湖南省长沙市长沙县第六中学2020届高三数学上学期第二次月考试题理无答案
2020年湖南高三二模数学试卷(理科)
当
时， 有两个零点；
当
时， 无零点．
（2）
．
解析:
（ 1 ）方法一：
，
，
若
，则
，在
上单调递增，且
，
此时 存在唯一零点；
若
，令
，得
；
当
，
， 单调递增；当
时，
，
时，
， 单调递减，
∴
，且当
时，
，当
，
，
所以当
，即
时， 无零点；
当
，即
时， 有一个零点；
当
，即
时， 有两个零点．
综上：当
或
时， 有一个零点；
当
时， 有两个零点；
，且当
时，
，则函数
9. 设 ， 满足约束条件
A. B. C. D.
，则
的取值范围是（ ）．
10.
2
若函数 A. B. C. D.
在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）．
11.
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， 为
的外心，则
（ ）．
A.
B.
C.
D.
12. 已知函数 取值范围是（ ） A. B. C. D.
．
故选： ．
6
7. A 解析:
所以当
时，
又因为
，
∴
，
所以 的最小正周期为 ，
当
时，
，
所以 在
上为减函数．
故选 ．
，其图象关于直线
对称，
，
，
，
8. C
解析:
偶函数 满足
，故函数的周期为 ．
湖南省长沙市长沙六中2020届高三数学上学期第一次月考试题文(无答案)
湖南省长沙市长沙六中2020届高三数学上学期第一次月考试题 文（无答案）一、选择题：每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ） A ．{}22x x -≤< B ．{}2x x ≥-C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤< 2．设全集I=R ，集合A={y|y=log 2x ，2>x }，B={x|y=}，则（ ）A ．A ⊆BB ．A∪B=AC ．A∩B=φD ．A∩（B C U）≠φ3.命题10,ln 1x x∀>≥-的否定是( ) A. 0010,ln 1x x x ∃≤≥-B. 0010,ln 1x x x ∃><-C. 0010,ln 1x x x ∃>≥-D. 0010,ln 1x x x ∃≤<- 4. 函数)103(log 221--=x x y 的递增区间是 （ ） A ．(- ∞，-2) B ．(5，+ ∞) C ．(- ∞，32) D ．(32，+ ∞)5. 曲线34y x x =-在点P 处切线与直线4y x =-平行，则点P 的坐标为（ ）处的切线方程是（ ）A ．()1,3-- B.)(2,2 C. )(3,1 D. )(2,1-- 6.已知下列命题：①设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的必要而不充分条件 ②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题 ③设A ，B 是两个集合，则“A ⊆B”是“A∩B=A”的充分不必要条件 ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题 其中真命题的个数为（ ）A ． 3个B ． 2个 C. 1个 D ．0个 7.若函数log 1(4)11a x x y a x x ⎧=⎨--<⎩，，…，在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，4）B ．（2，4）C ．[3，4）D ．（2，3]8.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()232xf x x xf e '=++，则()2f '的值等于（ ） A ．2- B ．222e - C ．22e - D ．222e --9. 已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.c a b <<10．“1a =”是“函数()243f x x ax =-+在区间[)2,+∞上为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要11. .函数f （x ）=1232,(2)1(1),(2)x e x og x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩，则不等式f （x ）＞2的解集为（ ） A ．(2,4)- B ．(4,2)(1,2)--⋃- C ． (1,2)(10,)⋃+∞ D ．(10,)+∞12. 已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．[2,2]-B.[23,2]-C.[2,23]-D.[23,23]-二、填空题(本大题共12小题，每小题5分,共20分)。
2020届湖南师大属中高三上学期第二次月考数学(理)试题
2020届湖南师大属中高三上学期第二次月考数 学(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，集合B ＝{x |2x ＋1>1}，则∁B A ＝(A) A ．[3，＋∞) B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 2．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，则“c <0”是“∃x 0∈R ，使f (x 0)<0”的(A) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．设a ＝log 48，b ＝log 0.48，c ＝20.4，则(A)A ．b <c <aB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c4．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值为(B)A.355B. 2C.352 D. 5 5．函数y ＝e |x |4x 的图象可能是(C)6．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是(A)A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.9 7．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(C)A ．289B ．1024C ．1225D ．13788．已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两个动点，|AB →|＝4，OC →＝53OA →－23OB →.若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为(C)A ．8＋4 3B ．8－43C ．12D ．49．点A 、B 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴的端点，动点M 满足|MA ||MB |＝2，若△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为(D)A.23B.33C.22D.3210．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 上一动点，则AP ＋D 1P 的最小值为(D)A ．2 B.6＋22C ．2＋2 D.2＋ 2 11．已知函数f (x )＝x 2－2ln |x |与g (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的g (x )＝(C)A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx －π2B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2C ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2D ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2 12．设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数．若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是(B)A. 3B.32C.33 D ．0二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．定积分⎠⎛11－（x －1）2d x ＝__π4__．14．在公差大于0的等差数列{a n }中，2a 7－a 13＝1，且a 1，a 3－1，a 6＋5成等比数列，则数列{(－1)n－1a n }的前21项和为__21__．15．若函数y ＝f (x )的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[A ，B ]为y ＝f (x )的“友情点对”，点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一个“友情点对”，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x <0，－x 3＋6x 2－9x ＋a ，x ≥0恰好有两个“友情点对”，则实数a 的值为__2__．【解析】由题意可知－x 3＋6x 2－9x ＋a ＝－2在(0，＋∞)上有两解，即a ＝x 3－6x 2＋9x －2在(0，＋∞)上有两解，设g (x )＝x 3－6x 2＋9x －2，则g ′(x )＝3x 2－12x ＋9，令g ′(x )＝0得x ＝1或x ＝3.∴当0<x <1时，g ′(x )>0，当1<x <3时，g ′(x )<0，当x >3时，g ′(x )>0， ∴g (x )在(0，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝1时，g (x )取得极大值g (1)＝2，当x ＝3时，g (x )取得极小值g (3)＝－2. 作出g (x )的函数图象如图所示：∵a ＝x 3－6x 2＋9x －2在(0，＋∞)上有两解，∴a ＝2.16．点M 为棱长是22的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球O 球面上的动点，点N 为B 1C 1的中点，若满足DM ⊥BN ，则动点M 的轨迹的长度为__410π5__．【解析】如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球O 的半径R ＝2， 由题意，取BB 1的中点H ，连接CH ， 则CH ⊥NB ，DC ⊥NB ，∴NB ⊥平面DCH ，∴动点M 的轨迹就是平面DCH 与内切球O 的交线， ∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长是22，∴O 到平面DCH 的距离为d ＝25，截面圆的半径r ＝R 2－d 2＝225，所以动点M 的轨迹的长度为截面圆的周长2πr ＝410π5.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B＝2c －ab .(1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .【解析】(1)由正弦定理，得2c －a b ＝2sin C －sin Asin B，2分 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B .即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C ).4分 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ， 因此sin Csin A ＝2.6分(2)由sin C sin A ＝2得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14， b ＝2， 得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14，解得a ＝1，从而c ＝2.9分又因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154.10分 因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.12分 18．(本小题满分12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：质量指标值mm < 185185≤m < 205 m ≥205等级三等品二等品一等品(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；(3)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X 近似满足X ～N (218，140)，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？【解析】(1)根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.200＋0.300＋0.260＋0.090＋0.025＝0.875，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.3分(2)由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件．再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件．故所求的概率P ＝C 32C 41C 11＋C 31C 42C 11C 84＝37.9分 (3)“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为170×0.025＋180×0.1＋190×0.2＋200×0.3＋210×0.26＋220×0.09＋230×0.025＝200.4， “质量提升月”活动后，产品质量指标值X 近似满足X ～N (218，140)，则E (X )＝218. 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6.12分19．(本小题满分12分)如图，ABCD 是边长为2的正方形，平面EAD ⊥平面ABCD ，且EA ＝ED ，O 是线段AD 的中点，过E 作直线l ∥AB, F 是直线l 上一动点．(1)求证：OF ⊥BC ；(2)若直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直，求此时二面角B —OF —C 的余弦值． 【解析】(1) 因为EA ＝ED ，O 是AD 中点，故EO ⊥DA ，1分 又因为平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD ∩平面ABCD ＝AD ， 故EO ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥BC ；2分 因为EF ∥AB ，BC ⊥AB ，所以EF ⊥BC ， 故BC ⊥平面EOF ，3分 所以BC ⊥OF .4分(2) 设BC 的中点为M ，则有OM ⊥DA ，由(1)，EO ⊥平面ABCD ， 所以OE 、OA 、OM 两两垂直．可如图建立空间直角坐标系O －xyz .依题意设点E 的坐标为(0，0，s )，点F 的坐标为(0，t ，s )(s >0，t ∈R)，又B (1，2，0)，C (－1，2，0)，所以OF →＝(0，t ，s )，BF →＝(－1，t －2，s )，6分由(1)知OF ⊥BC ，故OF 与平面BCF 垂直，等价于OF ⊥BF ， 故OF →·BF →＝0，从而t (t －2)＋s 2＝0，即t 2－2t ＋s 2＝0，直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直，即关于t 的方程有唯一实数解， 所以Δ＝4－4s 2＝0，解得s ＝1，此时t ＝1.8分 故点E 的坐标为(0，0，1)，点F 的坐标为(0，1，1)．因为OF ⊥平面FBC ，所以OF ⊥BF 且OF ⊥CF ，所以∠BFC 即二面角B —OF —C 的平面角.10分 因为FB →＝(1，1，－1)，FC →＝(－1，1，－1)，所以cos ∠BFC ＝FB →·FC→||FB →·||FC →＝13，即若直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直时， 二面角B —OF —C 的余弦值为13.12分20．(本小题满分12分)已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点F 为(0，1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AO 、BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．【解析】(1)由已知可设抛物线的方程为：x 2＝2py (p >0)，则p2＝1⇒p ＝2，所以抛物线C 的方程是x 2＝4y .2分(2)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 124，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，所以k AO ＝x 14，k BO ＝x 24，所以直线AO 的方程是：y ＝x 14x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 14x ，y ＝x －2，∴x M ＝84－x 1，同理由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 24x ，y ＝x －2，∴x N ＝84－x 2. 所以|MN |＝1＋12|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 216－4（x 1＋x 2）＋x 1x 2，①5分设AB ：y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，∴x 2－4kx －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，且|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4k 2＋1，代入①得到：|MN |＝82·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2＋116－16k －4＝82·k 2＋1|4k －3|，7分设4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝3＋t4， ①当t >0时，|MN |＝8225＋t 2＋6t4t ＝221＋25t 2＋6t >22；9分②当t <0时，|MN |＝8225＋t 2＋6t 4t＝221＋25t 2＋6t ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥22×45＝825， 当t ＝－253时，|MN |取得最小值825，此时，k ＝－43；11分 综上所述：|MN |的最小值是825.12分 21．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x 2ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明： 对任意的t >0, 存在唯一的s, 使t ＝f (s )．(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为s ＝g (t ), 证明： 当t >e 2时，有25<ln g （t ）ln t <12.【解析】(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，＋∞.2分 (2)证明：当0<x ≤1时，f (x )≤0，设t >0，令h (x )＝f (x )－t ，x ∈[1，＋∞)，由(1)知，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增，h (1)＝－t <0，h (e t )＝e 2t ln e t －t ＝t (e 2t －1)>0.故存在唯一的s ∈(1，＋∞)，使得t ＝f (s )成立.6分(3)证明：因为s ＝g (t )，由(2)知，t ＝f (s )，且s >1，从而ln g （t ）ln t ＝ln s ln f （s ）＝ln s ln （s 2ln s ）＝ln s 2ln s ＋ln ln s ＝u 2u ＋ln u ，其中u ＝ln s ．7分 要使25<ln g （t ）ln t <12成立，只需0<ln u <u 2，当t >e 2时，若s ＝g (t )≤e ，则由f (s )的单调性，有t ＝f (s )≤f (e)＝e 2，矛盾． 所以s >e ，即u >1，从而ln u >0成立.9分另一方面，令F (u )＝ln u －u2，u >1.F ′(u )＝1u －12，令F ′(u )＝0，得u ＝2. 当1<u <2时，F ′(u )>0；当u >2时，F ′(u )<0.故对u >1，F (u )≤F (2)<0，因此ln u <u2成立.11分 综上，当t >e 2时，有25<ln g （t ）ln t <12.12分(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |.【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1， 即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.2分由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2， ①将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①得y ＝x ＋2.4分所以直线l 的斜率角为π4.5分(2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简得5t 2＋182＋27＝0，7分Δ＝(182)2－4×5×27＝108>08分设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2.则t 1＋t 2＝－1825<0，t 1t 2＝275>0，所以t 1<0，t 2<0. 所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝1825.10分 23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －3|. (1)解不等式f (x )≤x ＋1；(2)设函数f (x )的最小值为c ，实数a ，b 满足a >0，b >0，a ＋b ＝c ，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1.【解析】(1)f (x )≤x ＋1，即|x －1|＋|x －3|≤x ＋1. ①当x <1时，不等式可化为4－2x ≤x ＋1，解得x ≥1， 又∵x <1，∴x ∈∅；②当1≤x ≤3时，不等式可化为2≤x ＋1，解得x ≥1， 又∵1≤x ≤3，∴1≤x ≤3.③当x >3时，不等式可化为2x －4≤x ＋1，解得x ≤5， 又∵x >3，∴3<x ≤5.3分综上所得，1≤x ≤3，或3<x ≤5，即1≤x ≤5， ∴原不等式的解集为[1，5].5分(2)证明：由绝对值不等式性质得，|x －1|＋|x －3|≥|(1－x )＋(x －3)|＝2，7分 ∴c ＝2，即a ＋b ＝2.令a ＋1＝m ，b ＋1＝n ，则m >1，n >1，a ＝m －1，b ＝n －1，m ＋n ＝4， a 2a ＋1＋b 2b ＋1＝（m －1）2m ＋（n －1）2n＝m ＋n ＋1m ＋1n －4＝4mn ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝1， 原不等式得证.10分- 11 -。
湖南省2020届高三上学期月考数学(理)试卷
2020届高三月考理科数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1．设集合}2)1(log |{2<+=x x A ，{}162x B y y ==-，则()A B =I R ð（ ）A. ()0,3B. []0,4C. [)3,4D. ()1,3-2. 已知复数15i z a =-在复平面上对应的点在直线520x y +=上，复数152iz z +=（i 是虚数单位），则2017z =（ ）A ．1B ．1-C ．i -D ．i3. 若tan 2α=，则22cos 23sin 2sin ααα+-的值为（ ）A ．25 B ．25- C ．5 D ．54. 在[][]4,6,2,4x y ∈∈内随机取出两个数，则这两个数满足30x y -->的概率为（ ）A ．14 B ．18 C ．110 D ．1165. 若圆2212160x y x +-+=与直线y kx =交于不同的两点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．(3,3)-B ．(5,5)C ．55(D ．33( 6. 70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩一个数学游戏.这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N ，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成31N +；如果是个偶数，则下一步变成2N.不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入.为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N 是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1.准确地说，是无法逃出落入底部的421--循环，永远也逃不出这样的宿命.这就是著名的“冰雹猜想”.按照这种运算，自然数27经过十步运算得到的数为 ( ) A ．142B ．71C ．214D ．1077. 在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2223323sin a b c bc A =+-，则C 的值为（ ） A ．3π B ．6π C ．4π D ．32π8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为203，则图中x 的值为（ ）A ．3B ．1 C.2 D ．529. 运行如下程序框图，如果输入的[]0,5t ∈，则输出S 属于（ ）A ．[)4,10-B ．[]5,2-C ．[]4,3-D ．[]2,5-10.已知向量3OA =u u u r ，2OB =u u u r ，OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，若OA u u u r 与OB uuu r 的夹角为60°，且OC AB⊥u u u r u u u r ，则实数m n的值为（ ） A. 16 B. 14C. 6D. 411．如图，在四边形ABCD 中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，DA DC =.现沿对角线AC折起，使得平面DAC ⊥平面ABC ，且三棱锥D ABC -的体积为43，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的体积是（ ）A ．92π B ．823π C ．272π D ．12π 开始输入t2?t ≥24S t t =- 5S t =输出S 结束是否12.已知函数()2ln f x ax x x =--存在极值，若这些极值的和大于5ln 2+，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),4-∞B ．()4,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若()()62701271x a x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，其中()πsin cos d a x x x =-⎰，则0126a a a a +++⋯+的值为 .14. 已知函数()1,022,0xx f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩错误!未找到引用源。
湖南省2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理(含解析)
湖南省2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理（含解析）注意事项：1．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 2．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设复数z 满足21iz =+，则z 的共轭复数为（ ） A. 1i - B. 1i +C. 1i -+D. 1i --【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数除法的公式化简z ,再求共轭复数即可. 【详解】()()()2121111i z i i i i -===-++-,故z 的共轭复数为1i +. 故选：B【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及共轭复数的概念,属于基础题型. 2.已知集合{}3A x x =<，{}2log 0B x x =>，则（ ） A. {}13A B x x ⋂=<< B. A B φ⋂= C. {|3}AB x x =<D. {}1A B x x ⋃=>【答案】A 【解析】 【分析】根据对数不等式的解法求集合B ,再分析交集并集即可.【详解】{}{}2log 01B x x x x =>=>.故{}13A B x x ⋂=<<,A B R =.故选：A【点睛】本题主要考查了集合的基本运算与对数不等式的求解,属于基础题型. 3.执行图中所示程序框图，若输入14p =，则输出结果为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据程序框图逐步运行求解即可.【详解】由框图知：输入14p=,1,1n S==,1.14S>判定为是, 11122S=-=,2n=.2.14S>判定为是, 111244S=-=,3n=3.14S>判定为否,输出3n=.故选：B【点睛】本题主要考查了程序框图输入数据输出结果的问题,属于基础题型.4.为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（）A. 他们健身后，体重在区间[90kg，100kg）内的人数不变B. 他们健身后，体重在区间[100kg，110kg）内的人数减少了4人C. 他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg ，100kg ）D. 他们健身后，原来体重在[110kg ，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg 【答案】D 【解析】 【分析】根据饼图逐个选项计算分析即可.【详解】对A,易得们健身后,体重在区间[90kg ,100kg ）内的人数占比均为0040,故A 正确. 对B,体重在区间[100kg,110kg ）内的人数减少了000000503020-=,即0020204⨯=人. 故B 正确.对C,因为健身后[80kg ,90kg ）内的人数占0030,[90kg ,100kg ）内的人数占0040,故中位数位于[90kg ,100kg ）.故C 正确.对D,易举出反例若原体重在[110kg,120kg]内的肥胖者重量为110kg ,减肥后为109kg 依然满足.故D 错误. 故选：D【点睛】本题主要考查了对饼图的理解,属于基础题型. 5.已知数列321121,,,,n n a a a a a a a -是首项为8，公比为12的等比数列，则4a 等于（ ） A. 8 B. 32C. 64D. 128【答案】C 【解析】 【分析】 由题可列出3241123,,,a a a a a a a 的值再累乘计算即可. 【详解】由题, 32411238,4,2,1a a aa a a a ====,故32441123842164a a a a a a a a =⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=.故选：C【点睛】本题主要考查了根据递推公式求解某一项的问题,属于基础题型.6.某校高三年级有男生220人，编号为1，2，…，220；女生380人，编号为221，222，…，600．为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查，第一组抽到的号码为10，现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中既有男生又有女生的概率是（ ） A.15B.715C.815D.45【答案】C 【解析】 【分析】根据系统抽样的方法分析抽取出来的学生编号,再分析其中男女生的个数,再利用排列组合的方法求解概率即可.【详解】由题意知,抽取的学生编号成等差数列,首项为10,公差为6006010=. 故抽取的10人中男生有10,70,130,190,这4个号码,其余的6人为女生. 即抽到的10人中,有男生4人,女生6人, 再从这10位学生中随机抽取2人座谈, 基本事件总数21045n C ==,2人中既有男生又有女生包含的基本事件个数114624m C C =⋅=, 故2人中既有男生又有女生的概率2484515m p n ===. 故选：C【点睛】本题主要考查了系统抽样的方法与排列组合解决概率的问题,属于中等题型. 7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(3)0f x f x ++-=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=（ ）A. 2-B. 0C. 2D. 2020【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性与(1)(3)0f x f x ++-=可得函数()f x 的周期为4,再根据性质计算(1),(2),(3),(4)f f f f 即可.【详解】因为奇函数()f x 满足(1)(3)0f x f x ++-=,即(1)(3)(3)f x f x f x +=--=-.故()f x 周期为4.故(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++,因为20194504......3÷=.故原式[]504(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)f f f f f f f =⨯++++++.令0x =,则(01)(30)0(1)(3)0(3)2f f f f f ++-=⇒+=⇒=-. 令1x =,则(11)(31)02(2)0(2)0f f f f ++-=⇒=⇒=. 又奇函数()f x 故()(4)00f f ==.故[]()504(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)50420202020f f f f f f f ⨯++++++=⨯+-+++-=. 故选：B【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与周期性的应用,需要根据题意分析函数的周期,再代入特殊值求对应的函数值.属于中等题型.8.已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，且(,1),(,1)2A B π-π，则ϕ的值为（ ）A. 56π-B.56π C. 6π-D.6π 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像判断函数的周期,从而确定ω的值,再代入对应的点求得ϕ即可. 【详解】由图像可知,周期22T ππωω==⇒=.即()2sin(2)f x x ϕ=+,代入()0,1可知,12sin ϕ=.因为||ϕπ<,故6π=ϕ或56πϕ=.又由图可得,0x =在最高点的左侧,所以6π=ϕ. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解三角函数中参数的值,需要根据题意求得周期,代入点进行分析,同时结合图像可知ϕ的范围.属于中等题型.9.北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm ．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（ ）（保温带厚度忽略不计）A. 14B. 14πC.21414ππ++ D.2116116ππ++【答案】D 【解析】 【分析】根据题意,因为相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一,每隔四分之一的带宽就绕一层保温带,则一共可以盖四层.故画出所求角度所在的直角三角形,再分别分析临边与斜边即可. 【详解】由题,作''AP B D ⊥于P .根据题意可知'B P 宽为带宽四分之一即1414⨯=,又水管直径为4 cm.故4AP π=.故轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是()2222'116cos''11614B PAB PB Aπππ+∠===++.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的实际运用,需要根据题意找到对应的边角关系进行求解,属于基础题型.10.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A. 8πB. 6πC. 4πD.823π【答案】A【解析】【分析】2的等腰直角三角形,高为2.再分析外接球的直径求解即可.2的等腰直角三角形,高为2.222+2=22故外接球表面积2224482S Rπππ⎛===⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图求外接球的表面积方法,属于基础题型.11.如图，已知双曲线22221(0)x yb aa b-=>>的左、右焦点分别为1F、2F，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若12AF F△的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（）23B.54C.53D.322【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，可得直线2AF 的方程为()by x c a=-，联立双曲线的方程可得A 的坐标，设1||AF m =，2||AF n =，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得a ，c 的方程，结合离心率公式可得所求值．【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ， 设双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⋅++=⋅⋅，化简可得2442c m n a c a+=--①由双曲线的定义可得2m n a -=②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n acθ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan b a θ=，22sin cos 1θθ+=，可得sin b cθ==，可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=， 即为(35)()0c a c a -+=， 可得35c a =，则53c e a ==． 故选：C.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等积法，考查运算求解能力，属于难题．12.数列{}n a 满足()1111nn n a a n ++=-+-,且601a <<．记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则当n S 取最大值时n 为（ ） A. 11 B. 12 C. 11或13 D. 12或13【答案】C 【解析】 【分析】分n 的奇偶讨论数列{}n a 的奇偶性分别满足的条件,再分析n S 的最大值即可.【详解】由题,当n 为奇数时, ()1111nn n a a n ++=-+-,()()1211111n n n a a n ++++=-++-.故()()()()1211111111211n n n n n a a n n ++⎡⎤⎡⎤-=-++---+-=--⋅-=⎣⎦⎣⎦.故奇数项为公差为1的等差数列.同理当n 为偶数时, ()21213nn n a a +-=--⋅-=-. 故偶数项为公差为-3的等差数列.又601a <<即2206167a a <-<⇒<<.又()12111119a a +=-+-=.所以123a <<. 综上可知,奇数项均为正数,偶数项随着n 的增大由正变负.故当n S 取最大值时n 为奇数.故n 为奇数且此时有()()()()11121111100011110n n n n n n n a a a a n --+++⎧--+-≥+≥⎧⎪⇒⎨⎨+≤-++-≤⎩⎪⎩ ,解得1113n ≤≤.故11n =或13n =. 故选：C【点睛】本题主要考查了奇偶数列的应用,需要根据题意推导奇偶项数列的递推公式,再根据题意分析相邻两项之和与0的大小关系列不等式求解.属于难题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.曲线ln y x =过点(0,1)-的切线方程为_________． 【答案】10x y --= 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设切点列式求解即可. 【详解】由题, 1'y x =,设切点为()00,ln x x ,则在切点处的切线斜率为01x ,又切线过点(0,1)-,故0000ln (1)11x x x x --=⇒=.故切点为()1,0. 故切线方程为()101101x y y x -=---=⇒. 故答案为：10x y --=【点睛】本题主要考查了导数几何意义的运用,根据切点到定点的斜率等于在该点处的导函数的值列式求解即可.属于基础题型.14.已知AB 为圆O 的弦，若||=2AB ，则OA AB ⋅=_________． 【答案】2- 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义求解即可. 【详解】由题,作OC AB ⊥于C.则()cos ACOA AB OA AB OAB OA AB AOπ⋅=⋅⋅-∠=-⋅⋅2AB AC =-⋅=-故答案为：2-【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算的直接公式法,属于基础题型.15.已知以F 为焦点的抛物线C ：24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =，则|AB|=________．【答案】163【解析】 【分析】根据3AF FB =可求得直线AB 的倾斜角,再联立方程根据抛物线的焦半径公式求解即可. 【详解】由题,不妨设A 在第一象限.作11,AA BB 分别垂直于准线, 1BC AA ⊥于C 如图. 设FB m =,由3AF FB =,可得：3AF m =,由抛物线的定义知13AA m =,1BB m =,∴ABC 中, 32AC m m m =-=,34AB m m m =+=,故1cos 2AFx ∠=,所以直线AB 的倾斜角为3π,3∴直线AB 方程为()31y x =-,与抛物线方程联立消y 得231030x x -+= 所以121623AB x x =++=, 故答案为：163. 【点睛】本题主要考查了抛物线几何意义的运用,需要根据题中给的比例关系求出直线的倾斜角,再联立方程利用焦半径公式求解即可.属于中等题型.16.已知函数22,1,()11,.x x x t f x x t x a ⎧+-≤<⎪=⎨--≤≤⎪⎩（1）若1t =,且()f x 值域为[)1,3-,则实数a 的取值范围为_________． （2）若存在实数a ,使()f x 值域为[]1,1-,则实数t 的取值范围为_________． 【答案】 (1). [1,3] (2). (1,21]-- 【解析】 【分析】(1)根据题意有22,11,()11,1.x x x f x x x a ⎧+-≤<⎪=⎨--≤≤⎪⎩画出图像再分析即可.(2)先分析临界条件,再分析随着t 的改变图像的变化情况判断即可.【详解】(1)画出图像易得,当111x --=-时3x =（舍去负值）.故实数a 的取值范围为[1,3].(2)用虚线画出22,11y x x y x =+=--的整体图像,再分析随着t 的改变图像的变化情况. 由图,当221y x x =+=时,()21221x x +=⇒=（舍去负值）.由图可知,(1,21]t ∈--时, 存在实数3a =满足()f x 值域为[]1,1-.故答案为：(1). [1,3] (2). (21]-【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数值域的问题,需要根据题意画出对应的图像,分析当参数变化时整个函数变化的情况,从而找到临界条件求得取值范围.属于中等题型. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分． 17.在ABC ∆中，3ABC π∠=，点D 在边AB 上，2BD =．（1）若BCD ∆的面积为23CD ；（2）若5cos 5BCA ∠=，310cos 10DCA ∠=，求CD ．【答案】（1）CD 23=（26 【解析】 【分析】(1)根据三角形面积公式与余弦定理求解即可.(2)根据BCD BCA DCA ∠=∠-∠,再利用三角函数的同角三角函数关系与差角公式求解即可.【详解】解：（1）1sin 2BCD S BD BC B ∆=⋅⋅ ∴4BC =在BCD ∆中,由余弦定理可得2222212cos 42242122CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=∴CD 23=（2）BCD BCA DCA ∠=∠-∠∴sin sin cos cos sin BCD BCA DCA BCA DCA ∠=∠∠-∠∠5cos5BCA ∠=,310cos 10DCA ∠=,∴21cos 25sin 5BCA BCA -∠∠==,21cos 10sin 10DCA DCA -∠∠==,∴3101010102552sin 552BCD ∠=⋅-⋅=在BCD ∆中,由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠, ∴sin 6sin BD BCD BCD⋅==∠．【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积的运用,属于中等题型.18.在如图三棱锥A －BCD 中，BD ⊥CD ，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ，AE ⊥平面BCD ．（1）求证：平面AEF ⊥平面ACD ；（2）若2BD CD AD ===，E 为BC 的中点，求直线AF 与平面ABD 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2）23【解析】 【分析】(1)证明CD AE ⊥,CD EF ⊥进而可得CD AEF ⊥面即可证明平面AEF ⊥平面ACD(2) 分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,再根据构造的直角三角形的关系求得每边的长度,再利用空间向量求解线面夹角即可.【详解】解：（1）证明：因为//BD AEF 面,BCD AEF EF =面面,BD BCD ⊂面所以//BD EF ,因为BD CD ⊥,所以CD EF ⊥． 又因为AE BCD ⊥面,CD BCD ⊂面, 所以CD AE ⊥,而EFAE E =,所以CD AEF ⊥面,又CD ACD ⊂面, 所以AEF ACD ⊥面面．（2）解：设直线AF 与平面ABD 所成交的余弦值为θ． 连接DE ,在BCD ∆中,=2BD CD =,BE EC =,BD CD ⊥,所以DE BC ⊥,且22BC =,2DE =,又因为AE BCD ⊥面,DE BCD ⊂面,BC BCD ⊂面, 所以AE DE ⊥,AE BC ⊥．在Rt ADE ∆中,2DE =,2AD =,所以2AE =．如图,以点E 为坐标原点,分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,各点坐标为(0,02)A ，,(2,0,0)B -,(0,2,0)D ,(2,0,0)C ,因为//BD EF ,E 为BC 的中点,所以F 为CD 的中点,即22,22F , 设平面ABD 的法向量(,,)m x y z =,(2,0,2)BA =,(2,2,0)BD =,由m BA m BD ⎧⊥⎨⊥⎩,即(,,)(2,0,2)0(,,)(2,2,0)0m BA x y z m BD x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⊥=⋅=⎪⎩,整理得0x z x y +=⎧⎨+=⎩,令1z =-,得1x =,1y =-,则(1,1,1)m =--．因为2(AF =,所以2sin ||||m AF m AF θ⋅==⨯故直线AF 与平面ABD 所成交的正弦值为3． 【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的方法,属于中等题型.19.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C 、D ，且过点，P 是椭圆上异于C 、D 的任意一点，直线PC ，PD 的斜率之积为12-． （1）求椭圆Γ的方程；（2）O 为坐标原点，设直线CP 交定直线x = m 于点M ，当m 为何值时，OP OM ⋅为定值．【答案】（1）22142x y +=（2）2m =【解析】 【分析】(1)设(),P x y ,根据题意可求得2212b a =,再代入椭圆方程即可求解.(2)根据(1)中的结论, 设直线:(2)CM y k x =+,并联立与椭圆的方程,求得(,(2))+M m k m ,222244(,)1212k kP k k-++,再表达出OP OM ⋅,根据恒成立问题求得系数的关系即可.也可直接设00(,)P x y 表达出OP OM ⋅,利用00(,)P x y 满足椭圆的方程进行化简,同理可得m 的值.【详解】解：（1）椭圆Γ过点,∴22211a b+=,① 又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-,故2221122y y y x a x a x a ⋅=-⇒=-+--. 又222222222222221x y a y y b x a a b b x a a +=⇒⇒=--=--.即2212b a =,②联立①②得2,a b ==∴所求的椭圆方程为22142x y +=．（2）方法1：由（1）知,(2,0)为-C ．由题意可设:(2)CM y k x =+, 令x=m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=． ∵21284212k x k--=+,∴2122412k x k -=+,1124(2)12k y k x k =+=+, 所以222244(,)1212k kP k k -++,∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++mk k k m kOP OM m k m k k k k , 要使OP OM ⋅与k 无关,只需12m=,此时OP OM ⋅恒等于4.∴2m =方法2：:设00(,)P x y ,则00:(2)2=++y CM y x x ,令x=m ,得00(2)(,)2++y m M m x , ∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++y m y m OP OM x y m mx x x由2200142x y +=有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y , 所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+=m x m x m OP OM mx ,要使OP OM ⋅与0x 无关,只须12m=,此时4OP OM ⋅=.∴2m =【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的定值问题求解基本量的方法,同时也考查了联立直线与椭圆方程,根据椭圆上的点满足椭圆的方程,求解定值的有关问题.属于难题.20.某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （n *∈N 且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<．（1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率； （2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（k *∈N 且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．【答案】（1）226(1)p p -（2）111()np n<-（3）①()()2221kE k k p ξ=+--②()(1)1km k mk p +-- 【解析】 【分析】(1)根据二项分布的方法求解即可.(2)记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,再根据题意求出对应的数学期望1E n ξ=,()211nE n n p ξ=+--再根据1E ξ>2E ξ化简求解即可.(3)①设两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,由(2)可知()12()()11kE E k k p ξξ==+--再相加即可.②根据题意可知,这m 组采用混合检验的检验次数所有的可能值均为1,1k +,再求解数学期望即可.【详解】解：（1）如果4n =,采用逐份检验方式,设检测结果恰有两份次品的概率为222224(1)6(1)C p p p p -=-∴检测结果恰有两份次品的概率226(1)p p -．（2）记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,由已知得1E n ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1n +()()211kP p ξ∴==-,()()2111nP n p ξ=+=--∴()()21(1)11n n E p n p ξ⎡⎤=-++--⎣⎦=()11n n n p +--要减少检验次数,则1E ξ>2E ξ,则1(1)nn n n p >+--∴(1)1nn p ->,1(1)np n ->,即111()n p n<-,（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,则由（2）知11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,()12()()11k E E k k p ξξ==+--,12ξξξ=+()1212()()()()2221kE E E E k k p ξξξξξ=+=+=+--②设这m 组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,,m ξ,11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,,1,1m k ξ=+,且检验总次数12m ξξξξ=+++,()()11,1,2,,ki P p i m ξ∴==-=,()()111,1,2,,ki P k p i m ξ=+=--=()()11,1,2,ki E k k p i m ξ∴=+--=()121()()()()(1)1kk k E E E E m k mk p ξξξξξξ∴=+++=++=+--,所以检验总次数ξ的数学期望()(1)1km k mk p +--．【点睛】本题主要考查了二项分布的方法以及根据题意求离散型随机变量的数学期望方法,需要根据题意找到所有可能的取值,再列式求解.属于难题.21.已知函数12()(1)1x f x e x x x -=+-++，1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----．证明： （1）存在唯一x 0∈（0,1），使f (x 0)＝0；（2）存在唯一x 1∈（1，2），使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<2．【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】(1)求导后根据极值点的存在性定理证明即可.(2)令2t x =-,换元将()(2)g x g t =-m 再构造函数1(2)()ln(1)11tg t te h t t t t --==-+++,分析()h t 的单调性,结合(1)中的结论求得()h t 存在唯一的()10,1t ∈,使1()0h t =,再根据零点的大小关系即可证明.【详解】证明：(1)当x ∈（0,1）时,f ′(x )＝12()(2)1x f x e x x -=-+++＞0,函数f (x )在（0,1）上为增函数．又f (0)＝-e+1<0,f (1)＝3>0,所以存在唯一x 0∈（0,1）,使f (x 0)＝0． (2)当x ∈（1,2）时,1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----, 令2t x =-,x =2-t ,x ∈（1,2）,t ∈（0,1）, 1(2)(1)ln(1)t g t te t t --=-++,t ∈（0,1）记函数1(2)()ln(1)11tg t te h t t t t --==-+++,t ∈（0,1）． 则h ′(t )＝1222(1)1()(1)(1)t e t t t f t t t ---+---=++．由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,f (t )<0,h ′(t )＞0, 当t ∈(x 0,1)时,f (t )>0,h ′(t )<0．故在(0,x 0)上h (t )是增函数,又h (0)＝0,从而可知当t ∈(0,x 0]时,h (t )>0,所以h (t )在(0,x 0]上无零点．在(x 0,1)上h (t )为减函数,由h (x 0)>0,h (1)＝12－ln2<0,知存在唯一t 1∈(x 0,1),使h (t 1)＝0, 故存在唯一的t 1∈(0,1),使h (t 1)＝0．因此存在唯一x 1＝2－t 1∈(1,2),使g (x 1)＝g (2－t 1)＝h (t 1)＝0． 因为当t ∈(0,1)时,1＋t >0,故(2)()1g t h t t -=+与g (2－t )有相同的零点,所以存在唯一的x 1∈（1,2）,使g (x 1)＝0．因为x 1＝2－t 1,t 1>x 0,所以x 0＋x 1<2．【点睛】本题考查了根据导数求解隐零点的问题.需要根据题意确定零点所在区间,再根据零点满足的关系式证明函数的单调性与最值.同时也考查了构造函数证明不等式分方法,属于难题.（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答． 如果多做，则按所做第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2sin ρθ．（1）写出直线1C 的极坐标方程；（2）设动直线:(0)l y kx k =>与1C ，2C 分别交于点M 、N ，求ON OM的最大值． 【答案】（1）sin()4πρθ+=2【解析】【分析】 (1)消去参数t 求1C 的直角坐标方程,再根据cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程化简即可.(2) 设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,再根据极坐标的几何意义求解即可.【详解】解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=,将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=,即sin()4πρθ+=（2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,设12(,),(,)M N ραρα,则212sin sin()1=)242ON OM πααρπαρ+=-+, 由02πα<<,有32444πππα-<-<, 当sin(2)=14πα-时,ON OM的最大值为2． 【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型.23.已知函数()2f x x =-．（1）求不等式()25f x x ≤+的解集；（2）记函数()(1)(5)g x f x f x =+--+，且()g x 的最大值为M ，若0a >，求证：213Ma a +≥． 【答案】（1）[)1,-+∞（2）见解析【解析】【分析】(1)根据绝对值不等式的方法求解即可.(2)利用绝对值的三角不等式可得2M =,再利用三元基本不等式求证即可.【详解】解：（1）由()25f x x ≤+得25025225x x x x +≥⎧⎨--≤-≤+⎩,解得1x ≥- ∴不等式()25f x x ≤+的解集为[)1,-+∞．（2）()(1)(5)13132g x f x f x x x x x =+--+=---+≤--+=当且仅当3x ≥时等号成立,∴2M =,∴22211123Ma a a a a a a +=+=++≥=． 当且仅当21a a =,即1a =时等号成立． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及绝对值三角不等式和三元的基本不等式的方法,属于中等题型.。
湖南省长沙县实验中学高三数学上学期第二次月考试题 理 新人教A版
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则MN =（ ）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]2.设x R ∈,则 “12x >”是“2210x x +->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知命题1:R p x ∃∈，使得210x x ++<；2:[1,2]p x ∀∈，使得210x -≥．以下命题为真命题的为( )A ．12p p ⌝∧⌝B ．12p p ∨⌝C ．12p p ⌝∧D ．12p p ∧4．已知|a |＝5，|b |＝3，且a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 上的投影等于( )A ．－4B ．4C ．－125 D.1255．给定性质：(1)最小正周期为π，(2)图象关于直线x ＝π3对称，(3)图象关于点(π12，0)对称，则下列四个函数中，同时具有性质(1)，(2)，(3)的是( )A ．y ＝sin(x 2＋π6)B ．y ＝sin(2x ＋π6) C ．y ＝|sin x | D ．y ＝sin(2x－π6) 6.设函数1,()0,D x ⎧⎪=⎨⎪⎩x x 为有理数为无理数,则下列结论错误的是（ ）A ．()D x 的值域为{}0,1B ．()D x 是偶函数C ．()D x 不是周期函数 D ．()D x 不是单调函数7.若函数f (x )＝x2x ＋1x －a为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1 8.已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 （ ） (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 9.220(4)x x dx --=⎰ _______________．10．函数66sin cos y x x =+的最小正周期为．__________11. 如图所示的是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|∈(0，π2))图象的一部分，则f (π2)＝________.12．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪(－12，＋∞)，则a ＝________. 13.已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．14．函数y kx b =+，其中,k b 是常数，其图像是一条直线，称这个函娄为线性函数，而对于非线性可导函数()f x ，在已知点0x 附近一点x 的函数值()f x 可以用下面方法求其近似代替值，000()()()()f x f x f x x x '≈+-，利用这一方法，对于实数 4.002m =，取0x 的值为4，则m 的近似代替值是 。
湖南省长沙市长沙县第六中学2020届高三上学期第三次月考数学(理)试卷 Word版缺答案
数学（理科）时量：120分钟 满分：150分 班级 姓名一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,1..定义：a b ad bc c d =-，若复数z 满足112z i i i =+-，则z 等于( ) A.1i + B.1i - C.3i + D.3i -2.数列{}n a 是等差数列，若34512a a a ++=，则前7项和7S =( )A.14B.21C.28D.353.“sin cos αα=”是“sin 21α=”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.在ABC ∆中,三个内角C B A ,,满足B A C B A sin sin 3sin sin sin 222=-+则角C 的大小为( )A.o 30B.o 60C.o 120D.o 150 5．ABC ∆中，点D 在AB 上，满足2=．若==,，则=( )A ．3231+B ．3132+C ．5453+D ．5354+ 6.若⎰⎰=-40212cos )(πxdx dx a x ,则a =( )A ．-1B ．1C ．2D ．4 7.将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( ) A.34π B.3π C.4π D.6π 8.函数x a x x f )1(2)(2-+-=与11)(+-=x a x g ,这两个函数在区间[]2,1上都是减函数的一个充分不必要条件是实数a 的取值范围是( )A ．()()2,11,2 --B ．()(]2,00,1 -C ．()2,1D ．(]2,19.下列命题中为真命题的个数是( )①若0x ≠，则12x x+≥.②“1a =”是“直线0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直”的充要条件.③已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件④若命题:p “()0,x ∃∈+∞，210x x -->”，则命题p 的否定为：“()0,x ∀∈+∞，210x x --≤”.A.0B.1C.2D.310.已知()f x 是定义在R 上的周期为4的奇函数，当()0,2x ∈时，()2ln f x x x =+，则()2019f =( )A.1-B.0C.1D.211.已知ABC ∆的三内角A,B,C 所对边为a,b,c ，若2cos C cos A a cos B =+=，则ABC ∆的外接圆的面积为（ ）A.4πB.6πC.8πD.9π12.已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为( ) A.11 B.9 C.7 D.5二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan 4απ-=-，则sin cos αα+=_____________.14.设平面向量()()y b a ,2,2,1-==，若a ∥b ，则+3等于________.15.在数列{a n }中，()()*11,11,20191N n n n a a a n n ∈++==+， 则a 2019的值为_____________。
湖南长沙市第六中学2020届高三上学期第二次月考文科数学试卷(5页)
湖南长沙市第六中学2020届高三上学期第二次月考文科数学试卷数学(文)一、选择题：每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ）A ．{}22x x -≤<B ．{}2x x ≥- C ．{}2x x < D ．{}12x x ≤< 2．设全集I=R ，集合A={y|y=log 2x ，2>x }，B={x|y=}，则（ ） A ．A ⊆B B ．A ∪B=A C ．A ∩B= D ．A ∩（B C U ）≠3.命题10,ln 1x x ∀>≥-的否定是( ) A. 0010,ln 1x x x ∃≤≥- B. 0010,ln 1x x x ∃><- C. 0010,ln 1x x x ∃>≥- D. 0010,ln 1x x x ∃≤<- 4. 函数)103(log 221--=x x y 的递增区间是 （ ） A ．(- ∞，-2) B ．(5，+ ∞) C ．(- ∞，32) D ．(32，+ ∞) 5. 曲线34y x x =-在点P 处切线与直线4y x =-平行，则点P 的坐标为（ ）处的切线方程是（ ）A ．()1,3-- B.)(2,2 C. )(3,1 D. )(2,1--6.已知下列命题：①设，则“”是“”的必要而不充分条件②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题③设A ，B 是两个集合，则“A ⊆B”是“A ∩B=A”的充分不必要条件④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题其中真命题的个数为（ ）A ． 3个B ． 2个 C. 1个 D ．0个7.若函数log 1(4)11a x x y a x x ⎧=⎨--<⎩，，…，在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1，4） B ．（2，4） C ．[3，4） D ．（2，3]φφx ∈R 20x -≥|1|1x -≤8.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()232x f x x xf e '=++，则()2f '的值等于（ ）A ．2-B ．222e -C ．22e -D ．222e -- 9. 已知奇函数在上是增函数．若，则，，的大小关系为( )A. B.C. D. 10．“”是“函数在区间上为增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要11. .函数f （x ）=，则不等式f （x ）＞2的解集为（ ） A ． B ． C． D ．12. 已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是( )A ． B. C. D.二、填空题(本大题共12小题，每小题5分,共20分)。