山东省平邑县高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式导学案新人教A版4 精
「精品」高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式知识
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式疱工巧解牛知识•巧学 一、倍角公式1.公式的推导：倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令α=β，就可得出相应的倍角公式.sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β−−→−=βα令sin2α=2sin αcos α；cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β−−→−=βα令cos2α=cos 2α-sin 2α.由于sin 2α+cos 2α=1，显然，把sin 2α=1-cos 2α代入cos2α=cos 2α -sin 2α，得cos2α=cos 2α-sin 2α=cos 2α-(1-cos 2α)=2cos 2α-1.同理，消去cos 2α，得cos2α=1-2sin 2α. tan(α+β)=αααβαβαβα2tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan -=−−→−∙-+=令. 综上，我们把公式叫做二倍角公式.2.二倍角公式中角α的范围由任意角的三角函数的定义可知S 2α、C 2α中的角α是任意的，但公式T 2α即tan2α=αα2tan 1tan 2-中的角是有条件限制的. 要使tan2α有意义，需满足1-tan 2α≠0且tan α有意义.当tan α有意义时，α≠2π+k π(k∈Z )；当1-tan 2α≠0，即tan α≠±1时，α≠±4π+k π(k∈Z ).综上,可知要使T 2α有意义，需α≠±4π+k π且α≠2π+k π(k∈Z ).特别地，当α=2π+k π(k∈Z )时，虽然tan α的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值，可用诱导公式进行，即tan2(2π+k π)=tan(π+2k π)=tan π=0. 学法一得 二倍角的切函数是用单角的切函数表示出来的，它的角α除了使解析式有意义外，还应使函数自身也有意义. 3.倍角公式中的倍角是相对的二倍角公式不仅仅可用于将2α作为α的2倍的情况，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，4α是2α的二倍角，3α是23α的二倍角，2α是4α的二倍角，3α是6α的二倍角等. 在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例6cos6sin23sinααα=，6cos 26sin 6cos 3cos222αααα=-=-1=1-2sin26α；sin3α·cos3α=21 (2sin3αcos3α)=21sin6α；cos 22α-sin 22α=cos4α；ααα3sin 4123cos 23sin 21=；︒-︒35tan 135tan 22=tan70°等. 4.倍角公式的几种变形形式(sin α±cos α)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos 2α；1-cos2α=2sin 2α；cos 2α=22cos 1α+；sin 2α=22cos 1α-. 学法一得 我们常把1+cos α=2cos 22α，1-cos α=2sin 22α称为升幂换半角公式，利用该公式消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；把cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-称为降幂换倍角公式，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.对于该公式不仅要会正用，还应会逆用和变用.5.倍角公式与和角公式的内在联系只有理清公式的来龙去脉及公式的变形形式，才能及时捕捉到有价值的信息，完成问题的解答.典题•热题知识点一 直接应用倍角公式求值 例1 求下列各式的值：(1)2sin15°sin105°；(2)︒-15sin 731432；(3)︒-︒5.22tan 15.22tan 2；(4)12cos24cos 24sin πππ. 解：(1)原式=2sin15°·sin(90°+15°)=2sin15°cos15°=sin30°=21.(2)原式=143(1-2sin 215°)=143cos30°=283323143=⨯. (3)原式=.2112145tan 215.22tan 15.22tan 2212=⨯=︒=︒-︒∙. (4)原式=8121416sin 4112cos 12sin 21=⨯==πππ.方法归纳 倍角公式中的角是相对的，对它应该有广义上的理解，即112cos 2sin22++=n n nααα(n∈N *)，12sin 2cos 2cos212+-=+n n nααα(n∈N *)，1212tan 12tan 22tan++-=n n nααα(n∈N *).知识点二 利用倍角公式给值求值例2 已知x∈(2π-，0)，cosx=54，则tan2x 等于( ) A.247 B.247- C.724 D.724- 思路分析：运用三角函数值在各个象限的符号及倍角公式求解. 解法一：∵x∈(2π-，0)，cosx=54， ∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x . 由倍角公式sin2x=2sinxcosx=2524-，cos2x=2cos 2x-1=2×(54)2-1=257. 得tan2x=7242cos 2sin -=x x .解法二：∵x∈(2π-，0)，cosx=54， ∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x .∴tanx=43cos sin -=x x . ∴tan2x=724)43(1)43(2tan 1tan 222-=---⨯=-xx . 答案：D方法归纳 ①解好选择题的关键在于能否针对题目的特点，选择合理而适当的解法，最忌对任何题目都按部就班地演算求解，小题大做，应力求做到“小题小做”“小题巧做”. ②像这种从题目的条件出发，通过正确地运算推理，得出结论，再与选择肢对照确定选项的方法叫做定量计算法；像这样通过对题干和选择肢的关系进行观察、分析，再运用所学知识，通过逻辑推理作出正确选择的方法叫做定性分析法. 例3 已知sin(4π+α)sin(4π-α)=161，α∈(2π，π)，求sin4α的值.思路分析：要求sin4α的值，根据倍角公式可知只需求出sin2α、cos2α的值或sin α、cos α的值即可.由于(4π+α)+(4π-α)=2π，可运用二倍角公式求出cos2α的值. 解：由题设条件得sin(4π+α)sin(4π-α)=sin(4π+α)cos ［2π-(4π-α)］ =sin(4π+α)cos(4π+α)=21sin(2π+2α)=21cos2α=61，∴cos2α=31.∵α∈(2π，π)，∴2α∈(π，2π).又∵cos2α=31>0，∴2α∈(23π，2π).∴sin2α=322)31(12cos 122-=--=--α. ∴sin4α=2sin2α·cos2α=2×92431)322(-=⨯-. 例4 已知cos(4π+x)=53，47127ππ<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 思路分析：由于结论中同时含有切、弦函数，所以可先对结论切化弦，化简后不难发现，只需求出sin2x 和tan(4π+x)的值即可，注意到2(4π+x)=2π+2x ，这样通过诱导公式就容易找到sin2x 同cos(4π+x)的关系了. 解：∵47127ππ<<x ，∴πππ2465<+<x .又∵cos(4π+x)=53>0，∴23π＜4π+x ＜2π.∴sin(4π+x)=54)53(1)4(cos 122-=--=+--x π，345354)4cos()4sin()4tan(-=-=++=+x x x πππ.∵sin2x=-cos2(4π+x)=1-2cos 2(4π+x)=25725181=-， ∴原式=x x x x x x x x x x x xx x x sin cos )sin (cos 2sin sin cos cos sin 2cos 2sin cos sin 1sin 22sin 22-+=-∙+∙=-+7528)34(257)4tan(2sin tan 1tan 12sin -=-⨯=+∙=-+∙=x x x x x π.例5 在△ABC 中，已知AB=AC=2BC(如图3-1-10)，求角A 的正弦值.图3-1-10思路分析：由于所给三角形是等腰三角形，所以可通过底角的三角函数值或顶角一半的三角函数值来求解.解：作AD⊥BC 于点D ，设∠BAD=θ，那么A=2θ.∵BD=21BC=41AB ，∴sin θ=41=AB BD . ∵0＜2θ＜π，∴0＜θ＜2π.于是cos θ=415)41(1sin 122=-=-θ. 故sinA=sin2θ=2sin θcos θ=815415412=⨯⨯. 巧解提示:作AD⊥BC 于点D ，∵BD=21BC=41AB,又∵AB=AC， ∴∠B=∠C.∴cosB=cosC=41=AB BD . ∵0＜B ＜2π，∴sinB=415.又∵A+B+C=π，∴A=π-(B+C)=π-2B. ∴sinA=sin(π-2B)=sin2B=2sinBcosB=815414152=⨯⨯. 方法归纳 在△ABC 中，由于A+B+C=π，所以A=π-(B+C)，222CB A +-=π.由诱导公式可知：sinA=sin(B+C)；cosA=-cos(B+C)；tanA=-tan(B+C)；2cot 2tan ;2sin 2cos ;2cos 2sinCB AC B A C B A +=+=+=. 任意变换A 、B 、C 的位置，以上关系式仍然成立. 例6 已知sin 22α+sin2αcos α-cos2α=1，α∈(0，2π)，求sin α、tan α的值. 思路分析：已知是二倍角，所求的结论是单角；已知复杂，结论简单，因此可从化简已知入手，推出求证的结论.解：把倍角公式sin2α=2sin αcos α，cos2α=2cos 2α-1代入已知得4sin 2αcos 2α+2sin αcos 2α-2cos 2α=0，即2cos 2α(2sin 2α+sin α-1)=0，即2cos 2α(2sin α-1)(sin α+1)=0.∵α∈(0，2π)，∴sin α+1≠0，cos 2α≠0. ∴2sin α-1=0，即sin α=21.又∵α∈(0,2π),∴α=6π.∴tan α=33.知识点三 利用倍角公式化简三角函数式例7 利用三角公式化简sin50°(1+3tan10°).思路分析：本题给我们的感觉是无从下手，很难看出有什么公式可直接利用.从角的角度去分析，10°、50°除了它们的和60°是特殊角外，别无特点；从函数名称的角度去分析，由于该式子有弦，有切，我们可从化切为弦入手去尝试解决，转化成弦函数.通分后出现asin θ+bcos θ的形式，由于3是一特殊角的三角函数值，可把它拼凑成两角和(差)的正、余弦展开式的形式逆用公式求值.若把50°转化成(60°-10°)从同一角入手，也可以求值. 解：原式=sin(60°-10°)(1+3tan10°)=(23cos10°-21sin10°)(1+3tan10°) =23cos10°+23cos10°tan10°-21sin 10°-23sin10°tan10° =23cos10°+sin10°-23sin10°·tan10°=23(cos10°-︒︒10cos 10sin 2)+sin10° =︒︒︒+︒∙=︒+︒︒∙10cos 10cos 10sin 33220cos 2310sin 10cos 20cos 23 ︒︒+︒∙∙=︒︒+︒∙=10cos 20sin 2120cos 233322310cos 20sin 3320cos 23180sin 80sin 10cos 80sin 10cos 20sin 60cos 20cos 60sin =︒︒=︒︒=︒︒︒+︒︒=.巧解提示:原式=︒︒+︒∙︒=︒︒+︒10cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin ︒︒︒+︒︒︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2110cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin 40cos 2=︒︒=︒︒=︒︒︒=.方法归纳 对于三角整式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对二次根式，要设法使被开方数升次，通过开方进行化简.另外，还可用切割化弦、变量代换、角度归一等方法.对于形如1±sin α、1±cos α的形式，我们可采取升幂换半角的形式，消去常数项1，通过提取公因式化简有理式或通过开方化简无理式. 例8 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值. 解：由于cos60°=21，所以原式=21cos20°cos40°cos80° ︒︒︒︒︒∙=20sin 80cos 40cos 20cos 20sin 21 ︒︒︒∙=︒︒︒︒∙=20sin 80cos 80sin 8120sin 80cos 40cos 40sin 41 16120sin 160sin 161=︒︒∙=. 方法归纳 对于可化为cos αcos2αcos4α…cos2n-1α(n∈N 且n>1)的三角函数式，由于它们的角是以2为公比的等比数列，可将分子、分母同乘以最小角的正弦，运用二倍角公式进行化简.巧解提示:此外，本题也可构造一对偶式求解. 设M=cos20°·cos40°·cos60°·cos80°， N=sin20°·sin40°·sin60°·sin80°， 则MN=161sin40°·sin80°·sin120°·sin160° =161sin20°·sin40°·sin60°·sin80° =161N ，∴M=161,即cos20°·cos40°·cos60°·cos80°=161. 知识点四 利用倍角公式证明三角恒等式例9 求证：θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 证明：原式等价于1+sin4θ-cos4θ=αθ2tan 1tan 2-(1+sin4θ+cos4θ)， 即1+sin4θ-cos4θ=tan2θ(1+sin4θ+cos4θ). ① 而①式右边=tan2θ(1+cos4θ+sin4θ)=θθ2cos 2sin(2cos 22θ+2sin2θcos2θ)=2sin2θcos2θ+2sin 22θ =sin4θ+1-cos4θ=左边. 所以①式成立，原式得证.例10 求证：︒=︒-︒10sin 3240cos 140sin 322.思路分析：由于分母是三角函数值平方的形式，通分后转化成3cos 240°-sin 240°，按平方差公式展开得(3cos40°+sin40°)(3cos40°-sin40°)，恰好是两个辅助角公式的形式，可运用三角函数的和差公式求值；此外，也可对它的分母降幂换倍角进行化简. 证明：左边=︒∙︒︒-︒︒+︒=︒︒︒-︒40cos 40sin )40sin 40cos 3)(40sin 40cos 3(40cos 40sin 40sin 40cos 3222222 2)40cos 40sin 2()40sin 2140cos 23(2)40sin 2140cos 23(24︒︒︒-︒⨯︒+︒⨯= ︒︒︒-︒︒︒︒+︒︒=80sin )40sin 60cos 40cos 60)(sin 40sin 60cos 40cos 60(sin 162︒︒-︒︒+︒=80sin )4060sin()4060sin(162︒=︒︒︒⨯=︒︒=︒︒︒=10sin 3210cos 10cos 10sin 21680sin 20sin 1680sin 20sin 100sin 162=右边， 所以原式成立.方法归纳 对于三角函数式的化简、求值和证明，可从角的角度、运算的角度或函数名称的角度去考虑，其中通过通分，提取公因式、约分、合并同类项等运算的手法去化简是非常必要的.例11 已知3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：cos(α+2β)=0.思路分析：从求证的结论看，cos(α+2β)的展开式中含有cos α、cos2β、sin α、sin2β这样的函数值.由已知条件结合倍角公式的特点，恰好能转化出cos2β、sin2β这样的函数值.证明：由3sin 2α+2sin 2β=1，得1-2sin 2β=3sin 2α，∴cos2β=3sin 2α. 又∵sin2β=23sin2α， ∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α·3sin 2α-sin α·23sin2α=23sin αsin 2α-23sin αsin2α=0. 方法归纳 首先观察条件与结论的差异，从解决某一差异入手.确定从结论开始，通过变换将已知条件代入得出结论；或通过变换已知条件得出结论；或同时将条件与结论变形，直到找到它们间的联系.如果上述方法都难奏效的话，可采用分析法；如果已知条件含有参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法，等等. 问题•探究 材料信息探究问题 倍角和半角公式：sin α=2tan12tan22αα+，cos α=2tan12tan 122αα+-，tan α=2tan12tan 22αα-，这组公式称为“万能公式”，那么“万能公式”是怎样来的？它真的是“万能”的吗？探究过程:万能公式是一组用tan2α来表示sin α、cos α和tan α的关系式. 这组公式可以利用二倍角公式推导，其中正切tan α=2tan 12tan22αα-，可以由倍角公式直接获得；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos 22α可得： 2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2sin 222ααααααααα+=+==， 2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos cos 22222222ααααααααα+-=+-=-=. 这组“万能公式”为一类三角函数的求值提供了一座方便可行的桥梁，如要计算cos α或sin(α+β)的值，可以先设法求得tan2α或2tan βα+的值.由于公式中涉及角的正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.探究结论:所谓的“万能”，是说不论角α的哪一种三角函数，都可以表示成tan 2α的有理式，这样就可以把问题转化为以tan 2α为变量的“一元有理函数”，即如果令tan 2α=t ，则sin α、cos α和tan α均可表达为关于t 的分式函数，这就实现了三角问题向代数问题的转化，为三角问题用代数方法求解提供了一条途径.如ta n15°+cot15°=tan15°+=︒+︒=︒15tan 115tan 15tan 12430sin 2115tan 15tan 222=︒=+︒︒，就较方便的解决了问题.再如求函数2sin cos +=x x y 的值域.令t x=2tan ，则t∈R ，利用万能公式有sinx=212t t +,cosx=2211t t +-，所以=+++-=21211222t t t t y 222221t t t ++-，由此可以建立关于t 的一次或二次函数(2y+1)t 2+2yt+2y-1=0，进一步分类讨论可得函数的值域.。
导学案1：3.1.1 两角差的余弦公式
必修四第3章 三角恒等变形3．1.1 两角差的余弦公式教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。
2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣教学重点与难点1、重点：应用两角差的余弦公式求三角函数值2、难点：应用两角差的余弦公式求三角函数值[知识要点]．两角差的余弦公式cos(α–β)＝cosαcos β+ sinαsinβ[预习自测]1、(易)tan 2tan 3αβ==,则tan()αβ-=( )A.7-B.15 C.15- D.17-2、(易)设(0,)2απ∈,若3sin 5α=,)4απ+=( ) A.15 B.75 C.75- D.15- 3、(易)sin110sin 40cos 40cos70+等于( )A.12- C.12D.4、(中)0000(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++的值等于( )A.16B.8C.4D.25、(中)13sin10sin 80-的值是( ) A.1 B.2 C.4 D.146、(中)sin 1212ππ的值是( )B. D.-12 [归纳反思]能力提升 7、(易)已知3sin 5α=-,α是第四象限角,则sin 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭=____________. 8、(中)若tan()24πα+=,则212sin cos cos ααα=+____________.9、(中)0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________. 10、(中)化简:()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦. 11、(中)已知44απ3π<<,0＜β＜4π,cos(4π+α)=－53,sin(43π+β)=135, 求sin(αβ+)的值.参考答案预习自测: 1.D tan tan 23tan()1tan tan 123αβαβαβ---==++⨯=17- 2.A ∵(0,)2απ∈,3sin 5α=,∴4cos 5α=, 原式cos sin sin )44ααππ-=431cos sin 555αα-=-= 3.B 原式cos 40cos 70sin 40sin(18070)=+- cos 40cos70sin 40sin 70=+=3cos(4070)cos(30)2-=-=4.C 0000(1tan 21)(1tan 24)2,(1tan 22)(1tan 23)2++=++=,更一般的结论045,(1tan )(1tan )2αβαβ+=++=,5.C 原式cos103sin10sin10cos10-=()2sin 301041sin 202-= 6.B 原式=12sin cos 212212⎛⎫ππ- ⎪⎝⎭=2sin 2sin 1234πππ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭能力提升 7.10 由3sin5α=-,α是第四象限角,得4cos 5α===, 于是有sin sin cos cos sin 444ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πππ432525⎛⎫=-- ⎪⎝⎭= 8.23 由1tan tan()241tan αααπ++==-,得1tan 3α= ∴212sin cos cos ααα=+2222sin cos tan 122sin cos cos 2tan 13ααααααα++==++∵0000000tan 20tan 40tan 60tan(2040)1tan 20tan 40+=+==-000020tan 40tan 20tan 40=+,即原式10.解:()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦ = ()()()1sin cos sin sin 2αβααβααβα+-++-+-⎡⎤⎣⎦= ()()()()()1sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin 2αβααβααβααβααβα+-+++-+++⎡⎤⎣⎦ =()()sin cos cos sin αβααβα+-+=()sin αβα+-=sin β11.解:∵4π＜α＜4π3, ∴2π＜4π+α＜π.又cos(4π+α)=－53, ∴sin(4π+α)=54. 又∵0＜β＜4π, ∴4π3＜4π3+β＜π.又sin(4π3+β)=135, ∴cos(4π3+β)=－1312, ∴sin(α+β)=－sin ［π+(α+β)］=－sin ［(4π+α)+(4π3+β)］ =－［sin(4π+α)cos(4π3+β)+cos(4π+α)sin(4π3+β)］ =－［54×(－1312)－53×135］=6563.。
2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式导学案新人教A版必修
3. 1.1 两角差的余弦公式教材为本梳理新知［教材研读］预习课本P124〜127〕思考以下问题1 .如何用a的三角函数与3的三角函数表示COS〔 a — B〕?2 .公式是如何推导的?［要点梳理］1 . cos(60°—30° )=cos60° -cos30° .( )2 .对于任意实数a , (3 , COS( a —［3 ) = COS a — COS (3都不成立.()3 .对任意 a , B C R, cos( a —§ ) = cos a cos § +sin a sin 3 都成立.()［答案］1.X 2.x 3. V题型一 两角差的余弦公式的正用和逆用 思考：计算以下各式的值(1)cos45 ° cos45° + sin45 ° sin45 ° = ; (2)cos60 ° cos30° +sin60° sin30 ° = ; (3)cos30 ° cos120° +sin30° sin120 ° = ; (4)cos150 ° cos210° +sin150° sin210 ° = …3 1 提不：(1)1(2)方 (3)0(4)2+ a) + sin( a —45° )sin(15［思路导引］(1)利用诱导公式转化成余弦,再用两角差的余弦公式求解； (2)(3)直接利用公式求解即可.汽 汽5［解］(1)原式=cos y-- = cos —Tt汽 汽汽 汽= cos 7 + 7 =cos 7_ _-6=cos -cos — — sin "4sin -=(2)原式=cos(15 ° —105° ) = cos( -90° )=0.课堂互动探究(langhudongianjiu师生互动合作探究汽(1)sin —; (2)cos15cos105° +sin15° sin105 ° ;(3)cos( a —45° )cos(15求以下三角函数式的值.⑶原式=cos[( a —45° )—(15° + a)]1=cos( — 60 ) = 2.名师点评利用公式C L B)求值的方法技巧在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时, 要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),正用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式, 正确地正用公式或逆用公式求值.［跟踪练习］求以下各式的值.(1)cos75 ° cos15° - sin75 ° sin195 ° ;(2)sin46 ° cos14° + sin44 ° cos76° ;1 3(3) 2cos15 + sin15［解］(1)cos 75° cos15° - sin75 ° sin195 °= cos75° cos15°— sin75 ° sin(180 ° +15° )= cos75° cos15° + sin75 ° sin15 °1=cos(75 -15 ) =cos60 = ］(2)sin46 ° cos14° + sin44 ° cos76 —44° )cos14 ° + sin44 ° cos(90 ° —14° )= cos(44° —14° )=cos30°= cos(60° —15° ) =cos45°题型二给值求值问题［思路导引］考虑到B = ［ a — ( a — B )］这一关系,所以先求 a 角的余弦和 a — §角的正弦,然后代入两角差的余弦公式.a € 0, ~ , sin a = 17<2, 1- 0< a <6",「 三工八、21也£ — 2,6,c°s ( a — B )=29或,15 17'sin( a — §) = — 11 — cos a= sin(90= cos44° cos14° + sin44sin141.(3) .1 2- = cos60 ,3 J 2-=Sin60 ,12cos15jsin15= cos60° cos15° +sin60sin15廉例2sin80、21a =万,cos(a - (3 ) =29,求cos 3的值.［解］又「 aTt一万< a —JL一6,cos a =41 — sind 8 21一万构的变换.其中角的变换是最根本的变换.常见的有:a=(a + B )— a = §—(§ — a), a=(2a — §)—(a — §), … 1.,― B )] , a = 2K B + a) — ( 3 — a)]等.［跟踪练习］5P I . a c 2 一»设 COS a - y = - 9, Sin -- (3 =3,其中. 汽汽[解]1.- a €-2-,n ,B C 0,万,21 2 1— 2920 29'. cos 3 = cos[ a — ( a — 3 )] =cos a cos( a — B ) + sin a sin( 15 218=—X --- 1 - X17 29 1720 155 29493名师点评三角变换是三角运算的灵魂与核心,它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结L ,一, a=2[( a+B) + (a1 - sin 2-2 a + 3 -2 = cos1 =--X9题型三给值求角问题典例3口知1〞口) cos a =7, cos( a + 3)= — 五,且"、然后选择3的余弦值求解.一一一n 一 一3 € 0, — ,0< a + § < 式又「cos a =1, cos( a + S ) = - 117 142 — 4 ； 3• .sin a =y]1— cos a =^_,又< B=(a + B)—a, cos § = cos[( a + B ) - a ],1 1 181_4^ a cos "2 =cosa —— COS汽 … ..万一(3 + SinP n a -- sin —［思路导引］ B = ( a + B ) — a ,本例先确定 a + §的范围,求出 a 十 §的正弦值,[解] sin( a +3 ) =5 — cos 2a + B5,3 14得 sin( cos2 3 = cos[( a + B)—( a — 3 )]=cos( a + 3 )cos( a — B ) + sin( a + 3 )sin( a — 3 ) 12」12 5 、,5 =-x —— + —— X —= — 1. 13 13 13 13・ a — B e y,n,• ・ § — a e -3nc又.a+pC 2,2支, ••.2 〞=COS ( a + 3 ) ' cos a +sin( a + (3 )sin11 14 1X7+ 5v3* 小141 2.一 支 .,万,Tt 3.［变式］ cos( a~c cos( a + B )= S 且 13 1313［解］由 12 13'得 sin( 且 cos( a12+ 3)=行 _5 13.名师点评A三角函数值求角的解题步骤(1)确定角的范围,根据条件确定所求角的范围.(2)求所求角的某种三角函数值.为预防增解最好选取在所求范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角.【温馨提示】 在根据三角函数值求角时,易无视角的范围,而得到错误答案. ［跟踪练习］. 一 . , 一 - 一 兀 L・ 1一a= (cos a , sin (3) , b= (cos (3 , sin a ), 0< (3 < a <—,且 a b=2,贝 U a — B = .1 1［解析］ . a • b = 2,. . cos a cos B + sin a sin 8=5,1即 cos( a — 3) = 2,一 一一 兀 一 一兀 又.0< § < a <2", • . 0< a — § <2", •. a兀［答案］/ 3课堂归纳小结1 .本节课的重点是两角差的余弦公式,难点是公式的推导及应用.2 .要掌握两角差的余弦公式的三个应用 (1)两角差的余弦公式的正用和逆用,见典例 1 ; (2)给值求值问题,见典例 2;7t3.(3)给值求角问题,求典例3.3.本节课的易错点：利用两角差的余弦公式解决给值求角问题时,易无视角的范围而导致解题错误.随堂达标验收s uitangdabi aoyanshou1. cos66° cos36° +cos24° cos54°的值为(A. 0B.［答案］A亚B.1 C.出D.」2 2 2 2= cos(60 —15 )=cos45 =［答案］A3. cos165°等于()3B.」2 加学以致用达标检测［解析］原式=cos66° cos36 ° + sin(90 一24 )sin(90 — 54° )=cos66 cos36°+ sin66 ° sin36 °=cos(66 -36°)=cos30 =2,假设a=(cos60 b=(cos15° , sin15 ° ),贝U a - b=( ) ［解析］a , b = cos60° cos15°+ sin60 sin15 °1A.-2［解析］cos165° =cos(180° —15° ) = -cos15°=—cos(45° —30° )= —(cos45° cos30° + sin45 ° sin30 ° )［答案］B UB.26C72 C.26落 9d13213217 2 =26 .［答案］B的值为〔〕汽 A. 一4.cos a1213'_ 式 …0,万,贝U cos汽 --的值等于〔〕 ［解析］ cos a — 1 Q )13Si sin a =1- cos 2 a12 2 1313 而 cos aTtTt- = cos a cos —+ sin汽 a sin -4A/ . 13 •吊2什 5 5.右 cos( a — 3 )=看,cos2 a邛,并且a , B 均为锐角,且汽 B.1D556 -—- - 一n n 一一一一[解析]- 0< a < 3 <~, • • 一 ~2< a — 3 <0,0<2 a < n. T )T5. cos( a + B ) = cos[2 a — ( a — (3 )]=cos2 a cos( a — B ) + sin2 a sin( a - 3 ) =里巴再一期一也105 10 5 2 . p ,一小 、 ,c 3 汽 又.a+ *(0,n), .・ a+ 尸7［答案］C 由cos2民 10 %-,得 sin2 a 3 110 10C. 由 cos(。
2020-高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式学案(含解析)新人教A版必修
学习资料3。
1.1 两角差的余弦公式考试标准课标要点 学考要求高考要求两角差的余弦公式b b 两角差的正弦公式及两角和的正弦、余弦公式c c 两角和与差的正切公式cc知识导图学法指导本节内容公式较多，需要在理解的基础上进行记忆;试题灵活多样、技巧性强，要多练多总结，如角度之间的联系、公式的逆用及变形应用等都需要总结.两角差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差 的余弦 C (α－β) cos (α－β)＝cos _αcos _β＋sin _αsin _β α，β为任意角错误! 对两角差的余弦公式的记忆和理解(1）公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正,号相反”记忆公式．(2)注意事项:不要误记为cos （α－β）＝cos α－cos β或cos (α－β)＝cos αcos β－sin αsin β；同时还要注意公式的适用条件是α，β为任意角．（3)该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如构造角：β＝（α＋β)－α，β＝α＋β2－错误!等．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. （正确的打“√”，错误的打“×”) （1）cos （60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.（ )（2)对于任意实数α，β，cos （α－β)＝cos α－cos β都不成立．（ ) (3)对任意α，β∈R ,cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．( ） (4）cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0。
( ） 答案：（1)× (2)× （3）√ (4）√ 2．cos （30°－45°）等于( ) A.错误! B.错误!C.错误!D.错误! 解析：cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。
山东省平邑县高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）【学习目标】1.理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法；2.掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用.【新知自学】 知识回顾 1.两角差的余弦公式是 （公式1） 2.化简cos cos sin sin 2222αβαβαβαβ-+-++=3.)2sin(απ-= ；)2cos(απ-= ； )2sin(απ+= ；)2cos(απ+= . 新知梳理 两角和的余弦公式中的角βα,可以是任意角，那么，作如下的代换，你会有什么发现？1、把（1）式中的角“β+”换成“β-”，可得 （公式2）2、把（1）式中的角“α”换成“απ-2”，可得 （公式3） 3、把（1）式中的角“α”换成“απ+2”，可得 (公式4) 4、把（3）式除以（2）式，可得 （公式5）5、把（4）式除以（1）式，可得 （公式6） 思考感悟1、上述6个公式之间还有哪些联系，你能发现吗？2、在正切公式中,αβ应满足什么条件？3、如何熟练记忆公式？对点练习1、72cos 42cos72sin 42-o o o o= ；︒105cos = ；cos 20cos70sin 20sin 70-o o o o = ；︒-︒+15tan 115tan 1=2、的值为12sin 12cos 3ππ-（ ） A ． 0 B ．2 C ．2 D ．2-【合作探究】 典例精析：例1、求下列各式的值.（1）︒165sin ；（2）127tanπ.变式练习：1、求值：︒-︒15cos 75cos =变式练习：2、已知5sin 5α=，10sin()10αβ-=-，,αβ均为锐角，求β的值。
例2、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.变式练习： 3、已知314sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ4cos = .【课堂小结】【当堂达标】1. sin 12π25cos 6π11－cos 12π11s in 6π5的值是( ) A ．－22 B ．22 C ．-sin 12π D ．sin 12π 2. 若sin （α+β）cos β－cos （α+β）sin β=0，则sin （α+2β）+sin （α－2β）等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．±13. 求值：（1）sin75°；（2）si n13°cos17°+cos13°sin17°．【课时作业】1. s in14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ）A ．23B ．21 C ．23 D ．-21 2. ︒︒+︒︒40sin 20cos 40cos 20sin= ；︒+︒75sin 15sin = .3.︒︒+︒-︒15tan 75tan 115tan 75tan = ；︒+︒-15tan 3115tan 3= .4.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,54sin ，135cos -=β，若β是第三象限角，求()βα+cos .5.已知24tan =⎪⎭⎫⎝⎛+απ，求αtan 的值.*6. 已知 )2,20(,2tan ,31tan πβππαβα<<<<-==，求)tan(βα-与βα+的值.*7.在ABC ∆中，135cos ,53sin ==B A ，求C cos 的值.8、已知35sin()413πα+=，3cos()45πβ-=，且3044ππαβ<<<<，求cos()αβ+的值。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式知识巧解学案新人教A版必修.doc
3.1.1 两角差的余弦公式疱工巧解牛知识•巧学一、两角差的余弦公式1.推导方法1(向量法)：把cos(α-β)看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究.如图3-1-2，设α、β的终边分别与单位圆交于点P 1(cos α,sin α),P 2(cos β,sin β)，由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以我们只需考虑0≤α-β＜π的情况.图3-1-2设向量a =1OP =(cos α,sin α)，b =2OP =(cos β,sin β)，则ab =|a |·|b |·cos(α-β)=cos(α-β);另一方面，由向量数量积的坐标表示有a ·b =cos αcos β+sin αsin β，所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.于是对于任意的α、β都有上述式子成立.图3-1-3推导方法2(三角函数线法)：设α、β、α-β都是锐角，如图3-1-3，角α的终边与单位圆的交点为P 1,∠POP 1=β,则∠POx=α-β；过点P 作PM⊥x 轴于M ，则OM 即为α-β的余弦线.在这里，我们想法用α、β的三角函数线来表示OM ；过点P 作PA⊥OP 1于A ，过点A 作AB⊥x 轴于点B ，过点P 作PC⊥AB 于点C ，则OA 表示cos β，AP 表示sin β，并且∠PAC=∠P 1Ox=α,于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcos α+APsin α=cos βcos α+sin βsin α,即cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.2.公式的结构特征记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.3.两角差的余弦公式C α-β的应用(1)若所求角能表示成两个特殊角的差的形式，则所求角的三角函数值可用两个特殊角的三角函数值表示出来.(2)已知角α、β的弦函数值，求cos(α-β)的值.由cos(α-β)的展开式可知要求cos(α-β)的值，只需求得α、β的正弦值与余弦值即可.其中sin α、cos α，sin β、cos β都是同角的三角函数关系.(3)利用两角差的余弦公式证明三角恒等式.(4)利用两角差的余弦公式化简三角函数式.学法一得 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)=cos 30°=21. 误区警示 和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(α±β)≠cos α±cos β. 典题•热题知识点一 已知角α、β的三角函数值，求cos(α-β)的值例1 已知sin α=1715，α∈(2π,π),求cos(3π-α)的值. 思路分析：由于3π是特殊角，根据cos(3π-α)的展开式，只需求出cos α的值即可. 解：∵sin α=1715,α∈(2π,π)，∴cos α=178)1715(1sin 122-=--=--α. ∴cos(3π-α)=cos 3πcos α+sin 3πsin α=348315171523)178(21-=⨯+-⨯. 例2 已知sin α=1312，cos β=53-，α、β均为第二象限角，求cos(α-β). 思路分析：由cos(α-β)的展开式可知要求cos(α-β)的值，还需求出cos α、sin β. 解：由sin α=1312，α为第二象限角，∴cos α=135)1312(1sin 122-=--=--α. 又由cos β=53-，β为第二象限角， ∴sin β=54)53(1cos 122=--=-β. ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=6563541312)53()135(=⨯+-⨯-. 方法归纳 若所求角能用已知角表示出来，则所求角的三角函数值可用已知角的三角函数值表示出来，因此合理进行角的变换是解题的关键.例3 求函数y=cosx+3sinx 的周期、最值及取得最值时x 的集合.思路分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.解：y=cosx+3sinx=2(21cosx+23sinx)=2(cosxcos 3π+sinxsin 3π)=2cos(x-3π). 所以所求周期为2π. 当x-3π=2k π,k∈Z ，即{x|x=3π+2k π,k∈Z }时，y max =2； 同理,可知当{x|x=-32π+2k π,k∈Z }时，y min =-2. 例4 已知cos α+cos β=53,sin α+sin β=54，求cos(α-β)的值. 思路分析：由于两角和、差的余弦公式与同名的两个三角函数的积有关，根据条件，将其平方后即可构造出同名的三角函数之积的形式.解：将cos α+cos β=53,sin α+sin β=54的两边分别平方并整理，得 cos 2α+cos 2β+2cos αcos β=259,sin 2α+sin 2β+2sin αsin β=2516. 把上述两式的两边分别相加，得2+2(cos αcos β+sin αsin β)=1,即cos(α-β)=21-. 方法归纳 要牢记C α-β的展开式的特点，着眼于式子结构形式的变换是解好本题的关键. 知识点二 利用两角差的余弦公式证明三角恒等式例5 利用差角余弦公式证明下列等式：(1)cos(π-α)=-cos α； (2)cos(23π-α)=-sin α. 思路分析：直接利用差角余弦公式展开，利用特殊角的三角函数值化简证明.证明：(1)cos(π-α)=cos πcos α+sin πsin α=-cos α+0·sin α=-cos α; (2)cos(23π-α)=cos 23πcos α+sin 23πsin α=0·cos α-1·sin α=-sin α. 例6 证明3cos α+sin α=2cos(6π-α). 思路分析：由于右边是我们熟悉的两角差的余弦形式，所以可从展开右边入手，把复角的三角函数转化成两单角的三角函数的形式.证明：∵右边=2(cos 6πcos α+sin 6πsin α)=3cos α+sin α=左边， ∴原式成立.知识点三 逆用两角差的余弦公式化简三角函数式例7 化简下列各式：(1)cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α；(2)cos50°cos20°+cos40°sin20°.思路分析：逆用两角差的余弦公式化简的关键是观察题目的特点，从整体出发，利用诱导公式，转化成两角差的形式.逆用公式求值是一种常见思路.解：(1)原式=cos ［(α+β)-α］=cos β；(2)原式=cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)=cos30°=23. 方法归纳 通过对变换对象和变换目标进行对比、分析，逐步学会如何根据题设与结论的特点选择公式、变形公式，从而找到两者间的联系是我们学习的关键，为此可从角的角度、函数名称的角度及式子结构形式的角度入手去分析解决问题.问题•探究思想方法探究问题 在三角恒等变换中，角的变换是解决问题的有效手段，在本节当中，角有哪些变换方法？在解题中如何应用？探究过程:角的代换的实质是根据解题的需要灵活处理角的形式，也就是将单角、倍角的形式变成几个角的和或差，而这些角的和或差在题目中已知，如：若α、β均为锐角，且cos α=71,cos(α+β)=1411-，求cos β的值.如果展开cos(α+β)进行运算则烦琐难解，但若利用β=(α+β)-α代换，也就是cos β=cos ［(α+β)-α］，则解法十分简便，大大降低问题的难度.探究结论:本节涉及角的以下几种变换，在以后解题中常常见到，请你多加注意.常见的角的代换关系有：α=(α+β)-β；α=β-(β-α)；β=(α+β)-α；2α=［(α+β)+(α-β)］；2β=［(α+β)-(α-β)］等.方案设计探究问题 在自然界中，存在着大量的周期函数，研究这些周期函数有利于我们在科学技术中加以应用.两个周期函数合成后，是否还是周期函数？如果是周期函数，那么函数的类型是否发生了改变?比如两个正弦电流i 1=3sin(100πt+3π)和i 2=sin(100πt-6π)合成后是否仍是正弦电流呢？类似地，两个声波和光波合成后又是怎样的？探究思路:利用现代信息技术作一研究，可以按下面的程序进行操作，也可以设计其他的研究方案.1.上网搜寻并安装绘图软件；2.分别选取不同的函数y=asinx+bcosx ，猜想你所选取的y=asinx+bcosx 的化简后的类型，再利用绘图工具绘制出其图象，并与y=asinx+bcosx 的图象对比；3.尝试确定猜测的该类型函数中的参变量与y=asinx+bcosx 中a 、b 的关系，得出asinx+bcosx 的化简公式；4.尝试采用不同的方法证明得出的结论，并说明与其相关联的三角变换公式之间的联系；5.利用结论求前面提到的两正弦电流合成后的电流的振幅、周期、初相.探究结论:由于两电流分别为i 1=3sin(100πt+3π)，i 2=sin(100πt-6π)， 将它们相加后，可以写成i=i 1+i 2=3sin(100πt+3π)+sin(100πt-6π)， 利用正弦的和角公式S (α+β)，可得到 i=3(sin100πtcos 3π+cos100πtsin 3π)+(sin100πtcos 6π-cos100πtsin 6π).整理得到i=3sin100πt+cos100πt.此式可以写成i=2(23sin100πt+21cos100πt)=2(cos 6πsin100πt+sin 6πcos100πt)=2sin(100πt+6π).这样就得到了一个频率仍然为100π rad/s 的正弦电流(单位：A).。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式学案含解析新人教A版必修
学习资料3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1。
1两角差的余弦公式内容标准学科素养1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算。
直观想象数学运算逻辑推理授课提示：对应学生用书第72页[基础认识］知识点两角差的余弦公式阅读教材P124～127，思考并完成以下问题如何用α，β的正、余弦值来表示cos（α－β）呢?(1）计算下列式子的值,并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝__________；②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝________；③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝________；④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝________．猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝________，即______________________________．提示：①1＝cos 0°②错误!＝cos 30°③0＝cos 90°④错误!＝cos 60°cos(α－β)cos（α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β（2）单位圆中（如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？错误!与错误!的夹角是多少?提示:A（cos α，sin α）、B(cos β，sin β），∠AOB＝α－β。
(3)错误!·错误!＝________．提示：错误!·错误!＝(cos α，sin α)·(cos β,sin β）＝cos αcos β＋sin αsin β.错误!·错误!＝｜错误!||错误!｜cos∠AOB＝cos（α－β）．知识梳理C(α－β）：cos（α－β）＝cos__αcos__β＋sin__αsin__β．思考（1）对任意α，β都有cos(α－β）＝cos α－cos β吗？提示：不是．（2)存在α,β∈R,使cos(α－β)＝cosα－cos β吗？提示:存在．[自我检测］1．计算cos错误!cos错误!＋cos错误!sin错误!的值是(）A．0B。
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式
23sinα＝12，则
1 α＝___2_____．
(2)已知 cos(α－β)＝－1123，cos(α＋β)＝1123，且 α－β∈(π2，π)，α＋β∈(32π，2π)，
求角 β 的值．
[思路分析] (1)由公式可求出 cos(α－π3)的值，再根据 α 的范围确定 α－π3的值．
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(2)由条件可发现角与角之间的关系：2β＝(α＋β)－(α－β)，所以应先求出 2β
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自主预习(yùxí)学案
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我们知道 cos45°＝ 22，cos30°＝ 23.请同学们思考这样一个问题：cos15°＝
cos(45°－30°)＝cos45°－cos30°成立吗？答案当然是不成立，因为 cos15°的值应该
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会出错．
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(2)原式＝cos83°cos23°＋sin83°sin23°＝cos(83°－23°)＝cos60°＝12；
(3)cos105°＝cos(60°＋45°)＝cos60°·cos45°－sin60°·sin45°＝12×
22－
23×
2 2
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＝
2－ 4
6．
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cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ．
②角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)
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3.1.1两角差的余弦公式
【学习目标】
1.理解用三角函数线或向量方法推导两角差的余弦公式.
2.掌握两角差的余弦公式及其应用.
【新知自学】 知识回顾
2、三角函数中，已学习了哪些基本的三角函数公式？ 新知梳理
1、设βα,为两个任意角, 你能判断βαβαcos cos )cos(-=-恒成立吗?
2、我们设想)cos(βα-的值与βα,的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？ 120=
3、试推导上述公式（利用三角函数线）
思考感悟
βα,适用于任意角吗？
2、公式的特点是什么？如何记忆？公式能逆用吗？
对点练习
cos17等于 （ ）
A.cos200cos30-sin200sin30
B. cos200cos30+sin200sin30
C. sin200sin30- cos200cos30
D.cos20 0sin20 0+sin3 0cos3 0
【合作探究】 典例精析：
例1、利用差角余弦公式求cos15的值.
变式练习：1、利用差角余弦公式求︒105cos 的值.
变式练习：2、︒75sin =
例2、利用两角差的余弦公式证明等式ααπcos )cos(-=-.
变式练习：3、利用两角差的余弦公式证明等式ααπ
sin )2cos(=-.
例3、已知4
sin 5α=，5
,,cos ,213π
απββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.
变式练习：
4、53
cos =θ，⎪⎭⎫
⎝⎛∈2,0πθ，则)6cos(π
θ-=（ ） A.10433- B. 104
33
+ C. 5433+ D.23
【课堂小结】
【当堂达标】
1. )15cos(︒-=（ ） A.46
2- B. 42
6- C. 426+ D. 42
6+
-
2.︒︒+︒︒15sin 105sin 15cos 105cos =
3.︒︒+︒︒75cos 75sin 75sin 75cos =
4. cos(20)cos(40)θθ+︒-︒sin(20)sin(40)θθ++︒-︒ =
【课时作业】
1.计算︒︒+︒︒25sin 110sin 335cos 70cos 的结果是（ ） A. 1 B. 22 C.23 D.21
2.已知⎪⎭⎫
⎝⎛∈=2,0,1312
cos παα，则⎪⎭⎫
⎝⎛-4cos πα=（ ） A.132
5 B.262
17 C. 2627 D.132
7
*3.化简x x sin 6cos 2+=（ ） A.)6cos(22x -π
B. )3cos(22x -π
C. )6cos(22x +π
D. )3cos(22x +π
*4已知1
1
sin sin ,cos cos ,23αβαβ+=+=则()cos αβ-=
*5.已知
0cos cos cos ,0sin sin sin =++=++γβαγβα，求)cos(βα-的值.
6. 已知sin 3
5α=，8
cos ,13ββ=-是第三象限角，求()cos αβ-的值.
*7.已知βα,都是锐角，
1411
)cos(,71cos -=+=βαα，求β的值.。