2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷)(精校版 含答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）试卷类型：A 成本文参考公式：柱体的体积公式V =Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高；线性回归方程$$y bxa =+$中系数计算公式为$1122211()()()nnii i ii i nniii i xx y y x yxyb xx xnxη====---==--∑∑∑∑，$$ay bx =-，其中,x y 表示样本均值； 若n 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i -C. 22i +Ｄ．22i -２．已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221xy +=，(){,B x y =∣,x y 为实数，且}y x =，则A B I 的元素个数为Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ ３．若向量a, b, c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则(2)⋅+=c a bＡ．４ Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．０４．设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数 Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数5．在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则=⋅u u u u r u u u rz OM OA 的最大值为A． B． C ．４D ．３６．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A ．12 B ．35 C ．23 D ．34７．如下图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．8．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的，若T ,V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z =U 且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A.,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C.,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

9．不等式130x x +--≥的解是 ；10.72x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是 （用数字作答）；11．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和。

若141,0k a a a =+=，则k =____________；12．函数2()31f x x x =-+在x =____________处取得极小值．13．某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm 。

因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm. 选做题（14、15，考生只能从中选一题）14．已知两曲线参数方程分别为(0)sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩和25()4x t t R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________.（坐标系与参数方程选做题）15．如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ,B 且PB =7，C 是圆上一点使得BC =5，∠BAC =∠APB , 则AB = 。

（几何证明选讲选做题）（1） 解答题:本大题共6小题，满分80分。

解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）已知函数f (x )=2sin(31x -6π),x ∈R..正视图侧视图（1） 求f (45π)的值； （2） 设,αβ∈[0,2π]，(3f α+2π)=1310，(32)f βπ+=56，求cos()αβ+的值。

17.（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含量（单位：毫克）。

下表是乙厂的5件产品的测量数据：（2（3）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，y ≥75,该产品为优等品。

用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量。

（4）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数ξ的分布列及其均值。

18．(本小题满分13分)在椎体P -ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，且∠DAB =60︒，PA PD ==PB =2,E ,F 分别是BC ,PC 的中点. (1)证明：AD ⊥平面DEF ； (2) 求二面角P -AD -B 的余弦值。

19．(本小题满分14分)设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y +=+=中的一个内切，另一个外切.（1）求圆C 的圆心轨迹L 的方程 （2）已知点M (55F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时P 的坐标.20．（本小题共14分）设b >0,数列{}n a 满足a 1=b ，11(2)22n n n nba a n a n --=≥+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+21.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L :214y x =.实数p ,q 满足240p q -≥，x 1,x 2是方程20x px q -+=的两根，记{}12(,)max ,p q x x ϕ=。

PAＳBＳCＳDＳF（1）过点20001(,)(0)4A p p p ≠(p 0≠ 0)作L 的切线交y 轴于点B 。

证明：对线段AB 上任一点Q (p ，q )有0(,)2pp q ϕ=；（2）设M (a ，b )是定点，其中a ，b 满足a 2-4b >0,a ≠0。

过M (a ，b )作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),(,)44E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交与,'F F ，线段EF 上异于两端点的点集记为X ．证明：M (a ,b ) ∈X ⇔12P P >⇔(,)a b ϕ12p =； （3）设D ={ (x ,y )|y ≤x -1,y ≥14(x +1)2-54}，当点(p ,q )取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值 （记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）.2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）答案数学（理科）试卷类型：A cbw一、选择题题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案BCDACDBA二、填空题 ９. [1,)+∞； 10. 84； 11. 10；12. 2；13. 185；14. (1,；15.三、解答题16．解：(1)55()2sin()2sin 41264f ππππ=-==; (2)10(3)2sin 213f παα+==，5sin 13α∴=，又[0,]2πα∈，12cos 13α∴=， 6(32)2sin()2cos 25f πβπββ+=+==，3cos 5β∴=， 又[0,]2πβ∈，4sin 5β∴=， 16cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=. 17．解：（1）乙厂生产的产品总数为1453598÷=；（2）样品中优等品的频率为25，乙厂生产的优等品的数量为235145⨯=； （3）0,1,2ξ=， 22325()i iC C P i C ξ-==(0,1,2)i =，ξ的分布列为ξ0 1 2P310 35110均值314()125105E ξ=⨯+⨯=.18.解：(1) 取AD 的中点G ，又P A =PD ，PG AD ∴⊥，由题意知ΔABC 是等边三角形，BG AD ∴⊥， 又PG , BG 是平面PGB 的两条相交直线，AD PGB ∴⊥平面，//,//EF PB DE GB Q ， DEF PGB ∴平面//平面， AD DEF ∴⊥平面(2) 由（1）知PGB ∠为二面角P AD B --的平面角，在Rt PGA ∆中，2217()24PG =-=；在Rt BGA ∆中，222131()24BG =-=；在PGB ∆中，222cos 27PG BG PB PGB PG BG +-∠==-⋅.19．解：（1）两圆半径都为2，设圆C 的半径为R，两圆心为1(0)F、20)F ，由题意得12||||2R CF CF ==+或21||||2R CF CF ==+，1212||||||2||CF CF F F ∴-=<=，可知圆心C 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线，设方程为22221x y a b -=，则22222,1,4,2a a c b c a b ====-==，所以轨迹L 的方程为2214y x -=．（２）22114-=Q ，M L ∴∈， ||||||||MP FP MF -≤，仅当点P 是直线MF 与双曲线L 的交点时，取＂＝＂，由2MF k =-知直线MF 与渐近线2by x x a=-=-平行， 所以直线MF 与双曲线L 只有一个交点M ，又||2MF =，所以当点P 与M 重合时，||||||MP FP -最大，等于2，此时P ． GPAＳBＳCＳDＳFE20．解（１）法一：112(1)n n n a ba n a n --=+-，得1112(1)121n n n n a n n n a ba b b a ---+--==+⋅， 设n n n b a =，则121n n b b b b-=⋅+(2)n ≥， 设12()n n b b b λλ-+=⋅+，则122(1)n n b b b bλ-=⋅+-， 令21(1)bb λ-=，得12b λ=-，1121()22n n b b b b b-∴+=⋅+--(2)n ≥， 知12n b b +-是等比数列，11112()()22n n b b b b b -∴+=+⋅--，又11b b=， 12112()222n n n n n b b b b b b b -∴=⋅-=⋅---，(2)2n n n nnb b a b -∴=-．法二：1a b =，2222222(2)22b b b a b b -==+-，33223333(2)242b b b a b b b -==++-， 猜想(2)2n n n nnb b a b -=-，下面用数学归纳法证明：①当1n =时，猜想显然成立；②假设当n k =时，(2)2k k k kkb b a b -=-，则 1111(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(2)2k k k k k k k k k k k b a k b kb b k b b a a n kb b k b b +++++⋅+⋅-+-===+--+⋅--， 所以当1n k =+时，猜想成立，由①②知，*n N ∀∈，(2)2n n n nnb b a b -=-．（２）22122n n n n b b ++≥=，21211222n n n n b b b --+⋅+⋅≥=，11111,222n n n n n n b b b +--++⋅+⋅≥=L L ，以上n 个式子相加得2212n n b b -+⋅+111122n n n n b b +--++⋅+⋅+L L 2121222n n n n b n b -++⋅+≥⋅，1221212112(2)[(222)2](2)2(2)2(2)n n n n n n n n n n n n n n nn b b b b b b b a b b +--++⋅-+⋅++⋅+-⋅-=≤--L 2212121(222)(2)2(2)2(2)n n n n n n n n n b b b b b b b --++⋅++⋅+--⋅-=-L 2121111(2)222(2)n n n n n n n n n b b b b +++++--⋅+⋅=- 2111211(2)(22)2(2)n n n n n n n n nb b b b +++++-⋅+⋅-=-1112n n b ++=+．21．解：（１）00011'|()|22AB x p x p k y x p =====， 直线AB 的方程为200011()42y p p x p -=-，即2001124y p x p =-， 2001124q p p p ∴=-，方程20x px q -+=的判别式2204()p q p p ∆=-=-， 两根001,2||22p p p p x ±-==或02pp -， 00p p ⋅≥Q ，00||||||||22p pp p ∴-=-，又00||||p p ≤≤， 000||||||||222p p p p ∴-≤-≤，得000||||||||||222p p pp p ∴-=-≤， 0(,)||2p p q ϕ∴=． （２）由240a b ->知点(,)M a b 在抛物线L 的下方，①当0,0a b >≥时，作图可知，若(,)M a b X ∈，则120p p >≥，得12||||p p >； 若12||||p p >，显然有点(,)M a b X ∈； (,)M a b X ∴∈12||||p p ⇔>． ②当0,0a b ><时，点(,)M a b 在第二象限，作图可知，若(,)M a b X ∈，则120p p >>，且12||||p p >； 若12||||p p >，显然有点(,)M a b X ∈；(,)M a b X ∴∈12||||p p ⇔>．根据曲线的对称性可知，当0a <时，(,)M a b X ∈12||||p p ⇔>， 综上所述，(,)M a b X ∈12||||p p ⇔>（*）；由（１）知点M 在直线EF 上，方程20x ax b -+=的两根11,22p x =或12pa -， 同理点M 在直线''E F 上，方程20x ax b -+=的两根21,22p x =或22p a -， 若1(,)||2p a b ϕ=，则1||2p 不比1||2p a -、2||2p 、2||2pa -小， 12||||p p ∴>，又12||||p p >(,)M ab X ⇒∈，1(,)||2p a b ϕ∴=⇒(,)M a b X ∈；又由（１）知，(,)M a b X ∈1(,)||2pa b ϕ⇒=； 1(,)||2p a b ϕ∴=⇔(,)M a b X ∈，综合（*）式，得证． （３）联立1y x =-，215(1)44y x =+-得交点(0,1),(2,1)-，可知02p ≤≤，过点(,)p q 作抛物线L 的切线，设切点为2001(,)4x x ，则20001142x qx x p -=-， 得200240x px q -+=，解得0x p =，又215(1)44q p ≥+-，即2442p q p -≤-，0x p ∴≤+t =，20122x t t ∴≤-++215(1)22t =--+，0max max ||2x ϕ=Q ，又052x ≤，max 54ϕ∴=； 1q p ≤-Q，0|2|2x p p p ∴≥=+-=， 0max min ||12x ϕ∴==．。