复变函数2
复变函数02
en[ln z i(argz2kπ)]
z en inargz r nein
例 f (z) x2 axy by2 i(cx2 dxy y2 )
求a, b, c, d 使 f(z)在复平面内处处解析.
解 由于
u 2x ay , u ax 2by
x
y
v 2cx dy , v dx 2 y.
x
y
要 使 u v , u v x y y x
24
对数函数的性质 不难证明，复变数对数函数保持了实变
数对数函数的基本性质.
运算性质
Ln (z1z2 ) Ln z1 Ln z2
Ln
z1 z2
Ln
z1 Ln
z2
上面两个等式应理解为两端可能取的函
数值的全体是相同的，也就是说，对于
一端的任一值，另端必有一值和它相等. 25
对数函数的解析性 对数函数的主值lnz，包含两个部分 ln z = ln|z|+ i arg z ln|z|除原点外处处连续.
数连续且满足C－R方程，则f(z)可导.
11
函数解析的充要条件 根据函数在区域内解析的定义和函数可
导定理，可得判断函数在区域 D内解析 的一个充要条件.
定理 函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域 D内解析的充要条件是: u(x, y)与v(x, y) 在 D内可微，且满足C－R方程
(1) f (z) z (2) f (z) z Re(z)
(3) f (z) ez ex (cos y i sin y).
13
解 (1) f (z) z , 则u(x,y) = x, v(x,y) =－y
复变函数2章
| z | x 2 y 2
为实数绝对值、长度概念的推广。 单位复数：模为1的复数。 0复数的等价条件：模为0。即： z=0|z|=0 两复数z1=x1 + iy1 、 z2=x2 + iy2的距离：
y
( x, y )
x
0
y
d z1 , z 2 z1 z2
z2 z z 1 2
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例 (P9例1.2) 求Arg(2-2i) 、 Arg(-3+4i) 解: 2-2i在第四象限 arg(2-2i)=arctan(-2/2)= -π /4 Arg(2-2i)=arg(2-2i)+2kπ (k=0, 1, 2, ...) = -π /4+2kπ -3+4i在第二象限 arg(-3+4i)=arctan(4/(-3))+π = - arctan(4/3)+π Arg(-3+4i)=arg(-3+4i)+2kπ = - arctan(4/3) +π+2kπ =- arctan(4/3)+(2k+1)π (k=0, 1, 2, ...)
1 2 1 2
模：
z1 z2 z1 z2
z1 / z2 z1 / z2
幅角：Arg(z1·2)= Arg z1+Arg z2 z Arg(z1/z2)= Arg z1-Arg z2 或 arg(z1·2)= Arg z1+Arg z2 + 2kπ z arg(z1/z2)= Arg z1-Arg z2 + 2kπ 乘(除)——模乘(除)、幅角加(减)
特别当z2 为单位复数时，z1·2 为z1 绕原点正向旋转 θ2 ，z2 为 z 旋转乘数。 如z2=i，θ2=π/2， z1·2为z1绕原点正向旋转π/2； z z2=-1，θ2=π， z1·2为z1绕原点正向旋转π。 z 与向量乘积不同！
复变函数第2章
By 宋朝红2.1 复变函数的极限2.2 复变函数的连续性2.3 导数2.4 解析函数2.5 调和函数Math HZAU第二章导数zz f z z f z Δ)()Δ(lim 000Δ−+→1 导数与微分定义：设函数w=f(z)在包含z 0的某邻域D 内有定义，点z 0+⊿z ∈D. 如果极限存在, 则称f (z )在z 0可导, 此极限值就称为f (z )在z 0的导数, 记作0000Δ0(Δ)()d ()lim .d Δ|z z z f z z f z w f z z z=→+−′==如果f (z )在区域D 内处处可导, 则称f(z)在Ｄ内可导.例1求f (z )=z 2的导数例3讨论函数f (z )=|z|2的可导性函数可导一定连续，但连续却不一定可导例2问：函数f (z )=x +2yi 是否可导？求导公式与法则①常数的导数c ′=(a+ib )′=0.②(z n )′=nz n-1(n 是自然数).③设函数f (z ),g (z ) 均可导，则[f (z )±g (z )]′=f ′(z )±g ′(z )，[f (z )g (z )]′= f ′(z )g (z )+ f (z )g ′(z )----实函数中求导法则的推广)0)((,)()(')()()('')()(2≠−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z g z g z g z f z g z f z g z f④复合函数的导数( f [g (z )])′=f ′(w )g ′(z )，其中w=g (z )。
.0)()()()(10处可导点外）处在复平面上（除分母为导；在整个复平面上处处可由以上讨论z Q z P z R z a z a a z P nn =+++=⇒"⑤反函数的导数，其中: w=f (z )与z=ϕ(w )互为单值的反函数，且ϕ′(w )≠0。
)('1)('w z f ϕ=例3求f (z )=Arcsinz=-iLn (iz+ ）的导数。
复变函数2
2011-9-17 第一章 复变函数2 2
2、求导法则 形式上与实函数一样! 求导法则: 形式上与实函数一样! 求导法则
d dw1 dw2 ( w1 ± w2 ) = ± , dz dz dz d n z = nz n −1 , dz
d z e = ez , dz
7
4、可导的充要条件
复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点 在区域 内一点z=x+iy可导 复变函数 可导 的充分必要条件是
∂u ∂u ∂v ∂v (1) 偏导数 , , , 在( x, y )点处存在， 且连续； ∂x ∂y ∂x ∂y
（2） 复变函数在( x, y)点处满足C − R条件.
最后得到
z = x + iy =
π
2
+ 2kπ − i ln(2 ± 3 ).
2011-9-17
第一章 复变函数2
15
习题：推导极坐标下的C-R条件 习题：推导极坐标下的 极坐标下的 条件
令z = reiθ， ∆z = e iθ ∆r + ire iθ ∆θ . 若f ( z ) = u (r,θ ) 增量 + iv(r , θ )在点z处可导，其导数与∆z → 0的方式无关。
导数与∆z→0的方式无关，可沿复平面上任一曲线 导数与∆ 的方式无关， 的方式无关 逼近零。下面研究沿实轴和虚轴逼近的路径。 逼近零。下面研究沿实轴和虚轴逼近的路径。
2011-9-17 第一章 复变函数2 4
沿实轴：∆y=0, ∆z= ∆x→0, 式(A)可写为 沿实轴 可写为
∆v ∂u ∂v ∆u lim +i = + i = f ' ( z ). ∆x →0 ∆x ∆x ∂x ∂x
复变函数2 解析函数
⎧ ⎪Δu = ux Δx + uy Δy + o ( ρ ) = ⎡ ⎣( aΔx − bΔy ) + o ( ρ ) ⎤ ⎦ ⇒⎨ ⎪ ⎣( bΔx + aΔy ) + o ( ρ ) ⎤ ⎦ ⎩ Δv = vx Δx + vy Δy + o ( ρ ) = ⎡
⎧ ux = vy = a , ⇒ f ′(z) = ux +ivx = vy −iuy . ⇒⎨ ⎩ v x = −u y = b .
当且仅当 x = y = 0时, u x = v y , u y = − v x , 因而函数仅在z = 0可导, 但在复平面内任何地方都不 解析.
例题3 f ( z ) = u + iv是区域D内的解析函数， 且 f ′( z ) ≠ 0
u ( x, y ) = C1 , v( x, y ) = C2 ( C1 , C2为任意常数 )
( ⇐ ) 设 u(x,y) 与 v(x,y) 在点 (x,y)∈ D 可微,
并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。 于是
Δu = u x Δx + u y Δy + ε1Δx + ε 2 Δy Δv = vx Δx + v y Δy + ε 3Δx + ε 4 Δy
（Δx,Δy→0时,εk→0, (k=1,2,3,4)）
u x = 1, u y = 0 , v x = 0 , v y = − 1 ⇒ u x ≠ v y u y ≠ − v x
故 w = z 在复平面内处处不可导, 处处不解析；
2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以
复变函数复变函数2
z0
)或
dw dz
z z0
.
应该注意：上述定义中z 0的方式是任意的。
容易证明： 可导
可微 ；可导
连续。
如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导.
例1 求 f (z) = z2 的导数。
[解] 因为 lim f (z Δ z) f (z) lim (z Δ z)2 z2
§2.2 解析函数和调和函数的关系
定义1 实函数u(x, y)为区域D内的调和函数：
u(x, y)在区域D内有二阶连续偏导数，
且满足u uxx uyy 0
(称为调和方程或Laplace方程)
定理1：f (z) u(x, y) iv(x, y)是区域D内的解析函数
u与v是区域D内的调和函数
f (z)在区域D内解析：f (z)在D内处处解析.
函数在一点解析 在该点可导。反之不一定成立。
在区域内： 解析 可导 .
例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析；w f (z) z 2
仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；
f (z) = x +2yi 在整个复平面上不解析。
例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.
是区域内的正交 曲线族。
(正交：两曲线在交点处的切线垂直 )
证：u ( x,
y)
C1在( x,
y)处切线的斜率ku
ux uy
，
v(x,
y)
C2在(x,
y)处切线的斜率kv
vx vy
ku kv
ux uy
vx vy
C
R
vy uy
uy vy
1,
得证。
例如 f z z2 x2 y2 i2xy, f z 2z 0z 0.
复变函数第二章1导数
f
(z)
A.
几何意义:
y
z
z0
v f(z)
A
O
xO
u
A lim f (z) 意味着： z z0
当z从平面上任一方向、沿任何路径、以任意
方式趋近于z0时，f (z)均以A为极限。
1
例1：证明函数f (z) e z 在z 0时极限不存在。
证明 当z沿实轴从0的右方趋于0时，即z x 0, x 0
解： u(x, y) x3 3xy2 v(x, y) 3x2 y y3
u 3x2 3 y2 x v 6xy
x
u
6xy
v
y 3x2
3y2
y
都是初等函数，在复平面内处处连续；
u
针对柯西
黎曼方程
x u
v y 在复平面内处处成立 v
u
[2]
在区域D内处处满足柯西
黎曼方程
x u
v y v
y x
(4)实际应用：直接利用定理结论有一定难度。
若u(x, y), v(x, y)在区域D内具有一阶连续偏导数，
则在区域D内可微。
计算：判定f (z)在哪些点处可导？ a. 确定u(x, y), v(x, y);
让 z 沿直线 y = k x 趋于零, 我们有
lim u(x, y) lim x
x0 ( ykx)
x0 ( ykx)
x2 y2
lim
x
1 .
x0 (1 k 2 )x2
1 k2
故极限不存在.
2.2 复变函数的连续性
定义: 若若f (zlzim)z在0 f区(z域) D内f 处(z0处)则连称续函，数 则f称(z函)在数fz(0处 z)在连续。
复变函数2i求导
复变函数复变函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个自变量和一个或多个复数之间的关系。
复变函数可以看作是将一个复数映射到另一个复数的规则，它在许多领域中都有广泛的应用，包括物理学、工程学、计算机科学等。
函数的定义复变函数是指从复数集合到复数集合的映射。
一般来说，如果z是一个复数，则可以将其表示为z = x + yi，其中x和y分别是实部和虚部。
而复变函数f(z)则可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u和v分别是实部和虚部。
用途复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1.物理学：在电磁场理论中，使用复变函数可以方便地描述电磁场的行为。
例如，在求解电磁波传播问题时，可以使用复平面上的解析函数来表示电磁场分布。
2.工程学：在信号处理中，使用傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号。
傅里叶变换本质上就是对输入信号进行复变函数的变换，它可以方便地分析信号的频谱特性。
3.计算机科学：在计算机图形学中，复变函数可以用于生成各种图形效果。
例如，使用复变函数可以绘制出美丽的分形图形，如Mandelbrot集合和Julia集合。
复变函数2i求导对于给定的复变函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u和v分别是实部和虚部。
我们可以使用复数的极坐标表示来对其求导。
假设z = x + yi是自变量z的一个小增量，即dz = dx + idy。
而f(z)在z点处的导数为：f’(z) = lim (f(z+dz) - f(z)) / dz根据极限定义，我们可以将上式展开为：f’(z) = lim (u(x+dx, y+dy) + iv(x+dx, y+dy) - u(x, y) - iv(x, y)) / (dx + idy)将u和v展开并整理得到：f’(z) = lim [(u(x+dx, y+dy) - u(x, y)) / (dx + idy)] + i [(v(x+dx, y+dy) - v(x, y)) / (dx + idy)]由于dz = dx + idy，我们可以进一步将上式化简为：f’(z) = ∂u/∂x + i ∂v/∂x根据复数的性质，我们可以将上式再次化简为：f’(z) = ∂u/∂x - i ∂u/∂y这就是复变函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在点z处的导数。
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复变函数对解析函数的计算简化及
其理论的实际应用
【摘要】在复变函数的分析理论中，复变函数的积分理论是复变函数理论的重要组成部分，应用复变函数的积分理论是研究解析函数的重要工具之一。
解析函数的许多重要性质不用复积分是很难证明的。
如，不借助复积分或等价工具，要证明一个解析函数的导数是连续的，或证明高阶导数存在非常复杂，。
因此，了解复变函数积分，以及能灵活运用这种计算方法进行积分计算简化就显得极其重要，也为工程上解决实际问题提供了一条便捷之路。
以下重点介绍了利用级数法、拉普拉斯变换法及对数留数与辐角原理进行积分计算的方法。
【关键词】复变函数论柯西定理留数定理实际意义
【正文】：
提出问题：复变函数的发展史可以看出复变函数的重要性，尤其是解决一些实际问题，例如，与空气动力学、流体力学、弹性力学、电磁学和热力学等学科有关的一些重要实际问题，更体现了复变函数中复积分的重要性。
解析函数的许多重要性质不用复积分是很难证明的。
众所周知，应用复变函数的积分理论是研究解折函数的重要工具之一,但对于复变函数如何对积分进行计算的简化，以及理论的实际应用，我们还要做进一步探讨。
【分析问题】：
复积分中的柯西积分定理在理论上处于关键的地位，由它派生出的柯西公式、留数定理、辐角原理等都涉及到积分的计算问题。
而解析函数在孤立奇点的留数原本是一个积分，而实际计算却需要柯西展式。
把积分与级数这两个工具结合起来的留数定理在积分计算的理论与实际更有着重要意义。
下面通过列举一些不常用有技巧性的例子来证明复变函数解析函数的计算简化和实际应用。
一、复变函数积分计算的常见方法
常见的复变函数积分计算方法有： ①把复变函数积分化为实变量的实函数曲线积分；②用牛顿一莱布尼茨公式计算复积分；③用柯西定理及其推论计算复积分；④用柯西积分公式计算复积分；⑤用解析函数的高阶导数公式计算复积分；⑦用留数定理计算复积分。
二、级数法
连续性逐项积分定理：设f n (z)在曲线Ｃ上连续（ｚ＝１，２，３，......)，
∑+∞
∞
-)(z f n 在C 上一致收敛于f(z),则f(z)在曲线C
上连续，并且沿C 可逐项积分：
dz
z f dz z f c
c
n n ⎰⎰∑=+∞
=)()(1
[1]。
例一、计算积分 2/1:,)(1
=⎰∑∞
-=z C dz z c n n
i i dz z z dz z z z z z c c n n
n n
ππ202)11
1()(111211
1=+=-+=-+=<⎰⎰∑∑∞
-=∞
-=所以
内，在
三、拉普拉斯变换法
定义１设f(t)是定义在［０，+∞］上的实值函或复值函数，如果含复变量Ｐ=σ＋is （σ，Ｓ为实数）的积分dt e t f pt -+∞
⎰0
)(在Ｐ
的某个区域内存在，则由此积分定义的复函数dt
e t
f p F pt -+∞
⎰=0
)()(称为函数f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），简记为F(p)=L[f(t)][2]。
计算该类复积分时，可先运用拉普拉斯变换的基本运算法则（线性关系、相似定理、位移定理、像函数微分法、本函数微分法、本函数积分 法、延迟定理、卷积定理等），将该类复积分化为F （ｐ）的形式，再参照拉普拉斯变换表，得出相应的复积分结果。
例二：dz e az z
a pz
-∞
⎰
21cos 10
π计算积分
a
p e a
p a a P F a dz e az z a a p e a
p a p F a
p
F a az f L dz
e az z
a az f L az z
a az f a
p pz a p pz
cos 1)(121cos 1cos 1)()
(1)]([21cos 1)]([21
cos
1)(00-
-∞--∞======⎰⎰πππ所以由拉普拉斯变换得由相似定理有：
则
解：令
复变函数对解析函数的计算简化及
其理论的实际应用
【摘要】在复变函数的分析理论中，复变函数的积分理论是复变函数理论的重要组成部分，应用复变函数的积分理论是研究解析函数的重要工具之一。
解析函数的许多重要性质不用复积分是很难证明的。
如，不借助复积分或等价工具，要证明一个解析函数的导数是连续的，或证明高阶导数存在非常复杂，。
因此，了解复变函数积分，以及能灵活运用这种计算方法进行积分计算简化就显得极其重要，也
为工程上解决实际问题提供了一条便捷之路。
以下重点介绍了利用级数法、拉普拉斯变换法及对数留数与辐角原理进行积分计算的方法。
【关键词】复变函数论柯西定理留数定理实际意义
【正文】：
提出问题：复变函数的发展史可以看出复变函数的重要性，尤其是解决一些实际问题，例如，与空气动力学、流体力学、弹性力学、电磁学和热力学等学科有关的一些重要实际问题，更体现了复变函数中复积分的重要性。
解析函数的许多重要性质不用复积分是很难证明的。
众所周知，应用复变函数的积分理论是研究解折函数的重要工具之一,但对于复变函数如何对积分进行计算的简化，以及理论的实际应用，我们还要做进一步探讨。
【分析问题】：
复积分中的柯西积分定理在理论上处于关键的地位，由它派生出的柯西公式、留数定理、辐角原理等都涉及到积分的计算问题。
而解析函数在孤立奇点的留数原本是一个积分，而实际计算却需要柯西展式。
把积分与级数这两个工具结合起来的留数定理在积分计算的理论与实际更有着重要意义。
下面通过列举一些不常用有技巧性的例子来证明复变函数解析函数的计算简化和实际应用。
一、复变函数积分计算的常见方法
常见的复变函数积分计算方法有：①把复变函数积分化为实变量的实函数曲线积分；②用牛顿一莱布尼茨公式计算复积分；③用柯
西定理及其推论计算复积分；④用柯西积分公式计算复积分；⑤用解析函数的高阶导数公式计算复积分；⑦用留数定理计算复积分。
四、级数法
连续性逐项积分定理：设f n (z)在曲线Ｃ上连续（ｚ＝１，２，３，......)，
∑+∞
∞
-)(z f n 在C 上一致收敛于f(z),则f(z)在曲线C
上连续，并且沿C 可逐项积分：
dz
z f dz z f c
c
n n ⎰⎰∑=+∞
=)()(1
[1]。
例一、计算积分 2/1:,)(1
=⎰∑∞
-=z C dz z c n n
i i dz z z dz z z z z z c c n n
n n
ππ202)11
1()(111211
1=+=-+=-+=<⎰⎰∑∑∞
-=∞
-=所以
内，在
五、拉普拉斯变换法
定义１设f(t)是定义在［０，+∞］上的实值函或复值函数，如果含复变量Ｐ=σ＋is （σ，Ｓ为实数）的积分dt e t f pt -+∞
⎰0
)(在Ｐ
的某个区域内存在，则由此积分定义的复函数dt
e t
f p F pt -+∞⎰
=0
)()(称为函数f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），简记为F(p)=L[f(t)][2]。
计算该类复积分时，可先运用拉普拉斯变换的基本运算法则（线性关系、相似定理、位移定理、像函数微分法、本函数微分法、本函数积分 法、延迟定理、卷积定理等），将该类复积分化为F （ｐ）的形式，再参照拉普拉斯变换表，得出相应的复积分结果。
例二：dz e az z
a pz
-∞
⎰
21cos 10
π计算积分
a
p e a
p a a P F a dz e az z a a p e a
p a p F a
p
F a az f L dz
e az z
a az f L az z
a az f a
p pz a p pz
cos 1)(121cos 1cos 1)()
(1)]([21cos 1)]([21
cos
1)(00-
-∞--∞======⎰⎰πππ所以由拉普拉斯变换得由相似定理有：
则
解：令。