【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第七章 不等式 7-1 Word版含解析
【走向高考】高三数学一轮总复习 7-1不等关系与不等式课件 北师大版
)
1 1 B．a＋ >b＋ a b 2a＋b a D. > a＋2b b
[解析]
1 1 1 1 解法 1：由 a>b>0⇒0< < ⇒a＋ >b＋ ，故选 C. a b b a
解法 2：(特值法)令 a＝2，b＝1，排除 A、D， 1 1 再令 a＝ ，b＝ ，排除 B. 2 3
4．设 a、b 为非零实数，若 a<b，则下列不等式成立的是 ( ) A．a2<b2 1 1 C.ab2<a2b
课堂典例讲练
比较大小
[例 1] y)的大小；
(1)若 x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋
(2)设 a>0，b>0 且 a≠b，试比较 aabb 与 abba 的大小．
π π 5．已知－ <α<β< ，则 α－β 的取值范围是________． 2 2
[答案] (－π，0)
[解析]
π π π π ∵－ <α<β< ，∴－ <α< ，α－β<0， 2 2 2 2
π π －2<－β<2，∴－π<α－β<0.
6．(2012· 郑州模拟)已知 a<0，－1<b<0，那么 a，ab，ab2 的大小关系是________．
课前自主预习
知识梳理 1．比较两个实数大小的法则 设 a，b∈R，则(1)a>b⇔ a－b>0 (2)a＝b⇔ a－b＝0 ； (3)a<b⇔ a－b<0 . ；
2．不等式的基本性质 (1)a>b⇔ b<a ； (2)a>b，b>c⇒ a>c ； (3)a>b⇔ a＋c>b＋c ； (4)a>b，c>0⇒ ac>bc ；a>b，c<0⇒ac<bc ； (5)a>b，c>d⇒ a＋c>b＋d ；
高三数学一轮(北师大)课件：第7章 第4节 基本不等式
• 3．算术平均数与几何平均数 a＋b • 设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均2 数为
___a_b__，几何平均数为______，基算本术平不均数等式 可叙述为几何：平两均数个正数的__________不小于它 们的______________．
• 4．利用基本不等式求最值问题
• 已知x＞0，y＞0，则
走向高考 ·数学
北师大版 ·高考总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第七章 不等式
第七章 第四节 基本不等式
1 高考目标导航 2 课前自主导学
3 课堂典例讲练 4 课时作业
高考目标导航
考纲要求
命题分析
通过对近三年高考试题的统计和分析可以发现，本节主
要考查利用基本不等式求函数的最值．若单纯考查基本不
x＝y
•小(1)如果积2 xpy是定值p，那么当且仅当______
时，x＋yS有2 最______值是_____x_＝．y (简记： 大积定和最小4 )
• (2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当
5．以下关系式经常用到：
(1)1a＋a≥2(a>0)，1a＋a≤－2(a<0)．
(2)
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b(a、b∈R＋)．
3．了解证明不等
预测 2016 年高考对本节内容的考查仍将以 ab≤a＋2 b
式的基本方法——综 的应用为主，题型以选择题、填空题或解答题的形式出现，
合法.
它的应用范围涉及高中数学很多章节，且常考常新，但它
在高考中却不外乎大小判断、求最值，求取值范等，在复
习中应予以关注.
课前自主导学
1.基本不等式 如果 a、b 都是正数，那么a＋2 b≥____a_b___，当且仅当__a_＝_b__ 时，等号成立． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥__2_ab___(a，b∈R)． (2)ba＋ab≥___2___(a，b 同号)． (3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)．
2015年高考数学(理)核按钮：第七章《不等式》(含解析)
第七章 不 等 式§7.1 不等关系与不等式了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．本节在高考中主要考查运用不等式的性质判断正误、比较大小等，也有与函数单调性综合的题目，小题居多，难度一般不大．1．比较原理两实数a ，b 之间有且只有以下三个大小关系之一：__________、__________、__________．其中a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＜b ⇔______________； a ＝b ⇔__________． 2．不等式的性质现行教材中介绍的不等式的11条性质可以分为两部分．第一部分为以下4条性质定理： (1)对称性：a >b ⇔__________；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒__________；(3)不等式加等量：a >b ⇔a ＋c______b ＋c ； (4)不等式乘正量：a >b ，c >0⇒__________； 不等式乘负量：a >b ，c <0⇒__________．第二部分为两个不等式的运算性质，共有7条： (5)同向不等式相加：a >b ，c >d ⇒__________； (6)异向不等式相减：a >b ，c <d ⇒__________； (7)同向不等式相乘：a >b >0，c >d >0⇒__________；(8)异向不等式相除：a >b >0，0<c <d ⇒a c ______bd ；(9)不等式取倒数：a >b ，ab >0⇒1a ______1b；(10)不等式的乘方：a >b >0⇒______________； (11)不等式的开方：a >b >0⇒______________． 注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2．(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．【自查自纠】1．a ＞b a ＜b a ＝b a －b ＜0 a －b ＝0 2．(1)b <a (2)a >c (3)> (4)ac >bc ac <bc(5)a ＋c >b ＋d (6)a －c >b －d (7)ac >bd (8)＞ (9)＜ (10)a n >b n (n ∈N *且n >1) (11)n a >nb (n ∈N *且n >1)(2013·上海)如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A ．1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b解：1a －1b ＝b －a ab >0，故1a >1b ，∴－1a <－1b.故选D.设f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，x ∈R ，则f (x )与g (x )的大小关系是( )A ．f (x )＞g (x )B ．f (x )≥g (x )C ．f (x )＝g (x )D ．f (x )＜g (x )解：f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0恒成立，故选A.已知a ，b ∈R ＋，A ＝a 3＋b 3，B ＝a 2b ＋b 2a ，则A ，B 的大小关系为( )A ．A ≥B B ．A <BC ．A ≤BD ．与a ，b 的大小有关解：A －B ＝(a ＋b )(a 2＋b 2－ab －ab )＝(a ＋b )(a －b )2≥0，A ≥B .故选A.已知a ＝27，b ＝6＋22，则a ，b 的大小关系是a________b .解：由于a ＝27，b ＝6＋22，平方作差得a 2－b 2＝28－14－83＝14－83＝8⎝⎛⎭⎫74－3＞0，从而a ＞b .故填＞.若a ，b ∈R ＋，则1a ＋1b 与1a ＋b的大小关系是__________．解：∵a ，b ∈R ＋，∴⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ÷1a ＋b ＝（a ＋b ）2ab >2ab ab ＝2>1，∴1a ＋1b >1a ＋b .故填1a ＋1b >1a ＋b.燃导火线后要在燃放前转移到域．已知导火线的燃烧速度为4 m/s，导火线的长度解：人到达安全区域的时间小于导火线燃烧的时板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的已知一个铁钉受击>ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？解：(1)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件a范围是________解：由＜－β＜4，所以的取值范围是解：∵－＜－β＜π2的大小．解法一：a ＋m b ＋m － 的是________①log 0.5(②(－a )③(－a )a为正整数，则个结论：§7.2一元二次不等式及其解法1．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．一元二次不等式的解法是高考必考内容之一，常与函数、数列、平面向量、解析几何、导数等综合起来命题．小题易出现考查“三个二次”关系的题目，多与函数图象及性质、数列、导数等综合考查；解答题中易出现需要分类与整合的含参数的一元二次不等式的综合题，着重考查分类与整合思想．1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集．(4)解一元二次不等式见下表：)4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（x）＞0⇔f(x)g(x)＞0；f（x）g（x）＜0 ⇔f(x)g(x)＜0；f（x）g（x）≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≥0，g（x）≠0；f（x）g（x）≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≤0，g（x）≠0.【自查自纠】1．(1)同解不等式(2)同解变形2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x＞b a⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x＜b a a＝0，b＜03．(1)一元二次(2)解集(3)两边中间(4)(Ⅰ){}x|x＜x1或x＞x2(Ⅱ)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a(Ⅵ)若0＜a＜1，则不等式(x－a)⎝⎛⎭⎫x－1a＜0的解是()的解集为的解集为－2a＞0解：(1)当①当m＝－时，原不等式的解集为②当m＝.(2)当m2(1)x2－(3)x2－解：(1)而y＝的解集为所以方程＋1，x＜1，x≥0，()A．{x|－|－5≤x≤1}解：∵不等式∴x1＝－∴由韦达定理知＜x＜3}，求不等式解：由题意知因为不等式a＜0，由根与系数的关系得b解：(1)，不等式的解集为(2)当m的系数是参数时，首先对它是否为∈R)．解：不等式整理为当a＝0当a≠0时，解：x2x21≥0.⎭⎬⎫－2x ≤0，则A ．{x |－C ．{x |0≤⎦⎤0，12成立，则A ．0 解法一：－2，2]时，解法一：当－a2＜－5有一解，则A ．a <－C ．－1<解法一：个实根一个小于－值范围是( A ．－C ．－2<速生产某种产品得利润是100(1)要使生产该产品15元的价格销售，每天能卖出1元，日销售量将减少盏售价不低于应怎样制定这批台灯的销售价格？．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )．(－∞，－1)∪(－1，2]B ．[－1，2]．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D ．(－1，2]解：x －2x ＋1≤0⇔()x ＋1()x －2≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1，2]，故选D .．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)＞0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m ＜x ＜2，则m 的取值范围是( )．m ＞0 B ．0＜m ＜2 ．m ＞12D ．m <0解：由不等式的解集形式知m ＜0.故选D . ．(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集⎭⎬⎫<－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( ) ．{x |x <－1或x >lg2} ．{x |－1<x <lg2}－1]·(x2－－1中，令y＝0，得⎭⎫1－12－aa－1－1＝§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．本节属于高考常考内容，以考查二元一次不等式(组)的几何意义、目标函数的最值(或范围)为主；关于线性规划的实际应用及逆向问题(知最值求参数)也是热点，也有与其他知识综合考查的题目或含参数的线性规划问题，难度一般不太大，小题居多．1．二元一次不等式表示的区域(1)当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By ＋C＝0的．(2)当B＜0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By ＋C＝0的．2．线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，我们把它称为．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的的问题，统称为线性规划问题．(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做，由所有可行解组成的集合叫做．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的．线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据(即画出不等式组所表示的公共区域)．②设，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的．(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出条件，确定函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即，在可行域内求得使目标函数．【自查自纠】1．(1)上方区域下方区域(2)下方区域上方区域2．(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解下列命题中正确的是()A．点(0，1)在区域x－y＋1＞0内B．点(0，0)在区域x＋y＋1＜0内C．点(1，0)在区域y≥2x内D．点(0，0)在区域x＋y≥0内解：将(0，0)代入x＋y≥0，成立．故选D.不等式x－2y＋6＞0表示的区域在直线x－2y ＋6＝0的()A．左下方B．左上方C．右下方D．右上方解：画出直线及区域范围知C正确．故选C.(2013·天津)设变量x，y满足约束条件画出原不等式组表示的平面区域如图所示，由题意知，当目标函数z ＝y 时，z 取得最小值，所以示的平面区域为的取值范围是作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影y ＝a (x ＋1)恒过定点k BC ＝12，k AC ＝4，∴区域为D ，若指数函数的点，则a 的取值范围是A ．(1，若要指数函数y ＝a x 与可行域有交点，则底利用指数函数的性质，)，9时，底数a 最大，即点此时有a 2＝9⇒ a ＝3，所以－y ≥－1，＋y ≤3，≥0，≥0，依题意，画出可行域，如图所示，可行域为，显然，当直线y ＝12x －取得最小值为－3；过点B (3，0)A．有最小值B．有最小值C．有最大值画出不等式表示的平面区域，如图，由，令z＝0，画出y＝－(2，0)时，z取得最小值为，由于可行域是向右上方无限延伸的非封闭区向右上方移动时，z＝x＋区域被直线()由题目所给的不等式组可知，其表示的平面如图可得阴影部分即为满足x－的可行域，而直线ax－y＋1＝0恒过点，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于则它是三角形，设该三角形为△ABC，因为标函数z＝ax的取值范围是A．(－1＋2y的斜率为－a2，目标函数在点画出可行域三角形ABO ，可知处取最大值为4，即4＝＋y －2≥02y ＋4≥0－y －3≤0.最小值？最大值、最小值各是多少？如图，作出可行域(图中的阴影部分包括边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －23x －，同理可得B (0，2)，C (1，，y )到原点的距离的平方，所以， 个根在(0，1)(1)b －2a －1的值域；(2)(a －1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0，所表示的平面区域为纵坐标均为整数的点的通项公式为2y－5＞＋y－7＞≥0，y≥0，()画出可行域如图，令3x＋4y＝z，，0)，(2，0)，(3，0)，处作格子线，可知当y＝－34x＋z4过(42)，(2，4)，(4，1)逐个试验韭菜，种植面积不超过元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表黄瓜≤54，即⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤50，4x＋3y≤180，x≥0，y≥0.画出可行域如图所示．类产品，甲种设备每天能生产件，乙种设备每天能生产件．已知设备甲每天的租赁费为的租赁费为300对应的直线过两直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＋65y ＝10，x ＋2y ＝14的交点(4，5)时，目标函数z ＝200x ＋300y 取得最小值为2300元．故填2300.1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过原点，则把原点代入Ax ＋By ＋C ，通过Ax ＋By ＋C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．2．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处，目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的一个便是．第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断． 特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数i P Z ＝mx ＋ny ，比较各个i P Z ，得最大值或最小值．1．(2012·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，x －1≤0，则目标函数z ＝3x －2y 的最小值为( )A ．－5B ．－4C ．－2D ．3解：不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，作辅助线l 0：3x －2y ＝0，结合图形可知，当直线3x －2y ＝z 平移到过点(0，2)时，z ＝3x －2y 的值最小，最小值为－4，故选B.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－2B ．4C ．6D ．8解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线y ＝－2x ＋z 过点B (3，0)时，z 取得最大值6.故选C .3．(2012·福建)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．12B ．1C ．32D ．2解：可行域如图阴影部分所示，函数y ＝2x 的图象经过可行域上的点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x，x ＋y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2， 即函数y ＝2x 的图象与直线x ＋y －3＝0的交点坐标为(1，2)，当直线x ＝m 经过点(1，2)时，实数m 取到最大值为1.故选B.4．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝a x ()a ＞0，a ≠1的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1，3]B ．[2，10]C ．[2，9]D ．[10，9]解：如图，阴影部分为平面区域M ，显然a ＞1，只需研究过(1，9)，(3，8)两种情形，a 1≤9且a 3≥8即2≤a ≤9，故选C .5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一如图，由条件可知，当直线x右上方时，可行域可以组成一个三角形，即时，可行域可以组成一个△OAB；当＝x＋y，则y＝－ABC，且x＋y的最大值只在点－y－3＝0，－my＝－1先作出可行域，而目标函数就是将直线y＝－kx平行移动发现，直线在y轴上的截距最大，故时，发现z不可能等于12.⎪⎧x－4y＋3≤0，3作出可行域如图中阴影部分，联立易得1)，C(5，2)．⇔y＝43x－z13，易知平移最大，z最大值为4×5－3×2如图，作出可行域，作直线l ：6x ＋12向右上方平移至l 1位置，直线经过可行域上的点且与原点距离最大，此时z ＝6x ＋12y 取最大值．＝300，得M (20，24)．所以生产甲种ax ＋b ＝0的两根分别在区间上的几何意义是：函数y ＝轴的两个交点的横坐标分别在区间不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （f （f （则在坐标平面aOb 的切线，可求得切线方程为在区域内，故⎝⎛⎭⎫y x min ＝e.对应点C 时， ⎩⎪⎨⎪⎧5y ＝20－5x ，4y ＝20－12x ⇒§7.4 基本不等式及其应用1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 纵观近年高考，基本不等式一直都是热点，涉及范围较广，且常考常新，但一般不外乎以下四个层次：①直接考：即对“一正二定三相等”这一基本特征的考查，属基础知识型测试；②变化考：即考查学生能否通过使用加“0”、乘“1”、升(降)幂、取倒数、换元等手段将原问题转化成①，属知识、技能型测试；③灵活考：即从题面上看不一定是考查基本不等式，但若能灵活应用基本不等式，往往能突破题目难点，优化解题思路，避免分类与整合等，多为解答题，属能力型测试；④综合考：如综合各种数学思想，或与其他学科、背景综合等，属较高能力要求．1．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数．2．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥ (当且仅当a ＝b 时取等号)．4．基本不等式：a ＞0，b ＞0，则 ，当且仅当a ＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有 ，即a ＋b ≥ ，a 2＋b 2≥ .6．求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即，亦即 ；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即 .7．拓展：若a ＞0，b ＞0时，21a ＋1b ≤ ≤a ＋b 2≤ ，当且仅当a ＝b 时等号成立．【自查自纠】 1.a ＋b 2 2.ab 3.2ab 4.a ＋b 2≥ab5．最小值 2ab 2ab6．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ab ≤14(a ＋b )2ab ≤a 2＋b 227.ab a 2＋b 22设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．42C ．2 2D ．2 6解：因为2a ＞0，2b＞0，由基本不等式得2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取等号，故选B .若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )A ．12 B ．1 C ．2 D ．4解：∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.当且仅当a ＝1，b ＝12时等号成立．故选A.(2012·陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b 2D ．v ＝a ＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s .∵a ＜b ，∴v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b ＜2ab2ab ＝ab .又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v ＞a .故选A.下列函数中，最小值为4的是________．①y ＝x ＋4x；②y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)；③y ＝4e x ＋e －x ；④y ＝log 3x ＋log x 3(0＜x ＜1)．解：注意基本不等式等号成立的条件是“a ＝b ”，同时考虑函数的定义域，①的定义域为x ∈R ，且x ≠0，函数没有最小值；②若sin x ＝4sin x取到最小值4，则sin 2x ＝4，显然不成立；③符合一正、二定、三相等，且最小值为4；④没有最小值．故填③.点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是 ．解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，的值域．解：∵y＝（最小值为解：∵t当且仅当M，则对任意实常数A．2∈C．2∈解法一：m2＋2m求矩形场地的一面利用旧墙三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用45元/m ，新墙的造价为的函数；，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．如图，设矩形的另一边长为x －2)＋180·2a ，得a ＝360x ，3602制造一个底宽孔流入，经沉淀后从高度为b m ，已知排出的水中该杂质的质量分数与的乘积ab 为排出的水中杂质的质量分数，y ＝kab，是比例系数且k ＞0.最小，只需ab 最大．2ab ＋2a ≤60(a ＞(a ＞0，b ＞0)．，30，得0＜ab 时取“＝”号，ab ＝3 m 时经沉淀后排出的水中杂同解法一得b ≤30－a ，代入1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是(10．已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，求S ＝2ab －4a 2－b 2的最大值．解：∵a ＞0，b ＞0，2a ＋b ＝1，∴4a 2＋b 2＝(2a＋b )2－4ab ＝1－4ab .且1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤24，ab ≤18，∴S ＝2ab －4a 2－b 2＝2ab －(1－4ab )＝2ab＋4ab －1≤2－12.当且仅当a ＝14，b ＝12时，等号成立．11．如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件，知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼的面积为S ，则S ＝xy . 解法一：由于2x ＋3y ≥22x ×3y ＝26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272.当且仅当2x ＝3y 时等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，2x ＋3y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．解法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x ＞0，∴0＜y ＜6.S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎫9－32y y ＝32(6－y )y . ∵0＜y ＜6，∴6－y ＞0.∴S ≤32⎣⎡⎦⎤（6－y ）＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . 解法一：∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小．解法二：由xy ＝24，得x ＝24y .∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6⎝⎛⎭⎫16y ＋y ≥6×216y×y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小．(2013·惠州模拟)如图所示，已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树________米时，看A ，B 的视角最大．解：问题转化为求△ABC 中∠BCA 的取值范围．过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D .设该人距离此树的距离CD ＝x 米，看A ，B 的视角最大，即∠BCA 最大．不妨设∠BCD ＝α，∠ACD ＝β，则∠BCA＝β－α，且tan α＝4x ，tan β＝9x ，所以tan(β－α)＝9x －4x 1＋9x ×4x＝5x x 2＋36＝5x ＋36x ≤52x ×36x ＝512，当且仅当x ＝36x ，即x ＝6时取等号，此时∠BCA 最大．故填6.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |0≤x ＜3}，N ＝{x |x 2－3x －4＜0}，则集合M ∩N ＝( )A ．{x |0≤x ＜3}B ．{x |0≤x ≤3}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0≤x ＜1}解：x 2－3x －4＜0⇔ (x －4)(x ＋1)＜0⇔－1＜x ＜4，∴N ＝{x |－1＜x ＜4}，∴M ∩N ＝{x |0≤x ＜3}．故选A.2．不等式x ＋5()x －12≥2的解集是( )A.⎣⎡⎦⎤－3，12B.⎣⎡⎦⎤－12，3C.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1，3] 解：x ＋5（x －1）2≥2⇔（x ＋5）－2（x －1）2（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3≥0(x ≠1)⇔2x 2－5x －3≤0(x ≠1) ⇔－12≤x ≤3且x ≠1.故选D.3．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＞0，则y x 的取值范围是( )A ．(0，1) B.(]0，1 C ．(1，＋∞)D.[)1，＋∞解：画出不等式组所表示的平面区域，而yx 表示过可行域上任意一点P ()x ，y 和原点连线的斜率，故选C .4．若一个矩形的对角线长为常数a ，则其面积的最大值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．aD ．12a解：如图，设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x 2＋y 2＝a 2，其面积S ＝xy ，由基本不等式得S ≤12(x 2＋y 2)＝12a 2，当且仅当x ＝y 时取等号，此时为正方形．故选B.5．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解：函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)＝log 2(x －1＋1x －1＋6)≥log 2⎝⎛⎭⎪⎫2（x －1）×1x －1＋6＝log 28＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取得等号．故选C.6．下列各式中，最小值等于2的是( )A ．log a b ＋log b aB ．x 2＋5x 2＋4C ．tan θ＋1tan θD ．2x ＋2－x解：对于选项A ，可能有log a b ＜0，不正确；对于选项B ，x 2＋5x 2＋4＝（x 2＋4）＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2，但等号不可能成立，不正确；对于选项C ，可能有tan θ＜0，不正确；对于选项D ，∵2x ＋2－x ＝2x ＋12x≥2，当且仅当x ＝0时等号成立，正确．故选D. 7．(2012·山东)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是()A ．⎣⎡⎦⎤－32，6 B ．⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1，6]D ．⎣⎡⎦⎤－6，32解：作出不等式组所表示的区域如图，由z ＝3x(1＋a)x＋1＋a＋bf(x)＝x2＋(1＋a)x 方程x2＋(1＋a)x＋1图中的阴影部分为满足题意的可行域，(3，－4)，C(－5，0)三点都在圆周上0经过原点，所以直线mx＋P在线段DB上移动，因为直线若不等式的解集为因为不等式的解集为－16由图易知，直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(5，2)使z＝320x＋504y取得最小值，504×2＝2608.每天调出A型车5辆，B型车2辆，公司所花＋4bx＋c，。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-7双曲线课后强化作业 北师大版
"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-7双曲线课后强化作业北师大版 "基础达标检测一、选择题1．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1[答案]C[解析]本小题考查内容为双曲线的渐近线．双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax ， 比较y ＝±32x ，∴a ＝2. 2．(2013·某某高考)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.25B.45C.255D.455[答案]C[解析]本题考查双曲线的渐近线及点到直线的距离公式．不妨设顶点(2,0)，渐近线y ＝x 2，即x －2y ＝0， ∴d ＝|2|5＝255. 3．如果双曲线x 24－y 212＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的左焦点的距离是( )A ．4B ．12C ．4或12D ．不确定[答案]C[解析]由双曲线方程，得a ＝2，c ＝4.根据双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，则|PF 1|＝|PF 2|±2a ＝8±4，∴|PF 1|＝4或12，经检验二者都符合题意．4．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x [答案]C[解析]由题意可得2b ＝2,2c ＝23，∴b ＝1，c ＝3，故a 2＝c 2－b 2＝2.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±12x ＝±22x . 5．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( )A ．28B ．14－8 2C ．14＋82D ．8 2[答案]C[解析]|PF 2|＋|PQ |＋|QF 2|＝|PF 2|－|PF 1|＋|QF 2|－|QF 1|＋2|PQ | ＝14＋8 2.6．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( ) A.10B ．210 C.5D ．2 5[答案]B[解析]由题意知：F 1(－10，0)，F 2(10，0)， 2c ＝210，2a ＝2.∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∴|PF 1→|＝2PO ＝|F 1F 2|，∴|PF 1→＋PF 2→|＝210.二、填空题7．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________. [答案]16[解析]本题考查双曲线的标准方程以及a 、b 、c 基本量的关系和运算．根据标准方程可知，a 2＝m ，b 2＝9，而c ＝5，∴c 2＝a 2＋b 2，∴52＝m ＋9.∴m ＝16.8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．[答案]2[解析]本题考查双曲线的标准方程以及离心率等知识．由双曲线标准方程x 2m －y 2m 2＋4＝1知 a 2＝m >0，b 2＝m 2＋4，∴c 2＝a 2＋b 2＝m ＋m 2＋4，由e ＝5得c 2a 2＝5， ∴m >0且m ＋m 2＋4m＝5，∴m ＝2. 9．(2013·某某高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．[答案]44[解析]如图，由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5,0)，且A 恰为右焦点知，线段PQ 过双曲线的右焦点，则|PF |＝|P A |＋2a ＝|P A |＋6，|QF |＝|QA |＋6，所以|PF |＋|QF |＝|PQ |＋12＝4b ＋12＝28，∴△PQF 的周长为28＋16＝44.三、解答题10．根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，且过点M (92，－1)； (2)与椭圆x 249＋y 224＝1有公共焦点，且离心率e ＝54. [解析](1)∵双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，∴可设双曲线的方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)．又 ∵双曲线过点M ⎝⎛⎭⎫92，－1，∴λ＝4×814－9＝72. ∴双曲线方程为4x 2－9y 2＝72，即x 218－y 28＝1. (2)解法1(设标准方程)由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，即c ＝5且焦点在x 轴上，∴可设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，且c ＝5.又e ＝c a ＝54，∴a ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝9. ∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 解法2(设共焦点双曲线系方程)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴可设双曲线方程为x 249－λ－y 2λ－24＝1(24<λ<49)． 又e ＝54，∴λ－2449－λ＝2516－1，解得λ＝33. ∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 能力强化训练一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 [答案]A[解析]∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ， 圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切， ∴3ba 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4. ∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.2．(文)(2013·新课标Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x [答案]C[解析]本题考查双曲线渐近线方程．由题意得c a ＝52，即c ＝52a ，而c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2＝54a 2，b 2＝14a 2，b 2a 2＝14，所以b a ＝12，渐近线的方程为y ＝±12x ，选C.在解答此类问题时，要充分利用a 、b 、c 的关系．(理)(2013·某某高考)如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B. 3C.32D.62[答案]D[解析]不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1. 由题意知|BF 1|－|BF 2|＝2a ⇒|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|＝4a 2，①并由勾股定理得|BF 1|2＋|BF 2|2＝4c 2＝12，②由①②知12－4a 2＝2|BF 1|·|BF 2|，∴|BF 1|·|BF 2|＝6－2a 2.下面求|BF 1|·|BF 2|的值． 在椭圆中|BF 1|＋|BF 2|＝4，故|BF 1|2＋|BF 2|2＋2|BF 1|·|BF 2|＝16，又由②知|BF 1|2＋|BF 2|2＝4c 2＝12，∴|BF 1|·|BF 2|＝2，因此有c 2－a 2＝1，∵c 2＝3，∴a 2＝2，∴C 2的离心率e ＝c a ＝62. 二、填空题3．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为________．[答案]4[解析]设C ：x 2a 2－y 2a2＝1. ∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y 2a2＝1和x ＝－4. 得A (－4，16－a 2)，B (－4，－16－a 2)， ∴|AB |＝216－a 2＝43，∴a ＝2，∴2a ＝4.∴C 的实轴长为4.4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被点(b 2，0)分成32两段，则此双曲线的离心率为________．[答案]52121[解析]∵(b 2＋c )(c －b 2)＝3 2. ∴c ＝52b ，a ＝c 2－b 2＝212b ， e ＝c a ＝521＝52121. 三、解答题5．已知点A (－3，0)和点B (3，0)，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线y ＝x －2交于D 、E 两点，求线段DE 的长．[分析] 求双曲线方程，联立方程组，结合根与系数的关系求弦长．[解析]设点C (x ，y )，则|CA |－|CB |＝±2，根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1.(a >0，b >0) 由2a ＝2,2c ＝|AB |＝23，得a 2＝1，b 2＝2，故点C 的轨迹方程是x 2－y 22＝1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1y ＝x －2，消去y 并整理得x 2＋4x －6＝0. 因为Δ>0，所以直线与双曲线有两个交点．设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－6，故|DE |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4 5.[点评] (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．6．(文)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．[分析] 由离心率为2可看出它是等轴双曲线；从此隐含条件入手，可使运算变得简单．[解析](1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵过(4，－10)点，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证法1：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1→⊥MF 2→.∴MF 1→·MF 2→＝0.证法2：∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.[点评] 双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基本量，如“a ，b ，c ，e ”等，树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助．(理)已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)与双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)有公共焦点F 1、F 2，设P 是它们的一个交点．(1)试用b 1，b 2表示△F 1PF 2的面积；(2)当b 1＋b 2＝m (m >0)是常数时，求△F 1PF 2的面积的最大值．[解析](1)如图所示，令∠F 1PF 2＝θ.因|F 1F 2|＝2c ，则a 21－b 21＝a 22＋b 22＝c 2.即a 21－a 22＝b 21＋b 22. 由椭圆、双曲线定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2(令|PF 1|>|PF 2|)， 所以|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 21－b 21)－2(a 22＋b 22)2(a 21－a 22) ＝b 21－b 22a 21－a 22＝b 21－b 22b 21＋b 22. 所以sin θ＝2b 1b 2b 21＋b 22.所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin θ ＝12(a 21－a 22)·2b 1b 2b 21＋b 22＝b 1b 2. (2)当b 1＋b 2＝m (m >0)为常数时S △F 1PF 2＝b 1b 2≤(b 1＋b 22)2＝m 24， 所以△F 1PF 2面积的最大值为m 24.。
【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第七章 不等式 7-1 Word版含解析
基础达标检测一、选择题1．已知条件p ：x >1，条件q ：1x ≤1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当x >1时，一定有1x <1，因而一定有1x ≤1；但当1x ≤1时，可以推得x <0或x ≥1，所以p 是q 的充分不必要条件．2．(文)x ＝(a ＋3)(a －5)与y ＝(a ＋2)(a －4)的大小关系是( ) A ．x >y B ．x ＝y C ．x <y D ．不能确定[答案] C[解析] ∵x －y ＝a 2＋3a －5a －15－a 2－2a ＋4a ＋8 ＝－7<0，∴x <y .(理)设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0D ．a 2－b 2<0[答案] C[解析] 由a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒a ＋b >0，于是选C. 3．(2013·天津高考)设a 、b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 因为a 2≥0，而(a －b )a 2<0，所以a －b <0， 即a <b ；由a <b ，a 2≥0，得到(a －b )a 2≤0， 所以(a －b )a 2<0是a <b 的充分不必要条件．4．设a 、b 为非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b[答案] C[解析] a <b <0时，a 2>b 2排除A ； 当a ＝1，b ＝2时ab 2>a 2b ，排除B ； 当b >a >0时，b a >ab 排除D ；因为1ab 2－1a 2b ＝a －b a 2b 2，a 2b 2>0，又a <b ，所以a －b <0， 即1ab 2－1a 2b <0，所以1ab 2<1a 2b ，故选C. 5．设a ＞b >0，则下列不等式成立的是( ) A ．|b －a |≥1B ．2a <2bC ．lg ab <0 D ．0<b a <1[答案] D[解析] ∵a >b >0 ∴0<ba <1.故选D.6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定 [答案] B[解析] 设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋s v 2，乙用时间为4s v 1＋v 2，而s v 1＋s v 2－4sv 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝s (v 1－v 1)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室．二、填空题7．设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a ，b ，c 之间的大小关系为________．[答案] a <b <c[解析] ∵a ＝2－5＝4－5<0，b >0，c ＝5－25＝25－20>0，且b －c ＝35－7＝45－49<0，∴a <b <c .8．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ；②a ＋x >b ＋y ；③ax >by ；④x －b >y －a ；⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．[答案] ②④[解析] 若x >y ，a >b ，则－x <－y ，∴a －y >b －x . 若x >y ，a >b ，则－b >－a ， ∴x －b >y －a ，即a ＋x >b ＋y ； 若x >y ，a >b ，则推不出ax >by . 若x >y ，a >b ，推不出a y >bx . 综上，①③⑤错误，②④正确．9．已知a 1，a 2∈(0,1)．记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是M ________N .[答案] >[解析] M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)， ∵a 1、a 2∈(0,1)，∴(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N . 三、解答题10．已知a ＋b >0，比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小．[解析] a b 2＋b a 2－(1a ＋1b ) ＝a －b b 2＋b －a a 2 ＝(a －b )(1b 2－1a 2) ＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0， ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b .能力强化训练一、选择题1．设a >1>b >－1，则下列不等式恒成立的是( ) A.1a <1b B.1a >1b C ．a 2>1b 2D ．a >b 2[答案] D[解析] 若b <0，则1b <0，∴1a >1b ，故A 不正确． 若b >0，由a >1>b >0，得1a <1b ，故B 也不正确． 当a ＝2，b ＝13时，a 2＝4<9＝1b 2，∴C 也不正确． ∵－1<b <1，∴0≤b 2<1.∴a >1>b 2，D 正确．2．(文)(2013·陕西高考)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[x ＋12]＝[x ] C ．[2x ]＝2[x ] D ．[x ]＋[x ＋12]＝[2x ][答案] D[解析] 本题考查对取整函数的理解．可用排除法． 令x ＝1.1，[－1.1]＝－2，而－[1.1]＝－1，A 错； 令x ＝－12，[－12＋12]＝0，[－12]＝－1，B 错； 令x ＝0.5，[2x ]＝1,2[x ]＝0，C 错；选D.(理)(2013·陕西高考)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[2x ]＝2[x ]C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ] [答案] D[解析] 取x ＝1.6，y ＝2.7，则[x ]＝[1.6]＝1，[y ]＝[2.7]＝2，[2x ]＝[3.2]＝3，[－x ]＝[－1.6]＝－2，故A 、B 错误；[x ＋y ]＝[1.6＋2.7]＝4，显然[x ＋y ]>[x ]＋[y ]，故C 错．二、填空题3．已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是__________．(答案用区间表示)[答案] (3,8)[解析] 考查不等式中整体范围的求解． 令2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y ) ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y∴⎩⎨⎧2＝m ＋n －3＝m －n，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12n ＝52.∴z ＝2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )， ∵－1＜x ＋y ＜4,2＜x －y ＜3，∴－2＜－12(x ＋y )＜12，5＜52(x －y )＜152， ∴3＜－12(x ＋y )＋52(x －y )＜8，故z ∈(3,8)．4．(文)(2012·西安模拟)比较大小：lg9·lg11________1(填“>”“<”或“＝”)．[答案] <[解析] lg9·lg11<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg9＋lg1122＝lg 2994<lg 21004＝1. (理)(2012·宜春模拟)已知0<x <y <a <1，设m ＝log a x ＋log a y ，则m 的取值范围为________．[答案] (2，＋∞)[解析] 由0<x <y <a <1知0<xy <a 2，且y ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数，又m ＝log a x ＋log a y ＝log a (xy )>log a a 2＝2，故m >2.三、解答题5．已知a ≠1且a ∈R ，试比较11－a 与1＋a 的大小．[解析] ∵11－a －(1＋a )＝a 21－a ，(1)当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a＝1＋a .(2)当a <1时，且a ≠0时，a 21－a >0，∴11－a >1＋a .(3)当a >1时，a 21－a <0，∴11－a<1＋a .6．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．[分析] 要确定住宅采光条件是变好了，还是变坏了，就是要比较原来窗户面积和地板面积的比值与窗户面积和地板面积增加以后的比值哪个大哪个小．如果是增加了面积以后的窗户面积和地板面积的比值大，则采光条件变好了，否则采光条件变坏或没变．[解析] 设原来的窗户面积与地板面积分别为a ，b ，于是原来窗户面积与地板面积之比为a b ，且ab ≥10%.窗户面积和地板面积同时增加的面积为c ，则现有窗户面积与地板面积比为a ＋cb ＋c，因此要确定采光条件的好坏，就转化成比较a b 与a ＋cb ＋c 的大小，采用作差比较法．a ＋cb ＋c －a b ＝(b －a )c(b ＋c )b. 因为a >0，b >0，c >0，又由题设条件可知a <b ， 故有a b <a ＋c b ＋c 成立，即a ＋c b ＋c>a b ≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 7-1不等式的性质及解法课后强化作业 新人教B版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 7-1不等式的性质及解法课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题 1．不等式⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x 的解集是( )A ．(0,2)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) [答案]A[解析]∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x，∴x －2x <0，即x (x －2)<0.解得0<x <2，选A. 2．(文)若a <b <0，则下列不等式中不一定成立的是( ) A.1a >1b B.1a －b >1bC.－a >－b D ．|a |>－b [答案]B[解析]取a ＝－2，b ＝－1，逐一检验即可知选B. (理)设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1 B.12<(12)a <(12)bC ．a 2<ab <1D ．log 12b <log 12a <0[答案]B[解析]依题意得ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，因此A 不正确；同理可知C 不正确；由函数y ＝(12)x 在R 上是减函数得，当0<b <a <1时，有(12)0>(12)b >(12)a >(12)1，即12<(12)a <(12)b ，因此B 正确；同理可知D 不正确．综上所述，选B.[点评] 可取特值a ＝12，b ＝14检验．3．(文)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[－12，－13]，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．(13，12)D ．(－∞，13)∪(12，＋∞)[解析]由题意知－12、－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，由韦达定理得，－12＋(－13)＝ba ，－12×(－13)＝－1a. ∴a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，∴2<x <3.(理)关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1 [答案]C[解析]方程x 2－ax －20a 2＝0的两根是x 1＝－4a ，x 2＝5a ，则由关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，得|x 1－x 2|＝|9a |≤9，即－1≤a ≤1，且a ≠0，故选C.4．已知a 1<a 2<a 3<0，则使得(1－a i x )2<1(i ＝1,2,3)都成立的x 的取值X 围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1a 1，0B.⎝⎛⎭⎫2a 1，0 C.⎝⎛⎭⎫1a 3，0D.⎝⎛⎭⎫2a 3，0 [答案]B[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a 1x <1，－1<1－a 2x <1，－1<1－a 3x <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1<x <0，2a 2<x <0，2a 3<x <0.∵a 1<a 2<a 3<0，∴0>2a 1>2a 2>2a 3，∴2a 1<x <0，故选B. 5．(文)(2013·东城区统一检测)“x 2－2x －3>0成立”是“x >3成立”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析]由x 2－2x －3>0得x <－1或x >3，所以x 2－2x －3>0是x >3成立的必要不充分条件． (理)(2013·某某一模)若a 、b 均为不等于零的实数，给出下列两个条件．条件甲：对于区间[－1,0]上的一切x 值，ax ＋b >0恒成立；条件乙：2b －a >0，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]∵当x ∈[－1,0]时，恒有ax ＋b >0成立， ∴当x ＝－1时，b －a >0，当x ＝0时，b >0， ∴2b －a >0，∴甲⇒乙；但乙推不出甲， 例如：a ＝32b ，b >0时，则2b －a ＝12b >0，但是，当x ＝－1时，a ·(－1)＋b ＝－32b ＋b ＝－12b <0，∴甲是乙的充分不必要条件．6．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝N D ．不确定 [答案]B[解析]由题意得M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)>0，故M >N ，选B. 二、填空题7．(文)(2013·某某期末)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．[答案]a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1[解析]作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，∵a 1<a 2，b 1<b 2，∴(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.(理)(2013·某某一模)给出下列四个命题： ①若a >b >0，则1a >1b ；②若a >b >0，则a －1a >b －1b ；③若a >b >0，则2a ＋b a ＋2b >ab；④设a ，b 是互不相等的正数，则|a －b |＋1a －b≥2. 其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)． [答案]②[解析]①作差可得1a －1b ＝b －a ab ，而a >b >0，则b －a ab <0，∴①错误．②若a >b >0，则1a <1b ，进而可得－1a >－1b ，所以可得a －1a >b －1b 正确．∵2a ＋b a ＋2b －a b ＝b (2a ＋b )－a (a ＋2b )(a ＋2b )b ＝b 2－a 2(a ＋2b )b ＝(b －a )(b ＋a )(a ＋2b )b<0，∴③错误．④当a －b <0时此式不成立，∴④错误．8．(2012·某某某某统考)已知函数f (x )＝x 2＋2x ，g (x )＝(12)x －m ，若∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[－1,1]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值X 围是________．[答案][－52，＋∞)[解析]要使对∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[－1,1]，使得f (x 1)≥g (x 2)，只需使f (x )在区间[1,2]上的最小值大于等于g (x )在区间[－1,1]上的最小值即可．因为f ′(x )＝2(x 3－1)x 2≥0对x ∈[1,2]恒成立，所以函数f (x )在区间[1,2]上单调递增，从而函数f (x )在区间[1,2]上的最小值为f (1)＝3.易知函数g (x )在区间[－1,1]上单调递减，故函数g (x )在区间[－1,1]上的最小值为g (1)＝12－m .由题意得3≥12－m ，解得m ≥－52.9．(文)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)，0 (x <0)，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．[答案](－∞，1][解析]原不等式化为①⎩⎪⎨⎪⎧2x ≤2x ≥0或②⎩⎨⎧x ≤2，x <0它们的解集分别为[0,1]，(－∞，0)，取并集得原不等式的解集为(－∞，1]． (理)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则不等式x 2－(x ＋1)sgn x －1>0的解集是________．[答案]{x |x <－1或x >2}[解析]不等式x 2－(x ＋1)sgn x －1>0化为⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2－x －2>0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，x 2－(x ＋1)×0－1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋x >0. ∴x >2或x <－1. 三、解答题10．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8(0≤x ≤5)10.2 (x >5)，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律． (1)要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么X 围内？ (2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ [解析]依题意，G (x )＝x ＋2 设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8(0≤x ≤5)，8.2－x (x >5).(1)要使工厂有赢利，即解不等式f (x )>0，当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0 即x 2－8x ＋7<0，得1<x <7， ∴1<x ≤5.当x >5时，解不等式8.2－x >0，得 x <8.2， ∴5<x <8.2综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x <8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的X 围内．(2)0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6 故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多.能力拓展提升一、选择题11．(文)已知a >b >0，且ab ＝1，设c ＝2a ＋b ，P ＝logc a ，N ＝log c b ，M ＝log c (ab )，则有( )A ．P <M <NB ．M <P <NC ．N <P <MD ．P <N <M [答案]A[解析]因为a >b >0，且ab ＝1， 所以a >1,0<b <1，a ＋b >2ab ＝2，c ＝2a ＋b <1，所以log c a <log c (ab )<log c b ， 即P <M <N ，选A.(理)已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中，正确的是() A ．log 2a >0 B ．2a －b <12C ．2b a ＋a b <12D ．log 2a ＋log 2b <－2[答案]D[解析]当a ＝14，b ＝34时A 不成立；对B 有2a －b <12⇒2a －b <2－1⇒a －b <－1，又a ＋b ＝1，可得a <0，与a >0矛盾；对C 有2b a ＋a b <12⇒2b a ＋a b <2－1⇒b a ＋a b <－1，与b a ＋ab >2(∵a ≠b ，且a >0，b >0)矛盾，故选D.12．(文)已知x ∈R ，A ＝(x ＋3)(x ＋7)，B ＝x 2＋9x ＋20，则A 、B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A ＝B C ．A <B D ．与x 有关 [答案]D[解析]A －B ＝(x ＋3)(x ＋7)－(x 2＋9x ＋20)＝x －1，当x >1时A >B ，当x ＝1时A ＝B ，当x <1时A <B ，故选D.(理)已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b [答案]A[解析]解法1：特值法：令a ＝0，则b ＝1，c ＝5， ∴c >b >a ，排除B 、D ；令c ＝b ，则a ＝2，∴b ＝c ＝5，也满足b >a ，排除C ，选A. 解法2：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b ，已知两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2， ∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴1＋a 2>a ，∴b >a ，∴c ≥b >a .13．(2013·某某名校模拟)已知a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值X 围为( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3) [答案]C[解析]把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立方程并解得x <1或x >3.二、填空题14．(文)若关于x 的不等式2x 2－(2a ＋1)x ＋a <0的整数解有且仅有1、2，则实数a 的取值X 围是________．[答案](2,3][解析]将不等式变形为：(2x －1)(x －a )<0， 由题设条件知a >12，∴12<x <a ，∵不等式的整数解有且仅有1、2，∴2<a ≤3.(理)已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，比较S 3a 3与S 5a 5的大小，结果为________．[答案]S 3a 3<S 5a 5[分析] 可以利用等比数列前n 项和公式将两个式子表示出来，再作差进行比较，但应注意对公比的分类讨论．[解析]当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5；当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4<0，所以有S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.三、解答题15．已知b >a >0，x >y >0，求证：x x ＋a >yy ＋b .[解析]∵x >y >0，∴0<1x <1y，∵b >a >0，∴0<a x <b y ，∴1<1＋a x <1＋by ，即1<x ＋a x <y ＋b y ，∴x x ＋a >yy ＋b.16．(文)已知函数f (x )＝(ax －1)e x ，a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若函数f (x )在区间(0,1)上是单调增函数，某某数a 的取值X 围． [解析](1)因为f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ，所以当a ＝1时，f ′(x )＝x e x ，令f ′(x )＝0，则x ＝0， 所以f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：(2)因为f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ，函数f (x )在区间(0,1)上是单调增函数， 所以f ′(x )≥0对x ∈(0,1)恒成立．又e x >0，所以只要ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立，解法一：设g (x )＝ax ＋a －1，则要使ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧g (0)≥0，g (1)≥0，成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥0，2a －1≥0，解得a ≥1. 解法二：要使ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立， 因为x >0，所以a ≥1x ＋1对x ∈(0,1)恒成立，因为函数g (x )＝1x ＋1在(0,1)上单调递减，∴g (x )≤1，∴a ≥1.(理)(2013·某某模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小．[解析](1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )(a ≠0)， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a ，∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m .考纲要求1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景．3．了解证明不等式的基本方法——比较法． 4．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．5．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 6．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 补充材料1．实际应用中不等关系与数学语言间的转换将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换．2．利用不等式性质求数(式)的取值X 围应用不等式的性质求多个变量线性组合的X 围问题时，由于变量间相互制约，“取等号”的条件会有所不同，故解此类题目要特别小心．一般来说，可采用整体换元或待定系数法解决．3．数的大小比较比较数或式的大小时，可以利用不等式的性质进行比较；也可以作差(与0比)和作商(与1比)比较；还可以利用函数的单调性进行比较，要注意结合题目的特点选取恰当的方法．4．含参数的不等式问题一般分为两类：一类是已知参数的取值X 围，求不等式的解；另一类是求使不等式有解(或恒成立)的参数的取值X 围，求解时要注意分类讨论．对于含参数的一元二次不等式，往往既要按二次项系数a 的正负分类，又要按判别式Δ的符号分类．5．恒成立问题一般地，a >f (x )恒成立，f (x )的最大值为M ，则a >M ； a <f (x )恒成立，f (x )的最小值为m ，则a <m . 6．求解含参不等式恒成立问题的常用方法 (1)变换主元，转化为一次函数问题；(2)转化为二次函数或二次方程，利用根的判别式或数形结合思想求解． (3)分离参变量，构造函数求最值． 7．不等式的解法 (1)分式不等式的解法先通分化为一边为f (x )g (x )，一边为0的形式，再等价转化为整式不等式．注意A B >0⇔A ·B >0；A B <0⇔A ·B <0；A B ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ A ·B ≥0B ≠0；A B ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ·B ≤0B ≠0. 如果用去分母的方法，一定要考虑分母的符号．(2)高次不等式的解法只要求会解可化为一边为0，另一边可分解为一次或二次的积式的，解法用穿根法，要注意穿根时“奇过偶不过”．(3)含绝对值不等式的解法：一是令每个绝对值式为0，找出其零点作为分界点，分段讨论；二是平方法．(4)含根号的不等式解法，一是换元法，二是平方法．(5)解含参数的不等式时，要对参数分类讨论(常见的有一次项系数含字母、二次项系数含字母、二次不等式的判别式Δ、指对不等式中的底数含参数等)．(6)超越不等式讨论解的个数可用图解法．8．(1)无理不等式和含绝对值的不等式多数题目都可以用平方法求解，平方后要注意取值X 围是否发生变化．(2)关于不等式解集的选择题，大多能用检验排除法求解．(3)去掉绝对值号时可以用绝对值的定义．(4)含无理式时，必须注意定义域的制约．(5)注意方程的根、函数的零点，不等式解集的端点三者之间的关系．备选习题1．设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝5－12，则( ) A ．a <b <c B ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a[答案]C[解析]a ＝log 32＝ln2ln3<ln2＝b ， 又c ＝5－12 ＝15<12， a ＝log 32>log 33＝12，因此c <a <b . 2．(2013·某某市调研)若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值X 围为( )A ．(13，＋∞)B ．(5，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，13)[答案]B[解析]∵x ∈[2,4]时，x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4∈[5,13]，又存在x ∈[2,4]时，使m >x 2－2x ＋5成立，∴m >5，故选B.3．设a ＋b <0，且b >0，则( )A ．b 2>a 2>abB ．b 2<a 2<－abC ．a 2<－ab <b 2D ．a 2>－ab >b 2[答案]D[解析]由a ＋b <0，b >0，可得a <0,0<b <－a ，则b 2－a 2＝(b －a )(a ＋b )<0，可知A 、C 错误，a 2＋ab ＝a (a ＋b )>0，b 2＋ab ＝b (b ＋a )<0，可知B 错误，D 正确．[点评] 可对a 、b 取特值检验．4．(2013·某某莱州一中质检)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <4}，则不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为( )A ．{x |x >12或x <14}B ．{x |x <14} C ．{x |x >12} D ．{x |12<x <14} [答案]A[解析]由条件知a <0且b a ＝－6，c a＝8，∴b ＝－6a ，c ＝8a ，∴不等式cx 2＋bx ＋a <0化为8ax 2－6ax ＋a <0，∴8x 2－6x ＋1>0，∴x <14或x >12，故选A. 5．(2013·某某模拟)设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值X 围是( ) A ．(0，5π6) B ．(－π6，5π6) C ．(0，π) D ．(－π6，π) [答案]D[解析]由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 6．设A ＝log 201320141111＋120142222＋1，B ＝log 201320142222＋120143333＋1，则A 与B 的大小关系为________． [答案]A >B[解析]设20141111＝x ，则x >1，A ＝log 2013x ＋1x 2＋1，B ＝log 2013x 2＋1x 3＋1， ∵x ＋1x 2＋1－x 2＋1x 3＋1＝x (x －1)2(x 2＋1)(x 3＋1)>0， y ＝log 2013x 为增函数，∴log 2013x ＋1x 2＋1>log 2013x 2＋1x 3＋1，即A >B .。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-7对数与对数函数课后强化作业 北师大版
"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-7对数与对数函数课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题 1．函数y ＝1－1x －1的图像是( )[答案]B[解析]将y ＝－1x 的图像向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图像． 2．已知图①中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图像对应的函数为( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |) [答案]C[解析]y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x ≥0，f (x )，x <0.3．(文)(2013·某某高考)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )[答案]A[解析]本题考查函数的图像与性质． ∵f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，排除C.∵x 2＋1≥1， 则ln(x 2＋1)≥0，且当x ＝0时f (0)＝0， 所以排除B 、D ，选A.(理)(2013·某某高考)函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )[答案]C[解析]本题考查函数图像的形状．函数的定义域为：3x －1≠0，∴x ≠0，排除A ； 取x ＝－1，则f (－1)＝－113－1>0，排除B ；当x →＋∞时，3x －1比x 3增大要快， ∴x 33x －1大于0而且趋向于0，排除D. 故选C.4．函数y＝2x－x2的图像大致是()[答案]A[解析]本题考查了函数图像的性质，考查了学生的识图能力，以及对函数知识的把握程度和数形结合的思维能力，令2x＝x2，y＝2x与y＝x2，由图看有3个交点，∴B、C排除，又x＝－2时2－2－(－2)2<0，故选A.5．函数y＝f(x)(x∈R)的图像如图所示，下列说法正确的是()①函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)；②函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)；③函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(x)；④函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．A．①③B．②④C．①②D．③④[答案]C[解析]由图像可知，函数f(x)为奇函数且关于直线x＝1对称；对于②，因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f[1＋(x＋1)]＝f[1－(x＋1)]，即f(x＋2)＝f(－x)．故①②正确，选C.6．(2013·高考)函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1[答案]D[解析]∵曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e－x，将y＝e－x的图像向左平移1个单位即得到函数f(x)的图像，∴f(x)＝e－(x＋1)，即f(x)＝e－x－1.二、填空题7．设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图像如图中所示线段AB，则在区间[1,2]上，f(x)＝________.[答案]x[解析]因为f(x)为偶函数，由偶函数的对称性可知，当x∈[－1,0]时f(x)＝x＋2，所以当x∈[1,2]时，x－2∈[－1,0]，又f(x)是周期为2的偶函数，故当x∈[1,2]时，f(x)＝f(x－2)＝(x －2)＋2＝x.8．已知函数f(x)的图像如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域是________．[答案](2,8][解析]当f(x)>0时，函数g(x)＝log2f(x)有意义，由函数f(x)的图像知满足f(x)>0的x∈(2,8]．9．(2014·某某调研)设f(x)表示－x＋6和－2x2＋4x＋6中较小者，则函数f(x)的最大值是________．[答案]6[解析]在同一坐标系中，作出y＝－x＋6和y＝－2x2＋4x＋6的图像如图所示，可观察出当x＝0时函数f(x)取得最大值6.三、解答题10．若1<x<3，a为何值时x2－5x＋3＋a＝0有两解、一解、无解？[解析]原方程化为：a＝－x2＋5x－3，①作出函数y＝－x2＋5x－3(1<x<3)的图像如图，显然该图像与直线y ＝a 的交点的横坐标是方程①的解， 由图可知：当 3<a <134时，原方程有两解；当1<a ≤3或a ＝1314时，原方程有一解；当a >134或a ≤1时，原方程无解.能力强化训练一、选择题1．(2013·某某高考)函数y ＝f (x )的图像如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n，则n 的取值X 围为( )A ．{2,3}B ．{2,3,4}C ．{3,4}D ．{3,4,5}[答案]B[解析]如图所示f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n.可以看作点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，…，(x n ，f (x n ))与原点(0,0)连线的斜率．对于l 1，l 2，l 3满足条件的x 分别有2个、3个、4个，故选B.2．(文)(2014·宁都一中月考)已知a >b ，函数f (x )＝(x －a )·(x －b )的图像如图所示，则函数g (x )＝log a (x ＋b )的图像可能为( )[答案]B[解析]由函数f (x )＝(x －a )(x －b )的图像可知，a >1,0<b <1，所以排除A ，D ；函数g (x )的图像是由函数u (x )＝log a x 的图像向左平移b 个单位得到的，故选B.(理)(2014·某某调研)我们定义若函数f (x )为D 上的凹函数须满足以下两条规则：(1)函数在区间D 上的任何取值有意义；(2)对于区间D 上的任意n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )≥nf (x 1＋x 2＋…＋x n n )，那么下列四个图像中在[0，π2]上满足凹函数定义的是( )[答案]A[解析]要判断是不是凹函数，需要先明确凹函数的定义，由定义的第一点可以排除D ，在A ，B ，C 这三个选项中可以考虑特殊值法．取x 1＝0，x 2＝π2，则显然选项B ，C 不满足f (x 1)＋f (x 2)≥2f (x 1＋x 22)，故选A.二、填空题3．(文)函数y ＝f (x )(x ∈[－2,2])的图像如图所示，则f (x )＋f (－x )＝________.[答案]0[解析]由图像可知f (x )为定义域上的奇函数．∴f (x )＋f (－x )＝f (x )－f (x )＝0.(理)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值X 围是________． [答案]⎝⎛⎭⎫1，54 [解析]如图，在同一直角坐标系内画出直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a ，由图可知，a 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a >14a －14<1，解得1<a <54.4．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图像，则f (2 014)＋f (2 015)＝________.[答案]3[解析]由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2014)＋f (2015)＝f (671×3＋1)＋f (672×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图像可知f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (2014)＋f (2015)＝1＋2＝3.三、解答题5．(文)已知函数f (x )＝2x －a2x ，将y ＝f (x )的图像向右平移两个单位，得到y ＝g (x )的图像．(1)求函数y ＝g (x )的解析式；(2)若函数y ＝h (x )与函数y ＝g (x )的图像关于直线y ＝1对称，求函数y ＝h (x )的解析式． [解析](1)由题设，g (x )＝f (x －2)＝2x －2－a2x －2.(2)设(x ，y )在y ＝h (x )的图像上，(x 1，y 1)在y ＝g (x )的图像上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x ，y 1＝2－y ，∴2－y ＝g (x )，y ＝2－g (x )， 即h (x )＝2－2x －2＋a2x －2.(理)设函数f (x )＝x ＋1x 的图像为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图像为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．[解析](1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4.(2)由⎩⎨⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y ，得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)， ∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；word11 / 11 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．6．(2014·某某模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )．(1)证明：函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称；(2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，求x ∈[－4,0]时的f (x )的表达式．[解析](1)证明：设P (x 0，y 0)是函数y ＝f (x )图像上任一点，则y 0＝f (x 0)，点P 关于直线x ＝2的对称点为P ′(4－x 0，y 0)．因为f (4－x 0)＝f [2＋(2－x 0)]＝f [2－(2－x 0)]＝f (x 0)＝y 0，所以P ′也在y ＝f (x )的图像上，所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，所以f (－x )＝－2x －1.又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝－2x －1，x ∈[－2,0]．当x ∈[－4，－2]时，4＋x ∈[0，－2]，所以f (4＋x )＝2(4＋x )－1＝2x ＋7.而f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋7，x ∈[－4，－2]－2x －1，x ∈[－2，0].。
高考数学一轮总复习(目标导航+自主导学+典例讲解)第七章 不等式课件 北师大版
[规范解答] 将参数a分离出来，因为x∈[1,4]， 所以原不等式可转化为x＋4x≥a， 令f(x)＝x＋4x，要使不等式x2＋4≥ax在[1,4]上恒成立， 只要x＋4x≥a在x∈[1,4]上恒成立即可， 即a≤f(x)min，
[规范解答] 如图所示，在同一坐标系中作出函数y＝f(x) 的图像和直线y＝1，它们相交于(－1,1)和(1,1)两点，由 f(x0)>1，得x0<－1或x0>1，故选D.
[答案] D
有关恒成立问题 不等式中的恒成立问题、有解问题以及无解问题是高考 的热点，对于恒成立问题高考考查的特别多，但是对于有 解、无解问题的考查预计在以后的高考中有加强的趋势，故 要熟练掌握.
作出g(t)和h(t)的大致图像如图，由图像可知，直线h(t)＝
kt在如图所示的阴影域时能保证kt≥
1 4
t2－1在t∈[－1,1]上恒成
立，故－34≤k≤34.
走向高考·数学
北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第七章 不等式
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函数与方程思想在不等式中的应用 在解决不等式问题时，可以用变化的观点，将问题抽象 为函数，从而利用函数的图像和性质解决问题．例如：对满 足一定条件的字母可以构造函数，再判断该函数在某一范围 上的单调性和奇偶性等，并利用这些性质解决问题．另外， 方程与不等式问题也可以通过构建相关函数，利用函数图像 与性质使问题得以解决．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
究函数最值、单调性、极值与方程的根等问题；另外，线性 规划的问题更是离不开数与形的结合．
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基础达标检测一、选择题1．已知条件p ：x >1，条件q ：1x ≤1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当x >1时，一定有1x <1，因而一定有1x ≤1；但当1x ≤1时，可以推得x <0或x ≥1，所以p 是q 的充分不必要条件．2．(文)x ＝(a ＋3)(a －5)与y ＝(a ＋2)(a －4)的大小关系是( ) A ．x >y B ．x ＝y C ．x <y D ．不能确定[答案] C[解析] ∵x －y ＝a 2＋3a －5a －15－a 2－2a ＋4a ＋8 ＝－7<0，∴x <y .(理)设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0 D ．a 2－b 2<0[答案] C[解析] 由a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒a ＋b >0，于是选C.3．(2013·天津高考)设a 、b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 因为a 2≥0，而(a －b )a 2<0，所以a －b <0， 即a <b ；由a <b ，a 2≥0，得到(a －b )a 2≤0， 所以(a －b )a 2<0是a <b 的充分不必要条件．4．设a 、b 为非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b[答案] C[解析] a <b <0时，a 2>b 2排除A ； 当a ＝1，b ＝2时ab 2>a 2b ，排除B ； 当b >a >0时，b a >ab 排除D ；因为1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b 2，a 2b 2>0，又a <b ，所以a －b <0， 即1ab 2－1a 2b <0，所以1ab 2<1a 2b ，故选C. 5．设a ＞b >0，则下列不等式成立的是( ) A ．|b －a |≥1 B ．2a <2b C ．lg ab <0 D ．0<b a <1[答案] D[解析] ∵a >b >0 ∴0<ba <1.故选D.6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定 [答案] B[解析] 设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋s v 2，乙用时间为4s v 1＋v 2，而s v 1＋s v 2－4sv 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝s (v 1－v 1)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，故s v 1＋s v 2>4sv 1＋v 2，故乙先到教室．二、填空题7．设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a ，b ，c 之间的大小关系为________．[答案] a <b <c[解析] ∵a ＝2－5＝4－5<0，b >0，c ＝5－25＝25－20>0，且b －c ＝35－7＝45－49<0， ∴a <b <c .8．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ；②a ＋x >b ＋y ；③ax >by ；④x －b >y －a ；⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．[答案] ②④[解析] 若x >y ，a >b ，则－x <－y ，∴a －y >b －x .若x >y ，a >b ，则－b >－a ， ∴x －b >y －a ，即a ＋x >b ＋y ； 若x >y ，a >b ，则推不出ax >by . 若x >y ，a >b ，推不出a y >bx . 综上，①③⑤错误，②④正确．9．已知a 1，a 2∈(0,1)．记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是M ________N .[答案] >[解析] M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)， ∵a 1、a 2∈(0,1)，∴(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N . 三、解答题10．已知a ＋b >0，比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小． [解析] a b 2＋b a 2－(1a ＋1b ) ＝a －b b 2＋b －a a 2 ＝(a －b )(1b 2－1a 2) ＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0， ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b .能力强化训练一、选择题1．设a >1>b >－1，则下列不等式恒成立的是( ) A.1a <1b B.1a >1b C ．a 2>1b 2 D ．a >b 2[答案] D[解析] 若b <0，则1b <0，∴1a >1b ，故A 不正确． 若b >0，由a >1>b >0，得1a <1b ，故B 也不正确． 当a ＝2，b ＝13时，a 2＝4<9＝1b 2，∴C 也不正确． ∵－1<b <1，∴0≤b 2<1.∴a >1>b 2，D 正确．2．(文)(2013·陕西高考)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[x ＋12]＝[x ] C ．[2x ]＝2[x ] D ．[x ]＋[x ＋12]＝[2x ][答案] D[解析] 本题考查对取整函数的理解．可用排除法． 令x ＝1.1，[－1.1]＝－2，而－[1.1]＝－1，A 错； 令x ＝－12，[－12＋12]＝0，[－12]＝－1，B 错； 令x ＝0.5，[2x ]＝1,2[x ]＝0，C 错；选D.(理)(2013·陕西高考)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[2x ]＝2[x ]C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ] [答案] D[解析] 取x ＝1.6，y ＝2.7，则[x ]＝[1.6]＝1，[y ]＝[2.7]＝2，[2x ]＝[3.2]＝3，[－x ]＝[－1.6]＝－2，故A 、B 错误；[x ＋y ]＝[1.6＋2.7]＝4，显然[x ＋y ]>[x ]＋[y ]，故C 错．二、填空题3．已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是__________．(答案用区间表示)[答案] (3,8)[解析] 考查不等式中整体范围的求解． 令2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y ) ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝m ＋n －3＝m －n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12n ＝52.∴z ＝2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )， ∵－1＜x ＋y ＜4,2＜x －y ＜3，∴－2＜－12(x ＋y )＜12，5＜52(x －y )＜152， ∴3＜－12(x ＋y )＋52(x －y )＜8，故z ∈(3,8)．4．(文)(2012·西安模拟)比较大小：lg9·lg11________1(填“>”“<”或“＝”)．[答案] <[解析] lg9·lg11<⎝ ⎛⎭⎪⎫lg9＋lg1122＝lg 2994<lg 21004＝1. (理)(2012·宜春模拟)已知0<x <y <a <1，设m ＝log a x ＋log a y ，则m 的取值范围为________．[答案] (2，＋∞)[解析] 由0<x <y <a <1知0<xy <a 2，且y ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数，又m ＝log a x ＋log a y ＝log a (xy )>log a a 2＝2，故m >2.三、解答题5．已知a ≠1且a ∈R ，试比较11－a 与1＋a 的大小．[解析] ∵11－a －(1＋a )＝a 21－a ，(1)当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a＝1＋a .(2)当a <1时，且a ≠0时，a 21－a >0，∴11－a >1＋a .(3)当a >1时，a 21－a <0，∴11－a<1＋a .6．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．[分析] 要确定住宅采光条件是变好了，还是变坏了，就是要比较原来窗户面积和地板面积的比值与窗户面积和地板面积增加以后的比值哪个大哪个小．如果是增加了面积以后的窗户面积和地板面积的比值大，则采光条件变好了，否则采光条件变坏或没变．[解析] 设原来的窗户面积与地板面积分别为a ，b ，于是原来窗户面积与地板面积之比为a b ，且ab ≥10%.窗户面积和地板面积同时增加的面积为c ，则现有窗户面积与地板面积比为a ＋cb ＋c，因此要确定采光条件的好坏，就转化成比较a b 与a ＋cb ＋c 的大小，采用作差比较法．a ＋cb ＋c －a b ＝(b －a )c(b ＋c )b. 因为a >0，b >0，c >0，又由题设条件可知a <b ， 故有a b <a ＋cb ＋c 成立，即a ＋c b ＋c >a b≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．。