 练习已知，如图3-1,/1=/2, P为BN上一点，且PDLBC于点D, AB+BC=2BD.求证：/BAP+/BCP=180°.2、倍长中线法证三角形全等例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
练习1：^ABC中，AB=5, AC=3,求中线AD的取值范围例2.已知在^ABC中，AB=AC, D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF,求证: BD=CE练习2已知在4ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE二AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EFB D C例3已知：如图，在A ABC中，AB牛AC，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF //BA交AE 于点 F，DF=AC.求证：AE平分/BAC练习 3 已知 CD=AB,NBDA=NBAD, AE 是4ABD 的中线，求证：NC=NBAE作业1、已知：如图，ABCD是正方形，NFAEb/FAE.求证：BE+DF=AE.2、五边形 ABCDE 中，AB=AE, BC+DE=CD,/ABC+/AED=180°,求证：AD 平分NCDE3、在四边形ABCD中，AB〃DC, E为BC边的中点，NBAE二NEAF, AF与DC的延长线相交于点F。
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A
D
B
C
E
图2-1
截长补短法
人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.
例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .
求证：∠BAD +∠BCD =180°.
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.
证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ，
在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，
⎩⎨
⎧==CD
AD DF
DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180°
例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .
求证：CD =AD +BC .
分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.
证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2
在△FCE 与△BCE 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.
A
B
C
D
图1-1
F
E
D
C
B
A
图1-2
A
D
B C
E
F
1
234
图2-2
又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠43DE
DE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ， ∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .
例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .
求证：∠BAP +∠BCP =180°.
分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.
证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2
∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，
⎩⎨
⎧==BP
BP PD
PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .
∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE . 在Rt △APE 与Rt △CPD 中,
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°
例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.
求证：AB =AC +CD .
A
B
C
D
P
12
N
图3-1
P
12
N
A
B
C
D
E 图3-2
D
C
B A 12
图4-1
分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC . 证明：方法一（补短法）
延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2
∴∠ACB ＝2∠E ，
∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ， 在△ABD 与△AED 中,
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21 ∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC . 方法二（截长法）
在AB 上截取AF =AC ，如图4-3 在△AFD 与△ACD 中,
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21 ∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .
上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。
让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。
E
D
C
B
A
12
图4-2
F
D
C
B A 12
图4-3。