2014版高中数学复习方略课时提升作业：8.7双 曲 线(北师大版 理 通用)]
2014版高中数学复习方略课时提升作业：6.7数学归纳法(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)
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课时提升作业(四十一)一、选择题1.在用数学归纳法证明凸n 边形内角和定理时，第一步应验证( ) (A)n ＝1 时成立 (B)n ＝2 时成立 (C)n ＝3 时成立 (D)n ＝4 时成立2.已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k(k ≥2且为偶数)时命题为真，则还需证明( ) (A)n ＝k ＋1 时命题成立 (B)n ＝k ＋2 时命题成立 (C)n ＝2k ＋2 时命题成立 (D)n ＝2(k ＋2)时命题成立3.某个命题与正整数n 有关，若n ＝k(k ∈N +)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( ) (A)n ＝6时该命题不成立 (B)n ＝6时该命题成立 (C)n ＝4时该命题不成立 (D)n ＝4时该命题成立4.用数学归纳法证明不等式n 1111127124264-⋯>＋＋＋＋(n ∈N +)成立，其初始值至少应取( )(A)7 (B)8 (C)9 (D)10 5.(2013·宝鸡模拟)用数学归纳法证明：112n 112123n n 1++⋯+=++++⋯++时，由k到k+1左边需增添的项是( ) (A)()2k k 1+ (B)()1k k 1+ (C)()()1k 1k 2++ (D)()()2k 1k 2++6.用数学归纳法证明n 112n 2nnnC C C n +++⋯+＜(n ≥n 0,n 0∈N *)，则n 的最小值等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)47.(2013·南昌模拟)<n+1(n ∈N +)，某同学的证明过程如下：(1)当n=1，不等式成立.(2)假设当n=k(k ≥1,k ∈N +)<k+1，则当n=k+1时，()k 11,=<=++所以当n=k+1时，不等式也成立. 对于上述证法( ) (A)过程全部正确 (B)n=1时验证不正确 (C)归纳假设不正确(D)从n=k 到n=k+1的推理不正确8.(能力挑战题)已知f(n)=(2n+7)·3n +9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N +，f(n)都能被m 整除，则m 的最大值为( ) (A)18 (B)36 (C)48 (D)54 二、填空题9．(2013·洛阳模拟)用数学归纳法证明n 11112321+++⋯+-＜n(n ∈N +,n ＞1)时，第一步应验证的不等式是___________.10.(2013·上海模拟)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n ·1·3·…·(2n-1)，从k 到k+1，左边需要增乘的代数式为______. 11.若数列{a n }的通项公式a n ＝()21n 1+，记c n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算c 1，c 2，c 3的值，推测c n ＝_______.12．已知f(n)=111123n+++⋯+(n ∈N +)，用数学归纳法证明f(2n )>n 2时，f(2k+1)-f(2k )等于________. 三、解答题13.(2013·佛山模拟) 用数学归纳法证明：()()()()222n n 112n (n N ).13352n 12n 122n 1++++⋯+=∈⨯⨯-++ 14.(2013·合肥模拟)设f(x)=2xx 2+,x 1=1,x n =f(x n-1)(n ≥2,n ∈N +). (1)求x 2,x 3,x 4的值.(2)归纳{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明.15.(能力挑战题)设f(n)=1+12+ (1).是否存在关于正整数n 的函数g(n)，使等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)[f(n)-1]对于n ≥2的一切正整数都成立？证明你的结论.答案解析1.【解析】选C.凸多边形至少有三边，所以应验证n ＝3 时成立.2.【解析】选B.因n 是正偶数，故只需证命题对所有正偶数都成立，因k 的下一个偶数是k+2，故选B.3.【解析】选C.由n ＝k(k ∈N +)成立，可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立．因而若n ＝4成立，必有n ＝5成立．现知n ＝5不成立，所以n ＝4一定不成立.4.【思路点拨】用等比数列的前n 项和求出不等式的左边，解不等式即可得到初始值.【解析】选B.nn 1111111272112426412--⋯>-＋＋＋＋＝，整理得2n >128，解得n>7，所以初始值至少应取8.5.【解析】选D.左边需添加的式子为()()()()()112.k 1k 2123k 1k 1k 22==+++++⋯++++6.【解析】选C.当n=1时，左边=11C =1，右边=11=1，不等式不成立；当n=2时，左边=1222C C + =3，右边=322=n=3时，左边=7，右边=9，不等式成立，当n=4时，左边=15，右边=524＞16,不等式成立，所以n 的最小值等于3.7.【解析】选D.从n=k 到n=k+1的推理时没有运用归纳假设，因此证明不正确. 8.【思路点拨】先求出当n=1,2,3时f(n)的值，由此猜想m 的最大值，再用数学归纳法证明结论成立.【解析】选B.由于f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m 的最大值为36.当n=1时，可知猜想成立.假设当n=k(k ≥1,k∈N +)时，猜想成立，即f(k)=(2k+7)〃3k +9能被36整除；当n=k+1时，f(k+1)=(2k+9)〃3k+1+9=(2k+7)〃3k +9+36(k+5)〃3k-2，因此f(k+1)也能被36整除，故所求m 的最大值为36.9．【解析】由条件知n 的第一个值为2，所以第一步应验证的不等式是11123++＜2.答案：11123++＜210.【解析】当n=k 时，左边为(k+1)(k+2)…(k+k),而当n=k+1时，左边为(k+2)(k+3)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)，≨左边增乘的式子为()()2k 12k 2k 1+++=2(2k+1). 答案：2(2k+1)11.【解析】c 1＝2(1－a 1)＝2×(1－14)＝32，c 2＝2(1－a 1)(1－a 2)＝2×(1－14)×(1－19)＝43，c 3＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2×(1－14)×(1－19)×(1－116)＝54，故由归纳推理得c n ＝n 2n 1++.答案：n 2n 1++12．【解析】f(2k+1)-f(2k )=k 1k 1111111(1)232232++++⋯+-+++⋯+=k kk 1111.21222+++⋯+++ 答案：k kk 111121222+++⋯+++ 13.【证明】①当n ＝1时，左边＝211133=⨯，右边=()1111,2(211)3⨯+=⨯⨯+左边＝右边，等式成立；②假设n ＝k(k ≥1,k ∈N +)时，等式成立，即()()()()222k k 112k ,13352k 12k 122k 1+++⋯+=⨯⨯-++ 当n ＝k ＋1时，左边()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2222222k 112k 13352k 12k 12k 12k 3k k 1k 122k 12k 12k 3k k 12k 32k 122k 12k 3k 12k 5k 222k 12k 3k 1k 2,22k 3+++⋯++⨯⨯-+++++++++++++++++++++++＝＝＝＝＝所以当n ＝k ＋1时，等式成立． 由①②可得对任意n ∈N +，等式成立．14.【解析】(1)x 2=f(x 1)=23,x 3=2212322423⨯==+,x 4=f(x 3)=12221522⨯=+.(2)归纳x n =2n 1+.证明:①当n=1时，x 1=211+与已知相符,②假设当n=k(k ≥1，k ∈N +)时，x k =2k 1+,当n=k+1时，x k+1=()2242k 122k 4k 112k 1+==+++++. 由①②可知当n ∈N +时成立， ≨x n =2n 1+.15.【解析】当n=2时，得g(2)=2，当n=3时，得g(3)=3，猜想g(n)=n(n ≥2,n ∈N +).用数学归纳法证明猜想成立.(1)当n=2时，左边=f(1)=1，右边=2[f(2)-1]=1，左边=右边，所以等式成立. (2)假设当n=k(k ≥2,k ∈N +)时等式成立， 即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=g(k)[f(k)-1]， 那么当n=k+1时， f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k) =k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k =(k+1)[f(k+1)-1k 1+]-k =(k+1)[f(k+1)-1],也就是说当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可知，等式对n ≥2的一切正整数都成立.故存在关于正整数n 的函数g(n)=n ，使等式对n ≥2的一切正整数都成立. 【变式备选】已知函数f(x)＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)．试比较123n11111a 1a 1a 1a ⋯++++＋＋＋＋与1的大小，并说明理由． 【解析】123n11111a 1a 1a 1a ⋯++++＋＋＋＋＜1. 理由如下：≧f ′(x)＝x 2－1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， ≨a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.令g(x)=(x+1)2-1,则函数g(x)＝x 2＋2x 在区间[1，＋≦)上是增加的，于是由a 1≥1，得a 2≥(a 1＋1)2－1≥22－1，进而得a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1＞23－1，由此猜想：a n ≥2n －1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设n ＝k(k ≥1且k ∈N +)时结论成立，即a k ≥2k －1，则当n ＝k ＋1时，由g(x)＝(x ＋1)2－1在区间[1，＋≦)上是增加的知，a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k －1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②知，对任意n ∈N +，都有a n ≥2n －1， 即1＋a n ≥2n ，≨n n 111a 2≤+， ≨123n11111a 1a 1a 1a ⋯++++＋＋＋＋≤23n 11112222⋯＋＋＋＋＝n 11[1()]22112--=1－(12)n ＜1. 【方法技巧】“归纳—猜想—证明”类问题的一般解题思路通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用，其关键是归纳、猜想出公式.核心是数学归纳法证明，体现了探索数学未知问题的一般方法，是必须要具备的一种思维方式.关闭Word 文档返回原板块。
2014版高中数学复习方略课时提升作业：单元评估检测(八)(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)
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单元评估检测(八)第八章(120分钟 150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2013·宝鸡模拟)函数f(x)=+2x在x=1处切线的倾斜角为( )(A)(B)(C)(D)2.“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a-1)y-a+7=0平行”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件3.(2013·南昌模拟)已知圆O:x2+y2=4,直线l过点P(1,1),且与直线OP垂直,则直线l的方程为( )(A)x+3y-4=0 (B)y-1=0(C)x-y=0 (D)x+y-2=04.连接椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点得到的直线方程为x-2y+2=0,则该椭圆的离心率为( )(A)(B)(C)(D)5.(2013·蚌埠模拟)已知m∈R,则“m>2”是“方程+y2=1表示椭圆”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6.设M(x0,y0)为抛物线C:y2=8x上一点,F为抛物线C的焦点,若以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则x0的取值范围是( )(A)(2,+∞) (B)(4,+∞)(C)(0,2) (D)(0,4)7.(2013·淮南模拟)过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则△OAB的外接圆方程是( )(A)(x-2)2+(y-1)2=5(B)(x-4)2+(y-2)2=20(C)(x+2)2+(y+1)2=5(D)(x+4)2+(y+2)2=208.(2013·西安模拟)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A,B两点,且|+|=|-|,则实数a的值为( )(A)2 (B)-2(C)2或-2 (D)或-9.(2013·榆林模拟)若双曲线-=1(a>0,b>0)上不存在点P使得右焦点F关于直线OP(O为双曲线的中心)的对称点在y轴上,则该双曲线离心率的取值范围为( )(A)(,+∞) (B)[,+∞) (C)(1,] (D)(1,)10.(能力挑战题)已知圆(x-4)2+y2=a(a>0)上恰有四个点到直线x=-1的距离与到点(1,0)的距离相等,则实数a的取值范围为( )(A)12<a<16 (B)12<a<14 (C)10<a<16 (D)13<a<15二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2013·西安模拟)椭圆+=1的焦距为2,则m的值为.12.已知椭圆C的离心率e=,且它的焦点与双曲线x2-2y2=4的焦点重合,则椭圆C的方程为.13.(2013·合肥模拟)已知直线ax+y+2=0与双曲线x2-=1的一条渐近线平行,则这两条平行直线之间的距离是.14.(2013·九江模拟)已知圆C的圆心是抛物线y=x2的焦点,直线4x-3y-3=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=8,则圆C的方程为.15.(能力挑战题)曲线C:y=(a>0,b>0)与y轴的交点关于原点的对称点称为“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线C有公共点的圆,皆称之为“望圆”,则当a=1,b=1时,所有的“望圆”中,面积最小的“望圆”的面积为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知直线l:x=4与x轴相交于点M,圆的方程(x-2)2+y2=22(x≠0且x≠4),过直线l上一点D(与M不重合)作圆的切线,切点为E,与x轴相交点为F,若=,求切线DE的方程.17.(12分)(2013·咸阳模拟)已知△ABC的两个顶点B,C的坐标分别为(-1,0)和(1,0),顶点A为动点,如果△ABC的周长为6.(1)求动点A的轨迹M的方程.(2)过点P(2,0)作直线l,与轨迹M交于点Q,若直线l与圆x2+y2=2相切,求线段PQ的长.18.(12分)(2013·淮北模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,且直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线.(1)求椭圆C的方程.(2)过点S(0,-)且斜率为1的直线l交椭圆C于M,N两点,求|MN|的值.19.(12分)(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.(1)求椭圆E的方程.(2)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2,当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.20.(13分)已知抛物线x2=4y的焦点为F,过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A,B两点,抛物线在A,B两点处的切线交于点M.(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列.(2)设直线MF交该抛物线于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.21.(14分)已知椭圆C的离心率e=,长轴的左、右端点分别为A1(-2,0),A2(2,0).(1)求椭圆C的方程.(2)设直线x=my+1与椭圆C交于R,Q两点,直线A1R与A2Q交于点S,试问:当m变化时,点S是否恒在一条直线上?若是,请写出这条直线的方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.答案解析1.【解析】选A.因为f′(x)=-+2,所以在x=1处切线的斜率k=f′(1)=-1+2= 1=tanα.又倾斜角α∈[0,π),所以α=.2.【解析】选A.a=3代入得,直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a-1)y-a+7=0平行,反之由直线ax+2y+2a=0和3x+(a-1)y-a+7=0平行得a(a-1)=2〓3,a=3或a=-2,可验证满足两直线平行,所以“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a-1)y-a+7=0平行”的充分不必要条件.3.【解析】选D.由已知直线l的斜率k l=-=-1,所以直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.4.【解析】选 A.直线x-2y+2=0与坐标轴的交点为(-2,0),(0,1),依题意得c=2,b=1⇒a=,e=.5.【解析】选A.因为m>2,所以m-1>1,此时方程+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆,而当该方程表示椭圆时有m-1>1或0<m-1<1,即m>2或1<m<2.故为充分不必要条件.6.【解析】选A.∵(x0,y0)为抛物线C:y2=8x上一点,∴x0≥0,又∵以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,∴在水平方向上,点M应在点F的右侧,∴x0>2.7.【解析】选A.由题意得△OAB的外接圆是以OP为直径的圆,其圆心C(2,1),半径r=|OP|==,所以△OAB外接圆方程为(x-2)2+(y-1)2=5.8.【解析】选C.由|+|=|-|知,以,为邻边的平行四边形为正方形,所以△AOB为等腰直角三角形,即||=||=2,∠AOB=90°,∴|AB|=2,则点O到直线x+y-a=0的距离为,所以有=,解得a=〒2.9.【思路点拨】按照正难则反思想求解.【解析】选C.这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在点P使得右焦点F关于直线OP(O为双曲线的中心)的对称点在y轴上,因此只要在这个双曲线上存在点P使得斜率大于1,也就是离心率大于,求其大于1的补集得e∈(1,].【方法技巧】求椭圆、双曲线离心率的技巧求离心率的值是解析几何中常见的问题,求解时,可根据题意列出关于a,b,c的相应等式,并把等式中的a,b,c转化为只含有a,c的齐次式,再转化为含e的等式,最后求出e.【变式备选】已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点且〃=c2,则此椭圆离心率的取值范围是.【解析】设P(x,y),则〃=(-c-x,-y)〃(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2①将y2=b2-x2代入①式解得x2=,又x2∈[0,a2],∴2c2≤a2≤3c2,∴e=∈[,].答案:[,]10.【解析】选A.由已知,圆(x-4)2+y2=a(a>0)与抛物线y2=4x有四个不同的交点,则方程组消去y所得的一元二次方程x2-4x+16-a=0有两相异正实根即可,所以有解得:12<a<16.11.【解析】由已知当椭圆焦点在x轴上时,有4-m=1,得m=3.当椭圆焦点在y轴上时,有m-4=1,得m=5.综上可知,m=3或5.答案:3或512.【解析】由x2-2y2=4,得-=1,其中c2=4+2=6,在椭圆C中e==,∴=,∴a2=8, ∴b2=a2-c2=2,则椭圆的方程为+=1.答案:+=113.【解析】双曲线x2-=1的渐近线为x2-=0,不妨设双曲线x2-=1的一条渐近线为2x-y=0,ax+y+2=0与2x-y=0平行,∴a=-2,在直线2x-y=0上取一点A(1,2),A 到ax+y+2=0的距离就是这两条平行直线之间的距离,即=.答案:14.【解析】由y=x2,得x2=16y,其焦点为(0,4).即圆C的圆心C(0,4),其到直线4x-3y-3=0的距离d==3.又|AB|=8,设圆C的半径为r,所以r2=d2+42,得r2=32+42=25,∴圆C的方程为x2+(y-4)2=25.答案:x2+(y-4)2=2515.【解析】因为曲线C:y=(a>0,b>0)与y轴的交点关于原点的对称点称为“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线C有公共点的圆,皆称之为“望圆”,所以当a=1,b=1时望圆的方程可设为x2+(y-1)2=r2,面积最小的“望圆”的半径为(0,1)到y=上任意点之间的最小距离,d2=x2+(-1)2=x2+()2= (|x|-1)2++2(|x|-1)-+2≥3,所以半径r≥,最小面积为3π.答案:3π16.【解析】DE,DM都是圆(x-2)2+y2=22的切线,所以DE=DM.因为=,所以DF=2DE=2DM,所以∠DFM=,设C(2,0),在△CEF中,∠CEF=,∠CFE=,CE=2,所以CF=4,F(-2,0),切线DE的倾斜角α=或,所以切线DE的斜率k=或-,切线DE的方程为y=〒(x+2).17.【解析】(1)据题意有|AB|+|AC|=4,而4>|BC|=2,所以动点A的轨迹是以B,C 为焦点的椭圆,但须除去B,C两点,所以,轨迹M的方程为+=1(y≠0).(2)由于直线l不可能是x轴,故设其方程为x=my+2,由直线l与圆x2+y2=2相切,得=,解得m=〒1.把方程x=my+2代入方程+=1中得(3m2+4)y2+12my=0,即得7y2〒12y=0,解得y=0或y=〒.所以点Q的坐标为(,)或(,-),所以|PQ|=,即线段PQ的长为.18.【解析】(1)由⇒x2+(2b-4)x+b2=0.因直线x-y+b=0与抛物线y2=4x相切,∴Δ=(2b-4)2-4b2=0⇒b=1.∵椭圆+=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,∴a=b=.故所求椭圆方程为+y2=1.(2)由已知得直线l的方程为y=x-,与+y2=1联立消y得3x2-2x-=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1〃x2=-,∴(y1-y2)2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=,∴|MN|==.19.【解析】(1)由x2+y2-4x+2=0,得(x-2)2+y2=2.故圆C的圆心为点(2,0);从而可设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),其焦距为2c,由题设知c=2,e==,∴a=2c=4,b2=a2-c2=12.故椭圆E的方程为:+=1.(2)设点P的坐标为(x0,y0),l1,l2的斜率分别为k1,k2,则l1,l2的方程分别为l1:y-y0=k1(x-x0),l2:y-y0=k2(x-x0),且k1k2=.由l1与圆C:(x-2)2+y2=2相切得=.即[(2-x 0)2-2]+2(2-x0)y0k1+-2=0.同理可得[(2-x 0)2-2]+2(2-x0)y0k2+-2=0.从而k1,k2是方程[(2-x 0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+-2=0的两个实根,于是①且k1k2==.由得5-8x 0-36=0.解得x0=-2或x0=.由x0=-2得y0=〒3;由x0=得y0=〒,它们均满足①式,故点P的坐标为(-2,3),或(-2,-3)或(,)或(,-).20.【解析】(1)由已知,得F(0,1),显然直线AB的斜率存在且不为0, 则可设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2-4kx-4=0,显然Δ=16k2+16>0.所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由x2=4y,得y=x2,所以y′=x,所以,直线AM的斜率为k AM=x1,所以,直线AM的方程为y-y1=x1(x-x1),又=4y 1,所以,直线AM的方程为x1x=2(y+y1) ①.同理,直线BM的方程为x2x=2(y+y2) ②.②-①并据x1≠x2得,点M的横坐标x=,即A,M,B三点的横坐标成等差数列.(2)由①②易得y=-1,所以点M的坐标为(2k,-1)(k≠0).所以k MF==-,则直线MF的方程为y=-x+1,设C(x3,y3),D(x4,y4),由消去y,得x2+x-4=0,显然Δ=+16>0,所以x3+x4=-,x3x4=-4.又|AB|====4(k2+1).|CD|====4(+1).因为k MF〃k AB=-1,所以AB⊥CD,所以,S四边形ACBD=|AB|〃|CD|=8(+1)(k2+1)=8(k2++2)≥32,当且仅当k=〒1时,四边形ACBD的面积取到最小值32.【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用方法解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向,既可以出现在选择题、填空题中,也可以出现在解答题中,根据待求量的特点,常用以下两种思想方法: (1)数形结合思想:当待求量有几何意义时,一般利用其几何性质,数形结合求解.(2)函数思想:当待求量与其他变量有关时,一般引入该变量构造函数,然后求最值,但要注意待求量的取值范围.【变式备选】设椭圆M:+=1(a>)的右焦点为F 1,直线l:x=与x轴交于点A,若+2=0(其中O为坐标原点).(1)求椭圆M的方程.(2)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任意一条直径(E,F为直径的两个端点),求〃的最大值.【解析】(1)由题设知,A(,0),F 1(,0),由+2=0,得=2(-),解得a2=6.所以椭圆M的方程为:+=1.(2)方法一:设圆N:x2+(y-2)2=1的圆心为N,则〃=(-)〃(-)=(--)〃(-)=-=-1.从而求〃的最大值转化为求的最大值.因为P是椭圆M上的任意一点,设P(x0,y0),所以+=1,即=6-3.因为点N(0,2),所以=+(y 0-2)2=-2(y0+1)2+12.[-,],所以当y0=-1时,取得最大值12.因为y所以〃的最大值为11.方法二:设点E(x1,y1),F(x2,y2),P(x0,y0),因为E,F的中点坐标为(0,2),所以所以〃=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=(x1-x0)(-x1-x0)+(y1-y0)(4-y1-y0)=-+-+4y1-4y0=+-4y+-4y1).因为点E在圆N上,所以+(y 1-2)2=1,即+-4y1=-3.因为点P在椭圆M上,所以+=1,即=6-3.所以〃=-2-4y 0+9=-2(y0+1)2+11.因为y[-,],所以当y0=-1时,(〃)max=11.21.【解析】方法一:(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),半焦距为c,则由已知得a=2,=,所以a=2,c=,∴b2=a2-c2=4-3=1,∴椭圆方程为+y2=1.(2)①取m=0,若R(1,),Q(1,-),直线A1R的方程是y=x+,直线A 2Q的方程是y=x-,交点为S1(4,).若R(1,-),Q(1,),由对称性可知交点为S 2(4,-).若点S在同一条直线上,则直线只能为l:x=4.②以下证明对于任意的m,直线A1R与直线A2Q的交点S均在直线l:x=4上.事实上,由得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0,记R(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=.设A 1R与l交于点S0(4,y0),由=,得y0=.设A 2Q与l交于点S′0(4,y′0),由=,得y′0=.∵y0-y′0=-====0,∴y0=y′0,即S0与S′0重合,这说明,当m变化时,点S恒在定直线l:x=4上.方法二:(1)同方法一.(2)取m=0,不妨设R(1,),Q(1,-),则直线A1R的方程是y=x+,直线A2Q的方程是y=x-,交点为S 1(4,).取m=1,不妨设R(,),Q(0,-1),直线A1R的方程是y=x+,直线A2Q的方程是y=x-1,交点为S2(4,1).∴若交点S在同一条直线上,则直线只能为l:x=4.以下证明对于任意的m,直线A1R与直线A2Q的交点S均在直线l:x=4上.事实上,由得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0,记R(x 1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=.A1R的方程是y=(x+2),A2Q的方程是y=(x-2),消去y,得(x+2)=(x-2) ①,以下用分析法证明x=4时,①式恒成立.要证明x=4时,①式恒成立,只需证明=,即证3y1(my2-1)=y2(my1+3),即证2my1y2=3(y1+y2) ②,∵2my1y2-3(y1+y2)=-=0,∴②式恒成立.这说明,当m变化时,点S恒在定直线l:x=4上.方法三:(1)同方法一.(2)由,得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0.记R(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=.A 1R的方程是y=(x+2),A2Q的方程是y=(x-2),由得(x+2)=(x-2),即x=2〃=2〃=2〃=2〃=4.这说明,当m变化时,点S恒在定直线l:x=4上.关闭Word文档返回原板块。
2014版高中数学复习方略课时提升作业：2.8函数与方程(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)
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课时提升作业(十一)一、选择题1.(2013·九江模拟)设函数f(x)=x-lnx(x>0),则y=f(x) ( )(A)在区间(e-1,1),(1,e)内均有零点(B)在区间(e-1,1),(1,e)内均无零点(C)在区间(e-1,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点(D)在区间(e-1,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点2.(2013·安庆模拟)如图是函数f(x)的图像,它与x轴有4个不同的公共点.给出下列四个区间之中,存在不能用二分法求出的零点,该零点所在的区间是( )(A)[-2.1,-1] (B)[4.1,5](C)[1.9,2.3] (D)[5,6.1]3.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx的零点分别为x1,x2,则x1,x2的大小关系是( ) (A)x1<x2 (B)x1>x2 (C)x1=x2 (D)不能确定4.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)35.(2013·合肥模拟)已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(lnx)-lnx 的零点个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)46.设x1,x2是方程ln|x-2|=m(m为实常数)的两根,则x1+x2的值为( )(A)4 (B)2 (C)-4 (D)与m有关7.(2013·吉安模拟)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围是( )(A)(-,-2] (B)[-1,0] (C)(-∞,-2] (D)(-,+∞)8.若函数y=()|1-x|+m的图像与x轴有公共点,则m的取值范围是( )(A)m≤-1 (B)m≥1 (C)-1≤m<0 (D)0<m≤19.(2013·温州模拟)对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-1)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点,则实数c的取值范围是( ) (A)(-∞,-1)∪(-,0) (B){-1,-}(C)(-1,-) (D)(-∞,-1)∪[-,0)10.(能力挑战题)若函数y=4sin(2x+)(x∈[0,])的图像与直线y=m有三个交点且它们的横坐标分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则x1+2x2+x3的值是( )(A) (B) (C) (D)二、填空题11.若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.12.已知函数f(x)=3x+x-5的零点x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N+,则a+b= .13.若函数f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-1有且仅有一个零点,则实数m的取值集合是.14.(能力挑战题)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=lg|x|,则函数y=f(x)与y=g(x)的图像在区间[-5,5]内的交点个数为.三、解答题15.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.(1)判断命题“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程.(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,求实数a的范围.答案解析1.【解析】选D.f'(x)=-,当x∈(0,3)时,f'(x)<0,即f(x)在(0,3)上是减函数,又f(e-1)=e-1+1>0,f(1)=>0,f(e)=e-1<0,≨f(e-1)·f(1)>0,f(1)·f(e)<0,故选D.2.【解析】选C.由图像可以看出函数在[-2.1,-1],[1.9,2.3],[4.1,5],[5,6.1]上各有一个零点,对比四个选项,C中的零点不能用二分法求.3.【解析】选A.在同一坐标系中作函数y=-x,y=2x,y=lnx的图像如图所示,由图像知x1<x2.4.【思路点拨】本题可转化为求函数y=|x-2|和y=lnx图像的交点个数.【解析】选C.在同一直角坐标系中,作出函数y=|x-2|与y=lnx的图像如图,从图中可知,两函数共有2个交点,≨函数f(x)的零点的个数为2.5.【解析】选C.令f(x)=0,则sgn(lnx)-lnx=0,即sgn(lnx)=lnx,≨lnx=1或lnx=0或lnx=-1,≨x=e或x=1或x=.6.【解析】选A.函数y=ln|x-2|的图像关于直线x=2对称,从而x1+x2=4.7.【解析】选A.由题意知函数M(x)=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点,则有≨-<m≤-2.8.【解析】选C.由已知得函数y=()|1-x|+m有零点,即方程()|1-x|+m=0有解,此时m=-()|1-x|.≧|1-x|≥0,≨0<()|1-x|≤1,≨m∈[-1,0).9.【解析】选A.由x2-1≤x-x2得-≤x≤1,≨f(x)=函数f(x)的图像如图所示,由图像知,当c<-1或-<c<0时,函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点.10.【解析】选C.函数y=4sin(2x+)的图像的对称轴在[0,π]有2条,分别为x=和x=,由对称性可得x1+x2=2×=,x2+x3=2×=,故x1+2x2+x3=x1+x2+x2+x3=+=.11.【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数y=a x与函数y=x+a交点的个数,两函数的图像如图所示,可知a>1时两函数图像有两个交点,0<a<1时两函数图像有唯一交点,故a>1.答案:(1,+≦)12.【解析】由已知x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N+,≨a,b的可能取值为a=1,b=2,或a=2,b=3,….又f(1)=3+1-5=-1<0,f(2)=32+2-5=6>0,≨f(1)f(2)<0,故a=1,b=2符合要求.又≧f(x)为增函数,当x取大于或等于2的整数时,所对应的函数值都大于0, ≨a=1,b=2.≨a+b=1+2=3.答案:313.【解析】当m=1时,f(x)=4x-1=0,得x=,符合要求.当m≠1时,依题意得Δ=4(m+1)2+4(m-1)=0.即m2+3m=0,解得m=-3或m=0,≨m的取值集合是{-3,0,1}.答案:{-3,0,1}【误区警示】本题求解过程中易忽视m=1而失误.根据原式将f(x)误认为是二次函数.14.【思路点拨】根据周期性画函数f(x)的图像,根据对称性画函数g(x)的图像,注意定义域.【解析】函数y=f(x)以2为周期,y=g(x)是偶函数,画出图像可知两函数在区间[-5,5]内有8个交点.答案:815.【解析】(1)“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”是真命题.依题意:f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,≧Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实数根,从而f(x)=1必有实数根.(2)依题意:要使y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,只需即解得<a<.【变式备选】已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.【解析】≧f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0,当Δ=0时,即m2-4=0,≨m=2或m=-2.又m=-2时,t=1,m=2时,t=-1(不合题意,舍去),≨2x=1,x=0符合题意.当Δ>0时,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点,≨这种情况不符合题意.综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为0.关闭Word文档返回原板块。
【全程复习方略】2014版高考数学 8.10圆锥曲线的综合问题课时提升作业 理 北师大版
【全程复习方略】2014版高考数学 8.10圆锥曲线的综合问题课时提升作业理北师大版一、选择题1.过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=( )(A)-2 (B)-(C)-4 (D)-2.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为( )(A)1 (B)(C)2 (D)23.(2013·某某模拟)若不论k为何值,直线y=k(x-2)+b与曲线x2-y2=1总有公共点,则b的取值X围是( )(A)(-,) (B)[-,](C)(-2,2) (D)[-2,2]4.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为( )(A)2 (B)3 (C)6 (D)85.(2013·某某模拟)已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为( )(A)+2 (B)+1(C)-2 (D)-16.(能力挑战题)若已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1,F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1·e2的取值X围是( )(A)(0,+∞) (B)(,+∞)(C)(,+∞) (D)(,+∞)二、填空题7.(2013·某某模拟)过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若<k<,则椭圆离心率的取值X围为.8.(2013·某某模拟)设连接双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的4个顶点的四边形面积为S1,连接其4个焦点的四边形面积为S2,则的最大值为.9.过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0)作两直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,则的值为.三、解答题10.(2013·某某模拟)设椭圆C的两焦点为F1(-1,0)和F2(1,0),且经过点P(1,),M为椭圆上的动点,以M 为圆心,MF2为半径作☉M.(1)求椭圆C的方程.(2)若☉M与y轴有两个交点,求点M横坐标的取值X围.(3)是否存在定☉N,使☉M与☉N总相切?若存在,求☉N的方程;若不存在,说明理由.11.(2013·某某模拟)已知抛物线x2=4y的焦点是椭圆C:+=1(a>b>0)一个顶点,椭圆C的离心率为,另有一圆O,圆心在坐标原点,半径为.(1)求椭圆C和圆O的方程.(2)已知M(x0,y0)是圆O上任意一点,过M点作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,求证:l1⊥l2.12.(能力挑战题)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的右焦点F2与抛物线C2:y2=4x的焦点重合,椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P,|PF2|=.圆C3的圆心T是抛物线C2上的动点,圆C3与y轴交于M,N两点,且|MN|=4.(1)求椭圆C1的方程.(2)证明:无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点.答案解析1.【解析】选D.由y=2x2得x2=y,其焦点坐标为F(0,),取直线y=,则其与y=2x2交于A(-,),B(,),∴x1x2=(-)·()=-.【方法技巧】求与动直线相关值的求解技巧解决动直线与圆锥曲线相交的有关值的选择题、填空题,一般取其特殊位置探索其值即可.2.【解析】选D.设椭圆长半轴长为a,短半轴长为b,a2-b2=c2,由题意,·2c·b=1,∴bc=1,b2+c2=a2≥2bc=2.∴a≥.∴长轴的最小值为2.3.【解析】选B.因为直线y=k(x-2)+b恒过(2,b)点,又当x=2时,y2=x2-1=3,∴y=±.数形结合知,当点(2,b)在双曲线内部或在双曲线上时,符合要求,所以b∈[-,].4.【解析】选C,设P(x0,y0),则+=1即=3-,又∵F(-1,0),∴·=x0·(x0+1)+=+x0+3=(x0+2)2+2,又x0∈[-2,2],∴(·)∈[2,6],所以(·)max=6.5.【思路点拨】画出图像,通过图像可知点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1,过焦点F作直线l的垂线,此时d1+d2最小,根据抛物线方程求得F的坐标,进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值. 【解析】选D.如图所示,由抛物线的定义知,|PF|=d1+1,∴d1=|PF|-1,d1+d2=d2+|PF|-1,显然当直线PF垂直于直线x-y+4=0时,d1+d2最小,此时d2+|PF|为F到直线x-y+4=0的距离.由题意知F点的坐标为(1,0),所以(d2+|PF|)min==.∴(d1+d2)min=-1.6.【解析】选B.由题意知|PF1|=r1=10,|PF2|=r2=2c,且r1>r2.e2====;e1====.∵三角形两边之和大于第三边,∴2c+2c>10,即c>,∴e1·e2==>,因此选B.7.【解析】由题意知:B(c,),∴k===1-e.又<k<,∴<1-e<,解得<e<.答案:(,)8.【思路点拨】将用a,b表示,利用基本不等式求最值.【解析】S1=·2a·2b=2ab,S2=·2·2=2(a2+b2),=(a>0,b>0),∴=≤(当且仅当a=b时取等号).答案:9.【解析】设直线PA的斜率为k PA,PB的斜率为k PB,由=2px1,=2px0,得k PA==,同理k PB=,由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,因此=-,即y1+y2=-2y0(y0>0),那么=-2.答案:-210.【解析】(1)∵2a=|PF1|+|PF2|=+=4, ∴a=2.∴b2=a2-c2=22-12=3.∴椭圆C的方程为+=1.(2)设M(x0,y0),则☉M的半径r=,圆心M到y轴的距离d=|x0|,⇒3+8x0-16<0⇒-4<x0<.又∵-2≤x0≤2,∴-2≤x0<.故点M横坐标的取值X围为[-2,).(3)存在☉N:(x+1)2+y2=16与☉M总相切,☉N的圆心为椭圆的左焦点F1.由椭圆的定义知,|MF1|+|MF2|=4,∴|MF1|=4-|MF2|,∴两圆相内切.11.【解析】(1)由x2=4y可得,抛物线焦点坐标为(0,1),由已知得b=1,又e=,∴=,a2=b2+c2,得a2=4,∴=.∴椭圆C的方程为+y2=1,圆O的方程为x2+y2=5.(2)若点M的坐标为(2,1),(2,-1),(-2,-1),(-2,1),则过这四点分别作满足条件的直线l1,l2,若一条直线斜率为0,则另一条斜率不存在,则l1⊥l2;若直线l1,l2斜率都存在,则设过M与椭圆只有一个公共点的直线方程为y-y0=k(x-x0),由得x2+4[kx+(y0-kx0)]2=4,即(1+4k2)x2+8k(y0-kx0)·x+4(y0-kx0)2-4=0,则Δ=[8k(y0-kx0)]2-4(1+4k2)[4(y0-kx0)2-4]=0,化简得(4-)k2+2x0y0k+1-=0.又+=5,∴(4-)k2+2x0y0k+-4=0.设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点,所以k1,k2满足(4-)k2+2x0y0k+-4=0,∴k1·k2==-1,∴l1⊥l2.12.【思路点拨】(1)根据抛物线的方程,求出其焦点坐标,然后求出椭圆的焦点坐标,通过定义建立方程,化简即可得到椭圆C1的方程.(2)设出点T的坐标,将抛物线方程代入圆的方程,得到一元二次方程,利用此方程恒成立求解.【解析】(1)∵抛物线C2:y2=4x的焦点坐标为(1,0),∴点F2的坐标为(1,0).∴椭圆C1的左焦点F1的坐标为F1(-1,0),抛物线C2的准线方程为x=-1.设点P的坐标为(x1,y1),由抛物线的定义可知|PF2|=x1+1,∵|PF2|=,∴x1+1=,解得x1=.由=4x1=,且y1>0,得y1=.∴点P的坐标为(,).在椭圆C1:+=1(a>b>0)中,c=1.2a=|PF1|+|PF2|=+=4,∴a=2,b==,∴椭圆C1的方程为+=1.(2)设点T的坐标为(x0,y0),圆C3的半径为r,∵圆C3与y轴交于M,N两点,且|MN|=4,∴|MN|=2=4,∴r=,∴圆C3的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=4+(*),∵点T是抛物线C2:y2=4x上的动点,∴=4x0(x0≥0),∴x0=.把x0=代入(*)消去x0整理得:(1-)-2yy0+(x2+y2-4)=0(**)方程(**)对任意实数y0恒成立,∴解得∵点(2,0)在椭圆C1:+=1上,∴无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点(2,0).。
2014版高中数学复习方略课时提升作业：单元评估检测(五)(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)
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单元评估检测（五）第五章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知数列{a n}为等差数列,若a2=3,a1+a6=12,则a7+a8+a9= ( )(A)27 (B)36 (C)45 (D)632.(2013·开封模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S3=6,则5a1+a7的值为( )(A)12 (B)10 (C)24 (D)63.(2013·南阳模拟)已知数列{a n}是等比数列,其前n项和为S n,若a4=2a3,S4=1,则S8= ( )(A)17 (B)16 (C)15 (D)2564.(2013·吉安模拟)等比数列{a n}的公比q>1,+=3,a1a4=,则a3+a4+a5+a6+a7+a8=( )(A)64 (B)31 (C)32 (D)635.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N+),则a10= ( )(A)64 (B)32 (C)16 (D)86.已知函数f(x)满足f(x+1)=+f(x),x∈R,且f(1)=,则数列{f(n)}(n∈N+)的前20项的和为( )(A)305 (B)315 (C)325 (D)3357.(2013·黄冈模拟)等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3+a9+a15+a17=0,则S21的值是( )(A)1 (B)-1 (C)0 (D)不能确定8.在等差数列{a n}中,a1=-2012,其前n项和为S n.若-=2,则S2012的值等于( ) (A)-2011 (B)-2012(C)-2010 (D)-20139.(2013·宜春模拟)设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=+2(n-1)(n∈N+),若S1+++…+-(n-1)2=2013,则n的值为( )(A)1007 (B)1006 (C)2012 (D)201310.(2013·南昌模拟)已知数列{a n}是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数y=f(x),若数列{lnf(a n)}为等差数列,则称函数f(x)为“保比差数列函数”.现有定义在(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=,②f(x)=x2,③f(x)=e x,④f(x)=,则为“保比差数列函数”的所有序号为( )(A)①②(B)③④(C)①②④(D)②③④二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知数列{a n}的前n项和为S n=(-1)n n,则a n= .12.设{lga n}成等差数列,公差d=lg3,且{lga n}的前三项和为6lg3,则{a n}的通项公式为.13.已知函数f(x)对应关系如表所示,数列{a n}满足a1=3,a n+1=f(a n),则a2013= .14.(2013·咸阳模拟)设数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意n∈N+,都有S n≤S k成立,则正整数k的值为.15.(能力挑战题)已知数列{a n}的前n项和为S n,f(x)=,a n=log2,则S2013= .三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2013·宝鸡模拟)已知函数f(x)=log2x-x+1(x∈[2,+∞)),数列{a n}满足a 1=2,=2(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式a n.(2)求f(a1)+f(a2)+…+f(a n).17.(12分)(2013·万州模拟)已知数列{a n}是首项a1=4,公比q≠1的等比数列,S n 是其前n项和,且4a1,a5,-2a3成等差数列.(1)求公比q的值.(2)设A n=S1+S2+S3+…+S n,求A n.18.(12分)已知数列{a n}中,a1=3,a n+1=2a n-1(n∈N+).(1)求证:数列{a n-1}是等比数列.(2)设b n=,求证:数列{b n}的前n项和S n<.19.(12分)某牛奶厂2009年初有资金1000万元,由于引进了先进设备,资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金x万元后,剩余资金投入再生产.(1)分别写出这家牛奶厂2010年初和2011年初投入再生产的剩余资金的表达式.(2)预计2013年底,这家牛奶厂将转向经营,需资金2000万元(该年底不再扣除下年的消费基金),当消费基金x不超过多少万元时,才能实现转向经营的目标(精确到万元)?20.(13分)(2012·山东高考)在等差数列{a n}中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)对任意m∈N+,将数列{a n}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为b m,求数列{b m}的前m项和S m.21.(14分)(能力挑战题)已知数列{a n}中a1=2,a n+1=2-,数列{b n}中b n=,其中n ∈N+.(1)求证:数列{b n}是等差数列.(2)设S n是数列{b n}的前n项和,求++…+.(3)设T n是数列{()n·b n}的前n项和,求证:T n<.答案解析1.【解析】选 C.设公差为d,则a1+d=3,2a1+5d=12,解得a1=1,d=2,所以a7+a8+a9=3a1+21d=3+42=45.2.【解析】选A.设公差为d,则S3=3a1+3d=6,即a1+d=2,所以5a1+a7=6a1+6d=12.3.【解析】选A.∵a4=2a3,S4=1,则q≠1,∴∴q=2,a1=,∴S8==17.4.【解析】选D.由+=3,得=3,又a2a3=a1a4=,则解得则q=2.所以a3+a4+a5+a6+a7+a8==63.5.【思路点拨】寻找数列的偶数项组成的数列的特点.【解析】选B.由题a n+1·a n=2n,a n+2·a n+1=2n+1,故=2,又a1=1,可得a2=2,故a10=25=32,选B.6.【解析】选D.由已知f(x+1)-f(x)=,得数列{f(n)}是等差数列,公差为,其前20项和为20×+×=335,故选D.7.【解析】选C.a3+a9+a15+a17=4a11=0,∴a11=0,S21=21a11=0.8.【解析】选B.∵-=2,∴-=2,故a12-a10=4,∴2d=4,d=2.∴S2012=2012a1+=-2012.9.【解析】选A.∵a n=+2(n-1),∴S n=na n-2n(n-1) ①∴S n+1=(n+1)a n+1-2(n+1)·n ②由②-①得:a n+1=(n+1)a n+1-na n-2n(n+1)+2n(n-1),化简得:na n+1-na n-4n=0,∴a n+1-a n=4,故数列{a n}是以a1=1为首项,d=4为公差的等差数列, a n=4n-3.∵S1+++…+-(n-1)2=2013,又∵=2n-1,∴1+3+5+…+(2n-1)-(n-1)2=2013,即-(n-1)2=2013⇒n=1007.10.【解析】选C.设数列{a n}的公比为q.①中,lnf(a n+1)-lnf(a n)=ln=ln=-lnq.故①中的函数符合要求;②中,lnf(a n+1)-lnf(a n)=ln=2lnq,也符合要求;③中,lnf(a n+1)-lnf(a n)=a n+1-a n,不符合要求;④中,lnf(a n+1)-lnf(a n)=ln=lnq,符合要求.11.【解析】当n≥2时,a n=S n-S n-1=(-1)n n-(-1)n-1(n-1)=(-1)n(2n-1),当n=1时也适合这个公式.答案：(-1)n(2n-1)12.【解析】根据等差数列性质可得lga2=2lg3,故数列{lga n}的通项公式是lga n=lga2+(n-2)lg3=nlg3=lg3n,所以a n=3n.答案：a n=3n13.【思路点拨】解答此类题目应先找规律,即先求a2,a3,a4,从中找出周期变化的规律.【解析】由题意知a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3,a4=f(a3)=f(3)=1,∴数列{a n}是周期为2的数列,∴a2013=a1=3.答案：314.【解析】方法一:由对任意n∈N+,都有S n≤S k成立,S k是S n的最大值.由等差数列的性质,有a1+a7=2a4,a2+a8=2a5,代入已知条件,得a4=33,a5=31,则公差d=a5-a4=-2,a1=33-3d=39,∴S n=39n+×(-2)=-n2+40n=-(n-20)2+400,则当n=20时,S n有最大值,故k的值为20.方法二:由题设对任意n∈N+,都有S n≤S k成立,求k的值即求S n最大时的项数n. 由等差数列的性质,有a1+a7=2a4,a2+a8=2a5,代入已知条件,得a4=33,a5=31,则公差d=a5-a4=-2,a1=33-3d=39,∴a n=39-2(n-1)=41-2n.由即解得20.5≥n>19.5,当n=20时,S n取得最大值,故k=20.答案：2015.【思路点拨】根据对数性质得a n=log2f(n+1)-log2f(n),裂项相消求和.【解析】由已知,得f(n)=,log2f(n)=log2,∴a n=log2=log2f(n+1)-log2f(n),∴S n=a1+a2+a3+…+a n=[log2f(2)-log2f(1)]+[log2f(3)-log2f(2)]+…+[log2f(n+1)-log2f(n)]=log2f(n+1)-log2f(1),则S2013=log2-log2=log2+1.答案:log2+116.【解析】(1)∵a 1=2,=2,∴{a n}是公比为2,首项为2的等比数列, ∴a n=2×2n-1=2n.(2)由(1)知f(a n)=log22n-2n+1=(n+1)-2n,则f(a1)+f(a2)+…+f(a n)=[2+3+…+(n+1)]-(2+22+…+2n)=-=-2n+1+2=n2+n+2-2n+1.17.【解析】(1)∵4a1,a5,-2a3成等差数列,∴2a5=4a1-2a3,∴2a1q4=4a1-2a1q2,∴q2=1,又q≠1,∴q=-1.(2)∵S n==2(1-(-1)n),∴A n=2(1-(-1)1)+2(1-(-1)2)+2(1-(-1)3)+…+2(1-(-1)n)=2(n-)=2n+1-(-1)n.18.【解析】(1)由a n+1=2a n-1,得a n+1-1=2(a n-1).即=2,∴数列{a n-1}是公比为2的等比数列.(2)由(1)知{a n-1}是公比为2,首项为2的等比数列,故a n-1=2n,∴a n=2n+1,∴b n====-∴S n=(-)+(-)+…+(-)=-<.【方法技巧】构造法求递推数列的通项公式对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化,构造出等差数列或等比数列.一般根据递推式子的特点采取以下方法:(1)递推式为a n+1=qa n(q为常数):作商构造.(2)递推式为a n+1=a n+f(n):累加构造.(3)递推式为a n+1=pa n+q(p,q为常数):待定系数构造.(4)递推式为a n+1=pa n+q n(p,q为常数):辅助数列构造.(5)递推式为a n+2=pa n+1+qa n:待定系数构造.思路:设a n+2=pa n+1+qa n可以变形为:a n+2-αa n+1=β(a n+1-αa n),就是a n+2=(α+β)a n+1-αβa n,则可从解得α,β,于是{a n+1-αa n}是公比为β的等比数列,就转化为前面的类型.(6)递推式为a n+1=f(n)a n(n∈N+):累乘构造.(7)递推式为a n-a n-1+pa n a n-1=0(p为常数):倒数构造.【变式备选】已知数列{a n}满足:++…+=(32n-1),n∈N+.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=log3,求++…+.【解析】(1)=(32-1)=3,当n≥2时,∵=(++…+)-(++…+)=(32n-1)-(32n-2-1)=32n-1,当n=1时,=32n-1也成立,∴数列{a n}的通项公式为a n=(n∈N+).(2)b n=log3=-(2n-1),==(-),∴++…+=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-)=.19.【解析】(1)2010年初的剩余资金为1000·-x;2011年初的剩余资金为(1000·-x)·-x.(2)设从2009年底这家牛奶厂的资金组成数列为{a n},则这个数列满足a1=1000·-x,a n+1=a n-x.设a n+1+λ=(a n+λ),展开与a n+1=a n-x比较可得λ=-2x,即a n+1=a n-x可以变换为a n+1-2x=(a n-2x),即数列{a n-2x}是首项为1000·-3x,公比为的等比数列,所以a n-2x=(1000·-3x)·()n-1,即a n=2x+(1000·-3x)·()n-1.从2009年初到2013年底共计5年,所以到2013年底该牛奶厂剩余资金a5=2x+(1000·-3x)·()4,只要a5+x≥2000,即2x+(1000·-3x)·()4+x≥2000即可,解得x≤≈458.97(万元).故当消费基金不超过458万元时,才能实现转向经营的目标.20.【思路点拨】(1)根据等差数列通项的性质求出a4,结合a9求出公差,进而得通项公式.(2)得出关于m,n的不等式,可得{b m}的通项公式,然后求和.【解析】(1)根据等差数列的性质得a4=28,设等差数列的公差为d,则a9-a4=5d=73-28=45,所以d=9,所以等差数列的通项公式为a n=a4+(n-4)d=28+(n-4)×9=9n-8,即a n=9n-8.(2)根据已知得9m<9n-8<92m,解得<n<,所以其中第一个n值为9m-1+1,最后一个n值为92m-1,所以b m=92m-1-9m-1,所以S m=(91-90)+(93-91)+…+(92m-1-9m-1)=(91+93+…+92m-1)-(90+91+…+9m-1)=-=-=.21.【解析】(1)b==,而b n=,∴b n+1-b n=-=1,n∈N+,∴{b n}是首项为b1==1,公差为1的等差数列.(2)由(1)可知b n=n,b n=n,∴S n=(1+2+…+n)=,于是==6(-),故有++…+=6(1-+-+…+-)=6(1-)=.(3)由(1)可知()n·b n=n·()n,则T n=1·+2·()2+…+n·()n,∴T n=1·()2+2·()3+…+(n-1)()n+n·()n+1.则T n=+()2+()3+…+()n-n()n+1=[1-()n]-n·()n+1,∴T n=-()n-1-·()n<.关闭Word文档返回原板块。
【全程复习方略】高考数学 8.7双曲线配套课件 文 北师大版
y ≤ -a或 y≥a 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点坐标 A1(0， -a) ， A2（0， a）
y a x b
性 质
顶点 渐近线 离心率 a、b、c 的关系 实虚轴
e
c , e 1, a
c 2 b2 a 2
线段A1A2 叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2 a;线段B1B2 叫作双曲线的 虚轴,它的长|B1B2|=2 b;a 叫作双曲线的实半轴长,b 叫作双曲线的虚半 轴长
a
(双曲线所在的区域)就越小，即双曲线的“张口”就越小.
(2)已知曲线2x2-y2-6=0上一点P到一个焦点的距离为4，则它到
另一个焦点的距离为__________.
【解析】曲线2x2-y2-6=0的方程可化为：
x 2 y2 - =1, 所以a2=3， 3 6
又因为点P到一个焦点的距离为4，所以到另一焦点的距离为 4+2 3 或4-2 3 . 答案：4+2 3 或4-2 3
(2)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于3的点 的集合； ( )
(3)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差等于4的点的集合； ( )
(4)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于4的点
的集合； ( )
(5)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差等于6的点的集合； ( )
2.双曲线的标准方程和几何性质
y
B2
图形
F1 A1
o
B1
A2
F2
x
标准方程 范围 对称性
x2 y2 1 （ a>0,b>0） a2 b2
x ≥a或x ≤ -a 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点坐标： A1(-a， 0) ， A2 (a， 0)
2014版高中数学复习方略课时提升作业：单元评估检测(一)(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)
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单元评估检测(一)第一章(120分钟 150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.定义A-B={x|x∈A,且x∉B},若A={1,3,5,7,9},B={2,3,5},则A-B=( )(A)A (B)B(C){1,2,7,9} (D){1,7,9}2.(2013·汉中模拟)集合M={4,5,-3m},N={-9,3},若M∩N≠∅,则实数m的值为( ) (A)3或-1 (B)3(C)3或-3 (D)-13.设集合M={x|x<2013},N={x|0<x<1},则下列关系中正确的是( )(A)M∪N=R (B)M∩N=N(C)N∈M (D)M∩N=∅4.在△ABC中,“A>B”是tanA>tanB”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5.设全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={1,2},B={-2,1,2},则A∪(B)等于( )U(A) (B){1}(C){1,2} (D){-1,0,1,2}6.(2013·南昌模拟)集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x|(x+5)(x-a)≤0},则“A⊆B”是“a>4”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.命题“有些x∈Z,x2+2x+m≤0”的否定是( )(A)有些x∈Z,x2+2x+m>0(B)不存在x∈Z,使x2+2x+m>0(C)任意x∈Z,x2+2x+m≤0(D)任意x∈Z,x2+2x+m>08.(2013·吉安模拟)若集合P={x|3<x≤22},非空集合Q={x|2a+1≤x<3a-5},则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值范围是( )(A)(1,9) (B)[1,9] (C)[6,9) (D)(6,9]9.(2013·西安模拟)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分不必要条件的有( )①若x∈E或x∈F,则x∈E∪F;②若关于x的不等式ax2-2ax+a+3>0的解集为R,则a>0;③若x是有理数,则x是无理数.(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个10.(2013·南昌模拟)已知集合M={(x,y)|y=f(x)};若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“好集合”,给出下列集合:①M={(x,y)|y=};②M={(x,y)|y=e x-2};③M={(x,y)|y=cosx};④M={(x,y)|y=lnx}.其中所有“好集合”的序号是( )(A)①②④(B)②③(C)③④(D)①③④二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2013·六安模拟)设方程x2-px-q=0的解集为A,方程x2+qx-p=0的解集为B,若A∩B={1},则p+q= .12.已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0}.若B⊆A,则实数a的取值集合为.13.已知命题p:方程x2+x-1=0的两实根的符号相反;命题q:存在x∈R,使x2-mx-m<0.若命题“p且q”是假命题,则实数m的取值范围是. 14.设全集U=R,A={x|<2},B={x|lo(x2+x+1)>-log2(x2+2)},则图中阴影部分表示的集合为.15.已知下列四个结论:①命题“若p,则q”与命题“若q,则p”互为逆否命题;②命题p:存在x∈[0,1],e x≥1,命题q:存在x∈R,x2+x+1<0,则p或q为真;③若p或q为假命题,则p,q均为假命题.④“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真命题.其中正确结论的序号是.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10}.求:(1)A∪B.A)∩B.(2)(R17.(12分)(2013·新密模拟)已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根,命题q:不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若p或q为真命题、p且q为假命题,求实数m的取值范围.18.(12分)(2013·忻州模拟)A={x|≤2-x≤4},B={x|x2-3mx+2m2-m-1<0}.(1)当x∈N时,求集合A的非空真子集的个数.(2)若A⊇B,求实数m的取值范围.19.(12分)(2013·亳州模拟)已知命题p:实数x满足-2≤1-≤2;命题q:实数x满足x2-2x+1-m2≤0(m>0),若⌝p是⌝q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.20.(13分)(2013·屯溪模拟)集合A={x|y=},集合B={x|y=ln(x2-x-6)}. (1)求集合A∩B.(2)若不等式ax2+2x+b>0的解集为A∪B,求a,b的值.21.(14分)设a,b,c为△ABC的三边,探究方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件.答案解析1.【解析】选D.属于集合A而不属于集合B的元素为1,7,9,故A-B={1,7,9}.2.【解析】选A.由M∩N≠ ,可知-3m=-9或-3m=3,所以m=3或-1.3.【解析】选B.M∩N={x|x<2013}∩{x|0<x<1}={x|0<x<1}.4.【解析】选D.因为函数y=tanx在(0,π)上不是单调函数,所以“A>B”是“tanA>tanB”的既不充分也不必要条件,选D.5.【解析】选D.因为U B={-1,0},所以A∪(UB)={-1,0,1,2}.6.【解析】选B.集合A=[-4,4],当A⊆B时有a≥4;若a>4,则A⊆B.故为必要不充分条件.7.【解析】选D.根据特称命题的否定是全称命题得答案.8.【解析】选D.Q⊆(P∩Q)⇔Q⊆P,故实数a满足解得6<a≤9.9.【解析】选A.①若x∈E或x∈F,则x∈E∪F,是充要条件;②若关于x的不等式ax2-2ax+a+3>0的解集为R,则a>0,是必要不充分条件;③若x是有理数,则x 是无理数,是既不充分也不必要条件.10.【思路点拨】对于①,利用渐近线互相垂直判断其正误即可.对于②,③可通过取特殊点加以验证,对于④,画出函数图像,取一个特殊点即能说明不满足好集合的定义.【解析】选B.对于①,y=是以x,y轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为90°,在同一支上,任意(x1,y1)∈M,不存在(x2,y2)∈M满足好集合的定义;对任意(x1,y1)∈M,在另一支上也不存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,所以不满足好集合的定义,不是好集合.对于②,M={(x,y)|y=e x-2},如图1,图中直角始终存在,例如取M(0,-1),N(ln2,0),满足好集合的定义,所以正确.对于③,M={(x,y)|y=cosx},如图2,对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,例如(0,1),(,0),∠yOx=90°,满足好集合的定义,旋转90°,都能在图象上找到满足题意的点,所以M是好集合.对于④,M={(x,y)|y=lnx},如图3,取点(1,0),曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相垂直.11.【解析】已知两个方程有公共根x=1.代入第一个方程得p+q=1.答案:112.【解析】当a=0时,B= ,符合要求;当a≠0时,B={-},根据B⊆A可得a=1或-1.故实数a的取值集合为{-1,0,1}.答案:{-1,0,1}【误区警示】不要忽视集合B为空集的情况.13.【解析】方程x2+x-1=0有两个实数根且两根之积为负值,故两根的符号相反,命题p是真命题,若p且q为假命题,只能是命题q为假命题,即其否定是真命题,即任意x∈R,x2-mx-m≥0为真命题,即Δ=m2+4m≤0,即-4≤m≤0.答案:[-4,0]14.【解析】由(x-1)2<1,得0<x<2,故集合A={x|0<x<2};由lo(x2+x+1)>-log2(x2+2)=lo(x2+2),又y=lo x为减函数,得0<x2+x+1<x2+2,解得x<1,故集合B={x|x<1}.图中的阴影部分为集合A∩(B).UB)={x|0<x<2}∩{x|x≥1}A∩(U={x|1≤x<2}.答案:{x|1≤x<2}(也可以填[1,2))15.【解析】根据四种命题的关系,结论①正确;②中命题p为真命题、q为假命题,故p或q是真命题,结论②正确;根据或命题的真假判断方法知结论③正确;④中命题的逆命题是“若a<b,则am2<bm2”,这个命题在m=0时不成立,结论④不正确.答案:①②③16.【解析】(1)A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2<x<10}={x|2<x<10}.A={x|x<3或x≥7},(2)因为R所以(A)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.R17.【解析】命题p为真时,实数m满足Δ1=m2-4>0且-m<0,解得m>2;命题q 为真时,实数m满足Δ2=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3.p或q为真命题、p且q为假命题,等价于p真且q假或者p假且q真.若p真且q假,则实数m满足m>2且m≤1或m≥3,解得m≥3;若p假且q真,则实数m满足m≤2且1<m<3,解得1<m≤2.综上可知,所求m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).18.【解析】化简集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|(x-m+1)(x-2m-1)<0}.(1)当x∈N时,集合A={0,1,2,3,4,5},即A中含有6个元素,所以A的非空真子集数为26-2=62(个).(2)(2m+1)-(m-1)=m+2.①当m=-2时,B=∅⊆A;②当m<-2时,2m+1<m-1,此时B=(2m+1,m-1),若B⊆A,则只要解得-≤m≤6,与m<-2无公共部分,所以m的值不存在;③当m>-2时,2m+1>m-1,此时B=(m-1,2m+1),若B⊆A,则只要解得-1≤m≤2,此时m满足-1≤m≤2.综上所述,m的取值范围是m=-2或-1≤m≤2.19.【解析】令A={x|-2≤1-≤2}={x|-2≤x≤10},B={x|x2-2x+1-m2≤0(m>0)} ={x|1-m≤x≤1+m(m>0)}.因为“若⌝p则⌝q”的逆否命题为“若q则p”,又⌝p是⌝q的必要不充分条件,所以q是p的必要不充分条件,所以A B,故解得m≥9.【方法技巧】条件、结论为否定形式的命题的求解策略处理此类问题一般有两种策略:一是直接求出条件与结论,再根据它们的关系求解.二是先写出命题条件与结论的否定,再根据它们的关系求解.如果p是q的充分不必要条件,那么p是q的必要不充分条件;同理,如果p是q 的必要不充分条件,那么p是q的充分不必要条件,如果p是q的充要条件,那么p是q的充要条件.20.【解析】(1)由2x-1>0,解得x>0,即集合A=(0,+∞);又x2-x-6>0,解得x<-2或x>3,即集合B=(-∞,-2)∪(3,+∞).所以A∩B=(3,+∞).(2)A∪B=(-∞,-2)∪(0,+∞).不等式ax2+2x+b>0的解集为A∪B,即方程ax2+2x+b=0的两个实根为-2,0,根据根与系数的关系得a=1,b=0.21.【思路点拨】设出方程的公共根,消掉这个公共根就可以得到两个方程有公共根的必要条件,再证明这个条件是充分的即可.【解析】设m是两个方程的公共根,显然m≠0.由题设知:m2+2am+b2=0 ①,m2+2cm-b2=0 ②,由①+②得2m(a+c+m)=0,所以m=-(a+c) ③,将③代入①,得(a+c)2-2a(a+c)+b2=0,化简得a2=b2+c2.所以所给的两个方程有公共根的必要条件是a2=b2+c2.下面证明其充分性.因为a2=b2+c2,所以方程x2+2ax+b2=0,即x2+2ax+a2-c2=0,它的两个根分别为x1=-(a+c)和x2=c-a;同理,方程x2+2cx-b2=0的两根分别为x3=-(a+c)和x4=a-c.圆学子梦想铸金字品牌因为x1=x3,所以方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根.综上所述,方程x2+2ax+b2=0与方程x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c2.关闭Word文档返回原板块。
2014版高中数学复习方略课时提升作业：阶段滚动检测（二）（北师大版）（北师大版·数学理·通用版）
2014版⾼中数学复习⽅略课时提升作业：阶段滚动检测（⼆）（北师⼤版）（北师⼤版·数学理·通⽤版）温馨提⽰：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动⿏标滚轴，调节合适的观看⽐例，答案解析附后。
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阶段滚动检测（⼆）第⼀～四章（120分钟 150分）⼀、选择题(本⼤题共10⼩题,每⼩题5分,共50分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的)1.(滚动单独考查)设全集U是实数集R,M={x|x2>4},N={13},则图中阴影部分表⽰的集合是( )(A){x|-2≤x<1}(B){x|-2≤x≤2}(C){x|1(D){x|x<2}2.(滚动交汇考查)以下说法错误的是( )(A)命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”(B)“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件(C)若p∧q为假命题,则p,q均为假命题(D)若命题p:存在x∈R,使得x2+x+1<0,则 p:任意x∈R,则x2+x+1≥03.(2013·黄⼭模拟)已知m∈R,复数z=(i为虚数单位)在复平⾯内对应的点在虚轴上,则m的值为( )(A)-2 (B)-(C)(D)24.(滚动单独考查)设函数f(x)=则满⾜f(x)≤2的x的取值范围是( )(A)[-1,2] (B)[0,2] (C)[1,+∞) (D)[0,+∞)5.(2013·赣州模拟)平⾯上三点A,B,C满⾜||=3,||=4,||=5,则·+·+·=( )(A)-25 (B)-16 (C)25 (D)166.函数y=sin(2x-)在区间[-,π]上的简图是( )7.(2013·九江模拟)△ABC中,A=,BC=3,则△ABC的周长为( )(A)4sin(B+)+3 (B)4sin(B+)+3(C)6sin(B+)+3 (D)6sin(B+)+38.已知向量m,n满⾜m=(2,0),n=(,).在△ABC中,=2m+2n,=2m-6n,D为BC的中点,则||等于( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)89.(滚动单独考查)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( )(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-210.设f(x)=asin2x+bcos2x,其中a>0,b>0,若f(x)≤|f()|对⼀切x∈R恒成⽴,则①f()=0;②|f()|<|f()|;③f(x)既不是奇函数也不是偶函数;④f(x)的单调递增区间是[kπ+,kπ+](k∈Z);⑤存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图像不相交.以上结论正确的是( )(A)①②④ (B)①③(C)①③④ (D)①②④⑤⼆、填空题(本⼤题共5⼩题,每⼩题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2013·马鞍⼭模拟)已知向量a=(sinθ,-2),b=(1,cosθ),且a⊥b,则sin2θ+cos2θ的值为.12.(2013·南昌模拟)复数z=(2+i)i,则z的虚部为.13.设向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),其中0<α<β<π,若|2a+b|=|a-2b|,则β-α= .14.(2013·⾩阳模拟)如图,△ABC中,AB=AC=2,BC=2,点D在BC边上,∠ADC=45°,则AD的长度等于.15.(滚动交汇考查)设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,f(2-x)=f(x+2),且当x∈[-2,0]时,f(x)=()x-1.若关于x的⽅程f(x)-l og a(x+2)=0(a>1)在区间(-2,6]内恰有三个不同实根,则实数a的取值范围是.三、解答题(本⼤题共6⼩题,共75分.解答时应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2013·宝鸡模拟)已知a=(1,2),b=(-3,2).(1)求a-3b以及|a-3b|的值.(2)当k为何值时,k a+b与a-3b平⾏?17.(12分)(2013·抚州模拟)已知函数f(x)=m·n,其中m=(sinωx+cosωx,cosωx),n=(cosωx-sinωx,2sinωx),其中ω>0,若f(x)相邻两对称轴间的距离不⼩于.(1)求ω的取值范围.(2)在△ABC中,a,b,c分别是⾓A,B,C的对边,a=,b+c=3,当ω最⼤时,f(A)=1,求△ABC的⾯积.18.(12分)已知a=(1,2),b=(2,1).(1)求向量a在向量b⽅向上的投影.(2)若(m a+n b)⊥(a-b)(m,n∈R),求m2+n2+2m的最⼩值.19.(12分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-(x∈R).(1)当x∈[-,]时,求函数f(x)的最⼩值和最⼤值.(2)设△ABC的内⾓A,B,C的对应边分别为a,b,c,且c=,f(C)=0,若向量m=(1,sinA)与向量n=(2,sinB)共线,求a,b的值.20.(13分)(2013·湛江模拟)已知圆C1的圆⼼在坐标原点O,且圆C1恰好与直线l1:x-y-2=0相切.(1)求圆的标准⽅程.(2)设点A(x0,y0)为圆上任意⼀点,AN⊥x轴于N,若动点Q满⾜=m+n(其中m+n=1,m,n≠0,m为常数),试求动点Q的轨迹⽅程.(3)在(2)的结论下,当m=时,得到曲线C,问是否存在与l1垂直的⼀条直线l与曲线C交于B,D两点,且∠BOD为钝⾓,请说明理由. 21.(14分)(滚动单独考查)(2013·烟台模拟)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最⼩值.(2)对⼀切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成⽴,求实数a的取值范围.(3)求证:对⼀切x∈(0,+∞),都有x ln x>-.答案解析1.【解析】选C.依题意知M={x|x<-2或x>2},eM={x|-2≤x≤2},R(eM)∩N={x|1R2.【解析】选C.A正确;当x=1时,x2-3x+2=0,反之不成⽴,故B正确;C中,若p ∧q为假命题,则p,q⾄少有⼀个为假命题,故不正确;D正确.3.【解析】选A.z===.由题意得m+2=0,故m=-2.4.【解析】选D.若x≤1,则21-x≤2,解得0≤x≤1;若x>1,则1-log2x≤2,解得x>1,综上,x≥0.5.【解析】选A.〃+〃+〃=0+4〓5〓(-)+5〓3〓(-)=-16+(-9)=-25.6.【思路点拨】运⽤特殊值法代⼊特殊点的坐标验证即可.【解析】选A.特殊值验证即可,当x=0时,y=sin(-)<0,排除B,D;⼜当x=时,y=sin(2〓-)=0,排除C,A符合,故选A.7.【解析】选D.设△ABC中,⾓A,B,C的对边分别为a,b,c,由正弦定理得====,得b+c=2[sinB+sin(-B)]=6sin(B+).故三⾓形的周长为:3+b+c=6sin(B+)+3.8.【解析】选A.由题意知=(7,),=(-5,-3),所以+=(2,-2).由D为BC的中点得=(+)=(1,-),所以||=2.【变式备选】已知向量a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量的模为( )(A)4(B)8(C)2 (D)6【解析】选B.≧a∥b,?x=4,b=(4,-2),a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y).≧(a+b)⊥(b-c),(a+b)〃(b-c)=0,即6-3〓(-2-y)=0,y=-4,M(4,-4),N(-4,4).故向量=(-8,8),||=8.9.【解析】选B.设切点P(x0,y0),则y0=x0+1,y0=ln(x0+a).y=ln(x+a),y'=,当x=x0时,y'==1,x0+a=1,y0=0,x0=-1,a=2.10.【思路点拨】先将f(x)=asin2x+bcos2x,a>0,b>0,变形为f(x)=sin(2x+φ),再由f(x)≤|f()|对⼀切x∈R恒成⽴得a,b之间的关系,然后顺次判断命题真假.【解析】选B.f(x)=asin2x+bcos2x=sin(2x+φ),由f(x)≤|f()|对⼀切x∈R恒成⽴知|f()|==|asin+bcos|=|+|,即=|a+|,两边平⽅整理得a= b.所以f(x)=bsin2x+bcos2x=2bsin(2x+).①f()=2bsin(+)=0,故①正确.②|f()|=|f()|=2bsin,故②错误.③f(-x)≠〒f(x),所以③正确.④因为b>0,所以由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).故④错误.⑤因为a=b>0,要经过点(a,b)的直线与函数f(x)图像不相交,则此直线与x轴平⾏,⼜f(x)的振幅为2b>b,所以直线必与f(x)的图像有交点.故⑤错误. 【变式备选】设函数f(x)=sin(2x+),则下列结论正确的是( )①f(x)的图像关于直线x=对称;②f(x)的图像关于点(,0)对称;③f(x)的图像向左平移个单位,得到⼀个偶函数的图像;④f(x)的最⼩正周期为π,且在[0,]上为增函数.(A)①③(B)②④(C)①③④(D)③【解析】选D.当x=时,f()=sin(2〓+)=0≠〒1,故x=不是函数图像的对称轴,①错误;当x=时,f()=sin(2〓+)≠0,故点(,0)不是对称中⼼,②错误;将函数的图像向左平移个单位后得到函数为g(x)=sin[2(x+)+]=sin(2x+) =cos2x,是偶函数,故③正确;当x∈[0,]时,2x+∈[,],函数f(x)不单调,故④错误.11.【解析】≧a⊥b,?sinθ-2cosθ=0.tanθ=2.sin2θ+cos2θ====1.答案：112.【解析】≧z=(2+i)i=-1+2i,z=-1-2i,z的虚部为-2.答案：-213.【解析】由|2a+b|=|a-2b|得(2a+b)2=(a-2b)2,可得a〃b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(β-α)=0,⼜0<α<β<π,所以0<β-α<π,所以β-α=.答案：14.【解析】在△ABC中,由余弦定理易得cosC===,C=30°,B=30°.在△ABD中,由正弦定理得:=,=,AD=.答案：15.【思路点拨】根据函数的性质,结合图像解题.【解析】由f(2-x)=f(x+2)可知函数周期为4,⽅程f(x)-l og a(x+2)=0(a>1)在区间(-2,6]内恰有三个不同实根等价于函数y=f(x)与函数y=l og a(x+2)(a>1)的图像在区间(-2,6]内恰有三个不同的交点,如图,需满⾜f(2)=f(-2)=3>l og a4且l og a8>f(6)=f(2)=f(-2)=3,解得答案：(,2)16.【解析】(1)a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),|a-3b|==2.(2)≧k a+b=(k-3,2k+2),当(k a+b)∥(a-3b)时,-4(k-3)=10(2k+2),得k=-.17.【解析】(1)f(x)=m〃n=cos2ωx-sin2ωx+2cosωx〃sinωx =cos2ωx+sin2ωx=2sin(2ωx+).≧ω>0,函数f(x)的周期T==,由题意可知,≥,即≥,解得0<ω≤1,即ω的取值范围是{ω|0<ω≤1}.(2)由(1)可知ω的最⼤值为1,f(x)=2sin(2x+).≧f(A)=1,?sin(2A+)=,⽽<2A+<π,2A+=π,A=.由余弦定理知cosA=,b2+c2-bc=3,⼜b+c=3.联⽴解得或S△ABC=bcsinA=.18.【解析】(1)设向量a与向量b的夹⾓为θ,由题意知向量a在向量b⽅向上的投影为|a|cosθ=|a|==.(2)≧(m a+n b)⊥(a-b),(m a+n b)〃(a-b)=0,即5m+4n-4m-5n=0,m=n.m2+n2+2m=2m2+2m=2(m+)2-≥-,当且仅当m=n=-时取等号,m2+n2+2m的最⼩值为-.19.【解析】(1)f(x)=sin(2x-)-1.≧-≤x≤,-≤2x-≤,-≤sin(2x-)≤1,-1-≤sin(2x-)-1≤0.则f(x)的最⼩值是-1-,最⼤值是0.(2)f(C)=sin(2C-)-1=0,则sin(2C-)=1.≧0-<2C-<,2C-=,C=.≧向量m=(1,sinA)与向量n=(2,sinB)共线,?=,由正弦定理得=①由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos,即a2+b2-ab=3 ②由①②,解得a=1,b=2.【变式备选】设△ABC三个⾓A,B,C的对边分别为a,b,c,向量p=(a,2b),q=(sinA,1),且p∥q.(1)求⾓B的⼤⼩.(2)若△ABC是锐⾓三⾓形,m=(cosA,cosB),n=(1,sinA-cosAtanB),求m〃n的取值范围.【解析】(1)≧p=(a,2b), q =(sinA,1), p∥q,a-2bsinA =0,由正弦定理得sinA-2sinBsinA =0.≧0得B=或B=.(2)≧△ABC是锐⾓三⾓形,B=,m=(cosA,),n=(1,sinA-cosA),于是m〃n=cosA+(sinA-cosA)=cosA+sinA=sin(A+).由A+C=π-B=及0结合0即< m〃n= <1.20.【解析】(1)设圆的半径为r,圆⼼到直线l1的距离为d,则r=d==2.所以圆C1的⽅程为x2+y2=4.(2)设动点Q(x,y),AN⊥x轴于N,则N(x0,0),由题意,(x,y)=m(x0,y0)+n(x0,0),所以即将A(x,y)代⼊x2+y2=4,得+=1.即动点Q的轨迹⽅程为+=1.(3)m=时,曲线C的⽅程为+=1,假设存在满⾜条件的直线l,设直线l的⽅程为y=-x+b,设直线l与椭圆+=1的交点B(x1,y1),D(x2,y2),联⽴得:整理得7x2-8bx+4b2-12=0,因为Δ=48(7-b2)>0,解得b2<7,且x1+x2=,x1x2=.〃=x1x2+y1y2=x1x2+(b-x1)(b-x2)=2x1x2-b(x1+x2)+b2=-+b2=,因为∠BOD为钝⾓,所以<0,解得b2<满⾜b2<7,-所以存在直线l满⾜题意.【⽅法技巧】解决向量与解析⼏何综合问题的⽅法技巧(1)平⾯向量在解析⼏何中的应⽤,是以解析⼏何中的坐标为背景的⼀种向量描述.它主要强调两⽅⾯的作⽤,⼀是以向量的形式给出题⽬的条件,解题时要善于将向量问题转化为坐标间的关系;⼆是应⽤向量来解题,即运⽤数量积等知识解决垂直、长度等问题.(2)利⽤向量法解题时,⾸先要将线段看作向量,进⼀步求得向量的坐标后转化为向量的运算.21.【解析】(1)f'(x)=ln x+1,当x∈(0,)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(,+≦)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.①0②0③≤t所以f(x)min=(2)2x ln x≥-x2+ax-3,则a≤2ln x+x+.设h(x)=2ln x+x+(x>0),则h'(x)=,x∈(0,1),h'(x)<0,h(x)单调递减, x∈(1,+≦),h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=4,因为对⼀切x∈(0,+≦),2f(x)≥g(x)恒成⽴,所以a≤h(x)min=4.(3)由(1)可知f(x)=x ln x(x∈(0,+≦))的最⼩值是-,当且仅当x=时取到.设m(x)=-(x∈(0,+≦)),则m'(x)=,易得m(x)max=m(1)=-,当且仅当x=1时取到,从⽽对⼀切x∈(0,+≦),都有x ln x>-.关闭Word⽂档返回原板块。
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课时提升作业(五十七)
一、选择题
1.(2013·南昌模拟)已知双曲线mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为( )
(A)(B)(C)(D)
2.双曲线-y2=1(n>1)的左、右两个焦点为F1,F2,P在双曲线上,且满足|PF 1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为( )
(A)(B)1 (C)2 (D)4
3.(2013·汉中模拟)设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为
( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦
点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )
(A)-=1 (B)-=1
(C)-=1 (D)-=1
5.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( )
(A)(B)(C)(D)
6.(2012·新课标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C 与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为
( )
(A)(B)2(C)4 (D)8
7.(2013·抚州模拟)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( ) (A)3x±4y=0 (B)3x±5y=0
(C)4x±3y=0 (D)5x±4y=0
8.(能力挑战题)设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,若点P在双曲线上,且·=0,则|+|= ( )
(A)(B)2(C)(D)2
二、填空题
9.(2013·西安模拟)若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线
-=1的离心率为.
10.(2012·天津高考)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)与双曲线
-=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则
C
2:
a= ,b= .
11.(能力挑战题)过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B两点,设双曲线的左顶点为M,若点M在以AB为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e的取值范围为.
三、解答题
12.(2013·井冈山模拟)已知A,B,P是双曲线-=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积k PA·k PB=,求双曲线的离心率.
13.(2013·马鞍山模拟)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).
(1)求双曲线的方程.
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.
(3)求△F1MF2的面积.
14.P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率.
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐
标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.
答案解析
1.【解析】选B.由已知双曲线的离心率为2,得:
=2,解得:m=3n,又m>0,n>0,
∴m>n,即>,
故由椭圆mx2+ny2=1得+=1.
∴所求椭圆的离心率为:e===.
【误区警示】本题极易造成误选而失分,根本原因是由于将椭圆mx2+ny2=1焦点所在位置弄错,从而把a求错造成.
2.【解析】选B.不妨设点P在双曲线的右支上,则
|PF 1|-|PF2|=2,又|PF1|+|PF2|=2,
∴|PF 1|=+,|PF2|=-,
又c=,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴∠F1PF2=90°,
∴=|PF 1||PF2|=1.
3.【解析】选C.双曲线-=1的渐近线方程为3x〒ay=0与已知方程比
较系数得a=2.
4.【解析】选B.由题意可知
解得
所以双曲线的方程为-=1.
5.【解析】选D.因为焦点在x轴上与焦点在y轴上的离心率一样,所以
不妨设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则双曲线的渐近线的斜率k=〒,一个焦点坐标为F(c,0),一个虚轴的端点为B(0,b),所以k FB=-,又因为直线FB与双曲线的一条渐近线垂直,所以k·k FB=(-)=-1(k=-显然不符合),
即b2=ac,c2-a2=ac,所以,c2-a2-ac=0,
即e2-e-1=0,解得e=(负值舍去).
【变式备选】双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则的最小值为( )
(A)(B)(C)2 (D)1
【解析】选A.因为双曲线的离心率为2,所以=2,
即c=2a,c2=4a2;
又因为c2=a2+b2,
所以a2+b2=4a2,即b=a,
因此==a+≥2=,当且仅当a=,即a=时等号成立.
故的最小值为.
6.【解析】选C.不妨设点A的纵坐标大于零.
设C:-=1(a>0),
∵抛物线y2=16x的准线为x=-4,
联立得方程组
解得:A(-4,),B(-4,-),
∴|AB|=2=4,解得a=2,∴2a=4.
∴C的实轴长为4.
7.【解析】选C.设PF1的中点为M,因为|PF2|=|F1F2|,
所以F2M⊥PF1,因为|F2M|=2a,
在直角三角形F1F2M中,
|F1M|==2b,
故|PF1|=4b,
根据双曲线的定义得
4b-2c=2a,即2b-c=a,
因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,
即3b2-4ab=0,即3b=4a,
故双曲线的渐近线方程是y=〒x,
即4x〒3y=0.
8.【解析】选B.如图,由·=0可得⊥,又由
向量加法的平行四边形法则可知□PF1QF2为矩形,因为矩形
的对角线相等,故有|+|=||=2c=2.
9.【解析】由已知椭圆离心率为,
所以有==,得()2=,而双曲线的离心率为
===.
答案:
10.【解析】由题意可得解得:a=1,b=2.
答案:1 2
11.【思路点拨】设出双曲线方程,表示出点F,A,B的坐标,由点M在圆内部列不等式求解.
【解析】设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),右焦点F坐标为F(c,0),令A(c,),B(c,-),
所以以AB为直径的圆的方程为(x-c)2+y2=.
又点M(-a,0)在圆的内部,所以有(-a-c)2+0<,
即a+c<⇒a2+ac<c2-a2,
⇒e2-e-2>0(e=),解得:e>2或e<-1.
又e>1,∴e>2.
答案:(2,+∞)
12.【解析】设A(m,n),P(x0,y0),则B(-m,-n),
∵A,B,P在双曲线上,
∴-=1,(1)
-=1,(2)
(2)-(1)得:=⇒=,
k PA·k PB=·===⇒e====.
13.【解析】(1)∵e=,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).
∵过点P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.
∴双曲线方程为x2-y2=6.
(2)方法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,
∴c=2,∴F 1(-2,0),F2(2,0).
∴=,=,
·==-.
∵点M(3,m)在双曲线上,
∴9-m2=6,m2=3.
故·=-1,∴MF 1⊥MF2.
∴·=0.
方法二:∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m),
∴·=(3+2)〓(3-2)+m2=-3+m2.
∵M(3,m)在双曲线上,
∴9-m2=6,即m2-3=0.∴·=0.
(3)△F 1MF2的底|F1F2|=4,
△F 1MF2的边F1F2上的高h=|m|=,∴=6.
14.【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用斜率之积为列方程求解.
(2)联立方程,设出A,B,的坐标,代入=λ+求解.
【解析】(1)由点P(x0,y0)(x0≠〒a)在双曲线-=1上,有-=1. 由题意又有·=,
可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,
则e==.
(2)联立方程得得4x2-10cx+35b2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
设=(x3,y3),=λ+,
即
又C为双曲线E上一点,即-5=5b2,
有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,
化简得:λ2(-5)+(-5)+2λ(x 1x2-5y1y2)=5b2,
又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线E上,
所以-5=5b2,-5=5b2.
又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,
得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.
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