2017年上海市杨浦区高考数学三模试卷(解析版)
2017年上海高考数学真题试卷(word解析版)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）1、考生注意2、1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.3、2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.4、3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.5、4.用2B 铅笔作答选择题目，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题目.一.填空题目（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知集合{1,2,3,4}A ，集合{3,4,5}B ，则A B ∩2.若排列数6654m P ，则m3.不等式11x x 的解集为4.已知球的体积为36 ，则该球主视图的面积等于5.已知复数z 满足30z z，则||z6.设双曲线22219x y b(0)b 的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF ，则2||PF7.如图，以长方体1111ABCD A B C D 的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC的坐标为8.定义在(0,) 上的函数()y f x 的反函数为1()y f x ，若31,0()(),0x x g x f x x为奇函数，则1()2f x 的解为9.已知四个函数：①y x ；②1y x；③3y x ；④12y x .从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为10.已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n ，*n N ，{}n b的项是互不相等的正整数，若对于任意*n N ，{}n b 的第na 项等于{}n a 的第nb 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b11.设1a 、2a R ，且121122sin 2sin(2) ，则12|10| 的最小值等于12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P ，点P ，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“”的点分布在P l 的两侧.用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“”的点到P l 的距离之和.若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l ，则 中所有这样的P 为二.选择题目（本大题共4题，每题5分，共20分）13.关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y的系数行列式D 为（）A.0543 B.1024 C.1523 D.605414.在数列{}n a 中，1(2nn a ，*n N ，则lim n n a （）A.等于12B.等于0C.等于12D.不存在15.已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c ，*n N ，则“存在*k N ，使得100kx 、200kx 、300kx 成等差数列”的一个必要条件是（）A.0aB.0b C.0c D.20a b c 16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C 和222:19y C x .P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ的最大值.记{(,)|P Q P 在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w，则 中元素个数为（）A.2个B.4个C.8个D.无穷个三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，直三棱柱111ABC A B C 的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C 的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.18.已知函数221()cos sin 2f x x x，(0,)x .（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A所对边a ，角B 所对边5b ，若()0f A ，求△ABC 的面积.19.根据预测，某地第n *()n N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n，5n b n ，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n （单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y ，A 为 的上顶点，P 为 上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P在第一象限，且||OP ，求P的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP ，直线AQ 与 交于另一点C ，且2AQ AC ，4PQ PM ，求直线AQ 的方程.21.设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x R ，当12x x 时，都有12()()f x f x .（1）若3()1f x ax ，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值.函数()()()h x f x g x .证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.2017年普通高等学校招生全国统一考试上海--数学试卷考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题目，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题目.一、填空题目（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合1,2,3,4,3,4,5A B ,则A B ∩.【解析】本题考查集合的运算，交集，属于基础题【答案】3,42.若排列数6P 654m ,则m .【解析】本题考查排列的计算，属于基础题【答案】33.不等式11x x 的解集为.【解析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题【答案】,0 4.已知球的体积为36 ，则该球主视图的面积等于.【解析】本题考查球的体积公式和三视图的概念，343633R R ,所以29S R ，属于基础题【答案】95.已知复数z 满足30z z，则z .【解析】本题考查复数的四则运算和复数的模，2303z z z设z a bi ，则22230,a b abi a b,z【答案】6.设双曲线 222109x y b b 的焦点为12F F 、,P为该双曲线上的一点.若15PF ,则2PF.【解析】本题考查双曲线的定义和性质，1226PF PF a （舍），2122611PF PF a PF 【答案】117.如图，以长方体1111ABCD A B C D 的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若1DB 的坐标为(4,3,2),则1AC的坐标是.【解析】本题考查空间向量，可得11(400)(03,2)(432)A C AC，，，，，，,属于基础题【答案】(432) ，，8.定义在(0,) 上的函数()y f x 的反函数-1()y f x .若31,0,()(),0x x g x f x x 为奇函数，则-1()=2f x 的解为.【解析】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函数之间的关系，属于中档题10,0,()31()()13x x x x g x g x g x,所以1()13x f x,当2x 时，8()9f x,所以18(29f【答案】9x9.已知四个函数：①y x ；②1y x；③3y x ；④12y x .从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.【解析】本题考查事件的概率，幂函数的图像画法和特征，属于基础题总的情况有：42C 6种，符合题意的就两种：①和③，①和④【答案】1310.已知数列na 和 nb ,其中2,N na n n ， nb 的项是互不相等的正整数.若对于任意N n n b ，中的第n a 项等于 n a 中的第n b 项，则149161234lg lg b b b b b b b b.【解析】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题由题意可得：222222114293164(),,,n n a b n n b a b b b b b b b b b b ，所以214916123412341234lg lg =2lg lg b b b b b b b b b b b b b b b b 【答案】211.设12R ，,且121122sin 2sin(2) ，则1210 的最小值等于.【解析】考查三角函数的性质和值域，121111,1,12sin 32sin(2)3，，要使121122sin 2sin(2) ，则111122221=122sin 2,,1=12sin(2)4k k k Z k1212min min31010(2)44k k,当122=11k k 时成立【答案】412.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1234,,,P P P P 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合1234=,,,P P P P ，点P .过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“▲”的点分布在P l 的两侧.用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“▲”的点到P l 的距离之和.若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()=()P P D l D l ，则 中所有这样的P 为.【解析】本题考查有向距离，以左下角的顶点为原点建立直角坐标系。
2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷带解析【精品】
第1页（共17页）页）2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分 1．（4分）若“a ＞b ”，则“a 3＞b 3”是命题（填：真、假） 2．（4分）已知A ＝（﹣∞，0]，B ＝（a ，+∞），若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围是 ．3．（4分）z +2＝9+4i （i 为虚数单位），则|z |＝ ．4．（4分）若△ABC 中，a +b ＝4，∠C ＝30°，则△ABC 面积的最大值是 ．5．（4分）若函数f （x ）＝log 2的反函数的图象经过点（﹣2，3），则a ＝ ． 6．（4分）过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是 ．7．（5分）抛掷一枚均匀的骰子（刻有1，2，3，4，5，6）三次，得到的数字依次记作a ，b ，c ，则a +bi （i 为虚数单位）是方程x 2﹣2x +c ＝0的根的概率是 ．8．（5分）设常数a ＞0，（x +）9展开式中x 6的系数为4，则（a +a 2+…+a n）＝ ．9．（5分）已知直线l 经过点且方向向量为（2，﹣1），则原点O 到直线l 的距离为 ．10．（5分）若双曲线的一条渐近线为x +2y ＝0，且双曲线与抛物线y ＝x 2的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为 ．11．（5分）平面直角坐标系中，给出点A （1，0），B （4，0），若直线x +my ﹣1＝0存在点P ，使得|P A |＝2|PB |，则实数m 的取值范围是 ． 12．（5分）函数y ＝f （x ）是最小正周期为4的偶函数，且在x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝2x +1，若存在x 1，x 2，…x n 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x n ，且|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 1）|+…+|f （xn ﹣1﹣f （x n ））|＝2016，则n +x n的最小值为 ．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．（5分）若与﹣都是非零向量，则“•＝•”是“⊥（﹣）”的（ ）A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．（5分）行列式中，元素7的代数余子式的值为（ ） A ．﹣15B ．﹣3C ．3D ．1215．（5分）一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（ ） A ．5800 B ．6000C ．6200D ．640016．（5分）若直线+＝1通过点P （cos θ，sin θ），则下列不等式正确的是（ ） A ．a 2+b 2≤1 B ．a 2+b 2≥1C ．+≤1D ．+≥1三、解答题（满分76分）共5题17．（14分）某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为55毫米线段AB 和88毫米的线段AC 以及圆心为P ，半径为PB 的一段圆弧BC 构成，其中∠BAC ＝60°．（1）求半径PB 的长度；（2）现知该零件的厚度为3毫米，毫米，试求该零件的重量试求该零件的重量试求该零件的重量（每（每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）．V 柱＝S 底•h ．18．（14分）如图所示，l 1，l 2是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A ，B 在直线l 1上，且位于M 点的两侧，C 在l 2上，AM ＝BM ＝NM ＝CN （1）求证：异面直线AC 与BN 垂直；（2）若四面体ABCN 的体积V ABCN ＝9，求异面直线l 1，l 2之间的距离．19．（14分）如图所示，椭圆C：+y2＝1，左右焦点分别记作F1，F2，过F1，F2分别作直线l1，l2交椭圆AB，CD，且l1∥l2．（1）当直线l 1的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时，求证：k1•k2为定值；（2）求四边形ABCD面积的最大值．20．（14分）数列{a n}，定义{△a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△a n＝a n+1﹣a n（n∈N*）（1）若a n＝n2﹣n，试判断{△a n}是否是等差数列，并说明理由；（2）若a1＝1，△a n﹣a n＝2n，求数列{a n}的通项公式；（3）对（b）中的数列{a n}，是否存在等差数列{b n}，使得b1C+b2C+…+b n C ＝a n，对一切n∈N*都成立，若存在，求出数列{b n}的通项公式，若不存在，请说明理由．21．（20分）对于函数f（x）（x∈D），若存在正常数T，使得对任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，我们称函数f（x）为“T同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T，f（x）＝x2都不是“T同比不减函数”；（2）若函数f（x）＝kx+sin x是“同比不减函数”，求k的取值范围； （3）是否存在正常数T，使得函数f（x）＝x+|x﹣1|﹣|x+1|为“T同比不减函数”；若存在，求T的取值范围；若不存在，请说明理由．2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分 1．（4分）若“a＞b”，则“a3＞b3”是 真 命题（填：真、假）【解答】解：函数f（x）＝x3在R是单调增函数，∴当a＞b，一定有a3＞b3，故是真命题答案为：真．2．（4分）已知A＝（﹣∞，0]，B＝（a，+∞），若A∪B＝R，则a的取值范围是 a≤0． ．【解答】解：若A∪B＝R，A＝（﹣∞，0]，B＝（a，+∞），必有a≤0；故答案为：a≤0．3．（4分）z+2＝9+4i（i为虚数单位），则|z|＝ 5 ．【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R），∵z+2＝9+4i，∴x+yi+2（x﹣yi）＝9+4i，化为：3x﹣yi＝9+4i，∴3x＝9，﹣y＝4，解得x＝3，y＝﹣4．∴|z|＝＝5．故答案为：5．4．（4分）若△ABC中，a+b＝4，∠C＝30°，则△ABC面积的最大值是 1 ． 【解答】解：在△ABC中，∵C＝30°，a+b＝4，∴△ABC的面积S＝ab•sin C＝ab•sin30°＝ab≤×（）2＝×4＝1，当且仅当a＝b＝2时取等号，故答案为：1．5．（4分）若函数f（x）＝log2的反函数的图象经过点（﹣2，3），则a＝ 2 ． 【解答】解：∵函数f（x）＝log2的反函数的图象经过点（﹣2，3），∴函数f（x）＝log2的图象经过点（3，﹣2），∴﹣2＝log2，∴a＝2，故答案为2．6．（4分）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是 π ．【解答】解：设截面的圆心为Q，由题意得：∠OAQ＝60°，QA＝1，∴S＝π•12＝π．答案：π．7．（5分）抛掷一枚均匀的骰子（刻有1，2，3，4，5，6）三次，得到的数字依次记作a，b，c，则a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c＝0的根的概率是．【解答】解：抛掷一枚均匀的骰子（刻有1，2，3，4，5，6）三次，得到的数字依次记作a，b，c，基本事件总数n＝6×6×6＝216，∵a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c＝0的根，∴（a+bi）2﹣2（a+bi）+c＝0，即，∴a＝1，c＝b2+1，∴a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c＝0的根包含的基本事件为：（1，1，2），（1，2，5），∴a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c＝0的根的概率是p＝．故答案为：．8．（5分）设常数a＞0，（x+）9展开式中x6的系数为4，则（a+a2+…+a n）＝ ．【解答】解：∵常数a＞0，（x+）9展开式中x6的系数为4，∴＝，当时，r ＝2，∴＝4，解得a ＝，∴a +a 2+…+a n ＝＝＝（1﹣），∴（a +a 2+…+a n ）＝＝．故答案为：．9．（5分）已知直线l 经过点且方向向量为（2，﹣1），则原点O 到直线l 的距离为 1 ．【解答】解：直线的方向向量为（2，﹣1），所以直线的斜率为：﹣，直线方程为：x +2y +＝0，由点到直线的距离可知：＝1；故答案为：1．10．（5分）若双曲线的一条渐近线为x +2y ＝0，且双曲线与抛物线y ＝x 2的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为．【解答】解：抛物线y ＝x 2的准线：y ＝﹣，双曲线与抛物线y ＝x 2的准线仅有一个公共点，可得双曲线实半轴长为a ＝，焦点在y 轴上．双曲线的一条渐近线为x +2y ＝0，∴＝， 可得b ＝，则此双曲线的标准方程为：．故答案为：．11．（5分）平面直角坐标系中，给出点A （1，0），B （4，0），若直线x +my ﹣1＝0存在点P ，使得|P A |＝2|PB |，则实数m 的取值范围是 m ≥或m ≤﹣．【解答】解：设P （1﹣my ，y ）， ∵|P A |＝2|PB |， ∴|P A |2＝4|PB |2，∴（1﹣my ﹣1）2+y 2＝4（1﹣my ﹣4）2+y 2， 化简得（m 2+1）y 2+8my +12＝0则△＝64m 2﹣48m 2﹣48≥0， 解得m ≥或m ≤﹣， 即实数m 的取值范围是m ≥或m ≤﹣．故答案为：m ≥或m ≤﹣．12．（5分）函数y ＝f （x ）是最小正周期为4的偶函数，且在x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝2x +1，若存在x 1，x 2，…x n 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x n ，且|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 1）|+…+|f （x n ﹣1﹣f （x n ））|＝2016，则n +x n 的最小值为 1513 ． 【解答】解：∵函数y ＝f （x ）是最小正周期为4的偶函数，且在x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝2x +1，∴函数的值域为[﹣3，1]，对任意x i ，x j （i ，j ＝1，2，3，…，m ），都有|f （x i ）﹣f （x j ）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min ＝4，要使n +x n 取得最小值，尽可能多让x i （i ＝1，2，3，…，m ）取得最高点，且f （0）＝1，f （2）＝﹣3，∵0≤x 1＜x 2＜…＜x m ，|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x n ﹣1）﹣f （x n ）|＝2016， ∴n 的最小值为，相应的x n 最小值为1008，则n +x n 的最小值为1513．故答案为：1513．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．（5分）若与﹣都是非零向量，则“•＝•”是“⊥（﹣）”的（ ）A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【解答】解：“•＝•”⇔“•﹣•＝0”⇔“•（﹣）＝0”⇔“⊥（﹣）”，故“•＝•”是“⊥（﹣）”的充要条件， 故选：C ． 14．（5分）行列式中，元素7的代数余子式的值为（ ） A ．﹣15B ．﹣3C ．3D ．12【解答】解：∵行列式，∴元素7的代数余子式为： D 13＝（﹣1）4＝2×6﹣5×3＝﹣3．故选：B ．15．（5分）一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（ ） A ．5800B ．6000C ．6200D ．6400【解答】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时，中位数为＝5400， 当另外两名员工的工资都大于6500时，中位数为＝6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400，6300]， ∴8位员工月工资的中位数不可能是6400． 故选：D ．16．（5分）若直线+＝1通过点P （cos θ，sin θ），则下列不等式正确的是（ ）A ．a 2+b 2≤1 B ．a 2+b 2≥1 C ．+≤1D ．+≥1【解答】解：直线+＝1通过点P （cos θ，sin θ）， ∴b cos θ+a sin θ＝ab ， ∴sin （θ+φ）＝ab ，其中tan φ＝， ∴≥ab ，∴a 2+b 2≥a 2b 2， ∴+≥1，故选：D ．三、解答题（满分76分）共5题 17．（14分）某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为55毫米线段AB 和88毫米的线段AC 以及圆心为P ，半径为PB 的一段圆弧BC 构成，其中∠BAC ＝60°．（1）求半径PB 的长度；（2）现知该零件的厚度为3毫米，毫米，试求该零件的重量试求该零件的重量试求该零件的重量（每（每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）．V 柱＝S 底•h ．【解答】解：（1）∵AB ＝55，AC ＝88，BP ＝R ，∠BAC ＝60°．AP ＝88﹣R ， ∴在△ABP 中，由余弦定理可得：BP 2＝AB 2+AP 2﹣2AB •AP •cos ∠BAC ，可得：R 2＝552+（88﹣R ）2﹣2×55×（88﹣R ）×cos60°， ∴解得：R ＝49mm ．（2）在△ABP 中，AP ＝88﹣49＝39mm ，AB ＝55，BP ＝49， cos ∠BP A ＝＝≈0.2347， ∴sin ∠BP A ≈0.972． ∴∠BP A ＝arcsin0.972．V柱＝S底•h＝（S△ABP+S扇形BPC）•h＝（+）•3该零件的重量＝（+）•3÷1000×8.9≈82.7．18．（14分）如图所示，l1，l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A，B在直线l1上，且位于M点的两侧，C在l2上，AM＝BM＝NM＝CN （1）求证：异面直线AC与BN垂直；（2）若四面体ABCN的体积V ABCN＝9，求异面直线l1，l2之间的距离．【解答】解：（1）证明：由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1＝M，可得l2⊥平面ABN． 由已知MN⊥l1，AM＝MB＝MN，可知AN＝NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（2）∵AM＝BM＝NM＝CN，MN是它们的公垂线段，就是异面直线l1，l2之间的距离，由中垂线的性质可得AN＝BN，四面体ABCN的体积V ABCN＝9，可得：V ABCN＝9＝＝MN3，∴MN＝3．异面直线l1，l2之间的距离为3．19．（14分）如图所示，椭圆C：+y2＝1，左右焦点分别记作F1，F2，过F1，F2分别作直线l1，l2交椭圆AB，CD，且l1∥l2．（1）当直线l 1的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时，求证：k1•k2为定值；（2）求四边形ABCD面积的最大值．【解答】（1）证明：由椭圆C：+y2＝1，得a2＝4，b2＝1，∴．设k1＝k，则AB所在直线方程为y＝kx+，CD所在直线方程为y＝kx﹣， 联立，得（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4＝0．解得，不妨取，则 同理求得，．则＝＝，则k1•k2＝；（2）解：由（1）知，，|AB|＝＝＝．AB、CD的距离d＝，∴＝．令1+4k2＝t（t≥1），则，∴当t＝3时，S max＝4．20．（14分）数列{a n}，定义{△a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△a n＝a n+1﹣a n（n∈N*）（1）若a n＝n2﹣n，试判断{△a n}是否是等差数列，并说明理由；（2）若a1＝1，△a n﹣a n＝2n，求数列{a n}的通项公式；（3）对（b）中的数列{a n}，是否存在等差数列{b n}，使得b1C+b2C+…+b n C ＝a n，对一切n∈N*都成立，若存在，求出数列{b n}的通项公式，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）若a n＝n2﹣n，试判断{△a n}是等差数列，理由如下：∵a n＝n2﹣n，∴△a n＝a n+1﹣a n＝（n+1）2﹣（n+1）﹣（n2﹣n）＝2n，∵△a n+1﹣△a n＝2，且△a1＝4，∴{△a n}是首项为4，公差为2的等差数列；（2）∵△a n﹣a n＝2n．△a n＝a n+1﹣a n，∴a n+1﹣2a n＝2n，∴﹣＝，（6分）∴数列{}构成以为首项，为公差的等差数列，即＝⇒a n＝n•2n﹣1；（3）b1∁n1+b2∁n2+…+b n∁n n＝a n，即b1∁n1+b2∁n2+…+b n∁n n＝n•2n﹣1，∵1∁n1+2∁n2+3∁n3+…+n∁n n＝n（C n﹣10+C n﹣11+C n﹣12+…+C n﹣1n﹣1）＝n•2n﹣1，∴存在等差数列{b n}，b n＝n，使得b1∁n1+b2∁n2+…+b n∁n n＝a n对一切自然n∈N都成立．21．（20分）对于函数f（x）（x∈D），若存在正常数T，使得对任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，我们称函数f（x）为“T同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T，f（x）＝x2都不是“T同比不减函数”；（2）若函数f（x）＝kx+sin x是“同比不减函数”，求k的取值范围； （3）是否存在正常数T，使得函数f（x）＝x+|x﹣1|﹣|x+1|为“T同比不减函数”；若存在，求T的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵f（x）＝x2，∴f（x+T）﹣f（x）＝（x+T）2﹣x2＝2xT+T2＝T（2x+T），由于2x+T与0的小无法比较，∴f（x+T）≥f（x）不一定成立，∴对任意正常数T，f（x）＝x2都不是“T同比不减函数，（2）∵函数f（x）＝kx+sin x是“同比不减函数，∴f（x+）﹣f（x）＝k（x+）+sin（x+）﹣kx﹣sin x＝+cos x﹣sin x＝﹣sin（x﹣）≥0恒成立，∴k≥sin（x﹣），∵﹣1≤sin（x﹣）≤1，∴k≥，（3）f（x）＝x+|x﹣1|﹣|x+1|图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移4个单位，即对任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，∴T≥4．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =ÎÎ>，且n N +Î，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；表示；00的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．次方根．②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ³．③根式的性质：()nna a =；当n 为奇数时，nna a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ³ì==í-<î． （2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nmna a a m n N +=>Î且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,mmmn nnaa m n N a a-+==>Î且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +×=>Î ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>Î ③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>Î【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数）指数函数 函数名称函数名称指数函数指数函数定义定义函数(0xy a a =>且1)a ¹叫做指数函数叫做指数函数图象图象1a >01a <<定义域定义域 R值域值域 (0,)+¥过定点过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在R 上是增函数上是增函数在R 上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况1(0)1(0)1(0)xx x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)xx x a x a x a x <>==>< a 变化对变化对 图象的影响象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．越大图象越低．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>¹且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．叫做真数．②负数和零没有对数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =Û=>¹>． （2）几个重要的对数恒等式）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b aa b =．（3）常用对数与自然对数）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >¹>>，那么，那么①加法：log log log ()a a aM N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =Î ④log a Na N =⑤log log (0,)bn a a n M M b n R b=¹Î ⑥换底公式：log log (0,1)log b ab N N b b a=>¹且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数）对数函数函数函数 名称名称 对数函数对数函数定义定义函数log (0a yx a =>且1)a ¹叫做对数函数叫做对数函数图象图象1a > 01a <<xyO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=定义域定义域(0,)+¥值域值域R过定点过定点图象过定点(1,0)，即当1x=时，0y=． 奇偶性奇偶性非奇非偶非奇非偶单调性单调性在(0,)+¥上是增函数上是增函数在(0,)+¥上是减函数上是减函数函数值的函数值的变化情况变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x>>==<<<log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x<>==><<a变化对变化对 图象的影响象的影响 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．越大图象越靠高．。
【中小学资料】上海市杨浦区2017年中考数学三模试卷(含解析)
2017年上海市杨浦区中考数学三模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列等式成立的是（）A．|a+b|=a+b B．|a+b|=a﹣b C．|a+1|=a+1 D．|b+1|=b+12．下列各式中，当m为有理数时总有意义的是（）A．（﹣2）m B．（）m C．m﹣2D．m3．如果a＜b，那么下列不等式中一定成立的是（）A．a2＜ab B．ab＜b2C．a2＜b2D．a﹣2b＜﹣b4．将某班女生的身高分成三组，情况如表所示，则表中a的值是（）A．2 B．4 C．6 D．85．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．正六边形 B．正五边形 C．平行四边形D．正三角形6．在△ABC中， =， =，那么等于（）A． +B．﹣C．﹣+D．﹣﹣二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．用代数式表示“a的相反数与b的倒数的和的平方”：．8．化简： = ．9．如果关于x二次三项式x2﹣6x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是．10．方程5x4=80的解是．11．小李家离某书店6千米，他从家中出发步行到该书店，返回时由于步行速度比去时每小时慢了1千米，结果返回时多用了半小时．如果设小李去书店时的速度为每小时x千米，那么列出的方程是．12．若一次函数y=（1﹣2k）x+k的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是．13．从一副扑克牌中取出的两组牌，一组为黑桃1、2、3，另一组为方块1、2、3，分别随机地从这两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和是合数的概率是．14．某区从近期卖出的不同面积的商品房中随机抽取1000套进行统计，并根据结果绘出如图所示的统计图．从中可知卖出的110m2～130 m2的商品房套．15．若圆的半径是10cm，则圆心角为40°的扇形的面积是cm2．16．在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，点F在边BC上，AF与DE 相交于点G，如果∠AFB=110°，那么∠CGF的度数是．17．如图，将梯形ABCD沿直线AC翻折，点B落在点E处，联结ED，如果∠B=60°，∠ACB=40°，ED∥AB，那么∠AED的度数为．18．如果正方形ABCD的边长为1，圆A与以CD为半径的圆C相交，那么圆A的半径R的取值范围是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．先化简，再求值：，其中x=6tan30°﹣2．20．解方程组：．21．已知抛物线y=ax2﹣2x+c的对称轴为直线x=﹣1，顶点为A，与y轴正半轴交点为B，且△ABO的面积为1．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在x轴上，且PA=PB，求点P的坐标．22．如图，甲船在港口P的南偏西60°方向，距港口86海里的A处，沿AP方向以每小时15海里的速度匀速行驶向港口P，乙船从港口P出发，沿南偏东45°方向匀速行驶驶离岗口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向，求乙船的航行速度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）23．已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M．（1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；（2）如图2，当AF∥ED，求证：AM2=AB•BM．24．已知：在平面直角坐标系中，直线y=﹣x与双曲线y=（k≠0）的一个交点为P（，m）．（1）求k的值；（2）将直线y=﹣x向上平移c（c＞0）个单位后，与x轴、y轴分别交于点A，点B，与双曲线y=（k≠0）在x轴上方的一支交于点Q，且BQ=2AB，求c的值；（3）在（2）的条件下，将线段QO绕着点Q逆时针旋转90°，设点O落在点C处，且直线QC与y轴交于点D，求BD：AC的值．25．已知：线段AB⊥BM，垂足为B，点O和点A在直线BM的同侧，且tan∠OBM=2，AB=5，设以O为圆心，BO为半径的圆O与直线BM的另一个交点为C，直线AO与直线BM的交点为D，圆O为直线AD的交点为E．（1）如图1，当点D在BC的延长线上时，设BC=x，CD=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．（2）在（1）的条件下，当BC=CE时，求BC的长；（3）当△ABO是以AO为腰的等腰三角形时，求∠ADB的正切值．2017年上海市杨浦区中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列等式成立的是（）A．|a+b|=a+b B．|a+b|=a﹣b C．|a+1|=a+1 D．|b+1|=b+1【考点】29：实数与数轴．【分析】根据绝对值的性质，可得答案．【解答】解：A、|a+b|=|b|﹣|a|，故A不符合题意；B、|a+b|=|b|﹣|a|，故B不符合题意；C、|a+1|=a+1，故C符合题意；D、|b+1|=|b|﹣1，故D不符合题意；故选：C．2．下列各式中，当m为有理数时总有意义的是（）A．（﹣2）m B．（）m C．m﹣2D．m【考点】2F：分数指数幂；1E：有理数的乘方；6F：负整数指数幂．【分析】根据分数指数幂、有理数乘方，负整数指数幂即可求出答案．【解答】解：（A）当m=时，此时=，此时无意义，故A不选；（C）当m=0时，此时0﹣2无意义，故C不选；（D）当m为负数时，此时=无意义，故D不选；故选（B）3．如果a＜b，那么下列不等式中一定成立的是（）A．a2＜ab B．ab＜b2C．a2＜b2D．a﹣2b＜﹣b【考点】C2：不等式的性质．【分析】根据不等式的性质进行选择即可．【解答】解：∵a＜b，∴a﹣2b＜b﹣2b，即a﹣2b＜﹣b，故选D．4．将某班女生的身高分成三组，情况如表所示，则表中a的值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】V6：频数与频率．【分析】首先根据各小组的频率之和等于1得出第一组与第二组的频率和，然后求出数据总数，从而求出a的值．【解答】解：∵1﹣20%=80%，∴（6+10）÷80%=20，∴20×20%=4．即a=4；故选B．5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．正六边形 B．正五边形 C．平行四边形D．正三角形【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．6．在△ABC中， =， =，那么等于（）A． +B．﹣C．﹣+D．﹣﹣【考点】LM：*平面向量．【分析】由三角形法则与相反向量的知识，可得=﹣=﹣（+），又由在△ABC中，=， =，即可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中， =， =，∴=﹣=﹣（+）=﹣（+）=﹣﹣，故选：D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．用代数式表示“a的相反数与b的倒数的和的平方”：．【考点】32：列代数式．【分析】先表示出a的相反数与b的倒数的和，再平方即可．【解答】解：∵a的相反数与b的倒数的和为﹣a+，∴a的相反数与b的倒数的和的平方为（﹣a+）2．故答案为：（﹣a+）2．8．化简： = x．【考点】73：二次根式的性质与化简．【分析】根据二次根式的性质（当x≥0时， =x）求出即可．【解答】解： =x，故答案为：x．9．如果关于x二次三项式x2﹣6x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是m ＞9 ．【考点】58：实数范围内分解因式．【分析】由题意知，二次三项式在实数范围内不能分解因式，所以方程x2﹣6x+m=0无解，即△＜0，代入解答出即可．【解答】解：根据题意得，二次三项式在实数范围内不能分解因式，∴方程x2﹣6x+m=0无解，即△＜0．∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4m=36﹣4m＜0，解得，m＞9．故答案为m＞9．10．方程5x4=80的解是±2 ．【考点】AF：高次方程．【分析】先方程两边都除以5，再开方即可．【解答】解：5x4=80，x4=16，x==±2，故答案为：x=±211．小李家离某书店6千米，他从家中出发步行到该书店，返回时由于步行速度比去时每小时慢了1千米，结果返回时多用了半小时．如果设小李去书店时的速度为每小时x千米，那么列出的方程是﹣=．【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据小李家离某书店6千米，他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了半小时，可列方程．【解答】解：设小李去书店时的速度为每小时x千米，根据题意得：﹣=，故答案为：﹣=．12．若一次函数y=（1﹣2k）x+k的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是0＜k＜．【考点】F7：一次函数图象与系数的关系；F1：一次函数的定义．【分析】由于函数图象经过一、二、三象限，所以可知，解即可．【解答】解：∵一次函数y=（1﹣2k）x+k的图象经过第一、二、三象限，∴，∴0＜k＜．13．从一副扑克牌中取出的两组牌，一组为黑桃1、2、3，另一组为方块1、2、3，分别随机地从这两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和是合数的概率是．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】此题可以采用列表法求解．一共有9种情况，摸出的两张牌的牌面数字之和是合数的有4种：4、4、4、6；所以摸出的两张牌的牌面数字之和是合数的概率是．【解答】解：列表得：∴一共有9种情况，摸出的两张牌的牌面数字之和是合数的有4种情况；∴摸出的两张牌的牌面数字之和是合数的概率是．14．某区从近期卖出的不同面积的商品房中随机抽取1000套进行统计，并根据结果绘出如图所示的统计图．从中可知卖出的110m2～130 m2的商品房150 套．【考点】V8：频数（率）分布直方图．【分析】根据频数直方图的意义，其他组的商品房的频数之和，又有总数为1000，计算可得110m2到130 m2的商品房的频数．【解答】解：由频数直方图可以看出：110m2到130 m2的商品房的频数为1000﹣50﹣300﹣450﹣50=150套．15．若圆的半径是10cm，则圆心角为40°的扇形的面积是cm2．【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】本题已知了扇形圆心角的度数和半径的长，可根据扇形的面积公式直接求出其面积．【解答】解：S==（cm2）．16．在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，点F在边BC上，AF与DE 相交于点G，如果∠AFB=110°，那么∠CGF的度数是40°．【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线．【分析】作出图形，根据邻补角的定义求出∠AFC，再判断出点G是AF的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CG=GF，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【解答】解：∵∠AFB=110°，∴∠AFC=180°﹣∠AFB=180°﹣110°=70°，∵点D、E分别是边AC、AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴点G是AF的中点，∴CG=GF，∴∠CGF=180°﹣2∠AFC=180°﹣2×70°=40°．故答案为：40°．17．如图，将梯形ABCD沿直线AC翻折，点B落在点E处，联结ED，如果∠B=60°，∠ACB=40°，ED∥AB，那么∠AED的度数为30°．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LH：梯形．【分析】根据平行线的性质得到∠BAD=180°﹣∠B=120°，∠ADE=∠BAD=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AED=∠DAE=30°【解答】解：∵AD∥BC，∴∠BAD=180°﹣∠B=120°，∵ED∥AB，∴∠ADE=∠BAD=120°，由折叠的性质得，AD=DE，∴∠AED=∠DAE=30°，故答案为：30°．18．如果正方形ABCD的边长为1，圆A与以CD为半径的圆C相交，那么圆A的半径R的取值范围是﹣1＜R＜+1 ．【考点】MJ：圆与圆的位置关系；LE：正方形的性质．【分析】根据题意画出图形，利用当圆A与以CD为半径的圆C相外切以及当圆A与以CD为半径的圆C相内切，分别求出半径，即可确定半径R的取值范围．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，∴如图1，当圆A与以CD为半径的圆C相外切，∵AC==，BC=CD=FC=1，AF+FC=AC，∴AF=AC﹣FC=﹣1，如图2，当圆A与以CD为半径的圆C相内切，∵AC═=，BC=CD=EC=1，AC+EC=AE，∴AE=AC+EC=+1，综上所述：圆A的半径R的取值范围为：﹣1＜R＜+1，故答案为：﹣1＜R＜+1．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．先化简，再求值：，其中x=6tan30°﹣2．【考点】6D：分式的化简求值；T5：特殊角的三角函数值．【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式=﹣•=﹣=，当x=6tan30°﹣2=2﹣2时，原式=．20．解方程组：．【考点】AF：高次方程．【分析】把②通过因式分解化为两个二元一次方程，把这两个二元一次方程分别与①组成方程组，求解即可．【解答】解：由②得，x+y=0，x=0，把这两个方程与①组成方程组得，解得：所以方程组的解为：21．已知抛物线y=ax2﹣2x+c的对称轴为直线x=﹣1，顶点为A，与y轴正半轴交点为B，且△ABO的面积为1．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在x轴上，且PA=PB，求点P的坐标．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；F8：一次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）根据对称轴求得a，然后根据三角形面积求得c，即可求得解析式；（2）设P点的坐标为（x，0），根据PA=PB得出关于x的方程，解方程求得x的值，进而求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，∴a=﹣1，∵△ABO的面积为1，∴c×1=1，∴c=2，∴抛物线的表达式为y=﹣x2﹣2x+2；（2）∵y=﹣x2﹣2x+2=﹣（x+1）2+3，∴A（﹣1，3），设P点的坐标为（x，0）．∵PA=PB，B（0，2），∴（x+1）2+32=x2+22，解得x=﹣3．故P点的坐标为（﹣3，0）．22．如图，甲船在港口P的南偏西60°方向，距港口86海里的A处，沿AP方向以每小时15海里的速度匀速行驶向港口P，乙船从港口P出发，沿南偏东45°方向匀速行驶驶离岗口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向，求乙船的航行速度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】设乙船的航行速度为每小时x海里，2小时后甲船在点B处，乙船在点C处，则PC=2x 海里，过P作PD⊥BC于D，求出BP，在Rt△BPD中求出PD，然后在Rt△PDC中表示出PD，继而建立方程可解出x的值．【解答】解：设乙船的航行速度为每小时x海里，2小时后甲船在点B处，乙船在点C处，则PC=2x海里，过P作PD⊥BC于D，则BP=86﹣2×15=56（海里），在Rt△PDB中，∠PDB=90°，∠BPD=60°，∴PD=PB•cos60°=28（海里），在Rt△PDC中，∠PDC=90°，∠DPC=45°，∴PD=PC•cos45°=2x•=x，∴x=28，即x=14≈20，答：乙船的航行速度约为每小时20海里．23．已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M．（1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；（2）如图2，当AF∥ED，求证：AM2=AB•BM．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【分析】（1）连接AC，根据正方形的性质得到∠DAM=∠BEM=∠BCD=90°，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠DAM=∠EBM=90°，AD=AB，根据相似三角形的性质得到=，根据已知条件得到四边形AMDF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AM=DF，等量代换得到AM=BE，于是得到结论．【解答】（1）连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAM=∠BEM=∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA=45°，AB=BC=CD=DA，∵BE=DF，∴CE=CF，∴∠AEB=∠F=45°，∴BE=BA=AD，在△ADM和△BEM中，，∴△ADM和△BEM，∴DM=EM，即点M为ED中点；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAM=∠EBM=90°，AD=AB，∴△ADM∽△BEM，∴=，∵AM∥DF，AF∥DE，∴四边形AMDF是平行四边形，∴AM=DF，∵BE=DF，∴AM=BE，∴，∴AM2=AB•BM．24．已知：在平面直角坐标系中，直线y=﹣x与双曲线y=（k≠0）的一个交点为P（，m）．（1）求k的值；（2）将直线y=﹣x向上平移c（c＞0）个单位后，与x轴、y轴分别交于点A，点B，与双曲线y=（k≠0）在x轴上方的一支交于点Q，且BQ=2AB，求c的值；（3）在（2）的条件下，将线段QO绕着点Q逆时针旋转90°，设点O落在点C处，且直线QC与y轴交于点D，求BD：AC的值．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）用待定系数法即可得出结论；（2）先由QB=2AB，得出AQ=3AB，进而判断出△AOB∽△AEQ，即可得出点Q（﹣2c，3c），再用待定系数法求出c即可；（3）先确定出直线OQ的解析式，进而得出CQ的解析式，用OQ=CQ建立方程即可确定出点C的坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）∵P（，m）在直线y=﹣x上，∴m=﹣，∴P（，﹣），∵P在双曲线y=上，∴k=×（﹣）=﹣6，（2）如图1，设直线AB的解析式为y=﹣x+c，∴A（c，0），B（0，c），∴OA=OB=c，过点Q作QE⊥x轴，∴OB∥QE，∴△AOB∽△AEQ，∴=，∵BQ=2AB，∴AQ=3AB，∴，∴AE=3OA=3c，QE=3OB=3c，∴OE=AE﹣OA=2c，∵点Q在第二象限，∴Q（﹣2c，3c），∵点Q在双曲线y=﹣上，∴﹣2c×3c=﹣6，∴c=﹣1（舍）或c=1；（3）如图2，由（2）知，c=1，∴A（1，0），B（0，1），Q（﹣2，3），∴直线OQ的解析式为y=﹣x，由旋转知，CQ=OQ，OQ⊥CQ，∴直线CQ的解析式为y=x+，∴D（0，），设C（n， n+），∵Q（﹣2，3），∴OQ2=13，CQ2=（n+2）2+（n+﹣3）2=（n+2）2，∴13=（n+2）2，∴n=﹣5（舍）或n=1，∴C（1，5），∵A（1，0），∴AC=5，∵B（0，1），D（0，），∴BD=﹣1=，∴BD：AC=：5=2：3．25．已知：线段AB⊥BM，垂足为B，点O和点A在直线BM的同侧，且tan∠OBM=2，AB=5，设以O为圆心，BO为半径的圆O与直线BM的另一个交点为C，直线AO与直线BM的交点为D，圆O为直线AD的交点为E．（1）如图1，当点D在BC的延长线上时，设BC=x，CD=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．（2）在（1）的条件下，当BC=CE时，求BC的长；（3）当△ABO是以AO为腰的等腰三角形时，求∠ADB的正切值．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）过O作OF⊥BD于F，如图1，利用垂径定理得到BF=CF==，再利用正切的定义得到OF=x，然后证明△OFD∽△ABD，于是利用相似比可得到y与x的关系式；（2）先利用勾股定理计算出OB=x，再证明△DEC∽△DCO，利用相似比可得到OD=y，则根据勾股定理得到x2+（y+x）2=（y）2，所以y=5x或y=﹣x（舍去），则=5x，然后解方程求出x即可；（3）讨论：当OA=OB时，点A在⊙O上，如图2，根据圆周角定理得到AC为直径，即点D与点C重合，易得x=，于是得到此时tan∠ADB=2；当AO=AB=5，如图3，作OH⊥AB于H，易得四边形OFBH为矩形，则OH=BF=x，BH=OF=x，利用勾股定理得到（x﹣5）2+（x）2=52，然后解方程求出x，则可得到tan∠AOH=，再证明∠ADB=∠AOH，从而得到tan∠ADB的值．【解答】解：（1）过O作OF⊥BD于F，如图1，则BF=CF==，∴DF=y+，在Rt△BFO中，∵tan∠OBM==2，∴OF=x，∵AB⊥BM，∴OF∥AB，∴△OFD∽△ABD，∴=，即=，∴y=（＜x＜5）；（2）在Rt△OBF中，OB==x，∵BC=CE，而OB=OC=OE，∴△OBC和△OCD为全等的等腰三角形，∴∠OCB=∠OEC，∴∠OCD=∠CED，而∠CDE=∠ODC，∴△DEC∽△DCO，∴=，即=，∴OD=y，在Rt△OFD中，∵OF2+FD2=OD2，∴x2+（y+x）2=（y）2，整理得y2﹣4xy﹣5x2=0，∴y=5x或y=﹣x（舍去），∴=5x，解得x1=0（舍去），x2=，即BC的长为；（3）当OA=OB时，点A在⊙O上，如图2，则AC为直径，点D与点C重合，OF=AB，即x=，∴tan∠ADB==2；当AO=AB=5，如图3，作OH⊥AB于H，易得四边形OFBH为矩形，∴OH=BF=x，BH=OF=x，在Rt△OHA中，∵AH2+OH2=OA2，∴（x﹣5）2+（x）2=52，解得x1=0（舍去），x2=8，∴tan∠AOH===，∵OH∥BD，∴∠ADB=∠AOH，∴tan∠ADB=．。
上海市杨浦区2017届高三数学三模试卷 含解析 精品
2017年上海市杨浦区高考数学三模试卷一、填空题（共12小题，满分54分）1．计算：= ．2．设集合S={x|≤0，x∈R}，T={2，3，4，5，6}，则S∩T= ．3．已知复数z满足：z（2﹣i）=3+i（其中i为虚数单位），则z的模等于．4．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与椭圆+=1的一个顶点重合，则该抛物线的焦点到准线的距离为．5．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是（用数字作答）．6．已知函数f（x）=（x﹣a）|x|存在反函数，则实数a= ．7．方程log2（4x﹣3）=x+1的解集为．8．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0），若存在x0∈R，使得f（x0+2）﹣f（x0）=4，则ω的最小值为．9．若正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为，则该正四棱锥的体积为．10．从1，2，3，4中选择数字，组成首位数字为1，有且只有两个数位上的数字相同的四位数，这样的四位数有个．11．已知等边△ABC的边长为2，点E、F分别在边CA、BA上且满足•=2•=3，则•= ．12．已知函数f（x）=的最小值为a+1，则实数a的取值范围为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“a＞1“是“＜1“的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件14．如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y=x+f（x）B．y=xf（x）C．y=x2+f（x）D．y=x2f（x）15．已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a1+a3＞0 B．若a1+a3＞0，则a1+a2＞0C．若a1＞0，则S2017＞0 D．若a1＞0，则S2016＞016．已知集合M={（x，y）||x|+|y|≤1}，若实数对（λ，μ）满足：对任意的（x，y）∈M，都有（λx，μy）∈M，则称（λ，μ）是集合M的“嵌入实数对”．则以下集合中，不存在集合M的“嵌入实数对”的是（）A．{（λ，μ）|λ﹣μ=2} B．{（λ，μ）|λ+μ=2} C．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=2} D．{（λ，μ）|λ2+μ2=2}三、解答题（共5小题，满分76分）17．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=AB=1．AA1=CD=2．E为棱DD1的中点．（1）证明：B1C1⊥平面BDE；（2）求二面角D﹣BE﹣C1的大小．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，），其部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．19．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）万元时，该商品的月供给量为y1吨，y1=ax+a2﹣a（a＞0）：月需求量为y2吨，y2=﹣x2﹣x+1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量：当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）已知a=，若某月该商品的价格为x=7，求商品在该月的销售额（精确到1元）；（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数a的取值范围．20．如图，由半圆x2+y2=r2（y≤0，r＞0）和部分抛物线y=a（x2﹣1）（y≥0，a＞0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，曲线C与x轴有A、B两个焦点，且经过点（2.3）．（1）求a、r的值；（2）设N（0，2），M为曲线C上的动点，求|MN|的最小值；（3）过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形线”相交于P，A，Q三点，问是否存在实数k，使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21．已知数列{a n}满足：a1=1，a n=，n=2，3，4，…．（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）设b n=+1，n∈N*，求证：数列{b n}是等比数列，并求出其通项公式；（3）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{a n}中是否存在连续的2m项构成等差数列？若存在，写出这2m项，并证明这2m项构成等差数列；若不存在，请说明理由．2017年上海市杨浦区高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，满分54分）1．计算：= ．【考点】8J：数列的极限．【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【解答】解：===．故答案为：．2．设集合S={x|≤0，x∈R}，T={2，3，4，5，6}，则S∩T= {3，4，5} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合S，T的等价条件，结合集合交集的定义进行计算即可．【解答】解：S={x|≤0，x∈R}={x|3≤x＜6}，则S∩T={3，4，5}，故答案为：{3，4，5}3．已知复数z满足：z（2﹣i）=3+i（其中i为虚数单位），则z的模等于．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（2﹣i）=3+i（其中i为虚数单位），∴z（2﹣i）（2+i）=（3+i）（2+i），∴5z=5+5i，可得z=1+i|z|=．故答案为：．4．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与椭圆+=1的一个顶点重合，则该抛物线的焦点到准线的距离为 4 ．【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】求出椭圆的顶点坐标，得到抛物线的焦点坐标，求出P即可得到结果．【解答】解：抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与椭圆+=1的一个顶点（0，2）重合，抛物线的开口向上，焦点坐标（0，2），可得p=4，则该抛物线的焦点到准线的距离为：p=4．故答案为：4．5．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是10 （用数字作答）．【考点】DA：二项式定理．【分析】先求出二项式（x2+）5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数．【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为 T r+1= x10﹣2r x﹣r=x10﹣3r．令 10﹣3r=4，可得 r=2，∴展开式中含x4的项的系数是=10，故答案为10．6．已知函数f（x）=（x﹣a）|x|存在反函数，则实数a= 0 ．【考点】4R：反函数．【分析】a＞0时，f（x）=，利用单调性即可判断出不存在反函数．a=0时，f（x）=，可得函数f（x）在R上单调递增，因此存在反函数．a＜0时，f（x）=，利用单调性即可判断出不存在反函数．【解答】解：a＞0时，f（x）=，可得函数f（x）在内单调递减，在（﹣∞，0），上单调递增，因此不存在反函数．a=0时，f（x）=，可得函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，因此存在反函数．a＜0时，f（x）=，可得函数f（x）在内单调递减，在（﹣∞，），（0，+∞）上单调递增，因此不存在反函数．综上可得：a=0．故答案为：0．7．方程log2（4x﹣3）=x+1的解集为{log23} ．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】解：由已知条件得（2x）2﹣2•2x﹣3=0，解得2x=3，或2x=﹣1（舍），进一步求出x的答案．【解答】解：∵log2（4x﹣3）=x+1，∴2x+1=4x﹣3，∴（2x）2﹣2•2x﹣3=0，解得2x=3，或2x=﹣1（舍），∴x=log23．∴方程log2（4x﹣3）=x+1的解集为{log23}．故答案为：{log23}．8．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0），若存在x0∈R，使得f（x0+2）﹣f（x0）=4，则ω的最小值为．【考点】HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】化简等式可得sin（ωx0+2ω+φ）﹣sin（ωx0+φ）=2，由正弦函数的性质可求ω=（k1﹣k2）π﹣，k1、k2∈Z，结合ω＞0求得ω的最小值．【解答】解：存在x0∈R，使得f（x0+2）﹣f（x0）=4，即2sin﹣2sin（ωx0+φ）=4成立，∴sin（ωx0+2ω+φ）﹣sin（ωx0+φ）=2，∴ωx0+2ω+φ=2k1π+①，ωx0+φ=2k2π+②，k1、k2∈Z；由①②解得：ω=k1π﹣k2π﹣，k1、k2∈Z；又ω＞0，∴ω的最小值是．故答案为：．9．若正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为，则该正四棱锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】连结AC、BD，交于点O，连结PO，则PO⊥平面ABCD，且PO=2，从而侧棱PA与底面ABCD所成角为∠PAO，且，进而AO=2，AB=，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，连结PO，∵正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为，∴PO⊥平面ABCD，且PO=2，∴侧棱PA与底面ABCD所成角为∠PAO，且，∴AO=2，∴AB=，∴该正四棱锥的体积：V===．故答案为：．10．从1，2，3，4中选择数字，组成首位数字为1，有且只有两个数位上的数字相同的四位数，这样的四位数有36 个．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，分2种情况讨论，①后三位数字中包含1，即1是重复数字；②后三位数字中不包含1；分别求出其情况数目，再由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，①后三位数字中包含1，则只需在2、3、4中任取两个，与1进行排列即可，有C32×A33=18种情况；②后三位数字中不包含1，则需要在2、3、4中取出2个，一个作为重复数字，另一个不重复，有A32×A33=18种不同情况；故这样的四位数有18+18=36种；故答案为：36．11．已知等边△ABC的边长为2，点E、F分别在边CA、BA上且满足•=2•=3，则•= ﹣．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】用三角形各边向量表示出，，再计算•．【解答】解：设，，则==， =+=，∴=+λ=4﹣2λ，=μ•=2μ，∵，，∴λ=，μ=，∴=（+）•（+）=﹣+++=﹣4++1+=﹣．故答案为：﹣．12．已知函数f（x）=的最小值为a+1，则实数a的取值范围为{﹣2﹣2}∪．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】讨论﹣a与0，1的大小关系，判断f（x）在两区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上的单调性与最小值，列不等式解出a的范围．【解答】解：（1）若﹣a≤0，即a≥0时，f（x）=，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，最小值为f（0）=2，在（0，+∞）上最小值为a+1，故只需2≥a+1即可，解得0≤a≤1；（2）若0＜﹣a≤1，即﹣1≤a＜0时，则f（x）=，∴f（x）在（﹣∞，0]上先减后增，最小值为f（）=2﹣，在（0，+∞）上最小值为a+1，故只需2﹣≥a+1即可，解得﹣2﹣2≤a≤﹣2+2，又﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0，（3）若﹣a＞1，即a＜﹣1时，f（x）=，∴f（x）在（﹣∞，0]上先减后增，最小值为f（）=2﹣，f（x）在（0，+∞）上的最小值为﹣a﹣1＞0，而f（x）的最小值为a+1＜0，故只需令2﹣=a+1即可，解得a=﹣2﹣2或a=﹣2+2（舍），综上，a的取值范围是{﹣2﹣2}∪．故答案为：{﹣2﹣2}∪．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“a＞1“是“＜1“的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当a＞1时，＜1成立，即充分性成立，当a=﹣1时，满足＜1，但a＞1不成立，即必要性不成立，则“a＞1“是“＜1“的充分不必要条件，故选：A14．如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y=x+f（x）B．y=xf（x）C．y=x2+f（x）D．y=x2f（x）【考点】3K：函数奇偶性的判断．【分析】逐个计算g（﹣x），观察与g（x）的关系得出答案．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对于A，g（﹣x）=﹣x+f（﹣x）=﹣x﹣f（x）=﹣g（x），∴y=x+f（x）是奇函数．对于B，g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）=g（x），∴y=xf（x）是偶函数．对于C，g（﹣x）=（﹣x）2+f（﹣x）=x2﹣f（x），∴y=x2+f（x）为非奇非偶函数，对于D，g（﹣x）=（﹣x）2f（﹣x）=﹣x2f（x）=﹣g（x），∴y=x2f（x）是奇函数．故选B．15．已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a1+a3＞0 B．若a1+a3＞0，则a1+a2＞0C．若a1＞0，则S2017＞0 D．若a1＞0，则S2016＞0【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】对等比数列中的公比q讨论，可得答案．【解答】解：对于A：a1+a2＞0，即a1（1+q）＞0，那么a1+a3=a1（1+q2），当a1＞0，可得a1+a3＞0，当a1＜0时，a1+a3＞0不成立．对于B：a1+a3＞0，即a1+a3=a1（1+q2）＞0，可得a1＞0，a1+a2＞0，即a1（1+q）＞0，当1+q ＜0时，不成立．对于C：a1＞0，则S2017=，当q＞1时，S2017＞0．当0＜q＜1时，1﹣q＞0，1﹣q2017＞0，∴S2017＞0．当﹣1＜q＜0时，1﹣q＞0，1﹣q2017＞0，∴S2017＞0．当q＜﹣1时，1﹣q＜0，1﹣q2017＜0，∴S2017＞0．对于D：a1＞0，则S2016=，当q＞1时，1﹣q＜0，1﹣q2016＜0，∴S2016＞0．当0＜q＜1时，1﹣q＞0，1﹣q2016＞0，∴S2016＞0．当﹣1＜q＜0时，1﹣q＞0，1﹣q2016＞0，∴S2016＞0．当q＜﹣1时，1﹣q＞0，1﹣q2016＜0，∴S2016＜0．故选C．16．已知集合M={（x，y）||x|+|y|≤1}，若实数对（λ，μ）满足：对任意的（x，y）∈M，都有（λx，μy）∈M，则称（λ，μ）是集合M的“嵌入实数对”．则以下集合中，不存在集合M的“嵌入实数对”的是（）A．{（λ，μ）|λ﹣μ=2} B．{（λ，μ）|λ+μ=2} C．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=2} D．{（λ，μ）|λ2+μ2=2}【考点】KE：曲线与方程．【分析】由定义可知|λ|≤1，|μ|≤1，利用不等式的性质即可得出λ+μ，λ﹣μ，λ2﹣μ2，λ2+μ2的范围，从而得出答案．【解答】解：若集合M存在“嵌入实数对”（λ，μ），则|λx|+|μy|≤1对任意（x，y）∈M恒成立，又|x|+|y|≤1，∴|λ|≤1，|μ|≤1，∴﹣2≤λ﹣μ≤2，故A正确；﹣2≤λ+μ≤2，故B正确；﹣1≤λ2﹣μ2≤1，故C不正确；0≤λ2+μ2≤2，故D正确；故选C．三、解答题（共5小题，满分76分）17．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=AB=1．AA1=CD=2．E为棱DD1的中点．（1）证明：B1C1⊥平面BDE；（2）求二面角D﹣BE﹣C1的大小．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由题意证明BC⊥BD，再由已知ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，得BC⊥DE，由线面垂直的判定可得BC⊥平面BDE，进一步得到B1C1⊥平面BDE；（2）如图建立空间直角坐标系，由已知求出B，C，C1，E的坐标，进一步求出平面BEC1与平面BDE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣BE﹣C1的大小．【解答】（1）证明：由题意，BD=BC=，∵CD=2，∴BD2+BC2=CD2，则BC⊥BD．又∵ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，∴BC⊥DE，∵BD∩DE=D，∴BC⊥平面BDE，又∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面BDE；（2）解：如图建立空间直角坐标系，则有B（1，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（0，0，1）．，．设平面BEC1的法向量为，由，得，取x=3，得．由（1）知，平面BDE的一个法向量．∴cos＜＞==．由图可知，二面角D﹣BE﹣C1为钝角，∴二面角D﹣BE﹣C1的大小为arccos（﹣）．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，），其部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HW：三角函数的最值．【分析】（I）先求周期，推出ω，利用（），推出，得到f（x）的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．【解答】解：（I）由图可知，A=1，所以T=2π所以ω=1又，且所以所以．（II）由（I），所以===cosx•sinx=因为，所以2x∈，sin2x∈故：，当时，g（x）取得最大值．19．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）万元时，该商品的月供给量为y1吨，y1=ax+a2﹣a（a＞0）：月需求量为y2吨，y2=﹣x2﹣x+1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量：当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）已知a=，若某月该商品的价格为x=7，求商品在该月的销售额（精确到1元）；（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数a的取值范围．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）计算y1，y2，比较大小确定销售量，再计算销售额；（2）令f（x）=y1﹣y2，则f（x）在[6，14）上有零点，根据零点的存在性定理列不等式组解出a的范围．【解答】解：（1）当a=，x=7时，y1=×7+×（）2﹣=1+﹣=，y2=﹣×（）2﹣×+1=，∴y1＞y2，∴该月销售额为7××104≈50313（元）．（2）令f（x）=y1﹣y2=x2+（+a）x﹣a﹣1，则f（x）在[6，14）上有零点，∵a＞0，∴f（0）=﹣a﹣1＜0，又f（x）的图象开口向上，∴f（x）在[6，14）上只有1个零点，∴，即，解得：0＜a≤．20．如图，由半圆x2+y2=r2（y≤0，r＞0）和部分抛物线y=a（x2﹣1）（y≥0，a＞0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，曲线C与x轴有A、B两个焦点，且经过点（2.3）．（1）求a、r的值；（2）设N（0，2），M为曲线C上的动点，求|MN|的最小值；（3）过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形线”相交于P，A，Q三点，问是否存在实数k，使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）由将点代入抛物线方程，即可求得a的值，求得A，B点坐标，代入圆方程，即可r的值；（2）根据两点之间的距离公式，采用分类讨论，根据二次函数的性质，即可求得|MN|的最小值；（3）将直线方程，代入抛物线及圆的方程求得Q及P点坐标，由k BP=﹣k BQ，即可求得k的值，因此存在实根k=1+，使得∠QBA=∠PBA．【解答】解：（1）将（2，3）代入y=a（x2﹣1），解得：a=1，由y=x2﹣1与x轴交于（±1，0），则A（1，0），B（﹣1，0），代入圆x2+y2=r2，解得：r=±1，由r＞0，则r=1，∴a的值为1，r的值为1；（2）设M（x0，y0），则丨MN丨2=x02+（y0﹣2）2，当y0≤0，x02=1﹣y02，丨MN丨2=5﹣4y0，∴当y0=0时，丨MN丨min=，当y≥0时，x02=1+y0，丨MN丨2=x02+（y0﹣2）2=1+y0+（y0﹣2）2=y02﹣3y0+5=（y0﹣）2+，当y0=时，丨MN丨min=；（3）由题意可知：PQ的方程y=k（x﹣1），，整理得：x2﹣kx+k﹣1=0，则x=1，y=k﹣1，则Q（k﹣1，k2﹣2k），则，整理得：（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣1=0，解得：x=1或x=，则P点坐标为（，﹣），由∠QBA=∠PBA，则k BP=﹣k BQ，即=﹣，即k2﹣2k﹣1=0，解得：k=1±（负值舍去），因此存在实根k=1+，使得∠QBA=∠PBA．21．已知数列{a n}满足：a1=1，a n=，n=2，3，4，…．（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）设b n=+1，n∈N*，求证：数列{b n}是等比数列，并求出其通项公式；（3）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{a n}中是否存在连续的2m项构成等差数列？若存在，写出这2m项，并证明这2m项构成等差数列；若不存在，请说明理由．【考点】8H：数列递推式．【分析】（1）由a1=1，利用递推公式能求出a2，a3，a4，a5的值．（2）由题意，对于任意的正整数n，b n=+1，从而b n+1=+1，进而b n+1=2b n，由此能证明数列{b n}是首项、公比均为2的等比数列，并求出其通项公式．（3）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{a n}中存在连续的2m项构成等差数列．对任意的m≥2，k ∈N*，在数列{a n}中，，，，…，这连续的2m就构成一个等差数列．利用构造法和分类讨论法能推导出，，，…，这连续的2m项，是首项为，公差为﹣的等差数列．【解答】解：（1）∵a1=1，∴a2=1+2a1=3，a3=+2a2=，a4=1+2a3=7，a5=+2a4=；证明：（2）由题意，对于任意的正整数n，b n=+1，∴b n+1=+1，又∵+1=（2+1）+1=2（+1）=2b n，∴b n+1=2b n，又∵b1=+1=a1+1=2，∴数列{b n}是首项、公比均为2的等比数列，其通项公式b n=2n；（3）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{a n}中存在连续的2m项构成等差数列．对任意的m≥2，k∈N*，在数列{a n}中，，，，…，这连续的2m就构成一个等差数列．我们先来证明：“对任意的n≥2，n∈N*，k∈（0，2n﹣1），k∈N*，有”，由（2）得，∴，当k为奇数时，=，当k为偶数时， =1+2a，记，∴要证=，只需证明，其中，k1∈N*，（这是因为若，则当时，则k一定是奇数）有===，当时，则k一定是偶数，有=1+=1+2（）=1+2（）=，以此递推，要证=，只要证明，其中，k2∈N*，如此递推下去，我们只需证明，，即，即，由（Ⅱ）可得，所以对n≥2，n∈N*，k∈（0，2n﹣1），k∈N*，有，对任意的m≥2，m∈N*，=，，其中i∈（0，2m﹣1），i∈N*，∴﹣=﹣，又，，∴，∴，，，…，这连续的2m项，是首项为，公差为﹣的等差数列．2017年6月15日。
2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷
2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分1．（4分）若“a＞b”，则“a3＞b3”是命题（填：真、假）2．（4分）已知A=（﹣∞，0]，B=（a，+∞），若A∪B=R，则a的取值范围是．3．（4分）z+2=9+4i（i为虚数单位），则|z|=．4．（4分）若△ABC中，a+b=4，∠C=30°，则△ABC面积的最大值是．5．（4分）若函数f（x）=log2的反函数的图象经过点（﹣2，3），则a=．6．（4分）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是．7．（5分）抛掷一枚均匀的骰子（刻有1，2，3，4，5，6）三次，得到的数字依次记作a，b，c，则a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根的概率是．8．（5分）设常数a＞0，（x+）9展开式中x6的系数为4，则（a+a2+…+a n）=．9．（5分）已知直线l经过点且方向向量为（2，﹣1），则原点O到直线l的距离为．10．（5分）若双曲线的一条渐近线为x+2y=0，且双曲线与抛物线y=x2的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为．11．（5分）平面直角坐标系中，给出点A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0存在点P，使得|PA|=2|PB|，则实数m的取值范围是．12．（5分）函数y=f（x）是最小正周期为4的偶函数，且在x∈[﹣2，0]时，f （x）=2x+1，若存在x1，x2，…x n满足0≤x1＜x2＜…＜x n，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f （x2）﹣f（x1）|+…+|f（x n﹣f（x n））|=2016，则n+x n的最小值为．﹣1二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．（5分）若与﹣都是非零向量，则“•=•”是“⊥（﹣）”的（）A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（5分）行列式中，元素7的代数余子式的值为（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．1215．（5分）一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A．5800 B．6000 C．6200 D．640016．（5分）若直线+=1通过点P（cosθ，sinθ），则下列不等式正确的是（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．+≤1 D．+≥1三、解答题（满分76分）共5题17．（14分）某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为55毫米线段AB和88毫米的线段AC以及圆心为P，半径为PB的一段圆弧BC构成，其中∠BAC=60°．（1）求半径PB的长度；（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）．V柱=S底•h．18．（14分）如图所示，l1，l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A，B在直线l1上，且位于M点的两侧，C在l2上，AM=BM=NM=CN（1）求证：异面直线AC与BN垂直；（2）若四面体ABCN的体积V ABCN=9，求异面直线l1，l2之间的距离．19．（14分）如图所示，椭圆C：+y2=1，左右焦点分别记作F1，F2，过F1，F2分别作直线l1，l2交椭圆AB，CD，且l1∥l2．（1）当直线l1的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时，求证：k1•k2为定值；（2）求四边形ABCD面积的最大值．20．（14分）数列{a n}，定义{△a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△a n=a n+1﹣a n（n∈N*）（1）若a n=n2﹣n，试判断{△a n}是否是等差数列，并说明理由；（2）若a1=1，△a n﹣a n=2n，求数列{a n}的通项公式；（3）对（b）中的数列{a n}，是否存在等差数列{b n}，使得b1C+b2C+…+b n C=a n，对一切n∈N*都成立，若存在，求出数列{b n}的通项公式，若不存在，请说明理由．21．（20分）对于函数f（x）（x∈D），若存在正常数T，使得对任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，我们称函数f（x）为“T同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T，f（x）=x2都不是“T同比不减函数”；（2）若函数f（x）=kx+sinx是“同比不减函数”，求k的取值范围；（3）是否存在正常数T，使得函数f（x）=x+|x﹣1|﹣|x+1|为“T同比不减函数”；若存在，求T的取值范围；若不存在，请说明理由．2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分1．（4分）若“a＞b”，则“a3＞b3”是真命题（填：真、假）【分析】利用函数f（x）=x3在R是单调增函数判定．【解答】解：函数f（x）=x3在R是单调增函数，∴当a＞b，一定有a3＞b3，故是真命题答案为：真．【点评】本题考查了命题的真假判定，涉及到不等式的性质，属于基础题．2．（4分）已知A=（﹣∞，0]，B=（a，+∞），若A∪B=R，则a的取值范围是a ≤0．．【分析】利用集合的性质直接求解，解题时要注意的是a=0是成立的【解答】解：若A∪B=R，A=（﹣∞，0]，B=（a，+∞），必有a≤0；故答案为：a≤0．【点评】本题考查集合的包含关系的判断，解题的关键是分析出集合A、B的关系．3．（4分）z+2=9+4i（i为虚数单位），则|z|=5．【分析】设z=x+yi（x，y∈R），代入z+2=9+4i，化为：3x﹣yi=9+4i，利用复数相等即可得出．【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R），∵z+2=9+4i，∴x+yi+2（x﹣yi）=9+4i，化为：3x﹣yi=9+4i，∴3x=9，﹣y=4，解得x=3，y=﹣4．∴|z|==5．故答案为：5．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（4分）若△ABC中，a+b=4，∠C=30°，则△ABC面积的最大值是1．【分析】由条件可得△ABC的面积S=ab•sinC，再利用正弦函数的值域、基本不等式求得S的最大值．【解答】解：在△ABC中，∵C=30°，a+b=4，∴△ABC的面积S=ab•sinC=ab•sin30°=ab≤×（）2=×4=1，当且仅当a=b=2时取等号，故答案为：1．【点评】本题主要考查三角形的面积，基本不等式的应用，属于基础题．5．（4分）若函数f（x）=log2的反函数的图象经过点（﹣2，3），则a=2．【分析】由函数f（x）=log2的反函数的图象经过点（﹣2，3），得函数f（x）=log2的图象经过点（3，﹣2），代入计算可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=log2的反函数的图象经过点（﹣2，3），∴函数f（x）=log2的图象经过点（3，﹣2），∴﹣2=log2，∴a=2，故答案为2．【点评】本题考查了反函数，考查学生的计算能力，属于基础题．6．（4分）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是π．【分析】充分利用球的半径OA、球心与截面圆心的连线、OA在截面圆上的射影构成的直角三角形解决即可．【解答】解：设截面的圆心为Q，由题意得：∠OAQ=60°，QA=1，∴S=π•12=π．答案：π．【点评】本题主要考查了球的性质、直线与平面所成的角，还考查了空间想象力．7．（5分）抛掷一枚均匀的骰子（刻有1，2，3，4，5，6）三次，得到的数字依次记作a，b，c，则a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根的概率是．【分析】基本事件总数n=6×6×6=216，由a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根，得a=1，c=b2+1，由此能求出a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根的概率．【解答】解：抛掷一枚均匀的骰子（刻有1，2，3，4，5，6）三次，得到的数字依次记作a，b，c，基本事件总数n=6×6×6=216，∵a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根，∴（a+bi）2﹣2（a+bi）+c=0，即，∴a=1，c=b2+1，∴a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根包含的基本事件为：（1，1，2），（1，2，5），∴a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根的概率是p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．8．（5分）设常数a＞0，（x+）9展开式中x6的系数为4，则（a+a2+…+a n）=．【分析】由=，根据x6的系数为4，求出r=2，从而=4，解得a=，由此能求出（a+a2+…+a n）的值．【解答】解：∵常数a＞0，（x+）9展开式中x6的系数为4，∴=，当时，r=2，∴=4，解得a=，∴a+a2+…+a n===（1﹣），∴（a+a2+…+a n）==．故答案为：．【点评】本题考查数列的前n项和极限的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项式定理、极限性质的合理运用．9．（5分）已知直线l经过点且方向向量为（2，﹣1），则原点O到直线l的距离为1．【分析】通过方向向量求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，通过点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线的方向向量为（2，﹣1），所以直线的斜率为：﹣，直线方程为：x+2y+=0，由点到直线的距离可知：=1；故答案为：1．【点评】本题是基础题，考查直线的方程的求法，得到直线的距离的求法，考查计算能力．10．（5分）若双曲线的一条渐近线为x+2y=0，且双曲线与抛物线y=x2的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为．【分析】求出抛物线的准线方程，得到双曲线的实半轴的长，利用双曲线的渐近线方程，求解即可．【解答】解：抛物线y=x2的准线：y=﹣，双曲线与抛物线y=x2的准线仅有一个公共点，可得双曲线实半轴长为a=，焦点在y轴上．双曲线的一条渐近线为x+2y=0，∴=，可得b=，则此双曲线的标准方程为：．故答案为：．【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）平面直角坐标系中，给出点A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0存在点P，使得|PA|=2|PB|，则实数m的取值范围是m≥或m≤﹣．【分析】根据题意，设出点P（1﹣my，y），代入|PA|=2|PB|，化简得（4﹣m2）y2﹣8y+16=0，由△≥0，求出实数m的取值范围．【解答】解：设P（1﹣my，y），∵|PA|=2|PB|，∴|PA|2=4|PB|2，∴（1﹣my﹣1）2+y2=4（1﹣my﹣4）2+y2，化简得（m2+1）y2+8my+12=0则△=64m2﹣48m2﹣48≥0，解得m≥或m≤﹣，即实数m的取值范围是m≥或m≤﹣．故答案为：m≥或m≤﹣．【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了两点间的距离公式的应用问题，是基础题目．12．（5分）函数y=f（x）是最小正周期为4的偶函数，且在x∈[﹣2，0]时，f （x）=2x+1，若存在x1，x2，…x n满足0≤x1＜x2＜…＜x n，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f﹣f（x n））|=2016，则n+x n的最小值为1513．（x2）﹣f（x1）|+…+|f（x n﹣1【分析】由函数y=f（x）是最小正周期为4的偶函数可知函数的值域为[﹣3，1]，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）=4，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然min后可得n+x n的最小值．【解答】解：∵函数y=f（x）是最小正周期为4的偶函数，且在x∈[﹣2，0]时，f（x）=2x+1，∴函数的值域为[﹣3，1]，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=4，要使n+x n取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，且f（0）=1，f（2）=﹣3，∵0≤x1＜x2＜…＜x m，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n）﹣﹣1f（x n）|=2016，∴n的最小值为，相应的x n最小值为1008，则n+x n的最小值为1513．故答案为：1513．【点评】本题考查函数的图象和性质，考查函数的有界性的应用，考查了分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，属于难题二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．（5分）若与﹣都是非零向量，则“•=•”是“⊥（﹣）”的（）A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】根据向量数量积运算和向量垂直的充要条件，可得答案．【解答】解：“•=•”⇔“•﹣•=0”⇔“•（﹣）=0”⇔“⊥（﹣）”，故“•=•”是“⊥（﹣）”的充要条件，故选：C．【点评】本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0、考查向量的数量积满足分配律．14．（5分）行列式中，元素7的代数余子式的值为（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．12【分析】利用代数余子式的定义和性质求解．【解答】解：∵行列式，∴元素7的代数余子式为：D13=（﹣1）4=2×6﹣5×3=﹣3．故选：B．【点评】本题考查余子式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余子式的性质的合理运用．15．（5分）一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A．5800 B．6000 C．6200 D．6400【分析】由已知能求出8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400，6300]，由此能求出结果．【解答】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时，中位数为=5400，当另外两名员工的工资都大于6500时，中位数为=6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400，6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400．故选：D．【点评】本题考查中位数的求法及判断，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数性质的合理运用．16．（5分）若直线+=1通过点P（cosθ，sinθ），则下列不等式正确的是（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．+≤1 D．+≥1【分析】先把点代入得到bcosθ+asinθ=ab，即可得到（sinθ+φ）=ab，得到≤ab，问题得以判断【解答】解：直线+=1通过点P（cosθ，sinθ），∴bcosθ+asinθ=ab，∴sin（θ+φ）=ab，其中tanφ=，∴≥ab，∴a2+b2≥a2b2，∴+≥1，故选：D．【点评】本题考查了直线和点的位置关系以及三角函数的问题，属于中档题．三、解答题（满分76分）共5题17．（14分）某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为55毫米线段AB和88毫米的线段AC以及圆心为P，半径为PB的一段圆弧BC构成，其中∠BAC=60°．（1）求半径PB的长度；（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）．V柱=S底•h．【分析】（1）在△ABP中，由余弦定理建立方程，即可求半径PB的长度；（2）求出V柱=S底•h，即可求该零件的重量．【解答】解：（1）∵AB=55，AC=88，BP=R，∠BAC=60°．AP=88﹣R，∴在△ABP中，由余弦定理可得：BP2=AB2+AP2﹣2AB•AP•cos∠BAC，可得：R2=552+（88﹣R）2﹣2×55×（88﹣R）×cos60°，∴解得：R=49mm．（2）在△ABP中，AP=88﹣49=39mm，AB=55，BP=49，cos∠BPA==≈0.2347，∴sin∠BPA≈0.972．∴∠BPA=arcsin0.972．V柱=S底•h=（S△ABP+S扇形BPC）•h=（+）•3该零件的重量=（+）•3÷1000×8.9≈82.7．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查面积的计算，属于中档题．18．（14分）如图所示，l1，l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A，B在直线l1上，且位于M点的两侧，C在l2上，AM=BM=NM=CN（1）求证：异面直线AC与BN垂直；（2）若四面体ABCN的体积V ABCN=9，求异面直线l1，l2之间的距离．【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；（2）判断异面直线的距离，利用体积公式求解即可．【解答】解：（1）证明：由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（2）∵AM=BM=NM=CN，MN是它们的公垂线段，就是异面直线l1，l2之间的距离，由中垂线的性质可得AN=BN，四面体ABCN的体积V ABCN=9，可得：V ABCN=9==MN3，∴MN=3．异面直线l1，l2之间的距离为3．【点评】本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．19．（14分）如图所示，椭圆C：+y2=1，左右焦点分别记作F1，F2，过F1，F2分别作直线l1，l2交椭圆AB，CD，且l1∥l2．（1）当直线l1的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时，求证：k1•k2为定值；（2）求四边形ABCD面积的最大值．【分析】（1）由椭圆方程求出焦点坐标，得到直线AB、CD的方程，与椭圆方程联立求得A、D的坐标，求出AD所在直线斜率得答案；（2）由（1）结合弦长公式求得|AB|，再由两平行线间的距离公式求出边AB、CD的距离，代入平行四边形面积公式，利用换元法求得最值．【解答】（1）证明：由椭圆C：+y2=1，得a2=4，b2=1，∴．设k1=k，则AB所在直线方程为y=kx+，CD所在直线方程为y=kx﹣，联立，得（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0．解得，不妨取，则同理求得，．则==，则k1•k2=；（2）解：由（1）知，，|AB|===．AB、CD的距离d=，∴=．令1+4k2=t（t≥1），则，∴当t=3时，S max=4．【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了换元法求函数的最值，考查计算能力，是中档题．20．（14分）数列{a n}，定义{△a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△a n=a n+1﹣a n（n∈N*）（1）若a n=n2﹣n，试判断{△a n}是否是等差数列，并说明理由；（2）若a1=1，△a n﹣a n=2n，求数列{a n}的通项公式；（3）对（b）中的数列{a n}，是否存在等差数列{b n}，使得b1C+b2C+…+b n C=a n，对一切n∈N*都成立，若存在，求出数列{b n}的通项公式，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据数列{a n}的通项公式a n=n2﹣n，结合新定义，可判定{△a n}是首项为4，公差为2的等差数列；（2）由△a n﹣a n=2n入手能够求出数列{a n}的通项公式；（3）结合组合数的性质：1C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n=n（C n﹣10+C n﹣11+C n﹣12+…+C n﹣1n﹣1）=n•2n﹣1进行求解．【解答】解：（1）若a n=n2﹣n，试判断{△a n}是等差数列，理由如下：∵a n=n2﹣n，∴△a n=a n+1﹣a n=（n+1）2﹣（n+1）﹣（n2﹣n）=2n，∵△a n﹣△a n=2，且△a1=4，+1∴{△a n}是首项为4，公差为2的等差数列；（2）∵△a n﹣a n=2n．△a n=a n+1﹣a n，﹣2a n=2n，∴a n+1∴﹣=，（6分）∴数列{}构成以为首项，为公差的等差数列，即=⇒a n=n•2n﹣1；（3）b1C n1+b2C n2+…+b n C n n=a n，即b1C n1+b2C n2+…+b n C n n=n•2n﹣1，∵1C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n=n（C n﹣10+C n﹣11+C n﹣12+…+C n﹣1n﹣1）=n•2n﹣1，∴存在等差数列{b n}，b n=n，使得b1C n1+b2C n2+…+b n C n n=a n对一切自然n∈N都成立．【点评】第（1）题考查等差数列的证明，解题时要注意等差数列性质的合理运用；第（2）题考查数列通项公式的求解方法，解题时要注意构造法的合理运用；第（3）题考查数列前n项和的证明，解题时要注意裂项求和法的合理运用．21．（20分）对于函数f（x）（x∈D），若存在正常数T，使得对任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，我们称函数f（x）为“T同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T，f（x）=x2都不是“T同比不减函数”；（2）若函数f（x）=kx+sinx是“同比不减函数”，求k的取值范围；（3）是否存在正常数T，使得函数f（x）=x+|x﹣1|﹣|x+1|为“T同比不减函数”；若存在，求T的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据T同比不减函数的定义即可证明，（2）根据T同比不减函数的定义，分离参数得到k≥sin（x﹣），根据三角形函数的性质即可求出k的范围，（3）画出函数f（x）的图象，根据图象的平移即可求出T的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=x2，∴f（x+T）﹣f（x）=（x+T）2﹣x2=2xT+T2=T（2x+T），由于2x+T与0的小无法比较，∴f（x+T）≥f（x）不一定成立，∴对任意正常数T，f（x）=x2都不是“T同比不减函数，（2）∵函数f（x）=kx+sinx是“同比不减函数，∴f（x+）﹣f（x）=k（x+）+sin（x+）﹣kx﹣sinx=+cosx﹣sinx=﹣sin（x﹣）≥0恒成立，∴k≥sin（x﹣），∵﹣1≤sin（x﹣）≤1，∴k≥，（3）f（x）=x+|x﹣1|﹣|x+1|图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移4个单位，即对任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，∴T≥4．【点评】本题考查了新定义的理解和应用，考查了学生的分析问题，应用问题，解决问题的能力，属于中档题．。
上海市杨浦区控江中学2017-2018学年高考数学模拟试卷(文科)(10月份) Word版含解析
2017-2018学年上海市杨浦区控江中学高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一.填空题（每小题4分，共56分）.1．集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x2＜1}，则A∪B等于．2．函数y=的定义域是．3．已知函数f（x）=，则f﹣1（1）=．4．若复数+b（b∈R）所对应的点在直线x+y=1上，则b的值为．5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．6．已知平面上四点O、A、B、C，若=+，则=．7．若对任意正实数a，不等式x≤4+a恒成立，则实数x的最大值为．8．如图，水平放置的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的主视图是一边长为2的正方形，则该三棱柱的左视图的面积为．9．对于抛物线C，设直线l过C的焦点F，且l与C的对称轴的夹角为．若l被C所截得的弦长为4，则抛物线C的焦点到顶点的距离为．10．已知实数x，y满足，则目标函数u=x+2y的取值范围是．11．函数f（x）=（2x﹣1）+sin（2x﹣1）的图象的一个对称中心的坐标是．（只需要写出一个对称中心的坐标）12．某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是等可能的，则这3个专业都有学生选择的概率是．13．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足PF2=F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为．14．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l2，l3在l1的同侧．l1与l2的距离是d，l2与l3的距离是2d，边长为1的正三角形ABC的三个顶点分别在l1，l2，l3上，则d=．二.选择题（每小题5分，共20分）.15．下列函数中，与函数y=x3的值域相同的函数为（）A．y=（）x+1B．y=ln（x+1）C．y=D．y=x+16．角α终边上有一点（﹣1，2），则下列各点中在角﹣α的终边上的点是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）17．一无穷等比数列{a n}各项的和为，第二项为，则该数列的公比为（）A．B．C． D．或18．正四面体ABCD中，AB，BC，CD，DA的中点依次记为E，F，G，H．直线EG与FH的关系是（）A．相交且垂直B．异面且垂直C．相交且不垂直 D．异面且不垂直三.解答题（五题分别为12，14，14，16，18分，共74分）.19．已知复数﹣1+3i、cosα+isinα（0＜α＜，i是虚数单位）在复平面上对应的点依次为A、B，点O是坐标原点．（1）若OA⊥OB，求tanα的值；（2）若B点的横坐标为，求S△AOB．20．某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位为米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，l=2r+1（l为圆柱的高，r为球的半径，l≥2）．假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元．设该储油罐的建造费用为y千元．（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）若预算为8万元，求所能建造的储油罐中r 的最大值（精确到0.1），并求此时储油罐的体积V （单位：立方米，精确到0.1立方米）．21．已知f n （x ）=x n +x n ﹣1+…+x ﹣1，x ∈（0，+∞）．n 是不小于2的固定正整数． （1）解不等式f 2（x ）≤2x ；（2）试分别证明：函数f 3（x ）在（0，1）内有一个零点，且在（0，1）内仅有一个零点．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点C （0，c ）任作一直线，与抛物线y=x 2相交于A ，B 两点，一条垂直于x 轴的直线分别与线段AB 和直线l ：y=﹣c 交于点P ，Q ．（1）若•=2，求c 的值；（2）若c=1，P 为线段AB 的中点，求证：直线QA 与该抛物线有且仅有一个公共点． （3）若c=1，直线QA 的斜率存在，且与该抛物线有且仅有一个公共点，试问P 是否一定为线段AB 的中点？说明理由．23．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n =|a n ﹣1﹣a n ﹣2|，n=3，4，5，…，则称{a n }为“D ﹣数列”．（1）举出一个前五项均不为零的“D ﹣数列”（只要求依次写出该数列的前五项）； （2）若“D ﹣数列”{a n }中，a 1=3，a 2=0，数列{b n }满足b n =a n +a n+1+a n+2，n=1，2，3，…，写出数列{a n }的通项公式，并分别判断当n →∞时，a n 与b n 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值（若不存在不需要交代理由）；（3）证明：设“D ﹣数列”{a n }中的最大项为M ，证明：a 1=M 或a 2=M ．2017-2018学年上海市杨浦区控江中学高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一.填空题（每小题4分，共56分）.1．集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x2＜1}，则A∪B等于（﹣1，2）．【考点】并集及其运算．【分析】化简集合A、B，求出A∪B即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}=（0，2）；B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1）；所以A∪B=（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．2．函数y=的定义域是（﹣∞，0] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求解指数不等式得答案．【解答】解：由，得，∴2x≤0，即x≤0．∴函数y=的定义域是：（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．3．已知函数f（x）=，则f﹣1（1）=1．【考点】反函数；二阶矩阵．【分析】本题由矩阵得到f（x）的表达式，再由反函数的知识算出．【解答】解：由f（x）==2x﹣1，由反函数的性质知2x﹣1=1，解得x=1所以f﹣1（1）=1．故答案为：1．4．若复数+b（b∈R）所对应的点在直线x+y=1上，则b的值为0．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数+b=+b=+b=b+i所对应的点（b，1）在直线x+y=1上，∴b+1=1，解得b=0．故答案为：0．5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【考点】等比数列的性质．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为6．已知平面上四点O、A、B、C，若=+，则=．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】变形已知式子可得，即，问题得以解决．【解答】解：∵=+，∴，∴，∴∴=．故答案为：．7．若对任意正实数a，不等式x≤4+a恒成立，则实数x的最大值为4．【考点】函数恒成立问题．【分析】看成关于a的不等式：x≤4+a，只需求出右式的最小值即可，显然最小值大于4，可得答案．【解答】解：看成关于a的不等式：x≤4+a，a+4的最小值大于4，∴x≤4，故答案为4．8．如图，水平放置的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的主视图是一边长为2的正方形，则该三棱柱的左视图的面积为2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由直观图判断其左视图为矩形，根据正视图可得三棱柱的底面为边长为2的正三角形，由此可得棱柱的侧棱长及底面三角形的高，代入矩形的面积公式计算．【解答】解：由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的主视图是一边长为2的正方形得：三棱柱的底面为边长为2的正三角形，正三棱柱的左视图为矩形，矩形的高为棱柱的侧棱长，∴高为2，底边长为底面三角形的高，∴底边长为，∴左视图的面积S=；故答案为：2．9．对于抛物线C，设直线l过C的焦点F，且l与C的对称轴的夹角为．若l被C所截得的弦长为4，则抛物线C的焦点到顶点的距离为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设抛物线方程为y2=2px（p＞0），得出直线l的方程，联立方程组得出根与系数的关系，利用弦长公式列方程解出p．则焦点到顶点的距离为．【解答】解：不妨设抛物线方程为y2=2px（p＞0），则抛物线的焦点F（，0），则直线l 的方程为y=x﹣．联立方程组，消元得y2﹣2py﹣p2=0．∴y1+y2=2p，y1y2=﹣p2．∴直线l被抛物线解得弦长为=4．∴=4，解得p=1．∴F（，0）．即抛物线C的焦点到顶点的距离为．故答案为：．10．已知实数x，y满足，则目标函数u=x+2y的取值范围是[2，4] ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用u的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由u=x+2y得y=x+，平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点A（2，1）时，直线y=x+的截距最大，此时z最大，为u=2+2=4，当直线y=x+经过点B（2，0）时，直线y=x+的截距最小，此时z最小，为u=2，故2≤u≤4故答案为：[2，4]；11．函数f（x）=（2x﹣1）+sin（2x﹣1）的图象的一个对称中心的坐标是（，0）．（只需要写出一个对称中心的坐标）【考点】正弦函数的图象．【分析】令2x﹣1=t，将原函数转化为g（t）=t+sint，根据g（t）的奇偶性得出对称中心．【解答】解：令2x﹣1=t，则f（x）=g（t）=t+sint，∴g（﹣t）=﹣t+sin（﹣t）=﹣t﹣sint=﹣g（t），∴g（t）是奇函数，g（t）关于（0，0）对称，令t=2x﹣1=0，解得x=．∴f（x）的一个对称中心为（，0）．故答案为：（，0）．12．某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是等可能的，则这3个专业都有学生选择的概率是．【考点】等可能事件的概率．【分析】设“这3个专业都有学生选择”为事件A，首先计算4名学生选择3个专业，可能出现的结果数目，注意是分步问题，再由排列、组合计算这3个专业都有学生选择的可能出现的结果数，结合等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：设“这3个专业都有学生选择”为事件A，由题知，4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，可能出现的结果共有34=81种结果，且这些结果出现的可能性相等，3个专业都有学生选择的可能出现的结果数为C42A33=36，则事件A的概率为，故答案为：．13．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足PF2=F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为4x±3y=0．【考点】双曲线的简单性质．【分析】过F2点作F2Q⊥PF1于Q点，得△PF1F2中，PF2=F1F2=2c，高F2Q=2a，PQ=PF1=c+a，利用勾股定理列式，解之得a与c的比值，从而得到的值，得到该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵PF2=F1F2=2c，∴根据双曲线的定义，得PF1=PF2+2a=2c+2a过F2点作F2Q⊥PF1于Q点，则F2Q=2a，等腰△PF1F2中，PQ=PF1=c+a，∴=PQ2+，即（2c）2=（c+a）2+（2a）2，解之得a=c，可得b== c∴=，得该双曲线的渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故答案为：4x±3y=014．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l2，l3在l1的同侧．l1与l2的距离是d，l2与l3的距离是2d，边长为1的正三角形ABC的三个顶点分别在l1，l2，l3上，则d=．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论．【解答】解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G．由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2d．在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=d，AG=2d，DG=4d．∴BD= d在Rt△ABD中，AB=d=1，∴d=．故答案为：．二.选择题（每小题5分，共20分）.15．下列函数中，与函数y=x3的值域相同的函数为（）A．y=（）x+1B．y=ln（x+1）C．y=D．y=x+【考点】函数的值域．【分析】知道已知函数的值域是R，再观察四个选项的y的取值情况，从而找出正确答案．【解答】解：∵函数y=x3的值域为实数集R，又选项A中y＞0，选项B中y取全体实数，选项C中的y≠1，选项D中y≠0，故选B．16．角α终边上有一点（﹣1，2），则下列各点中在角﹣α的终边上的点是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据诱导公式和点的对称即可求出．【解答】解：角α终边与角﹣α的终边关于x轴对称，∴（﹣1，2）关于x轴对称的点为（﹣1，﹣2），故选：C17．一无穷等比数列{a n}各项的和为，第二项为，则该数列的公比为（）A．B．C． D．或【考点】等比数列的性质．【分析】设无穷等比数列{a n}的公比为q，由题意可得，联立消去a1解方程可得．【解答】解：设无穷等比数列{a n}的公比为q，则，联立消去a1可得，整理可得9q2﹣9q+2=0，分解因式可得（3q﹣2）（3q﹣1）=0，解得q=或q=故选：D18．正四面体ABCD中，AB，BC，CD，DA的中点依次记为E，F，G，H．直线EG与FH的关系是（）A．相交且垂直B．异面且垂直C．相交且不垂直 D．异面且不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据中位线定理即正四面体的性质得出四边形EFGH是菱形，从而得出结论．【解答】解：∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．∴EF，HG AC，EH BD，FG BD，又∵AC=BD，∴四边形EFGH是菱形，∴EG⊥FH，EG与FH相交．故选：A．三.解答题（五题分别为12，14，14，16，18分，共74分）.19．已知复数﹣1+3i、cosα+isinα（0＜α＜，i是虚数单位）在复平面上对应的点依次为A、B，点O是坐标原点．（1）若OA⊥OB，求tanα的值；（2）若B点的横坐标为，求S△AOB．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．（1）由已知得到A，B的坐标，进一步求得的坐标，由OA⊥OB得，【分析】代入坐标后整理可得tanα的值；（2）由已知求出|OA|，|OB|，由两角差的正弦求得sin∠AOB，代入三角形的面积公式得答案．【解答】解：（1）由题可知：A（﹣1，3），B（cosα，sinα），∴，由OA⊥OB，得，∴﹣cosα+3sinα=0，∴；（2）由（1），记∠AOx=β，，∴，，∵|OB|=1，，得，sin∠AOB=sin（β﹣α）=．∴S△AOB==．20．某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位为米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，l=2r+1（l为圆柱的高，r为球的半径，l≥2）．假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元．设该储油罐的建造费用为y千元．（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）若预算为8万元，求所能建造的储油罐中r的最大值（精确到0.1），并求此时储油罐的体积V（单位：立方米，精确到0.1立方米）．【考点】组合几何体的面积、体积问题．【分析】（1）求出半球与圆柱的面积，得出y关于r的函数；（2）令y≤80，解出r的最大值，从而得出体积V的最大值．【解答】解：（1）半球的表面积，圆柱的表面积S2=2πr•l．于是．定义域为．（2）16πr2+2πr≤80，即，解得．，经计算得V≈22.7（立方米）．故r的最大值为1.2（米），此时储油罐的体积约为22.7立方米．21．已知f n（x）=x n+x n﹣1+…+x﹣1，x∈（0，+∞）．n是不小于2的固定正整数．（1）解不等式f2（x）≤2x；（2）试分别证明：函数f3（x）在（0，1）内有一个零点，且在（0，1）内仅有一个零点．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）根据函数的表达式求出当n=2时，f2（x）的表达式，即可解不等式f2（x）≤2x；（2）根据函数零点的判定条件进行证明即可．【解答】解：（1）n=2时，，﹣﹣由f2（x）≤2x得x2+x﹣1≤2x，即x2﹣x﹣1≤0．﹣得≤x≤，﹣﹣故不等式的解集为[，]．﹣证明：（2）．﹣，f3（1）=2＞0．﹣（因f连续）故f（x）在上有零点．﹣又f在上增，故零点不会超过一个．﹣22．如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于A，B两点，一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l：y=﹣c交于点P，Q．（1）若•=2，求c的值；（2）若c=1，P为线段AB的中点，求证：直线QA与该抛物线有且仅有一个公共点．（3）若c=1，直线QA的斜率存在，且与该抛物线有且仅有一个公共点，试问P是否一定为线段AB的中点？说明理由．【考点】抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算．【分析】（1）设出直线AB：y=kx+c，代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解方程可得c的值；（2）运用中点坐标公式可得Q的坐标，运用两点的斜率公式，可得QA的斜率，求得抛物线对应函数的导数，可得切线的斜率，即可得证；（3）设A（t，t2），这里x A=t≠0，由（2）知过A的与y=x2有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx﹣t2．求得Q的横坐标，P的横坐标，求得AC的方程，联立抛物线的方程，求得B的横坐标，运用中点坐标公式，即可判断P为线段AB的中点．【解答】解：（1）设直线AB：y=kx+c，与y=x2联立，得x2﹣kx﹣c=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=﹣c，从而y1y2=x12x22=c2，由•=2，可得c2﹣c=2得c=2或﹣1（舍去），得c=2；（2）证明：由（1）可得，故直线PQ：x=，可得Q（，﹣1）．设，k QA==，由（1）可得x1x2=﹣1，即有x2=﹣，可得k QA==2x1，由y=x2的导数为y′=2x，可得过A的切线的斜率为2x1，故直线QA与该抛物线有且仅有一个公共点；（3）设A（t，t2），这里x A=t≠0，由（2）知过A的与y=x2有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx﹣t2．与y=﹣1相交，得x Q=，故x P=，=（t，t2﹣1），所以直线AC：y=（t﹣）x+1，与y=x2联立，得x2﹣（t﹣）x﹣1=0，即（x﹣t）（x+）=0，故x B=﹣．这样，即P是AB的中点．23．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n =|a n ﹣1﹣a n ﹣2|，n=3，4，5，…，则称{a n }为“D ﹣数列”．（1）举出一个前五项均不为零的“D ﹣数列”（只要求依次写出该数列的前五项）；（2）若“D ﹣数列”{a n }中，a 1=3，a 2=0，数列{b n }满足b n =a n +a n+1+a n+2，n=1，2，3，…，写出数列{a n }的通项公式，并分别判断当n →∞时，a n 与b n 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值（若不存在不需要交代理由）；（3）证明：设“D ﹣数列”{a n }中的最大项为M ，证明：a 1=M 或a 2=M ． 【考点】数列的极限． 【分析】（1）由新定义，比如如10，9，1，8，7，1； （2）{a n }的极限不存在，{b n }的极限存在．运用分段形式写出a n 与b n 的通项公式，即可得到结论；（3）运用反证法证明．假设a 1≠M 且a 2≠M ，设a 1=k ，a 2=l ，讨论k ，l 的关系．运用推理论证得到矛盾，即可证明． 【解答】解：（1）如10，9，1，8，7等等． （2）{a n }的极限不存在，{b n }的极限存在． 事实上，因为|3﹣0|=3，|0﹣3|=3，|3﹣3|=0，当n ∈N *时，a n =，k ∈N *时，因此当n ∈N *时，b n =6． 所以b n =6．（3）证明：假设a 1≠M 且a 2≠M ， 设a 1=k ，a 2=l ，若k=l ，由a n =|a n ﹣1﹣a n ﹣2|，可得{a n }中的最大项为k ，（k ≠m ）， 这与{a n }中的最大项为M 矛盾；若k ≠l ，可设k ＞l ，由a n =|a n ﹣1﹣a n ﹣2|， 可得前几项为k ，l ，k ﹣l ，k ﹣2l （或2l ﹣k ），…，由k ﹣2l ＜k ，2l ﹣k ＜k ，可得k ﹣3l ＜k ，3l ﹣2k ＜k ，…， 则{a n }中的最大项为k ，（k ≠m ）， 这与{a n }中的最大项为M 矛盾．综上可得假设不成立．则a 1=M 或a 2=M ．2017-2018学年9月3日。
2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷
2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分1. 若“”，则“”是________命题（填：真、假）【答案】真【考点】命题的真假判断与应用不等式的概念与应用【解析】利用函数在是单调增函数判定．【解答】解：函数在是单调增函数，∴当，一定有，故是真命题答案为：真．2. 已知,，若，则的取值范围是________．【答案】．【考点】并集及其运算【解析】利用集合的性质直接求解，解题时要注意的是是成立的【解答】解：若，,，必有；故答案为：．3. （为虚数单位），则________．【答案】【考点】复数的模【解析】设，代入，化为：，利用复数相等即可得出．【解答】解：设，∵，∴，化为：，∴，，解得，．∴．故答案为：．4. 若中，，，则面积的最大值是________．【答案】【考点】正弦定理【解析】由条件可得的面积，再利用正弦函数的值域、基本不等式求得的最大值．【解答】解：在中，∵，，∴的面积，当且仅当时取等号，故答案为：．5. 若函数的反函数的图象经过点，则________．【答案】【考点】反函数【解析】由函数的反函数的图象经过点，得函数的图象经过点，代入计算可得结论．【解答】解：∵函数的反函数的图象经过点，∴函数的图象经过点，∴，∴，故答案为．6. 过半径为的球表面上一点作球的截面，若与该截面所成的角是，则该截面的面积是________．【答案】【考点】直线与平面所成的角球的性质【解析】充分利用球的半径、球心与截面圆心的连线、在截面圆上的射影构成的直角三角形解决即可．【解答】设截面的圆心为，由题意得：，，∴．7. 抛掷一枚均匀的骰子（刻有，，，，，）三次，得到的数字依次记作，，，则（为虚数单位）是方程的根的概率是________．【答案】【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数，由（为虚数单位）是方程的根，得，，由此能求出（为虚数单位）是方程的根的概率．【解答】解：抛掷一枚均匀的骰子（刻有，，，，，）三次，得到的数字依次记作，，，基本事件总数，∵（为虚数单位）是方程的根，∴，即，∴，，∴（为虚数单位）是方程的根包含的基本事件为：，，∴（为虚数单位）是方程的根的概率是．故答案为：．8. 设常数，展开式中的系数为，则________．【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】由，根据的系数为，求出，从而，解得，由此能求出的值．【解答】解：∵常数，展开式中的系数为，∴，当时，，∴，解得，∴，∴．故答案为：．9. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为________．【答案】【考点】点到直线的距离公式【解析】通过方向向量求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，通过点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线的方向向量为，所以直线的斜率为：，直线方程为：，由点到直线的距离可知：；故答案为：．10. 若双曲线的一条渐近线为，且双曲线与抛物线的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为________．【答案】【考点】直线与抛物线的位置关系抛物线的求解直线与双曲线的位置关系【解析】求出抛物线的准线方程，得到双曲线的实半轴的长，利用双曲线的渐近线方程，求解即可．【解答】解：抛物线的准线：，双曲线与抛物线的准线仅有一个公共点，可得双曲线实半轴长为，焦点在轴上．双曲线的一条渐近线为，∴，可得，则此双曲线的标准方程为：．故答案为：．11. 平面直角坐标系中，给出点，，若直线存在点，使得，则实数的取值范围是________．【答案】或【考点】两点间的距离公式【解析】根据题意，设出点，代入，化简得，由，求出实数的取值范围．【解答】解：设，∵，∴，∴，化简得，则，解得或，即实数的取值范围是或．故答案为：或．12. 已知偶函数满足，且在时，，若存在，，…满足，且（，则最小值为________．【答案】【考点】函数的最值及其几何意义【解析】由函数是最小正周期为的偶函数可知函数的值域为，对任意，,…,，都有，要使取得最小值，尽可能多让,…,取得最高点，然后可得的最小值．【解答】解：∵偶函数满足，∴函数是周期为4的偶函数，且当时，，∴函数的值域为，对任意，,…,，都有，若，注意到在上是单调递减函数，，，则，∴不妨设当时，，要使取得最小值，则尽可能多让,…,取得最高点与最低点，且，，，∵，且，=2018，根据，且，相应的最小值为．故答案为：．二、选择题（本大题共4题，满分20分）若与都是非零向量，则“”是“”的（）A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C【考点】平面向量数量积的运算必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据向量数量积运算和向量垂直的充要条件，可得答案．【解答】解：“”“”“”“”，故“”是“”的充要条件，故选：行列式中，元素的代数余子式的值为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】二阶行列式的定义【解析】利用代数余子式的定义和性质求解．【解答】解：∵行列式，∴元素的代数余子式为：．故选：．一个公司有名员工，其中名员工的月工资分别为，，，，，，另两名员工数据不清楚，那么位员工月工资的中位数不可能是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】众数、中位数、平均数【解析】由已知能求出位员工月工资的中位数的取值区间为，由此能求出结果．【解答】∵一个公司有名员工，其中名员工的月工资分别为，，，，，，∴当另外两名员工的工资都小于时，中位数为，当另外两名员工的工资都大于时，中位数为，∴位员工月工资的中位数的取值区间为，∴位员工月工资的中位数不可能是若直线通过点，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【考点】不等式比较两数大小【解析】先把点代入得到，即可得到，得到，问题得以判断【解答】解：直线通过点，∴，∴，其中，∴，∴，∴，故选：三、解答题（满分76分）共5题某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为毫米线段和毫米的线段以及圆心为，半径为的一段圆弧构成，其中．（1）求半径的长度；（2）现知该零件的厚度为毫米，试求该零件的重量（每个立方厘米铜重克，按四舍五入精确到克）．柱底．【答案】解：（1）∵，，，．，∴在中，由余弦定理可得：，可得：，∴解得：．（2）在中，，，，，∴．∴．柱底扇形该零件的重量．【考点】弧长公式【解析】（1）在中，由余弦定理建立方程，即可求半径的长度；（2）求出柱底，即可求该零件的重．量【解答】解：（1）∵，，，．，∴在中，由余弦定理可得：，可得：，∴解得：．（2）在中，，，，，∴．∴．柱底扇形该零件的重量．如图所示，，是互相垂直的异面直线，是它们的公垂线段，点，在直线上，且位于点的两侧，在上，（1）求证：异面直线与垂直；（2）若四面体的体积，求异面直线，之间的距离．【答案】解：（1）证明：由已知，，，可得平面．由已知，，可知且．又为在平面内的射影．∴（2）∵，是它们的公垂线段，就是异面直线，之间的距离，由中垂线的性质可得，四面体的体积，可得：，∴．异面直线，之间的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算【解析】（1）欲证，可先证面，根据线面垂直的判定定理只需证，即可；（2）判断异面直线的距离，利用体积公式求解即可．【解答】解：（1）证明：由已知，，，可得平面．由已知，，可知且．又为在平面内的射影．∴（2）∵，是它们的公垂线段，就是异面直线，之间的距离，由中垂线的性质可得，四面体的体积，可得：，∴．异面直线，之间的距离为．如图所示，椭圆，左右焦点分别记作，，过，分别作直线，交椭圆，，且．（1）当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值；（2）求四边形面积的最大值．【答案】（1）证明：由椭圆，得，，∴．设，则所在直线方程为，所在直线方程为，联立，得．解得，不妨取，则同理求得，．则，则；（2）解：由（1）知，，．、的距离，∴．四边形令，则，∴当时，．【考点】直线与椭圆的位置关系【解析】（1）由椭圆方程求出焦点坐标，得到直线、的方程，与椭圆方程联立求得、的坐标，求出所在直线斜率得答案；（2）由（1）结合弦长公式求得，再由两平行线间的距离公式求出边、的距离，代入平行四边形面积公式，利用换元法求得最值．【解答】（1）证明：由椭圆，得，，∴．设，则所在直线方程为，所在直线方程为，联立，得．解得，不妨取，则同理求得，．则，则；（2）解：由（1）知，，．、的距离，∴．四边形令，则，∴当时，．数列，定义为数列的一阶差分数列，其中（1）若，试判断是否是等差数列，并说明理由；（2）若，，求数列的通项公式；（3）对中的数列，是否存在等差数列，使得，对一切都成立，若存在，求出数列的通项公式，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）若，试判断是等差数列，理由如下：∵，∴，∵，且，∴是首项为，公差为的等差数列；（2）∵．，∴，∴，∴数列构成以为首项，为公差的等差数列，即；（3），即，∵，∴存在等差数列，，使得对一切自然都成立．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）根据数列的通项公式，结合新定义，可判定是首项为，公差为的等差数列；（2）由入手能够求出数列的通项公式；（3）结合组合数的性质：进行求解．【解答】解：（1）若，试判断是等差数列，理由如下：∵，∴，∵，且，∴是首项为，公差为的等差数列；（2）∵．，∴，∴，∴数列构成以为首项，为公差的等差数列，即；（3），即，∵，∴存在等差数列，，使得对一切自然都成立．对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”；若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵，∴，由于与的小无法比较，∴不一定成立，∴对任意正常数，都不是“同比不减函数，（2）∵函数是“同比不减函数，∴恒成立，∴，∵，∴，（3）图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移个单位，即对任意的，都有成立，∴．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）根据同比不减函数的定义即可证明，（2）根据同比不减函数的定义，分离参数得到，根据三角形函数的性质即可求出的范围，（3）画出函数的图象，根据图象的平移即可求出的范围．【解答】解：（1）∵，∴，由于与的小无法比较，∴不一定成立，∴对任意正常数，都不是“同比不减函数，（2）∵函数是“同比不减函数，∴恒成立，∴，∵，∴，（3）图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移个单位，即对任意的，都有成立，∴．。
2017年上海市杨浦区中考数学三模试卷(解析版)
2017年上海市杨浦区中考数学三模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列等式成立的是（）A．|a+b|=a+b B．|a+b|=a﹣b C．|a+1|=a+1 D．|b+1|=b+12．下列各式中，当m为有理数时总有意义的是（）A．（﹣2）m B．（）m C．m﹣2 D．m3．如果a＜b，那么下列不等式中一定成立的是（）A．a2＜ab B．ab＜b2C．a2＜b2D．a﹣2b＜﹣b4．将某班女生的身高分成三组，情况如表所示，则表中a的值是（）A．2 B．4 C．6 D．85．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．正六边形B．正五边形C．平行四边形D．正三角形6．在△ABC中，=，=，那么等于（）A． +B．﹣C．﹣+D．﹣﹣二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．用代数式表示“a的相反数与b的倒数的和的平方”：．8．化简：=．9．如果关于x二次三项式x2﹣6x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是．10．方程5x4=80的解是．11．小李家离某书店6千米，他从家中出发步行到该书店，返回时由于步行速度比去时每小时慢了1千米，结果返回时多用了半小时．如果设小李去书店时的速度为每小时x千米，那么列出的方程是．12．若一次函数y=（1﹣2k）x+k的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是．13．从一副扑克牌中取出的两组牌，一组为黑桃1、2、3，另一组为方块1、2、3，分别随机地从这两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和是合数的概率是．14．某区从近期卖出的不同面积的商品房中随机抽取1000套进行统计，并根据结果绘出如图所示的统计图．从中可知卖出的110m2～130 m2的商品房套．15．若圆的半径是10cm，则圆心角为40°的扇形的面积是cm2．16．在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，点F在边BC 上，AF与DE相交于点G，如果∠AFB=110°，那么∠CGF的度数是．17．如图，将梯形ABCD沿直线AC翻折，点B落在点E处，联结ED，如果∠B=60°，∠ACB=40°，ED∥AB，那么∠AED的度数为．18．如果正方形ABCD的边长为1，圆A与以CD为半径的圆C相交，那么圆A的半径R的取值范围是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．先化简，再求值：，其中x=6tan30°﹣2．20．解方程组：．21．已知抛物线y=ax2﹣2x+c的对称轴为直线x=﹣1，顶点为A，与y轴正半轴交点为B，且△ABO的面积为1．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在x轴上，且PA=PB，求点P的坐标．22．如图，甲船在港口P的南偏西60°方向，距港口86海里的A处，沿AP方向以每小时15海里的速度匀速行驶向港口P，乙船从港口P出发，沿南偏东45°方向匀速行驶驶离岗口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向，求乙船的航行速度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）23．已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M．（1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；（2）如图2，当AF∥ED，求证：AM2=AB•BM．24．已知：在平面直角坐标系中，直线y=﹣x与双曲线y=（k≠0）的一个交点为P（，m）．（1）求k的值；（2）将直线y=﹣x向上平移c（c＞0）个单位后，与x轴、y轴分别交于点A，点B，与双曲线y=（k≠0）在x轴上方的一支交于点Q，且BQ=2AB，求c的值；（3）在（2）的条件下，将线段QO绕着点Q逆时针旋转90°，设点O落在点C 处，且直线QC与y轴交于点D，求BD：AC的值．25．已知：线段AB⊥BM，垂足为B，点O和点A在直线BM的同侧，且tan∠OBM=2，AB=5，设以O为圆心，BO为半径的圆O与直线BM的另一个交点为C，直线AO与直线BM的交点为D，圆O为直线AD的交点为E．（1）如图1，当点D在BC的延长线上时，设BC=x，CD=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．（2）在（1）的条件下，当BC=CE时，求BC的长；（3）当△ABO是以AO为腰的等腰三角形时，求∠ADB的正切值．2017年上海市杨浦区中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列等式成立的是（）A．|a+b|=a+b B．|a+b|=a﹣b C．|a+1|=a+1 D．|b+1|=b+1【考点】29：实数与数轴．【分析】根据绝对值的性质，可得答案．【解答】解：A、|a+b|=|b|﹣|a|，故A不符合题意；B、|a+b|=|b|﹣|a|，故B不符合题意；C、|a+1|=a+1，故C符合题意；D、|b+1|=|b|﹣1，故D不符合题意；故选：C．2．下列各式中，当m为有理数时总有意义的是（）A．（﹣2）m B．（）m C．m﹣2 D．m【考点】2F：分数指数幂；1E：有理数的乘方；6F：负整数指数幂．【分析】根据分数指数幂、有理数乘方，负整数指数幂即可求出答案．【解答】解：（A）当m=时，此时=，此时无意义，故A不选；（C）当m=0时，此时0﹣2无意义，故C不选；（D）当m为负数时，此时=无意义，故D不选；故选（B）3．如果a＜b，那么下列不等式中一定成立的是（）A．a2＜ab B．ab＜b2C．a2＜b2D．a﹣2b＜﹣b【考点】C2：不等式的性质．【分析】根据不等式的性质进行选择即可．【解答】解：∵a＜b，∴a﹣2b＜b﹣2b，即a﹣2b＜﹣b，故选D．4．将某班女生的身高分成三组，情况如表所示，则表中a的值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】V6：频数与频率．【分析】首先根据各小组的频率之和等于1得出第一组与第二组的频率和，然后求出数据总数，从而求出a的值．【解答】解：∵1﹣20%=80%，∴（6+10）÷80%=20，∴20×20%=4．即a=4；故选B．5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．正六边形B．正五边形C．平行四边形D．正三角形【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．6．在△ABC中，=，=，那么等于（）A． +B．﹣C．﹣+D．﹣﹣【考点】LM：*平面向量．【分析】由三角形法则与相反向量的知识，可得=﹣=﹣（+），又由在△ABC中，=，=，即可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，=，=，∴=﹣=﹣（+）=﹣（+）=﹣﹣，故选：D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．用代数式表示“a的相反数与b的倒数的和的平方”：．【考点】32：列代数式．【分析】先表示出a的相反数与b的倒数的和，再平方即可．【解答】解：∵a的相反数与b的倒数的和为﹣a+，∴a的相反数与b的倒数的和的平方为（﹣a+）2．故答案为：（﹣a+）2．8．化简：=x．【考点】73：二次根式的性质与化简．【分析】根据二次根式的性质（当x≥0时，=x）求出即可．【解答】解：=x，故答案为：x．9．如果关于x二次三项式x2﹣6x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是m＞9．【考点】58：实数范围内分解因式．【分析】由题意知，二次三项式在实数范围内不能分解因式，所以方程x2﹣6x+m=0无解，即△＜0，代入解答出即可．【解答】解：根据题意得，二次三项式在实数范围内不能分解因式，∴方程x2﹣6x+m=0无解，即△＜0．∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4m=36﹣4m＜0，解得，m＞9．故答案为m＞9．10．方程5x4=80的解是±2．【考点】AF：高次方程．【分析】先方程两边都除以5，再开方即可．【解答】解：5x4=80，x4=16，x==±2，故答案为：x=±211．小李家离某书店6千米，他从家中出发步行到该书店，返回时由于步行速度比去时每小时慢了1千米，结果返回时多用了半小时．如果设小李去书店时的速度为每小时x千米，那么列出的方程是﹣=．【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据小李家离某书店6千米，他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了半小时，可列方程．【解答】解：设小李去书店时的速度为每小时x千米，根据题意得：﹣=，故答案为：﹣=．12．若一次函数y=（1﹣2k）x+k的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是0＜k＜．【考点】F7：一次函数图象与系数的关系；F1：一次函数的定义．【分析】由于函数图象经过一、二、三象限，所以可知，解即可．【解答】解：∵一次函数y=（1﹣2k）x+k的图象经过第一、二、三象限，∴，∴0＜k＜．13．从一副扑克牌中取出的两组牌，一组为黑桃1、2、3，另一组为方块1、2、3，分别随机地从这两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和是合数的概率是．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】此题可以采用列表法求解．一共有9种情况，摸出的两张牌的牌面数字之和是合数的有4种：4、4、4、6；所以摸出的两张牌的牌面数字之和是合数的概率是．【解答】解：列表得：∴一共有9种情况，摸出的两张牌的牌面数字之和是合数的有4种情况；∴摸出的两张牌的牌面数字之和是合数的概率是．14．某区从近期卖出的不同面积的商品房中随机抽取1000套进行统计，并根据结果绘出如图所示的统计图．从中可知卖出的110m2～130 m2的商品房150套．【考点】V8：频数（率）分布直方图．【分析】根据频数直方图的意义，其他组的商品房的频数之和，又有总数为1000，计算可得110m2到130 m2的商品房的频数．【解答】解：由频数直方图可以看出：110m2到130 m2的商品房的频数为1000﹣50﹣300﹣450﹣50=150套．15．若圆的半径是10cm，则圆心角为40°的扇形的面积是cm2．【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】本题已知了扇形圆心角的度数和半径的长，可根据扇形的面积公式直接求出其面积．【解答】解：S==（cm2）．16．在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，点F在边BC 上，AF与DE相交于点G，如果∠AFB=110°，那么∠CGF的度数是40°．【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线．【分析】作出图形，根据邻补角的定义求出∠AFC，再判断出点G是AF的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CG=GF，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【解答】解：∵∠AFB=110°，∴∠AFC=180°﹣∠AFB=180°﹣110°=70°，∵点D、E分别是边AC、AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴点G是AF的中点，∴CG=GF，∴∠CGF=180°﹣2∠AFC=180°﹣2×70°=40°．故答案为：40°．17．如图，将梯形ABCD沿直线AC翻折，点B落在点E处，联结ED，如果∠B=60°，∠ACB=40°，ED∥AB，那么∠AED的度数为30°．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LH：梯形．【分析】根据平行线的性质得到∠BAD=180°﹣∠B=120°，∠ADE=∠BAD=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AED=∠DAE=30°【解答】解：∵AD∥BC，∴∠BAD=180°﹣∠B=120°，∵ED∥AB，∴∠ADE=∠BAD=120°，由折叠的性质得，AD=DE，∴∠AED=∠DAE=30°，故答案为：30°．18．如果正方形ABCD的边长为1，圆A与以CD为半径的圆C相交，那么圆A的半径R的取值范围是﹣1＜R＜+1．【考点】MJ：圆与圆的位置关系；LE：正方形的性质．【分析】根据题意画出图形，利用当圆A与以CD为半径的圆C相外切以及当圆A与以CD为半径的圆C相内切，分别求出半径，即可确定半径R的取值范围．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，∴如图1，当圆A与以CD为半径的圆C相外切，∵AC==，BC=CD=FC=1，AF+FC=AC，∴AF=AC﹣FC=﹣1，如图2，当圆A与以CD为半径的圆C相内切，∵AC═=，BC=CD=EC=1，AC+EC=AE，∴AE=AC+EC=+1，综上所述：圆A的半径R的取值范围为：﹣1＜R＜+1，故答案为：﹣1＜R＜+1．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．先化简，再求值：，其中x=6tan30°﹣2．【考点】6D：分式的化简求值；T5：特殊角的三角函数值．【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式=﹣•=﹣=，当x=6tan30°﹣2=2﹣2时，原式=．20．解方程组：．【考点】AF：高次方程．【分析】把②通过因式分解化为两个二元一次方程，把这两个二元一次方程分别与①组成方程组，求解即可．【解答】解：由②得，x+y=0，x=0，把这两个方程与①组成方程组得，解得：所以方程组的解为：21．已知抛物线y=ax2﹣2x+c的对称轴为直线x=﹣1，顶点为A，与y轴正半轴交点为B，且△ABO的面积为1．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在x轴上，且PA=PB，求点P的坐标．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；F8：一次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）根据对称轴求得a，然后根据三角形面积求得c，即可求得解析式；（2）设P点的坐标为（x，0），根据PA=PB得出关于x的方程，解方程求得x的值，进而求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，∴a=﹣1，∵△ABO的面积为1，∴c×1=1，∴c=2，∴抛物线的表达式为y=﹣x2﹣2x+2；（2）∵y=﹣x2﹣2x+2=﹣（x+1）2+3，∴A（﹣1，3），设P点的坐标为（x，0）．∵PA=PB，B（0，2），∴（x+1）2+32=x2+22，解得x=﹣3．故P点的坐标为（﹣3，0）．22．如图，甲船在港口P的南偏西60°方向，距港口86海里的A处，沿AP方向以每小时15海里的速度匀速行驶向港口P，乙船从港口P出发，沿南偏东45°方向匀速行驶驶离岗口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向，求乙船的航行速度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】设乙船的航行速度为每小时x海里，2小时后甲船在点B处，乙船在点C处，则PC=2x海里，过P作PD⊥BC于D，求出BP，在Rt△BPD中求出PD，然后在Rt△PDC中表示出PD，继而建立方程可解出x的值．【解答】解：设乙船的航行速度为每小时x海里，2小时后甲船在点B处，乙船在点C处，则PC=2x海里，过P作PD⊥BC于D，则BP=86﹣2×15=56（海里），在Rt△PDB中，∠PDB=90°，∠BPD=60°，∴PD=PB•cos60°=28（海里），在Rt△PDC中，∠PDC=90°，∠DPC=45°，∴PD=PC•cos45°=2x•=x，∴x=28，即x=14≈20，答：乙船的航行速度约为每小时20海里．23．已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M．（1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；（2）如图2，当AF∥ED，求证：AM2=AB•BM．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【分析】（1）连接AC，根据正方形的性质得到∠DAM=∠BEM=∠BCD=90°，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠DAM=∠EBM=90°，AD=AB，根据相似三角形的性质得到=，根据已知条件得到四边形AMDF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AM=DF，等量代换得到AM=BE，于是得到结论．【解答】（1）连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAM=∠BEM=∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA=45°，AB=BC=CD=DA，∵BE=DF，∴CE=CF，∴∠AEB=∠F=45°，∴BE=BA=AD，在△ADM和△BEM中，，∴△ADM和△BEM，∴DM=EM，即点M为ED中点；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAM=∠EBM=90°，AD=AB，∴△ADM∽△BEM，∴=，∵AM∥DF，AF∥DE，∴四边形AMDF是平行四边形，∴AM=DF，∵BE=DF，∴AM=BE，∴，∴AM2=AB•BM．24．已知：在平面直角坐标系中，直线y=﹣x与双曲线y=（k≠0）的一个交点为P（，m）．（1）求k的值；（2）将直线y=﹣x向上平移c（c＞0）个单位后，与x轴、y轴分别交于点A，点B，与双曲线y=（k≠0）在x轴上方的一支交于点Q，且BQ=2AB，求c的值；（3）在（2）的条件下，将线段QO绕着点Q逆时针旋转90°，设点O落在点C 处，且直线QC与y轴交于点D，求BD：AC的值．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）用待定系数法即可得出结论；（2）先由QB=2AB，得出AQ=3AB，进而判断出△AOB∽△AEQ，即可得出点Q （﹣2c，3c），再用待定系数法求出c即可；（3）先确定出直线OQ的解析式，进而得出CQ的解析式，用OQ=CQ建立方程即可确定出点C的坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）∵P（，m）在直线y=﹣x上，∴m=﹣，∴P（，﹣），∵P在双曲线y=上，∴k=×（﹣）=﹣6，（2）如图1，设直线AB的解析式为y=﹣x+c，∴A（c，0），B（0，c），∴OA=OB=c，过点Q作QE⊥x轴，∴OB∥QE，∴△AOB∽△AEQ，∴=，∵BQ=2AB，∴AQ=3AB，∴，∴AE=3OA=3c，QE=3OB=3c，∴OE=AE﹣OA=2c，∵点Q在第二象限，∴Q（﹣2c，3c），∵点Q在双曲线y=﹣上，∴﹣2c×3c=﹣6，∴c=﹣1（舍）或c=1；（3）如图2，由（2）知，c=1，∴A（1，0），B（0，1），Q（﹣2，3），∴直线OQ的解析式为y=﹣x，由旋转知，CQ=OQ，OQ⊥CQ，∴直线CQ的解析式为y=x+，∴D（0，），设C（n，n+），∵Q（﹣2，3），∴OQ2=13，CQ2=（n+2）2+（n+﹣3）2=（n+2）2，∴13=（n+2）2，∴n=﹣5（舍）或n=1，∴C（1，5），∵A（1，0），∴AC=5，∵B（0，1），D（0，），∴BD=﹣1=，∴BD：AC=：5=2：3．25．已知：线段AB⊥BM，垂足为B，点O和点A在直线BM的同侧，且tan∠OBM=2，AB=5，设以O为圆心，BO为半径的圆O与直线BM的另一个交点为C，直线AO与直线BM的交点为D，圆O为直线AD的交点为E．（1）如图1，当点D在BC的延长线上时，设BC=x，CD=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．（2）在（1）的条件下，当BC=CE时，求BC的长；（3）当△ABO是以AO为腰的等腰三角形时，求∠ADB的正切值．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）过O作OF⊥BD于F，如图1，利用垂径定理得到BF=CF==，再利用正切的定义得到OF=x，然后证明△OFD∽△ABD，于是利用相似比可得到y与x的关系式；（2）先利用勾股定理计算出OB=x，再证明△DEC∽△DCO，利用相似比可得到OD=y，则根据勾股定理得到x2+（y+x）2=（y）2，所以y=5x或y=﹣x（舍去），则=5x，然后解方程求出x即可；（3）讨论：当OA=OB时，点A在⊙O上，如图2，根据圆周角定理得到AC为直径，即点D与点C重合，易得x=，于是得到此时tan∠ADB=2；当AO=AB=5，如图3，作OH⊥AB于H，易得四边形OFBH为矩形，则OH=BF=x，BH=OF=x，利用勾股定理得到（x﹣5）2+（x）2=52，然后解方程求出x，则可得到tan∠AOH=，再证明∠ADB=∠AOH，从而得到tan∠ADB的值．【解答】解：（1）过O作OF⊥BD于F，如图1，则BF=CF==，∴DF=y+，在Rt△BFO中，∵tan∠OBM==2，∴OF=x，∵AB⊥BM，∴OF∥AB，∴△OFD∽△ABD，∴=，即=，∴y=（＜x＜5）；（2）在Rt△OBF中，OB==x，∵BC=CE，而OB=OC=OE，∴△OBC和△OCD为全等的等腰三角形，∴∠OCB=∠OEC，∴∠OCD=∠CED，而∠CDE=∠ODC，∴△DEC∽△DCO，∴=，即=，∴OD=y，在Rt△OFD中，∵OF2+FD2=OD2，∴x2+（y+x）2=（y）2，整理得y2﹣4xy﹣5x2=0，∴y=5x或y=﹣x（舍去），∴=5x，解得x1=0（舍去），x2=，即BC的长为；（3）当OA=OB时，点A在⊙O上，如图2，则AC为直径，点D与点C重合，OF=AB，即x=，∴tan∠ADB==2；当AO=AB=5，如图3，作OH⊥AB于H，易得四边形OFBH为矩形，∴OH=BF=x，BH=OF=x，在Rt△OHA中，∵AH2+OH2=OA2，∴（x﹣5）2+（x）2=52，解得x1=0（舍去），x2=8，∴tan∠AOH===，∵OH∥BD，∴∠ADB=∠AOH，∴tan∠ADB=．2017年6月10日。
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2017年上海市杨浦区高考数学三模试卷一、填空题（共12小题，满分54分）1．计算：=．2．设集合S={x|≤0，x∈R}，T={2，3，4，5，6}，则S∩T=．3．已知复数z满足：z（2﹣i）=3+i（其中i为虚数单位），则z的模等于．4．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与椭圆+=1的一个顶点重合，则该抛物线的焦点到准线的距离为．5．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是（用数字作答）．6．已知函数f（x）=（x﹣a）|x|存在反函数，则实数a=．7．方程log2（4x﹣3）=x+1的解集为．8．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0），若存在x0∈R，使得f（x0+2）﹣f（x0）=4，则ω的最小值为．9．若正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为，则该正四棱锥的体积为．10．从1，2，3，4中选择数字，组成首位数字为1，有且只有两个数位上的数字相同的四位数，这样的四位数有个．11．已知等边△ABC的边长为2，点E、F分别在边CA、BA上且满足•=2•=3，则•=．12．已知函数f（x）=的最小值为a+1，则实数a的取值范围为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“a＞1“是“＜1“的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y=x+f（x）B．y=xf（x）C．y=x2+f（x）D．y=x2f（x）15．已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a1+a3＞0 B．若a1+a3＞0，则a1+a2＞0C．若a1＞0，则S2017＞0 D．若a1＞0，则S2016＞016．已知集合M={（x，y）||x|+|y|≤1}，若实数对（λ，μ）满足：对任意的（x，y）∈M，都有（λx，μy）∈M，则称（λ，μ）是集合M的“嵌入实数对”．则以下集合中，不存在集合M的“嵌入实数对”的是（）A．{（λ，μ）|λ﹣μ=2}B．{（λ，μ）|λ+μ=2}C．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=2} D．{（λ，μ）|λ2+μ2=2}三、解答题（共5小题，满分76分）17．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=AB=1．AA1=CD=2．E 为棱DD1的中点．（1）证明：B1C1⊥平面BDE；（2）求二面角D﹣BE﹣C1的大小．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，），其部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．19．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）万元时，该商品的月供给量为y1吨，y1=ax+a2﹣a（a＞0）：月需求量为y2吨，y2=﹣x2﹣x+1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量：当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）已知a=，若某月该商品的价格为x=7，求商品在该月的销售额（精确到1元）；（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数a的取值范围．20．如图，由半圆x2+y2=r2（y≤0，r＞0）和部分抛物线y=a（x2﹣1）（y≥0，a ＞0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，曲线C与x轴有A、B两个焦点，且经过点（2.3）．（1）求a、r的值；（2）设N（0，2），M为曲线C上的动点，求|MN|的最小值；（3）过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形线”相交于P，A，Q三点，问是否存在实数k，使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21．已知数列{a n}满足：a1=1，a n=，n=2，3，4，…．（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）设b n=+1，n∈N*，求证：数列{b n}是等比数列，并求出其通项公式；（3）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{a n}中是否存在连续的2m项构成等差数列？若存在，写出这2m项，并证明这2m项构成等差数列；若不存在，请说明理由．2017年上海市杨浦区高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，满分54分）1．计算：=．【考点】8J：数列的极限．【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【解答】解：===．故答案为：．2．设集合S={x|≤0，x∈R}，T={2，3，4，5，6}，则S∩T={3，4，5} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合S，T的等价条件，结合集合交集的定义进行计算即可．【解答】解：S={x|≤0，x∈R}={x|3≤x＜6}，则S∩T={3，4，5}，故答案为：{3，4，5}3．已知复数z满足：z（2﹣i）=3+i（其中i为虚数单位），则z的模等于．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（2﹣i）=3+i（其中i为虚数单位），∴z（2﹣i）（2+i）=（3+i）（2+i），∴5z=5+5i，可得z=1+i|z|=．故答案为：．4．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与椭圆+=1的一个顶点重合，则该抛物线的焦点到准线的距离为4．【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】求出椭圆的顶点坐标，得到抛物线的焦点坐标，求出P即可得到结果．【解答】解：抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与椭圆+=1的一个顶点（0，2）重合，抛物线的开口向上，焦点坐标（0，2），可得p=4，则该抛物线的焦点到准线的距离为：p=4．故答案为：4．5．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是10（用数字作答）．【考点】DA：二项式定理．【分析】先求出二项式（x2+）5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数．=x10﹣2r x﹣r=x10﹣【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为T r+13r．令10﹣3r=4，可得r=2，∴展开式中含x4的项的系数是=10，故答案为10．6．已知函数f（x）=（x﹣a）|x|存在反函数，则实数a=0．【考点】4R：反函数．【分析】a＞0时，f（x）=，利用单调性即可判断出不存在反函数．a=0时，f（x）=，可得函数f（x）在R上单调递增，因此存在反函数．a＜0时，f（x）=，利用单调性即可判断出不存在反函数．【解答】解：a＞0时，f（x）=，可得函数f（x）在内单调递减，在（﹣∞，0），上单调递增，因此不存在反函数．a=0时，f（x）=，可得函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，因此存在反函数．a＜0时，f（x）=，可得函数f（x）在内单调递减，在（﹣∞，），（0，+∞）上单调递增，因此不存在反函数．综上可得：a=0．故答案为：0．7．方程log2（4x﹣3）=x+1的解集为{log23} ．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】解：由已知条件得（2x）2﹣2•2x﹣3=0，解得2x=3，或2x=﹣1（舍），进一步求出x的答案．【解答】解：∵log2（4x﹣3）=x+1，∴2x+1=4x﹣3，∴（2x）2﹣2•2x﹣3=0，解得2x=3，或2x=﹣1（舍），∴x=log23．∴方程log2（4x﹣3）=x+1的解集为{log23}．故答案为：{log23}．8．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0），若存在x0∈R，使得f（x0+2）﹣f（x0）=4，则ω的最小值为．【考点】HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】化简等式可得sin（ωx0+2ω+φ）﹣sin（ωx0+φ）=2，由正弦函数的性质可求ω=（k1﹣k2）π﹣，k1、k2∈Z，结合ω＞0求得ω的最小值．【解答】解：存在x0∈R，使得f（x0+2）﹣f（x0）=4，即2sin[ω（x0+2）+φ]﹣2sin（ωx0+φ）=4成立，∴sin（ωx0+2ω+φ）﹣sin（ωx0+φ）=2，∴ωx0+2ω+φ=2k1π+①，ωx0+φ=2k2π+②，k1、k2∈Z；由①②解得：ω=k1π﹣k2π﹣，k1、k2∈Z；又ω＞0，∴ω的最小值是．故答案为：．9．若正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为，则该正四棱锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】连结AC、BD，交于点O，连结PO，则PO⊥平面ABCD，且PO=2，从而侧棱PA与底面ABCD所成角为∠PAO，且，进而AO=2，AB=，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，连结PO，∵正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为，∴PO⊥平面ABCD，且PO=2，∴侧棱PA与底面ABCD所成角为∠PAO，且，∴AO=2，∴AB=，∴该正四棱锥的体积：V===．故答案为：．10．从1，2，3，4中选择数字，组成首位数字为1，有且只有两个数位上的数字相同的四位数，这样的四位数有36个．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，分2种情况讨论，①后三位数字中包含1，即1是重复数字；②后三位数字中不包含1；分别求出其情况数目，再由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，①后三位数字中包含1，则只需在2、3、4中任取两个，与1进行排列即可，有C32×A33=18种情况；②后三位数字中不包含1，则需要在2、3、4中取出2个，一个作为重复数字，另一个不重复，有A32×A33=18种不同情况；故这样的四位数有18+18=36种；故答案为：36．11．已知等边△ABC的边长为2，点E、F分别在边CA、BA上且满足•=2•=3，则•=﹣．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】用三角形各边向量表示出，，再计算•．【解答】解：设，，则==，=+=，∴=+λ=4﹣2λ，=μ•=2μ，∵，，∴λ=，μ=，∴=（+）•（+）=﹣+++=﹣4++1+=﹣．故答案为：﹣．12．已知函数f（x）=的最小值为a+1，则实数a的取值范围为{﹣2﹣2}∪[﹣1，1] ．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】讨论﹣a与0，1的大小关系，判断f（x）在两区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上的单调性与最小值，列不等式解出a的范围．【解答】解：（1）若﹣a≤0，即a≥0时，f（x）=，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，最小值为f（0）=2，在（0，+∞）上最小值为a+1，故只需2≥a+1即可，解得0≤a≤1；（2）若0＜﹣a≤1，即﹣1≤a＜0时，则f（x）=，∴f（x）在（﹣∞，0]上先减后增，最小值为f（）=2﹣，在（0，+∞）上最小值为a+1，故只需2﹣≥a+1即可，解得﹣2﹣2≤a≤﹣2+2，又﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0，（3）若﹣a＞1，即a＜﹣1时，f（x）=，∴f（x）在（﹣∞，0]上先减后增，最小值为f（）=2﹣，f（x）在（0，+∞）上的最小值为﹣a﹣1＞0，而f（x）的最小值为a+1＜0，故只需令2﹣=a+1即可，解得a=﹣2﹣2或a=﹣2+2（舍），综上，a的取值范围是{﹣2﹣2}∪[﹣1，1]．故答案为：{﹣2﹣2}∪[﹣1，1]．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“a＞1“是“＜1“的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当a＞1时，＜1成立，即充分性成立，当a=﹣1时，满足＜1，但a＞1不成立，即必要性不成立，则“a＞1“是“＜1“的充分不必要条件，故选：A14．如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y=x+f（x）B．y=xf（x）C．y=x2+f（x）D．y=x2f（x）【考点】3K：函数奇偶性的判断．【分析】逐个计算g（﹣x），观察与g（x）的关系得出答案．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对于A，g（﹣x）=﹣x+f（﹣x）=﹣x﹣f（x）=﹣g（x），∴y=x+f（x）是奇函数．对于B，g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）=g（x），∴y=xf（x）是偶函数．对于C，g（﹣x）=（﹣x）2+f（﹣x）=x2﹣f（x），∴y=x2+f（x）为非奇非偶函数，对于D，g（﹣x）=（﹣x）2f（﹣x）=﹣x2f（x）=﹣g（x），∴y=x2f（x）是奇函数．故选B．15．已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a1+a3＞0 B．若a1+a3＞0，则a1+a2＞0C．若a1＞0，则S2017＞0 D．若a1＞0，则S2016＞0【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】对等比数列中的公比q讨论，可得答案．【解答】解：对于A：a1+a2＞0，即a1（1+q）＞0，那么a1+a3=a1（1+q2），当a1＞0，可得a1+a3＞0，当a1＜0时，a1+a3＞0不成立．对于B：a1+a3＞0，即a1+a3=a1（1+q2）＞0，可得a1＞0，a1+a2＞0，即a1（1+q）＞0，当1+q＜0时，不成立．对于C：a1＞0，则S2017=，当q＞1时，S2017＞0．当0＜q＜1时，1﹣q＞0，1﹣q2017＞0，∴S2017＞0．当﹣1＜q＜0时，1﹣q＞0，1﹣q2017＞0，∴S2017＞0．当q＜﹣1时，1﹣q＜0，1﹣q2017＜0，∴S2017＞0．对于D：a1＞0，则S2016=，当q＞1时，1﹣q＜0，1﹣q2016＜0，∴S2016＞0．当0＜q＜1时，1﹣q＞0，1﹣q2016＞0，∴S2016＞0．当﹣1＜q＜0时，1﹣q＞0，1﹣q2016＞0，∴S2016＞0．当q＜﹣1时，1﹣q＞0，1﹣q2016＜0，∴S2016＜0．故选C．16．已知集合M={（x，y）||x|+|y|≤1}，若实数对（λ，μ）满足：对任意的（x，y）∈M，都有（λx，μy）∈M，则称（λ，μ）是集合M的“嵌入实数对”．则以下集合中，不存在集合M的“嵌入实数对”的是（）A．{（λ，μ）|λ﹣μ=2}B．{（λ，μ）|λ+μ=2}C．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=2} D．{（λ，μ）|λ2+μ2=2}【考点】KE：曲线与方程．【分析】由定义可知|λ|≤1，|μ|≤1，利用不等式的性质即可得出λ+μ，λ﹣μ，λ2﹣μ2，λ2+μ2的范围，从而得出答案．【解答】解：若集合M存在“嵌入实数对”（λ，μ），则|λx|+|μy|≤1对任意（x，y）∈M恒成立，又|x|+|y|≤1，∴|λ|≤1，|μ|≤1，∴﹣2≤λ﹣μ≤2，故A正确；﹣2≤λ+μ≤2，故B正确；﹣1≤λ2﹣μ2≤1，故C不正确；0≤λ2+μ2≤2，故D正确；故选C．三、解答题（共5小题，满分76分）17．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=AB=1．AA1=CD=2．E 为棱DD1的中点．（1）证明：B1C1⊥平面BDE；（2）求二面角D﹣BE﹣C1的大小．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由题意证明BC⊥BD，再由已知ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，得BC ⊥DE，由线面垂直的判定可得BC⊥平面BDE，进一步得到B1C1⊥平面BDE；（2）如图建立空间直角坐标系，由已知求出B，C，C1，E的坐标，进一步求出平面BEC1与平面BDE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D ﹣BE﹣C1的大小．【解答】（1）证明：由题意，BD=BC=，∵CD=2，∴BD2+BC2=CD2，则BC⊥BD．又∵ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，∴BC⊥DE，∵BD∩DE=D，∴BC⊥平面BDE，又∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面BDE；（2）解：如图建立空间直角坐标系，则有B（1，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（0，0，1）．，．设平面BEC1的法向量为，由，得，取x=3，得．由（1）知，平面BDE的一个法向量．∴cos＜＞==．由图可知，二面角D﹣BE﹣C1为钝角，∴二面角D﹣BE﹣C1的大小为arccos（﹣）．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，），其部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HW：三角函数的最值．【分析】（I）先求周期，推出ω，利用（），推出，得到f（x）的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．【解答】解：（I）由图可知，A=1，所以T=2π所以ω=1又，且所以所以．（II）由（I），所以===cosx•sinx=因为，所以2x∈[0，π]，sin2x∈[0，1]故：，当时，g（x）取得最大值．19．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）万元时，该商品的月供给量为y1吨，y1=ax+a2﹣a（a＞0）：月需求量为y2吨，y2=﹣x2﹣x+1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量：当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）已知a=，若某月该商品的价格为x=7，求商品在该月的销售额（精确到1元）；（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数a的取值范围．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）计算y1，y2，比较大小确定销售量，再计算销售额；（2）令f（x）=y1﹣y2，则f（x）在[6，14）上有零点，根据零点的存在性定理列不等式组解出a的范围．【解答】解：（1）当a=，x=7时，y1=×7+×（）2﹣=1+﹣=，y2=﹣×（）2﹣×+1=，∴y1＞y2，∴该月销售额为7××104≈50313（元）．（2）令f（x）=y1﹣y2=x2+（+a）x﹣a﹣1，则f（x）在[6，14）上有零点，∵a＞0，∴f（0）=﹣a﹣1＜0，又f（x）的图象开口向上，∴f（x）在[6，14）上只有1个零点，∴，即，解得：0＜a≤．20．如图，由半圆x2+y2=r2（y≤0，r＞0）和部分抛物线y=a（x2﹣1）（y≥0，a ＞0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，曲线C与x轴有A、B两个焦点，且经过点（2.3）．（1）求a、r的值；（2）设N（0，2），M为曲线C上的动点，求|MN|的最小值；（3）过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形线”相交于P，A，Q三点，问是否存在实数k，使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）由将点代入抛物线方程，即可求得a的值，求得A，B点坐标，代入圆方程，即可r的值；（2）根据两点之间的距离公式，采用分类讨论，根据二次函数的性质，即可求得|MN|的最小值；（3）将直线方程，代入抛物线及圆的方程求得Q及P点坐标，由k BP=﹣k BQ，即可求得k的值，因此存在实根k=1+，使得∠QBA=∠PBA．【解答】解：（1）将（2，3）代入y=a（x2﹣1），解得：a=1，由y=x2﹣1与x轴交于（±1，0），则A（1，0），B（﹣1，0），代入圆x2+y2=r2，解得：r=±1，由r＞0，则r=1，∴a的值为1，r的值为1；（2）设M（x0，y0），则丨MN丨2=x02+（y0﹣2）2，当y0≤0，x02=1﹣y02，丨MN丨2=5﹣4y0，∴当y0=0时，丨MN丨min=，当y≥0时，x02=1+y0，丨MN丨2=x02+（y0﹣2）2=1+y0+（y0﹣2）2=y02﹣3y0+5=（y0﹣）2+，当y0=时，丨MN丨min=；（3）由题意可知：PQ的方程y=k（x﹣1），，整理得：x2﹣kx+k﹣1=0，则x=1，y=k﹣1，则Q（k﹣1，k2﹣2k），则，整理得：（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣1=0，解得：x=1或x=，则P点坐标为（，﹣），由∠QBA=∠PBA，则k BP=﹣k BQ，即=﹣，即k2﹣2k﹣1=0，解得：k=1±（负值舍去），因此存在实根k=1+，使得∠QBA=∠PBA．21．已知数列{a n}满足：a1=1，a n=，n=2，3，4，…．（1）求a 2，a 3，a 4，a 5的值；（2）设b n =+1，n ∈N*，求证：数列{b n }是等比数列，并求出其通项公式；（3）对任意的m ≥2，m ∈N*，在数列{a n }中是否存在连续的2m 项构成等差数列？若存在，写出这2m 项，并证明这2m 项构成等差数列；若不存在，请说明理由．【考点】8H ：数列递推式．【分析】（1）由a 1=1，利用递推公式能求出a 2，a 3，a 4，a 5的值．（2）由题意，对于任意的正整数n ，b n =+1，从而b n +1=+1，进而b n +1=2b n ，由此能证明数列{b n }是首项、公比均为2的等比数列，并求出其通项公式． （3）对任意的m ≥2，m ∈N*，在数列{a n }中存在连续的2m 项构成等差数列．对任意的m ≥2，k ∈N *，在数列{a n }中，，，，…，这连续的2m 就构成一个等差数列．利用构造法和分类讨论法能推导出，，，…，这连续的2m 项，是首项为，公差为﹣的等差数列．【解答】解：（1）∵a 1=1，∴a 2=1+2a 1=3，a 3=+2a 2=， a 4=1+2a 3=7，a 5=+2a 4=；证明：（2）由题意，对于任意的正整数n ，b n =+1，∴b n +1=+1， 又∵+1=（2+1）+1=2（+1）=2b n ，∴b n +1=2b n ，又∵b 1=+1=a 1+1=2，∴数列{b n }是首项、公比均为2的等比数列，其通项公式b n =2n ；（3）对任意的m ≥2，m ∈N*，在数列{a n }中存在连续的2m 项构成等差数列．对任意的m ≥2，k ∈N *，在数列{a n }中，，，，…，这连续的2m就构成一个等差数列．我们先来证明：“对任意的n≥2，n∈N*，k∈（0，2n﹣1），k∈N*，有”，由（2）得，∴，当k为奇数时，=，当k为偶数时，=1+2a，记，∴要证=，只需证明，其中，k1∈N*，（这是因为若，则当时，则k一定是奇数）有===，当时，则k一定是偶数，有=1+=1+2（）=1+2（）=，以此递推，要证=，只要证明，其中，k2∈N*，如此递推下去，我们只需证明，，即，即，由（Ⅱ）可得，所以对n≥2，n∈N*，k∈（0，2n﹣1），k∈N*，有，对任意的m≥2，m∈N*，=，，其中i∈（0，2m﹣1），i∈N*，∴﹣=﹣，又，，∴，∴，，，…，这连续的2m项，是首项为，公差为﹣的等差数列．2017年6月15日。