九年级数学暑假班讲义：第2讲 三角形一边的平行线一(学生版)

三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质定理及推论，重点是掌握该定理及其推论，分清该定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“A”字型和“X”字形这两个基本图形，为后面学习相似三角形奠定基础．1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知ABC∆，直线//l BC，且与AB、AC所在直线交于点D和点E，那么AD AEDB EC=．三角形一边的平行线（一）内容分析知识结构模块一：三角形一边的平行线性质定理知识精讲【例1】如图，在ABC∆中，15AB=，10AC=，//DE BC，6BD=，求CE．【难度】★【答案】4．【解析】BD CEAB AC=，代入可得：=4CE．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．【例2】阳光通过窗口照在教室内，在地面上留下2.7米宽的亮区（如图）．已知亮区一边到窗下的墙角距离8.7CE=米，窗口 1.8AB=米，求窗口底边离地面的高BC．【难度】★【答案】5.8m．【解析】射入的光线平行，则有AB DEAC CE=，代入可求得：5.8AC m=，4BC AC AB m=-=．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，在路灯、太阳光线中经常用到．【例3】在ABC∆中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，//DE BC，若:2:3AD AB=，12EC=厘米，则AC=．【难度】★【答案】7.2cm．【解析】由//DE BC，可得23AE ADAC AB==，故53ECAC=，代入求得7.2AC cm=．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理和比例合比性的综合应用．例题解析【例4】如图在ABC ∆中，CD 平分ACB ∠，//DE BC ，5AC =厘米，3:5ADAB=，求DE 的长．【难度】★ 【答案】2cm ． 【解析】Q //DE BC ，35AE AD AC AB ∴==． 由5AC cm =，代入可求得：32AE cm CE cm ==，． 又Q //DE BC ，EDC DCB ∴∠=∠． 又CD 平分ACB ∠， ECD DCB ∴∠=∠． ECD EDC ∴∠=∠， 2DE CE cm ∴==．【总结】本题中涉及一个基本图形，平行线与角平分线一起会产生等腰三角形，同时应用三角形一边平行线的性质定理．【例5】如图，已知在ABC ∆中，//DE BC ，//EF AB ，2AE CE =，6AB =，9BC =，求四边形BDEF 的周长．【难度】★ 【答案】16．【解析】Q 2AE CE =，2133AE CE AC AC ∴==，． 又//DE BC ，//EF AB ，2133AD AE EF CE AB AC AB AC ∴====，，四边形BDEF 为平行四边形． 代入可求得：62DE EF ==，， ()2=16BDEF C DE EF ∴=+四边形．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用．【例6】如图，在ABC∆中，10AB=，8AC=，点D在直线AB上，过点D作//DE BC交直线AC与点E．如果4BD=，求AE的长．【难度】★★【答案】245或565．【解析】（1）D在线段AB上时，6AD AB BD=-=，由//DE BC，可得：AD AEAB AC=，代入可得：245AE=；（2）D在线段AB延长线上时，14AD AB BD=+=，由//DE BC，可得：AD AEAB AC=，代入可得：565AE=；（3）D在线段AB反向延长线上的情况不存在．【总结】题目中的点是在直线或者射线上时，要注意仔细看题，考虑多解情况的出现．【例7】如图，在ABC∆中，AB AC>，AD BC⊥于点D，点F是BC中点，过点F作BC 的垂线交AB于点E，:3:2BD DC=，则:BE EA=．【难度】★★【答案】5:1．【解析】由:3:2BD DC=，BF FC=，即得：32BF FDBF FD+=-，可得：51BFFD=．又AD BC⊥，EF BC⊥，EF∴//AD，::5:1BE EA BF FD∴==．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用．【例8】如图，已知////AB CD EF ，14OA =，16AC =，8CE =，12BD =，求OB 、DF 的长．【难度】★★ 【答案】212OB =，6DF =． 【解析】由////AB CD EF ，OA OBAC BD ∴=． 代入可得：141221162OB ⨯==． 同时根据比例的合比性，可得：OA AC OB BD AC BD ++=，即OC ODAC BD=， 又根据平行，可得：OC ODCE DF=， AC BDCE DF∴=．代入求得：812616DF ⨯==． 【总结】考查三角形一边平行线定理的变形应用，实际上，任意两条直线被三条平行线所截得的线段对应成比例．【例9】如图，已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，//DE BC ，:3:4ECD BCD S S ∆∆=，求EC 的长．【难度】★★【答案】12．【解析】∵ECD V 和BCD V 为等高三角形，故34ECD BCD S DE BC S ==V V ，由//DE BC ，2BC =，ABC ∆为等边三角形， 可知ADE V 也为等边三角形，∴32DE =，∴31222EC AC AE =-=-=． 【总结】平行于等边三角形一边截得的三角形也是等边三角形．【例10】如图，P为ABCDY对角线BD上任意一点．求证：PQ PI PR PS=g g．【难度】★★【答案】略．【解析】证明：Q四边形ABCD为平行四边形，////AB CD AD BC∴，，////RB DI SD BQ∴，．根据三角形一边平行线的性质定理，则有PI PD PS PR PB PQ==，PQ PI PR PS∴⋅=⋅．【总结】初步认识相似三角形中的“X”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例11】如图，在平行四边形ABCD中，CD的延长线上有一点E，BE交AC于点F，交AD于点G．求证：2BF FG EF=g．【难度】★★【答案】略．【解析】证明：Q四边形ABCD为平行四边形，////AB CD AD BC∴，，////AB CE AG BC∴，．根据三角形一边平行线的性质定理，则有：EF CF BF BF AF FG==，∴2BF FG EF=g．【总结】初步认识相似三角形中的“X”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例12】如图，点C 在线段AB 上，AMC ∆和CBN ∆都是等边三角形．求证：（1）MD AMDC CN =；（2）MD EB ME DC =g g ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）Q AMC ∆和CBN ∆是等边三角形，60ACM NCB AMC ∴∠=∠=∠=︒．∵点C 在线段AB 上，18060MCN ACM NCB AMC ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠．//AM CN ∴，∴MD AMDC CN =． （2）同（1）易证得//CM BN ，则有ME MCEB NB=． Q AMC ∆和CBN ∆是等边三角形， MC AM NB CN ∴==，，MD MEDC EB∴=， ∴MD EB ME DC =g g ． 【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例13】如图，ABC ∆的面积是10，点D 、E 、F （与A 、B 、C 是不同的点）分别位于 AB 、BC 、CA 各边上，而且2AD =，3DB =，如果ABE ∆的面积和四边形DBEF 的面积相等，求ABE ∆的面积．【难度】★★★ 【答案】6．【解析】连结DE ，由ABE DBEF S S =V 四边形，可得ADF AEF S S =V V ， 两三角形同底，可得两三角形等高，故//DE AC ，根据平行于三角形一边的直线性质定理，可得：35BD BE AB BC ==，故35ABE ABC S BE S BC ==V V ，求得3=10=65ABE S ⨯V ．【总结】注意等高（同底）三角形面积比等于底边（高）之比．【例14】如图，在ABC ∆中，6BC =，42AC =，45C ∠=︒，在BC 边上有一动点P ，过P 作//PD AB 与AC 相交于于点D ，联结AP ，设BP x =，APD ∆的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围； （2）P 点是否存在这样的位置，使APD ∆的面积是APB ∆的面积的23？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）()212063y x x x =-+<<；（2）存在，2BP =．【解析】（1）过点P 作PE AC ⊥于点E ． 由BP x =，可得：6PC x =-， 又45C ∠=︒，故()22622PE CE PC x ===-． 又//PD AB ，故BP ADBC AC=，代入可得223AD x =，故()()2112221620622233y PE AD x x x x x =⋅=⋅-⋅=-+<<． （2）过点A 作AF BC ⊥于点F ． 由4542C AC ∠=︒=，可得4AF CF ==， 故122ABP S AF BP x =⋅=V ， ∵APD ∆的面积是APB ∆面积的23， ∴2122233y x x x =-+=⨯，解得：2x =，即2BP =．【总结】考查三角形中一边平行线性质的综合应用，同时在题目中，注意对于特殊角的利用．FE1、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D、E分别在ABC∆的边AB、AC上，//DE BC，那么DE AD AEBC AB AC==．2、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．【例15】如图，D、E分别是ABC∆的边AB、AC上的点，且//DE BC．（1）如果2DE=，6BC=，3AD=，求AB的长；（2）如果2DE=，6BC=，8BD=，求AD、AB的长；（3）如果35ADBD=，求DEBC的值．【难度】★【答案】（1）9；（2）412AD AB==，；（3）38．【解析】（1）∵//DE BC，13AD DEAB BC==，9AB=；（2）∵//DE BC，∴13AD DEAD BD BC==+，∴4AD=，∴12AB AD BD=+=；（3）∵//DE BC，∴33358DE ADBC AB===+．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．模块二：三角形一边的平行线性质定理推论知识精讲例题解析【例16】如图，BE 、CF 是ABC ∆的中线，交于点G ．求证：12GE GF GB GC ==．【难度】★ 【答案】略．【解析】证明：过点F 作//FD BE 交AC 于点D ． Q F 是AB 中点，D ∴是AE 中点，故12DF AD BE AE ==， 又E 是AC 中点，//FD EG ，12GF DE GC CE ∴==，23EG CE FD CD ==，即()2132EG EG BG =+，整理得：12GE GF GB GC ==． 【总结】考查三角形重心性质的证明，通过一个中点作对边的平行线即可．【例17】已知小智的身高是 1.6CD =米，他在路灯下的影长2DE =米，小智与路灯灯杆的底部B 的距离为3DB =米，则路灯灯泡A 距地面的高度AB =米．【难度】★ 【答案】4．【解析】∵//AB CD ，∴22235CD DE AB BE ===+，∴4AB m =． 【总结】考查三角形一边平行线定理的实际应用．【例18】如图，一根直立于水平地面的木杆AB 在灯光下形成影子，当木杆绕点A 按逆时针 反向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化.设AB 垂直于地面时的影子为AC （假 定AC AB >），影子的最大值为m ，最小值为n ，有下列结论：① m AC >；②m=AC ；③n AB =；④影子的长度先增大后减小.其中正确的序号是．【难度】★★ 【答案】①③④．【解析】木杆绕点A 逆时针旋转时，当AB 与BC 光线垂直 时，m 最大，则m AC >，①成立，②不成立；最小值 为AB 与AC 重合，故③成立；由上可知，影子长度先增大后减小，故④成立．【总结】找准临界值，注意进行思维分析．Da Nb Qx c P M xNa Qcb P M cNxQa b P M cN b Qa x PM 【例19】已知：MN // PQ ，a b ≠，c x ≠，则满足关系式bcx a=的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【难度】★★ 【答案】C【解析】交叉相乘，满足ax bc =的是C 选项． 【总结】考查三角形一边平行线性质的简单应用．【例20】如图，ABC ∆中，//DE BC ，3AE =，4DE =，2DF =，5CF =，求EC 的长． 【难度】★★ 【答案】92EC =． 【解析】Q //DE BC ，25DE DF AE BC CF AC ∴===，即3235EC =+，求得：92EC =．【总结】相似三角形中“A ”字型和“X ”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．【例21】如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，若:1:2DE EC =，则:BF BE =．【难度】★★ 【答案】3:5．【解析】:1:2DE EC =，可知23CE CE CD AB ==，由//CE AB ，可知32BF AB EF CE ==，故:3:5BF BE =． 【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型．【例22】如图，在ABC ∆中，6BC =，G 是ABC ∆的重心，过G 作边BC 的平行线交AC 于点H ，求GH 的长．【难度】★★ 【答案】2．【解析】连结AG 并延长交BC 于点D ，根据重心的定义，可知D 为BC 中点，则132DC BC ==，根据重心的性质，又//GH DC ，可得：23GH AG DC AD ==，求得2GH =．【总结】考查三角形重心的性质．【例23】如图，已知////AB CD EF ．AB m =，CD n =，求EF 的长．（用m 、n 的代数式表示）．【难度】★★【答案】mnm n+．【解析】由////AB CD EF ，则有EF CF EF BFAB BC CD BC==，，即1EF EF m n +=，得mnEF m n =+．【总结】考查相似三角形中“X ”字型的综合应用，得到比例关系．【例24】如图，E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，13AE EC =，BE 的延长线交CD的延长线于点G ，交AD 于点F ，求:BF FG 的值．【难度】★★ 【答案】1:2．【解析】由//AF BC ，可得13AF AE BC EC ==，即13AF AD =， 故12AF FD =，由//AB DG ，可得：::1:2BF FG AF FD ==．【总结】考查相似三角形中“X ”字型的综合应用，得到比例关系．D【例25】如图，12//l l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，求:AE EC 的值． 【难度】★★ 【答案】2:1．【解析】由12//l l ，得：25AG AF BD FB ==，又:4:1BC CD =，可得21AG CD =，故::2:1AE EC AG CD ==．【总结】考查相似三角形中“X ”字型的综合应用，得到比例关系．【例26】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在AB 上，且//EO BC ，已知3AD =，6BC =．求EO 的长．【难度】★★ 【答案】2．【解析】由//AD BC ，可得：3162AO AD CO BC ===，故13AO AC =，由//EO BC ，13EO AO BC AC ==，求得2EO =． 【总结】相似三角形中“A ”字型和“X ”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．【例27】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，3AD =，5BC =，E 、F 是两腰上的点，且//EF AD ，:1:2AE EB =，求EF 的长．【难度】★★ 【答案】113．【解析】过点A 作//AH DC 交BC 于H ，交EF 于G ， 则有32CH FG AD BH ====，，又//EG BH ，可得：13EG AE BH AB ==，解得：23EG =，故113EF EG GF =+=． 【总结】两条直线被三条平行线所截得的线段长对应成比例．G HMFEDCBA 【例28】如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，:3:1BD DC =，G 为AD 的中点，联结BG 并延长AC 交于E ，求:EG GB 的值．【难度】★★ 【答案】1:7．【解析】过点D 作//DF BE 交AC 于F ．此时则有14DF CF DC BE CE BC ===，又G 为AD 中点，根据平行可得：12GE DF =，故18GE BE =，即18EG EG GB =+，可得:1:7EG GB =．【总结】构造平行线，构造比例线段是解决这类问题的根本．【例29】已知点D 是ABC ∆的BC 边上的一点，13CD BC =，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，求:AF AC 的值．【难度】★★ 【答案】2:5．【解析】过点D 作//DM BF 交AC 于点M ．∵13CD BC =，∴13CM CD CF BC ==，∴12CM MF =． 又E 为AD 中点，//DM BF ， ∴F 为AM 中点，即AF FM =，∴:2:5AF FC =．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，通过构造平行线等比例转化即可得出答案．F【例30】如图，路灯A 的高度为7米，在距离路灯正下方B 点20米处有一墙壁CD ，CD BD ⊥， 如果身高为1.6米的学生EF 站立在线段BD 上（EF BD ⊥，垂足为F ，EF CD <），他的影子的总长度为3米，求该学生到路灯正下方B 点的距离FB 的长．【难度】★★★【答案】818m 或18m【解析】（1）影子全部在地面上时， 设点E 在地面的投影为点M ， 则有3FM =．由EF BD ⊥，AB BD ⊥，可得//EF AB ，则有EF FMAB BM =， 代入可求得：1058BM m =，则818FB BM FM m =-=． （2）影子部分在地面，部分在墙面上时，如图，根据同一时刻同一地点任何物体影长与其 高度比值相同，设墙上部分影长ND x =，则有3DF x =-，17FB x =+，则有ND GD AB GB =， 即720x GD GD =+，可得207xGD x=-， 又根据//ND EF ，可得ND GD EF GF =，即207201.637xx x x xx-=+--， 整理即得：210110x x +-=， 解得：()12111x x ==-，舍．故18FB m =．【总结】影长问题，注意同一时刻同一地点任何物体影长与其高度比值相同，有障碍物时，障碍物上的影长仍满足这个条件，注意进行分类讨论．EFNGGH FEDCBAFE D CBA【例31】如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、AD 上，EF 交AC 于点G ，若:2:3AE EB =，:1:2AF AD =，求:AG AC 的值．【难度】★★★ 【答案】2:9．【解析】延长FE 交CB 的延长线于点H ．∵//AF BH ，∴23AF AE BH EB ==． 又:1:2AF AD =，故可得：227AF AF CH AF BH ==+，∵//AF CH ，∴27AG AF GC CH ==，故:2:9AG AC =． 【总结】构造与所求线段相关的“A ”字型或“X ”字型，比例转化．【例32】如图，在ABC ∆中，设D 、E 是AB 、AC 上的两点，且BD CE =，延长DE 交BC的延长线于点F ，:3:5AB AC =，12cm EF =，求DF 的长．【难度】★★★ 【答案】20cm ．【解析】过点D 作//DH AC 交BC 于H ，则有35BD AB DH AC ==，又BD CE =，则有35CE DH =，由//CE DH ，得35EF CE DF DH ==，代入计算得：125320DF cm =⨯÷=． 【总结】作平行线，构造出与所求线段相关的“A ”字型或“X ”字型，比例转化．G FEDCBA G FEDCBA【例33】如图，已知ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且:3:2AD DB =，:1:2AE EC =，直线ED 和CB 的延长线交于点F ，求:FB FC ．【难度】★★★ 【答案】1:3．【解析】过点B 作//BG FE 交AC 于G ． 根据三角形一边平行线的性质定理，可得： 32AE AD EG DB ==，又:1:2AE EC =，故13EG EC =，由//BG FE ，可得：::1:3FB FC EG EC ==．【总结】作平行线，构造出与所求线段相关的“A ”字型或“X ”字型，比例转化．【例34】已知：在ABC ∆中，D 、E 是BC 上的两点，且//AD EG ，EG 交AC 于F ，交BA 的延长线于G ，若2EF EG AD +=．求证：AD 是ABC ∆的中线．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：Q //AD EG ， AD BD EF CEEG BE AD CD ∴==，． BE CEEG AD EF AD BD CD ∴=⋅=⋅，．Q 2EF EG AD +=， 2BE CE BD CD∴+=． 则有11BE CEBD CD-=-， BE BD CD CEBD CD --∴=． 即DE DEBD CD=． BD CD ∴=．即AD 是ABC ∆的中线．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，注意根据题目条件灵活进行比例转换，将条件转化到同一个量，得出结论．【习题1】如图，在ABC ∆，//DE BC ，DE 与边AB 、AC 分别交于点D 、E ． （1）已知6AD =，8BD =，4AE =，求CE 、AC 的长；（2）已知:2:5AE AC =，10AB =，求AD 的长．【难度】★ 【答案】（1）162833AE CE ==，；（2）4． 【解析】（1）∵//DE BC ，∴AE AD CE DB =，∴163CE =； （2）∵//DE BC ，:2:5AE AC =，∴25AD AE AB AC ==，∴4AD =．【总结】考查三角形一边平行线的性质．【习题2】如图，//EF AB ，//DE BC ，下列各式正确的是（）（A ）AD BF BD CF = （B ）AE CEED BC =（C ）AE BDEC AD=（D ）AD ABED BC=【难度】★ 【答案】A【解析】根据三角形边平行线的性质进行比例线段转化可 知A 选项正确；B 、C 、D 错误．【总结】考查三角形一边平行线的性质的应用．【习题3】如图，菱形ADEF 内接于ABC ∆，16AB =，14BC =，12AC =，求BE 的长． 【难度】★ 【答案】8．【解析】根据三角形一边平行线的性质，DE BE EF CEAC BC AB BC==，， 即有1DE EF AC AB +=，可解得菱形边长487DE AD ==，故647BD AB AD =-=，BE BDBC BA=，∴8BE =． 【总结】考查三角形一边平行线的性质的综合应用．随堂检测GMDCBA【习题4】如图，P 是ABC ∆的中线AD 上一点，//PE AB ，//PF AC ．求证：BE CF =．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：Q //PE AB ，//PF AC ，BE AP CF APBD DA DC DA ∴==，， BE CFBD DC ∴=， 又BD CD =，BE CF ∴=．【总结】考查三角形一边平行线的性质的综合应用，用固定线段的比值作为中间量．【习题5】如图，在ABC ∆中，//DE BC ，且:2:3AD AB =，求:EO EB 的值． 【难度】★★ 【答案】2:5．【解析】由//DE BC ，可得23DE AD BC AB ==，则23EO DE BO BC ==，根据比例的合比性，可得:2:5EO EB =．【总结】找准图形中的“A ”字型和“X ”字型进行比例线段的转化构造．【习题6】在ABC ∆中，AB AC =，如果中线BM 与高AD 相交于点G ，求AGAD． 【难度】★★【答案】23．【解析】AB AC AD BC =⊥Q ，， BD CD ∴=．即D 为BC 中点，M Q 为AC 中点， G ∴为ABC ∆重心，23AG AD ∴=． 【总结】考查重心的意义和性质，先证明再利用性质．NE GH F M D CBA【习题7】如图ABC ∆，点D 、E 分别在BC 、AC 上，BE 平分ABC ∠，//DE BA ．如果24CE =，26AE =，45AB =，求DE 和CD 的长．【难度】★★ 【答案】1085DE =，129665CD =． 【解析】根据三角形一边平行线的性质，可得DE CEAB AC=， ∴452410824265AB CE DE AC ⋅⨯===+．由BE 平分ABC ∠，则有ABE DBE ∠=∠，由//DE BA ，可得：DEB ABE ∠=∠，即DEB DBE ∠=∠，故1085BD DE ==，进而可得：CD CE BD AE =，∴129665BD CE CD AE ⋅==． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理的应用，同时考查平行线与角平分线一起出现会产生等腰三角形的基本图形．【习题8】如图，梯形ABCD 中，//////DC EF GH AB ，30AB cm =，10CD cm =，::2:3:4DE EG GA =，求EF 与GH 的长度．【难度】★★★ 【答案】13019099EF cm GH cm ==，．【解析】过点C 作//CP DA 分别交EF 、GH 、AB 于 点M 、点N 、点P ，则易得四边形DAPC 为平行 四边形．则10EM GN AP DC cm ====，20PB cm =．由//FM BP ，可得：29FM CM DE PB CP DA ===，代入可得：409FM cm =，1309EF EM FM cm =+=． 由//NH PB ，可得：59NH CN DG PB CP DA ===，代入可得：1009NH cm =，1909GH GN NH cm =+=． 【总结】夹在平行线间的线段对应成比例．M N P【作业1】已知线段a、m、n，且ax mn=，求作x，作法正确的是（）（A）（B）（C）（D）【难度】★【答案】C【解析】考查三角形一边平行线的性质定理，变形即为a nm x=，可知C选项满足题意．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，进行简单的变形应用，可知线段错位相乘满足题意的即为所求选项．【作业2】如图，ABC∆中，AB ACBE EC=，53ABAC=，//DE AC，求:AB BD的值．【难度】★【答案】8:5．【解析】由AB ACBE EC=，53ABAC=，可得53BEEC=，根据比例的合比性质，可得58BEBC=，由//DE AC，可得::8:5AB BD BC BE==．【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用．课后作业NEFMDC B A 【作业3】如图，////AB EF CD ，2AB =，8CD =，:1:5AE EC =，求EF 的长度． 【难度】★★ 【答案】3EF =．【解析】过点B 作//BN AC 交EF 于点M ，交CD 于点N ． ∵////AB EF CD ，∴四边形AEMB 、ACNB 、ECNM 都为平行四边形，∴2CN EM AB ===，且有FM BMDN BN =． Q :1:5AE EC =，16BM AE BN AC ∴==． 16FM BM ND BN ∴==/ ∵6ND CD CN =-=， ∴1FM =，3EF EM FM ∴=+=．【总结】三条平行线被两条直线所截，将其中一条直线平移，放到同一个三角形中解答．E GFMDCBA E G FMDCBA 【作业4】平行四边形ABCD ，E 是AB 的中点，在直线AD 上截取2AF FD =，EF 交AC于G ，求AGGC 的值．【难度】★★【答案】25或23．【解析】（1）当点F 在AD 上时，如图． 过点E 作//EM BC 交AC 于点M ， 由E 为AB 中点，则M 为AC 中点， Q 四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC AD BC ∴=，．又2AF FD =， 223AF AF AF AD BC EM ∴===． 由//AF EM ， 43AG AF GM EM ∴==,42105AG AG GC GM AM ∴===+． （2）当点F 在AD 延长线上时，如图， 过点E 作//EM BC 交AC 于点M ， 由E 为AB 中点，则M 为AC 中点， Q 四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC AD BC ∴=，．又2AF FD =， 22AF AF AF AD BC EM ∴===． 由//AF EM ， 4AG AF GM EM∴==4263AG AG GC GM AM ∴===+． 【总结】注意题目中的关键词语，在直线上，由此要进行分类讨论，根据三角形一边平行线的性质构造“A ”字型、“X ”字型即可．【作业5】如图，////AB EF DC ，已知20AB =，80CD =，求EF 的长． 【难度】★★ 【答案】16【解析】由////AB EF DC ，可得:BF EF BC CD =，CF EFBC AB=，则有1EF EFAB CD+=，代入计算得16EF =． 【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，利用比例线段之间的关系构造等式求解．【作业6】如图，在ABC ∆中，D 是边BC 上一点，//DF AB ，//DE CA ．（1）求证：AE CFEB FA =； （2）如果2CF =，5AC =，6AB =，求AE 、DE 的长． 【难度】★★【答案】（1）略；（2）1235AE DE ==，． 【解析】（1）证明：Q //DE CA ，AE CDEB DB ∴=， 又Q //DF AB ， CD CFDB FA∴=，AE CFEB FA∴=． （2）解：由（1）可得AE CFEB FA=， 根据比例的合比性质，得：AE CFAB AC=， 代入可解得：621255AE ⨯==， 由//DE CA ，//DF AB ， 可知四边形AEDF 为平行四边形，即得：3DE AF AC CF ==-=．【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，进行比例线段转化．【作业7】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE 与BD 相交于点O ，CE 与BA 的延长线相交于点G ，已知2DE AE =，10CE =，求GE 和CO 的长．【难度】★★★【答案】56GE CO ==，．【解析】Q 四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC AD BC ∴=，．又2DE AE =，13GE AE AE GC BC AD ∴===，23EO DE OC BC ==， 即13GE GE EC =+，23EC CO CO -=，代入即可求得56GE CO ==，．【总结】考查利用三角形一边平行线的性质构造“A ”字型和“X ”字型，进行比例线段的综合应用．【作业8】如图， //DE BC ，3ADE S ∆=，18CBD S ∆=，求ABC S ∆． 【难度】★★★ 【答案】27．【解析】设BDE S a =V ，则有3AED BED S AE S BE a==V V ，318ABD CBD S AD a S CD +==V V ，由DE //BC ，可知AE ADBE CD=， 则有3318aa +=，整理得23540a a +-=，解得6a =， 由此361827ABC ADE BDE DBC S S S S =++=++=V V V V ．【总结】考查三角形一边的平行线定理，以及等高三角形面积比等于其底边之比的知识点的灵活运用．。