高三数学第一轮备考知识综合检测8
高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及考试参考答案 (8)
[考案8]第八章 综合过关规范限时检测(时间：120分钟 满分150分)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.(2019·吉林长春实验中学期末)设△ABC 的一个顶点是A (－3，1)，∠B ，∠C 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为( B )A.y ＝2x ＋5B.y ＝2x －5C.y ＝3x ＋5D.y ＝12x ＋52【试题解答】 A 关于y ＝x 的对称点为A 1(1，－3)，A 关于x ＝0的对称点为A 2(3,1)，又A 1、A 2都在BC 上，∴k BC ＝2.∴BC 的方程为y ＋3＝2(x －1)，即y ＝2x －5.2.(2019·安徽模拟)抛物线y ＝14x 2的焦点到双曲线y 2－x 23＝1的渐近线的距离为( B )A.12 B.32C.1D. 3【试题解答】 抛物线y ＝14x 2的焦点为(0,1)，双曲线y 2－x 23＝1的渐近线方程为x ±3y ＝0，则焦点到双曲线渐近线的距离为|0±3|1＋3＝32，故选B. 3.(2020·四川攀枝花统考)直线l 是圆x 2＋y 2＝4在(－1，3)处的切线，点P 是圆x 2－4x ＋y 2＋3＝0上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于( D )A.1B. 2C.3D.2【试题解答】 圆x 2＋y 2＝4在点(－1，3)处的切线为l ：－x ＋3y ＝4，即l ：x －3y ＋4＝0，点P 是圆(x －2)2＋y 2＝1上的动点，圆心(2,0)到直线l 的距离d ＝|2－0＋4|1＋3＝3，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于d －1＝3－1＝2，故选D.4.(2020·河南新乡模拟)P 为椭圆x 2100＋y 291＝1上的一个动点，M ，N 分别为圆C ：(x －3)2＋y 2＝1与圆D ：(x ＋3)2＋y 2＝r 2(0＜r ＜5)上的动点，若|PM |＋|PN |的最小值为17，则r ＝( B )A.1B.2C.3D.4【试题解答】 因为C (3,0)，D (－3,0)恰好为椭圆的两个焦点，所以|PM |＋|PN |≥|PC |＋|PD |－1－r ＝2a －1－r .因为a 2＝100，所以a ＝10，所以20－1－r ＝17，则r ＝2.故选B.5.(2020·陕西百校联盟联考)已知椭圆C ：x 28＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，且MA →＝AN →，若|OA |＝|AF 2|，则直线l 的斜率为( B )A.±1B.±12C.±13D.±14【试题解答】 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 218＋y 212＝1，x 228＋y222＝1两式相减可得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)8＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)2＝0，则k OA ·k MN ＝－14；因为|OA |＝|AF 2|，故k OA ＝－k MN ，解得是k MN ＝±12，故直线l 的斜率为±12.6.(2019·高考天津卷)已知抛物线y 2＝4x的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( D )A.2B. 3C.2D. 5【试题解答】 抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1， 双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，则有A (－1，b a )，B (－1，－ba )，∴|AB |＝2b a ，2ba＝4，b ＝2a ， ∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝ 5.故选D.7.(2019·湖北省武汉市调研)已知A ，B 为抛物线y 2＝4x 上两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则|AB |的最小值为( C )A.42B.2 2C.8D.8 2【试题解答】 设OA 方程为y ＝kx (k >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y 2＝4x ，得A (4k 2，4k )，用1－k 代换k 得B (4k 2，－4k )，∴|AB |＝4(k 2－1k 2)2＋(k ＋1k)2＝4(k 2＋1k 2＋12)2－94≥8.当且仅当k ＝1时取等号，故选C.秒杀法：由图形对称性可知|AB |最小时Δ方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y 2＝4x ，得A (4,4)，故此时|AB |＝8.8.(2019·高考北京卷)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图).给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( C ) A.① B.② C.①②D.①②③【试题解答】 从结论“不超过”“小于”入手，利用基本不等式进行放缩，再利用图形估算面积. ∵x 2＋y 2＝1＋|x |y ≤1＋|x ||y |≤1＋x 2＋y 22， ∴x 2＋y 2≤2.①x 可能取得的整数值为±1,0，代入曲线C 的方程得整点坐标为(1,1)，(1,0)，(－1,1)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)，故①正确；②设曲线C 上任意一点到原点的距离为d ， 则d 2＝x 2＋y 2≤2， ∴d ≤2，故②正确；③由图知，图形在第一象限的面积S 1>1，图形在第四象限的面积S 4>12，由对称性得，“心形”区域面积S >(1＋12)×2＝3，故③错误，综上可知选C.二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.(2020·山东滨州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则能使双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1的是( ABC )A.离心率为54B.双曲线过点(5，94)C.渐近线方程为3x ±4y ＝0D.实轴长为4【试题解答】 ∵c ＝5，由e ＝c a ＝54知a ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝9，A 正确；∵双曲线过点P (5，94)，∴2a＝|PF 1|－|PF 2|＝414－94＝8，∴a ＝4，B 正确；由渐近线方程为3x ±4y ＝0知b a ＝34，又c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a ＝4，b ＝3，C 正确；若2a ＝4，则a ＝2，从而b 2＝c 2－a 2＝21，D 错，故选ABC.10.已知△ABC 为等腰直角三角形，若圆锥曲线E 以A ，B 焦点，并经过顶点C ，该圆锥曲线E 的离心率可以是( ABD )A.2－1B.22C.2D.2＋1【试题解答】 因为△ABC 为等腰直角三角形，其顶点为A ，B ，C ，圆锥曲线E 以A ，B 焦点，并经过顶点C ，所以(ⅰ)若该圆锥曲线是椭圆，当C ＝π2时，离心e ＝2c 2a ＝AB CA ＋CB ＝22，当C ＝π4时，离心率e＝AB CA ＋CB ＝12＋1＝2－1.(ⅱ)若该圆锥曲线是双曲线，根据双曲线的特征可得，则只有C ＝π4，此时，离心率e ＝2c 2a ＝AB |CA －CB |＝12－1＝2＋1，故答案为ABD.11.(2020·山东青岛一中期末)如图，A (2,0)，B (1,1)，C (－1,1)，D (－2,0)，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆经，三段弧构成曲线W ，则下述正确的是( BCD )A.曲线W 与x 轴围成的面积等于2πB.曲线W 上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)C.CB 所在圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1D.CB 与BA 的公切线方程为x ＋y ＝2＋1【试题解答】 作CM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，曲线W 与x 轴围成的面积为2＋π，A 错；W 上的整点D (－2,0)，C (－1,1)，H (0,2)，B (1,1)，A (2,0)，共5个，B 正确；显然C 正确；由图易知公切线l 平行直线MQ ：y ＝－x ＋1，且两直线间距离为1， 设l ：y ＝－x ＋b (b >0)，则|b －1|2＝－1，∴b ＝2＋1，∴l ：y ＝－x ＋2＋1，D 正确；故选BCD.12.(2020·山东日照联考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则( ACD )A.以线段AB 为直径的圆与直线x ＝－32相离B.以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C.当AF →＝2FB →时，|AB |＝92D.|AB |的最小值为4【试题解答】 对于选项A ，点M 到准线x ＝－1的距离为12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，于是以线段AB 为直径的圆与直线x ＝－1一定相切，进而与直线x ＝－32一定相离；对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12|BM |不一定相等，因此命题错误；对于选项C ，D ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 方程为x ＝my ＋1，联立直线与抛物线方程可得，y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝1，若设A (4a 2,4a )，则B (14a 2，－1a )，于是|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4a 2＋14a 2＋2，|AB |最小值为4；当AF →＝2FB →可得y 1＝－2y 2，即4a ＝－2(－1a )，所以a 2＝12，|AB |＝92，故答案为ACD. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2020·3月份北京市高考适应性考试)抛物线y 2＝4x 上到其焦点的距离为1的点的个数为__1__. 【试题解答】 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋y 2＝1y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0. ∴抛物线y 2＝4x 上到其焦点距离为1的点只有1个.14.(2019·江西师大附中模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为62. 【试题解答】 圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，由题意可知圆心C (3,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为3，即3b a 2＋b2＝3b c ＝3，∴b 2c 2＝1－a 2c 2＝13，∴e ＝c a ＝62.15.(2020·安徽1号卷A10联前盟联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 、N 在抛物线上，且M 、N 、F 三点共线，点P 在准线l 上，若PN →＝NM →，则p |MF |＝ 23.【试题解答】 分别过点M ，N 作准线的垂线，垂足分别为M 1，N 1，则|MM 1|＝|MF |·|NN 1|＝|NF |，∴|PN ||PM |＝|NN 1||MM 1|＝|NF ||MF |＝12设|NF |＝m ，则|MF |＝2m ，从而|PN |＝3m ， ∴m p ＝3m 4m ＝34，则m ＝34p ， ∴p |MF |＝p 2m ＝23. 16.(2020·山东日照联考)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 3－1 ；双曲线N 的离心率为__2__.【试题解答】 由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ＋3c ，再根据椭圆定义得c ＋3c ＝2a ，所以椭圆M 的离心率为c a ＝21＋3＝3－1.双曲线N 的渐近线方程为y ＝±nm x ，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为π3，∴n 2m 2＝tan 2π3＝3，∴c 2＝m 2＋n 2m 2＝m 2＋3m 2m 2＝4，∴e ＝2.四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分) (2020·3月份北京市高考适应性考试)已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为A (0,1)，B (0，－1)，焦距为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线y ＝m 与椭圆C 有两个不同的交点M 、N ，设D 为直线AN 上一点，且直线BD ，BM 的斜率的积为－14.证明：点D 在x 轴上.【试题解答】 (1)由题意知c ＝3，b ＝1，且焦点在x 轴上， ∴a 2＝b 2＋c 2＝4所以椭圆C 的方程为：x 24＋y 2＝1.(2)由题意可设M (－x 0，m )，N (x 0，m )，－1＜m ＜1，则x 20＝4(1－m 2) ①因为点D 为直线AN 上一点，所以AD →＝λAN →＝λ(x 0，m －1)， 所以OD →＝λAN →＋OA →＝(λx 0，λ(m －1)＋1)， 所以K BD ·K BM ＝λ(m －1)＋2λx 0·m ＋1－x 0＝－14，整理得4λ(m 2－1)＋8(m ＋1)＝λx 20. 将①代入整理得(m ＋1)[λ(m －1)＋1]＝0， ∵m ＋1≠0，∴λ(m －1)＋1＝0，即y D ＝0， 所以点D 在x 轴上.18.(本小题满分12分)(2019·天津高考卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率.【试题解答】 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4， c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2， 可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M,0). 设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0,2)， 则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2， 与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k4＋5k 2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k 2，进而直线OP 的斜率y P x P ＝4－5k 2－10k .在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·(－k2)＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.19.(本小题满分12分)(2019·湖南省五市十校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y －2＝0相切.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，过定点P (2,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：∠PFM ＝∠PFB .【试题解答】 (1)依题意可设圆C 方程为x 2＋y 2＝b 2， ∵圆C 与直线x －y ＋2＝0相切， ∴b ＝|2|12＋12＝1，∴a 2－c 2＝1， 又c a ＝22，解得a ＝2， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)依题意可知直线l 斜率存在， 设l 方程为y ＝k (x －2)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0， ∵l 与椭圆有两个交点，∴Δ>0，即2k 2－1＜0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AF ，BF 的斜率分别为k 1，k 2， 则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.∵F (1,0)，∴k 1＋k 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1＝k (x 1－2)x 1－1＋k (x 2－2)x 2－1＝2k －k (1x 1－1＋1x 2－1) ＝2k －k (x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1)＝2k －k 8k 21＋2k 2－28k 2－21＋2k 2－8k 21＋2k 2＋1＝2k －k 4k 2－22k 2－1＝0，即∠PFM ＝∠PFB .20.(本小题满分12分)(2019·大连模拟)已知直线y ＝2x 与抛物线Γ：y 2＝2px (p >0)交于O 和E 两点，且|OE |＝ 5.(1)求抛物线Γ的方程；(2)过点Q (2,0)的直线交抛物线Γ于A ，B 两点，P 为直线x ＝－2上一点，P A ，PB 分别与x 轴相交于M ，N 两点，问M ，N 两点的横坐标的乘积x M ·x N 是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.【试题解答】 (1)由y 2＝2px 与y ＝2x ，解得交点O (0,0)，E (p2，p )，∴|OE |＝(p2)2＋p 2＝5，得p ＝2，∴抛物线Γ的方程为y 2＝4x .(2)设直线AB 的方程为x ＝ty ＋2，代入y 2＝4x 中， 则y 2－4ty －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，①y 1·y 2＝－8.②设P (－2，y 0)，则直线P A 的方程为y －y 0＝y 1－y 0x 1＋2(x ＋2)，令y ＝0，得(y 0－y 1)x M ＝y 0x 1＋2y 1，③ 同理可得(y 0－y 2)x N ＝y 0x 2＋2y 2，④由③×④得(y 0－y 1)(y 0－y 2)x M ·x N ＝(y 0x 1＋2y 1)(y 0x 2＋2y 2)，即[y 20－(y 1＋y 2)y 0＋y 1y 2]x M ·x N ＝y 20x 1x 2＋2y 0(y 1x 2＋y 2x 1)＋4y 1y 2＝y 20×y 21y 224×4＋2y 0(y 1×y 224＋y 2×y 214)＋4y 1y 2＝y 20×116y 21y 22＋y 0y 1y 2×y 1＋y 22＋4y 1y 2， 由①②可得(y 20－4ty 0－8)x M ·x N ＝4(y 20－4ty 0－8)，当点P 不在直线AB 上时，y 20－4ty 0－8≠0，∴x M ·x N ＝4； 当点P 在直线AB 上时，x M ＝x N ＝x Q ＝2，∴x M ·x N ＝4.综上，x M ·x N 为定值，且定值为4.21.(2020·湖北宜昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，P (1，22)为椭圆上一点，且|PF 1|＝322. (1)求椭圆的标准方程；(2)设直线l ：x ＝－2，过点F 2的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M 、N 两点，当∠MAN 最小时，求直线AB 的方程.【试题解答】 (1)设F 1(－c,0)(c >0)， 则|PF 1|＝(1＋c )2＋12＝322⇒c ＝1，∴|PF 2|＝22， 则由椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝22， ∴a ＝2，b ＝1，故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意直线AB 的斜率必定不为零，于是可设直线AB ：x ＝ty ＋1， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1x 22＋y 2＝1得(t 2＋2)y 2＋2ty －1＝0，∵直线AB 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴Δ＝4t 2＋4(t 2＋2)＝8(t 2＋1)>0，由韦达定理y 1＋y 2＝－2t t 2＋2，y 1y 2＝－1t 2＋2，则y N ＝－tt 2＋2，∴x N ＝ty N ＋1＝－t 2t 2＋2＋1＝2t 2＋2，∵MN ⊥AB ，∴k MN ＝－t ， ∴|MN |＝1＋t 2·|－2－2t 2＋2|＝1＋t 2·2t 2＋6t 2＋2又|AN |＝12|AB |＝121＋t 2·|y 1－y 2|＝1＋t 2·21＋t 2t 2＋2∴tan ∠MAN ＝|MN ||AN |＝2(t 2＋3)t 2＋1＝2(t 2＋1＋2t 2＋1)≥2·22＝4， 当且仅当t 2＋1＝2t 2＋1即t ＝±1时取等号. 此时直线AB 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.22.(本小题满分12分)(2020·宁夏银川一中月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆经过点P (6，－1)，且△PF 1F 2的面积为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设斜率为1的直线l 与以原点为圆心，半径为2的圆交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且|CD |＝λ|AB |(λ∈R )，当λ取得最小值时，求直线l 的方程.【试题解答】 (1)由△PF 1F 2的面积可得12·2c ·1＝2，即c ＝2，∴a 2－b 2＝4.① 又椭圆C 过点P (6，－1)， ∴6a 2＋1b2＝1.② 由①②解得a ＝22，b ＝2， 由椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 则原点到直线l 的距离d ＝|m |2， 由弦长公式可得|AB |＝22－m 22＝8－2m 2，将y ＝x ＋m 代入椭圆方程x 28＋y 24＝1，得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，由判别式Δ＝16m 2－12(2m 2－8)>0， 解得－23＜m ＜23，由直线和圆相交的条件可得d ＜r ， 即|m |2＜2，也即－2＜m ＜2， 综上可得m 的取值范围是(－2,2)， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－83， 由弦长公式，得|CD |＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·16m 29－8m 2－323＝4312－m 2. 由|CD |＝λ|AB |，得λ＝|CD ||AB |＝4312－m 28－2m 2＝2231＋84－m 2. ∵－2＜m ＜2，∴0＜4－m 2≤4， 则当m ＝0时，λ取得最小值263， 此时直线l 的方程为y ＝x .。
高三数学第一轮复习章节测试8-6 北师大版
第8章第6节一、选择题1．已知A2,5，－6，点，，在坐标平面O内的射影为M1，M1在坐标平面O内的射影为M2，M2在坐标平面O内的射影的坐标为A．－，－，－B．，，C．0,0,0[答案] C[解析] 点M，，在平面O内的射影为M1，,0，M1在平面O内的射影为M20，,0，M2在平面O 内的射影为原点O0,0,0．6．△ABC三个顶点的坐标为A1，－2,11，B4,2,3，C6，－1,4，则△ABC的形状为A．正三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形[答案] C[解析] 由空间两点间距离公式得|AB|＝错误!；|AC|＝错误!；|BC|＝错误!∴AC2＋BC2＝7．已知点A1,2，－1，点C与点A关于O面对称，点B与点A关于轴对称，则|BC|的值为A．2错误!B．4C．2错误!D．2错误![答案] B[解析] 点C的坐标为1,2,1，点B的坐标为1，－2,1，所以|BC|＝错误!＝48．已知A1,0,2，B1，－3,1，点M在轴上，且到A、B两点间的距离相等，则M的坐标为A．－3,0,0 B．0，－3,0C．0,0，－3 D．0,0,3[答案] C[解析] 设点M的坐标为0,0，，则12＋02＋2－2＝12＋32＋1－2，∴＝－3，∴点M的坐标为0,0，－3．二、填空题9．在轴上与点A－4,1,7和点B3,5，－2等距离的点C的坐标为________．[答案] 0,0，错误![解析] 设轴上的点C0,0，，则根据题意有：错误!＝错误!，∴＝错误!10．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是________．[答案] 1,,1[解析] 因为|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，∴A2,0,0，A12,0,2，B2,3,0，B12,3,2．由条件知M为OB1的中点，所以M点的坐标为1,,1．11．已知两点M3coα，3inα，1，N2coβ，2inβ，1，则|错误!|≤5三、解答题12．在空间直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A－1,2,3，B2，－2,3，C错误!求证：△ABC为直角三角形．[解析] ∵|AB|＝错误!＝5，|AC|＝错误!＝错误!，|BC|＝错误!＝错误!，∴|AB|2＝25，|BC|2＝错误!，|AC|2＝错误!，∴|BC|2＋|AC|2＝错误!＋错误!＝25，∴|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，即△ABC为直角三角形．13．设点P在轴上，它到P10，错误!，3的距离为到点P20,1，－1的距离的2倍，求点P坐标．[解析] ∵P在轴上，∴设P点坐标为,0,0，∵|PP1|＝2|PP2|，∴错误!＝2错误!∴＝±1，∴P点为1,0,0和－1,0,0．14．如图所示，在棱长为2的正方体OABC－O1A1B1C1的对角线O1B上有一点P，棱B1C1上有一点Q1当Q为B1C1的中点，点P在对角线O1B上运动时，试求|PQ|的最小值；2当Q在B1C1上运动，点P在O1B上运动时，试求|PQ|的最小值．[解析] 1Q为B1C1的中点，所以Q1,2,2，P在O坐标平面上的射影落在线段OB上，在O坐标平面上的射影落在线段O1C上，∴P的坐标，，满足错误!，设P＝，,2－，则|PQ|＝错误!＝错误!＝错误!当且仅当＝1，即P1,1,1时，|PQ|有最小值错误!2由1和题意得，设P1，1,2－1，Q2,2,2，则|PQ|＝错误!＝错误!当且仅当错误!，即错误!时，|PQ|有最小值，|PQ|的最小值为错误!15．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC中点，点A错误!，点D在平面O上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°1求点D的坐标；2求三棱锥D—ABC的体积．[解析] 1∵∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2∴CD＝BCco30°＝错误!，作DE⊥BC，∴DE⊥平面ABC，则DE＝错误!＝错误!，CE＝DCco30°＝错误!又O是BC的中点，∴OE＝错误!∴D错误!2∵A错误!，即点A到BC的距离为错误!，∴S△ABC＝错误!×BC×错误!＝错误!∴三棱锥D—ABC的体积为V＝错误!S△ABC·DE＝错误!×错误!×错误!＝错误!。
2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试8-3 北师大版
2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试8-3 北师大版一、选择题1．下列命题中：(1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两平面平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行．其中正确的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] (2)(3)(4)正确．2．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．20 [答案] B[解析] 根据题意可出现以下如图两种情况可求出BD 的长分别为245或24. 3．已知两条直线m 、n ，两个平面α、β.给出下面四个命题：①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α∥β，m α，n β⇒m ∥n ；③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β. 其中正确命题的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③[答案] C[解析] 两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故①正确；两平面平行，分别在这两平面内的两直线可能平行，也可能异面，故②错；m ∥n ，m ∥α时，n ∥α或n α，故③错；由α∥β，m ⊥α得m ⊥β，由m ⊥β，n ∥m 得n ⊥β，故④正确．4．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外的一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，则四边形EFBC是( )A．空间四边形 B．平行四边形C．梯形D．以上都有可能[答案] C[解析] ∵BC綊AD，由线面平行性质定理知BC∥EF，又EF<AD，∴四边形BCEF为梯形．5．已知两条互不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；③若m ⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[分析] 本题考查线面的位置关系．虽然是一道单选题，但更似一道多选题，对所述四个命题的判断有一个出错就不可能产生正确结果．[答案] B[解析] 命题①是正确的；命题②不正确，很容易找到反例；命题③也不正确，可以构造出α∥β的情形；命题④也不正确，可以构造出α⊥β的情形．6．(xx·浙江理)设m，l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m[答案] B[解析] 两平行线中一条垂直于一个平面，另一条边垂直于这个平面，故选B. 7．(xx·江西)如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°[答案] C[解析] ∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，PQ∥平面DAC.又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，PQ⊂平面ABC，∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD.故选项A、B、D正确，C错误．8．如图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为( )A．K B．H C．G D．B′[答案] C[解析] 如图所示，若取K点为P点，连接FK，则FK∥CC′.故CC′∥面KEF而其他侧棱AA′、BB′均与CC′平行．故此时与面PEF平行的有3条棱．若取H点为P点，可以得面HEF∥面ABC∥面A′B′C′，则与面PEF平行的棱有上下底面中的6条棱；若取G点为P点，AB∥EF，A′B′∥EF，故只有棱AB，A′B′与面PEF平行；若取B′点为P点，AB∥EF，只有棱AB与面PEF平行．二、填空题9．在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．[答案] 平面ABC与平面ABD[解析] 连BN延长交CD于点E，连AM并延长也与CD交于E点(因为E为CD中点)，又EMAM＝ENBN＝12，故MN∥AB.10．已知平面α∩β＝m，直线n∥α，n∥β，则直线m、n的位置关系是________．[答案] m∥n[解析] 在α内取点A∉m，则点A与n确定一平面θ，且θ∩α＝a.同理可作平面γ且γ∩β＝b.∵n∥α，n∥β，∴n∥a，n∥b.∴a∥b.∵a⃘β，bβ，∴a∥β.∵aα，α∩β＝m，∴a∥m，∴n∥m.11．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号)．[答案] ①③[解析] 如图①，∵MN∥AD，NP∥AC，∴平面MNP∥平面ADBC，∴AB∥平面MNP.如图②，假设AB∥平面MNP，设BD∩MP＝Q，则NQ为平面ABD与平面MNP的交线，∴AB∥NQ，∵N为AD的中点，∴Q为BD的中点，但由M、P分别为棱的中点知，Q为BD的14分点，矛盾，∴AB∥\ 平面MNP.如图③，∵BD綊AC，∴四边形ABDC为平行四边形，∴AB∥CD，又∵M、P为棱的中点，∴MP∥CD，∴AB∥MP，从而可得AB∥平面MNP.如图④，假设AB∥平面MNP，并设直线AC∩平面MNP＝D，则有AB∥MD，∵M为BC中点，∴D 为AC中点，这样平面MND∥平面AB，显然与题设条件不符，∴AB∥\ 平面MNP.三、解答题12．(xx·天津和平模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1，底面为边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?[解析] 方法一：如图，取AE的中点O，连接OF，过O作OM⊥AC于点M.因为侧棱A1A⊥底面ABC，所以侧面A1ACC1⊥底面ABC.所以OM⊥底面ABC.又因为EC ＝2FB ＝2，所以OM ∥FB 綊12EC. 所以四边形OMBF 为矩形．故BM ∥平面AEF ，…此时点M 为AC 的中点．方法二：如图，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ 、PB 、BQ.因为EC ＝2FB ＝2，所以PE 綊BF ，所以PQ ∥AE 、PB ∥EF.故平面PBQ ∥平面AEF ，所以BQ ∥平面AEF ，故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．13．已知正方体ABCD －A1B1C1D1，AA1＝2，E 为棱CC1的中点．求证：(1)B1D1⊥AE ；(2)AC ∥平面B1DE.[证明] (1)连接BD ，则BD ∥B1D1，∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD.∵CE ⊥平面ABCD ，∴CE ⊥BD.又AC∩CE＝C ，∴BD ⊥平面ACE.∵AE ⊂平面ACE ，∴BD ⊥AE.∴B1D1⊥AE.(2)取BB1的中点F ，连接AF 、CF 、EF.∵E 、F 是CC1、BB1的中点，∴CE 綊B1F.∴四边形B1FCE 是平行四边形．∴CF ∥B1E.∵E 、F 是CC1、BB1的中点，∴EF 綊BC.又BC 綊AD ，∴EF 綊AD.∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AF ∥ED.∵AF∩CF＝F ，B1E∩ED＝E ，∴平面ACF ∥平面B1DE.又AC ⊂平面ACF ，∴AC ∥平面B1DE.14．(xx·陕西文)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)求三棱锥E －ABC 的体积V.[解析] 本题考查线面平行的判定，三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，推理论证能力．(1)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD，又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，则EG⊥平面ABCD，且EG＝12 PA.在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，∴AP＝AB＝2，EG＝22，∴S△ABC＝12AB·BC＝12×2×2＝2，∴VE—ABC＝13S△ABC·EG＝13×2×22＝13.15．(文)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱BB1和DD1中点．(1)求证：平面FB1C1∥平面ADE；(2)试在棱DC上求一点M，使D1M⊥平面ADE；[解析] (1)可证AD∥平面FB1C，AE∥平面FB1C1∵AD∩AE＝A，AD，AE平面ADE∴平面ADE∥平面FB1C1.(2)M应是DC的中点，此时∵B1C1⊥平面DD1C1C，D1M平面DD1C1C，∴B1C1⊥D1M由平面几何知识FC1⊥D1MFC1∩B1C1＝C1，FC1，B1C1平面FB1C1∴D1M⊥平面FB1C1，又由(1)知平面ADE∥平面FB1C1∴D1M⊥平面ADE.(理)已知四边形ABCD是等腰梯形，AB＝3，DC＝1，∠BAD＝45°，DE⊥AB(如图1)．现将△ADE 沿DE折起，使得AE⊥EB(如图2)，连接AC，AB，设M是AB的中点．(1)求证：BC⊥平面AEC；(2)判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由．[解析] (1)在图1中，过C作CF⊥EB于F，∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形，∵CD＝1，EF＝1.∴四边形ABCD是等腰梯形，AB＝3.∴AE＝BF＝1.∵∠BAD＝45°，∴DE＝CF＝1.连接CE，则CE＝CB＝ 2.∵EB＝2，∴∠BCE＝90°.则BC⊥CE.在图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED＝E，∴AE⊥平面BCDE.∵BC平面BCDE，∴AE⊥BC.∵AE∩CE＝E，∴BC⊥平面AEC.(2)用反证法．假设EM∥平面ACD.∵EB∥CD，CD平面ACD，E B⃘平面ACD，∴EB∥平面ACD.∵EB∩EM＝E，∴平面AEB∥平面ACD.而A∈平面AEB，A∈平面ACD，与平面AEB∥平面ACD矛盾．∵假设不成立．∴EM与平面ACD不平行． S 32125 7D7D 絽30423 76D7 盗A22917 5985 妅H`)27744 6C60 池28553 6F89 澉34526 86DE 蛞h32571 7F3B 缻。
高三数学一轮复习 第八章第8课时知能演练轻松闯关 新人教版
1．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y25－x24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A ．x 2＝4yB ．x 2＝－4yC ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y解析：选D.由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y ，故选D.2．(2011·高考课标全国卷)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．48解析：选C.不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上． (1)求抛物线C 的标准方程；(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程．解：(1)设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，因为点A (2,2)在抛物线C 上，所以p ＝1，因此，抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)得焦点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此，所求直线的方程是x ＋y －12＝0.一、选择题1．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：选D.由已知得椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为F (2,0)，∴p2＝2，得p ＝4.2．(2010·高考湖南卷)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12解析：选B.y 2＝8x 的焦点是F (2,0)， 准线x ＝－2，如图所示，|PA |＝4，|AB |＝2，∴|PB |＝|PF |＝6.故选B.3．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x 解析：选D.因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)， 则p2＝2，所以p ＝22， 所以抛物线方程为y 2＝±42x .4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是( )A.125B.19C.15D.13解析：选B.根据抛物线定义可得，抛物线的准线方程为x ＝－4，则抛物线方程为y 2＝16x . 把M (1，m )代入得m ＝4，即M (1,4)．在双曲线x 2a －y 2＝1中，A (－a ，0)，则k AM ＝41＋a ＝1a .解得a ＝19.5．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( ) A ．(1,0) B ．(2,2) C ．(3,2) D ．(2,4) 解析：选C.依题意得，抛物线C 的方程是y2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝x －1消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)，因此选C. 二、填空题6．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝________.解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3. 答案：37．(2012·开封质检)已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点为F ，准线l 与对称轴交于R 点，过已知抛物线上一点P (1,2)作PQ ⊥l 于Q ，则(1)抛物线的焦点坐标是________；(2)梯形PQRF 的面积是________．解析：代入(1,2)得a ＝2，所以抛物线方程为x 2＝12y ，故焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.又R ⎝⎛⎭⎪⎫0，－18，|FR |＝14，|PQ |＝2＋18＝178， 所以梯形的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋178×1＝1916.答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 (2)1916 8．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面的宽度为8米，当水面上升12米后，水面的宽度是________米．解析：设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，将(4，－2)代入方程得16＝－2p ·(－2)，解得2p ＝8，故方程为x 2＝－8y ，水面上升12米，则y ＝－32，代入方程，得x 2＝－8·(－32)＝12，x ＝±2 3.故水面宽4 3 米．答案：4 3 三、解答题9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32，6)，求抛物线与双曲线的方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， ∴p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4c ·x ，∵抛物线过点(32，6)，∴6＝4c ·32，∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(32，6)，∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1， ∴94a 2－61－a2＝1. ∴a 2＝14或a 2＝9(舍)．∴b 2＝34，故双曲线方程为：4x 2－4y 23＝1.10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M . (1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k FA ＝43，∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34.又FA 的方程为y ＝43(x －1)，故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. 11．已知直线AB 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，OD ⊥AB 于点D ，点D 的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．解：由题意得k OD ＝12，∵AB ⊥OD ，∴k AB ＝－2， 又直线AB 过点D (2,1)，∴直线AB 的方程为y ＝－2x ＋5， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵以AB 为直径的圆过点O ，∴O A →·O B →＝0， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋5y 2＝2px得4x 2－(2p ＋20)x ＋25＝0，∴x 1＋x 2＝p ＋102，x 1x 2＝254，∴y 1y 2＝(－2x 1＋5)(－2x 2＋5) ＝4x 1x 2－10(x 1＋x 2)＋25 ＝25－5p －50＋25＝－5p ， ∴254＋(－5p )＝0， ∴p ＝54，∴抛物线方程为y 2＝52x .。
高三数学一轮复习 第八章第1课时知能演练轻松闯关 新人教版
1．(2010·高考安徽卷)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0解析：选A.与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为：x －2y ＋c ＝0，将点(1,0)代入x －2y ＋c ＝0，解得：c ＝－1，故直线方程为x －2y －1＝0.2．直线x ＋a 2y －a ＝0(a ＞0，a 是常数)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值是( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．0解析：选A.方程可化为x a ＋y 1a＝1，因为a ＞0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号．3．直线l 经过点A (2,1)，B (1，m 2)两点(m ∈R)．则直线l 的倾斜角的取值范围为________．解析：直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π4．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)且与经过点(－2,1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为________．解析：由于直线l 与经过点(－2,1)且斜率为－23的直线垂直，可知a －2≠－a －2，即a ≠0，∵k l ＝1－－1－a －2－a －2＝－1a ，∴－1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，得a ＝－23.答案：－23一、选择题1．(2012·洛阳调研)已知直线l 1：y ＝x ，若直线l 2⊥l 1，则直线l 2的倾斜角为( ) A.π4 B ．k π＋π4(k ∈Z) C.3π4 D ．k π＋3π4(k ∈Z) 解析：选C.根据l 2⊥l 1，且l 1的斜率为1，可得l 2的斜率为－1，因此直线l 2的倾斜角为34π.2．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的BC 边上的高所在直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＝0解析：选B.∵B (3,1)，C (1,3)，∴k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A ，所以其直线方程为x －y ＋2＝0. 3．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32B.32 C ．3 D. －3解析：选A.过两点(－1,1)和(0,3)的直线方程为y －13－1＝x －－10－－1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，即为所求．4．(2012·大同质检)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R)的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析：选B.斜率k ＝－1a 2＋1，故k ∈[－1,0)，由正切函数图象知倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 5．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C.由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－CA >0，在y 轴上的截距－C B>0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限． 二、填空题6．已知直线的倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5，则该直线的方程为________．解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k ＝t an60°＝3，又因为直线在y 轴上的截距是5，由斜截式得直线的方程为y ＝3x ＋5. 答案：y ＝3x ＋57．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：∵直线的斜率k ＝a －1a ＋2，且直线的倾斜角为钝角，∴a －1a ＋2＜0，解得－2＜a ＜1. 答案：(－2,1)8．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于________． 解析：AB 所在直线方程为x 3＋y4＝1，∴x 3·y 4≤14(x 3＋y 4)2＝14， ∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y4时取等号．答案：3 三、解答题9．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程． 解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x－y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1.10．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴、y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得|(3k ＋4)(－4k－3)|＝6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.所以直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 11．已知直线l 过点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0分别交于点A ，B (如图)．若线段AB 被点P 平分，求直线l 的方程．解：∵点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上， 故可设点B 的坐标为(a,8－2a )． ∵P (0,1)是线段AB 的中点， 得点A 的坐标为(－a,2a －6)．又∵点A 在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， 故将A (－a,2a －6)代入直线l 1的方程，得 －a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4. ∴点B 的坐标是(4,0)．因此，过P (0,1)，B (4,0)的直线l 的方程为x 4＋y1＝1，即x ＋4y －4＝0.。
高三数学一轮复习 第八章第5课时知能演练轻松闯关 新人教版
1．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．解析：由题意得：动圆圆心的轨迹是以点(1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，故其抛物线方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x2．自圆外一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线PM 和PN ，若∠MPN ＝π2，则动点P 的轨迹方程是________．解析：依题意，OMPN 是正方形，∴OP 2＝(2OM )2＝2，即x 2＋y 2＝2.答案：x 2＋y 2＝23．已知点A (－2,0)，B (2,0)，曲线C 上的动点P 满足AP →·BP →＝－3. (1)求曲线C 的方程；(2)若过定点M (0，－2)的直线l 与曲线C 有交点，求直线l 的斜率k 的取值范围． 解：(1)设P (x ，y )， 由AP →·BP →＝(x ＋2，y )·(x －2，y )＝x 2－4＋y 2＝－3，得P 点轨迹(即曲线C )的方程为x 2＋y 2＝1. (2)可设直线l 的方程为y ＝kx －2， 其一般方程为：kx －y －2＝0， 由直线l 与曲线C 有交点，得 |0－0－2|k 2＋1≤1，解得k ≤－3或k ≥3， 即所求k 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．一、选择题1．(2012·无锡调研)下列各点在方程x 2－xy ＋2y ＋1＝0表示的曲线上的是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(1，－1) D ．(1，－2)解析：选D.验证法，点(0,0)显然不满足方程x 2－xy ＋2y ＋1＝0，当x ＝1时，方程变为1－y ＋2y ＋1＝0，解得y ＝－2， ∴(1，－2)点在曲线上．故选D.2．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：选B.|MN →|＝4，|MP →|＝x ＋22＋y 2， MN →·NP →＝4(x －2)， ∴4x ＋22＋y 2＋4(x －2)＝0，∴y 2＝－8x .3．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( )解析：选C.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，或x ＋y ＋1＝0.它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．4．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线解析：选A.设C (x ，y )， 则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．5．(2012·兰州质检)一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一个定点，点A 是圆周上一动点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后展开纸片，折痕CD 与OA 交于点P ，当点A 运动时，点P 的轨迹为( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆解析：选A.∵折痕所在的直线是AQ 的垂直平分线，∴|PA |＝|PQ |.又∵|PA |＋|OP |＝r ，∴|PQ |＋|OP |＝r >|OQ |.由椭圆的定义知点P 的轨迹是椭圆． 二、填空题6．设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________．解析：设M (x ，y )，则P (2x,2y )，代入双曲线方程得x 2－4y 2＝1，即为所求．答案：x 2－4y 2＝17．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为________．解析：在Rt △AOP 中(O 为坐标原点)，∵∠APB ＝60°， ∴∠APO ＝30°，∴PO ＝2OA ＝2，动点P 的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，方程为x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝48．(2012·大同调研)直线x a ＋y2－a＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是________．解析：设直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 轴的交点分别为A (a,0)，B (0,2－a )，AB 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1) 三、解答题9．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，求点P 的轨迹方程．解：∵RA →＝AP →，∴R ，A ，P 三点共线，且A 为RP 的中点，设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，则由RA →＝AP →，得(1－x 1，－y 1)＝(x －1，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝x －1－y 1＝y ，即x 1＝2－x ，y 1＝－y ，将其代入直线y ＝2x －4中，得y ＝2x ，∴点P 的轨迹方程为y ＝2x .10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点是F 1(－c,0)，F 2(c,0)，Q 是椭圆外的动点，满足|F 1Q |＝2a ，点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足PT →·TF 2→＝0，|TF 2→|≠0. (1)设x 为点P 的横坐标，证明|F 1P |＝a ＋cax ； (2)求点T 的轨迹C 的方程．解：(1)证明：设P (x ，y )，则|F 1P |2＝(x ＋c )2＋y 2＝(x ＋c )2＋b 2－b 2a2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c a x 2. ∵x ≥－a ，∴a ＋ca x ≥a －c >0，∴|F 1P |＝a ＋cax .(2)设T (x ，y )．当|PT →|≠0时， ∵PT →·TF 2→＝0， ∴PT ⊥TF 2.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝|PF 1|＋|PQ |， ∴|PQ |＝|PF 2|，∴T 为线段F 2Q 的中点．在△QF 1F 2中，|OT |＝12|F 1Q |＝a ，即x 2＋y 2＝a 2. 当|PT →|＝0时，点(－a,0)和(a,0)在轨迹上．综上所述，点T 的轨迹C 的方程是x 2＋y 2＝a 2.11．设椭圆方程为x 2＋y 24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，点P 满足OP →＝12(OA →＋OB →)，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，当直线l 绕点M 旋转时，求：(1)动点P 的轨迹方程；(2)|NP →|的最大值，最小值．解：(1)直线l 过定点M (0,1)，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，A 、B 的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1.消去y 得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0.则Δ＝4k 2＋12(4＋k 2)>0.∴x 1＋x 2＝－2k 4＋k 2，x 1x 2＝－34＋k2.设P (x ，y )是中点，则OP →＝12(OA →＋OB →)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 1＋x 2，y ＝12y 1＋y 2＝12kx 1＋1＋kx 2＋1，消去k 得4x 2＋y 2－y ＝0.当斜率k 不存在时，AB 的中点是坐标原点， 也满足这个方程，故P 点的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0.(2)由(1)知4x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14，∴－14≤x ≤14.而|NP →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1－16x 24＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋162＋712，∴当x ＝－16时，|NP →|取得最大值216，当x ＝14时，|NP →|取得最小值14.。
高三数学上学期一轮复习测试(8) 理 人教新课标
数学（理）单元验收试题（8）【新课标】说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。
1．若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b的最小值是（ ）A ．18B ．6C ．23D ．2432．不等式102x x -<+ 的解集是为（ ）A ．(1,)+∞B ．(,2)-∞-C ．（―2，1）D ．(,2)-∞-∪(1,)+∞3．设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论：①c a ＞c b；② c a ＜cb ； ③ log ()log ()b a ac b c ->-。
其中所有的正确结论的序号是（ ）A ．①B ．① ②C ．② ③ D．① ②③4．若a ＞b ＞1，P ＝b a lg lg ⋅，Q ＝21（lg a ＋lg b ），R ＝lg （2b a +），则（ ）A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q5．当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）A ．2B ．32C ．4D ．346．设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（ ）A ．)0,(-∞B ．),0(+∞C ．)3log ,(a -∞D ．),3(log +∞a7．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（ ）A ．2B ．23 C ．223 D ．28．目标函数y x z +=2，变量y x ,满足43035251x y x y x -+<⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则有（ ）A ．3,12min max ==z zB ．,12max =z z 无最小值C ．z z ,3min =无最大值D ．z 既无最大值，也无最小值9．对于满足0≤p≤4的所有实数p ，使不等式342-+>+p x px x 都成立的x 的取值范围（ ）A ．13-<>x x 或B ．13-≤≥x x 或C ．31<<-xD ．31≤≤-x10．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入减去总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为 （ ）A ．50，0B ．30，20C ．20，30D ．0，50 11．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a<b ），其全程的平均时速为v ，则（ ）A ．．C 2a b +D ．v=2a b+ 12．设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++（ ）A ．14 B ．13C ．12 D ．34第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。
2021年高三数学一轮复习 滚动测试八 理
2021年高三数学一轮复习滚动测试八理一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.设全集R，，，则（）A． B． C． D．2. 已知条件：，条件：，则是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3. 函数在上的图象大致为（）4.已知函数，则其图象的下列结论中，正确的是（）A．关于点中心对称 B．关于直线轴对称C．向左平移后得到奇函数 D．向左平移后得到偶函数5.已知，用，表示，则（）A．B．C．D．6.设则，，的大小关系是（）A． B．C．D．7. 已知等差数列的前项和为，且，则（）A． B． C．D．8. 在△中，内角，，的对边分别是，，，若，，则（）A． B． C． D．9.已知变量满足则的取值范围是（）A． B． C． D．10. 已知函数是R上的奇函数，若对于，都有，当时，，则的值为（）A．2 B．C．1 D．11.称为两个向量间的距离。
若满足：①；②；③对任意的恒有，则（）A. B． C． D．12.在中，，若,其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（）A. B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13. 已知，，向量与垂直，则实数的值为 ．14.已知向量，,若，则的最小值为 ．15.对大于l 的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:,,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧1917151343,……,仿此,若的“分裂数”中有一个是59,则的值为______.16. 给定方程：，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在内有且只有一个实数解；④若是该方程的实数解，则．则正确命题是 ．三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分）已知全集R ,非空集合,．(1)当时,求；(2)命题,命题,若是的必要条件，求实数的取值范围.18. （本小题满分12分）在△中，角、、的对边分别为、、． 已知，，．（1）求角的大小；（2）求△的面积．19. （本小题满分12分） 已知函数，R ．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．20. （本小题满分12分）某工厂共有10台机器,生产一种仪器元件,由于受生产能力和技术水平等因素限制,会产生一定数量的次品.根据经验知道,若每台机器产生的次品数(万件)与每台机器的日产量（万件）之间满足关系：．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每产生1万件次品将亏损1万元．(利润盈利亏损)（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润 (万元)表示为的函数；（2）当每台机器的日产量 (万件)写为多少时所获得的利润最大,最大利润为多少?21. （本小题满分12分）设数列的前项积．．．为,且 . (1)求证数列是等差数列；(2)设,求数列的前项和.22. （本小题满分14分）已知函数在点处的切线方程为．（1）求，的值；（2）对函数定义域内的任一个实数，恒成立，求实数的取值范围．参考答案1.解析：故．选D.2.解析：由，得或，所以：，所以是成立的必要不充分条件．选B.3.解析：由可知该函数为奇函数，故排除A、B；当时，，此时．选C4. 解析：对于A：，其对称中心的纵坐标应为0，故排除A；对于B：当时，y=0，既不是最大值1，也不是最小值，故可排除B；对于C：，向左平移后得到：为奇函数，正确；故选C．5.解析：．选C6.解析：，．∵函数为增函数，∴．选B7.解析：，故，解得．选A8.解析：由正弦定理得，，所以，所以．选A9.解析：根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示，即的边界及其内部，又因为，而表示可行域内一点和点连线的斜率，由图可知，根据原不等式组解得,所以，即，故．选B10.解析：由知，函数的周期为2，所以．选D11.解析：对任意的R，恒有，表明是所有中最短的一个，而垂线段最短，故有．选B12.解析：根据向量加法的平行四边形法则得动点的轨迹是以为邻边的平行四边形，其面积为的面积的2倍．在中，由余弦定理可得，代入数据解得，1126sin656622ABCS AB AC A∆=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，故动点的轨迹所覆盖的面积为．选D13.解析：，．∵向量与垂直，∴，即，解得．答案：14.解析：由题意知，∴，∴．答案：15.解析：由，，，，可以看出增加1，累加的奇数个数也增加1，不难计算59是第30个奇数，若它是的分裂，则1至的分裂中，累加的奇数一定不能超过30个，故可列出不等式进行求解，由且，解得．答案：8 16. 解析：由，得，令=，=，在同一坐标系中画出两函数的图像如图，由图像知：①错，③、④对，而由于=递增，值域为，=在到1之间，故在区间上，两者图像有无穷多个交点，所以②对，故选填②③④．答案：②③④17.解析：（1）．当时，，故，∴．（2）由是的必要条件，可知．由，得，∴解得或，即实数a的取值范围为.18.解：（1）∵，∴由，得，即，整理得，解得．∵，∴．（2）由余弦定理，得，∴，整理得．∴．19.解析：（1）∵，∴函数的最小正周期为．由，Z，得的单调递增区间为，Z．（2）函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，得到，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到．当时，，∴当时，；当时，．∴在区间上的值域为．20.解析：（1）由题意得，所获得的利润为：．（2）由（1）知：．令，可得或．从而当时，，函数在上为增函数；当时，，函数在上为减函数．∴当时，函数取得极大值即最大值，所以最大利润为（万元）．即当每台机器日产量为6万件时，获得利润最大，为万元．21. 解析：(1)当时，由，得，∴（）．∴数列为等差数列．（2）由（1）知为以为首项，为公差的等差数列，∴，．∴．∴．22.解：（1）由，得．∵点在直线上，∴，又直线的斜率为-1，所以，故有整理得（２）由（１）得，由及，得． 令，则22(1ln )(1)(2ln )1ln '()(1)(1)x x x x x x x g x x x -+----==++． 令，可得，故在区间上是减函数．故当时，；当时，．所以当时，，当时，．故 在是增函数，在是减函数，从而．因此要使成立，只需，即的取值范围是． 42?20499 5013 倓32023 7D17 紗i24517 5FC5 必p23624 5C48 屈39252 9954 饔29344 72A0 犠37828 93C4 鏄36126 8D1E 贞。
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直线和圆的方程时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．若a ＋b ＝0，则直线y ＝ax ＋b 的图象可能是( )解析：由a ＋b ＝0得a ＝－b ，直线在x 轴上的截距为－ba ＝1，故选D.答案：D2．若点P (x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，则直线方程可表示为 ( )A ．A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0 B ．A (x －x 0)－B (y －y 0)＝0C ．B (x －x 0)＋A (y －y 0)＝0D ．B (x －x 0)－A (y －y 0)＝0解析：依题意得Ax 0＋By 0＋C ＝0，即C ＝－Ax 0－By 0，代入直线方程得Ax ＋By －Ax 0－By 0＝0，故直线方程为A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0，选A.答案：A3．已知两直线x ＋ay ＋1＝0与ax －y －3＝0垂直，则a 的取值的集合是 ( )A ．{－1,1}B ．{x |x ≠0}C ．RD ．Ø 解析：当a ＝0时，两直线为x ＝－1或y ＝－3，则两直线垂直，当a ≠0时，两直线的斜率分别为－1a 和a ，又－1a ×a ＝－1，则两直线垂直，故a 的取值的集合是R ，选C. 答案：C4．直线(a ＋1)x －y ＋1－2a ＝0与直线(a 2－1)x ＋(a －1)y －15＝0平行，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1,1C ．－1D ．0解析：将－1,1,0分别代入两直线方程检验得a ＝－1符合题意． 答案：C5．过点(1,3)作直线l ，若l 过点(a,0)与(0，b )，且a ，b ∈N *，则可作出的直线l 的条数为 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．多于3条解析：因为1a ＋3b ＝1，且a ，b ∈N *，所以⎩⎨⎧ a ＝4b ＝4或⎩⎨⎧a ＝2b ＝6.故选B.答案：B6．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的 ( )解析：(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎨⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.答案：C7．已知有向线段PQ→的起点P (－1,1)，终点Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与有向线段PQ→的延长线相交，且过定点 M (0，－1)．如图1，则m 的取值范围是( )图1A ．(13，32)B ．(－3，－23) C ．(－∞，－3)D ．(－23，＋∞)解析：易知k PQ ＝2－12－(－1)＝13，直线x ＋my ＋m ＝0过点M (0，－1)．当m ＝0时，直线化为x ＝0，一定与PQ 相交，所以m ≠0，当m ≠0时，k 1＝－1m ，考虑直线l 的两个极限位置．(1)l 经过Q ，即直线l 1，则kl 1＝2－(－1)2－0＝32；(2)l 与PQ →平行，即直线l 2，则kl 2＝k PQ ＝13，所以13<－1m <32，即－3<m <－23.故选B. 答案：B8．把直线x －2y ＋λ＝0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为 ( )A ．3或13B ．－3或13C ．3或－13D ．－3或－13解析：直线x －2y ＋λ＝0按a ＝(－1，－2)平移后的直线为x －2y ＋λ－3＝0，与圆相切，易得λ＝13或3.答案：A9．两圆相交于两点(1,3)和(m,1)，两圆的圆心都在直线x －y ＋c2＝0上，则m ＋c 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．0解析：由题意知两点(1,3)、(m,1)的中点(m ＋12，2)在直线x －y ＋c2＝0上，即m ＋12－2＋c2＝0.∴m ＋c ＝3.答案：C10．已知点M (0,1)、A (1,1)、B (0,2)，且MP→＝cos θMA →＋sin θMB →(θ∈[0，π])，则点P 的轨迹方程是 ( )A ．x 2＋y 2＝1(x ≥0)B ．x 2＋y 2＝1(y ≥0)C ．x 2＋(y －1)2＝1(y ≤1)D ．x 2＋(y －1)2＝1(y ≥1)解析：设P (x ，y )，则MP→＝(x ，y －1)， 又MA→＝(1,0)，MB →＝(0,1)，故有(x ，y －1)＝(cos θ，sin θ)， ∴⎩⎨⎧x ＝cos θ，y －1＝sin θ，x 2＋(y －1)2＝1.又∵θ∈[0，π]，∴y ＝sin θ＋1≥1.∴选D. 答案：D11．已知三点A (－2,1)，B (－3，－2)，C (－1，－3)和动直线l ：y ＝kx ，当点A 、B 、C 到直线l 的距离的平方和最小时，下列结论中正确的是 ( )A ．点A 在l 上B ．点B 在l 上C ．点C 在l 上D ．点A 、B 、C 均不在l 上解析：点A 、B 、C 到直线l 的距离的平方和为： d ＝(－2k －1)2＋(－3k ＋2)2＋(－k ＋3)2k 2＋1＝14－14kk 2＋1.要使d 最小，显然k >0，此时d ＝14－14k ＋1k ≥14－7＝7.当且仅当k ＝1k ，即k ＝1时，等号成立．所以，当k ＝1时，d 取最小值，此时点A 、B 、C 均不在直线y ＝x 上．故选D.答案：D12．已知向量m ＝(a －2b ，a )，n ＝(a ＋2b,3b )，且m ，n 的夹角为钝角，则在平面aOb 上，满足上述条件及a 2＋b 2≤1的点(a ，b )所在的区域面积S 满足 ( )A ．S ＝πB ．S ＝π2C ．S >π2D ．S <π2图2解析：∵m ，n 的夹角为钝角，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m |·|n |<0， ∴m·n <0，而(a －2b ，a )·(a ＋2b,3b )＝a 2－4b 2＋3ab ＝(a ＋4b )(a －b )<0.∴⎩⎨⎧a ＋4b >0a －b <0或⎩⎨⎧a ＋4b <0a －b >0，画出上述可行域及a 2＋b 2≤1(如图2)．显然直线b ＝a 与b ＝－14a 的夹角为锐角．∴S <π2.故应选D. 答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)13．已知直线l 1：2x ＋m 2y －2＝0，直线l 2：mx ＋2y －1＝0，若l 1⊥l 2，则m ＝__________.解析：由题意知m ＝0时l 1⊥l 2，又因m ≠0时， (－2m 2)·(－m 2)＝－1⇒m ＝－1. 答案：0或－1图314．不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x <0，y <04x ＋3y ＋8>0表示的平面区域内的整点坐标为__________．解析：如图3可知其整点坐标为 (－1，－1)．答案：(－1，－1)15．过点P (－3，－32)且被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为8的直线方程为__________．解析：由题意知，过P 的直线y ＋32＝k (x ＋3)⇒2kx －2y ＋6k －3＝0，圆心到直线的距离d ＝|6k －3|22＋4k 2＝3⇒k ＝－34，验证知x ＝－3满足条件．故直线方程为3x ＋4y ＋15＝0或x ＝－3. 答案：3x ＋4y ＋15＝0或x ＝－3.16．(2018·安徽巢湖一检)过点M (12，1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为__________．解析：由平面几何知识可知，当l 与CM 垂直时∠ACB 最小．∵k CM ＝112－1＝－2，∴k l ＝12，故直线l 方程为y －1＝12(x －12)，即2x －4y ＋3＝0. 答案：2x －4y ＋3＝0三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)求与点P (4,3)的距离为5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程．解：设所求直线方程为y ＝kx 或x a ＋ya ＝1(a ≠0)．对于y ＝kx ， 5＝|4k －3|k 2＋(－1)2，9k 2＋24k ＋16＝0，解之得k ＝－43.对于x ＋y ＝a,5＝|4＋3－a |12＋12，解之得a ＝7＋52或7－5 2.故所求直线方程为y ＝－43x 或x ＋y －7－52＝0或x ＋y －7＋52＝0.18．(12分)已知直线l 夹在两条直线l 1：3x ＋y －2＝0和l 2：x ＋5y ＋10＝0之间的线段被点D (2，－3)平分，求直线l 的方程．解：设l 与l 1交点为A (x 1，y 1)，与l 2交点为B (x 2，y 2)， ∵D (2，－3)是AB 中点， ∴x 1＋x 22＝2，y 1＋y 22＝－3.因此⎩⎨⎧x 2＝4－x 1，y 2＝－6－y 1.B (x 2，y 2)在l 2上，得x 2＋5y 2＋10＝0， 即4－x 1＋5(－6－y 1)＋10＝0.由此得⎩⎨⎧3x 1＋y 1－2＝0，x 1＋5y 1＋16＝0.解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝137，y 1＝－257.∴A (137，－257)，又直线l 过A 、D 两点，所以直线方程为y ＋3－257＋3＝x －2137－2.化为一般形式得l 的方程为4x －y －11＝0. 19．(12分)已知圆C 的圆心在直线l 1：x －y －1＝0上，与直线l 2：4x ＋3y ＋14＝0相切，且截得直线l 3：3x ＋4y ＋10＝0所得弦长为6，求圆C 的方程．解：设圆心C (a ，b )，半径为r . 则a －b －1＝0，r ＝|4a ＋3b ＋14|42＋32，|3a ＋4b ＋10|32＋42＝r 2－32.所以(4a ＋3b ＋14)225－(3a ＋4b ＋10)225＝9. 即(a －b ＋4)(7a ＋7b ＋24)25＝9. 因为a －b ＝1，所以5(7a ＋7b ＋24)25＝9，a ＋b ＝3. 由⎩⎨⎧a －b ＝1，a ＋b ＝3.解之得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.故所求圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25.20．(12分)圆C 通过不同的三点P (k,0)、Q (2,0)、R (0,1)，已知圆C 在P 点切线的斜率为1，试求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 将P 、Q 、R 的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋2＝－D ，2k ＝F ，E ＋F ＋1＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心为(k ＋22，2k ＋12)．又∵k CP ＝－1，∴k ＝－3.∴圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.21．(12分)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程；(2)圆C 上一动点M (x 0，y 0)，ON →＝(0，y 0)，若向量OQ→＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：(1)①若直线l 垂直于x 轴，则此直线为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标分别为(1，3)和(1，－3)，这两点间的距离为23，符合题意．②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为y －2＝k (x －1) 即kx －y －k ＋2＝0 设圆心到此直线的距离为d ∵23＝24－d 2∴d ＝1∴1＝|－k ＋2|k 2＋1解得k ＝34故所求直线方程为3x －4y ＋5＝0综上所述所求直线方程是x ＝1或3x －4y ＋5＝0. (2)设Q 点坐标为(x ，y )∵M 点的坐标是(x 0，y 0)，OM →＝(x 0，y 0)，ON →＝(0，y 0)，OQ → ＝OM→＋ON → ∴(x ，y )＝(x 0,2y 0)∴⎩⎨⎧x ＝x 0y ＝2y 0∵x 20＋y 20＝4∴x 2＋(y 2)2＝4.即x 24＋y 216＝1，∴Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1.Q 点轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆．图422．(14分)(2018·内蒙古赤峰统考)如图4，在平面直角坐标系中，N 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝16上的一点，点B (1,0)，点M 是BN 中点，点P 在线段AN 上，且MP →·BN →＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)试判断以PB 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝4的位置关系，并说明理由．解：(1)由点M 是BN 中点，又MP →·BN →＝0，可知PM 垂直平分BN .所以|PN |＝|PB |，又|P A |＋|PN |＝|AN |， 所以|P A |＋|PB |＝4，|AB |＝2.由椭圆定义知，点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由2a ＝4,2c ＝2，可得a 2＝4，b 2＝3.可知动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点P (x 0，y 0)，PB 的中点为Q ，则Q (x 0＋12，y 02)，|PB |＝(x 0－1)2＋y 20＝x 20－2x 0＋1＋3－34x 20＝14x 20－2x 0＋4＝2－12x 0， 即以PB 为直径的圆的圆心为Q (x 0＋12，y 02)， 半径为r 1＝1－14x 0，又圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径r 2＝2， 又|OQ |＝(x 0＋12)2＋(y 02)2＝14x2＋12x0＋14＋14(3－34x2)＝116x2＋12x0＋1＝1＋14x0，故|OQ|＝r2－r1，即两圆内切．。