【选修2-3课件】3.5独立性检验的思想及应用(二)

临界值表
P(K 2 ≥ k0 ) 0.50
0.40 0.708
其 n = a + b + c + d为 中 样本 量 容 。
0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828
k0
0.455
K 2 > 10.828
0.1%把握认为A 0.1%把握认为A与B无关 把握认为
1%把握认为A 1%把握认为A与B无关 把握认为
99.9%把握认A 99.9%把握认A与B有关 把握认 99%把握认为A 99%把握认为A与B有关 把握认为 90%把握认为A 90%把握认为A与B有关 把握认为
在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214 名男性病人中， 例1 在某医院，因为患心脏病而住院的 名男性病人中 人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 人秃顶； 而另外 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175人秃顶。 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏 人秃顶。 人秃顶 病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？ 病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？ 解：根据题目所给数据得到如下列联表： 根据题目所给数据得到如下列联表：
秃顶 不秃顶 总计
患心脏病 600 500 400 300 200 100 0 214 175 451
患心脏病 214 451 665
患其他病 597
不患心脏病 175 597 772
总计 389 1048 1437
患其他病
秃头 不秃头
患心脏病
相应的三维柱形图如图所 比 较来 副对 示 ， 比较 来 说 ， 底 面 副对 角线 上两 个 柱 体高 度 的乘 上 两个 的乘 大 一些 以在 积要 大一 些 ， 因此 可 以在 程 度上 顶与 某种 程度 上 认 为 “ 秃 顶与 患心脏病有关” 患心脏病有关”。
反证法原理与假设检验原理 反证法原理：
在一个已知假设 下，如果推出一 个矛盾，就证明 了这个假设不成 立。
假设检验原理：
在一个已知假设 下，如果一个与 该假设矛盾的小 概率事件发生， 就推断这个假设 不成立。
在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214 名男性病人中， 例1 在某医院，因为患心脏病而住院的 名男性病人中 人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 人秃顶； 而另外 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175人秃顶。 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏 人秃顶。 人秃顶 病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？ 病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？ 解：根据题目所给数据得到如下列联表： 根据题目所给数据得到如下列联表：
c+d
≈
a c ad − bc − = a+b c+d (a + b)(c + d )
n(ad − bc) 2 ⇒K = , (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
2
为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系， 例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在 某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表： 某城市的某校高中生中随机抽取 名学生，得到如下联表： 名学生
感冒与是否使用该血清没有关系。 解：设H0：感冒与是否使用该血清没有关系。
1000(252× 276 − 224× 248) 2 K = ≈ 7.075 476×524×500×500
2
因当H 成立时， 的概率约为0.01，故有 因当 0成立时，K2≥6.635的概率约为 的概率约为 ，故有99%的把握认 的把握认 为该血清能起到预防感冒的作用。 为该血清能起到预防感冒的作用。
男 女 总计 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 37 85 35 143 72 228 总计 122 178 300
由表中数据计算K 的观测值k 4.514。能够以 由表中数据计算 2的观测值 。能够以95%的把握认为高 的把握认为高 中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？ 中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细阐述得出 结论的依据。 结论的依据。
K 2 > 6.635
K 2 > 2.706
K 2 ≤ 2.706
10%把握认为A 10%把握认为A与B无关 把握认为
没有充分的依据显示A 没有充分的依据显示A与B有关，但也不能显示A与B无关 有关，但也不能显示A
6、独立性检验的步骤 、
第一步： 吸烟和患病之间没有关系 第一步：H0： 吸烟和患病之间没有关系 第二步：列出2 第二步：列出2×2列联表
使用血清 未使用血清 合计 252 224 476 248 276 524 500 500 1000
试画出列联表的条形图，并通过图形判断这种血清能否起到预 试画出列联表的条形图， 防感冒的作用？并进行独立性检验。 防感冒的作用？并进行独立性检验。
P(k≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 k0 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
秃顶 不秃顶 总计 患心脏病 214 451 665 不患心脏病 175 597 772 总计 389 1048 1437
根据联表1-13中的数据，得到 中的数据， 根据联表 中的数据
1437×(214×597 −175×451)2 2 K = ≈16.373 > 6.635. 389×1048×665×772
患病 吸烟 不吸烟 总计 a c a+c 不患病 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d
n(ad −bc)2 第三步： 第三步：计算 K2 = (a + c)(b + d)(a + b)(c + d)
第四步：查对临界值表，作出判断。 第四步：查对临界值表，作出判断。
P(κ≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
4、等高条形图
1 0.9
0.8
患肺癌 比例
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
不患肺癌 比例 不吸烟
不不不
0.1
0
吸烟
不不
等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例。
5、独立性检验 独立性检验
n(ad − bc)2 随机变量-----卡方统计量 K2 = 随机变量 , (a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
3、二维条形图
8000 7000 6000 5000 4000 不患肺癌 患肺癌
不吸烟 不患肺癌 患肺癌 吸烟
3000 2000 1000
0 从三维柱形图能清晰看出 各个频数的相对大小。 各个频数的相对大小。
不吸烟
吸烟
从二维条形图能看出， 从二维条形图能看出，吸烟者中 患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。 患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。
由表中数据计算K 的观测值k 4.514。能够以 由表中数据计算 2的观测值 。能够以95%的把握认为高 的把握认为高 中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？ 中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细阐述得出 结论的依据。 结论的依据。
以上的把握认为“ 解：可以有95%以上的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”。 可以有95%以上的把握认为 性别与喜欢数学课程之间有关系” 分别用a,b,c,d表示样本中喜欢数学课的男生人数、不喜欢数学课的男生 表示样本中喜欢数学课的男生人数、 分别用 表示样本中喜欢数学课的男生人数 人数、喜欢数学课的女生人数、不喜欢数学课的女生人数。 人数、喜欢数学课的女生人数、不喜欢数学课的女生人数。 a 如果性别与是否喜欢数学课有关系， 如果性别与是否喜欢数学课有关系，则男生中喜欢数学课的比例 a + b c 应该相差很多， 与女生中喜欢数学课的比例 应该相差很多，即
500人身上试验某种血清预防感冒作用 人身上试验某种血清预防感冒作用， 例 3. 在 500 人身上试验某种血清预防感冒作用 ， 把他们一年中的 感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较， 500名未用血清的人的感冒记录作比较 感冒记录与另外 500 名未用血清的人的感冒记录作比较 ， 结果如 表所示。 表所示。 未感冒 感冒 合计
例5：气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人 ：气管炎是一种常见的呼吸道疾病， 员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比， 员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比， 所得数据如表所示， 它们的疗效有无差异？ 所得数据如表所示，问：它们的疗效有无差异？
例1.秃头与患心脏病
为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系， 例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在 某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表： 某城市的某校高中生中随机抽取 名学生，得到如下联表： 名学生
男 女 总计 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 37 85 35 143 72 228 总计 122 178 300
3.5独立性检验的 独立性检验的 基本思想及其初 步应用（ 步应用（二）高二数学 选修2-3第三章统计案例
通过图形直观判断两个分类变量是否相关： 通过图形直观判断两个分类变量是否相关： 1、列联表 2、三维柱形图