浙教版八年级上数学垂直平分线、角平分线
2022-2023学年浙教版数学八上期中复习专题5 角平分线、线段垂直平分线与尺规作图(教师版)
2022-2023学年浙教版数学八上期中复习专题5 角平分线、线段垂直平分线与尺规作图一、单选题（每题2分，共20分）1．（2021八上·绍兴期中）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的中线的是（）A．B．C．D．【答案】A【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】解：A、根据作图可得：D为BC的中点，故A符合题意；B、根据作图，线段AD是BC上的高，故B不符合题意；C、根据作图，线段AD是△BAC的角平分线，故C不符合题意；D、根据作图，线段AD是AB的垂线，故D不符合题意.故答案为：A.【分析】中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段，据此判断.2．（2021八上·西湖期中）如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（）A．已知两边及夹角B．已知三边C．已知两角及夹边D．已知两边及一边对角【答案】C【知识点】作图-三角形【解析】【解答】解：观察图象可知：已知线段AB，△CAB＝α，△CBA＝β.故答案为：C.【分析】观察图象可知：已知线段AB，α，β，据此进行解答.3．（2021八上·兰溪期中）学习了角平分线及其性质后，某校数学兴趣小组的同学尝试只用一副带刻度的三角板作∠AOB的角平分线，根据提供的条件，无法判断OP是角平分线的是（）A．OC=OD，P为CD中点B．CD//OB，OC=CPC．OC=OD，OE=OF D．CD⊥OB，P为CD中点【答案】D【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定；角平分线的判定【解答】解：A、OC=OD，CP=DP，OP=OP，根据SSS可判定△OCP△△ODP，可得出△POC=△POD，【解析】故不符合题意；B、CD△OB，可得△CPO=△POB，再由OC=CP，可得△CPO=△COP，可得△POB=△COP，故不符合题意；C、OC=OD，OF=OE，△COF=△DOE，根据SAS可判定△OCP△△ODP，可得出△POC=△POD，故不符合题意；D、CD△OB，PC=PD，而PC和OA不垂直，不能判定△POC=△POD，故符合题意；故答案为：D.【分析】根据OC=OD，CP=DP可判定△OCP△△ODP，可得出△POC=△POD，据此判断A；由平行线的性质可得△CPO=△POB，根据等腰三角形的性质可得△CPO=△COP，则△POB=△COP，据此判断B；易证△OCP△△ODP，可得出△POC=△POD，据此判断C.4．（2021八上·淳安期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】A【知识点】作图-角；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】解：由作图可知：作图正确的是①②.故答案为：A.【分析】利用作一个角等于已知角的方法，作线段垂直平分线的方法，可得答案.5．（2021八上·鄞州期中）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的△AOB的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM△△PON，OP平分△AOB．以上依画法证明△POM△△PON根据的是（）A．SSS B．HL C．AAS D．SAS【答案】B【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；作图-角的平分线【解析】【解答】解：在Rt△PMO和Rt△PNO中，{OM=ONOP=OP，∴△POM△△PON（HL）.故答案为：B.【分析】根据作法可知，OM=ON，OP是公共边，由于PM垂直OA，PN垂直OB，则可利用HL证明△POM△△PON .6．（2021八上·瑞安期中）如图，△ABC中，AC＜BC，如果用尺规作图的方法在BC上确定点P，使PA+PC＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【答案】C【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】解：∵PB+PC＝BC，而PA+PC＝BC，∴PA＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P为AB的垂直平分线与BC的交点.故答案为：C.【分析】由题意可得点P为AB的垂直平分线与BC的交点，据此判断.7．（2021八上·鄞州期中）已知△AOB，在射线OA，OB上分别截取OD=OE，分别以点D，E为圆心，以大于12DE且同样长为半径画弧，在△AOB内两弧交于点C，作射线OC，OC就是△AOB的角平分线.作图依据是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．HL 【答案】C【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线【解析】【解答】解：如图，连接OC，CD和CE，由作法可知，OD=OE，CD=CE，在△COD和△COE中，{OD=OE CD=CE OC=OC，∴△COD△△COE（SSS），∴△COD=△COE，即OC就是△AOB的角平分线.故答案为：C.【分析】先作图，然后根据作法得出有关线段相等，再利用SSS 证明△COD△△COE ，得出△COD=△COE ，即OC 就是△AOB 的角平分线，则可作答.8．（2021八上·绍兴开学考）如图，已知△AOB ，按下面步骤作图：（1）在射线OA 上任意取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧在△AOB 内部交于点E ，连接CE ，DE ； （3）作射线OE 交CD 于点F ．根据以上所作图形，有如下结论：①CE△OB ；②CE ＝2CF ；③△AOE ＝△BOE ；④CD△OE ．其中正确的有( )A ．①②③④B ．②③C ．③④D ．②③④【答案】D【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SSS ）；作图-角的平分线 【解析】【解答】解：由作法得：OC=OD ，CE=CD=DE ，在△COE 和△DOE 中， ∵{OC =OD OE =OE CE =DE， ∴△COE△△DOE （SSS ）， ∴△AOE=△BOE ， ③ 正确；∵CE=DE ，OC=OD ，∴OE 为CD 的垂直平分线，即 CD △OE ， ④ 正确； ∵CE=CD=ED ，∴△CDE 为等边三角形，∴CE=CD=2CF ， ② 正确； ∵△CDE 为等边三角形，△CEF=△DEF=30°，∵△COD 的度数不确定， ∴△DOE 的度数不确定，∴CE 不一定平行OB ， ①不正确 . 综上，正确的是 ②③④ .故答案为：D.【分析】由作法得OC=OD，CE= DE =CD，根据SSS证明△OCE△△ODE，得出△COE=△DOE，可对③作出判断；利用垂直平分线的性质和△CDE为等边三角形的性质得到EF△CD，CF= DF，则可对②④作出判断；由于△AOB不能确定为60°，所以△CEO不能确定等于△DOE，则可对①作出判断. 9．（2021八上·浙江月考）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC ＝BC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【答案】D【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】解：A、由作图可知BA=BP∴BC=BP+PC=BA+PC，故A不符合题意；B、由作图可知PA=PC，∴BC=BP+PC=BP+PC，故B不符合题意；C、由作图可知AC=PC，∴BC=BP+PC=BP+AC，故C不符合题意；D、由作图可知PA=PB，∴BC=BP+PC=PA+PC，故D符合题意；故答案为：D.【分析】观察A选项中的作图可知BA=BP；B选项中的作图可知PA=PC；C选项中的作图可知AC=PC；D选项中的作图可知PA=PB，由此可作出判断.10．（2021八上·柯桥月考）如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P 的个数为（）A．3B．4C．6D．7【答案】C【知识点】等腰三角形的判定与性质；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】解：如图所示，作AB的垂直平分线，①作AC的垂直平分线交AB的垂直平分线于一点P，得到△ABC的外心P，为满足条件的一个点；②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，交AB的垂直平分线于两点，P2，P3为满足条件的点；③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点；④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，得到P5、P6为满足条件的点；综上所述，满足条件的所有点P的个数有6个.故答案为：C.【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出AB和AC的垂直平分线，得到△ ABC的外心满足条件；再根据圆的半径相等，以点C为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于两点；分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于一点；再分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，与△C相交于两点，即可解答.二、填空题（每空2分，共12分）11．（2021八上·温州期中）如图，若△α=38°，根据尺规作图的痕迹，则△AOB的度数为．【答案】76º【知识点】角的运算；作图-角【解析】【解答】解：由作图可知△AOB=2△α=2×38°=76°.故答案为：76°.【分析】利用作图可知△AOB=2△α，代入计算可求解.12．（2019八上·吴兴期中）如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为△D′O′C′△△DOC，所以△D′O′C′＝△DOC。
2024年浙教版八上数学初一升初二预习——1.7角平分线的性质和垂直平分线的性质
? ?
O
EB
初中数学
新的定理
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的 平分线上．（定理2）
留一个思考问题： 为什么会有“角的内部”这个前提？ 没有的话会怎样？
A D
C
P
O
EB
初中数学
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的 平分线上．（定理2）
使用这个定理时这样书写：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
E B
分析：标图
1 ．已知可推？ 考虑连接AD
A
D “全等待条件”“双垂待角分”
C F
初中数学
例 已知：如图，AB = AC，BD = CD，DE⊥AB， 交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线 于点F．求证：DE = DF．
E B
分析：标图
1 ．已知可推？ 考虑连接AD
A
D “全等待条件”“双垂待角分”
A N P FM
分析： 已知可推？“角分无双垂” 求证何来？“距离需作垂”
B
E
C 考虑“作双垂”．
注意：两组“角分待双垂”．
初中数学
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P． 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
A
ND P
FM
分析： 已知可推？“角分无双垂” 求证何来？“距离需作垂”
求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离
相等．
C
D “角分无双垂”
“距离需作垂”
PE
A
B
初中数学
练习 如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与
∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．
求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离
八年级数学上册《线段的垂直平分线与角的平分》教案、教学设计
2.学生在运用垂直平分线和角的平分线性质解决问题时，可能会遇到推理困难，教师应引导学生通过逐步推导，培养他们的逻辑思维能力；
3.针对不同学生的学习能力，教师应分层设计教学活动，使每个学生都能在原有基础上得到提高；
（四）课堂练习
1.教学活动设计：设计具有代表性的习题，让学生当堂完成，巩固所学知识，并及时进行反馈和指导。
2.教学过程：首先，发放练习题，要求学生在规定时间内完成。接着，教师收集学生答案，针对普遍存在的问题进行讲解。最后，针对个别学生的疑问，进行个别辅导，确保学生掌握所学知识。
（五）总结归纳
1.教学活动设计：对本节课的知识点进行总结，强调重难点，梳理知识体系，并进行情感教育。
1.教学方法：
（1）导入阶段：通过实际生活中的例子，如公路建设、园林设计等，引出线段的垂直平分线和角的平分线的概念，激发学生的学习兴趣；
（2）讲解阶段：运用多媒体演示和实物模型，让学生直观地理解垂直平分线和角的平分线的性质，同时结合课本，进行详细的讲解；
（3）实践阶段：设计具有挑战性的习题，让学生动手操作，培养他们运用垂直平分线和角的平分线解决问题的能力；
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：通过展示一张地图，标注两个城市之间的道路，提出如何确定两地之间的最短距离问题，引发学生对线段的垂直平分线的思考。
2.教学过程：首先，让学生观察地图，思考如何找到两地之间的最短距离。接着，引导学生回顾之前学过的线段中点的知识，为引入线段的垂直平分线做铺垫。最后，提出线段的垂直平分线的概念，激发学生的好奇心和求知欲。
新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题
新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题本文介绍了八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》的知识点及典型例题。
其中，三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边的关系可分为等腰三角形、等边三角形和普通三角形。
文章还介绍了三角形的内角和定理、角平分线、重要线段中线和高线的定义、命题和证明步骤。
此外，文章还讲解了全等三角形、尺规作图、线段垂直平分线和角平分线的性质，以及如何利用这些知识点计算角度和线段长度。
最后，文章列举了八个考点，包括判断三条线段能否组成三角形、求三角形的某一边长或周长的取值范围、证明三角形全等等。
例题部分也包括了两个问题的解答。
1、正确画出AC边上的高的是（C）。
2、工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（B）三角形具有稳定性。
3、不能唯一作出直角三角形的是（C）已知一锐角及其邻边。
4、已知AD、BE、CF是△ABC的三条中线，相交于点O，设△BDO面积为1，则S△ABC=（6）。
5、在图中，由于AB=CD。
AD=BC，所以△ABO≌△CDO，△ABO与△CDO的对应顶点分别为AO和CO，所以全等三角形的对数为1，选项A。
6、根据中线定理可知，DF=EF=BF=AF=1/2AC，所以四边形DCEF是平行四边形，面积为AC的一半，即22.5cm，选项B。
7、根据角平分线定理可知，BP/PC=AB/AC，所以BP/AB=PC/AC，由此可得△BPC与△ABC相似，所以∠BPC=2∠A，选项A。
8、由于BD是BC边上的垂直平分线，所以BD=DC=4，由勾股定理可得AD=3，所以AB=5，所以ΔABD的周长为12，选项D。
9、将三角形按照图中的方式编号，可以发现只有第3块的形状与原来的三角形相同，所以应该带第3块去。
10、以B为顶点的外角为∠ABC=180°-∠A=130°，以C为顶点的外角为∠ACB=180°-∠A=130°，由于外角和等于360°，所以两个外角的平分线的夹角为130°/2=65°，选项A。
浙教版八年级上册几何部分第2讲 角平分线、垂直平分线的性质与判定
第2讲 角平分线、垂直平分线的性质与判定板块一、角平分线知识要点：1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.例题精讲例1、如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .求证：PM ＝PN【解法指导】由于PM ⊥BD ，PN ⊥AD .欲证PM ＝PN 只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD 与△OAD 全等即可.证明：∵OD 平分∠AOB ∴∠1＝∠2 在△OBD 与△OAD 中，12OB OAOD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OBD ≌△OAD∴∠3＝∠4 ∵PM ⊥BD ，PN ⊥AD 所以PM ＝PN类题演练1、如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.2、如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN例2、如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝12(AB ＋AD )，如果∠D ＝120°，求∠B 的度数【解法指导一】由已知∠1＝∠2，CE ⊥AB ，联想到可作CF ⊥AD 于F ，得CE ＝CF ，AF ＝AE ，又由AE ＝12(AB ＋AD )得DF ＝EB ，于是可证△CFD ≌△CEB ，则∠B ＝∠CDF ＝60°.解：过点C 作CF ⊥AD 于点F .又∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，点C 是AC 上一点，∴CE ＝CF在△CFA 和△CEA 中，∵ ⎪⎩⎪⎨⎧ （自己补充上去）∴△ACF ≌△ACE ∴AF ＝AE 又∵AE ＝12(AE ＋BE ＋AF －DF )，2AE ＝AE ＋AF ＋BE －DF ，∴BE ＝DF ∵CF ⊥AD ，CE ⊥AB ，∴∠F ＝∠CEB ＝90°在△CEB 和△CFD 中，CE CF F CEB DF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△CFD∴∠B ＝∠CDF 又∵∠ADC ＝120°，∴∠CDF ＝60°，即∠B ＝60°.【解法指导二】在AE 上截取AM ＝AD 从而构造全等三角形.（聪明的你，来试一试）类题演练3、在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论。
全等模型-角平分线模型-2023-2024学年八年级数学上册常见几何模型全归纳(浙教版)(解析版)
z全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】条件：如图1，为的角平分线、于点A 时，过点C 作. 结论：、≌.图1 图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D 作.结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.）图3 常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC 是∠COB 的角平分线，AC =BC ，过点C 作CD ⊥O A 、CE ⊥OB 。
结论：①；②；③.OC AOB ÐCA OA ^CA OB ^CA CB =OAC D OBCD ABC D 90C Ð=°AD CAB ÐDE AB ^DC DE =DAC D DAE D ABC D AB AC CD =+180BOA ACB Ð+Ð=°AD BE =2OA OB AD =+z例1．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在中，，是的平分线，若，，则的长是（ ）A ．4B ．3C ．2 D ．1【答案】A【分析】如图，过D 作于E ，利用三角形的面积公式求出，再据角平分线的性质得出答案． 【详解】解：如图，过D 作于E ，∵，，∴，∴，∵，即，是的角平分线，∴，故选：A ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．例2．（2023·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，已知、的角平分线、相交于点，Rt ABC △90C Ð=°BD ABC Ð10AB =20ABD S =!CD DE AB ^4DE =DE AB ^10AB =20ABD S =!11102022ABD S AB DE DE =×=´×=!4DE =90C Ð=°DC BC ^BD ABC Ð4CD DE ==ABC ÐEAC ÐBP AP Pz【答案】A【分析】作于点，根据角平分线的判定定理和性质定理，即可判断①结论；根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可判断②结论；先根据四边形内角和，得出，再证明，，得到，，即可判断③结论；根据全等三角形面积相等，即可判断④结论． 【详解】解：①作于点，平分，，，平分，，，， 点在的角平分线上，平分，①结论正确；②平分，平分，，，，，，，，，②结论正确；③，，，， ，，在和中，，，同理可证，，，， ，故③结论正确；④，，，，故④结论不正确；综上所述，正确的结论是①②③，故选：A ．PD AC ^D 180MPN ABC Ð=°-Ð()Rt Rt HL AMP ADP !!≌()Rt Rt HL CDP CNP !!≌12APD MPD Ð=Ð12CPD NPDÐ=ÐPD AC ^D BP !ABC ÐPM BE ^PN BF ^PM PN \=AP !EAC ÐPM BE ^PD AC ^PM PD \=PN PD \=\P ACF ÐCP \ACF ÐBP !ABC ÐCP ACF Ð2ABC PBC \Ð=Ð2ACF PCF Ð=ÐACF ABC BAC Ð=Ð+Ð!PCF PBC BPC Ð=Ð+Ð()2ABC BAC PBC BPC \Ð+Ð=Ð+Ð222PBC BAC PBC BPC \Ð+Ð=Ð+Ð2BAC BPC \Ð=Ð12BPC BAC\Ð=ÐPM AB ^!PN BC ^90AMP CNP \Ð=Ð=°360ABC CNP MPN AMP Ð+Ð+Ð+Ð=°!3609090180MPN ABC ABC \Ð=°-°-°-Ð=°-ÐPM PN PD ==!Rt AMP !Rt ADP !AP APPM PD =ìí=î()Rt Rt HL AMP ADP \!!≌()Rt Rt HL CDP CNP !!≌12APD APM MPD \Ð=Ð=Ð12CPD CPN NPDÐ=Ð=Ð()()1111180902222APC APD CPD MPD NPD MPN ABC ABC \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°-Ð=°-ÐRt Rt AMP ADP !""≌Rt Rt CDP CNP !!≌AMP ADP S S \=!!CDP CNP S S =!!AMP CNP ADP CDP APC S S S S S \+=+=!!!!!z【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，三角形外角的定义，四边形内角和，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．例3．（2023·福建南平·八年级统考期中）如图所示，，是的中点，平分． （1）求证：是的平分线；（2）若，求的长．【答案】（1）详见解析；（2）8cm.【分析】（1）过点E 分别作于F ，由角平分线的性质就可以得出EF=EC ，根据HL 得，即可得出结论；（2）根据角平分线和平行线的性质求出 ，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.【详解】（1）证明：过点E 分别作于F ，∴∠DFE=∠AFE=90°．∵∠B=∠C=90°，∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．∴CB ⊥AB ，CB ⊥CD ． ∵DE 平分∠ADC ．∴∠EDC=∠EDF ，CE=EF ． ∵E 是BC 的中点，∴CE=BE ，∴BE=EF ．在Rt △AEB 和Rt △AEF 中， ，∴Rt △AEB ≌Rt △AEF （HL ），∴∠EAB=∠EAF ，∴AE 是∠DAB 的平分线；（2）解：∵∠B=∠C=90°，∴AB ∥CD ，∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵∠BAD=60°，平分，AE 是∠DAB 的平分线， ， ，，∵∠C=90° ∴ ， ，90B C Ð=Ð=!E BC DE ADC ÐAE DAB Ð2cm,BAD=60CD =Ð!AD EF AD ^AEB AEF D D ≌30CED DAE Ð=Ð=°EF AD ^EB=EFAE=AE ìíîDE ADC Ð60ADE CDE Ð=Ð=°∴30DAE Ð=°A 90DE =°∠A 30D E =°∠C 30DE =°∠z.故答案为（1）详见解析；（2）8cm.【点睛】本题考查角平分线的性质，线段中点的定义，全等三角形的判定与性质的运用，含30°角的直角三角形，证明三角形全等是解（1）题的关键，掌握含30°角的直角三角形的性质是解（2）题的关键． 例4．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）已知，平分，点在射线上，点在射线上，点在直线上，连接，，且．(1)如图1，当时，与的数量关系是______．(2)如图2，当是钝角时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)当时，若，，请直接写出与的面积的比值． 【答案】(1)(2)成立；证明见解析(3)2或4（或也行）【分析】（1）过点作于，于，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得出结论；（2）过点作于，于，证明，得到；（3）分点在射线上，点在射线的反向延长线上两种情况，仿照（2）的方法解答即可．【详解】（1）如图1，过点作于，于，四边形为矩形，，， ，248AD DE CD cm \===OA MON ÐP OA B OM C ON PB PC 180MON BPC Ð+Ð=°90MON Ð=°PB PC MON Ð120MON Ð=°6OP =2OC =OBP !OCP △PB PC =2:14:1P PE OM ^E PF ON ^F PE PF =EPB FPC @!!P PE OM ^E PF ON ^F EPB FPC @!!PB PC =C ON C ON P PE OM ^E PF ON ^F 90MON \Ð=°\PEOF 90EPF \Ð=°90EPB BPF \Ð+Ð=°180MON BPC Ð+Ð=°!90MON Ð=°z，，， 平分，，，，在和中，，，，故答案为．（2）解：成立，理由如下：如图2，证明：过点分别作于点，作于点．∴ ∵平分，∴∵在四边形中， ∴ 又∵∴在和中，∴∴．（3）解：如图3，过点分别作于点，作于点．平分，，与的面积的比值为2。
八年级数学《尺规作图-角平分线、垂线和中垂线》课件
3、任意画一个三角形，画出三个内角的角 平分线.（不写画法，保留作图痕迹）
4、已知：角∠α，线段m。 求作：等腰三角形△ABC，使其顶角
∠BAC=∠α， ∠BAC的平分线为m。
2、经过一点作已知直线的垂线
1、如图，点C在直线上，试过点C画出直线的 垂线。
2、如图，如果点C不在直线上，试和同学讨论， 应采取怎样的步骤，过点C画出直线的垂线？
2题的作法：
（1）任取一点M，使点M和点C在的两侧； （2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，交
于A、B两点； （3）分别以A、B两点为圆心，以大于 1 AB
长为半径画弧，两弧相交于D点； 2 （4）过C、D两点作直线CD。
所以，直线CD就是所求作的。
练习
1、如图，过点P画∠O 两边的垂线.
2、如图，画 △ABC 边 BC 上的(第高1 题.)
第19章 全等三角形 19.3 尺规作图
基本作图
❖在几何里,把限定用直尺和圆规来画 图,称为尺规作图.最基本,最常用的尺 规作图,通常称基本作图.
❖ 其中,直尺是没有刻度的;
❖ 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的. 以前学过的”作一条线段等于已知线段”,就 是一种基本作图.
❖ 下面介绍几种基本作图:
（第 2 题）
❖什么垂直平分线？
（过线段的中点，垂直这条线段的 直线）
❖线段垂直平分线有哪些特征？
（线段的垂直平分线上的点到线段 两端点的距离相等；反过来，到线 段两端点距离相等的点在线段的垂 直平分线上）
❖已知线段AB，画出它的垂直平分线.
说出你的 作图思路
议一议；能否说出这 种画法的依据，小组 讨论交流一下。
1、平分已知角
浙教版八年级数学上册等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂D C BAED F CB A线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、轴对称的性质（探究）
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′B′C′分别是点A、B、C
的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？
（1）设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN
折叠后，点A与A′重合吗？
于是有PA＝，∠MPA＝＝度
（2）对于其他的对应点，如点B、B′，C、C′也有类似的情
况吗？
（3）那么MN与线段AA′，BB′，CC′的连线有什么关系呢？
垂直平分线的定义：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
二、线段垂直平分线的性质（探究）
已知：如下图，直线l垂直平分线段AB，垂足为c，点p是直线l任一点
求证：PA＝PB
证明：
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离三、探究3（线段垂直平分线的判定）
思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？
已知：如图，PA＝PB
求证：点P在线段AB 的垂直平分线上（提示：做辅助线，构造全等三角形）证明：
线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直
平分线上。
根据上面的结论，完成下面问题。
四、典型例题
例1. △ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△
ABC的周长。
例2.如下图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平
分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
P
A B B
A
C
若AB=AC,则点A在
线段的垂
直平分线上。
若直线ED是线段BC
的垂直平分线,则图
中EB=
若PA=PB=PC, 则点P 即
在线段的垂直平
分线上，又在线段
的垂直平分线上
练习1：
如图，已知DE 是AC 的垂直平分线，AB=10cm ，BC=11cm ，求ΔABD 的周长？
例3.(作图）如图，OA 、OB 表示两条交叉的公路，M 、N 两点分别表示两个村庄，现计划修建一个货运站，希望到两个村庄的距离相等，且到两条公路的距离也相等，你能确定出货运站应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计，可以不叙述理由，但是要保留作图痕迹．
【分析】此题主要考查了应用与设计作图和角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，用到的知识点为：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 练习2：
如图，在公路m 一边有两个村庄A 和B ，现在要在公路上修一个车站C
，使车站到两个村庄的距离之和最短．请画出车站C 的位置并说明画法．
A E D C B
例4.如图在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N.
(1) 求△AEN 的周长.
(2) 求∠EAN 的度数.
(3) 判断△AEN 的形状.
例5. 在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线,AD 的垂直平分线分别交AB 、BC 延长线于F 、E. 求证：（1）∠EAD=∠EDA ;（2）DF ∥AC （3）∠EAC=∠B
A B C D E M N
练习 3.如图，已知：在ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于D ，且AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别是E 、F . 求证：AD 是EF 的垂直平分线.
五：角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线性质的符号语言：
P 在AOB ∠的平分线上
PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E
∴PD PE =
例6：如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F 。
连接EF ，交AD 于点G 。
说出AD 与EF 之间有什么关系？证明你的结论。
例7：如图，D是ABC
∠的平分线上一点，DF AC
∆的外角ACE
⊥于E，
⊥于F，DE BC
且交BC的延长线于E。
求证：CE CF
=。
分析：由已知条件，可以利用角平分线的性质得到DE＝DF。
而要证明CE＝CF，只要证明以它们为边的两个三角形全等即可。
将两者结合起来分析就不难找到思路。
小结：
运用角平分线的性质时应注意以下三个问题：
（1）这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直。
六：角平分线的判定
到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
角平分线判定的符号语言：
⊥于D，PE OB
⊥于E
PD OA
且PD PE
=
∠的平分线上
∴P在AOB
（或写成OP是AOB
∠的平分线）
例8：如图，BE CF
⊥于F，DE AB
=，DF AC
⊥于E，BF和CE交于点D。
求证：AD平分BAC
∠。
分析：要证AD平分BAC
，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要证明这两个距离相等即可。
而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明。
小结：
角平分线的判定与角平分线的性质是互逆的。
判定角的平分线要满足两个条件：“垂直”和“相等”。
若已知“垂直”则设法证明“相等”，若已知“相等”则设法证明“垂直”。