抛物线及其标准方程(公开课)

——
0
+—
2
．
焦半径公式
y M
O F
2.抛物线y2=12x上与焦点距离等于9的点得 坐标是 。
课后作业
备课附录
提出问题：
如图，点 F是定点，L 是不经过点 F 的定直线。 是 L上 H 任意一点，过点 F 作MH L ，线段FH的垂直平分线m交 MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M 满足的几何条件吗？ L M H F
2
(3)2 y 2 5 x 0
1 (2) x y 2 (4) x 2 8 y 0
2Байду номын сангаас
焦点坐标 (1)
准线方程
注意：
求抛物线的 焦点一定要 先把抛物线 方程化为标 准形式。
(5,0)
1 (0, ) 8 5 ( ,0) 8
x 5
1 y 8 5 x 8
(2) (3)
(4)
(0,2)
y2
课堂练习
2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程： （1）焦点是 F (3,0) ；
y 12 x
2
1 2 （2）准线方程是 x ； y x 4
（3）焦点到准线的距离是2. 2 y 4 x 或 x 2 4 y 小结：已知抛物线的标准方程 求其焦点坐 标和准线方程.
定义法
3. 已知点P(x0, y0)是抛物线y2=2px (p> p 一点，则P到焦点F的距离|PF|=( x0 2 2=4x上 4.已知点A(2, 1),点M在抛物线y 移动，F是抛物线的焦点，则|MF|+|MA 1 的最小值是( 3 ),此时M的坐标是 (( ,1)
1 2 5.已知M是抛物线y x 上一动点， 4 M
．
y
O
x
3
9 ∴抛物线的标准方程为x2 = 2
4 y或y2 = 3
x
课堂小结
1.抛物线的定义; 2.抛物线的标准方程有四种不同的形式,
每一对焦点和准线对应一种形式; 3.p的几何意义是: 焦点到准线的距离; 4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的 开口方向．
思考题
1.M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点M p 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是——————— X
几何画板观察
练习: 平面上到定点A(1, 2) 和到定直 线 2x－y=0距离相等的点的轨迹为 ( ) 思考：已知点P(x,y)的坐标满足方程: (A)直线 (B)抛物线 2 2 (C)双曲线 x 1 k | x(D)椭圆 0) x y 2 y | (k
2 1.若 k ，P的轨迹是何曲线？ 2
先定位，后定量
课堂练习
3、设抛物线 y 8 x 上一点P到y轴的距离是4，则 点P到该抛物线焦点的距离是（ B ） A.4 B.6 C.8 D.12
2
课堂练习
4：求过点A（-3，2）的抛物线的 标准方程。
解：1）设抛物线的标准方程为 x2 =2py，把A（-3，2）代入A 9 ， 得p= 4 2）设抛物线的标准方程为 y2 = -2px，把A（-3，2）代入， 2 得p=
L
N M
K
F
注意:定点F不在直线L上. ( F l )
即:
MF ︳ ︳ , 则点M的轨迹是抛物线。 若 1 MN ︳ ︳
思考
类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如 何选择坐标系，求抛物线的方程？ 设 KF p Ly
N M
L
N
y
L
M N
y
M
K
F
x
K
F
x
K
F
x
(1)
(2)
(3)
抛物线的标准方程
M l
C
以点C为焦点的抛物线.
例1 一种卫星接收天线的轴截面如图 所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴 截面为抛物线的接收天线，经反射聚集 到焦点处.已知接收天线的口径（直径） 为4.8m，深度为0.5m，试建立适当的 坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐 A y 标. 方程：y2＝11.52x 焦点：（2.88，0） O
方程 y 2 px( p 0) 叫 做抛物线的标准方程.
2
L
N
y
M
它表示的抛物线焦点在x
K
轴的正半轴上,焦点坐标是 p ( , 0) ,它的准线方程是 。 2 p x 2 其中p为正常数，它的几何意义是:
F
x
焦点到准线的距离。
抛物线的标准方程
抛物线的标 准方程还有 哪些形式?
想 一 想 ？
2.随 K 的变化，P的轨迹可以是哪些曲线？
（3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛 y 2 =－4 x 物线的标准方程
练习：求抛物线的标准方程 1.焦准距是2； 2
x y 1 的焦点为焦点； 2.以双曲线 4 5
3. 经过点P(-4,-2)；
2
4.已知动圆M过定点F(2, 0)，且与直线 x= –2相切，求动圆圆心M的轨迹方程.
复习、引题：
一个动点M 到一个定点F 和一条定直线l 的距离之比 为常数e :
M2
M
M1
F
l
当 0<e<1 时是椭 圆 e>1 时是双曲 当 线 e=1 是？ 当
抛物线的生活实例 探照灯的灯面
抛物线的定义
平面内与一个定 点F和一条定直线L 的距离相等的点的 轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的 焦点,直线L叫做抛 物线的准线.
3 2 到其准线的距离为d1 , M到直线x+y=2 2
4
y 2 16 x.
6. 若点M到点F（4，0）的距离比它到 直线l:x＋5＝0的距离少1，求点M的轨 y M 迹方程.
l
y 2 16 x或x 2 8 y.
y 16 x.
2
O F
2
x
y 16 x或x 8 y.
2
7.如图，一个动圆M与一个定圆C外切， 且与定直线l相切，则圆心M的轨迹是什 么？
其它形式的抛 物线的焦点与 准线呢？
对于一条抛物线，它在坐标平面内的位置可以不同， 所以建立的坐标系也不同，所得抛物线的方程也不 同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。
﹒ ﹒ ﹒
o
y
图象 y
开口方向 标准方程
焦点
准线
x
向右
o
x 向左
y
向上
o
x
y
﹒
o
向下
x
抛物线的标准方程
抛 物 线 方 程
左右 型
标准方程为
开口向右:
y2 =+ 2px
(p>0)
y2 =2px(x≥ 0)
开口向左:
y2 = -2px(x≤ 0)
开口向上:
上下 型
标准方程为
x2 =+ 2py
(p>0)
x2 =2py (y≥ 0)
开口向下:
x2 = -2py (y≤0)
课堂练习
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1) y 20 x
x
例2 求准线平行于x轴，且截直线 y＝x－1所得的弦长为 10 的抛物线 的标准方程. x2＝5y或x2＝－y. 例3 过抛物线y2＝4x的焦点F作直线 l，交抛物线于A、B两点，求线段AB的 中点M的轨迹方程. y A
y2＝2(x－1).
OB
M F
x